परिभाषा।एक फ़ंक्शन F (x) को किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है यदि किसी दिए गए अंतराल से किसी x के लिए F"(x)= f (x)।
प्रतिअवकलजों का मुख्य गुण।
यदि F (x) फ़ंक्शन f (x) का एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन F (x)+ C, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, फ़ंक्शन f (x) का एक प्रतिअवकलन भी है (अर्थात्, के सभी प्रतिअवकलन फ़ंक्शन f(x) को F(x) + C) के रूप में लिखा जाता है।
ज्यामितीय व्याख्या.
किसी दिए गए फ़ंक्शन f (x) के सभी प्रतिअवकलन के ग्राफ ओए अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा किसी एक प्रतिअवकलन के ग्राफ से प्राप्त किए जाते हैं।
प्रतिअवकलजों की तालिका.
प्रतिअवकलन खोजने के नियम .
मान लीजिए F(x) और G(x) क्रमशः फलन f(x) और g(x) के प्रतिअवकलज हैं। तब:
1. एफ ( एक्स) ± जी ( एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) ± जी(एक्स);
2. एएफ ( एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एएफ(एक्स);
3. - के लिए प्रतिअवकलन एएफ(केएक्स +बी).
"एंटीडेरिवॉइड" विषय पर कार्य और परीक्षण
- antiderivative
पाठ: 1 असाइनमेंट: 11 परीक्षण: 1
- व्युत्पन्न और प्रतिव्युत्पन्न - गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा
कार्य: 3
- अभिन्न - प्रतिव्युत्पन्न और अभिन्न ग्रेड 11
पाठ: 4 कार्य: 13 परीक्षण: 1
- अभिन्नों का उपयोग करके क्षेत्रों की गणना करना - प्रतिव्युत्पन्न और अभिन्न ग्रेड 11
पाठ: 1 असाइनमेंट: 10 परीक्षण: 1
इस विषय का अध्ययन करने के बाद, आपको पता होना चाहिए कि प्रतिअवकलन किसे कहा जाता है, इसका मुख्य गुण, ज्यामितीय व्याख्या, प्रतिअवकलन खोजने के नियम; एक तालिका और प्रतिअवकलन खोजने के नियमों के साथ-साथ किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले प्रतिअवकलन का उपयोग करके कार्यों के सभी प्रतिअवकलन खोजने में सक्षम हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करके इस विषय पर समस्याओं को हल करने पर विचार करें। निर्णयों के प्रारूपण पर ध्यान दें.
उदाहरण।
1. पता लगाएँ कि क्या फ़ंक्शन F ( एक्स) = एक्स 3 – 3एक्सफ़ंक्शन के लिए + 1 प्रतिअवकलन एफ(एक्स) = 3(एक्स 2 – 1).
समाधान:एफ"( एक्स) = (एक्स 3 – 3एक्स+ 1)′ = 3 एक्स 2 – 3 = 3(एक्स 2 – 1) = एफ(एक्स), अर्थात। एफ"( एक्स) = एफ(एक्स), इसलिए F(x) फ़ंक्शन f(x) का एक प्रतिअवकलन है।
2. सभी प्रतिअवकलन फलन खोजें f(x) :
ए) एफ(एक्स) = एक्स 4 + 3एक्स 2 + 5
समाधान:तालिका और प्रतिअवकलज खोजने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
उत्तर:
बी) एफ(एक्स) = पाप(3 एक्स – 2)
समाधान:
इस पृष्ठ पर आप पाएंगे:
1. दरअसल, प्रतिअवकलन तालिका - इसे पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करके मुद्रित किया जा सकता है;
2. इस तालिका का उपयोग कैसे करें पर वीडियो;
3. विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और परीक्षणों से प्रतिअवकलन की गणना के उदाहरणों का एक समूह।
वीडियो में ही, हम कई समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जहां आपको कार्यों के एंटीडेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता होती है, जो अक्सर काफी जटिल होते हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे पावर फ़ंक्शन नहीं हैं। ऊपर प्रस्तावित तालिका में संक्षेपित सभी कार्यों को डेरिवेटिव की तरह दिल से जाना जाना चाहिए। उनके बिना, अभिन्नों का आगे का अध्ययन और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग असंभव है।
आज हम आदिम का अध्ययन जारी रखते हैं और थोड़े अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ते हैं। यदि पिछली बार हमने केवल शक्ति कार्यों और थोड़े अधिक जटिल निर्माणों के प्रतिअवकलजों पर ध्यान दिया था, तो आज हम त्रिकोणमिति और बहुत कुछ देखेंगे।
जैसा कि मैंने पिछले पाठ में कहा था, डेरिवेटिव के विपरीत, एंटीडेरिवेटिव को कभी भी किसी मानक नियम का उपयोग करके "तुरंत" हल नहीं किया जाता है। इसके अलावा, बुरी खबर यह है कि, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिअवकलन पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया जा सकता है। यदि हम एक पूरी तरह से यादृच्छिक फ़ंक्शन लिखते हैं और इसके व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करते हैं, तो बहुत अधिक संभावना के साथ हम सफल होंगे, लेकिन इस मामले में एंटीडेरिवेटिव की गणना लगभग कभी नहीं की जाएगी। लेकिन एक अच्छी खबर है: कार्यों का एक काफी बड़ा वर्ग है जिसे प्राथमिक कार्य कहा जाता है, जिसके प्रतिअवकलन की गणना करना बहुत आसान है। और अन्य सभी अधिक जटिल संरचनाएँ जो सभी प्रकार के परीक्षणों, स्वतंत्र परीक्षणों और परीक्षाओं पर दी जाती हैं, वास्तव में, जोड़, घटाव और अन्य सरल क्रियाओं के माध्यम से इन प्राथमिक कार्यों से बनी होती हैं। ऐसे कार्यों के प्रोटोटाइप की लंबे समय से गणना की गई है और उन्हें विशेष तालिकाओं में संकलित किया गया है। ये वे फ़ंक्शन और तालिकाएँ हैं जिनके साथ हम आज काम करेंगे।
लेकिन हम, हमेशा की तरह, दोहराव के साथ शुरू करेंगे: आइए याद रखें कि एक एंटीडेरिवेटिव क्या है, उनमें से अनगिनत क्यों हैं, और उनकी सामान्य उपस्थिति का निर्धारण कैसे करें। ऐसा करने के लिए, मैंने दो सरल समस्याएं उठाईं।
आसान उदाहरणों को हल करना
उदाहरण 1
आइए तुरंत ध्यान दें कि $\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text() )(6)$ और सामान्य तौर पर $\text()\!\!\pi\ की उपस्थिति !\!\ text()$ तुरंत हमें संकेत देता है कि फ़ंक्शन का आवश्यक प्रतिअवकलन त्रिकोणमिति से संबंधित है। और, वास्तव में, यदि हम तालिका को देखें, तो हम पाएंगे कि $\frac(1)(1+((x)^(2)))$, $\text(arctg)x$ से अधिक कुछ नहीं है। तो चलिए इसे लिखते हैं:
खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+सी\]
उदाहरण क्रमांक 2
हम यहां त्रिकोणमितीय फलनों के बारे में भी बात कर रहे हैं। यदि हम तालिका को देखें, तो, वास्तव में, यही होता है:
हमें एंटीडेरिवेटिव्स के पूरे सेट में से वह ढूंढना होगा जो संकेतित बिंदु से होकर गुजरता है:
\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
आइए अंत में इसे लिखें:
यह इतना आसान है। एकमात्र समस्या यह है कि सरल कार्यों के प्रतिअवकलन की गणना करने के लिए, आपको प्रतिअवकलन की एक तालिका सीखने की आवश्यकता है। हालाँकि, आपके लिए व्युत्पन्न तालिका का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि यह कोई समस्या नहीं होगी।
घातांकीय फलन वाली समस्याओं को हल करना
आरंभ करने के लिए, आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
आइए देखें कि यह सब व्यवहार में कैसे काम करता है।
उदाहरण 1
यदि हम कोष्ठक की सामग्री को देखते हैं, तो हम देखेंगे कि प्रतिअवकलन की तालिका में $((e)^(x))$ के लिए ऐसी कोई अभिव्यक्ति नहीं है जो एक वर्ग में हो, इसलिए इस वर्ग का विस्तार किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करते हैं:
आइए प्रत्येक पद के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करें:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
आइए अब सभी पदों को एक ही अभिव्यक्ति में एकत्रित करें और सामान्य प्रतिअवकलन प्राप्त करें:
उदाहरण क्रमांक 2
इस बार डिग्री बड़ी है, इसलिए संक्षिप्त गुणन सूत्र काफी जटिल होगा। तो आइए कोष्ठक खोलें:
आइए अब इस निर्माण से अपने सूत्र का प्रतिअवकलज लेने का प्रयास करें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय फलन के प्रतिअवकलन में कुछ भी जटिल या अलौकिक नहीं है। उन सभी की गणना तालिकाओं के माध्यम से की जाती है, लेकिन चौकस छात्र शायद देखेंगे कि प्रतिअवकलन $((e)^(2x))$, $((a) की तुलना में केवल $((e)^(x))$ के बहुत करीब है )^(x ))$. तो, शायद कुछ और विशेष नियम हैं जो प्रतिअवकलन $((e)^(x))$ को जानते हुए, $((e)^(2x))$ खोजने की अनुमति देते हैं? हां, ऐसा नियम मौजूद है. और, इसके अलावा, यह प्रतिअवकलन तालिका के साथ काम करने का एक अभिन्न अंग है। अब हम उन्हीं अभिव्यक्तियों का उपयोग करके इसका विश्लेषण करेंगे जिनके साथ हमने अभी एक उदाहरण के रूप में काम किया था।
प्रतिअवकलजों की तालिका के साथ कार्य करने के नियम
आइए अपना कार्य फिर से लिखें:
पिछले मामले में, हमने हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया था:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
लेकिन अब इसे थोड़ा अलग ढंग से करते हैं: आइए याद रखें कि किस आधार पर $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. जैसा कि मैंने पहले ही कहा, क्योंकि व्युत्पन्न $((e)^(x))$, $((e)^(x))$ से अधिक कुछ नहीं है, इसलिए इसका प्रतिअवकलन उसी $((e) ^ के बराबर होगा (x))$. लेकिन समस्या यह है कि हमारे पास $((e)^(2x))$ और $((e)^(-2x))$ हैं। आइए अब $((e)^(2x))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \प्राइम ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
आइए अपने निर्माण को फिर से लिखें:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\ prime ))\]
इसका मतलब यह है कि जब हम प्रतिअवकलज $((e)^(2x))$ पाते हैं तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहले जैसा ही परिणाम मिला, लेकिन हमने $((a)^(x))$ खोजने के लिए सूत्र का उपयोग नहीं किया। अब यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है: जब एक मानक सूत्र मौजूद है तो गणना को जटिल क्यों बनाया जाए? हालाँकि, थोड़े अधिक जटिल अभिव्यक्तियों में आप पाएंगे कि यह तकनीक बहुत प्रभावी है, अर्थात। प्रतिअवकलज खोजने के लिए व्युत्पन्नों का उपयोग करना।
वार्म-अप के रूप में, आइए समान तरीके से $((e)^(2x))$ का प्रतिअवकलन ज्ञात करें:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\ prime ))\]
गणना करते समय हमारा निर्माण इस प्रकार लिखा जाएगा:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
हमें बिल्कुल वही परिणाम मिला, लेकिन हमने एक अलग रास्ता अपनाया। यह वह मार्ग है, जो अब हमें थोड़ा अधिक जटिल लगता है, जो भविष्य में अधिक जटिल प्रतिअवकलजों की गणना करने और तालिकाओं का उपयोग करने के लिए अधिक प्रभावी हो जाएगा।
टिप्पणी! यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है: डेरिवेटिव की तरह, एंटीडेरिवेटिव को कई अलग-अलग तरीकों से गिना जा सकता है। हालाँकि, यदि सभी गणनाएँ और गणनाएँ समान हैं, तो उत्तर भी एक ही होगा। हमने इसे अभी $((e)^(-2x))$ के उदाहरण के साथ देखा है - एक ओर, हमने परिभाषा का उपयोग करके इस एंटीडेरिवेटिव "राइट थ्रू" की गणना की और दूसरी ओर, ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग करके इसकी गणना की। हमें याद आया कि $ ((e)^(-2x))$ को $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है और तभी हमने इसका उपयोग किया फ़ंक्शन $( (a)^(x))$ के लिए प्रतिअवकलन। हालाँकि, सभी परिवर्तनों के बाद, परिणाम वैसा ही था, जैसा अपेक्षित था।
और अब जब हम यह सब समझ गए हैं, तो कुछ और महत्वपूर्ण चीज़ों की ओर आगे बढ़ने का समय आ गया है। अब हम दो सरल निर्माणों का विश्लेषण करेंगे, लेकिन उन्हें हल करते समय जिस तकनीक का उपयोग किया जाएगा वह तालिका से पड़ोसी एंटीडेरिवेटिव्स के बीच "चलने" की तुलना में अधिक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण है।
समस्या समाधान: किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन खोजना
उदाहरण 1
आइए अंशों में मौजूद राशि को तीन अलग-अलग अंशों में विभाजित करें:
यह काफी स्वाभाविक और समझने योग्य परिवर्तन है - अधिकांश छात्रों को इससे कोई समस्या नहीं है। आइए अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखें:
आइए अब इस सूत्र को याद रखें:
हमारे मामले में हमें निम्नलिखित मिलेगा:
इन सभी तीन मंजिला अंशों से छुटकारा पाने के लिए, मैं निम्नलिखित करने का सुझाव देता हूं:
उदाहरण क्रमांक 2
पिछले भिन्न के विपरीत, हर एक गुणनफल नहीं है, बल्कि एक योग है। इस मामले में, हम अब अपने भिन्न को कई सरल भिन्नों के योग में विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हमें किसी तरह यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि अंश में हर के समान ही अभिव्यक्ति हो। इस मामले में, इसे करना काफी सरल है:
यह अंकन, जिसे गणितीय भाषा में "शून्य जोड़ना" कहा जाता है, हमें भिन्न को फिर से दो टुकड़ों में विभाजित करने की अनुमति देगा:
आइए अब खोजें कि हम क्या खोज रहे थे:
बस इतना ही हिसाब है. पिछली समस्या की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना की मात्रा और भी कम निकली।
समाधान की बारीकियां
और यहीं पर सारणीबद्ध प्रतिअवकलन के साथ काम करने की मुख्य कठिनाई निहित है, यह दूसरे कार्य में विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है। तथ्य यह है कि कुछ तत्वों का चयन करने के लिए जिनकी गणना तालिका के माध्यम से आसानी से की जा सकती है, हमें यह जानना होगा कि हम वास्तव में क्या खोज रहे हैं, और इन तत्वों की खोज में ही एंटीडेरिवेटिव की पूरी गणना शामिल है।
दूसरे शब्दों में, केवल प्रतिअवकलजों की तालिका को याद कर लेना पर्याप्त नहीं है - आपको कुछ ऐसा देखने में सक्षम होने की आवश्यकता है जो अभी तक अस्तित्व में नहीं है, लेकिन इस समस्या के लेखक और संकलक का क्या मतलब है। यही कारण है कि कई गणितज्ञ, शिक्षक और प्रोफेसर लगातार तर्क देते हैं: "प्रतिअवकलन या एकीकरण क्या है - क्या यह सिर्फ एक उपकरण है या यह एक वास्तविक कला है?" वास्तव में, मेरी व्यक्तिगत राय में, एकीकरण बिल्कुल भी कला नहीं है - इसमें कुछ भी उदात्त नहीं है, यह सिर्फ अभ्यास और अधिक अभ्यास है। और अभ्यास के लिए, आइए तीन और गंभीर उदाहरण हल करें।
हम व्यवहार में एकीकरण का प्रशिक्षण लेते हैं
कार्य क्रमांक 1
आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
आइए निम्नलिखित लिखें:
समस्या क्रमांक 2
आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:
कुल प्रतिअवकलन इसके बराबर होगा:
समस्या क्रमांक 3
इस कार्य की कठिनाई यह है कि, उपरोक्त पिछले कार्यों के विपरीत, इसमें कोई चर $x$ नहीं है, यानी। यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि कम से कम कुछ वैसा ही प्राप्त करने के लिए क्या जोड़ें या घटाएँ जो नीचे है। हालाँकि, वास्तव में, इस अभिव्यक्ति को पिछले किसी भी अभिव्यक्ति की तुलना में और भी सरल माना जाता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
अब आप पूछ सकते हैं: ये कार्य समान क्यों हैं? की जाँच करें:
आइए इसे दोबारा लिखें:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को थोड़ा रूपांतरित करें:
और जब मैं अपने छात्रों को यह सब समझाता हूं, तो लगभग हमेशा एक ही समस्या उत्पन्न होती है: पहले फ़ंक्शन के साथ सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट होता है, दूसरे के साथ आप इसे भाग्य या अभ्यास से भी समझ सकते हैं, लेकिन आप किस प्रकार की वैकल्पिक चेतना रखते हैं तीसरे उदाहरण को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है? दरअसल, डरो मत. अंतिम प्रतिअवकलन की गणना करते समय हमने जिस तकनीक का उपयोग किया था उसे "किसी फ़ंक्शन का उसके सरलतम में अपघटन" कहा जाता है, और यह एक बहुत ही गंभीर तकनीक है, और एक अलग वीडियो पाठ इसके लिए समर्पित होगा।
इस बीच, मैं उस पर लौटने का प्रस्ताव करता हूं जिसका हमने अभी अध्ययन किया है, अर्थात् घातांकीय कार्यों पर और उनकी सामग्री के साथ समस्याओं को कुछ हद तक जटिल बनाने पर।
प्रतिअवकलन घातीय कार्यों को हल करने के लिए अधिक जटिल समस्याएं
कार्य क्रमांक 1
आइए निम्नलिखित पर ध्यान दें:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
इस व्यंजक का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, बस मानक सूत्र - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ का उपयोग करें।
हमारे मामले में, प्रतिअवकलन इस प्रकार होगा:
बेशक, जिस डिज़ाइन को हमने अभी हल किया है, उसकी तुलना में यह सरल दिखता है।
समस्या क्रमांक 2
फिर, यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन को आसानी से दो अलग-अलग शब्दों - दो अलग-अलग अंशों में विभाजित किया जा सकता है। आइए फिर से लिखें:
ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके इनमें से प्रत्येक पद का प्रतिअवकलज ज्ञात करना बाकी है:
पावर फ़ंक्शंस की तुलना में घातीय फ़ंक्शंस की स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना और गणना की कुल मात्रा बहुत सरल हो गई।
बेशक, जानकार छात्रों के लिए, जो हमने अभी चर्चा की है (विशेषकर जो हमने पहले चर्चा की है उसकी पृष्ठभूमि में) प्राथमिक अभिव्यक्ति की तरह लग सकती है। हालाँकि, आज के वीडियो पाठ के लिए इन दो समस्याओं को चुनते समय, मैंने आपको एक और जटिल और परिष्कृत तकनीक बताने का लक्ष्य निर्धारित नहीं किया था - मैं आपको केवल यह दिखाना चाहता था कि आपको मूल कार्यों को बदलने के लिए मानक बीजगणित तकनीकों का उपयोग करने से डरना नहीं चाहिए। .
एक "गुप्त" तकनीक का उपयोग करना
अंत में, मैं एक और दिलचस्प तकनीक पर गौर करना चाहूंगा, जो एक तरफ, आज हमने मुख्य रूप से चर्चा की गई बातों से आगे निकल जाती है, लेकिन दूसरी तरफ, सबसे पहले, यह बिल्कुल भी जटिल नहीं है, यानी। यहां तक कि शुरुआती छात्र भी इसमें महारत हासिल कर सकते हैं, और दूसरी बात, यह अक्सर सभी प्रकार के परीक्षणों और स्वतंत्र कार्यों में पाया जाता है, अर्थात। प्रतिअवकलजों की तालिका के ज्ञान के अतिरिक्त इसका ज्ञान भी बहुत उपयोगी होगा।
कार्य क्रमांक 1
जाहिर है, हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान ही कुछ है। इस मामले में हमें क्या करना चाहिए? आइए इसके बारे में सोचें: $x-5$, $x$ से बहुत अलग नहीं है - उन्होंने बस $-5$ जोड़ा है। आइए इसे इस तरह लिखें:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\ prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
आइए $((\left(x-5 \right))^(5))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
यह संकेत करता है:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ दाएं))^(\प्राइम ))\]
तालिका में ऐसा कोई मान नहीं है, इसलिए अब हमने पावर फ़ंक्शन के लिए मानक एंटीडेरिवेटिव फॉर्मूला का उपयोग करके इस सूत्र को स्वयं प्राप्त किया है। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें:
समस्या क्रमांक 2
कई छात्र जो पहले समाधान को देखते हैं, वे सोच सकते हैं कि सब कुछ बहुत सरल है: बस पावर फ़ंक्शन में $x$ को एक रैखिक अभिव्यक्ति के साथ बदलें, और सब कुछ ठीक हो जाएगा। दुर्भाग्य से, सब कुछ इतना सरल नहीं है, और अब हम इसे देखेंगे।
पहली अभिव्यक्ति के अनुरूप, हम निम्नलिखित लिखते हैं:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\प्राइम ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
अपने व्युत्पन्न पर लौटते हुए, हम लिख सकते हैं:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \दाएं))^(\प्राइम ))\]
यह तुरंत अनुसरण करता है:
समाधान की बारीकियां
कृपया ध्यान दें: यदि पिछली बार अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं बदला, तो दूसरे मामले में, $-10$ के बजाय $-30$ दिखाई दिया। $-10$ और $-30$ के बीच क्या अंतर है? जाहिर है, $-3$ के कारक से। प्रश्न: यह कहां से आया? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि इसे एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के परिणामस्वरूप लिया गया था - जो गुणांक $x$ था वह नीचे दिए गए प्रतिअवकलन में दिखाई देता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम है, जिस पर मैंने शुरू में आज के वीडियो पाठ में चर्चा करने की योजना नहीं बनाई थी, लेकिन इसके बिना सारणीबद्ध प्रतिअवकलन की प्रस्तुति अधूरी होगी।
तो चलिए इसे फिर से करते हैं। मान लीजिए कि हमारा मुख्य शक्ति कार्य है:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
अब, $x$ के स्थान पर, अभिव्यक्ति $kx+b$ को प्रतिस्थापित करें। फिर क्या होगा? हमें निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \दाएँ)\cdot k)\]
हम किस आधार पर यह दावा करते हैं? बहुत सरल। आइए ऊपर लिखे निर्माण का व्युत्पन्न खोजें:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \प्राइम ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
यह वही अभिव्यक्ति है जो मूल रूप से अस्तित्व में थी। इस प्रकार, यह सूत्र भी सही है, और इसका उपयोग प्रतिअवकलन की तालिका को पूरक करने के लिए किया जा सकता है, या पूरी तालिका को याद रखना बेहतर है।
"गुप्त: तकनीक" से निष्कर्ष:
- दोनों फ़ंक्शन जिन्हें हमने अभी देखा, वास्तव में, डिग्री का विस्तार करके तालिका में संकेतित एंटीडेरिवेटिव्स तक कम किया जा सकता है, लेकिन अगर हम कमोबेश किसी तरह चौथी डिग्री से निपट सकते हैं, तो मैं नौवीं डिग्री पर भी विचार नहीं करूंगा प्रकट करने का साहस किया।
- यदि हमें डिग्रियों का विस्तार करना होता, तो हम इतनी अधिक मात्रा में गणनाएँ कर लेते कि एक साधारण कार्य के लिए हमें अनुचित रूप से बड़ी मात्रा में समय लग जाता।
- इसीलिए ऐसी समस्याएं, जिनमें रैखिक अभिव्यक्तियाँ होती हैं, उन्हें "सिर झुकाकर" हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। जैसे ही आपके सामने कोई ऐसा प्रतिअवकलन आता है जो तालिका में दिए गए प्रतिअवकलन से केवल अंदर अभिव्यक्ति $kx+b$ की उपस्थिति से भिन्न होता है, तुरंत ऊपर लिखे सूत्र को याद रखें, इसे अपनी तालिका प्रतिअवकलन में प्रतिस्थापित करें, और सब कुछ बहुत अच्छा हो जाएगा तेज़ और आसान.
स्वाभाविक रूप से, इस तकनीक की जटिलता और गंभीरता के कारण, हम भविष्य के वीडियो पाठों में कई बार इस पर विचार करेंगे, लेकिन आज के लिए बस इतना ही। मुझे आशा है कि यह पाठ वास्तव में उन छात्रों की मदद करेगा जो प्रतिअवकलन और एकीकरण को समझना चाहते हैं।
इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।
हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं
एकीकरण को प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। हमारे ब्लॉग पर इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक के बारे में पहले से ही जानकारी है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न
आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .
अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .
दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।
सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।
सरल उदाहरण:
प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में रखना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है।
छात्रों के लिए अभिन्नों की पूरी तालिका
समाकलन परिभाषित करें
अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्रफल, एक गैर-समान पिंड का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।
उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?
एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:
बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।
बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल" वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है
डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम
अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण
अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।
- इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:
- स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:
- योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:
एक निश्चित अभिन्न के गुण
- रैखिकता:
- यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:
- पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:
हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:
अभिन्नों को हल करने के उदाहरण
नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हमारा सुझाव है कि आप स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाएं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।
सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। छात्रों के लिए एक पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपके अधिकार में होगा।
पहले, किसी दिए गए फ़ंक्शन को देखते हुए, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित होकर, हमने उसका व्युत्पन्न पाया था। व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
लेकिन गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक विपरीत समस्या भी है - ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।
उदाहरण 1।एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है, समय t पर इसकी गति सूत्र v=gt द्वारा दी जाती है। गति का नियम खोजें.
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसका मतलब है कि समस्या को हल करने के लिए आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) का चयन करना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। इसका अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है वह \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).वास्तव में
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमें \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिला। वास्तव में, समस्या के असीमित रूप से कई समाधान हैं: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, एक नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, क्योंकि \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी समय में एक गतिशील बिंदु के निर्देशांक को इंगित करना, उदाहरण के लिए t = 0 पर। यदि, मान लीजिए, s(0) = s 0, तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें मिलता है: s(0) = 0 + C, यानी C = s 0. अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0।
गणित में, परस्पर व्युत्क्रम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए जाते हैं, विशेष संकेतन का आविष्कार किया जाता है, उदाहरण के लिए: वर्ग (x 2) और वर्गमूल (\(\sqrt(x) \)), साइन (sin x) और आर्कसाइन (arcsin x) और आदि किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव, और व्युत्क्रम ऑपरेशन, यानी किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है एकीकरण.
शब्द "व्युत्पन्न" को स्वयं "रोज़मर्रा के संदर्भ में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y = f(x) एक नए फ़ंक्शन y" = f"(x) को "जन्म देता है"। फ़ंक्शन y = f(x) एक "जनक" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं; वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y" = f"( के संबंध में है) x) , प्राथमिक छवि, या आदिम।
परिभाषा।फ़ंक्शन y = F(x) को अंतराल X पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता F"(x) = f(x) \(x \in
व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।
चलिए उदाहरण देते हैं.
1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y = x 3, फ़ंक्शन y = 3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y = syn(x) फ़ंक्शन y = cos(x) के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य है
प्रतिअवकलज, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।
हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।
नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।
हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।
नियम 2.यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
प्रमेय 1.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन y = f(kx + m) के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन \(y=\frac(1)(k)F है (kx+m) \)
प्रमेय 2.यदि y = F(x) अंतराल + सी.
एकीकरण के तरीके
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)
प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात् प्रतिस्थापन) शामिल करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए कम करने योग्य होता है। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास के माध्यम से प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कि अभिन्न \(\textstyle \int F(x)dx \) की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन करें \(x= \varphi(t) \) जहां \(\varphi(t) \) एक फ़ंक्शन है जिसमें निरंतर व्युत्पन्न है।
फिर \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) फॉर्म के भावों का एकीकरण
यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन पाप x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
भागों द्वारा एकीकरण
भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
या:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)