Полето на реалните числа има свойството на ред (т. 6, стр. 35): за произволни числа a, b има едно и само едно от трите отношения: или . В този случай обозначението a > b означава, че разликата е положителна, а разликата в нотацията е отрицателна. За разлика от полето на реалните числа, полето на комплексните числа не е подредено: за комплексните числа понятията „по-голямо от“ и „по-малко от“ не са дефинирани; следователно тази глава се занимава само с реални числа.
Отношенията наричаме неравенства, числата a и b са членове (или части) на неравенството, знаците > (по-голямо от) и неравенствата a > b и c > d се наричат неравенства със същото (или същото) значение; неравенства a > b и c От определението на неравенството непосредствено следва, че
1) всяко положително число, по-голямо от нула;
2) всяко отрицателно число, по-малко от нула;
3) всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно число;
4) от две отрицателни числа, по-голямо е това, чиято абсолютна стойност е по-малка.
Всички тези твърдения допускат проста геометрична интерпретация. Нека положителната посока на оста на числата върви вдясно от началната точка; тогава, каквито и да са знаците на числата, по-голямото от тях е представено от точка, лежаща вдясно от точката, представляваща по-малкото число.
Неравенствата имат следните основни свойства.
1. Асиметрия (необратимост): ако , тогава , и обратно.
Всъщност, ако разликата е положителна, тогава разликата е отрицателна. Те казват, че когато условията на неравенството се пренаредят, значението на неравенството трябва да се промени на обратното.
2. Транзитивност: ако , тогава . Всъщност положителността на разликите предполага положителност
В допълнение към знаците за неравенство се използват и знаци за неравенство и. Те се дефинират както следва: запис означава, че или или Следователно, например, можете да пишете и също. Обикновено неравенствата, записани със знаци, се наричат строги неравенства, а записаните със знаци се наричат нестроги неравенства. Съответно самите знаци се наричат знаци на строго или нестрого неравенство. Свойства 1 и 2, обсъдени по-горе, са валидни и за нестроги неравенства.
Помислете сега за операциите, които могат да се извършат върху едно или повече неравенства.
3. От добавянето на едно и също число към членовете на неравенството смисълът на неравенството не се променя.
Доказателство. Нека са дадени неравенство и произволно число. По дефиниция разликата е положителна. Към това число добавяме две противоположни числа, от които то няма да се промени, т.е.
Това равенство може да се пренапише така:
От това следва, че разликата е положителна, т.е
и това трябваше да се докаже.
Това е основата за възможността за изкривяване на който и да е член на неравенството от една негова част към друга с противоположен знак. Например от неравенството
следва това
4. При умножаване на членовете на неравенството по едно и също положително число смисълът на неравенството не се променя; когато членовете на неравенството се умножат по едно и също отрицателно число, значението на неравенството се променя на обратното.
Доказателство. Нека тогава Ако тогава, тъй като произведението на положителните числа е положително. Разширявайки скобите от лявата страна на последното неравенство, получаваме , т.е. Случаят се разглежда по подобен начин.
Точно същият извод може да се направи по отношение на разделянето на частите от неравенството на някакво ненулево число, тъй като деленето на число е еквивалентно на умножение по число и числата имат еднакви знаци.
5. Нека членовете на неравенството са положителни. Тогава, когато неговите членове се издигнат до същата положителна степен, смисълът на неравенството не се променя.
Доказателство. Нека в този случай, от свойството на транзитивност, и . Тогава, поради монотонното нарастване на степенната функция при и положително, имаме
По-специално, ако къде е естествено число, тогава получаваме
т.е. при извличане на корена от двете части на неравенството с положителни членове смисълът на неравенството не се променя.
Нека членовете на неравенството са отрицателни. Тогава е лесно да се докаже, че когато неговите членове се издигнат до нечетна естествена степен, смисълът на неравенството не се променя, а когато се издигне до четна естествена степен, то се променя в обратното. От неравенства с отрицателни членове можете също да извлечете корена на нечетна степен.
Нека освен това членовете на неравенството имат различни знаци. Тогава, когато се издигне на нечетна степен, смисълът на неравенството не се променя, а когато се издигне на четна степен, в общия случай не може да се каже нищо определено за значението на полученото неравенство. Наистина, когато числото се повдигне на нечетна степен, знакът на числото се запазва и следователно значението на неравенството не се променя. При издигане на неравенството до четна степен се образува неравенство с положителни членове, като значението му ще зависи от абсолютните стойности на членовете на първоначалното неравенство, неравенство със същото значение като оригиналното, неравенство на обратното значение и дори равенство!
Полезно е да проверите всичко, което е казано за повишаване на неравенствата на степен, като използвате следния пример.
Пример 1. Повишете следните неравенства на посочената степен, като промените, ако е необходимо, знака на неравенството на противоположния или на знака за равенство.
а) 3 > 2 на степен 4; б) на степен 3;
в) на степен 3; г) на степен 2;
д) на степен 5; д) на степен 4;
ж) 2 > -3 на степен 2; з) на степен 2,
6. От неравенството можете да преминете към неравенството между, ако условията на неравенството са както положителни, така и отрицателни, тогава между техните реципрочни числа има неравенство с противоположно значение:
Доказателство. Ако a и b са от един и същи знак, тогава тяхното произведение е положително. Разделете по неравенство
т.е., което е било необходимо да се получи.
Ако членовете на неравенството имат противоположни знаци, то неравенството между техните реципрочни числа има същото значение, тъй като знаците на реципрочните числа са същите като знаците на самите величини.
Пример 2. Проверете последното свойство 6 на следните неравенства:
7. Логаритъмът на неравенствата може да се извърши само в случай, когато членовете на неравенствата са положителни (отрицателните числа и нулата нямат логаритми).
Нека бъде . Тогава кога ще
и кога ще
Правилността на тези твърдения се основава на монотонността на логаритмичната функция, която се увеличава, ако основата и намалява, ако
Така че, когато се вземе логаритъмът на неравенство, състоящо се от положителни членове, с основа по-голяма от единица, се образува неравенство със същото значение като даденото, а когато се вземе неговия логаритъм с положителна основа, по-малка от единица, неравенство на образува се противоположното значение.
8. Ако , Тогава ако , но , Тогава .
Това непосредствено следва от свойствата на монотонността на експоненциалната функция (раздел 42), която нараства в случая и намалява, ако
При добавяне на неравенства със същото значение термин по термин се образува неравенство със същото значение като данните.
Доказателство. Нека докажем това твърдение за две неравенства, въпреки че е вярно за произволен брой сумирани неравенства. Нека неравенствата
По дефиниция числата ще бъдат положителни; тогава тяхната сума също се оказва положителна, т.е.
Групирайки термините по различен начин, получаваме
и следователно
и това трябваше да се докаже.
В общия случай не може да се каже нищо определено за значението на едно неравенство, получено от добавянето на две или повече неравенства с различни значения.
10. Ако друго неравенство с противоположно значение се извади термин по член от едно неравенство, тогава се образува неравенство със същото значение като първото.
Доказателство. Нека бъдат дадени две неравенства с различни значения. Вторият от тях, по свойството на необратимост, може да се пренапише, както следва: d > c. Нека сега съберем две неравенства с едно и също значение и ще получим неравенството
същото значение. От последното намираме
и това трябваше да се докаже.
В общия случай не може да се каже нищо определено за значението на неравенство, получено чрез изваждане на друго неравенство със същото значение от едно неравенство.
Прието е да се нарича система от неравенства запис от няколко неравенства под знака на къдрава скоба (в този случай броят и видът на неравенствата, включени в системата, могат да бъдат произволни).
За да се реши системата, е необходимо да се намери пресечната точка на решенията на всички неравенства, включени в нея. Решение на неравенство в математиката е всяка стойност на променлива, за която даденото неравенство е вярно. С други думи, изисква се да се намери множеството от всички негови решения - това ще се нарече отговор. Като пример, нека се опитаме да научим как да решаваме система от неравенства, използвайки интервалния метод.
Свойства на неравенствата
За решаването на проблема е важно да се познават основните свойства, присъщи на неравенствата, които могат да бъдат формулирани по следния начин:
- Към двете части на неравенството може да се добави една и съща функция, дефинирана в диапазона от приемливи стойности (ODV) на това неравенство;
- Ако f(x) > g(x) и h(x) е която и да е функция, дефинирана в DDE на неравенството, тогава f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Ако и двете части на неравенството се умножат по положителна функция, дефинирана в ODZ на това неравенство (или по положително число), тогава получаваме неравенство, еквивалентно на първоначалното;
- Ако двете части на неравенството се умножат по отрицателната функция, дефинирана в ODZ на даденото неравенство (или по отрицателно число) и знакът на неравенството се обърне, тогава полученото неравенство е еквивалентно на даденото неравенство;
- Неравенствата със същото значение могат да се добавят термин по термин, а неравенствата с противоположно значение могат да се изваждат термин по термин;
- Неравенствата от едно и също значение с положителни части могат да бъдат умножени термин по член, а неравенствата, образувани от неотрицателни функции, могат да бъдат повдигнати термин по член в положителна степен.
За да решите система от неравенства, трябва да решите всяко неравенство поотделно и след това да ги сравните. В резултат на това ще бъде получен положителен или отрицателен отговор, което означава дали системата има решение или не.
Метод на разстояние
При решаването на система от неравенства математиците често прибягват до метода на интервалите, като един от най-ефективните. Позволява ни да намалим решението на неравенството f(x) > 0 (<, <, >) към решението на уравнението f(x) = 0.
Същността на метода е следната:
- Намерете диапазона от приемливи стойности на неравенството;
- Намалете неравенството до вида f(x) > 0(<, <, >), тоест преместете дясната страна наляво и опростете;
- Решете уравнението f(x) = 0;
- Начертайте диаграма на функция върху числова права. Всички точки, отбелязани на ODZ и ограничаващи го, разделят това множество на така наречените интервали с постоянен знак. На всеки такъв интервал се определя знакът на функцията f(x);
- Запишете отговора като обединение от отделни множества, на които f(x) има съответния знак. ODZ точки, които са гранични, се включват (или не се включват) в отговора след допълнителна проверка.
Неравенствата в математиката играят значителна роля. В училище се занимаваме основно с числени неравенства, с чието определение ще започнем тази статия. И тогава изброяваме и обосноваваме свойства на числените неравенства, на който се основават всички принципи на работа с неравенства.
Веднага отбелязваме, че много свойства на числените неравенства са сходни. Следователно ще представим материала по същата схема: формулираме свойството, даваме неговата обосновка и примери и след това преминаваме към следващото свойство.
Навигация в страницата.
Числени неравенства: определение, примери
Когато въведохме понятието неравенство, забелязахме, че неравенствата често се дефинират по начина, по който са написани. Така че ние нарекохме неравенствата смислени алгебрични изрази, съдържащи знаци не равни ≠, по-малки от<, больше >, по-малко или равно на ≤ или по-голямо или равно на ≥. Въз основа на горната дефиниция е удобно да се дефинира численото неравенство:
Срещата с числените неравенства става в уроците по математика в първи клас веднага след запознаване с първите естествени числа от 1 до 9 и запознаване с операцията за сравнение. Вярно е, че там те се наричат просто неравенства, като се пропуска определението за "числово". За по-голяма яснота не пречи да дадем няколко примера за най-простите числови неравенства от този етап на тяхното изследване: 1<2 , 5+2>3 .
И по-далеч от естествените числа, знанието се простира до други видове числа (целочислени, рационални, реални числа), изучават се правилата за тяхното сравнение и това значително разширява видовото разнообразие на числовите неравенства: −5> −72, 3> − 0,275 (7−5, 6) , .
Свойства на числовите неравенства
На практика работата с неравенства позволява редица свойства на числените неравенства. Те следват от въведеното от нас понятие за неравенство. По отношение на числата тази концепция се дава от следното твърдение, което може да се счита за дефиницията на отношенията "по-малко от" и "по-голямо от" в множеството от числа (често се нарича различна дефиниция на неравенството):
Определение.
- номер a е по-голямо от b, ако и само ако разликата a−b е положително число;
- числото a е по-малко от числото b, ако и само ако разликата a−b е отрицателно число;
- числото a е равно на числото b само ако разликата a−b е равна на нула.
Тази дефиниция може да бъде преработена в дефиниция на по-малко или равно на и по-голямо или равно на. Ето нейната формулировка:
Определение.
- номер a е по-голямо или равно на b, ако и само ако a−b е неотрицателно число;
- числото a е по-малко или равно на числото b тогава и само ако a − b е неположително число.
Ще използваме тези дефиниции при доказване на свойствата на числените неравенства, които сега разглеждаме.
Основни свойства
Започваме нашия преглед с три основни свойства на неравенствата. Защо са съществени? Защото те са отражение на свойствата на неравенствата в най-общ смисъл, а не само по отношение на числовите неравенства.
Числови неравенства, написани със знаци< и >, характерно:
Що се отнася до числовите неравенства, записани с помощта на знаците на нестроги неравенства ≤ и ≥, те имат свойството на рефлексивност (а не на антирефлексивност), тъй като неравенствата a≤a и a≥a включват случая на равенство a=a . Те също се характеризират с антисиметрия и транзитивност.
И така, числените неравенства, записани със знаците ≤ и ≥, имат следните свойства:
- рефлексивността a≥a и a≤a са истински неравенства;
- антисиметрия, ако a≤b, тогава b≥a, и ако a≥b, тогава b≤a.
- транзитивност, ако a≤b и b≤c, тогава a≤c, и също, ако a≥b и b≥c, тогава a≥c.
Доказателството им е много подобно на вече дадените, така че няма да се спираме на тях, а ще преминем към други важни свойства на числовите неравенства.
Други важни свойства на числовите неравенства
Нека допълним основните свойства на числените неравенства с поредица от резултати с голямо практическо значение. Методите за оценка на стойностите на изразите се основават на тях, принципите на решение на неравенстватаи т.н. Затова е препоръчително да се справите добре с тях.
В този подраздел ще формулираме свойствата на неравенствата само за един знак на строго неравенство, но трябва да се има предвид, че подобни свойства ще са валидни и за противоположния знак, както и за знаците на нестроги неравенства. Нека обясним това с пример. По-долу формулираме и доказваме следното свойство на неравенствата: ако a
За удобство представяме свойствата на числовите неравенства под формата на списък, като същевременно даваме съответното твърдение, изписваме го формално с букви, даваме доказателство и след това показваме примери за употреба. И в края на статията ще обобщим всички свойства на числовите неравенства в таблица. Отивам!
Последица. Умножение член по член на идентични истински неравенства от вида a
Добавянето (или изваждането) на произволно число към двете страни на истинското числово неравенство дава истинско числово неравенство. С други думи, ако числата a и b са такива, че a
За да докажем това, нека съставим разликата между лявата и дясната част на последното числово неравенство и да покажем, че то е отрицателно при условие a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Тъй като по условие а
Не се спираме на доказателството на това свойство на числови неравенства за изваждане на числото c, тъй като при множеството реални числа изваждането може да бъде заменено с добавяне на −c .
Например, ако добавите числото 15 към двете части на правилното числово неравенство 7>3, тогава ще получите правилното числово неравенство 7+15>3+15, което е същото, 22>18.
Ако и двете части на правилното числово неравенство се умножат (или разделят) на едно и също положително число c, тогава ще се получи правилното числово неравенство. Ако и двете части на неравенството се умножат (или разделят) на отрицателно число c и знакът на неравенството се обърне, тогава ще се получи правилното неравенство. В буквална форма: ако числата a и b отговарят на неравенството a пр. н. е.
Доказателство. Да започнем със случая, когато c>0 . Съставете разликата между лявата и дясната част на доказваното числово неравенство: a·c−b·c=(a−b)·c . Тъй като по условие а 0 , то произведението (a−b) c ще бъде отрицателно число като произведението на отрицателно число a−b и положително число c (което следва от ). Следователно a c−b c<0
, откуда a·c Не се спираме на доказателството на разглежданото свойство за разделяне на двете части на истинското числово неравенство на едно и също число c, тъй като делението винаги може да бъде заменено с умножение по 1/c. Нека покажем пример за прилагане на анализираното свойство към конкретни числа. Например, можете и двете части на правилното числово неравенство 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. От току-що разгледаното свойство за умножаване на двете страни на числово равенство по число следват два практически ценни резултата. Затова ги формулираме под формата на следствия. Всички свойства, разгледани по-горе в този параграф, се обединяват от факта, че отначало се дава правилно числово неравенство, а от него чрез някои манипулации с частите на неравенството и знака се получава друго правилно числово неравенство. Сега ще дадем блок от свойства, в който първоначално са дадени не едно, а няколко правилни числови неравенства и се получава нов резултат от съвместното им използване след добавяне или умножаване на техните части. Ако за числа a , b , c и d неравенствата a
Нека докажем, че (a+c)−(b+d) е отрицателно число, това ще докаже, че a+c По индукция това свойство се простира до почленно събиране на три, четири и най-общо краен брой числени неравенства. И така, ако за числа a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, дадени са ни три правилни числови неравенства с един и същ знак −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можете да умножите член по член числови неравенства от същия знак, и двете части на които са представени с положителни числа. По-специално, за две неравенства a
За да го докажем, можем да умножим и двете страни на неравенството a
Това свойство е валидно и за умножението на произволен краен брой валидни числови неравенства с положителни части. Тоест, ако a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n са положителни числа и a 1 a 1 a 2 ... a n . Отделно, заслужава да се отбележи, че ако нотацията на числовите неравенства съдържа неположителни числа, тогава тяхното умножение по член може да доведе до неправилни числови неравенства. Например, числени неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В заключение на статията, както обещахме, ще съберем всички проучени имоти в таблица на свойствата на числовите неравенства:
Библиография.
- Moro M.I.. математика. Proc. за 1 кл. рано училище В 2 стр. Част 1. (Първо полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова. - 6-то изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил. + App. (2 отделни л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-во изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
1 . Ако a > b, тогава б< a ; обратно, ако а< b , тогава б > а.
Пример. Ако 5x - 1 > 2x + 1, тогава 2x +1< 5x — 1 .
2 . Ако a > bи b > c, тогава а > в. Подобен, а< b и б< с , тогава а< с .
Пример. От неравенствата x > 2y, 2y > 10следва това x>10.
3
. Ако a > bтогава a + c > b + cи a - c > b - c. Ако а< b
, тогава а + в
Пример 1. Като се има предвид неравенството х + 8>3. Като извадим числото 8 от двете части на неравенството, намираме х > - 5.
Пример 2. Като се има предвид неравенството х - 6< — 2 . Добавяйки 6 към двете части, намираме х< 4 .
4 . Ако a > bи c > dтогава a + c > b + d; абсолютно същото, ако а< b и с< d , тогава а + в< b + d две неравенства с едно и също значение) могат да се добавят термин по член. Това е вярно за произволен брой неравенства, например, ако a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, тогава a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
Пример 1. неравенства — 8 > — 10 и 5 > 2 са верни. Събирайки ги член по член, намираме правилното неравенство — 3 > — 8 .
Пример 2. Като се има предвид система от неравенства ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Добавяйки ги термин по термин, намираме х< 22 .
Коментирайте. Две неравенства с едно и също значение не могат да бъдат извадени един от друг термин по член, тъй като резултатът може да е верен, но може и да е грешен. Например, ако от неравенството 10 > 8 2 > 1 , тогава получаваме правилното неравенство 8 > 7 но ако от същото неравенство 10 > 8 извадете неравенството член по член 6 > 1 , тогава получаваме абсурд. Сравнете следващия елемент.
5 . Ако a > bи ° С< d , тогава a - c > b - d; ако а< b и в - г, тогава а - в< b — d , т.е. едно неравенство може да се извади термин по термин друго неравенство с противоположно значение), оставяйки знака на неравенството, от което е извадено другото.
Пример 1. неравенства 12 < 20 и 15 > 7 са верни. Изваждайки член по член втория от първия и оставяйки знака на първия, получаваме правилното неравенство — 3 < 13 . Изваждайки член по член първия от втория и оставяйки знака на втория, намираме правилното неравенство 3 > — 13 .
Пример 2. Дадена система от неравенства (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Като извадим второто от първото неравенство, намираме г< 10 .
6 . Ако a > bи мтогава е положително число ma > mbи a/n > b/n, т.е. и двете части на неравенството могат да бъдат разделени или умножени по едно и също положително число (знакът на неравенството остава същият). a > bи нтогава е отрицателно число на< nb и a/n< b/n , тоест и двете части на неравенството могат да бъдат умножени или разделени на едно и също отрицателно число, но знакът на неравенството трябва да бъде обърнат.
Пример 1. Разделяне на двете страни на истинското неравенство 25 > 20 на 5 , получаваме правилното неравенство 5 > 4 . Ако разделим двете страни на неравенството 25 > 20 на — 5 , тогава трябва да промените знака > на < , и тогава получаваме правилното неравенство — 5 < — 4 .
Пример 2. От неравенството 2x< 12 следва това х< 6 .
Пример 3. От неравенството -(1/3)x - (1/3)x > 4следва това х< — 12 .
Пример 4. Като се има предвид неравенството x/k > y/l; следва, че lx > kyако знаци на числа ли кса едни и същи и това lx< ky ако знаци на числа ли кса противоположни.
Неравенствое нотация, в която числа, променливи или изрази са свързани със знак<, >, или . Тоест, неравенството може да се нарече сравнение на числа, променливи или изрази. Знаци < , > , ⩽ и ⩾ Наречен знаци за неравенство.
Видове неравенства и как се четат:
Както се вижда от примерите, всички неравенства се състоят от две части: лява и дясна, свързани с един от знаците за неравенство. В зависимост от знака, свързващ частите на неравенствата, те се делят на строги и нестроги.
Строги неравенства- неравенства, чиито части са свързани със знак< или >. Нестроги неравенства- неравенства, чиито части са свързани със знака или .
Помислете за основните правила за сравнение в алгебрата:
- Всяко положително число, по-голямо от нула.
- Всяко отрицателно число е по-малко от нула.
- От две отрицателни числа, това с по-малка абсолютна стойност е по-голямо. Например -1 > -7.
- аи бположителен:
а - б > 0,
Че аПовече ▼ б (а > б).
- Ако разликата от две неравни числа аи ботрицателен:
а - б < 0,
Че апо-малък б (а < б).
- Ако числото е по-голямо от нула, то е положително:
а> 0 означава ае положително число.
- Ако числото е по-малко от нула, то е отрицателно:
а < 0, значит а- отрицателно число.
Еквивалентни неравенства- неравенства, които са следствие от друго неравенство. Например, ако апо-малък б, тогава бПовече ▼ а:
а < би б > а- еквивалентни неравенства
Свойства на неравенствата
- Ако към двете части на неравенството се добави едно и също число или от двете части се извади едно и също число, тогава ще се получи еквивалентно неравенство, т.е.
ако а > б, тогава а + ° С > б + ° С и а - ° С > б - ° С
От това следва, че е възможно да се прехвърлят членовете на неравенството от една част в друга с противоположен знак. Например добавяне към двете страни на неравенството а - б > ° С - д На д, получаваме:
а - б > ° С - д
а - б + д > ° С - д + д
а - б + д > ° С
- Ако и двете части на неравенството се умножат или разделят на едно и също положително число, тогава ще се получи еквивалентно неравенство, т.е.
- Ако и двете части на неравенството се умножат или разделят на едно и също отрицателно число, тогава ще се получи неравенството, противоположно на даденото, тоест при умножаване или разделяне на двете части на неравенството на отрицателно число, знакът за неравенство трябва да се промени на обратното.
Това свойство може да се използва за промяна на знаците на всички членове на неравенството чрез умножаване на двете страни по -1 и обръщане на знака на неравенството:
-а + б > -° С
(-а + б) · -едно< (-° С) · -едно
а - б < ° С
Неравенство -а + б > -° С е еквивалентно на неравенството а - б < ° С