Повърхността на конуса (или просто конусната повърхност) е равна на сумата на основната площ и страничната повърхност.
Площта на страничната повърхност на конуса се изчислява по формулата: s \u003d πr л.където R е радиусът на основата на конуса и л. - образуване на конус.
Тъй като площта на основата на конуса е равна на πr 2 (като площта на кръга), тогава площта на пълната повърхност на конуса ще бъде равна на: πR 2 + πR л. \u003d πr (r + л.).
Получаването на формула на страничната повърхност на конуса може да бъде обяснено с такива аргументи. Да предположим, че страничната повърхност на конуса е изобразена на чертежа. Разделяме AV AWC за възможността за по-голям брой равни части и всички точки на разделяне с центъра на дъгата, а съседните са помежду си акорди.
Получаваме няколко равни триъгълника. Районът на всеки триъгълник е равен ах. / 2, където но - дължината на триъгълната база, a х. - Неговата висока.
Количеството на зоната на всички триъгълници ще бъде: ах. / 2 н. = ан. / 2, където н. - броя на триъгълниците.
С голям брой разделения, количеството на площта на триъгълниците става много близо до зоната на заговорите, т.е. площта на страничната повърхност на конуса. Сумата на основите на триъгълниците, т.е. ан., тя става много близо до дължината на ARC AV, т.е. по дължината на обиколката на основата на конуса. Височината на всеки триъгълник става много близо до радиуса на дъгата, т.е. към образуващия конус.
Пренебрегване на малки разлики в размерите на тези стойности, получаваме формулата на страничната повърхност на конуса (ите):
S \u003d C. л. / 2, където С е обиколката на основата на конуса, л. - образуване на конус.
Знаейки, че c \u003d 2πr, където R е радиус на обиколката на основата на конуса, ние получаваме: s \u003d πr л..
Забележка. Във формулата S \u003d C л. / 2 Поставете знак за точна, а не приблизително равенство, макар и въз основа на аргумента, можем да се считат за приблизителни. Но в гимназията гимназии се доказва, че равенството
S \u003d C. л. / 2 точни, не приблизителни.
Теорема. Страничната повърхност на конуса е равна на продукта на обиколката на основата на основата в половината от образуването.
Ще влезем в конус (фиг.) Някои правилни пирамида и обозначени с букви r. и л. Числата, които изразяват дължините на периметъра на основата и апофам на тази пирамида.
След това страничната повърхност ще бъде изразена от работата на 1/2 r. л. .
Да предположим сега, че броят на страните, вписани в основата на полигона, се увеличава за неопределено време. След това периметър r. ще се стремят към границата, взета за дължината от базовата обиколка и апофам л. ще има ограничение, образуващо конус (тъй като следва, следва, че SA - SK
1 / 2 r. л.ще се стреми да ограничи 1/2 с
L. Този лимит се приема за величината на страничната повърхност на конуса. Означава от страничната повърхност на конусната буква S, можем да напишем:
S \u003d 1/2 с L \u003d s. 1/2 L.
Последствия.
1) От c \u003d 2 π
R, тогава страничната повърхност на конуса ще изрази формулата:
S \u003d 1/2. 2π R. L \u003d. π Речник
2) Ние ще получим пълната повърхност на конуса, ако страничната повърхност лежеше с базовата зона; Следователно, като посочите пълната повърхност чрез Т, ние ще имаме:
T \u003d. π RL +. π R2 \u003d. π R (l + r)
Теорема. Страничната повърхност на пресечения конус е равна на работата на продължителността на основите на основите върху формирането.
Ние носим в пресечен конус (фиг.) Някои подходяща пресечена пирамида и обозначени с букви r, R. 1 I. л. Номерата, експресиращи в същите линейни единици с дължина на периметъра на долната и горната база и апонемията на тази пирамида.
След това страничната повърхност на вписаната пирамида е 1/2 ( p + R. 1) л.
С неограничено увеличение на броя на страничните лица на вписаната пирамида на периметъра r. и r. 1 се стремят към границите, взети за дължини и с 1 базови периферия и апоот л. Той има ограничение, образуващо конус. Следователно, величината на страничната повърхност на вписаната пирамида има тенденция да има ограничение, равна на (C + с 1) L. Тази граница се приема върху величината на страничната повърхност на съкратения конус. Разпознаване на страничната повърхност на пресечената конус, ние ще имаме:
S \u003d 1/2 (c + c 1) l
Последствия.
1) ако R и R1 означава радиуси на кръговете на долната и горната основа, след това страничната повърхност на съкратения конус ще бъде:
S \u003d 1/2 (2 π R + 2. π R 1) l \u003d π (R + R 1) L.
2) ако в трапецоид OO 1 A 1 A (фиг.), От въртенето, от което се получава пресечен конус, ние ще извършим средната линия на слънцето, ще получим:
Sun \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R1),
R + R 1 \u003d 2VS.
Следователно,
S \u003d 2. π BC L,
i.e. страничната повърхност на пресечения конус е равна на продукта на дължината на средата на кръга на оформянето.
3) Общата повърхност на съкратения конус ще бъде изразена като:
T \u003d. π (R2 + R12 + RL + R1 L)
Назад
Внимание! Преглед на слайдовете се използват изключително за информационни цели и може да не предоставя идеи за всички възможности за представяне. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Вид на урока: Урокът за изследване на новия материал, използвайки елементите на развиващия се метод на обучение.
Цели Урок:
- когнитивен:
- запознаване с нова математическа концепция;
- образуване на нова zun;
- формиране на проблеми с решаването на умения.
- разработване:
- развитие на независимо мислене на учениците;
- развиване на уменията на правилната реч на учениците.
- образование:
- образователните умения работят в екипа.
Урок по оборудване:магнитна дъска, компютър, екрана, мултимедиен проектор, модел на конус, презентация на урока, разпределителен материал.
Урок за задачите (за студенти):
- запознайте се с нова геометрична концепция - конус;
- изходна формула за изчисляване на повърхността на конуса;
- научете се да прилагате знанията, придобити в решаването на практически задачи.
По време на класовете
Етап I. Организационен.
Доставка на тетрадки с домашна проверка по темата покрита.
Учениците са поканени да научат темата за предстоящия урок, решаването на Rebus (Слайд 1):
Снимка 1.
Обявяване на теми на учениците и задачите на уроците (Слайд 2).
Етап II. Обяснение на новия материал.
1) Лекцията на учителя.
На дъската - масата с изображението на конуса. Новият материал е обяснен придружен от програмния материал "стереометрия". На екрана се появява триизмерно изображение на конуса. Учителят дава дефиницията на конус, говори за неговите елементи. (Слайд 3). Казва се, че конусът е тяло, образувано чрез завъртане на правоъгълен триъгълник по отношение на категорията. (Пързалки 4, 5). Появява се изображение на разширяване на страничната повърхност на конуса. (плъзгач 6)
2) Практическа работа.
Актуализиране на референтните знания: повторете формулата за изчисляване на площта на кръга, секторната зона, дължината на кръга, дължината на дъгата на кръга. (пързалки 7-10)
Класът е разделен на групи. Всяка група получава изрязана от хартията със странична повърхност на конуса (сектора на кръга с определения номер). Учениците изпълняват необходимите измервания и изчисляват площта на получената сектор. Инструкции за изпълнение на работа, въпроси - проблеми с настройката - се появяват на екрана (пързалки 11-14). Резултатите от изчислението, представителят на всяка група, пише на масата, изготвена на борда. Участниците в всяка група лепиха модела на конуса от съществуващите им. (Слайд 15)
3) настройка и решаване на проблема.
Как да се изчисли Slicer на страничната повърхност на конуса, ако само радиусът на основата и дължината на образуването на конуса е известен? (Слайд 16)
Всяка група прави необходимите измервания и се опитва да покаже формулата за изчисляване на желаната област с помощта на наличните данни. Когато извършвате тази работа, учениците трябва да забележат, че обиколката на основата на конуса е равна на дължината на сектора на дъгата - страничната повърхност на този конус. (пързалки 17-21) Използвайки необходимите формули, желаната формула е получена. Доводите на учениците трябва да изглеждат така:
Радиус на сектора - равен l, Степента на дъгата е φ. Секторната зона се изчислява по формулата на дължината на дъгата, която ограничава този сектор, равна на радиуса на основата на конуса R. Дължината на кръга, лежаща в основата на конуса, е C \u003d 2πr. Имайте предвид, че тъй като площта на страничната повърхност на конуса е равна на площта на разширяване на нейната странична повърхност,
Така че страничната повърхност на конуса се изчислява по формулата S bpk \u003d πrl.
След изчисляване на страничната повърхност на модела на конуса, представителят на всяка група се показва независимо, записва резултата от изчисленията към таблицата на дъската в съответствие с номерата на моделите. Резултатите от изчисленията във всеки ред трябва да бъдат равни. На тази основа учителят определя коректността на заключенията на всяка група. Таблицата на резултатите трябва да изглежда като:
|
Номер на модела |
Аз задача |
II задача |
(125/3) π ~ 41.67 π |
||
(425/9) π ~ 47.22 π |
||
(539/9) π ~ 59.89 π |
Моделните параметри:
- l \u003d 12 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 150°
- l \u003d 15 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 170°
- l \u003d 14 cm, φ \u003d 110°
Прилагането на изчисленията е свързано с грешки при измерването.
След проверка на резултатите изходът на формулите на страничните и пълните повърхности на конуса се появява на екрана (пързалки 22-26)Учениците се записват в преносими компютри.
III етап. Закрепване на изследвания материал.
1) Студентите се предлагат Задачи за перорално решение при завършени рисунки.
Намерете площи с пълни повърхности на конуси, изобразени в чертежи (пързалки 27-32).
2) Въпрос: Има ли области на конуси, образувани от въртенето на един правоъгълен триъгълник спрямо различните катетри? Учениците тласкат хипотезата и го проверяват. Проверка на хипотезата се извършва чрез решаване на проблеми и се записва от ученика на дъската.
Дадено: Δ abc, \u003d c \u003d 90 °, ab \u003d c, ac \u003d b, слънце \u003d a;
VAA ", ABB" - телата на въртене.
Да намеря:S ppk 1, s ppk 2.
Фигура 5. (Слайд 33)
Решение:
1) r \u003d слънце \u003d А.Шпакловка S ppk 1 \u003d s bod 1 + s osn 1 \u003d π A C + π A 2 \u003d π A (A + C).
2) R \u003d AC \u003d Б.Шпакловка S ppk 2 \u003d s bod 2 + s osn 2 \u003d π B C + π B 2 \u003d π B (B + с).
Ако s ppk 1 \u003d s ppk 2, тогава а2 + AC \u003d B 2 + BC, 2 - В2 + AC - BC \u003d 0, (А-В) (А + В + С) \u003d 0.Като a, B, C -положителни числа (дължината на страните на триъгълника), меланзията е вярна само ако a \u003d.б.
Изход:Повърхностите на двата конуса са равни само в случай на равенство на триъгълните катетри. (Слайд 34)
3) решаване на задачата от учебника: № 565.
IV етап. Обобщаване на урока.
Домашна работа: Стр.55, 56; № 548, № 561. (Слайд 35)
Обявяване на цените.
Заключения по урока, повторение на основната информация, получена в урока.
Литература (Слайд 36)
- Геометрия 10-11 Класове - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., "Просвещение", 2008.
- "Математически рентбуси и чаради" - N.V. Удалцова, библиотека "На 1 септември", серия "Математика", брой 35, M., Clean Ponds, 2010.
Органите на ротация, изследвани в училище, са цилиндър, конус и топка.
Ако в задачата на изпита по математика трябва да се изчисли обемът на конуса или областта на сферата - помислете какво има късмет.
Използвайте обемния обем и повърхността на цилиндъра, конуса и топка. Всички те са в нашата маса. Преподават на сърцето. Затова започва знанието на стереометрията.
Понякога не е лошо да се направи изглед отгоре. Или, както в тази задача, - от дъното.
2. Колко пъти обемът на конуса, описан близо до правилната четириъгълна пирамида, повече от обема на конуса, вписан в тази пирамида?
Всичко е просто - нарисувайте изглед отдолу. Виждаме, че радиусът на по-големия кръг е повече от по-малък радиус. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде повече от веднъж.
Друг важен момент. Спомням си, че в задачите на частта в опциите на Ейм в математиката, отговорът е написан под формата на цяло число или последна десетична фракция. Следователно, не или в отговора ви отчасти не трябва да бъде. Не е необходимо да се замени приблизителната стойност на броя! Трябва да се намали! За тази цел, в някои задачи, задачата е формулирана, например, както следва: "Намерете страничната повърхност на цилиндъра, разделена на".
Но къде са обемните формули и площта на телата на въртене? Разбира се, в задачата C2 (16). Ще разкажем и за нея.
Ние знаем какво е конус, нека се опитаме да намерим областта на повърхността му. Защо трябва да решите такава задача? Например, трябва да разберете колко тест ще стигне до производството на вафлен рог? Или колко тухли трябва да сгънат тухления покрив на замъка?
Измерване на площта на страничната повърхност на конуса е просто така, че няма да работи. Но представете си всички същите рогове, увити с кърпа. За да намерите областта на парче плат, трябва да го режете и да го разцепите на масата. Оказва се една плоска фигура, можем да намерим своята област.
Фиг. 1. Нарежете конус чрез формиране
Ще направим същото с конуса. "Ние ще изрежем" нейната странична повърхност по всякакво формиране, например (виж фиг. 1).
Сега "завъртете" страничната повърхност към равнината. Получаваме сектора. Центърът на този сектор е пикът на конуса, радиусът на сектора е равен на формиращия конус, а дължината на неговата дъга съвпада с обикновената обиколка на ценната база. Такъв сектор се нарича сканиране на страничната повърхност на конуса (виж фиг. 2).
Фиг. 2. Сканиране на страничната повърхност
Фиг. 3. Измерване на ъгъла в радианите
Нека се опитаме да намерим сектора в съответствие с наличните данни. Първоначално въведем обозначението: нека ъгълът на върха на сектора в радианите (виж фиг. 3).
С ъгъл на върха на почистването често ще срещаме често срещани проблеми. Междувременно, нека се опитаме да отговорим на въпроса: и ако този ъгъл може да се окаже повече от 360 градуса? Това означава, че не е възможно сканирането да се наложи върху себе си? Разбира се, че не. Доказваме го математически. Нека се измие "наложена" самата. Това означава, че дължината на сканиращата дъга е по-голяма от дължината на кръга на радиуса. Но както вече беше споменато, дължината на сканиращата дъга е дължината на кръга на радиуса. И радиусът на основата на конуса, разбира се, по-малко образуване, например, защото ролката на правоъгълен триъгълник е по-малка от хипотенуза
След това припомни двете формули от курса на плейметрията: дължината на дъгата. Сектор площад :.
В нашия случай ролята се образува , и дължината на дъгата е равна на дължината на обиколката на основата на конуса, т.е. Ние имаме:
Най-накрая получавам :.
Заедно със страничната повърхност, можете да намерите пълна повърхност. За да направите това, основната площ трябва да бъде добавена към страничната повърхност. Но основата е кръг от радиус, чиято област според формулата е еднаква.
Накрая имаме: , къде е радиусът на основата на цилиндъра, - образуване.
Ние решаваме чифт задачи на горните формули.
Фиг. 4. Желаният ъгъл
Пример 1.. Системата на страничната повърхност на конуса е секторът с ъгъл на върха. Намерете този ъгъл, ако височината на конуса е 4 cm и радиусът на основата е 3 cm (виж фиг. 4).
Фиг. 5. Правоъгълен триъгълник, образуващ конус
Първото действие на теоремата Pythagore, ние намираме формирането: 5 cm (виж фиг. 5). След това знаем това .
Пример 2.. Площта на аксиалното напречно сечение на конуса е еднаква, височината е еднаква. Намерете пълната повърхност (виж фиг. 6).
