ИЗБИРАЕМ ПРЕДМЕТ ТЕМА

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧИСЛОВИ И БУКВЕНИ ИЗРАЗИ

Количество 34 часа

висш учител по математика

Общинско учебно заведение "СОУ № 51"

Саратов, 2008 г

ПРОГРАМА ЗА ИЗБИРАЕМ ПРЕДМЕТ

„КОНВЕРТИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ И БУКВЕНИ ИЗРАЗИ“

Обяснителна бележка

През последните години зрелостните изпити в училищата, както и приемните изпити в университетите, се провеждат с помощта на тестове. Тази форма на тестване се различава от класическия изпит и изисква специфична подготовка. Характеристика на тестването във формата, която се е развила досега, е необходимостта да се отговори на голям брой въпроси за ограничен период от време, т.е. изисква се не само да се отговори на поставените въпроси, но и да се направи бързо. Ето защо е важно да овладеете различни техники и методи, които ви позволяват да постигнете желания резултат.

Когато решавате почти всеки училищен проблем, трябва да направите някои трансформации. Често неговата сложност се определя изцяло от степента на сложност и обема на трансформацията, която трябва да се извърши. Не е необичайно ученикът да не може да реши задача, не защото не знае как се решава, а защото не може да направи всички необходими трансформации и изчисления без грешки, в разумен срок.

Избираемата дисциплина „Преобразуване на числови и буквени изрази” разширява и задълбочава основната програма по математика в гимназията и е предназначена за изучаване в 11. клас. Предложеният курс има за цел да развие изчислителни умения и острота на мисленето. Курсът е предназначен за ученици с високо или средно ниво на математическа подготовка и има за цел да им помогне да се подготвят за прием в университети и да улесни продължаването на сериозното математическо образование.

Цели и задачи:

Систематизиране, обобщаване и разширяване на знанията на учениците за числата и действията с тях;

Развитие на самостоятелност, творческо мислене и познавателен интерес на учениците;

Формиране на интерес към изчислителния процес;

Адаптиране на учениците към новите правила за постъпване във ВУЗ.

Очаквани резултати:

Познаване на класификацията на числата;

Подобряване на уменията и способностите за бързо броене;

Способност за използване на математически инструменти при решаване на различни задачи;

Учебен и тематичен план

Планът е с продължителност 34 часа. Той е проектиран, като се вземе предвид темата на дипломната работа, така че се разглеждат две отделни части: числови и буквени изрази. По преценка на учителя азбучните изрази могат да се разглеждат заедно с числовите изрази в съответните теми.

		Брой часове
	Числови изрази Цели числа Метод на математическата индукция Рационални числа Десетични периодични дроби Ирационални числа Корени и степени Логаритми Тригонометрични функции Обратни тригонометрични функции Комплексни числа Тест по темата „Числени изрази“ Сравняване на числови изрази Буквални изрази Преобразуване на изрази с радикали Преобразуване на степенни изрази Преобразуване на логаритмични изрази Преобразуване на тригонометрични изрази Последен тест

Цели числа (4h)

Цифрови серии. Основна теорема на аритметиката. GCD и NOC. Признаци на делимост. Метод на математическата индукция.

Рационални числа (2ч.)

Дефиниция на рационално число. Основното свойство на дробта. Формули за съкратено умножение. Дефиниция на периодична дроб. Правилото за преобразуване от десетична периодична дроб в обикновена дроб.

Ирационални числа. Радикали. Степени. Логаритми (6ч)

Дефиниция на ирационално число. Доказателство за ирационалността на число. Да се ​​отървем от ирационалността в знаменателя. Реални числа. Свойства на степен. Свойства на аритметичния корен от n-та степен. Дефиниция на логаритъм. Свойства на логаритмите.

Тригонометрични функции (4ч)

Цифров кръг. Числени стойности на тригонометричните функции на основните ъгли. Преобразуване на големината на ъгъл от градусна мярка в радианова мярка и обратно. Основни тригонометрични формули. Формули за намаляване. Обратни тригонометрични функции. Тригонометрични операции върху дъгови функции. Основни връзки между дъгови функции.

Комплексни числа (2ч.)

Понятието комплексно число. Действия с комплексни числа. Тригонометрични и експоненциални форми на комплексни числа.

Междинен тест (2ч.)

Сравнение на числови изрази (4ч)

Числени неравенства върху множеството от реални числа. Свойства на числените неравенства. Подкрепете неравенствата. Методи за доказване на числени неравенства.

Буквени изрази (8ч)

Правила за преобразуване на изрази с променливи: полиноми; алгебрични дроби; ирационални изрази; тригонометрични и други изрази. Доказателства за тъждества и неравенства. Опростяване на изрази.

Част 1 на избираемия предмет: „Числови изрази”

УРОК 1(2 часа)

Тема на урока: Цели числа

Цели на урока:Обобщават и систематизират знанията на учениците за числата; запомнете понятията GCD и LCM; разширяват знанията за признаците на делимост; разглеждат задачи, решени в цели числа.

По време на часовете

аз. Въвеждаща лекция.

Класификация на числата:

Цели числа;

Цели числа;

Рационални числа;

Реални числа;

Комплексни числа.

Въвеждането на числата в училище започва с понятието естествено число. Извикват се числа, използвани при броене на обекти естествено.Множеството от естествени числа се означава с N. Естествените числа се делят на прости и съставни. Простите числа имат само два делителя: единица и самото число имат повече от два делителя. Основна теорема на аритметикатагласи: „Всяко естествено число, по-голямо от 1, може да бъде представено като произведение на прости числа (не непременно различни) и по уникален начин (до реда на факторите).“

Има две други важни аритметични концепции, свързани с естествените числа: най-голям общ делител (НОД) и най-малко общо кратно (НКМ). Всяко от тези понятия всъщност се самоопределя. Решаването на много проблеми се улеснява от знаци за делимост, които трябва да се запомнят.

Тест за делимост на 2 . Едно число се дели на 2, ако последната му цифра е четно или о.

Тест за делимост на 4 . Едно число се дели на 4, ако последните две цифри са нули или образуват число, делящо се на 4.

Тест за делимост на 8. Едно число се дели на 8, ако последните му три цифри са нули или образуват число, делящо се на 8.

Тестове за делимост на 3 и 9. На 3 се делят само тези числа, чиято сума от цифри се дели на 3; с 9 – само тези, чийто сбор от цифрите се дели на 9.

Тест за делимост на 6. Едно число се дели на 6, ако се дели и на 2, и на 3.

Тест за делимост на 5 . Числата, чиято последна цифра е 0 или 5, се делят на 5.

Тест за делимост на 25. Числата, чиито последни две цифри са нули или образуват число, делящо се на 25, се делят на 25.

Признаци за делимост на 10,100,1000. Само тези числа, чиято последна цифра е 0, се делят на 10, само онези числа, чиито последни две цифри са 0, се делят на 100 и само тези числа, чиито последни три цифри са 0, се делят на 1000.

Тест за делимост на 11 . Само онези числа се делят на 11, ако сумата от цифрите, заемащи нечетни места, е равна на сумата от цифрите, заемащи четни места, или се различава от нея с число, делимо на 11.

В първия урок ще разгледаме естествените числа и целите числа. Цялчислата са естествени числа, техните противоположности и нула. Множеството от цели числа се означава със Z.

II. Разрешаване на проблем.

ПРИМЕР 1. Разложете на прости множители: а) 899; б) 1000027.

Решение: а) ;

б) ПРИМЕР 2. Намерете НОД на числата 2585 и 7975.

Решение: Нека използваме Евклидовия алгоритъм:

Ако https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Отговор: gcd(2585.7975) = 55.

ПРИМЕР 3. Изчислете:

Решение: = 1987100011989. Второто произведение е равно на същата стойност. Следователно разликата е 0.

ПРИМЕР 4. Намерете НОД и НОК на числата а) 5544 и 1404; б) 198, 504 и 780.

Отговори: а) 36; 49896; б) 6; 360360.

ПРИМЕР 5. Намерете частното и остатъка от делението

а) от 5 до 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

в) от -529 до (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

д) 256 до (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Решение: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

б)

Решение: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

ПРИМЕР 7..gif" width="67" height="27 src="> от 17.

Решение: Да въведем запис , което означава, че когато се разделят на m, числата a, b,c,…d дават същия остатък.

Следователно за всяко естествено k ще има

Но 1989=16124+5. означава,

Отговор: Остатъкът е 12.

ПРИМЕР 8. Намерете най-малкото естествено число, по-голямо от 10, което, когато се раздели на 24, 45 и 56, ще остави остатък 1.

Отговор: NOC(24;45;56)+1=2521.

ПРИМЕР 9. Намерете най-малкото естествено число, което се дели на 7 и оставя остатък 1 при разделяне на 3, 4 и 5.

Отговор: 301. Посока. Сред числата от формата 60k + 1 трябва да намерите най-малкото, което се дели на 7; k = 5.

ПРИМЕР 10. Добавете по една цифра отдясно и отляво на 23, така че полученото четирицифрено число да се дели на 9 и 11.

Отговор: 6237.

ПРИМЕР 11. Добавете три цифри към гърба на числото, така че полученото число да се дели на 7, 8 и 9.

Отговор: 304 или 808. Забележка. Числото, когато се раздели на = 789), оставя остатък от 200. Следователно, ако добавите 304 или 808 към него, то ще се дели на 504.

ПРИМЕР 12. Възможно ли е да пренаредите цифрите в трицифрено число, делящо се на 37, така че полученото число да се дели и на 37?

Отговор: Да. Note..gif" width="61" height="24"> също се дели на 37. Имаме A = 100a + 10b + c = 37k, откъдето c =37k -100a – 10b. Тогава B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, т.е. B е разделено на 37.

ПРИМЕР 13. Намерете числото, на което при деление числата 1108, 1453,1844 и 2281 дават еднакъв остатък.

Отговор: 23. Инструкция. Разликата на произволни две дадени числа се дели на желаното. Това означава, че всеки общ делител на всички възможни разлики в данните, различни от 1, е подходящ за нас

ПРИМЕР 14. Представете си 19 като разликата на кубовете на естествените числа.

ПРИМЕР 15. Квадратът на естествено число е равен на произведението на четири последователни нечетни числа. Намерете този номер.

Отговор: .

ПРИМЕР 16..gif" width="115" height="27"> не се дели на 10.

Отговор: а) Инструкция. След като групирате първия и последния член, втория и предпоследния и т.н., използвайте формулата за сбора на кубовете.

б) Индикация..gif" width="120" height="20">.

4) Намерете всички двойки естествени числа, чиято GCD е 5 и LCM е 105.

Отговор: 5, 105 или 15, 35.

УРОК 2(2 часа)

Тема на урока:Метод на математическата индукция.

Целта на урока:Преглед на математически твърдения, които изискват доказателство; запознаване на учениците с метода на математическата индукция; развиват логическо мислене.

По време на часовете

аз. Проверка на домашните.

II. Обяснение на нов материал.

В училищния курс по математика, заедно със задачите „Намерете стойността на израз“, има задачи от формата: „Докажете равенство“. Един от най-универсалните методи за доказване на математически твърдения, които включват думите „за произволно естествено число n“, е методът на пълната математическа индукция.

Доказателството, използващо този метод, винаги се състои от три стъпки:

1) Основа на индукцията. Валидността на твърдението се проверява за n = 1.

В някои случаи е необходимо да проверите няколко

начални стойности.

2) Индукционно допускане. Твърдението се приема за вярно за всеки

3) Индуктивна стъпка. Валидността на твърдението е доказана за

По този начин, започвайки с n = 1, въз основа на доказания индуктивен преход, получаваме валидността на доказаното твърдение за

n =2, 3,…t. т.е. за всяко n.

Нека да разгледаме няколко примера.

ПРИМЕР 1: Докажете, че за всяко естествено число n числото делимо на 7.

Доказателство: Нека означим .

Стъпка 1..gif" width="143" height="37 src="> е разделена на 7.

Стъпка 3..gif" width="600" height="88">

Последното число се дели на 7, защото е разликата на две цели числа, делими на 7.

ПРИМЕР 2: Докажете равенство https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> се получава от замяна на n с k = 1.

III. Разрешаване на проблем

В първия урок от задачите по-долу (No 1-3) се избират няколко за решение по преценка на учителя за анализ на дъската. Вторият урок обхваща № 4.5; самостоятелна работа се извършва от № 1-3; No6 се предлага като допълнителна, със задължително решение на дъската.

1) Докажете, че а) се дели на 83;

б) делимо на 13;

в) се дели на 20801.

2) Докажете, че за всяко естествено n:

а) делимо на 120;

б) делимо на 27;

V) делимо на 84;

G) делимо на 169;

д) делимо на 8;

д) дели се на 8;

ж) делимо на 16;

з) делимо на 49;

И) делимо на 41;

Да се) делимо на 23;

л) делимо на 13;

м) разделена на .

3) Докажете, че:

G) ;

4) Изведете формулата за сумата https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Докажете, че сумата от членовете на всеки ред от таблицата

…………….

е равно на квадрата на нечетно число, чийто номер на ред е равен на номера на реда от началото на таблицата.

Отговори и насоки.

1) Нека използваме записа, въведен в пример 4 от предишния урок.

А) . Следователно се дели на 83 .

б) Тъй като , Че ;

. следователно .

в) Тъй като , е необходимо да се докаже, че това число се дели на 11, 31 и 61..gif" width="120" height="32 src=">. По същия начин се доказва и делимостта на 11 и 31.

2) а) Нека докажем, че този израз се дели на 3, 8, 5. Делимост на 3 следва от факта, че , а от три последователни естествени числа едното се дели на 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. За да проверите делимостта на 5, достатъчно е да вземете предвид стойностите n=0,1,2,3,4.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И след това ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите за степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, на този етап първо се запознават със степента на число с естествен показател, първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да отворите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се спазва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и степен

Има степени, чиято основа и/или експонента не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след като отворим скобите и приведем подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+ 1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище, когато се трансформират изрази на мощност, основният фокус е върху способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на мощностите - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата на мощностите . Като цяло, трябва постоянно да се питате дали е възможно да използвате някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойствата може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степента ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Редуцирането на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането на рационални дроби до нов знаменател. В този случай се намира и допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на ODZ. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Като погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши намаление с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и съкращаването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали със степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството за деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно, а в много случаи и желателно, да прехвърляме множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, променяйки знака на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да трансформирате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в членът преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател На този етап започва да бъде учи в училище. експоненциална функция, което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която редуцира решението на оригиналното експоненциално уравнение до решението на квадратно уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит. Част 1. Пенза 2003 г.

Програма на избираем курс „Преобразуване на числови и буквени изрази”

Обяснителна бележка

През последните години контролът на качеството на училищното обучение по математика се извършва с помощта на CMM, по-голямата част от задачите на които се предлагат в тестова форма. Тази форма на тестване се различава от класическата изпитна работа и изисква специфична подготовка. Характеристика на тестването във формата, която се е развила до момента, е необходимостта да се отговори на голям брой въпроси за ограничен период от време, т.е. Изисква се не само да се отговори правилно на зададените въпроси, но и да се направи достатъчно бързо. Ето защо е важно учениците да овладеят различни техники и методи, които ще им позволят да постигнат желания резултат.

Когато решавате почти всяка училищна математическа задача, трябва да направите някои трансформации. Често неговата сложност се определя изцяло от степента на сложност и обема на трансформацията, която трябва да се извърши. Не е необичайно ученикът да не може да реши задача, не защото не знае как се решава, а защото не може да направи всички необходими трансформации и изчисления за определеното време без грешки.

Примерите за преобразуване на числови изрази са важни не сами по себе си, а като средство за разработване на техники за преобразуване. С всяка година на обучение понятието число се разширява от естествено към реално, а в гимназията се изучават трансформации на степен, логаритмични и тригонометрични изрази. Този материал е доста труден за изучаване, тъй като съдържа много формули и правила за трансформация.

За да опростите израз, да извършите необходимите действия или да изчислите стойността на израз, трябва да знаете в каква посока трябва да се „движите“ по пътя на трансформациите, които водят до правилния отговор по най-краткия „маршрут“. Изборът на рационален път до голяма степен зависи от познаването на целия обем информация за методите за трансформиране на изрази.

В гимназията има нужда от систематизиране и задълбочаване на знанията и практическите умения за работа с числови изрази. Статистиката показва, че около 30% от грешките при кандидатстване в университети са от изчислителен характер. Ето защо, когато се разглеждат подходящи теми в средното училище и когато се повтарят в гимназията, е необходимо да се обърне повече внимание на развитието на компютърните умения при учениците.

Ето защо, в помощ на учителите, преподаващи в 11 клас на специализирано училище, можем да предложим избираема дисциплина „Преобразуване на числови и азбучни изрази в училищен курс по математика“.

Оценки:== 11

Тип на избираемата дисциплина:

систематизиращ, обобщаващ и задълбочаващ курс.

Брой часове:

34 (седмично – 1 час)

Образователна област:

математика

Цели и задачи на курса:

Систематизиране, обобщаване и разширяване на знанията на учениците за числата и действията с тях; - формиране на интерес към изчислителния процес; - развитие на самостоятелност, творческо мислене и познавателен интерес на учениците; - адаптиране на учениците към новите правила за прием във ВУЗ.

Организация на курсовото обучение

Избираемата дисциплина „Преобразуване на числови и буквени изрази” разширява и задълбочава основната програма по математика в гимназията и е предназначена за изучаване в 11. клас. Предложеният курс има за цел да развие изчислителни умения и острота на мисленето. Курсът е структуриран по класически учебен план, с акцент върху практическите упражнения. Предназначен е за ученици с високо или средно ниво на математическа подготовка и има за цел да им помогне да се подготвят за прием в университети и да улесни продължаването на сериозното математическо образование.

Планирани резултати:

Познаване на класификацията на числата;

Подобряване на уменията и способностите за бързо броене;

Способност за използване на математически инструменти при решаване на различни задачи;

Развитие на логическото мислене, улесняващо продължаването на сериозното математическо образование.

Съдържание на избираемата дисциплина „Преобразуване на числови и буквени изрази”

Цели числа (4h):Цифрови серии. Основна теорема на аритметиката. GCD и NOC. Признаци на делимост. Метод на математическата индукция.

Рационални числа (2ч):Дефиниция на рационално число. Основното свойство на дробта. Формули за съкратено умножение. Дефиниция на периодична дроб. Правилото за преобразуване от десетична периодична дроб в обикновена дроб.

Ирационални числа. Радикали. Степени. Логаритми (6h):Дефиниция на ирационално число. Доказателство за ирационалността на число. Да се ​​отървем от ирационалността в знаменателя. Реални числа. Свойства на степен. Свойства на аритметичния корен от n-та степен. Дефиниция на логаритъм. Свойства на логаритмите.

Тригонометрични функции (4ч):Цифров кръг. Числени стойности на тригонометричните функции на основните ъгли. Преобразуване на големината на ъгъл от градусна мярка в радианова мярка и обратно. Основни тригонометрични формули. Формули за намаляване. Обратни тригонометрични функции. Тригонометрични операции върху дъгови функции. Основни връзки между дъгови функции.

Комплексни числа (2ч.):Понятието комплексно число. Действия с комплексни числа. Тригонометрични и експоненциални форми на комплексни числа.

Междинен тест (2ч.)

Сравнение на числови изрази (4ч):Числени неравенства върху множеството от реални числа. Свойства на числените неравенства. Подкрепете неравенствата. Методи за доказване на числени неравенства.

Буквални изрази (8h):Правила за преобразуване на изрази с променливи: полиноми; алгебрични дроби; ирационални изрази; тригонометрични и други изрази. Доказателства за тъждества и неравенства. Опростяване на изрази.

Учебен и тематичен план

Планът е с продължителност 34 часа. Той е проектиран, като се вземе предвид темата на дипломната работа, така че се разглеждат две отделни части: числови и буквени изрази. По преценка на учителя азбучните изрази могат да се разглеждат заедно с числовите изрази в съответните теми.

№	Тема на урока	Брой часове
1.1	Цели числа	2
1.2	Метод на математическата индукция	2
2.1	Рационални числа	1
2.2	Десетични периодични дроби	1
3.1	Ирационални числа	2
3.2	Корени и степени	2
3.3	Логаритми	2
4.1	Тригонометрични функции	2
4.2	Обратни тригонометрични функции	2
5	Комплексни числа	2
	Тест по темата „Числени изрази“	2
6	Сравняване на числови изрази	4
7.1	Преобразуване на изрази с радикали	2
7.2	Преобразуване на степенни и логаритмични изрази	2
7.3	Преобразуване на тригонометрични изрази	2
	Последен тест	2
	Обща сума	34

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Буквалният израз (или променлив израз) е математически израз, който се състои от числа, букви и математически символи. Например следният израз е буквален:

a+b+4

С помощта на азбучни изрази можете да пишете закони, формули, уравнения и функции. Способността да се манипулират буквени изрази е ключът към доброто познаване на алгебрата и висшата математика.

Всеки сериозен проблем в математиката се свежда до решаване на уравнения. И за да можете да решавате уравнения, трябва да можете да работите с буквални изрази.

За да работите с буквени изрази, трябва да сте добре запознати с основните аритметични техники: събиране, изваждане, умножение, деление, основни закони на математиката, дроби, операции с дроби, пропорции. И не просто изучавайте, но разбирайте задълбочено.

Съдържание на урока

Променливи

Буквите, които се съдържат в буквални изрази, се наричат променливи. Например в израза a+b+ 4 променливи са букви аИ b. Ако заместим някакви числа вместо тези променливи, тогава буквалният израз a+b+ 4 ще се превърне в числов израз, чиято стойност може да бъде намерена.

Числата, които се заместват с променливи, се наричат стойности на променливи. Например, нека променим стойностите на променливите аИ b. Знакът за равенство се използва за промяна на стойностите

а = 2, b = 3

Променихме стойностите на променливите аИ b. Променлива априсвоена стойност 2 , променлива bприсвоена стойност 3 . Полученият буквален израз a+b+4се превръща в регулярен числов израз 2+3+4 чиято стойност може да се намери:

Когато променливите се умножават, те се записват заедно. Например запис абозначава същото като записа a×b. Ако заместим променливите аИ bчисла 2 И 3 , тогава получаваме 6

Можете също така да напишете заедно умножението на число с израз в скоби. Например, вместо a × (b + c)може да се запише a(b + c). Прилагайки закона за разпределение на умножението, получаваме a(b + c)=ab+ac.

Коефициенти

В буквалните изрази често можете да намерите нотация, в която число и променлива се записват заедно, например 3а. Това всъщност е съкращение за умножаване на числото 3 по променлива. аи този запис изглежда така 3×а .

С други думи, изразът 3ае произведението на числото 3 и променливата а. Номер 3 в тази работа наричат коефициент. Този коефициент показва колко пъти ще бъде увеличена променливата а. Този израз може да се чете като " атри пъти" или "три пъти А“, или „увеличете стойността на променлива атри пъти", но най-често се чете като "три а«

Например, ако променливата аравна на 5 , след това стойността на израза 3аще бъде равно на 15.

3 × 5 = 15

С прости думи, коефициентът е числото, което се появява преди буквата (преди променливата).

Може да има няколко букви, например 5abc. Тук коефициентът е числото 5 . Този коефициент показва, че произведението на променливите абвсе увеличава петкратно. Този израз може да се чете като " абвпет пъти" или "увеличете стойността на израза абвпет пъти" или "пет абв «.

Ако вместо променливи абвзаменете числата 2, 3 и 4, след това стойността на израза 5abcще бъдат равни 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можете мислено да си представите как числата 2, 3 и 4 първо са били умножени и получената стойност се е увеличила пет пъти:

Знакът на коефициента се отнася само за коефициента и не се отнася за променливите.

Помислете за израза −6b. Минус преди коефициента 6 , важи само за коеф 6 , и не принадлежи на променливата b. Разбирането на този факт ще ви позволи да не правите грешки в бъдеще със знаци.

Нека намерим стойността на израза −6bпри b = 3.

−6b −6×b. За по-голяма яснота нека напишем израза −6bв разширена форма и заменете стойността на променливата b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2.Намерете стойността на израз −6bпри b = −5

Нека запишем израза −6bв разширен вид

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3.Намерете стойността на израз −5a+bпри а = 3И b = 2

−5a+bтова е кратка форма за −5 × a + b, така че за яснота записваме израза −5×a+bв разширена форма и заменете стойностите на променливите аИ b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Понякога буквите се пишат без коефициент, например аили аб. В този случай коефициентът е единица:

но традиционно единицата не се записва, така че те просто пишат аили аб

Ако има минус преди буквата, тогава коефициентът е число −1 . Например изразът −aвсъщност изглежда така −1a. Това е произведението на минус едно и променливата а.Оказа се така:

−1 × a = −1a

Тук има малка уловка. В израза −aзнак минус пред променливата авсъщност се отнася за "невидима единица", а не за променлива а. Затова трябва да бъдете внимателни, когато решавате проблеми.

Например, ако е даден изразът −aи от нас се иска да намерим стойността му при а = 2, тогава в училище заместихме двойка вместо променлива аи получи отговор −2 , без да се фокусираме много върху това как се е получило. Всъщност минус едно беше умножено по положителното число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ако се даде изразът −aи трябва да намерите стойността му при a = −2, тогава заместваме −2 вместо променлива а

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

За да избегнете грешки, първоначално невидимите единици могат да бъдат изрично записани.

Пример 4.Намерете стойността на израз абвпри а=2 , b=3И c=4

Изразяване абв 1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза абв а, бИ ° С

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5.Намерете стойността на израз абвпри a=−2 , b=−3И c=−4

Нека запишем израза абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ ° С

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6.Намерете стойността на израз − абвпри a=3, b=5 и c=7

Изразяване − абвтова е кратка форма за −1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза − абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ ° С

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7.Намерете стойността на израз − абвпри a=−2 , b=−4 и c=−3

Нека запишем израза − абвв разширен вид:

−abc = −1 × a × b × c

Нека заместим стойностите на променливите а , bИ ° С

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как да определим коефициента

Понякога трябва да решите задача, в която трябва да определите коефициента на израз. По принцип тази задача е много проста. Достатъчно е да можете да умножавате числата правилно.

За да определите коефициента в израз, трябва отделно да умножите числата, включени в този израз, и отделно да умножите буквите. Полученият числов фактор ще бъде коефициентът.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Изразът се състои от няколко фактора. Това може да се види ясно, ако напишете израза в разширена форма. Тоест работи 7мИ 5анапишете го във формата 7×mИ 5×а

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Нека приложим асоциативния закон за умножение, който ви позволява да умножавате фактори в произволен ред. А именно, отделно ще умножим числата и отделно буквите (променливите):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 човек

Коефициентът е −105 . След завършване е препоръчително да подредите буквената част по азбучен ред:

−105 сутринта

Пример 2.Определете коефициента в израза: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефициентът е 6.

Пример 3.Определете коефициента в израза:

Нека да умножим числата и буквите отделно:

Коефициентът е −1. Моля, имайте предвид, че единицата не е записана, тъй като е обичайно да не се записва коефициентът 1.

Тези на пръв поглед най-прости задачи могат да ни изиграят много жестока шега. Често се оказва, че знакът на коефициента е зададен неправилно: или минусът липсва, или, напротив, той е зададен напразно. За да се избегнат тези досадни грешки, трябва да се изучава на добро ниво.

Събирания в буквални изрази

При събиране на няколко числа се получава сумата от тези числа. Числата, които събират, се наричат ​​събираеми. Може да има няколко термина, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когато един израз се състои от термини, е много по-лесно да се оцени, защото добавянето е по-лесно от изваждането. Но изразът може да съдържа не само добавяне, но и изваждане, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В този израз числата 3 и 5 са ​​субтрахенди, а не събираеми. Но нищо не ни пречи да заменим изваждането със събиране. Тогава отново получаваме израз, състоящ се от термини:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Няма значение, че числата −3 и −5 вече имат знак минус. Основното е, че всички числа в този израз са свързани със знак за добавяне, тоест изразът е сума.

И двата израза 1 + 2 − 3 + 4 − 5 И 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равно на същата стойност - минус едно

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Така смисълът на израза няма да пострада, ако някъде заменим изваждането със събиране.

Можете също да замените изваждането със събиране в буквални изрази. Например, разгледайте следния израз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За всякакви стойности на променливи a, b, c, dИ сизрази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s И 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ще бъде равно на същата стойност.

Трябва да сте подготвени за факта, че учител в училище или учител в институт може да извика четни числа (или променливи), които не са събираеми.

Например, ако разликата е написана на дъската a−b, тогава учителят няма да каже това ае минуенд, и b- изваждаем. Той ще извика и двете променливи с една обща дума - условия. И всичко това, защото изразът на формата a−bматематикът вижда как сумата a + (−b). В този случай изразът става сума, а променливите аИ (-b)стават условия.

Подобни условия

Подобни условия- това са термини, които имат еднаква буквена част. Например, разгледайте израза 7а + 6б + 2а. Компоненти 7аИ 2аимат една и съща буквена част - променлива а. Така че условията 7аИ 2аса подобни.

Обикновено подобни термини се добавят, за да се опрости израз или да се реши уравнение. Тази операция се нарича привеждане на подобни условия.

За да въведете подобни термини, трябва да добавите коефициентите на тези термини и да умножите получения резултат по общата буквена част.

Например, нека представим подобни термини в израза 3а + 4а + 5а. В този случай всички условия са подобни. Нека съберем техните коефициенти и умножим резултата по общата буквена част - по променливата а

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобни термини обикновено се припомнят и резултатът се записва веднага:

3a + 4a + 5a = 12a

Освен това човек може да разсъждава по следния начин:

Имаше 3 променливи a, към тях бяха добавени още 4 променливи a и още 5 променливи a. В резултат на това получихме 12 променливи a

Нека да разгледаме няколко примера за въвеждане на подобни условия. Като се има предвид, че тази тема е много важна, първо ще запишем подробно всеки малък детайл. Въпреки факта, че тук всичко е много просто, повечето хора правят много грешки. Най-вече поради невнимание, а не от незнание.

Пример 1. 3а+ 2а+ 6а+ 8а

Нека да съберем коефициентите в този израз и да умножим получения резултат по общата буквена част:

3а+ 2а+ 6а+ 8а=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19а

Конструкция (3 + 2 + 6 + 8) ×aНе е нужно да го записвате, така че ще запишем отговора веднага

3 а+ 2 а+ 6 а+ 8 а = 19 а

Пример 2.Дайте подобни термини в израза 2а+а

Втори срок анаписано без коефициент, но всъщност пред него има коефициент 1 , който не виждаме, защото не е записан. Така че изразът изглежда така:

2а + 1а

Сега нека представим подобни термини. Тоест събираме коефициентите и умножаваме резултата по общата буквена част:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Нека напишем накратко решението:

2а + а = 3а

2а+а, можете да мислите различно:

Пример 3.Дайте подобни термини в израза 2а-а

Нека заменим изваждането със събиране:

2a + (−a)

Втори срок (-а)написано без коефициент, но всъщност изглежда така (-1а).Коефициент −1 пак невидим поради факта, че не е записан. Така че изразът изглежда така:

2a + (−1a)

Сега нека представим подобни термини. Нека добавим коефициентите и умножим резултата по общата буквена част:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обикновено се пише по-кратко:

2a − a = a

Даване на подобни членове в израза 2а-аМожете да мислите различно:

Имаше 2 променливи a, извадете една променлива a и в резултат на това остана само една променлива a

Пример 4.Дайте подобни термини в израза 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Сега нека представим подобни термини. Нека съберем коефициентите и умножим резултата по общата буквена част

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Нека напишем накратко решението:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Има изрази, които съдържат няколко различни групи от подобни термини. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. За такива изрази важат същите правила като за останалите, а именно събиране на коефициентите и умножаване на получения резултат по общата буквена част. Но за да избегнете грешки, е удобно да подчертавате различни групи термини с различни редове.

Например в израза 3a + 3b + 7a + 2bтези термини, които съдържат променлива а, могат да бъдат подчертани с един ред и тези термини, които съдържат променлива b, може да се подчертае с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част. Това трябва да се направи и за двете групи термини: за термини, съдържащи променлива аи за термини, съдържащи променлива b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Отново, повтаряме, изразът е прост и подобни термини могат да бъдат дадени в ума:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5.Дайте подобни термини в израза 5a − 6a −7b + b

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Нека подчертаем подобни термини с различни редове. Термини, съдържащи променливи аподчертаваме с един ред и термините, съдържащи променливи b, подчертайте с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ако изразът съдържа обикновени числа без буквени множители, те се добавят отделно.

Пример 6.Дайте подобни термини в израза 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Нека представим подобни термини. Числа −5 И 7 нямат буквени фактори, но са подобни термини - просто трябва да се добавят. И срокът 2бще остане непроменен, тъй като е единственият в този израз, който има буквен фактор б,и няма с какво да го добавя:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Нека напишем накратко решението:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Термините могат да бъдат подредени така, че термините, които имат една и съща буквена част, да бъдат разположени в една и съща част на израза.

Пример 7.Дайте подобни термини в израза 5t+2x+3x+5t+x

Тъй като изразът е сбор от няколко члена, това ни позволява да го оценим в произволен ред. Следователно термините, съдържащи променливата T, може да се запише в началото на израза и термините, съдържащи променливата хв края на израза:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Сега можем да представим подобни условия:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Нека напишем накратко решението:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сборът на противоположните числа е нула. Това правило работи и за буквални изрази. Ако изразът съдържа идентични термини, но с противоположни знаци, тогава можете да се отървете от тях на етапа на намаляване на подобни термини. С други думи, просто ги елиминирайте от израза, тъй като сумата им е нула.

Пример 8.Дайте подобни термини в израза 3t − 4t − 3t + 2t

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Компоненти 3тИ (−3t)са противоположни. Сумата от противоположните членове е нула. Ако премахнем тази нула от израза, стойността на израза няма да се промени, така че ще я премахнем. И ние ще го премахнем, като просто задраскаме условията 3тИ (−3t)

В резултат на това ще останем с израза (−4t) + 2t. В този израз можете да добавите подобни термини и да получите крайния отговор:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Нека напишем накратко решението:

Опростяване на изрази

"опростете израза" и по-долу е изразът, който трябва да бъде опростен. Опростете изразозначава да го опростите и скъсите.

Всъщност ние вече сме опростявали изрази, когато сме съкращавали дроби. След редукция фракцията стана по-къса и по-лесна за разбиране.

Помислете за следния пример. Опростете израза.

Тази задача може буквално да се разбира по следния начин: „Приложете всички валидни действия към този израз, но го опростете.“ .

В този случай можете да намалите дробта, а именно да разделите числителя и знаменателя на дробта на 2:

Какво друго можете да направите? Можете да изчислите получената фракция. Тогава получаваме десетичната дроб 0,5

В резултат на това фракцията беше опростена до 0,5.

Първият въпрос, който трябва да си зададете, когато решавате подобни проблеми, трябва да бъде "Какво може да се направи?" . Защото има действия, които можете да направите, и има действия, които не можете да направите.

Друг важен момент, който трябва да запомните е, че значението на израза не трябва да се променя след опростяване на израза. Да се ​​върнем към израза. Този израз представлява разделяне, което може да се извърши. След като извършихме това разделяне, получаваме стойността на този израз, която е равна на 0,5

Но ние опростихме израза и получихме нов опростен израз. Стойността на новия опростен израз все още е 0,5

Но също така се опитахме да опростим израза, като го изчислим. В резултат на това получихме краен отговор 0,5.

Така, колкото и да опростяваме израза, стойността на получените изрази все още е равна на 0,5. Това означава, че опростяването е извършено правилно на всеки етап. Точно към това трябва да се стремим, когато опростяваме изразите – смисълът на израза не трябва да страда от нашите действия.

Често е необходимо да се опростят буквалните изрази. За тях важат същите правила за опростяване, както за числовите изрази. Можете да извършвате всякакви валидни действия, стига стойността на израза да не се променя.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1.Опростете израз 5,21 s × t × 2,5

За да опростите този израз, можете да умножите числата отделно и буквите отделно. Тази задача е много подобна на тази, която разгледахме, когато се научихме да определяме коефициента:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Така че изразът 5,21 s × t × 2,5опростен до 13 025 ст.

Пример 2.Опростете израз −0,4 × (−6,3b) × 2

Второ парче (-6.3b)може да се преведе в разбираема за нас форма, а именно написана във формата ( −6,3)×b,след това умножете числата поотделно и умножете отделно буквите:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Така че изразът −0,4 × (−6,3b) × 2 опростен до 5.04b

Пример 3.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до −abc.Това решение може да се напише накратко:

Когато опростявате изрази, дробите могат да бъдат намалени по време на процеса на решаване, а не в самия край, както направихме с обикновените дроби. Например, ако в хода на решаването срещнем израз от формата , тогава изобщо не е необходимо да изчисляваме числителя и знаменателя и да правим нещо подобно:

Една дроб може да бъде намалена чрез избиране на множител както в числителя, така и в знаменателя и намаляване на тези множители с техния най-голям общ множител. С други думи, употреба, при която не описваме подробно на какво са разделени числителят и знаменателят.

Например в числителя коефициентът е 12, а в знаменателя коефициентът 4 може да бъде намален с 4. Запазваме четворката в ума си и като разделим 12 и 4 на тази четворка, записваме отговорите до тези числа, като първо ги задраска

Сега можете да умножите получените малки множители. В този случай те са малко и можете да ги умножите наум:

С течение на времето може да откриете, че при решаването на определен проблем изразите започват да „напълняват“, така че е препоръчително да свикнете с бързи изчисления. Това, което може да бъде изчислено в ума, трябва да бъде изчислено в ума. Това, което може да бъде намалено бързо, трябва да бъде намалено бързо.

Пример 4.Опростете израз

Така че изразът опростен до

Пример 5.Опростете израз

Нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до мн.

Пример 6.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление десетичната дроб -6,4 и смесеното число могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до

Решението за този пример може да бъде написано много по-кратко. Ще изглежда така:

Пример 7.Опростете израз

Нека да умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление, смесени числа и десетични дроби 0,1 и 0,6 могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до abcd. Ако пропуснете подробностите, това решение може да бъде написано много по-кратко:

Забележете как е намалена дробта. Нови фактори, получени в резултат на намаляване на предишни фактори, също могат да бъдат намалени.

Сега нека поговорим какво да не правим. При опростяване на изрази е строго забранено умножаването на числа и букви, ако изразът е сбор, а не продукт.

Например, ако искате да опростите израза 5а+4б, тогава не можете да го напишете така:

Това е същото, както ако ни помолят да съберем две числа и ние ги умножим, вместо да ги съберем.

При заместване на стойности на променливи аИ bизразяване 5а +4бсе превръща в обикновен числов израз. Да приемем, че променливите аИ bимат следните значения:

a = 2, b = 3

Тогава стойността на израза ще бъде равна на 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Първо се извършва умножение и след това се добавят резултатите. И ако се опитаме да опростим този израз чрез умножаване на числа и букви, ще получим следното:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Оказва се съвсем различно значение на израза. В първия случай се получи 22 , във втория случай 120 . Това означава, че опростяването на израза 5а+4бе изпълнено неправилно.

След опростяване на израза, неговата стойност не трябва да се променя със същите стойности на променливите. Ако при заместване на стойности на променливи в оригиналния израз се получи една стойност, тогава след опростяване на израза трябва да се получи същата стойност, както преди опростяването.

С израз 5а+4бнаистина нищо не можеш да направиш. Това не го опростява.

Ако изразът съдържа подобни термини, те могат да бъдат добавени, ако целта ни е да опростим израза.

Пример 8.Опростете израз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или по-кратко: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Така че изразът 0,3a−0,4a+aопростен до 0.9a

Пример 9.Опростете израз −7,5a − 2,5b + 4a

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или по-кратко −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Срок (−2,5b)остана непроменен, защото нямаше с какво да се сложи.

Пример 10.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Коефициентът беше за по-лесно изчисляване.

Така че изразът опростен до

Пример 11.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

В този пример би било по-подходящо първо да съберете първия и последния коефициент. В този случай ще имаме кратко решение. Ще изглежда така:

Пример 12.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

Терминът остана непроменен, тъй като нямаше какво да се добави към него.

Това решение може да се напише много по-кратко. Ще изглежда така:

Краткото решение пропусна стъпките на замяна на изваждането със събиране и подробно описание на това как дробите се свеждат до общ знаменател.

Друга разлика е, че в подробното решение отговорът изглежда така , но накратко като . Всъщност те са едно и също изражение. Разликата е, че в първия случай изваждането се заменя със събиране, защото в началото, когато записахме решението в подробен вид, сменихме изваждането със събиране, където е възможно, и тази замяна се запази за отговора.

Идентичности. Тъждествено равни изрази

След като сме опростили всеки израз, той става по-прост и по-кратък. За да проверите дали опростеният израз е правилен, достатъчно е да замените стойностите на всяка променлива първо в предишния израз, който трябваше да бъде опростен, а след това в новия, който беше опростен. Ако стойността и в двата израза е една и съща, тогава опростеният израз е верен.

Нека да разгледаме един прост пример. Нека е необходимо да се опрости изразът 2a×7b. За да опростите този израз, можете да умножите числата и буквите отделно:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Нека проверим дали сме опростили правилно израза. За да направите това, нека заместим всички стойности на променливите аИ bпърво в първия израз, който трябваше да бъде опростен, и след това във втория, който беше опростен.

Нека стойностите на променливите а , bще бъде както следва:

a = 4, b = 5

Нека ги заместим в първия израз 2a×7b

Сега нека заместим същите стойности на променливата в израза, който е резултат от опростяването 2a×7b, а именно в израза 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Виждаме, че когато а=4И b=5стойност на първия израз 2a×7bи значението на втория израз 14abравен

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Същото ще се случи за всички други стойности. Например, нека а=1И b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

По този начин, за всякакви стойности на изразните променливи 2a×7bИ 14abса равни на една и съща стойност. Такива изрази се наричат идентично равни.

Заключаваме, че между изразите 2a×7bИ 14abможете да поставите знак за равенство, защото те са равни на една и съща стойност.

2a × 7b = 14ab

Равенство е всеки израз, който е свързан със знак за равенство (=).

И равенство на формата 2a×7b = 14abНаречен идентичност.

Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите.

Други примери за самоличности:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законите на математиката, които изучавахме, са идентичности.

Истинските числени равенства също са идентичности. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

При решаване на сложна задача, за да се улесни изчислението, сложният израз се заменя с по-прост израз, който е идентично равен на предходния. Тази замяна се нарича идентична трансформация на изразаили просто трансформиране на израза.

Например опростихме израза 2a×7b, и получи по-опростен израз 14ab. Това опростяване може да се нарече трансформация на идентичността.

Често можете да намерите задача, която казва "докажете, че равенството е идентичност" и тогава е дадено равенството, което трябва да се докаже. Обикновено това равенство се състои от две части: лявата и дясната част на равенството. Нашата задача е да извършим трансформации на идентичност с една от частите на равенството и да получим другата част. Или извършете идентични трансформации от двете страни на равенството и се уверете, че и двете страни на равенството съдържат едни и същи изрази.

Например, нека докажем, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

Нека опростим лявата страна на това равенство. За да направите това, умножете отделно цифрите и буквите:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В резултат на малка трансформация на идентичността лявата страна на равенството стана равна на дясната страна на равенството. Така че ние доказахме, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

От тъждествените трансформации се научихме да събираме, изваждаме, умножаваме и делим числа, да съкращаваме дроби, да събираме подобни членове, а също и да опростяваме някои изрази.

Но това не са всички идентични трансформации, които съществуват в математиката. Има още много идентични трансформации. Ще видим това повече от веднъж в бъдеще.

Задачи за самостоятелно решаване:

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци