एक भिन्नात्मक संख्या एक पूर्णांक है। परिमेय संख्याएँ क्या हैं? अन्य क्या हैं

परिमेय संख्या

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एतथा बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया योगनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए ए , बीतथा सीअगर एकम बीतथा बीकम सी, फिर एकम सी, और अगर एबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" Border="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपी जाती है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का एक औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक में से एक की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुणधर्म से भी गणनीय होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ विस्मयकारी हो सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास हो जाता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• आई. कुशनिर। स्कूली बच्चों के लिए गणित की हैंडबुक। - कीव: एस्टार्टा, 1998. - 520 पी।
• पीएस अलेक्जेंड्रोव। सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी सेट करने का परिचय। - एम .: सिर। ईडी। भौतिक।-गणित। जलाया ईडी। "विज्ञान", 1977
• आई एल खमेलनित्सकी। बीजीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

जैसा कि हमने देखा, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय

जोड़ और गुणा के तहत बंद है, और पूर्णांकों का सेट

जोड़, गुणा और घटाव के तहत बंद। हालांकि, इनमें से कोई भी सेट विभाजन के तहत बंद नहीं है, क्योंकि पूर्णांकों के विभाजन से भिन्न हो सकते हैं, जैसा कि 4/3, 7/6, -2/5, और इसी तरह के मामलों में होता है। ऐसे सभी भिन्नों का समुच्चय परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाता है। इस प्रकार, एक परिमेय संख्या (परिमेय भिन्न) एक संख्या है जिसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ a और d पूर्णांक हैं, और d शून्य के बराबर नहीं है। आइए इस परिभाषा के बारे में कुछ टिप्पणी करें।

1) हम चाहते थे कि d शून्य से भिन्न हो। यह आवश्यकता (गणितीय रूप से असमानता के रूप में लिखी गई) आवश्यक है क्योंकि यहाँ d एक भाजक है। निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

मामला एक। ।

केस 2.

मामले 1 में, d पिछले अध्याय के अर्थ में एक भाजक है, अर्थात, 7 21 का एक सटीक भाजक है। स्थिति 2 में, d अभी भी एक भाजक है, लेकिन एक अलग अर्थ में, क्योंकि 7 एक सटीक भाजक नहीं है 25.

यदि 25 को एक विभाज्य और 7 को एक भाजक कहा जाता है, तो हमें भागफल 3 और शेष 4 प्राप्त होता है। इसलिए, भाजक शब्द यहाँ अधिक सामान्य अर्थों में प्रयोग किया जाता है और ch की तुलना में अधिक मामलों पर लागू होता है। I. हालांकि, केस 1 जैसे मामलों में, Ch में एक भाजक की अवधारणा पेश की गई। मैं; इसलिए यह आवश्यक है, जैसा कि अध्याय में है। I, संभावना d = 0 को हटा दें।

2) ध्यान दें कि, जबकि व्यंजक परिमेय संख्या और परिमेय भिन्न पर्यायवाची हैं, अंश शब्द का प्रयोग किसी भी बीजीय व्यंजक के लिए किया जाता है जिसमें अंश और हर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए,

3) एक परिमेय संख्या की परिभाषा में अभिव्यक्ति "एक संख्या शामिल है जिसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां ए और डी पूर्णांक हैं और। इसे अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित क्यों नहीं किया जा सकता है "ऐसे कई रूप जहां ए और डी पूर्णांक हैं और इसका कारण यह तथ्य है कि एक ही अंश को व्यक्त करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं (उदाहरण के लिए, 2/3 भी हो सकते हैं) 4/6, 6/9, या या 213/33, या आदि के रूप में लिखा जा सकता है), और यह हमारे लिए वांछनीय है कि एक परिमेय संख्या की हमारी परिभाषा इसे व्यक्त करने के किसी विशेष तरीके पर निर्भर नहीं करती है।

एक भिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता है। हालांकि, किसी दिए गए भिन्न को देखकर यह बताना हमेशा संभव नहीं होता है कि यह परिमेय है या नहीं। उदाहरण के लिए, संख्याओं पर विचार करें

हमारे द्वारा चुने गए अंकन में उनमें से किसी का भी रूप नहीं है, जहाँ a और d पूर्णांक हैं।

हालाँकि, हम पहले भिन्न पर अंकगणितीय परिवर्तनों की एक श्रृंखला कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

इस प्रकार, हम मूल भिन्न के बराबर भिन्न पर पहुँचते हैं जिसके लिए . संख्या इसलिए परिमेय है, लेकिन यह तर्कसंगत नहीं होगा यदि एक परिमेय संख्या की परिभाषा के लिए आवश्यक है कि संख्या a/b के रूप की हो, जहां a और b पूर्णांक हों। रूपांतरण अंश के मामले में

एक संख्या के लिए नेतृत्व। बाद के अध्यायों में, हम सीखेंगे कि एक संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है और इसलिए यह परिमेय नहीं है, या इसे अपरिमेय कहा जाता है।

4) ध्यान दें कि प्रत्येक पूर्णांक परिमेय होता है। जैसा कि हमने अभी देखा, संख्या 2 के मामले में यह सच है। स्वेच्छ पूर्णांकों के सामान्य मामले में, व्यक्ति समान रूप से उनमें से प्रत्येक के लिए 1 के बराबर एक हर निर्दिष्ट कर सकता है और परिमेय भिन्नों के रूप में उनका प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है।

) धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न (पूर्णांक और भिन्नात्मक) और शून्य वाली संख्याएँ हैं। परिमेय संख्याओं की अधिक सटीक अवधारणा इस प्रकार है:

तर्कसंगत संख्या- एक संख्या जिसे एक साधारण भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है मी/एन, जहां अंश एमपूर्णांक हैं, और हर एन- पूर्णांक, उदाहरण के लिए 2/3.

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में अनंत गैर-आवधिक भिन्न शामिल नहीं हैं।

ए/बी, कहाँ पे ए∈ जेड (एपूर्णांकों के अंतर्गत आता है) बी∈ एन (बीप्राकृतिक संख्याओं के अंतर्गत आता है)।

वास्तविक जीवन में परिमेय संख्याओं का उपयोग करना।

वास्तविक जीवन में, परिमेय संख्याओं के समुच्चय का उपयोग कुछ पूर्णांक विभाज्य वस्तुओं के भागों को गिनने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, केक, या अन्य खाद्य पदार्थ जो उपभोग से पहले टुकड़ों में काटे जाते हैं, या विस्तारित वस्तुओं के स्थानिक संबंधों के मोटे अनुमान के लिए।

परिमेय संख्याओं के गुण।

परिमेय संख्याओं के मूल गुण।

1. सुव्यवस्था एतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है 1-लेकिन और 3 संबंधों में से केवल एक: "<», «>"या" ="। यह नियम है- आदेश देने का नियमऔर इसे इस तरह तैयार करें:

• 2 सकारात्मक संख्या ए = एम ए / एन एतथा बी = एम बी / एन बी 2 पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित एम ए⋅ नायबतथा एम बी⋅ एन ए;
• 2 नकारात्मक संख्या एतथा बी 2 सकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित |बी|तथा |ए|;
• कब एसकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए>बी.

∀ ए, बी∈ क्यू (ए ∨ ए>बी∨ ए = बी)

2. जोड़ संचालन. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एतथा बीयहां है योग नियम, जो उन्हें एक निश्चित परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सी- यह योगनंबर एतथा बीऔर इसे के रूप में संदर्भित किया जाता है (ए+बी) योग.

योग नियमऐसा दिखता है:

एम ए/एन ए + एम बी/एन बी = (एम ए⋅ नायब+एमबी⋅ एन ए)/(एन ए⋅ नायब)।

∀ ए, बी∈ क्यू∃ !(ए+बी)∈ क्यू

3. गुणन संक्रिया. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एतथा बीयहां है गुणन नियम, यह उन्हें एक निश्चित परिमेय संख्या से जोड़ता है सी. संख्या सी कहा जाता है कामनंबर एतथा बीऔर निरूपित (ए⋅बी), और इस संख्या को खोजने की प्रक्रिया कहलाती है गुणा.

गुणन नियमऐसा दिखता है: मैं एक और एक⋅ एम बी एन बी = एम ए⋅ एम बी एन ए⋅ नायब.

ए, बी∈क्यू ∃(ए⋅बी)∈क्यू

4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं के लिए ए, बीतथा सीअगर एकम बीतथा बीकम सी, फिर एकम सी, और अगर एबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एबराबरी सी.

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए ∧ बी ⇒ ए ∧ (ए = बी∧ बी = सी⇒ ए = सी)

5. जोड़ की कम्यूटेटिविटी. परिमेय पदों के स्थानों में परिवर्तन से, योग नहीं बदलता है।

∀ ए, बी∈ क्यूए+बी=बी+ए

6. जोड़ की संबद्धता. 3 परिमेय संख्याओं के योग का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)

7. शून्य की उपस्थिति. एक परिमेय संख्या 0 होती है, जोड़ने पर यह अन्य सभी परिमेय संख्या को संरक्षित रखती है।

∃ 0 ∈ क्यू∀ ए∈ क्यूए+0=ए

8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति. प्रत्येक परिमेय संख्या में एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, उन्हें एक साथ जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है।

∀ ए∈ क्यू∃ (-ए)∈ क्यूए+(−ए)=0

9. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता. तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।

∀ ए, बी∈ क्यूए⋅ बी = बी⋅ ए

10. गुणन की साहचर्यता. 3 परिमेय संख्याओं के गुणन का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए⋅ बी)⋅ सी = ए⋅ (बी⋅ सी)

11. एक इकाई की उपलब्धता. एक परिमेय संख्या 1 होती है, यह गुणन की प्रक्रिया में हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।

∃ 1 ∈ क्यू∀ ए∈ क्यूए⋅ 1=ए

12. पारस्परिक की उपस्थिति. शून्य के अलावा किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिससे गुणा करने पर हमें 1 . प्राप्त होता है .

∀ ए∈ क्यू∃ ए−1∈ क्यूए⋅ a−1=1

13. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण. गुणन संक्रिया वितरण नियम का उपयोग करते हुए योग से संबंधित है:

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए + बी)⋅ सी = ए⋅ सी+बी⋅ सी

14. अतिरिक्त संचालन के साथ आदेश संबंध का कनेक्शन. एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जाता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू ए ⇒ ए+सी

15. गुणन के संचालन के साथ क्रम संबंध का संबंध. एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उसी गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यूसी>0∧ ए ⇒ ए⋅ सी ⋅ सी

16. आर्किमिडीज का अभिगृहीत. परिमेय संख्या जो भी हो ए, इतनी इकाइयाँ लेना आसान है कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए.

परिमेय संख्या

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एतथा बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया योगनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए ए , बीतथा सीअगर एकम बीतथा बीकम सी, फिर एकम सी, और अगर एबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" Border="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपी जाती है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का एक औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक में से एक की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुणधर्म से भी गणनीय होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ विस्मयकारी हो सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास हो जाता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• आई. कुशनिर। स्कूली बच्चों के लिए गणित की हैंडबुक। - कीव: एस्टार्टा, 1998. - 520 पी।
• पीएस अलेक्जेंड्रोव। सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी सेट करने का परिचय। - एम .: सिर। ईडी। भौतिक।-गणित। जलाया ईडी। "विज्ञान", 1977
• आई एल खमेलनित्सकी। बीजीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है और इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

यह पता चला है कि विभिन्न प्रविष्टियाँ एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं, उदाहरण के लिए, और, (सभी भिन्न जो एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित करके एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती हैं, एक ही परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं)। चूँकि किसी भिन्न के अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके, कोई एक परिमेय संख्या का एकमात्र इरेड्यूसेबल प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है, कोई उनके सेट को एक समुच्चय के रूप में कह सकता है अलघुकरणीयकोप्राइम पूर्णांक अंश और प्राकृतिक हर के साथ अंश:

यहाँ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है और .

परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है। यह देखना आसान है कि यदि किसी परिमेय संख्या में एक हर होता है, तो वह एक पूर्णांक होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या अक्ष पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या होती है (और इसलिए परिमेय संख्याओं का एक अनंत समुच्चय)। हालांकि, यह पता चला है कि परिमेय संख्याओं के सेट में एक गणनीय कार्डिनैलिटी है (अर्थात, इसके सभी तत्वों को फिर से क्रमांकित किया जा सकता है)। ध्यान दें, वैसे, प्राचीन यूनानी भी संख्याओं के अस्तित्व के बारे में आश्वस्त थे जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उन्होंने साबित किया कि कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 है)।

शब्दावली

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, परिमेय संख्याओं को तुल्यता संबंध के संबंध में युग्मों के तुल्यता वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि । इस मामले में, जोड़ और गुणा के संचालन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

संबंधित परिभाषाएं

उचित, अनुचित और मिश्रित भिन्न

सही एक भिन्न को तब कहा जाता है जब अंश का मापांक हर के मापांक से कम हो। उचित भिन्न परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, मॉड्यूलो एक से कम। एक भिन्न जो उचित नहीं है, कहलाती है गलतऔर एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो एक मॉड्यूल से अधिक या उसके बराबर है।

एक अनुचित भिन्न को एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे कहा जाता है मिश्रित अंश . उदाहरण के लिए, । एक समान अंकन (एक लापता जोड़ चिह्न के साथ), हालांकि प्रारंभिक अंकगणित में उपयोग किया जाता है, एक पूर्णांक और एक अंश के उत्पाद के लिए अंकन के साथ मिश्रित अंश के लिए संकेतन की समानता के कारण कठोर गणितीय साहित्य से बचा जाता है।

शॉट ऊंचाई

उभयनिष्ठ भिन्न की ऊँचाई इस भिन्न के अंश और हर के मापांक का योग है। एक परिमेय संख्या की ऊँचाई इस संख्या के संगत अपरिमेय साधारण भिन्न के अंश और हर के मापांक का योग है।

उदाहरण के लिए, एक अंश की ऊंचाई है। संगत परिमेय संख्या की ऊंचाई है, क्योंकि भिन्न को घटा दिया गया है।

एक टिप्पणी

अवधि भिन्नात्मक संख्या (अंश)कभी कभी [ स्पष्ट करना] शब्द के पर्यायवाची के रूप में प्रयोग किया जाता है तर्कसंगत संख्या, और कभी-कभी किसी गैर-पूर्णांक संख्या का पर्यायवाची। बाद के मामले में, भिन्नात्मक और परिमेय संख्याएं अलग-अलग चीजें हैं, तब से गैर-पूर्णांक परिमेय संख्याएं भिन्नात्मक संख्याओं का एक विशेष मामला है।

गुण

मूल गुण

परिमेय संख्याओं का समुच्चय सोलह मूल गुणों को संतुष्ट करता है, जिन्हें पूर्णांकों के गुणों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

1. सुव्यवस्था।किसी भी परिमेय संख्या के लिए, एक नियम है जो आपको उनके बीच विशिष्ट रूप से तीन संबंधों में से एक और केवल एक की पहचान करने की अनुमति देता है: "", "" या ""। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो सकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं और दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक गैर-नकारात्मक, लेकिन - नकारात्मक, तो .

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन। योग नियम योगसंख्याओं और और को द्वारा निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए और एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है। नंबर ही कहा जाता है कामसंख्याओं और और को निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी तिगुने के लिए, और यदि इससे कम और कम है, तो इससे कम, और यदि बराबर और बराबर है, तो बराबर है।
5. जोड़ की कम्यूटेटिविटी।परिमेय पदों के स्थानों में परिवर्तन से, योग नहीं बदलता है।
6. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
7. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
9. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
10. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
11. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
12. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी गैर-शून्य परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसके गुणन से 1 प्राप्त होता है।
13. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
14. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है।
15. गुणन के संचालन के साथ क्रम संबंध का संबंध।एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उसी धनात्मक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है।
16. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा।

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है। इस तरह के निर्माण का एक उदाहरण निम्नलिखित सरल एल्गोरिथम है। साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की जाती है, प्रत्येक -वें स्तंभ में प्रत्येक -वें पंक्ति पर, जिसमें एक अंश होता है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। टेबल सेल को किसके द्वारा दर्शाया जाता है, टेबल की पंक्ति संख्या कहाँ है जिसमें सेल स्थित है, और कॉलम नंबर है।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपी जाती है। यही है, अंशों को संख्या 1, अंश - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का एक औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक में से एक की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुणधर्म से भी गणनीय होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

बेशक, परिमेय संख्याओं की गणना करने के अन्य तरीके भी हैं। उदाहरण के लिए, इसके लिए आप कैल्किन-विल्फ़ ट्री, स्टर्न-ब्रोकॉ ट्री या फ़ेरी सीरीज़ जैसी संरचनाओं का उपयोग कर सकते हैं।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ विस्मयकारी हो सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास हो जाता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

यह सभी देखें

पूर्ण संख्याएं
	परिमेय संख्या

वास्तविक संख्याये जटिल आंकड़े quaternions

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साहित्य

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• आई एल खमेलनित्सकी। बीजीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय