Дайте определение на остроъгълен триъгълник. Тъп триъгълник: дължина на страните, сума от ъгли

Стандартни обозначения

Триъгълник с върхове А, Би ° Созначени като (виж фиг.). Триъгълникът има три страни:

Дължините на страните на триъгълника са обозначени с малки латински букви (a, b, c):

Триъгълникът има следните ъгли:

Ъглите при съответните върхове традиционно се означават с гръцки букви (α, β, γ).

Тестове за равенство за триъгълници

Триъгълник на евклидовата равнина може да бъде еднозначно определен (до конгруентност) чрез следните тройки основни елементи:

1. a, b, γ (равенство на две страни и ъгъл, лежащ между тях);
2. a, β, γ (равенство в страни и два съседни ъгъла);
3. a, b, c (равенство от три страни).

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

1. по протежение на крака и хипотенуза;
2. на два крака;
3. по протежение на крака и остър ъгъл;
4. по хипотенуза и остър ъгъл.

Някои точки в триъгълника са „сдвоени“. Например, има две точки, от които всички страни са видими или на 60 °, или на 120 °. Те се наричат Торичели точки... Има и две точки, чиито проекции към страните лежат във върховете на правилен триъгълник. То - Аполоний посочва... Точки и други такива се наричат Brocard точки.

Директен

Във всеки триъгълник центърът на тежестта, ортоцентърът и центърът на описаната окръжност лежат на една права линия, наречена Правата линия на Ойлер.

Правата линия, преминаваща през центъра на описаната окръжност и точката на Lemoine, се нарича Brocard ос... Точките на Аполоний лежат върху него. Също така точката Торичели и точката Лемуан лежат на една права линия. Основите на външните бисектриси на ъглите на триъгълник лежат на една права линия, т.нар оста на външните бисектриси... Точките на пресичане на линиите, съдържащи страните на правоъгълника, с линиите, съдържащи страните на триъгълника, също лежат на една права линия. Тази линия се нарича ортоцентрична ос, тя е перпендикулярна на линията на Ойлер.

Ако вземем точка от описаната окръжност на триъгълник, тогава нейните проекции върху страните на триъгълника ще лежат на една права линия, наречена Симсън е правтази точка. Линиите на Симсън от диаметрално противоположни точки са перпендикулярни.

Триъгълници

• Триъгълник с върхове в основата на chevians, изтеглени през дадена точка, се нарича Чевиев триъгълниктази точка.
• Триъгълник с върхове в проекциите на дадена точка от страните се нарича под ръкаили педален триъгълниктази точка.
• Триъгълникът във върховете във вторите точки на пресичане на правите линии, изтеглени през върховете и тази точка, с описаната окръжност, се нарича кръгов шевиев триъгълник... Окръжно-чевианският триъгълник е подобен на поддерен.

Кръгове

• Вписан кръг- окръжност, допираща се до трите страни на триъгълника. Тя е единствената. Центърът на вписания кръг се нарича incentrum.
• Ограничен кръг- окръжност, преминаваща през трите върха на триъгълника. Ограниченият кръг също е уникален.
• Закръглете- окръжност, допирателна към едната страна на триъгълника и продължение на другите две страни. В триъгълник има три такива кръга. Техният радикален център е центърът на вписаната окръжност на средния триъгълник, т.нар Точката на Спайкър.

Средните точки на трите страни на триъгълника, основите на трите му височини и средните точки на трите сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, лежат върху една окръжност, т.нар. кръг от девет точкиили Кръгът на Ойлер... Центърът на окръжността от девет точки лежи върху линията на Ойлер. Кръгът от девет точки докосва обкръжението и трите ex-точки. Тангенсната точка на вписаната окръжност и деветточковата окръжност се нарича Точка Фойербах... Ако от всеки връх изложим външната страна на триъгълника на прави линии, съдържащи страни, ортеза, равна по дължина на противоположните страни, тогава получените шест точки лежат върху един кръг - Кръгът на Конуей... Във всеки триъгълник можете да впишете три кръга по такъв начин, че всеки от тях да докосне две страни на триъгълника и две други окръжности. Такива кръгове се наричат кръгове Малфати... Центровете на описаните окръжности от шест триъгълника, на които триъгълникът е разделен на медиани, лежат върху една окръжност, която се нарича Кръгът на Ламун.

Триъгълникът има три кръга, които докосват двете страни на триъгълника и описаната окръжност. Такива кръгове се наричат наполовина написаноили Кръговете на Верие... Сегментите, свързващи точките на допирност на кръговете на Веррие с описаната окръжност, се пресичат в една точка, наречена Веррие точка... Той служи като център на хомотетията, която превръща описаната окръжност в вписан кръг. Точките на допир на кръговете Веррие със страни лежат на права линия, която минава през центъра на вписаната окръжност.

Сегментите, свързващи точките на допирност на вписаната окръжност с върховете, се пресичат в една точка, т.нар точка Gergonne, и сегментите, свързващи върховете с точките на допир на обкръженията са в точка Нагел.

Елипси, параболи и хиперболи

Вписана коника (елипса) и нейната перспектива

Безкраен брой коники (елипси, параболи или хиперболи) могат да бъдат вписани в триъгълник. Ако впишете произволен коник в триъгълник и свържете точките на допир с противоположни върхове, тогава получените прави линии се пресичат в една точка, т.нар. перспективаконики. За всяка точка на равнината, която не лежи отстрани или върху нейното продължение, има вписана коника с перспектива в тази точка.

Описаната елипса на Щайнер и чевиани, преминаващи през неговите огнища

Елипса може да бъде вписана в триъгълник, който докосва страните в средата. Такава елипса се нарича вписана елипса на Щайнер(неговата перспектива ще бъде центроидът на триъгълника). Описаната елипса, която докосва линиите, преминаващи през върховете, успоредни на страните, се нарича описан от елипсата на Щайнер... Ако чрез афинна трансформация ("наклон") триъгълник се трансформира в правилен, тогава неговата вписана и описана елипса на Щайнер ще премине в вписаната и описаната окръжност. Чевианците, изтеглени през фокусите на описаната елипса на Щайнер (точки на Скутин), са равни (теоремата на Скутин). От всички описани елипси, описаната елипса на Щайнер има най -малка площ, а от всички вписани елипси, вписаната елипса на Щайнер има най -голяма площ.

Елипсата на Brocard и нейната перспектива - точка Lemoine

Елипса с фокуси в точките на Brocard се нарича Елипсата на Брокард... Точката Lemoine служи като нейна перспектива.

Вписани свойства на парабола

Парабола Киперт

Перспективите на вписаните параболи лежат върху описаната елипса на Щайнер. Фокусът на вписаната парабола лежи върху описаната окръжност, а директрисата преминава през ортоцентъра. Извиква се парабола, вписана в триъгълник с права на Ойлер като директриса кипертската парабола... Неговата перспектива е четвъртата пресечна точка на описаната окръжност и описаната елипса на Щайнер, наречена Позиция на Щайнер.

Хипербола на Киперт

Ако описаната хипербола минава през точката на пресичане на височини, то тя е равностранена (тоест нейните асимптоти са перпендикулярни). Точката на пресичане на асимптотите на равностранената хипербола лежи върху окръжността от девет точки.

Трансформации

Ако правите линии, преминаващи през върховете и някоя точка, която не лежи отстрани и техните разширения, са отразени спрямо съответните бисектриси, тогава техните изображения също ще се пресичат в една точка, която се нарича изогонално конюгираноригинал (ако точката лежи върху описаната окръжност, тогава получените линии ще бъдат успоредни). Много двойки забележителни точки са изогонално спрегнати: центърът на описаната окръжност и ортоцентърът, центроидът и точката на Lemoine, точките на Brocard. Точките на Аполоний са изогонално конюгирани с точките на Торичели, а центърът на вписания кръг е изогонално свързан със себе си. Под действието на изогонално спрягане правите линии се трансформират в описани коники, а описаните коники - в прави. И така, хиперболата на Kipert и оста на Brocard, хиперболата Enzhabek и линията на Euler, хиперболата на Feuerbach и линията на центровете на вписаните около описаните окръжности са изогонално спрегнати. Описаните окръжности на поддерните триъгълници на изогонално спрегнати точки съвпадат. Фокусите на вписаните елипси са изогонално спрегнати.

Ако вместо симетрична хевиана вземем шевиана, чиято основа се отстранява от средата на страната по същия начин, както основата на оригинала, тогава такива шевиани също ще се пресичат в една точка. Получената трансформация се нарича изотомична конюгация... Той също така трансформира прави линии в описани коники. Точките на Гергон и Нагел са изотомично конюгирани. При афинни трансформации изотомично конюгираните точки се трансформират в изотомично конюгирани точки. При изотомично конюгиране описаната елипса на Щайнер ще отиде до безкрайно далечната линия.

Ако в сегментите, отсечени от страните на триъгълника от описаната окръжност, ние вписваме кръгове, допиращи се към страните в основата на chevians, изтеглени през определена точка, и след това свързваме точките на допир на тези окръжности с описаната окръжност с противоположни върхове, тогава такива прави линии ще се пресичат в една точка. Трансформацията на равнината, която съответства на получената точка към първоначалната точка, се нарича изо-кръгова трансформация... Изогоналният и изотомичният конюгационен състав е съставът на изоциркуларната трансформация със себе си. Тази композиция е проективна трансформация, която оставя страните на триъгълника на място и превежда оста на външните бисектриси в безкрайно далечна права линия.

Ако продължим страните на chevian триъгълника на някаква точка и вземем техните точки на пресичане със съответните страни, тогава получените точки на пресичане ще лежат на една права линия, т.нар. трилинеен поляренначална точка. Ортоцентрична ос - трилинеен полярен на ортоцентъра; оста на външните бисектриси служи като трилинеен поляр на вписания център на окръжността. Трилинейни поляри на точки, лежащи върху описаната коника, се пресичат в една точка (за описаната окръжност това е точката на Лемуан, за описаната елипса на Щайнер - центроидът). Съставът на изогонален (или изотомичен) конюгат и трилинеен полярен е трансформация на двойствеността (ако точка изогонално (изотомично) конюгирана към точка лежи върху трилинейния поляр на точка, тогава трилинеен поляр на точка изогонално (изотомично) ) до конюгирана точка лежи върху трилинеен поляр на точка).

Кубчета

Връзки в триъгълник

Забележка:в този раздел ,, са дължините на трите страни на триъгълника и ,, са ъглите, лежащи съответно срещу тези три страни (противоположни ъгли).

Неравенство в триъгълника

В неизроден триъгълник сумата от дължините на двете му страни е по-голяма от дължината на третата страна, в изроден триъгълник е равна на. С други думи, дължините на страните на триъгълник са свързани със следните неравенства:

Неравенството на триъгълника е една от аксиомите на метриката.

Сумата от ъглите на триъгълник

Синусова теорема

,

където R е радиусът на окръжност, описана около триъгълник. От теоремата следва, че ако a< b < c, то α < β < γ.

Косинусова теорема

Тангентна теорема

Други съотношения

Метричните съотношения в триъгълник са дадени за:

Решаване на триъгълници

Изчисляването на неизвестните страни и ъгли на триъгълник, въз основа на известните, исторически е получило името "решение на триъгълници". В този случай се използват горните общи тригонометрични теореми.

Площ на триъгълник

Специални случаи Обозначения

Следните неравенства са валидни за областта:

Изчисляване на площта на триъгълник в пространството с помощта на вектори

Нека върховете на триъгълника са в точките ,,.

Нека въведем вектора на областта. Дължината на този вектор е равна на площта на триъгълника и е насочена по нормалата към равнината на триъгълника:

Поставяме, където ,, - проекцията на триъгълника върху координатните равнини. При което

и по подобен начин

Площта на триъгълника е.

Алтернатива е да се изчислят дължините на страните (според Питагоровата теорема) и след това според формулата на Херон.

Теореми за триъгълник

Този раздел е непълен.

Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем с различни видове триъгълници.

Помислете за геометричните фигури и намерете сред тях „излишни“ (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигурите # 1, 2, 3, 5 са ​​четириъгълници. Всеки от тях има свое име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, които свързват тези точки по двойки.

Точките се наричат върховете на триъгълника, сегменти - то партии... Страните на триъгълника се образуват има три ъгъла във върховете на триъгълника.

Основните признаци на триъгълник са три страни и три ъгъла.По отношение на ъгъла триъгълниците са остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни.

Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите ъгъла са остри, тоест по-малко от 90 ° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остър ъглов триъгълник

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако единият му ъгъл е 90 ° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник се нарича тъп, ако единият му ъгъл е тъп, тоест повече от 90 ° (фиг. 6).

Ориз. 6. Туп триъгълник

Според броя на равни страни триъгълниците са равностранени, равнобедрени, многостранни.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, чиито две страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези партии се наричат странично, Трета страна - основа. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Равнобедрените триъгълници са остроъгълни и тъпоъгълни(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остри и тъпи равнобедрени триъгълници

Равностранен триъгълник е триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълни.

Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).

Ориз. 10. Универсален триъгълник

Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (Фигура 11).

Ориз. 11. Илюстрация за задачата

Първо, разпределяме по величината на ъглите.

Остри триъгълници: No 1, No 3.

Правоъгълни триъгълници: No 2, No 6.

Тъпи триъгълници: No 4, No 5.

Ще разпределим същите триъгълници в групи според броя на равни страни.

Разнообразни триъгълници: No 4, No 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: No1.

Помислете за чертежите.

Помислете кое парче тел сте направили всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да разсъждавате по този начин.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че от него може да се направи равностранен триъгълник. На фигурата той е показан като трети.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че можете да направите универсален триъгълник от него. Той е показан първи на фигурата.

Третото парче тел е разделено на три части, където двете части са с еднаква дължина, което означава, че от него може да се направи равнобедрен триъгълник. На фигурата той е показан като втори.

Днес в урока се запознахме с различните видове триъгълници.

Библиография

1. M.I. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. - М.: „Образование“, 2012.
2. M.I. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. - М.: „Образование“, 2012.
3. M.I. Моро. Уроци по математика: Насоки за учители. 3 степен. - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен правен документ. Мониторинг и оценка на учебните резултати. - М.: „Образование“, 2011.
5. "Училище на Русия": Програми за начално училище. - М.: „Образование“, 2011.
6. S.I. Волкова. Математика: Работа по проверка. 3 степен. - М.: Образование, 2012.
7. V.N. Рудницкая. Тестове. - М.: „Изпит“, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Попълнете фразите.

а) Триъгълник е фигура, състояща се от ..., не лежаща на една права линия, и ..., свързваща тези точки по двойки.

б) Точките се извикват … , сегменти - то … ... Страните на триъгълника се образуват във върховете на триъгълника ….

в) По отношение на ъгъла триъгълниците са ..., ..., ....

г) Според броя на равни страни триъгълниците са ..., ..., ....

2. Равенство

а) правоъгълен триъгълник;

б) остроъгълен триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) универсален триъгълник;

е) равнобедрен триъгълник.

3. Направете задача по темата на урока за вашите връстници.

Дори децата в предучилищна възраст знаят как изглежда триъгълник. Но с това, което са, момчетата вече започват да разбират в училище. Един от видовете е тъп триъгълник. Най -лесният начин да разберете какво е това, ако видите картина с неговото изображение. И на теория се нарича така „най -простият многоъгълник“ с три страни и върхове, единият от които е

Разбиране на понятията

В геометрията тези видове фигури се отличават с три страни: остроъгълни, правоъгълни и тъпи триъгълници. Освен това свойствата на тези най -прости полигони са еднакви за всички. Така че за всички изброени видове ще се наблюдава такова неравенство. Сумата от дължините на всяка от двете страни непременно ще бъде по -голяма от дължината на третата страна.

Но за да сме сигурни, че говорим за пълна фигура, а не за набор от отделни върхове, е необходимо да проверим дали основното условие е изпълнено: сумата от ъглите на тъп триъгълник е 180 градуса. Същото важи и за други видове форми с три страни. Вярно е, че в тъп триъгълник един от ъглите ще бъде дори повече от 90 °, а останалите два непременно ще бъдат остри. В този случай това е най -големият ъгъл, който ще бъде срещу най -дългата страна. Вярно е, че това далеч не са всички свойства на тъп триъгълник. Но дори и да знаят само тези характеристики, учениците могат да решат много проблеми в геометрията.

За всеки многоъгълник с три върха е вярно също, че чрез разширяване на някоя от страните получаваме ъгъл, чийто размер ще бъде равен на сумата от две несъседни вътрешни върхове. Периметърът на тъп триъгълник се изчислява по същия начин, както за други форми. Той е равен на сумата от дължините на всичките му страни. За дефиницията математиците са извели различни формули, в зависимост от това какви данни първоначално присъстват.

Правилен тип

Едно от най -важните условия за решаване на геометрични проблеми е правилното рисуване. Често учителите по математика казват, че той ще помогне не само да визуализира това, което се дава и какво се изисква от вас, но и 80% по -близо до правилния отговор. Ето защо е важно да знаете как да изградите тъп триъгълник. Ако просто искате хипотетична форма, тогава можете да нарисувате всеки многоъгълник с три страни, така че един от ъглите да е по -голям от 90 градуса.

Ако са дадени определени стойности на дължините на страните или градусите на ъглите, тогава е необходимо да се начертае тъп триъгълник в съответствие с тях. В този случай е необходимо да се опитате да изобразите ъглите възможно най -точно, като ги изчислите с помощта на транспортир и да покажете страните пропорционално на условията, дадени в задачата.

Основни линии

Често не е достатъчно учениците да знаят само как трябва да изглеждат определени фигури. Те не могат да бъдат ограничени само до информация за това кой триъгълник е тъп и кой е правоъгълен. Курсът по математика предвижда, че познанията им за основните характеристики на фигурите трябва да бъдат по -пълни.

Така че всеки ученик трябва да разбере дефиницията на бисектрисата, медианата, перпендикуляра и височината. Освен това той трябва да знае основните им свойства.

И така, бисектрисите разделят ъгъла наполовина, а противоположната страна - на сегменти, които са пропорционални на съседните страни.

Медианата разделя всеки триъгълник на два равни по площ. В точката, в която се пресичат, всеки от тях е разделен на 2 сегмента в съотношение 2: 1, гледано от върха, от който е излязъл. В този случай голямата медиана винаги се привлича към най -малката си страна.

Не по -малко внимание се обръща на височината. Той е перпендикулярен на противоположната страна от ъгъла. Височината на тъп триъгълник има свои характеристики. Ако е нарисуван от остър връх, той не пада от страната на този най -прост многоъгълник, а от неговото продължение.

Средната точка е отсечка, която се простира от центъра на триъгълна страна. Освен това той е разположен под прав ъгъл спрямо него.

Работа с кръгове

В началото на изучаването на геометрията е достатъчно децата да разберат как да нарисуват тъп триъгълник, да се научат да го различават от другите видове и да запомнят основните му свойства. Но тези знания не са достатъчни за учениците от гимназията. Например, на изпита често има въпроси относно ограничени и вписани кръгове. Първият от тях докосва и трите върха на триъгълника, а вторият има една обща точка с всички страни.

Вече е много по -трудно да се изгради вписан или описан тъп триъгълник, защото за това първо трябва да разберете къде трябва да бъде центърът на окръжността и неговият радиус. Между другото, в този случай не само молив с линийка, но и компас ще се превърнат в необходим инструмент.

Същите трудности възникват при конструирането на вписани многоъгълници с три страни. Математиците са извлекли различни формули, които правят възможно определянето на тяхното местоположение възможно най -точно.

Вписани триъгълници

Както бе споменато по -рано, ако окръжност преминава през трите върха, тогава това се нарича описаната окръжност. Основното му свойство е, че е единственото. За да разберете как трябва да се намира описаната окръжност на тъпоъгълен триъгълник, трябва да се помни, че центърът му е в пресечната точка на три средни перпендикуляра, които отиват към страните на фигурата. Ако в остроъгълен многоъгълник с три върха тази точка ще бъде вътре в него, то в тъпоъгълен многоъгълник-извън него.

Знаейки например, че една от страните на тъп триъгълник е равна на неговия радиус, можете да намерите ъгъла, който лежи срещу познатото лице. Неговият синус ще бъде равен на резултата от разделянето на дължината на известната страна на 2R (където R е радиусът на окръжността). Тоест грехът на ъгъла ще бъде равен на ½. Това означава, че ъгълът ще бъде равен на 150 °.

Ако трябва да намерите радиуса на описаната окръжност на тъп триъгълник, тогава ще ви е необходима информация за дължината на страните му (c, v, b) и неговата площ S. В крайна сметка радиусът се изчислява, както следва: ( cxvxb): 4 x S. Между другото, няма значение каква фигура имате: универсален тъп триъгълник, равнобедрен, правоъгълен или остроъгълен. Във всяка ситуация, благодарение на горната формула, можете да разберете площта на даден многоъгълник с три страни.

Описани триъгълници

Също така, доста често се налага да работите с вписани кръгове. Според една от формулите радиусът на такава фигура, умножен по ½ от периметъра, ще бъде равен на площта на триъгълника. За да го разберете обаче, трябва да знаете страните на тъп триъгълник. Всъщност, за да се определи ½ от периметъра, е необходимо да се добавят техните дължини и да се раздели на 2.

За да се разбере къде трябва да се намира центърът на окръжност, вписана в тъп триъгълник, е необходимо да се начертаят три бисектриси. Това са линиите, които разполовяват ъглите. Именно на тяхното пресичане ще бъде разположен центърът на кръга. Освен това той ще бъде на еднакво разстояние от всяка страна.

Радиусът на такава окръжност, вписана в тъп триъгълник, е равен от частното (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Освен това p е полупериметърът на триъгълника, c, v, b са неговите страни.

Триъгълник - дефиниция и общи понятия

Триъгълникът е прост многоъгълник с три страни и същия брой ъгли. Неговите равнини са ограничени от 3 точки и 3 отсечки, свързващи тези точки по двойки.

Всички върхове на всеки триъгълник, независимо от вида му, са обозначени с главни латински букви, а страните му са изобразени със съответните обозначения на противоположни върхове, само не с главни букви, а с малки. Така например триъгълник с върхове, обозначени с буквите A, B и C има страни a, b, c.

Ако разгледаме триъгълник в евклидовото пространство, тогава това е такава геометрична фигура, която е образувана с помощта на три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една права линия.

Погледнете внимателно снимката по -горе. На него точки A, B и C са върховете на този триъгълник, а неговите сегменти се наричат ​​страни на триъгълника. Всеки връх на този многоъгълник образува своите ъгли вътре.

Видове триъгълници

Според размера, ъглите на триъгълниците те се разделят на такива разновидности като: Правоъгълни;
Остър ъгъл;
Тъп.

Правоъгълните триъгълници са тези, които имат един прав ъгъл, а другите два имат остри ъгли.

Острите триъгълници са тези, при които всички ъгли са остри.

И ако триъгълникът има един тъп ъгъл, а другите два ъгъла са остри, тогава такъв триъгълник принадлежи към тъпите ъгли.

Всеки от вас разбира отлично, че не всички триъгълници имат равни страни. И според това колко дълго имат страните му, триъгълниците могат да бъдат разделени на:

Равнобедрени;
Едностранно;
Универсален.

Задача: Начертайте различни видове триъгълници. Дайте им определение. Каква разлика виждате между тях?

Основни свойства на триъгълниците

Въпреки че тези прости полигони могат да се различават един от друг по величината на ъглите или страните, всеки триъгълник има основни свойства, характерни за тази фигура.

Във всеки триъгълник:

Общата сума на всички ъгли е 180º.
Ако той принадлежи към равностранен, тогава всеки негов ъгъл е 60º.
Равностранен триъгълник има еднакви и равномерни ъгли един към друг.
Колкото по -малка е страната на многоъгълника, толкова по -малък е ъгълът срещу него и обратно, срещу по -голямата страна е по -големият ъгъл.
Ако страните са равни, тогава срещу тях се намират равни ъгли и обратно.
Ако вземем триъгълник и удължим неговата страна, тогава завършваме с външен ъгъл. Тя е равна на сумата от вътрешните ъгли.
Във всеки триъгълник неговата страна, независимо коя ще изберете, все пак ще бъде по -малка от сумата на другите 2 страни, но повече от разликата им:

1.а< b + c, a >b - c;
2.б< a + c, b >а - в;
3.в< a + b, c >а - б.

Упражнение

Таблицата показва вече известните два ъгъла на триъгълника. Знаейки общата сума на всички ъгли, намерете на какво е равен третият ъгъл на триъгълника и въведете в таблицата:

1. Колко градуса има третият ъгъл?
2. Към какви триъгълници принадлежи?

Признаци за равенство на триъгълниците

Подписвам

Знак II

Знак III

Височина, симетрия и медиана на триъгълник

Височина на триъгълник - перпендикулярът, изтеглен от върха на фигурата до противоположната му страна, се нарича височина на триъгълника. Всички височини на триъгълника се пресичат в една точка. Пресечната точка на всичките 3 височини на триъгълника е неговият ортоцентър.

Отсечката, изтеглена от този връх и свързваща го в средата на противоположната страна, е медианата. Медианите, както и височините на триъгълника, имат една обща пресечна точка, така наречения център на тежестта на триъгълника или центроида.

Бисектрисата на триъгълник е сегмент, свързващ върха на ъгъл и точка от противоположната страна и също разделящ този ъгъл наполовина. Всички бисектриси на триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича център на окръжност, вписана в триъгълник.

Сегментът, който свързва средните точки на двете страни на триъгълника, се нарича средна линия.

Историческа справка

Фигура като триъгълник е известна от древни времена. Тази фигура и нейните свойства са споменати в египетските папируси преди четири хиляди години. Малко по -късно, благодарение на питагорейската теорема и формулата на Херон, изследването на свойствата на триъгълника се премести на по -високо ниво, но все пак това се случи преди повече от две хиляди години.

През XV-XVI век започват да се извършват много изследвания върху свойствата на триъгълник и в резултат възниква такава наука като планиметрия, която се нарича „Нова геометрия на триъгълник“.

Учен от Русия Н. И. Лобачевски направи огромен принос за познаването на свойствата на триъгълниците. По -късно творбите му намират приложение както в математиката, така и във физиката и кибернетиката.

Благодарение на познаването на свойствата на триъгълниците възниква такава наука като тригонометрията. Оказа се, че е необходимо за човек в неговите практически нужди, тъй като приложението му е просто необходимо при съставянето на карти, измерването на площи и при проектирането на различни механизми.

Кой е най -известният триъгълник, който познавате? Това разбира се е Бермудският триъгълник! Той получи това име през 50 -те години поради географското разположение на точките (върховете на триъгълника), в рамките на които според съществуващата теория възникват аномалии, свързани с него. Върховете на Бермудския триъгълник са Бермудските острови, Флорида и Пуерто Рико.

Задание: Какви теории сте чували за Бермудския триъгълник?

Знаете ли, че в теорията на Лобачевски, когато се добавят ъглите на триъгълник, тяхната сума винаги има резултат по -малък от 180º. В геометрията на Риман сумата от всички ъгли на триъгълник е по -голяма от 180 градуса, а в писанията на Евклид е равна на 180 градуса.

Домашна работа

Решете кръстословица по дадена тема

Въпроси за кръстословицата:

1. Какво е името на перпендикуляра, който е изтеглен от върха на триъгълника до правата линия, разположена на противоположната страна?
2. Как, с една дума, можете да наречете сумата от дължините на страните на триъгълник?
3. Какво е триъгълник, чиито две страни са равни?
4. Как се нарича триъгълник с ъгъл 90 °?
5. Как се казва голямата страна на триъгълника?
6. Име на страната на равнобедрен триъгълник?
7. Винаги има три от тях във всеки триъгълник.
8. Как се нарича триъгълник, в който един от ъглите надвишава 90 °?
9. Името на отсечката, свързваща върха на нашата форма със средата на противоположната страна?
10. В прост многоъгълник ABC главна буква A е ...?
11. Как се казва сегментът, разделящ ъгъла на триъгълника наполовина.

Въпроси за триъгълници:

1. Дайте определение.
2. Колко височини има?
3. Колко бисектриси има триъгълникът?
4. Каква е сумата от ъглите му?
5. Какви видове от този прост многоъгълник познавате?
6. Назовете точките на триъгълниците, които се наричат ​​прекрасни.
7. Какво устройство може да се използва за измерване на ъгъла?
8. Ако стрелките на часовника показват 21 часа. Какъв е ъгълът на часовите стрелки?
9. Под какъв ъгъл се обръща човекът, ако му бъде дадена команда „наляво“, „наоколо“?
10. Какви други определения знаете, които са свързани с фигура с три ъгъла и три страни?

Предмети> Математика> Математика 7 клас