функции. Тази трансформация е важна, защото може да се използва за решаване на много практически проблеми. Редовете на Фурие се използват не само от математици, но и от специалисти в други науки.

Разширяването на функциите в ред на Фурие е математическа техника, която може да се наблюдава в природата, ако използвате устройство, което усеща синусоидални функции.

Този процес се случва, когато човек чуе звук. Човешкото ухо е проектирано по такъв начин, че може да усеща отделни синусоидални трептения на въздушното налягане с различни честоти, което от своя страна позволява на човек да разпознава речта и да слуша музика.

Човешкото ухо възприема звука не изцяло, а чрез съставящия го ред на Фурие. Струните на музикален инструмент произвеждат звуци, които са синусоидални вибрации с различни честоти. Реалността на разширяването на светлината по Фурие е представена от дъга. Човешкото зрение възприема светлината чрез някои от нейните компоненти с различни честоти на електромагнитни трептения.

Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите с определена честота. Тази трансформация се използва за решаване на уравнения, описващи динамични процеси, които възникват под действието на енергия. Редовете на Фурие решават проблема с разделянето на постоянни компоненти в сложни осцилаторни сигнали, което дава възможност за правилно интерпретиране на получените данни от експерименти, наблюдения в медицината, химията и астрономията.

Откритието на тази трансформация принадлежи на френския математик Жан Батист Жозеф Фурие. В чест, която по-късно е наречена от редица Фурие. Първоначално ученият намери приложение на своя метод в изследването и обяснението на механизмите на топлопроводимост. Предполага се, че първоначалното неправилно разпределение на топлината може да бъде представено под формата на най-простите синусоиди. За всеки от които ще бъдат определени температурният минимум, максимум и фаза. Функцията, описваща горния и долния пик на кривата, фазата на всеки хармоник, се нарича преобразуване на Фурие на израза за разпределение на температурата. Авторът на трансформацията предложи начин за разширяване на сложна функция като сума от периодични функции на косинус, синус.

Целта на курсовата работа е да се изучат редовете на Фурие и релевантността на практическото приложение на тази трансформация.

За постигане на тази цел бяха формулирани следните задачи:

1) дайте концепцията за тригонометричен ред на Фурие;

2) определяне на условията за разширяване на функцията в ред на Фурие;

3) да разгледаме разширението в редицата на Фурие на четни и нечетни функции;

4) да разгледаме разширението в ред на Фурие на непериодична функция;

5) да разкрие практическото приложение на редовете на Фурие.

Обект на изследване: разширяване на функциите в ред на Фурие.

Предмет на изследване: ред на Фурие.

Методи на изследване: анализ, синтез, сравнение, аксиоматичен метод.

1.5. Ред на Фурие за четни и нечетни функции

Помислете за симетричния интеграл

където е непрекъснато или частично непрекъснато на. Нека направим промяна в първия интеграл. Ние вярваме. Тогава

Следователно, ако е четна функция, тогава (т.е. графиката на четната функция е симетрична спрямо оста и

Ако е нечетна функция, тогава (т.е. графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото) и

Тези. симетричният интеграл на четна функция е равен на удвоения интеграл за полуинтегралния интервал, а симетричният интеграл на нечетна функция е равен на нула.

Обърнете внимание на следните две свойства на четните и нечетните функции:

1) произведението на четна функция на нечетна е нечетна функция;

2) произведението на две четни (нечетни) функции е четна функция.

Нека е четна функция, дефинирана и разширяваща се върху този сегмент в тригонометричен ред на Фурие. Използвайки резултатите, получени по-горе, получаваме, че коефициентите на тази серия ще имат формата:

Ако е нечетна функция, дефинирана на сегмент и разширяваща този сегмент в тригонометричен ред на Фурие, тогава коефициентите на тази серия ще имат формата:

Следователно тригонометричният ред на Фурие на сегмента ще има формата

за четна функция:

(16)

за нечетна функция:

Редът (16) не съдържа синуси с множество ъгли, тоест редът на Фурие на четна функция включва само четни функции и свободен член. Редът (17) не съдържа косинуси на множество ъгли, тоест редът на Фурие на нечетна функция включва само нечетни функции.

Определение. Редиците
са части от пълния ред на Фурие и се наричат ​​непълнитригонометричен ред на Фурие.

Ако функция се разшири в непълен тригонометричен ред (16) (или (17)), тогава те казват, че тяразложен на тригонометричен ред на Фурие в косинуси (или синуси).

1.6. Разлагане в ред на Фурие на непериодична функция

1.6.1. Разширяване на функциите в ред на Фурие

Нека функцията е дефинирана на интервал и удовлетворява условията на теоремата на Дирихле за този интервал. Нека променим променливата. Нека, където избираме така, че резултантната функция на аргумента да е дефинирана на. Следователно предполагаме, че

Получената функция може да бъде разширена в серия на Фурие:

където

Ще направим обратна подмяна⇒ Получаваме

където

(19)

Ред (18) - Ред на Фурие в основната тригонометрична система от функции

По този начин открихме, че ако дадена функция е дадена на интервал и удовлетворява условията на теоремата на Дирихле за този интервал, тогава тя може да бъде разширена в тригонометричен ред на Фурие (18) по отношение на тригонометричната система от функции (20) .

Тригонометричният ред на Фурие за четна функция, дефинирана върху, ще има формата

където

за странна функция

където

Коментирайте! В някои задачи се изисква функция в тригонометричен ред на Фурие да се разшири по отношение на системата от функции (20) не върху отсечка, а върху отсечка. В този случай просто трябва да промените границите на интегриране във формули (19) ((15), ако, тоест, в този случай

(23)

или ако

(24)

Сборът от тригонометричен ред на Фурие е периодична функция с период, който е периодично продължение на дадена функция. За периодична функция равенството (4) е вярно.

1.6.2. Разширяване на функциите в ред на Фурие

Нека функцията е дефинирана и удовлетворява условията на теоремата на Дирихле за този сегмент. Тази функция може също да бъде разширена в серия на Фурие. За да направите това, функцията трябва да бъде предефинирана от интервал и получената функция трябва да бъде разширена в серия на Фурие на интервала. В този случай получената серия трябва да се разглежда само на сегмента, на който е посочена функцията. За удобство на изчисленията, нека разширим дефиницията на функцията по четен и нечетен начин.

1) Разширяваме функцията до интервала по четен начин, тоест конструираме нова четна функция, която съвпада на интервала с функцията. Следователно графиката на тази функция е симетрична спрямо оста и съвпада с графиката на отсечката. С помощта на формули (21) намираме коефициентите на реда на Фурие за функцията и записваме самия ред на Фурие. Сумата от редовете на Фурие за е периодична функция с период. Той ще съвпада с включената функция във всички точки на непрекъснатост.

2) Разширете функцията до интервала по нечетен начин, тоест построете нова нечетна функция, която съвпада с функцията. Графиката на такава функция е симетрична спрямо началото и съвпада с графиката на отсечката. С помощта на формули (22) намираме коефициентите на реда на Фурие за функцията и записваме самия ред на Фурие. Сумата от редовете на Фурие за е периодична функция с период. Той ще съвпада с включената функция във всички точки на непрекъснатост.

Забележки!

1) По подобен начин можем да разширим в ред на Фурие функция, дефинирана на сегмента

2) Тъй като разширяването на функция върху сегмент предполага нейното продължение към сегмент по произволен начин, тогава редът на Фурие за функцията също няма да бъде уникален.

1.6.3. Разширяване на функциите в ред на Фурие

Нека функцията е дефинирана на произволна отсечка с дължина и да удовлетворява условията на теоремата на Дирихле върху нея.

След това тази функция може да бъде разширена в серия на Фурие. За да направите това, функцията трябва да бъде продължена периодично (с точка) на цялата числова права и получената функция трябва да се разшири в ред на Фурие, който трябва да се разглежда само на отсечка. По силата на свойството (3) на периодичните функции имаме

Следователно коефициентите на Фурие за полученото продължение на функцията могат да се намерят по формулите

(25)

2. Практическо приложение на редовете на Фурие

2.1. Проблеми с разширението в редовете на Фурие и тяхното решение

В тригонометричен ред на Фурие се изисква разширяване на функция, която е периодично продължение на функция, дадена на интервал. За това е необходимо да се използва алгоритъма за разширяване на периодичната функция в ред на Фурие.

Алгоритъм за разширяване на периодична функция в ред на Фурие:

1) Изграждане на графика на дадена функция и нейното периодично продължение;

2) Задаване на периода на дадената функция;

3) Определете функцията на четна, нечетна или обща форма;

4) Проверете изпълнението на условията на теоремата на Дирихле;

5) Направете официален запис на сериите на Фурие, генерирани от тази функция;

6) Изчислете коефициентите на Фурие;

7) Запишете редицата на Фурие за дадена функция, като използвате коефициентите на реда на Фурие (раздел 4).

Пример 1. Разширете функцията в серия на Фурие на интервала.

Решение:

1) Да построим графика на дадена функция и нейното периодично продължение.

2) Период на разлагане на функцията.

3) Функцията е странна.

4) Функцията е непрекъсната и монотонна включена, т.е. функцията удовлетворява условията на Дирихле.

5) Нека изчислим коефициентите на реда на Фурие.

6) Записваме реда на Фурие, като заместваме коефициентите на Фурие във формулата

Отговор:

Пример 2. Разширяваме функцията с произволен период в ред на Фурие.

Решение: функцията се дефинира на полуинтервал (-3; 3). Период на разширение на функцията, полупериод. Разширете функцията в ред на Фурие

В началото функцията е прекъсната, следователно всеки коефициент на Фурие ще бъде представен като сума от два интеграла.

Записваме реда на Фурие, като заменим във формулата намерените коефициенти от реда на Фурие.

Пример 3. Функция за разширяванемеждув ред на Фурие в косинуси. Начертайте сбора на поредицата.

Решение: ще продължим функцията към интервала по четен начин, тоест ще построим нова четна функция, която съвпада с функцията на интервала. Намерете коефициентите на реда на Фурие за функцията и запишете реда на Фурие. Сумата от редовете на Фурие за е периодична функция с период. Той ще съвпада с включената функция във всички точки на непрекъснатост.

Тригонометричният ред на Фурие за функцията ще има формата

Намерете коефициентите на реда на Фурие

По този начин, когато се намерят коефициентите, може да се запише редът на Фурие

Нека начертаем сбора на поредицата

Пример 4. Получавате функция, дефинирана върху сегмент. Разберете дали функцията може да бъде разширена в серия на Фурие. Напишете разширението на функцията в ред на Фурие.

Решение:

1) построете графика на функцията върху.

2) функцията е непрекъсната и монотонна, тоест по теоремата на Дирихле тя може да бъде разширена в тригонометричен ред на Фурие.

3) изчисляване на коефициентите на Фурие по формули (1.19).

4) записваме редицата на Фурие, използвайки намерените коефициенти.

2.2. Примери за прилагане на редовете на Фурие в различни области на човешката дейност

Математиката е една от науките, която има широко приложение в практиката. Всеки производствен и технологичен процес се основава на математически закони. Използването на различни инструменти на математическия апарат дава възможност да се проектират устройства и автоматизирани възли, способни да извършват операции, сложни изчисления и изчисления при проектирането на сгради и конструкции.

Редовете на Фурие се използват от математиците в геометрията зарешаване на задачи по сферична геометрия; в математическа физика прирешаване на проблеми с малки вибрации на еластични среди. Но освен математиката, редовете на Фурие са намерили своето приложение и в други области на науката.

Хората използват различни устройства всеки ден. И често тези устройства не работят правилно. Например, звукът е трудно да се види поради висок шум или изображението на факса не е ясно. Човек може да определи причината за неизправността по звук. Компютърът може също да диагностицира повреда на устройството. Прекомерният шум може да бъде премахнат с помощта на компютърна обработка на сигнала. Сигналът се представя като поредица от цифрови стойности, които след това се въвеждат в компютър. След извършване на определени изчисления се получават коефициентите на реда на Фурие.

Промяната на спектъра на сигнала ви позволява да изчистите записа от шум, да компенсирате изкривяванията на сигнала с различни записващи устройства, да промените тембъра на инструментите и да фокусирате вниманието на слушателите върху отделни части.

При цифровата обработка на изображения използването на сериите на Фурие позволява следните ефекти: замъгляване, подобряване на ръбовете, възстановяване на изображението, художествени ефекти (щамповане)

Разширяването на редовете на Фурие се използва в архитектурата за изследване на осцилаторните процеси. Например, при създаване на проект за различни видове конструкции се изчисляват здравината, твърдостта и стабилността на конструктивните елементи.

В медицината за провеждане на медицински преглед с помощта на кардиограми се използва ултразвукова машина, математически апарат, който се основава на теорията на сериите на Фурие.

Обемни изчислителни проблеми за оценка на статистическите характеристики на сигналите, филтриращия шум възникват по време на регистрацията и обработката на данните на непрекъснатото морско дъно. При задаване на измервания и регистрирането им са обещаващи холографски методи, използващи серия на Фурие. Тоест, редовете на Фурие се използват и в такава наука като океанологията.

Елементи на математиката се намират в производството на почти всяка стъпка, така че е важно специалистите да знаят и блестящо да се ориентират в областта на приложение на определени инструменти за анализ и изчисление.

Заключение

Темата на курсовата работа е посветена на изучаването на редовете на Фурие. Една произволна функция може да бъде разширена в по-прости, тоест може да се разшири в ред на Фурие. Обемът на курсовата работа не позволява да се разкрият подробно всички аспекти на декомпозицията на функция в серия. Въпреки това, от поставените задачи стана възможно да се разкрие основната теория на редовете на Фурие.

В курсовата работа се разкрива концепцията за тригонометричен ред на Фурие. Определят се условията за разширяване на функцията в ред на Фурие. Разглеждат се разширения в редовете на Фурие на четни и нечетни функции; непериодични функции.

Във втората глава са дадени само някои примери за разширяване на функции, дефинирани на различни интервали в ред на Фурие. Описани са областите на науката, в които се използва тази трансформация.

Съществува и сложна форма на представяне на редицата на Фурие, която не беше възможно да се разгледа, тъй като обемът на курсовата работа не позволява. Сложната форма на поредицата е алгебрично проста. Поради това често се използва във физиката и приложните изчисления.

Значението на темата на курсовата работа се дължи на факта, че тя се използва широко не само в математиката, но и в други науки: физика, механика, медицина, химия и много други.

Библиография

1. Бари, Н.К. Тригонометрична серия. [текст] / Н.К. Бари. - Москва, 1961г... - 936 г.

2. Бермант, А.Ф. Кратък курс по математически анализ: учебник за университети[текст]/ A.F. Бермант, И.Г. Аманович. - 11-то изд., Изтрито. - SPb .: Издателство "Лан", 2005. - 736 с.

3. Бугров, Я. С. Висша математика: Учебник за университети: В 3 тома.[текст]/ Я.С.Бугров, С.М.Николски; Изд. В. А. Садовничи. - 6-то изд., Стереотип. - М .: Дропла, 2004.-512 с.

4. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математически анализ: ръководство за университети, пед. университети: 2 часа.[текст]/ И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничи; изд. V.A. Садовничи. - 3-то изд., преп. - М .: Дропла, 2001 .-- 712 с.

5. Гусак, А.А. Висша математика. В 2 т. Т. 2. Учебник за студенти.[текст]/ А. А. Гусак.- 5-то изд. - Минск: TetraSystems, 2004.

6. Данко, П.Е. Висша математика в упражнения и задачи: учебник за ВУЗ: 2 часа.[текст]/ P.E. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003 .-- 306 с.

7. Лукин, А. Въведение в цифровата обработка на сигнали (математически основи) [текст] / А. Лукин. - М., 2007 .-- 54 с.

8. Пискунов, Н. С. Диференциално и интегрално смятане за технически колежи, т.2: Учебник за технически колежи.[текст]/ Н. С. Пискунов. - 13-то издание - Москва: Наука, 1985 .-- 432 с.

9. Рудин, У. Основи на математическия анализ.[текст]/ У. Рудин. - 2-ро изд., Пер. от английски .- М .: Мир, 1976 .- 206 с.

10. Фихтенголц, Г. М. Основи на математическия анализ. Част 2.[текст]/ Г. М. Фихтенголц. -6-то изд., Изтрито. - SPb .: Издателство "Лан", 2005. - 464 с.

Оренбург, 2015 г

Препис

1 Московски физико-технически държавен университет) O.V. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧНА СЕрия НА ФУРИЕ Учебно помагало Москва, 004

2 Съставител О. В. Бесов УДК 517. Тригонометричен ред на Фурие. Учебно помагало за студенти от 1-та година). МФТИ. М., стр. В съответствие с програмата на Катедрата по висша математика на Московския физико-технически институт, първоначалната информация за теорията на тригонометричните редове на Фурие, теореми за сходимост и равномерно сближаване на редовете на Фурие, теореми на Вайерщрас за апроксимацията на непрекъснати функции са представени. Фокусът е върху въпросите за равномерната конвергенция на редовете на Фурие. За разлика от много курсове по математически анализ, равномерната сходимост на редицата на Фурие на непрекъсната и късо-гладка функция се доказва с неподлежаща на подобрение оценка за скоростта на сближаване на реда на Фурие. Установява се и зависимостта на скоростта на сближаване на редицата на Фурие на функция от нейната гладкост заедно с точни оценки. c Московски физико-технически институт, 004 c O.V. Besov, 004

3 Съдържание 3 1. Дефиниция на редовете на Фурие и принципа на локализация Сходимост на редовете на Фурие Равномерна сходимост на редовете на Фурие Приближаване на непрекъснати функции чрез полиноми Диференциране по член на тригонометрични редове. Скоростта на сближаване до нула на коефициентите и остатъка от редицата на Фурие Заключителна забележка

4 Тригонометричен ред на Фурие 1. Определение на ред на Фурие и дефиниция на принципа на локализация 1.1. Ред от вида a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) се нарича тригонометричен ред. Множеството от функции 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x, ... се нарича тригонометрична система. Тригонометричната система е ортогонална система в смисъл, че в допълнение, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, km, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, km, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Лема 1.1. Нека sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Определяне на редовете на Фурие и принципа на локализация. 5 и тази серия се сближава равномерно върху R. Тогава a 0 = 1 π ak = 1 π bk = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Доказателство a t e l s t in about. Функцията f е непрекъсната на [, π] като сума от равномерно сходяща серия от непрекъснати функции. Умножаваме член на равенство 1.1) по cos nx или sin nx n N). Получената серия също ще се сближи равномерно и тяхното интегриране по член, използвайки свойството за ортогоналност на системните функции, дава fx) cos nx dx = fx) sin nx dx = an cos nx dx = πa n, bn sin nx dx = πb n, от което получаваме втората и третата формули от 1.). Първата от формулите 1.) се получава чрез почленно интегриране на серия 1.1). Забележете, че членовете на тригонометричния ред са π-периодични функции, дефинирани върху реалната ос. Следователно, сборът от тригонометричния ред, ако този ред се сближи) също е π-периодична функция. Определение 1 .. Нека f е π-периодична функция, абсолютно интегрируема на интервала [, π]. Тригонометричен ред с коефициентите a k, b k, определени по формули 1.) се нарича тригонометричен) ред на Фурие на функцията f, а коефициентите a k, b k са коефициентите на редицата на Фурие на функцията f.

6 6 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие В този случай запишете fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) разбирайки с такава нотация, че функцията f е свързана с нейния ред на Фурие. Лема 1.1 може да бъде преформулирана по следния начин: равномерно сходящия тригонометричен ред е редът на Фурие от неговата сума. Упражнение 1.1. Покажете, че тригонометричният ред sin kx k 1 + ε, ε> 0, е ред на Фурие. Забележете, че ако π-периодична функция f е абсолютно интегрируема на някакъв сегмент с дължина π, тогава тя ще бъде абсолютно интегрируема на всеки изместен сегмент и b + π a + π fx) dx = fx) dx. b Това свойство, което е очевидно от геометрична гледна точка, може лесно да се докаже аналитично. По-специално, коефициентите на Фурие на π-периодична функция f могат да бъдат изчислени чрез замяна във формули 1.) интегралът през интервала [, π] с интеграл за всеки интервал. От друга страна, всяка функция, приписана на абсолютно интегрируема функция, може, ако е необходимо, да промени стойността си в точка a π или в точка a + π, или в двете точки), за да продължи към π-периодична функция, дефинирана на цялата ос. В този случай промяна в стойността му в една или две точки няма да промени коефициентите на Фурие на неговото πпериодично продължение 1.), а оттам и на ред на Фурие 1.3). Следователно, сближаването и други свойства на редовете на Фурие могат да бъдат изследвани, като се приеме, че функцията f е дадена само на интервал с дължина π, например на [, π]. а

7 1. Определяне на ред на Фурие и принцип на локализация. 7 Ще изучаваме преди всичко въпросите за сближаването на редицата на Фурие в дадена точка, върху отсечка, равномерната конвергенция по цялата числова ос и т.н. Най-голям интерес представлява случаят, когато редът на Фурие на функцията f се сближава в един или друг смисъл към функцията f. В този случай се казва, че функцията f е разширена в ред на Фурие. Теорема на Риман 1.1 за трептения). Нека функцията f е абсолютно интегрируема на краен или безкраен интервал a, b). Тогава lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. ДОКАЗАТЕЛСТВО. Без да губим общността, ще приемем, че a, b) =, +) ако това не е така, тогава функцията f може да бъде разширена с нула на, +) \ a, b)). Известно е, че всяка абсолютно интегрируема на,) функция е непрекъсната по отношение на изместването на средната стойност, т.е. + fx + h) fx) dx 0 за h) Това свойство може да се докаже чрез апроксимиране на f средно чрез непрекъсната функция на компактна опора. Замествайки променливата x с x + π λ, получаваме: Iλ) + По силата на 1.4) Iλ) 1 fx) cos λx dx = + f = x + π) λ f [fx + π) cos λx dx = λ x + π) ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). За интеграла + fx) sin λx dx доказателството е подобно.

8 8 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие Следствие 1. Коефициентите на Фурие 1.) функции, абсолютно интегрируеми в интервала [, π], клонят към нула като k. Нека π-периодична функция f е абсолютно интегрируема върху [, π]. Частична сума от редовете на Фурие S n x; е) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx се нарича сбор от редицата на Фурие от порядък n N 0 на функцията f. Нека го приведем в компактна форма, удобна за по-нататъшни изследвания. Наричаме ядрото на Дирихле функцията D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Последното равенство, дясната страна се разбира при x = = mπ, m Z, като границата на частното при x mπ) се установява по следния начин. За x mπ D nx) = 1 sin x = 1 sin x) sin xn + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x ядро ​​на Дирихле 1.5 ) очевидно е π-периодична, четна, непрекъсната функция, max D nx) = D n 0) = n + 1, π D nx) dx = 1 D nx) dx =) π 0 π.

9 1. Определяне на редовете на Фурие и принципа на локализация. 9 Преобразувайте сумата на Фурие S n x; f), замествайки техните изрази 1.) вместо коефициентите на Фурие. Получаваме S n x; е) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft) cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x) ft) dt. 1.7) Променяйки променливата t с t + x в последния интеграл (наречен интеграл на Дирихле) и измествайки интервала на интегриране, получаваме S n x; f) = 1 π D n t) fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt) fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) За произволно δ, 0< δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ >0; следователно, самата дроб е абсолютно интегрируема като функция на t. Следователно вторият интеграл клони към нула като n според теоремата за трептене на Риман. Така стигаме до следното твърдение.

10 10 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие Теорема 1. принцип на локализация). Нека π-периодична функция f е абсолютно интегрируема на интервала [, π], x 0 R, 0< δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

единадесет . Сходимост на реда на Фурие. 11 точка f по-специално, ако f е непрекъснат в точката x 0), тогава редът на Фурие в точка x 0 се сближава до fx 0). Доказателство. Нека x 0 е почти редовна точка на функцията f. От формула 1.8) с помощта на 1.6) получаваме S n x; е) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D nt) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D nt) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t] t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Фракцията t sin t, удължена с единица при t = 0, е непрекъсната върху функцията. Дробът fx 0 + t) fx 0 + 0) t е абсолютно интегрируема върху функцията, тъй като такъв е нейният числител и при t 0 + 0 има краен предел. Същото важи и за втората фракция в квадратни скоби. Следователно факторът при sin n + 1)) t в подинтегралната функция на последния интеграл е абсолютно интегрируема функция. По теоремата за трептене на Риман последният интеграл клони към нула като n, т.е. S n x 0; е) fx 0 0) fx 0 + 0) за n. Забележка д. 1. Изискването за съществуване на f + + x 0), f x 0) в хипотезата на теоремата може да се види от

12 1 О. В. Бесов. Тригонометричният ред на доказателство на Фурие) се заменя с по-слабото изискване неравенствата да са в сила fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),. 1) за някои α 0, 1], δ> 0, M> 0. Условия 1) се наричат ​​едностранни) Условия на Хьолдер от степен α, а за α = 1 също са едностранни) Липшиц условия. Следствие 1. Нека π-периодична функция f е абсолютно интегрируема на интервала [, π] и съществува f x 0). Тогава редът на Фурие на функцията f се сближава в точката x 0 до fx 0). ЗАБЕЛЕЖКА .. Непрекъснатостта на R на π-периодична функция не е достатъчно условие за сближаването на нейния ред на Фурие в дадена точка x 0. Има примери за π-периодични непрекъснати функции на R, чиито редове на Фурие се разминават във всяка рационална точка ... Теорема 1, забележка 1 и следствието дават достатъчни условия за сходимост на редовете на Фурие в дадена точка. Съществуват и доста по-общи достатъчни условия за такова сближаване. Забележка д. 3. Нека функцията f е дадена и абсолютно интегрируема на интервал с дължина π, например на [, π]. За да изясним сходимостта на нейния ред на Фурие в краищата на сегмента, можем да приложим теорема 1, като разширим функцията f, променяйки, ако е необходимо, нейните стойности в единия или двата края) до π-периодична функция. След такова разширение точката x = ще бъде почти редовна, ако и само ако f +), f π). В този случай редът на Фурие на функцията f f + 0) + fπ 0) се сближава в точката x 0 = k. По подобен начин се решава и въпросът за сходимостта на реда на Фурие в точката x 0 = π. Пример 1. Намерете редицата на Фурие на функцията fx) = π x, x.

13 3. Равномерна сходимост на редовете на Фурие. 13 Нека f: R R е π-периодична функция, fx) = fx) за 0< x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие Теорема 3.1. Нека f е π-периодична непрекъсната и частично непрекъснато диференцируема функция. Тогава редът на Фурие на функцията f се сближава до f равномерно върху R и sup S n x; f) fx) C ln n за n, x R n, където C е независимо от n. Доказателство. Нека M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. Използвайки теоремата за крайния инкремент на Лагранж, получаваме това за 0< t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Оттук 3. Равномерна сходимост на реда на Фурие. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Поставяйки δ = δ n = n 1, получаваме, че за n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n, където C е независимо от n. Последното неравенство предполага твърдението на теоремата. Подчертаваме, че теорема 3.1 не само установява равномерната сходимост на редовете на Фурие, но също така дава оценка за скоростта, с която остатъкът от този ред клони към нула. Равномерната сходимост на редицата на Фурие на периодична функция може да се установи и при по-общи условия, отколкото в теорема 3.1, например за функции, удовлетворяващи условието на Хьолдер. Определение. За функцията f: R се казва, че удовлетворява условието на Хьолдер от степен α, 0< α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α >0: fx) fy) M α x y α x, y. Забележете, че функциите, удовлетворяващи условието на Хьолдер, са непрекъснати и класът на функциите, удовлетворяващи условието на Хьолдер от степен α, се стеснява с увеличаване на α. Ако функция f е непрекъсната и непрекъснато диференцируема на части, тогава тя удовлетворява условието на Липшиц. Следващата теорема обобщава теорема 3.1. Теорема 3. Нека π-периодична функция f удовлетворява на R условието на Хьолдер от степен α, 0< α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие, където C α не зависи от n. Доказателство. Нека използваме формулата: 1) под формата на S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Поставяме fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n> π λ. Точно както при доказателството на теоремата за трептене на Риман, получаваме S n x; е) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ ... dt + 1 δ) + ... dt = I δ, n x) + J δ, n x). 3.1) δ δ Припомнете си, че π t< sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t >δ, тогава hxt + π) fhxt) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17, така че 3. Равномерна сходимост на реда на Фурие. 17) α hxt + π) M πλ α π sin λ π hxt) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ, nx) δ CM α λ α dt t CM α λ α ln1 δ. C M α t λ α, Поставяйки δ = n 8 и събирайки оценки, стигаме до твърдението на теоремата. Частта от теорема 3.1, която се отнася само до факта на равномерна конвергенция, допуска следното обобщение. Теорема 3.3. Нека π-периодична функция f е абсолютно интегрируема върху [, π]. Да предположим, че на някакъв интервал a, b) f е непрекъснато и f е непрекъснато на парчета. Тогава редът на Фурие на функцията f се сближава равномерно към f на всеки сегмент a, b). Доказателство. Нека n 8 δ< δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε >0. Тогава съществува достатъчно малко δ = δε)> 0 такова, че sup I δ, n< ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие Тогава от 3.1) и получените оценки следва, че sup S n x; f) fx) 0 за n x и теоремата е установена. Забележете, че теорема 3.3 разширява формулирания по-рано принцип на локализация, показвайки, че за да се потвърди равномерната сходимост на редицата на Фурие на интервал, е достатъчно да се знае поведението на тази функция само в околността a ε, b + ε) на тази интервал за произволно малък ε> 0. От теорема 3.3 следва например, че редът sin kx k на всеки интервал [ε, π ε], ε> 0, равномерно се сближава към функцията fx) = π x. Теорема 3.3 може да бъде обобщена чрез замяна на условието за късова непрекъсната диференцируемост с условието на Хьолдер от степен α> 0 от. 4. Апроксимация на непрекъснати функции чрез полиноми. Определение 4.1. Функция от вида A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn> 0) тригоном се нарича тригонометричен полином (тричен полином) от степен n. теорема на Вайерщрас 4.1). Нека f е π-периодична непрекъсната функция. Тогава за всяко ε>< ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε >0. Нека τ = (x j) J j = 0, x j = + j π J, дял на отсечката [, π]. Изграждаме полилиния, вписана в графиката на функцията f), свързваща се чрез сегменти

19 4. Апроксимация на непрекъснати функции чрез полиноми. 19 последователно точки x j, fx j)) графика f. Нека Λ J: R R означава π-периодична непрекъсната функция, чиято графика съвпада на [, π] с построената накъсана линия. Очевидно Λ J е частично линейна функция върху [, π] и следователно е частично непрекъснато диференцируема, т.е. Λ J е частично непрекъснато). Непрекъсната функция f е равномерно непрекъсната. Следователно fx) fx)< ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε >0 съществува тригонометричен полином T такъв, че max fx) T x)< ε. x π

20 0 О. В. Бесов. Тригонометрична серия на Фурие Упражнение 4.1. Покажете, че последната теорема престава да е вярна, ако условието f) = fπ) отпадне. Забележете, че в теорема 4.1 като тригонометричен полином T не може най-общо казано) да се вземе S n x; е) частичната сума от редицата на Фурие на функцията f), тъй като редът на Фурие на непрекъсната функция не трябва да се сближава равномерно, дори не трябва да се сближава точково) към функцията f. Въпреки това, като T можем да вземем σ n x; е) сумата на Фейер от функцията f) за достатъчно голямо n, където σ n x; е) = S 0x; е) + S 1 x; е) + + S n x; е) n + 1 средноаритметичното на сумите на Фурие, както следва от теоремата на Фейер: Теорема 4. Фейер). Нека f е π-периодична непрекъсната функция. Тогава σ n x; е) fx) за n. R Няма да представяме доказателството на тази теорема. Фактът на сближаване на последователността на сумите на Фейер в теоремата на Фейер също се изразява по следния начин: Редът на Фурие на π-периодична непрекъсната функция f се сумира към fx) по метода на средноаритметичните. Методът за сумиране на редица чрез средноаритметичните стойности на последователността на нейните частични суми) дава възможност на някои отклоняващи се редове да дефинират понятието за тяхната сума като граница на последователността на тези средни аритметични стойности. За сближаващ се ред тази концепция съвпада с концепцията за сумата от ред. Пример 4.1. Дивергентният ред се сумира по метода на средните аритметични до числото 1. Използвайки теорема 4.1 на Вайерщрас), също така се доказва, че функция, непрекъсната на интервал, може да бъде апроксимирана с всякаква точност с подходящ алгебричен полином P.

21 4. Апроксимация на непрекъснати функции чрез полиноми. 1 Теорема 4.3 на Вайерщрас). Нека функцията f е непрекъсната на интервал. Тогава за всяко ε> 0 съществува алгебричен полином P такъв, че max fx) P x)< ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε >0 има тригонометричен полином T такъв, че max f t) T t) max f t) T t)< ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие Всяка непрекъсната функция на интервал е равномерна граница на някаква последователност от алгебрични полиноми. 5. Срок диференциране на тригонометрични редове. Скоростта на сближаване към нула на коефициентите и остатъка от редовете на Фурие Теорема 5.1. Нека π-периодична функция f е непрекъсната и непрекъснато диференцируема на парчета и нека fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx нейното разширение в ред на Фурие. Тогава f x) ka k sin kx + kb k cos kx, т.е. редът на Фурие на производната се получава от реда на Фурие на функцията чрез диференциране член по член. Доказателство. Нека f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. След това, интегрирайки по части, получаваме α k = 1 π β k = 1 π α 0 = 1 π fx) cos kx dx = fx) dx = 1 = 0, π = 1 π fx) cos kx π fx) sin kx dx = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Почленно диференциране на редовете на Фурие. 3 Лема 5.1. Нека π-периодична функция f има непрекъснати производни до порядък m 1 включително и частично непрекъсната производна от порядък m N. Тогава коефициентите на Фурие на функцията f удовлетворяват оценките) 1 a k + b k = o k m за k. 5.1) ДОКАЗАТЕЛСТВО. Нека m 1 и f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Прилагайки теоремата 5.1 m пъти, получаваме, че α k + β k = kmak + bk), k N 0. Тъй като α k, β k 0 k), по лемата за изчезването на коефициентите на Фурие от последното равенство ние получи 5.1). Лема 5.1 показва, че коефициентите на Фурие на функция f клонят към нула, колкото по-бързо, толкова по-добри са диференциалните свойства на функцията f. Твърдението на лема 5.1 може да бъде донякъде подсилено, като се използват неравенствата на Бесел за частично непрекъснати πпериодични функции: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Това неравенство ще бъде установено по-долу. Прилагайки 5.) към производната f m), получаваме, че при условията на лема 5.1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx<. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие с ред на Фурие на π-периодична непрекъсната и на части непрекъснато диференцируема функция f, т.е. ред Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) където a k, b k са коефициентите на Фурие на функцията f. Конюгатното ядро ​​на Дирихле се нарича D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Последното равенство се установява по същия начин като 1.5). същото като 1.8) се установява, че частичната сума n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx серия 5.3) може да се представи като S n x; f) = където 0. Значи D nt) dt = = 1 hxt) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) hxt) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tan t dt. Лема 5. Нека π-периодична функция f е непрекъсната и частично непрекъснато диференцируема, a k, b k нейните коефициенти на Фурие. Тогава за някои C> 0 и n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) x R n + 1

25 5. Почленно диференциране на редовете на Фурие. 5 ДОКАЗАТЕЛСТВО. Поставете M 1 max R f. Използвайки теоремата за крайния инкремент на Лагранж, получаваме fx + t) fx t) M 1 t, 0< t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие ДОКАЗАТЕЛСТВО. Случаят m = 1 съвпада с теорема 3.1. Нека ϕ f m 1) и α k, β k са коефициентите на Фурие на функцията ϕ. По теорема 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Нека a k, b k са коефициентите на Фурие на функцията f. Първо нека m 1 е четно. Тогава, по силата на теорема 5.1, приложена m 1 пъти, за x R имаме r n x; е) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Прилагаме трансформацията на Абел към последния ред, като вземем предвид сближаването на редицата α k cos kx + β k sin kx и оценката, установена в случая m = 1 на тази теорема) sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. Получаваме r n x; е) = x R j = n + 1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n и 5.5) в този случай се установява. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Почленно диференциране на редовете на Фурие. 7 Сега нека m 1 е нечетно. Тогава r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Редът α k sin kx β k cos kx се сближава по лема 5 .. Прилагайки трансформацията на Абел и оценката 5.5), получаваме, че r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j = n + 1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m и теоремата е доказана. Теорема 5. показва, че колкото повече производни има функция f, толкова по-бързо се сближава нейният ред на Фурие. Забележка Лема 5.1 и теорема 5. могат да бъдат преформулирани за функция f, дефинирана само на отсечката [, π] чрез добавяне на условия в краищата на отсечката, които гарантират изпълнението на условията за неговото π-периодично продължение на условията на лема 5.1 и теорема 5 .. А именно, за функцията f: [, π] R следва да приеме, че са изпълнени следните допълнителни условия за едностранни производни: fj)) = fj) π) за j = 0, 1, ..., m 1. При съответното преформулиране теорема 3.1 и теорема 5.1 за функцията f: [, π] R, равенството f) = fπ) трябва да се счита за изпълнено. Заедно с теорема 5. установяваме друга теорема 5., макар и по-малко силна, но също така показваща връзка между диференциала

28 8 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие с ференциалните свойства на π-периодична функция и скоростта на сближаване на нейния ред на Фурие. Доказателството на теорема 5., за разлика от теорема 5., се основава не на анализа на сходимостта на редовете, спрегнати на редовете на Фурие, а на неравенството на Бесел 5.), което ще бъде установено по-рано. Читателят може по свое усмотрение да се ограничи до изучаването на една от тези две теореми. Лема 5.3. Нека f е π-периодична и частично непрекъсната функция, a k, b k нейните коефициенти на Фурие. Тогава неравенството на Бесел 5.) Доказателство. Първо, нека f е π-периодична непрекъсната и частично непрекъснато диференцируема функция. По теорема 5., тя може да бъде разширена в равномерно сходящи ред на Фурие: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Умножаваме равенство 5.6) член по член по fx) и интегрираме получения ред също равномерно сходящи) член по член. Получаваме по силата на формули 1.) за коефициентите на Фурие равенството a 0 + ak + bk) = 1 π fx) dx, 5.7), което следва.) Равенството на Парсевал 5.7) и неравенството на Бесел 5.) по-късно ще бъде разширено до функции f със значително по-общи свойства. Нека сега функцията f удовлетворява условията на лемата и Λ J: R R е π-периодична непрекъсната функция, частично линейна върху [, π], построена в доказателството на теорема на Вайерщрас 4.1, графиката Λ J е вписана в

29 5. Почленно диференциране на редовете на Фурие. 9 графика f е прекъсната линия). Означаваме с a k f), b k f) коефициентите на Фурие на функцията f. 5.) следва неравенството a 0 Λ J) n + ak Λ J) + bk Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Нека n N е фиксирано и J. Тогава, както е лесно да се види, ak Λ J) akf), bk Λ J) bkf), Λ Jx) dx fx) dx. Преминавайки до предела в неравенство 5.5), получаваме, че a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Преминавайки до предела като n в последното неравенство, стигаме до твърдението на лемата. Теорема 5 .. Да предположим, че за m N π-периодична функция f има непрекъснати производни до порядък m 1 включително и частично непрекъсната производна f m). Тогава редът на Фурие на функцията f се сближава към нея равномерно върху R и) 1 max fx) S nx; е) = o за n. 5.9) x R n m 1 ДОКАЗАТЕЛСТВО. Равномерната сходимост към функция f от нейния ред на Фурие е установена в теорема 3.1. Нека оценим остатъка от неговия ред на Фурие. r n x; е) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 О. В. Бесов. Тригонометричен ред на Фурие, където α k, β k са коефициентите на Фурие на функцията f m), а последното неравенство се получава чрез m-кратно приложение на теорема 5.1. Поради неравенството на Коши - Шварц N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Преминаването към предела в последното неравенство за N показва, че то остава валидно, ако заместим N в него. Използвайки го, получаваме, че r n x; f) αk + β k) 1 km = = ε n 1, 5.10) km и ε n 0 n) поради сближаването на редицата αk + + βk), което следва от неравенството на Бесел за функцията fm) виж лема 5.3). Забележете, че 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1) n m 1. k 1 Оттук и от 5.10) следва 5.9). Последна забележка Този урок не разглежда въпросите за почленно интегриране на редовете на Фурие, редовете на Фурие от l-периодичните функции и сложната форма на редовете на Фурие. Стандартно представяне на тези въпроси може да се намери в много учебници. Не засегнахме и въпросите за сходимостта на редовете на Фурие в смисъла на средния квадрат, в който n

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенови редове и редове на Тейлър ... Степенови редове ... Реди на Тейлър .... 4. Разширяване на някои елементарни функции в редове на Тейлър и Маклорен ... 5 4. Приложение на степенни редове ... 7 . състояние

Тема на модула Функционални последователности и серии Свойства на равномерната конвергенция на последователности и редове Силови серии Лекция Дефиниции на функционални последователности и редове Равномерно

ТЕОРИЯ НА СЕРИИТЕ Теорията на сериите е най-важният компонент на математическия анализ и намира както теоретични, така и множество практически приложения. Разграничаване на числови и функционални редове.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ ЗА ИЗЧИСЛВАНЕ НА ЗАДАЧИ ЗА КУРСА ПО ВИСША МАТЕМАТИКА "ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ РЕДА ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ" ЧАСТ III ТЕМА СЕРИА Съдържание Серия Номерна серия Сходимост и дивергенция

СЕРИЯ. Цифрови серии. Основни дефиниции Нека е дадена безкрайна последователност от числа Изразът (безкрайна сума) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = се нарича числова серия. Числа

БЕЛАРУСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛТЕТ ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА Катедра Висша математика Учебник за студенти от Факултета по приложна математика и информатика

Лекция 4. Хармоничен анализ. Ред на Фурие Периодични функции. Хармоничен анализ В науката и технологиите често се налага да се справяме с периодични явления, тоест такива, които се повтарят през

Серия Числови серии Общи понятия Def. Ако на всяко естествено число е присвоено определено число според определен закон, тогава наборът от номерирани числа се нарича числова последователност,

Функционална серия Функционална серия, нейната сума и област на функционалност o Нека последователност от функции k (k 1

Федерална агенция по образование Архангелски държавен технически университет Факултет по строителство SERIES Методически указания за изпълнение на задачи за самостоятелна работа Архангелск

За формулите за сумиране и интерполация A V Ustinov UDC 51117 1 Въведение Известно е, че числата на Бернули B n и полиномите на Бернули B n x) възникват в различни въпроси на теорията на числата и приблизителния анализ

Математически анализ Част 3. Числови и функционални редове. Множество интеграли. Теория на полето. учебно ръководство N.D. Vysk MATI-RGTU im. К.Е. Циолковски Катедра "Висша математика" МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ

В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функционални поредици и серии. Равномерна конвергенция, възможност за пермутация на гранични преходи, интегриране и диференциране на редове и последователности.

Е урок. Редиците на Тейлър. Сумиране на степенните редове Мат. анализ, ап. Матем., 3-ти семестър Намерете разширенията на степенния ред в степени, изчислете радиуса на сближаване на степенния ред: A f ()

6 Ред на Фурие 6 Ортогонални системи от функции Редове на Фурие в ортогонална система от функции Функции ϕ () и ψ (), дефинирани и интегрируеми на интервал [,], се наричат ​​ортогонални на този интервал, ако

35 7 Тригонометричен ред на Фурие Ред на Фурие за периодични функции с период T. Нека f (x) е частично непрекъсната периодична функция с период T. Помислете за основната тригонометрична система

Министерство на образованието и науката на Руската федерация В. А. Волков СЕРИЯ INTEGRAL FOURIER Учебно електронно текстово издание За студенти от специалности 4865 Електроника и автоматизация на физически инсталации;

ЛЕКЦИЯ N37. Поредица от аналитични функции. Разширяване на аналитична функция в степенен ред. Серията Тейлър. Ред на Лоран ... Разширяване на аналитична функция в степенен ред ... Ред на Тейлър ... 3. Разширяване на аналитична

МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Физически факултет Ломоносов, Катедра Математика V.F. Бутузов ЦИФРИ СЕРИИ ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛИ И СЕРИИ Учебно ръководство Москва 05 Предговор

~ ~ Серия номер серия и нейната сума. Определение: Числовата поредица е сумата от членовете на безкрайна числена поредица. Определение: Общ термин на серия е такъв термин, за който

8-ми урок. Равномерна конвергенция на функционални редове. Тест на Weierstrass Мат. анализ, ап. Матем., 3-ти семестър. Изследвайте следната серия за равномерна конвергенция, като използвате дефиницията: D 767

Тема 6. Граници на последователности и функции, техните свойства и приложения Математически анализ Поредица Кратки бележки от лекциите Съставител: В. А. Чуриков к.ф.н. наук, доцент в катедра Висша математика

"Серии" Тестове за самопроверка Необходим критерий за сходимост на серия Теорема необходим критерий за сходимост Ако редът се сближава, тогава lim + Следствието е достатъчно условие за разминаването на редицата Ако lim тогава редът се разминава

Числени методи Тема 2 Интерполация В И Великодни 2011 2012 учебна година 1 Концепцията за интерполация Интерполацията е начин за приблизително или точно намиране на стойност от известни индивидуални стойности

Руският университет за приятелство на народите В. В. Марченко, М. В. Сорокина Числова серия Учебно помагало Москва 205 Резюме Урокът запознава студентите с основните понятия, методи за доказване

ЛЕКЦИЯ 3A Видове конвергенция. Интеграл на Лебег. Пространства на Лебег 1. Видове сближаване на функционални последователности В Лекция 3 беше отбелязано, че съществуват следните видове сближаване на функционални последователности:

Последователност. Определение. Ако на всяко естествено число (N) е присвоено число () според някакъв закон, тогава това дефинира числова последователност, ... (или просто последователност).

Глава 28 ОБЩИ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D на основни и обобщени функции Понятието за обобщена функция обобщава класическото понятие за функция и прави възможно изразяването в математическа форма на такива

Ред на Фурие Ортогонални системи от функции От гледна точка на алгебрата, равенството където са функции от даден клас и са коефициенти от R или C просто означава, че векторът е линейна комбинация от вектори B

Основи на теорията на специалните функции Необходимостта от изучаване на специалните функции на математическата физика е свързана с две основни обстоятелства. Първо, при разработването на математически модел на физ

Лекции 89 Глава 5 Непрекъснатост на функция 5 Непрекъснатост на функция в точка Понятието за непрекъснатост на функция е едно от основните понятия на висшата математика.Очевидно графиката на непрекъсната функция е

Ред на Лоран По-общ тип степенен ред е редът, съдържащ както положителни, така и отрицателни степени на z z 0. Подобно на редовете на Тейлър, те играят важна роля в теорията на аналитичните функции.

ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯТА НА ФУНКЦИИТЕ НА СЛОЖНА ПРОМЕНА ОПЕРАЦИОННО ИЗЧИСЛЕНИЕ В резултат на изучаването на тази тема студентът трябва да научи: да намери тригонометричните и експоненциални форми на комплексно число

Непрекъсваемост на функциите Непрекъсваемост на функция в точка Едностранни граници Определение Число A се нарича граница на функцията f (x) отляво, тъй като x клони към a, ако за някое число съществува такова число

Глава ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ВАРИАЦИЯ Лекция 9 Въведение В тази глава ще разгледаме проблема за намиране на екстремумите (максимуми или минимуми) на функционалите.

~ ~ FKP Производна на функцията на комплексна променлива FKP на Коши - Риман обуславя концепцията за редовност на FKP Изображение и форма на комплексно число Форма на FKP: където реалната функция на две променливи е реална

Раздел 2 Теория на границите Тема Числови последователности Определяне на числова последователност 2 Ограничени и неограничени последователности 3 Монотонни последователности 4 Безкрайно малки и

Глава 4. Интеграл 1. Неопределен интеграл 1 0. Антипроизводен и неопределен интеграл Определение Функцията F (x) се нарича антипроизводна за функцията f (x) на интервала X, ако x X: F "(x) = f ( x). Пример

Министерство на образованието на Руската федерация Ярославски държавен университет на името на П. Г. Демидов Катедра по дискретен анализ Математически анализ Методически указания Ярославл Съставител М. В. Ануфриенко

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна автономна образователна институция за висше професионално образование "ЮЖЕН ФЕДЕРАЛЕН УНИВЕРСИТЕТ" Т. И. Коршикова,

Федерална агенция за образование Държавна образователна институция за висше професионално образование Държавен технически университет Ухта (Указания за ограничения на USTU

РЕДА НА ФУРИЕ M I VISHIK Представянето на всяка периодична функция като сума от съответстващите тригоометрични редове, kow като нейния експазио на серия на Фурие, се обсъжда. Уравнението на Парсевал е предварително зададено: интеграл на квадрат

Дата на последната актуализация: 16 март 2008 г. Списък на дефинициите: 1.1 Неприпокриващи се сегменти ................................ ... 2 1.2 Система от неприпокриващи се сегменти ..............................

НЕДЕФИНИРАН ИНТЕГРАЛ. Антипроизводна и неопределен интеграл Основната задача на диференциалното смятане е да намери производната (или диференциала) на дадена функция. Интегрално смятане

Лекция 5 Интеграл от тип Коши 5.1 Интеграл от тип Коши Нека C е ориентирана на парчета гладка крива, f е непрекъсната функция, дефинирана на кривата. За всяка точка z C \ функцията t f (t) z е непрекъсната в променливата

клас. Степен с произволен реален показател, неговите свойства. Степенна функция, нейните свойства, графики .. Припомнете си свойствата на степен с рационален показател. a a a a a за естествено време

Far Eastern Mathematical Journal. 214. Том 14. 2. P. 231 241 UDC 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Illarionov, L. V. Illarionova 1 Аналитични решения на екстремални задачи за уравнението на Лаплас

Променливи и константни стойности В резултат на измерване на физически величини (време, площ, обем, маса, скорост и др.) се определят техните числени стойности. Математиката се занимава с количества, разсейване

ЛЕКЦИЯ N38. Поведението на аналитичната функция в безкрайност. Специални точки. Остатъци от функция ... квартал на безкрайно далечна точка ... декомпозиция на Лоран в квартал на безкрайно далечна точка .... 3. Поведение

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА 7 ОБОБЩЕНИ ФУНКЦИИ I. Ч О Н О Н И Т И Т Е О Р Е М С Означаваме с D множеството от всички безкрайно диференцируеми крайни функции на реална променлива. Това

ПРОИЗВОДНА ФУНКЦИЯ ЧРЕЗ УВЕЛИЧАВАНЕ НА ФУНКЦИЯ Проф. д-р Авит АСАНОВ Киргизско-турски университет "Манас"

009 M. S. Semchenok, E. N. Begun, V. A. Vlasyeva, V. G. Galkina Математика Бележки от лекциите Част трета Бележки от лекцията, проведена от A. Diment SPbGUKiT, FAVT, gr. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛЕНИ РЕДИИ 0 .. КОНЦЕПЦИЯ ЗА СБИРАНЕ НА ЧИСЛЕНИ

ФОНД ОТ ОЦЕНЯВАЩИ СРЕДСТВА ЗА МЕЖДИННО АТЕСТВАНЕ НА СТУДЕНТИТЕ ПО ДИСЦИПЛИНАТА (МОДУЛ). Обща информация 1. Катедра Информатика, компютърна техника и информационна сигурност 2. Направление

Дата на последно актуализиране: 29 март 2008 г. Списък на дефинициите: 1.1 Неприпокриващи се сегменти ................................ ... 2 1.2 Система от неприпокриващи се сегменти ..............................

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Държавно учебно заведение за висше професионално образование "УФА ДЪРЖАВЕН НЕФТЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" (USPTU) Катедра по математика

Лекция 6 Поредица от аналитични функции 6.1 Функционални последователности Нека D C и f n: D C. Поредица от функции (f n) се сближава точково до функция f: D C, ако за всяка

Глава. ОТНОШЕНИЯ ЗА РЕД И АСИМПТОТИЧНО ПОВЕДЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТАРНИ ФУНКЦИИ .. Сравнение на поведението на функциите. O-символизъм В тази уводна глава ще обсъдим сравнителното поведение на функциите, както и асимптотичните

Определение на радиуса на конвергенция. Степенен ред е функционален ред от вида c 0 + c (ta) + c 2 (ta) 2 + + c (ta) + = c (ta), () където c 0, c, c 2, .. ., c, ... C се наричат ​​коефициенти на мощността

Интегрируемост на функция (по Риман) и определен интеграл Основни понятия и теореми 1. Интегрални суми и определен интеграл. Нека функцията f (x) е дефинирана на интервала (където a< b). Произвольное

Редовете на Фурие и тяхното приложение в комуникационното инженерство

Име на параметъра	смисъл
Тема на статията:	Редовете на Фурие и тяхното приложение в комуникационното инженерство
Категория (тематична категория)	Образование

Разлагане на непрекъснат сигнал в ортогонални серии

Лекция 6. Непрекъснат канал

Критерии за качество на реставрацията.

Има следните критерии:

1) Критерий за най-голямо отклонение

където: допустима грешка при възстановяване, - максимална стойност - грешка в текущата апроксимация.

В същото време има увереност, че всякакви промени в оригиналния сигнал, включително краткосрочни пренапрежения, ще бъдат записани.

2) Критерий RMS. където: - допълнителна грешка в SC апроксимацията, - грешка в SC апроксимацията.

3) Интегрален критерий

Определя се максималната средна стойност за периода на вземане на проби.

4) Критерий на вероятността

Допустимото ниво е зададено, стойността на P е вероятността текущата грешка на апроксимацията да не зависи от някаква определена стойност.

Целта на лекцията: запознаване с непрекъснатия канал

а) разлагане на непрекъснат сигнал в ортогонални серии;

б) редовете на Фурие и тяхното приложение в комуникационните технологии;

в) теорема на Котельников (основна теорема на Шанън);

г) пропускателна способност на непрекъснат канал;

д) NCS модел.

В теорията на комуникацията, за представяне на сигнали, широко се използват два специални случая на разширяване на функциите в ортогонални серии: разширение в тригонометрични функции и разширение във функции от формата грях x / x.В първия случай получаваме спектрално представяне на сигнала под формата на обикновен ред на Фурие, а във втория случай, времево представяне под формата на V.A. Котельников.

От практическа гледна точка най-простата форма на изразяване на сигнала е линейна комбинация от някои елементарни функции

В общия случай сигналът е сложно трептене, в това отношение е изключително важно да се представи сложна функция s (t),дефиниране на сигнала чрез прости функции.

При изучаване на линейни системи такова представяне на сигнала е много удобно. Позволява решението на много проблеми да бъде разделено на части, прилагайки принципа на суперпозицията. Например, за да се определи сигнала на изхода на линейна система, се изчислява отговорът на системата на всяко елементарно действие ψ k (t) и след това резултатите, умножени по съответните коефициенти ak, се изчисляват лесно и не зависят от броя на сроковете в сбора. Посочените изисквания се удовлетворяват най-пълно от набора от ортогонални функции.

Функции ψ 1 (t), ψ 2 (t),. ... ... ... , ψ n (t). (6.2)

Посочените на интервала се наричат ​​ортогонални,

ако при. (6.3)

Спектрален анализ на сигналите се основава на представяне на времеви функции под формата на серия или интеграл на Фурие. Всеки периодичен сигнал s (t), удовлетворяващ условието на Дирихле, трябва да бъде представен като серия в тригонометрични функции

Стойността a 0, която изразява средната стойност на сигнала за периода, обикновено се нарича постоянен компонент. Изчислява се по формулата

Сложната форма на писане на редовете на Фурие е много удобна

Величината А кима комплексна амплитуда, намира се по формулата

Отношенията (6.8) и (6.9) представляват двойка дискретни преобразувания на Фурие. Трябва да се отбележи, че редът на Фурие може да представлява не само периодичен сигнал, но и всеки сигнал с крайна продължителност. В последния случай сигналът S (т) се приема, че периодично продължава по цялата времева ос. В този случай равенството (6.4) или (6.8) представлява сигнала само в интервала на неговата продължителност (- Т/2, Т/2). Случаен сигнал (или смущения), зададен на интервала (- Т/2, Т/2), също трябва да бъде представена от редицата на Фурие

където а ки б k са случайни величини (за флуктуационен шум - независима произволна с нормално разпределение).

Редове на Фурие и тяхното приложение в комуникационните технологии - понятие и видове. Класификация и особености на категорията "Редовете на Фурие и тяхното приложение в комуникационното инженерство" 2017, 2018.

На които вече им е писнало от поръчката. И усещам, че е настъпил моментът, когато е време да се извлекат нови консерви от стратегическите резерви на теорията. Има ли някакъв друг начин за разширяване на функцията в серия? Например, изразете сегмент от права линия по отношение на синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции са подходящи
„Обединение“. В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще засегнем въпроса за неговата конвергенция и сума и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функциите в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Серия на Фурие за манекени“, но това би било хитро, тъй като решаването на проблеми изисква познаване на други клонове на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучението на астронавти =)

Първо, изучаването на материалите на страницата трябва да се подхожда в отлична форма. Спи, отпочинало и трезво. Без силни емоции за счупена лапа на хамстер и натрапчиви мисли за трудностите на живота на аквариумните рибки. Серията на Фурие не е трудна от гледна точка на разбирането, но практическите задачи просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай човек трябва напълно да изостави външните стимули. Ситуацията се влошава от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговор. По този начин, ако се чувствате под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Истина.

Второ, преди да полетите в космоса, е необходимо да разгледате арматурното табло на космическия кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху автомата:

За всяка естествена стойност:

едно). Всъщност синусоидата "зашива" абсцисата през всяко "пи":
... В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият:.

2). Но не всички знаеха това. Косинусът "pi en" е еквивалент на "мигач":

Отрицателният аргумент не се променя: .

Може би това е достатъчно.

И трето, уважаван отряд космонавти, трябва да можете да ... интегрирайте.
По-специално, уверено приведете функция под диференциалния знак, интегрирайте парче по парчеи бъдете в добри отношения с по формулата на Нютон-Лайбниц... Нека започнем с някои важни упражнения преди полета. Категорично не препоръчвам да го пропускате, за да не се сплеска по-късно при нулева гравитация:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни стойности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата "x" и на този етап дискретната променлива "en" се счита за постоянна. Във всички интеграли привеждаме функцията под диференциалния знак:

Кратка версия на решението, която би било добре да се насочи, изглежда така:

Свиквам с:

Останалите четири елемента са ваши собствени. Опитайте се да бъдете съвестни по отношение на задачата и начертайте интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След изпълнение на КАЧЕСТВЕНИТЕ упражнения обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Разширяване на функция в ред на Фурие на интервал

Помислете за някаква функция, която дефиниранпоне в интервала (и евентуално в по-голям интервал). Ако тази функция е интегрируема на сегмент, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрична Ред на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се извиква период на разлаганеи числото е разлагане на полуразпад.

Очевидно в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Всъщност ще го опишем подробно:

Обичайно е да се записва нулевият член на поредицата във формата.

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Напълно разбирам, че новите термини все още са слабо разбрани за начинаещи да изучават темата: период на разлагане, полупериод, Коефициенти на Фуриеи т.н. Без паника, това не е сравнимо с вълнението преди излизане в космоса. Ще разберем всичко в следващия пример, преди да изпълним който е логично да зададем належащи практически въпроси:

Какво трябва да се направи в следните задачи?

Разширете функцията в серия на Фурие. Освен това често се изисква да се изобрази графика на функция, графика на сбора от поредица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии - да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислите три определен интеграл.

Моля, пренапишете общия изглед на серията на Фурие и трите работни формули в бележника си. Много се радвам, че някои от посетителите на сайта имат детска мечта да стана космонавт, която се сбъдва точно пред очите ми =)

Пример 2

Разширете функцията в серия на Фурие на интервала. Изградете графика, графика на сумата на редовете и частичната сума.

Решение: Първата част от задачата е да се разшири функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете това:

В този проблем периодът на разлагане е полупериод.

Разширяваме функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки съответните формули, намираме Коефициенти на Фурие... Сега трябва да съставите и изчислите три определен интеграл... За улеснение ще номерирам артикулите:

1) Първият интеграл е най-простият, но той вече изисква око и око:

2) Използваме втората формула:

Този интеграл е добре известен и взема се на части:

Когато бъде намерен, използван метод за привеждане на функция под диференциалния знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формулата за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде затворен в големи скоби, тъй като има константа пред оригиналния интеграл. Ние не го губим! Скобите могат да се отварят на всяка следваща стъпка, направих това последно. В първото "парче" ние сме изключително внимателни при заместването, както виждате, константата не работи, а границите на интегриране са заместени в продукта. Това действие е подчертано в квадратни скоби. Е, интегралът на второто "парче" от формулата ви е познат от тренировъчната задача ;-)

И най-важното е максималната концентрация на вниманието!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предишния интеграл, който също е интегрира на парче:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Изразът е изцяло затворен в големи скоби.... Не исках да звуча като скука, твърде често губят константа.

(2) В този случай веднага отворих тези големи скоби. Специално вниманиение посвещаваме на първото "парче": постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. Поради претрупания запис, отново е препоръчително да отбележите това действие с квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук дробът се появи след разширяването на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл ;-)

(3) Извършваме трансформации в квадратни скоби и заместване на границите на интегриране в десния интеграл.

(4) Изваждаме "мигащата светлина" от квадратните скоби:, след което отваряме вътрешните скоби:.

(5) Намалете 1 и –1 в скоби, направете окончателни опростявания.

Накрая са намерени и трите коефициента на Фурие:

Нека ги заменим във формулата :

В същото време не забравяйте да разделите наполовина. На последната стъпка константата ("минус две"), която не зависи от "en", се премества извън сумата.

Така получихме разширението на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на редовете на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенголц, но в него е по-трудно).

Във втората част на задачата трябва да покажете графика, графика за поредица и графика за частична сума.

Графиката на функциите е обикновена права, който е начертан с черна пунктирана линия:

Занимаваме се със сбора на поредицата. Както знаете, сериите от функции се сближават с функции. В нашия случай, конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"се доближава до функцията, показана в червено. Тази функция толерира прекъсвания от 1-ви видв точки, но и дефинирани в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: ... Лесно е да се види какво е забележимо различно от оригиналната функция, поради което в нотацията използва се тилда, а не знак за равенство.

Нека проучим алгоритъма, по който е удобно да се построи сумата от редицата.

На централния интервал редът на Фурие се сближава до самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека спекулираме малко за естеството на разглежданото тригонометрично разлагане. В серия на Фурие само периодични функции (константа, синуси и косинуси) са включени, следователно сумата от редовете също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата на серията –със сигурност периодичнои червеният сегмент на интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че сега най-накрая стана ясно значението на израза „период на разпад“. Казано по-просто, всяка ситуация се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, а също и "пънове" от съседни периоди - за да стане ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви вид... В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на "скока" на прекъсването (червени точки на чертежа). Откъде знаете ординатата на тези точки? Първо намираме ординатата на "горния етаж": за това изчисляваме стойността на функцията в крайната дясна точка на централния период на разширение:. За да изчислите ординатата на "долния етаж", най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност на същия период: ... Ординатата на средната е средноаритметичната на сумата "отгоре и отдолу":. Хубавото е, че при изграждането на чертеж веднага ще видите дали средата е правилно или неправилно изчислена.

Нека построим частичен сбор от редицата и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен и от урока за сумата от числови редове... Нека опишем нашето богатство подробно:

За да съставите частична сума, е необходимо да запишете нула + още два члена от поредицата. Това е,

На чертежа функционалната графика е показана в зелено и, както можете да видите, тя обвива цялата сума доста плътно. Ако разгледаме частичния сбор от пет члена от серията, тогава графиката на тази функция ще приближи червените линии още по-точно, ако има сто члена, тогава "зелената змия" всъщност напълно ще се слее с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се доближава до своя сбор.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, обаче, общият сбор на серията все още е прекъснат.

На практика не е необичайно да се начертае и частична сума. Как да го направя? В нашия случай е необходимо да разгледаме функция на сегмент, да изчислим нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки разглеждате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и точно да изобразите графиката върху периода и след това да я "репликирате" на съседни интервали. Как иначе? Все пак приближението също е периодична функция ... ... графиката му някак ми напомня за равномерен пулс на дисплея на медицинско устройство.

Разбира се, не е много удобно да се извършва конструкцията, тъй като трябва да сте супер точни, поддържайки точност от не по-малко от половин милиметър. Все пак ще зарадвам читателите, които не са в тон с рисуването - при "реална" задача рисуването не винаги е необходимо, някъде в 50% от случаите се изисква разширяване на функцията в серия на Фурие и това е всичко.

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор:

При много задачи функцията страда прекъсване от 1-ви видточно в периода на разлагане:

Пример 3

Разширете в серия на Фурие функцията, посочена в сегмента. Начертайте графика на функцията и общата сума на серията.

Предложената функция е дадена на части (при това, имайте предвид, само в сегмента)и издържа прекъсване от 1-ви видв точката. Могат ли да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. И лявата, и дясната част на функцията са интегрируеми на своите интервали, следователно интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сума от два интеграла. Нека видим например как се прави това с нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Другите два коефициента на Фурие се записват по същия начин.

Как да представим сбора от серия? На левия интервал начертаваме сегмент от права линия, а на интервала - сегмент от права линия (изберете секцията на оста с удебелен и удебелен шрифт). Тоест на интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три "лоши" точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие се сближава до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: ляво ограничение:, дясно ограничение: и очевидно ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде "умножена" по съседни периоди, по-специално, за да се изобрази същото на интервалите и. В този случай в точките редът на Фурие се доближава до средните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се сами да се справите с тази задача. Приблизителна извадка от довършителния дизайн и чертеж в края на урока.

Разширяване на функция в ред на Фурие върху произволен период

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се различават по малко сложен аргумент на синус и косинус:

Ако, тогава получаваме формулите за пропуски, с които започнахме.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разширете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с прекъсване от 1-ви видв точката. В този проблем периодът на разлагане е полупериод. Функцията се дефинира само на полуинтервал, но това не променя въпроса - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сума от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно се вглеждаме в повърхността на Луната:

Втори интеграл вземете на части:

На какво трябва да обърнете специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме диференциален знак... Второ, не забравяйте злощастната константа пред големите скоби и не се бъркайте в знацитекогато използвате формулата ... Големите скоби обаче е по-удобно да ги отворите веднага на следващата стъпка.

Останалото е въпрос на технология, трудности могат да бъдат причинени само от недостатъчен опит в решаването на интеграли.

Да, не напразно видните колеги на френския математик Фурие се възмутиха - как се осмели да разложи функциите на тригонометрични редове ?! =) Между другото, сигурно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически модел на топлопроводимост, а по-късно серията, наречена на негово име, започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които очевидно са невидими в околния свят. Сега, между другото, се хванах да си мисля, че неслучайно сравних графиката на втория пример с периодичен пулс. Желаещите могат да се запознаят с практическото приложение Преобразуване на Фуриев източници на трети страни. ... Въпреки че е по-добре не - ще бъде запомнено като Първата любов =)

3) Като се вземат предвид многократно споменаваните слаби връзки, ние се занимаваме с третия коефициент:

Интегрираме парче по парче:

Заместете намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека начертаем сбора на поредицата. Нека повторим накратко процедурата: построете права линия върху интервал и права линия върху интервал. Ако стойността на x е нула, поставяме точка в средата на празнината „скок“ и „възпроизвеждане“ на диаграмата за съседни периоди:


В „пресичанията“ на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на „скока“ на пропастта.

Готов. Нека ви напомня, че самата функция по хипотеза е дефинирана само на полуинтервал и очевидно съвпада със сумата от серия на интервалите

Отговор:

Понякога дадена функция на парчета също е непрекъсната през периода на разширяване. Най-простият пример: ... Решение (вижте 2-ри том на Бохан)е същото като в двата предишни примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точка всеки коефициент на Фурие се изразява като сума от два интеграла.

В интервала на разлагане точки на прекъсване от 1-ви види/или точките на „свързване“ на графиката могат да бъдат повече (две, три и като цяло всякакви финалътномер). Ако функцията е интегрируема за всяка част, тогава тя също може да бъде разширена в ред на Фурие. Но от практически опит не помня толкова трудно нещо. Въпреки това има по-трудни задачи от току-що разгледаната и в края на статията за всички има връзки към серия на Фурие с повишена сложност.

Междувременно нека се отпуснем, облегнати се на столове и съзерцавайки безкрайните звездни простори:

Пример 5

Разширете функцията в серия на Фурие върху интервала и начертайте сумата на серията.

В този проблем функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разлагане, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример №2. Няма бягство от космическия кораб - трябва да решите =) Примерен дизайн в края на урока, графикът е приложен.

Разширяване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблем е забележимо опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функцията в ред на Фурие за периода "два пи" и произволна точка "два ейла" .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият термин на поредицата, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разширим EVEN функция, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси ?! Нека нулираме ненужния коефициент:.

По този начин, четна функция може да бъде разширена в ред на Фурие само в косинуси:

Дотолкова доколкото интеграли от четни функциивърху сегмент от интегриране, симетричен спрямо нула, може да се удвои, тогава останалите коефициенти на Фурие също се опростяват.

За празнината:

За произволен интервал:

Примерите от учебници, които могат да бъдат намерени в почти всеки учебник по смятане, включват разлагане на четни функции ... Освен това те многократно са се срещали в моята лична практика:

Пример 6

Дадена е функция. Задължително:

1) разширяване на функцията в ред на Фурие с период, където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, изградете функция и графика на общата сума на редицата.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблемът в общ вид и е много удобно! Ще се появи нуждата - просто заменете стойността си.

1) В този проблем периодът на разширяване е полупериод. В хода на по-нататъшни действия, по-специално по време на интеграция, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че може да бъде разширена в ред на Фурие само в косинуси: .

Търсим коефициентите на Фурие по формулите ... Обърнете внимание на безусловните им ползи. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само "X" от две парчета. И, второ, интеграцията е забележимо опростена.

две:

Интегрираме парче по парче:

По този начин:
, в този случай от сумата се изважда константата, която не зависи от "en".

Отговор:

2) Записваме разширението на интервала, за това заместваме необходимата стойност на полупериода в общата формула:

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала е както следва. Има ADC, който с честота на дискретизация Fd преобразува непрекъснат сигнал, пристигащ на входа му за време T, в цифрови извадки - N броя. Освен това масивът от проби се подава в определена програма, която извежда N / 2 от някои числови стойности (програмист, който изтеглено от интернетнаписа програма, твърди, че извършва трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, нека формираме масив от проби като сбор от две синусоиди sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) и го вкараме в програмата . Програмата нарисува следното:

Фиг. 1 Графиката на времевата функция на сигнала

Фиг. 2 Графика на спектъра на сигнала

Спектърната графика има два стика (хармоника) от 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz - с амплитуда 1 V, всичко е както във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако приложим реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, тогава ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, с продължителност 5 сек, дигитализиран АЦП, тоест представен отделенброи, има дискретни непериодичниобхват.

От математическа гледна точка колко грешки има в тази фраза?Сега властите решиха, че 5 секунди е много, нека измерим сигнала за 0,5 секунди.
Фиг. 3 Графика на функцията sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) при период на измерване от 0,5 сек.

Фиг. 4 Спектър на функциите

Изглежда нещо не е наред! Хармоника от 10 Hz се рисува нормално, а вместо 5 Hz стик се появиха някакви неразбираеми хармоници. Гледаме в интернет какво и как...

Те казват, че в края на пробата трябва да се добавят нули и спектърът ще се изчертае нормално.

Фиг. 5 Довършихме нули до 5 сек

Фиг. 6 Спектърът е получен

Все още не това, което беше на 5 секунди. Ще трябва да се справим с теорията. Отидете на Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне чрез ред на Фурие

Математически нашият сигнал с продължителност от T секунди е функция f (x), дефинирана на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синусоиди или косинуси) от вида:

(1), където:

k е номерът на тригонометричната функция (номер на хармоничния компонент, номер на хармоника) T е сегментът, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала) Ak е амплитудата на k-тия хармоничен компонент, θk е началната фаза на k-тия хармоничен компонент

Какво означава "представяне на функция като сбор от поредица"? Това означава, че като добавим във всяка точка стойностите на хармоничните компоненти от редицата на Фурие, получаваме стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, средно квадратното отклонение на реда от функцията f (x) ще клони към нула, но въпреки средноквадратната конвергенция, редът на Фурие на функцията, най-общо казано, не е задължен да се сближават с него точково. Вижте https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2), където, k-та комплексна амплитуда.

Връзката между коефициентите (1) и (3) се изразява със следните формули:

Забележете, че всичките тези три представяния на редицата на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато се работи с ред на Фурие, е по-удобно да се използват експоненти на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да се използва преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие се представя като сбор от косинусови вълни със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че резултатът от преобразуването на Фурие на реален сигнал ще бъде комплексните амплитуди на хармониците. Както правилно казва Wiki, "Преобразуването на Фурие (ℱ) е операция, която присвоява една функция на реална променлива на друга функция, също реална променлива."

Обща сума:Математическата основа за спектралния анализ на сигналите е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ви позволява да представите непрекъснатата функция f (x) (сигнал), дефинирана на сегмента (0, T) като сума от безкраен брой (безкрайни серии) тригонометрични функции (синусоиди и \ или косинуси) с определени амплитуди и фази, също разглеждани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Нека отбележим още няколко точки, чието разбиране е необходимо за правилното прилагане на преобразуването на Фурие към анализа на сигнала. Ако разгледаме редицата на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата ос X, тогава можем да видим, че извън сегмента (0, T), функцията, представена от редицата на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например, в графиката на фиг. 7, първоначалната функция е дефинирана на сегмента (-T \ 2, + T \ 2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана по цялата ос x.

Това е така, защото самите синусоиди са периодични функции и съответно тяхната сума ще бъде периодична функция.

Фиг. 7 Представяне на непериодична оригинална функция от реда на Фурие

По този начин:

Нашата първоначална функция е непрекъсната, непериодична, дефинирана на определен отсечка с дължина T. Спектърът на тази функция е дискретен, тоест представена е под формата на безкрайна поредица от хармонични компоненти - редът на Фурие. Всъщност редът на Фурие дефинира определена периодична функция, която съвпада с нашата на отсечката (0, T), но за нас тази периодичност не е съществена.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на стойността на отсечката (0, T), върху която е дефинирана първоначалната функция f (x). С други думи, периодите на хармониците са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от редицата на Фурие е равен на интервала T, върху който е дефинирана функцията f (x). Периодът на втория хармоник от редицата на Фурие е равен на интервала T / 2. И така нататък (виж фиг. 8).

Фиг. 8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти от редицата на Фурие (тук T = 2π)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1 / T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk = k \ T, където k варира от 0 до ∞, например k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = k \ T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека нашата първоначална функция е сигнал, записан за T = 1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1 = T = 1 sec и честотата на хармоника е 1 Hz. Вторият хармоничен период ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2 = T / 2 = 0,5 сек.) и честотата е 2 Hz. За третия хармоник T3 = T / 3 сек. и честотата е 3 Hz. И т.н.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

По този начин сигнал с продължителност 1 секунда може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz. За да увеличите разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, е необходимо да увеличите продължителността на измерването с 2 пъти - до 2 сек. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма друг начин да увеличите разделителната способност на честотата.

Има начин изкуствено да се увеличи продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава реалната разделителна способност на честотата.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и методите за съхранение на измервателни данни (сигнали). Ако по-рано сигналът можеше да се записва на магнетофон и да се съхранява на лента в аналогова форма, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (броя).

Типична схема за измерване и цифровизиране на сигнал е както следва.

Фиг. 9 Диаграма на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в АЦП за период от време Т. Получените проби от сигнала (извадката) за времето Т се прехвърлят в компютъра и се съхраняват в паметта.

Фиг. 10 Цифров сигнал - N проби, получени за време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максималната честота на семплиране (или честота на дискретизация, английски sample rate) - честотата на дискретизация на непрекъснат сигнал във времето по време на неговото семплиране. Измерено в херци. ((Уики))

Според теоремата на Котельников, ако непрекъснат сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и недвусмислено реконструиран от неговите дискретни проби, взети на интервали от време , т.е. с честота Fd ≥ 2 * Fmax, където Fd е честотата на дискретизация; Fmax е максималната честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на дискретизация на сигнала (ADC семплираща честота) трябва да бъде поне 2 пъти по-висока от максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

И какво ще стане, ако вземем проби с по-ниска честота, отколкото се изисква от теоремата на Котельников?

В този случай се получава ефектът на "алиасинг" (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотен сигнал след дигитализация се превръща в нискочестотен сигнал, който в действителност не съществува. На фиг. 11 високочестотна червена синусоида е реален сигнал. Синята синусоида с по-ниска честота е фиктивен сигнал, който възниква поради факта, че по време на семплирането успява да премине повече от половината период от високочестотния сигнал.

Ориз. 11. Поява на фалшив сигнал с ниска честота с недостатъчно висока честота на дискретизация

За да се избегне ефекта на алиасинг, пред ADC е монтиран специален филтър за изглаждане - нискочестотен филтър (low-pass filter), който пропуска честоти под половината от честотата на дискретизация на ADC, и отрязва по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнала от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Забележете отново, че спектърът на дискретния сигнал е "по дефиниция" ограничен от честотата Fmax, по-малко от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно, спектърът на дискретен сигнал може да бъде представен чрез сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайната сума за редицата на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Според теоремата на Котельников максималната честота на хармоника трябва да бъде такава, че да има поне два броя, така че броят на хармониците е равен на половината от броя на пробите на дискретен сигнал. Тоест, ако в пробата има N проби, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N / 2.

Помислете сега за дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редицата на Фурие

виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно и броят на хармониците е ограничен до N / 2 - половината от броя на отброяванията.

DFT формулите се записват в безразмерни целочислени променливи k, s, където k са броят на сигналните извадки, s са броят на спектралните компоненти. Стойността на s показва броя на общите хармонични трептения в периода T (продължителността на измерването на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за намиране на амплитудите и фазите на хармониците числено, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашия сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T. (фиг. 12).

Фиг. 12 Периодична функция f (x) с период T0, с период на измерване T> T0

Както се вижда на фиг. 12, функцията f (x) е периодична с период T0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като ред на Фурие, има прекъсване в точка T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържат голям брой високочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпада с периода на функцията T0, тогава в спектъра, получен след преобразуването на Фурие, ще присъства само първият хармоник (синусоида с период, равен на продължителността на извадката), тъй като функция f (x) е синусоида.

С други думи, програмата DFT „не знае“, че нашият сигнал е „парче от синусоида“, но се опитва да представи периодична функция като серия, която има прекъсване поради несъответствието на отделни части от синусоида.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които трябва да обобщават формата на функцията, включително този прекъсване.

По този начин, за да се получи "правилен" спектър на сигнал, който е сбор от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо цял брой периоди на всяка синусоида да се вмести в периода на измерване на сигнала. На практика това условие може да бъде изпълнено за достатъчно дълго време на измерване на сигнала.

Фиг. 13 Пример за функция и спектър на сигнала за кинематичната грешка на скоростната кутия

С по-кратка продължителност картината ще изглежда "по-зле":

Фиг. 14 Пример за функция и спектър на вибрационния сигнал на ротора

На практика може да е трудно да се разбере къде са "реалните компоненти" и къде са "артефактите", причинени от множеството периоди на компонентите и продължителността на семплирането на сигнала или "скокове и прекъсвания" във формата на вълната. Разбира се, думите "реални компоненти" и "артефакти" не са напразно взети в кавички. Наличието на много хармоници на графиката на спектъра не означава, че нашият сигнал в действителност "се състои" от тях. Това е като да мислим, че числото 7 се „състои“ от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Така че нашият сигнал... или по-скоро дори не "нашият сигнал", а периодична функция, съставена от повтаряне на нашия сигнал (извадка), може да бъде представен като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, които са важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно да се свържат хармониците, получени в спектъра с реални процеси, които имат цикличен характер и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реалният измерен сигнал, продължителност T сек, дигитализиран от ADC, тоест представен от набор от дискретни проби (N броя), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N / 2 броя ).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности, а неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че математиците намират за по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „това винаги трябва да се прави“.

3. Сигналът, измерен във времевия интервал T, се определя само във времевия интервал T. Какво беше преди да започнем да измерваме сигнала, и какво ще се случи след това - това е неизвестно на науката. А в нашия случай не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия „истински“ спектър, в смисъл, че при определени условия позволява да се изчислят амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

FourierScope е програма за конструиране на радиосигнали и техния спектрален анализ. Graph е програма с отворен код за изграждане на математически графики. ДИСКРЕТНО ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ФУРИЕ - КАК ДА ГО НАПРАВИМ Дискретно преобразуване на Фурие (DFT)