Назад
Внимание! Преглед на слайдовете се използват изключително за информационни цели и може да не предоставя идеи за всички възможности за представяне. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
С концепциите за най-големия общ делител (възел) и най-малките общи ученици от гимназията (NOC) се намират в шестия клас. Тази тема винаги е трудна за усвояване. Децата често са объркани от тези концепции, не разбират защо трябва да бъдат изучавани. Наскоро и в популярната научна литература има отделни изявления, че този материал трябва да бъде изключен от училищната програма. Мисля, че това не е напълно вярно и е необходимо да го изучавате, ако не в уроците, след това в извънкласните времена в класовете на училищния компонент, е необходимо, тъй като допринася за развитието на логическото мислене на учениците, Увеличаване на скоростта на изчислителните операции, способността за решаване на проблеми с красиви методи.
Когато изучавате тема "Добавяне и изваждане на фракции с различни знаменатели", ние преподаваме деца да намерим общ знаменател на два или повече номера. Например, трябва да сгънете фракциите 1/3 и 1/5. Учениците лесно могат да намерят число, разделено без баланс от 3 и 5. Това е номер 15. Наистина, ако числата са малки, тогава общият им знаменател намира лесно, знаейки добре таблицата за умножение. Някой от момчетата забелязва, че този номер е продукт на числа 3 и 5. Децата съставляват мнение, че винаги можете да намерите общ знаменател за номера. Например, изваждаме фракцията 7/18 и 5/24. Ние намираме продукта от числа 18 и 24. Той е 432. Голям брой вече са получени и ако трябва да направите никакви изчисления (той се прилага за всички действия), вероятността за грешка се увеличава. Но най-ниските общо множествени номера (NOC), които в този случай са еквивалентни на най-малкия общ знаменател (нос) - 12, той значително ще улеснява изчисленията и ще доведе до по-бързо решение на примера и по този начин да спаси времето Определени за изпълнение на тази задача, която играе важна роля в изпълнението на окончателния тест, тестовата работа, особено по време на окончателното удостоверение.
При изучаване на тема "Намаляване на фракциите" можете да преместите последователно споделянето на числителя и знаменателя на фракцията на същото естествено число, докато използвате признаците на разделимостта на номера, като в крайна сметка не намалявате фракцията. Например, трябва да съкратите фракцията 128/344. Разделяме числатора и знаменателя на фракцията на номер 2, получаваме изстрел 64/172. За пореден път ще споделим цифровия и знаменател на получената фракция на 2, получаваме изстрел 32/86. Споделете отново зърното и знаменателя на фракцията 2, ние получаваме неразделна част 16/43. Но рязането на фракцията може да се извърши много по-лесно, ако открием най-големия общ делител на числа 128 и 344. възел (128, 344) \u003d 8. Разделяне на числителя и знаменателя на фракцията на този номер, ние веднага ще получим неразбираема фракция.
Необходимо е да се показват на децата различни начини за намиране на най-голям общ разделител (възел) и най-малките често срещани (NOK) номера. В прости случаи е удобно да се намери най-голям общ делител (възел) и най-малките често срещани (NOC) номера чрез просто разбиване. Когато номерата станат повече, можете да използвате разграждането на номера към прости фактори. В учебника на шестия клас (автор n.vilenkin) показва следния метод за намиране на най-големия общ делител (възел) числа. Разпространява номерата на прости фактори:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
След това, от множителите в разлагането на един от тези числа, изстреляйте тези, които не са включени в декомпозицията на друг номер. Работата на останалите мулти и ще бъде най-големият общ делител на тези числа. В този случай, това е номер 8. При своя опит е убеден, че децата са по-ясни, ако подчертаваме същите множители в разширенията на числата, а след това в една от разширенията откриваме работата на подчертаните множители. Това е най-големият делител на данните. В шестия клас децата са активни и любознателни. Можете да поставите следната задача пред тях: опитайте описания метод, за да намерите най-големия общ делител на числа 343 и 287. Не е видима веднага как да ги разгражда в прости фактори. И тук можете да им кажете за чудесен начин, изобретен от древните гърци, което позволява да се търсят най-голям общ делител (възел) без разлагане на прости фактори. Този метод за намиране на най-големия общ делител е описан за първи път в книгата Euclida "Начало". Той се нарича алгоритъм на евклидея. Това е както следва: първо се разделя на по-голям брой на по-малките. Ако остатъкът се получи, разделете по-малък брой на остатъка. Ако остатъкът се получи отново, тогава първият остатък е разделен на втория. Така че продължете да се разделят, докато остатъкът е нула. Последният делител е най-големият общ разделител (възел) на тези числа.
Нека се върнем към нашия пример и за яснота, запишете решението под формата на таблица.
| Дивидент | Разделител | Частни | Остатък |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Така, възел (344,287) \u003d 7
И как да намерите най-малкия обща (NOK) от същите числа? Има ли някакъв метод, който не изисква предварителното разлагане на тези номера към обикновените мултипликатори? Оказва се, че има и по-прости. Необходимо е да се умножат тези числа и да се раздели работата на най-големия общ делител (NOD), намерен от нас. В този пример броят на числата е 98441. Разделяме го на 7 и получаваме номер 14063. NOC (343,287) \u003d 14063.
Една от трудните теми в математиката е да решават текстови задачи. Необходимо е да се покажат на учениците как с помощта на концепциите "най-големият общ делител (възел)" и "най-малкото общо множествено (NOC)" могат да бъдат решени задачи, които понякога е трудно да се реши по обичайния начин. Целесъобразно е да се обмислят със студенти, както и задачите, предложени от авторите на училищен учебник, древни и забавни задачи, които развиват любопитство на децата и увеличават интереса към ученето на тази тема. Уменото притежание на тези концепции позволява на учениците да видят красиво решение на нестандартна задача. И ако детето има знак за успешна работа след детето след решаване на добра задача.
Така, изучаването в училището на такива концепции като "най-големият общ разделител (възел)" и "най-малките често срещани (NOK)" номера
Ви позволява да спестите време, назначени за работа, което води до значително увеличение на изпълняваните задачи;
Увеличава скоростта и точността на аритметичните операции, което води до значително намаляване на броя на допустимите изчислителни грешки;
Ви позволява да намерите красиви начини за решаване на нестандартни текстови задачи;
Развива студент по любопитство, разширявайки техните хоризонти;
Създава предпоставки за възпитание на универсална творческа личност.
Възелът е най-големият общ делител.
За да намерите най-големия общ делител на няколко номера, от които се нуждаете:
- дефинират мултипликатори, общи за двата номера;
- намерете продукт на обикновените мултипликатори.
Пример за намиране на кимване:
Намерете възли на числа 315 и 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Пийте множители, общи за двата номера:
3. Намерете продукт на общи фактори:
Възел (315; 245) \u003d 5 * 7 \u003d 35.
Отговор: възел (315; 245) \u003d 35.
Nok.
NOC е най-малката често срещана многократна.
За да намерите най-малкото общо няколко от няколко номера, от които се нуждаете:
- разлагат числата на прости фактори;
- запишете факторите, които влизат в разлагането на един от числата;
- добавям липсващи множители от разграждането на второто число;
- намерете продукт на получените мултипликатори.
Пример за намиране на NOC:
Ние откриваме NOC Numbers 236 и 328:
1. Разпространява номерата на прости мултипликатори:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Изписваме множителите, които са част от разлагането на един от числата и се преструват им от липсващите мулти от разлагането на второто число:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Ще намерим продукт на получените множители:
NOK (236; 328) \u003d 2 * 2 * 59 * 2 * 41 \u003d 19352.
Отговор: NOK (236; 328) \u003d 19352.
За да намерите възел (най-големият общ разделител) от две числа, е необходимо:
2. Намерете (подчертайте) всички общи грешки в получените декомпозиции.
3. Намерете продукт на обикновени прости мултипликатори.
За да намерите NOC (най-малкото общо множествено) от двете числа, е необходимо:
1. дефиксирайте броя на номерата на прости фактори.
2. разлагането на един от тях да допълва факторите на разлагането на друг номер, който не е в разлагането на първия.
3. Изчислете продукта на получените фактори.
Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ разделител и най-малкото общо за двама и за всеки друг брой числа.
Калкулатор за намиране на възли и NOK
Намерете възел и нок
Намерени са Node и Nok: 5806
Как да използвате калкулатора
- Въведете номерата в полето за въвеждане
- В случай на входни неправилни знаци, входната кутия ще бъде маркирана в червено
- кликнете върху "Намерете възел и Nok"
Как да въведете цифри
- Числата се въвеждат чрез пространство, точка или запетая
- Дължината на входните номера не е ограничена.Така че намирането на възли и номера на NOK няма да бъде трудно
Какво е кимване и нод?
Най-голямото общо деление Има няколко номера - това е най-голямото естествено цяло число, на което всички първоначални номера са разделени без остатък. Най-големият общ делител е съкратен като Възел.
Най-малката обща болка Има няколко номера - това е най-малкият брой, който е разделен на всеки от първоначалните номера без остатък. Най-малкото общо многократно е писмено съкратено като Nok..
Как да проверим дали номерът е разделен на друг номер без остатък?
За да разберете дали един номер е разделен на друг без остатък, можете да използвате някои свойства на разделимостта на номера. След това, комбинирайки ги, можете да проверите делимостта на някои от тях и техните комбинации.
Някои признаци на делимостта на номера
1. Знак за разделянето на броя с 2
За да определите дали номерът е разделен на две (независимо дали е дори използван), просто погледнете последната фигура от този номер: ако е равен на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава броят е ясно, което означава, че броят е ясно, което означава ясно, което означава, че броят е ясно Той е разделен на 2.
Пример: Определете дали тя е разделена на 2 номер 34938.
Решение: Разглеждаме последната цифра: 8 означава, че броят е разделен на две.
2. Знак за разделянето на броя с 3
Номерът е разделен на 3, когато сумата от нейните номера е разделена на три. Така, за да се определи дали броят е разделен на 3, е необходимо да се изчисли количеството на номерата и да се провери дали е разделен на 3., дори ако количеството на номерата се оказа много голямо, можете да повторите отново същия процес отново .
Пример: Определете дали числото 34938 е разделено на 3.
Решение: Считаме, че количеството числа: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 е разделена на 3 и следователно броят им е разделен на три.
3. Знак за разделянето на номера на 5
Номерът е разделен на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример: Определете дали числото 34938 е разделено на 5.
Решение: Разглеждаме последната цифра: 8 означава, че броят не е разделен на пет.
4. Знак за разделянето на броя до 9
Тази функция е много подобна на знак за разделяне отгоре: номерът е разделен на 9, когато сумата на нейните номера е разделена на 9.
Пример: Определете дали числото 34938 е разделено на 9.
Решение: Считаме, че количеството на числата: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 е разделена на 9 и следователно броят е разделен на девет.
Как да намерим възли и NOK две числа
Как да намерим два номера
Най-простият начин за изчисляване на най-големия общ делител на две числа е да се търсят всички възможни делители на тези числа и да изберете най-великия от тях.
Помислете за този метод върху примера за намиране на възел (28, 36):
- Получени и двата номера на множителите: 28 \u003d 1 · 2 · 2 · 7, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3
- Ние намираме общи множители, т.е. тези, които имат и двата номера: 1, 2 и 2.
- Изчислете продукта на тези мултипликатори: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числа 28 и 36.
Как да намерим две номера на NOK
Най-често срещаните два начина да намерите най-малките множество две числа са най-често срещани. Първият начин е, че е възможно да запишете първите няколко номера и след това да изберете сред тях такъв номер, който ще бъде често за двата номера и в същото време. И второто е да се намери възел на тези числа. Помислете само за това.
За да се изчисли NOC, е необходимо да се изчисли продуктът на първоначалните номера и след това да го раздели на предварително намерен възел. Намерете NOC за същите числа 28 и 36:
- Ние откриваме продукта от числа 28 и 36: 28 · 36 \u003d 1008
- Възел (28, 36), както вече е известен на 4
- NOK (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.
Намиране на Node и Nok за няколко номера
Най-големият споделен делител може да бъде намерен за няколко числа, а не само за двама. За тази цел броят на търсенето на най-голям общ делител се разгръща на прости фактори, след това се откриват продукт на обикновени множители от тези числа. Също така за намиране на възел от няколко номера можете да използвате следното съотношение: Възел (a, b, c) \u003d възел (възел (a, b), c).
Подобна връзка е валидна за най-малките общи многобройни номера: NOK (A, B, C) \u003d NOC (NOK (A, B), C)
Пример: Намерете възли и NOK за числа 12, 32 и 36.
- Заснети номерата на множителите: 12 \u003d 1 · 2 · 2 · 3, 32 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2,2, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3,3.
- Намерете някои множители: 1, 2 и 2.
- Тяхната работа ще даде NOD: 1 · 2 · 2 \u003d 4
- Сега ще открием Nok: да направим това, ще намеря NOK (12, 32): 12 · 32/4 \u003d 96.
- За да намерите NOC от трите числа, трябва да намерите възел (96, 36): 96 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3, възел \u003d 1 · 2 · 2 · 3 \u003d 12.
- NOK (12, 32, 36) \u003d 96 · 36/12 \u003d 288.
Определение. Най-голямото естествено число, на което е разделено без остатък А и Б, наречен най-големият общ делител (възел) Тези номера.
Намерете най-голям общ разделител на числа 24 и 35.
Разделителите 24 ще бъдат числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 и дивизорите 35 ще бъдат числа 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че цифрите 24 и 35 имат само един общ делител - номер 1. Такива номера се наричат взаимно прост.
Определение. Наричат \u200b\u200bсе естествени числа взаимно простАко най-големият им общ делител (възел) е равен на 1.
Най-големият общ разделител (възел) Можете да намерите, без да пишете всички разделители на тези числа.
Ще разложим номер 48 и 36 за факторите, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
На множителите, които са в разлагането на първия от тези числа, преодоляват тези, които не са включени в разлагането на второто число (т.е. две две).
Земеделски производители 2 * 2 * 3. Тяхната работа е 12. Това е номерът и е най-големият общ разделител на числа 48 и 36. Намерете най-голям общ делител на три или повече числа.
Да намеря най-голямото общо деление
2) от множителите, влизащи в разлагането на един от тези числа, изтриват тези, които не са включени в разлагането на други номера;
3) Намерете производството на останалите мултипликатори.
Ако всички тези числа са разделени на един от тях, този номер е най-големият общ делител Номера на данни.
Например, най-големият общ делител на числа 15, 45, 75 и 180 ще бъде номер 15, тъй като всички останали номера са разделени в нея: 45, 75 и 180.
Най-малката сума (NOK)
Определение. Най-малкия обща многократна (NOK) Естествените номера А и В се наричат \u200b\u200bнай-малкото естествено число, което е многократно и А, и b. Най-малкият обща (NOC) номера 75 и 60 могат да бъдат намерени и не се предписват подред за тези номера. За да направите това, раздаване на 75 и 60 на прости мултипликатори: 75 \u003d 3 * 5 * 5, и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Ние отписваме множителите, включени в разграждането на първия от тези числа, и добавят липсващи мулти 2 и 2 от разлагането на второто число (т.е. съчетаваме множителите).
Получаваме пет мултипликатори 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Този номер е най-нисък обща номера 75 и 60.
Също така намерете най-малкото често срещано многократно многократно за три или повече номера.
Да се намерете най-малкото общо множество Необходимо е няколко природни числа:
1) ги разлагат с прости фактори;
2) запишете факторите, които влизат в разлагането на един от числата;
3) добавяне на липсващи фактори от разширенията на останалите числа;
4) Намерете продукт на получените мултипликатори.
Обърнете внимание, че ако някой от тези номера е разделен на всички други номера, тогава този номер е най-ниският обем данни за номера.
Например, най-малките често срещани многобройни числа 12, 15, 20 и 60 ще бъдат номер 60, тъй като той е разделен на всички данни от номера.
Pythagoras (VI в. Пр. Хр.) И учениците му проучиха въпроса за разделянето на номера. Номер, равен на сумата на всичките му делители (без номера), те наричат \u200b\u200bперфектния номер. Например, числа 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) перфектно. Следните перфектни номера - 496, 8128, 33,550 336. Pythagors знаеха само първите три перфектни числа. Четвърто - 8128 - стана известно в век. н. д. Пети - 33 550 336 - е намерен през XV век. До 1983 г. вече са известни 27 перфектни номера. Но досега учените не знаят дали има нечетни перфектни номера, независимо дали има най-голям перфектен номер.
Интересът на древните математици към простите числа е свързан с факта, че всеки номер или прост, или може да бъде представен като продукт на прости номера, т.е., простите числа са като тухли, от които са изградени други естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редица естествени числа са неравномерно намерени в някои части от поредицата повече, в други - по-малко. Но по-далеч се движим около цифровия ред, толкова по-малко се намират. Възниква въпросът: Дали последният (най-големият) прост номер? Древен гръцки математик Евклид (III в. Пр. Хр.) В книгата си "начало", бивш за две хиляди години, основният учебник по математика, доказва, че простите числа са безкрайно много, т.е. за всеки прост брой има още по-голям прост номер .
За да намерите прости номера, друг гръцки математик едновременно, Ератосфен излезе с такъв начин. Той записа всички числа от 1 на някой номер и след това подчертава единица, която не е нито прост или постоянен номер, след това извика през всички числа след 2 (номера, множество 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.) . Първият оставащ брой след 2 е 3. Освен това е поставен в два номера, достигайки след 3 (номера, множество 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). В крайна сметка, само прости номера остават необезпечени.
За да се разбере как да се изчисли НОК, тя трябва да се определи предимно със стойността на термина "множествена".
Няколко номера А се нарича такова естествено число, което е разделено без остатък върху А. Така че броят на множеството 5 може да се счита за 15, 20, 25 и т.н.
Видът на даден номер може да бъде ограничено количество, но множество от безкрайния комплект.
Общото множество естествени числа е броят, който е разделен на тях без остатък.
Как да намерите най-малките общи многобройни номера
Най-малкият обща (NOC) номера (два, три или повече) е най-малкият естествен брой, който е разделен на всички тези числа.
За да намерите NOC, можете да използвате няколко начина.
За малки числа, удобно е да напишете всички множество от тези номера в линията, докато сред тях има общ. Множествата са обозначени в записа на главната буква К.
Например, няколко номера 4 могат да бъдат написани, както следва:
K (4) \u003d (8.12, 16, 20, 24, ...)
K (6) \u003d (12, 18, 24, ...)
Така че може да се види, че най-малките общи числа 4 и 6 са номер 24. Този запис се извършва, както следва:
NOK (4, 6) \u003d 24
Ако числата са големи, намерете пълното множество от три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на НОК.
За да изпълни задачата, е необходимо да се разложи предложените номера на прости мултипликатори.
Първо трябва да запишете най-големия в линията и под него - останалите.
В разлагането на всеки брой може да има различен брой множители.
Например, ние ще разложим числата 50 и 20 на прост фактор.
При разширяването на по-малък брой трябва да се подчертаят множителите, които не са в разлагането на първия по големина брой и след това ги добавете към него. В представения пример няма достатъчно две.
Сега можете да изчислите най-малкото често много време 20 и 50.
NOK (20, 50) \u003d 2 * 5 * 5 * 2 \u003d 100
Така, продуктът на прости мултипликатори с по-голям брой и множители на второто число, което не е влезли в разлагането на повече, ще бъде най-малкото общо.
За да намерим НОК от трите номера и повече, те трябва да ги раздадат на прости мултипликатори, както в предишния случай.
Като пример, можете да намерите най-малкия обща номера 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Така, в разлагането на по-голям брой, факторите не влизат само на две близнаци от декомпозицията на шестнадесет (един е в разлагането на двадесет и четири).
Така те трябва да бъдат добавени към разлагането на по-голям брой.
NOK (12, 16, 36) \u003d 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 \u003d 9
Има специални случаи на определяне на най-малкото често срещано многократно. Така че, ако някой от числата може да бъде разделен без остатък към друг, след това повече от тези числа и ще бъде най-малката често срещана болка.
Например, Nok дванадесет и двадесет и четири ще бъдат двадесет и четири.
Ако е необходимо да се намери най-малкото обща множество взаимно прости числа, които нямат същите делители, техният НОК ще бъде равен на тяхната работа.
Например, NOK (10, 11) \u003d 110.