एस पूर्ण सतह शंकु। स्क्वायर साइड और शंकु की पूरी सतह

शंकु का सतह क्षेत्र (या बस शंकु सतह) आधार क्षेत्र और पक्ष की सतह के योग के बराबर है।

शंकु की तरफ की सतह का क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना की जाती है: एस \u003d πR एलजहां आर शंकु के आधार का त्रिज्या है, और एल - शंकु बनाना।

चूंकि शंकु के आधार का क्षेत्र πr 2 (सर्कल के क्षेत्र के रूप में) के बराबर है, तो शंकु की पूरी सतह का क्षेत्र बराबर होगा: πR 2 + πR एल \u003d πr (आर + एल).

शंकु की तरफ की सतह के सूत्र को प्राप्त करने से ऐसे तर्कों द्वारा समझाया जा सकता है। मान लीजिए कि शंकु की तरफ की सतह ड्राइंग में चित्रित की गई है। हम एवी चाप को बराबर भागों की अधिक संख्या की संभावना और आर्क के केंद्र के साथ विभाजन के सभी बिंदुओं को विभाजित करते हैं, और पड़ोसी एक दूसरे के तारों के साथ होता है।

हमें कई समान त्रिकोण मिलते हैं। प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्र बराबर है आह। / 2, कहाँ लेकिन अ - त्रिभुज आधार की लंबाई, ए एच - उसका ऊँचा।

सभी त्रिकोणों के क्षेत्र की मात्रा होगी: आह। / 2 एन = anh। / 2, कहाँ एन - त्रिकोणों की संख्या।

बड़ी संख्या में डिवीजनों के साथ, त्रिकोणों के क्षेत्र की मात्रा साजिश क्षेत्र के बहुत करीब हो जाती है, यानी शंकु की तरफ की सतह का क्षेत्र। त्रिकोण के आधारों का योग, यानी एक।, यह आर्क एवी की लंबाई के बहुत करीब हो जाता है, यानी शंकु के आधार की परिधि की लंबाई के लिए। प्रत्येक त्रिभुज की ऊंचाई आर्क के त्रिज्या के बहुत करीब हो जाती है, यानी शंकु बनाने के लिए।

इन मूल्यों के आकार में मामूली मतभेदों की उपेक्षा, हम शंकु की तरफ की सतह का सूत्र प्राप्त करते हैं:

एस \u003d सी। एल / 2, जहां सी शंकु के आधार की परिधि है, एल - शंकु बनाना।

यह जानकर कि सी \u003d 2π आर, जहां आर शंकु के आधार की परिधि का त्रिज्या है, हम प्राप्त करते हैं: एस \u003d π आर एल.

ध्यान दें। सूत्र s \u003d c में एल / 2 सटीक, अनुमानित समानता का एक संकेत डालें, हालांकि तर्क के आधार पर, हमें अनुमानित माना जा सकता है। लेकिन हाई स्कूल के उच्च विद्यालयों में, यह साबित हुआ कि समानता

एस \u003d सी। एल / 2 सटीक, अनुमानित नहीं।

प्रमेय। शंकु की साइड सतह आधार के आधार के आधार के आधार के बराबर होती है।

हम एक शंकु (अंजीर) में प्रवेश करेंगे कुछ सही पिरामिड और पत्रों द्वारा दर्शाया गया है आर तथा एल आधार आधार के परिधि और इस पिरामिड के apophem की लंबाई व्यक्त करने वाली संख्या।

फिर पक्ष की सतह 1/2 के काम से व्यक्त की जाएगी आर एल .

मान लीजिए कि अब बहुभुज के आधार पर अंकित पक्षों की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाती है। फिर परिधि आर बेस परिधि, और apophem से लंबाई के लिए ली गई सीमा के लिए प्रयास करेंगे एल एक शंकु बनाने की एक सीमा होगी (क्योंकि यह sa-sk का अनुसरण करता है
1 / 2 आर एल1/2 के साथ सीमित करने का प्रयास करेंगे एल। यह सीमा शंकु की तरफ की सतह की परिमाण के लिए स्वीकार की जाती है। शंकु पत्र एस की तरफ की सतह से निरूपित करें, हम लिख सकते हैं:

S \u003d 1/2 के साथ एल \u003d एस। 1/2 एल

परिणाम।
1) सी \u003d 2 के बाद से π आर, फिर शंकु की तरफ की सतह सूत्र व्यक्त करेगी:

S \u003d 1/2 2π आर L \u003d। π आर एल

2) यदि साइड सतह आधार क्षेत्र के साथ लेट गई तो हमें शंकु की पूरी सतह मिल जाएगी; इसलिए, टी के माध्यम से पूरी सतह को इंगित करते हुए, हमारे पास होगा:

टी \u003d। π आरएल + π आर 2 \u003d। π आर (एल + आर)

प्रमेय। छिद्रित शंकु की तरफ की सतह बनाने के आधार के आधारों की अवधि के कार्य के बराबर है।

हम एक छोटा शंकु (अंजीर) में ले जाते हैं कुछ उचित छिद्रित पिरामिड और पत्रों द्वारा दर्शाया गया आर, आर। 1 I एल निचले और ऊपरी ठिकानों और इस पिरामिड की युग्मक की लंबाई की लंबाई की एक ही रैखिक इकाइयों में व्यक्त संख्या।

फिर अंकित पिरामिड की साइड सतह 1/2 है ( पी + आर। 1) एल

अंकित परिधि पिरामिड के पक्ष के चेहरे की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ आर तथा आर 1 के साथ और 1 बेस परिधि, और apophem के साथ लंबाई के लिए ली गई सीमाओं के लिए प्रयास करें एल इसमें एक सीमा बनाने वाली सीमा है। नतीजतन, अंकित पिरामिड की तरफ की सतह की परिमाण (सी + सी 1) एल के बराबर सीमा तक जाती है। यह सीमा छिड़काव शंकु की तरफ की सतह की परिमाण पर ली जाती है। छिद्रित शंकु पत्र एस की तरफ की सतह को पहचानना, हमारे पास होगा:

S \u003d 1/2 (c + c 1) l

परिणाम।
1) यदि आर और आर 1 का मतलब निचले और शीर्ष आधार की मंडलियों की त्रिज्या है, तो छिद्रित शंकु की तरफ की सतह होगी:

S \u003d 1/2 (2) π आर + 2। π R 1) l \u003d π (आर + आर 1) एल।

2) यदि एक trapezoid oo 1 a 1 a (अंजीर) में, घूर्णन से एक छोटा शंकु प्राप्त किया जाता है, तो हम सूर्य की औसत पंक्ति को पूरा करेंगे, हमें मिलेगा:

सूर्य \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + r 1 \u003d 2vs।

इसलिये,

S \u003d 2। π बीसी एल,

अर्थात। छिद्रित शंकु की तरफ की सतह बनाने पर मध्य-खंड सर्कल लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है।

3) छिद्रित शंकु की कुल सतह को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

टी \u003d। π (आर 2 + आर 1 2 + आरएल + आर 1 एल)

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ का प्रकार: सीखने की समस्या विकसित करने वाली विधि के तत्वों का उपयोग करके नई सामग्री के अध्ययन के लिए सबक।

उद्देश्य सबक:

• संज्ञानात्मक:
  • एक नई गणितीय अवधारणा के साथ परिचितरण;
  • नए ज़ुन का गठन;
  • व्यावहारिक कौशल को हल करने की समस्याओं का गठन।
• विकसित होना:
  • छात्रों की स्वतंत्र सोच का विकास;
  • स्कूली बच्चों के सही भाषण के कौशल का विकास।
• शैक्षिक:
  • शिक्षा कौशल टीम में काम करते हैं।

उपकरण सबक:चुंबकीय बोर्ड, कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, शंकु मॉडल, पाठ के लिए प्रस्तुति, वितरण सामग्री।

कार्य पाठ (छात्रों के लिए):

• एक नई ज्यामितीय अवधारणा से परिचित हो - शंकु;
• शंकु के सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र का उत्पादन;
• व्यावहारिक कार्यों को हल करने में प्राप्त ज्ञान को लागू करना सीखें।

कक्षाओं के दौरान

चरण I संगठनात्मक।

विषय पर होम सत्यापन कार्य के साथ नोटबुक की डिलीवरी।

छात्रों को आगामी पाठ के विषय को जानने के लिए आमंत्रित किया जाता है, जो कि रेबस को हल करते हैं (स्लाइड 1):

चित्र 1।

छात्र विषयों और पाठ कार्यों की घोषणा (स्लाइड 2).

चरण II। नई सामग्री का स्पष्टीकरण।

1) शिक्षक का व्याख्यान।

बोर्ड पर - शंकु की छवि के साथ तालिका। नई सामग्री को प्रोग्राम सामग्री "स्टीरियोमेरी" के साथ समझाया गया है। स्क्रीन पर शंकु की त्रि-आयामी छवि दिखाई देती है। शिक्षक एक शंकु की परिभाषा देता है, इसके तत्वों के बारे में बात करता है। (स्लाइड 3)। ऐसा कहा जाता है कि शंकु श्रेणी के सापेक्ष आयताकार त्रिभुज घूर्णन करके गठित एक शरीर है। (स्लाइड्स 4, 5)। शंकु की तरफ की सतह के विस्तार की एक छवि प्रकट होती है। (स्लाइड 6)

2) व्यावहारिक काम।

संदर्भ ज्ञान का वास्तविककरण: सर्कल, क्षेत्र क्षेत्र, सर्कल की लंबाई, सर्कल की चाप की लंबाई की गणना करने के लिए सूत्र दोहराएं। (स्लाइड 7-10)

कक्षा समूहों में विभाजित है। प्रत्येक समूह को शंकु की एक तरफ की सतह (असाइन किए गए नंबर के साथ सर्कल सेक्टर) के साथ कागज से बना हो जाता है। छात्र आवश्यक माप निष्पादित करते हैं और प्राप्त क्षेत्र के क्षेत्र की गणना करते हैं। काम के प्रदर्शन के लिए निर्देश, प्रश्न - समस्याएं सेटिंग - स्क्रीन पर दिखाई दें (स्लाइड 11-14)। गणना के परिणाम प्रत्येक समूह के प्रतिनिधि बोर्ड पर तैयार तालिका में लिखते हैं। प्रत्येक समूह के प्रतिभागियों ने शंकु मॉडल को अपने मौजूदा लोगों से गोंद दिया। (स्लाइड 15)

3) समस्या को स्थापित करना और हल करना।

शंकु की तरफ की सतह के स्लाइसर की गणना कैसे करें यदि केवल आधार का त्रिज्या और शंकु बनाने की लंबाई ज्ञात है? (स्लाइड 16)

प्रत्येक समूह आवश्यक माप बनाता है और उपलब्ध डेटा की सहायता से वांछित क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र को प्रदर्शित करने की कोशिश करता है। इस काम को करते समय, स्कूली बच्चों को ध्यान में रखना चाहिए कि शंकु के आधार की परिधि आर्क सेक्टर की लंबाई के बराबर है - इस शंकु की तरफ की सतह। (स्लाइड 17-21) आवश्यक सूत्रों का उपयोग करके, वांछित सूत्र व्युत्पन्न है। छात्रों के तर्क इस तरह से दिखना चाहिए:

सेक्टर त्रिज्या - बराबर चलाता है एल, आर्क की डिग्री माप - φ। इस क्षेत्र को इस क्षेत्र को सीमित करने के लिए इस क्षेत्र को सीमित करने वाले आर्क क्षेत्र की गणना की जाती है, शंकु आर के आधार के त्रिज्या के बराबर। शंकु के आधार पर स्थित सर्कल की लंबाई सी \u003d 2πr है। ध्यान दें कि चूंकि शंकु की तरफ की सतह का क्षेत्र इसकी तरफ की सतह का विस्तार करने के क्षेत्र के बराबर है,

तो, शंकु के पक्ष की सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है S bpk \u003d πrl।

शंकु मॉडल के पक्ष की सतह क्षेत्र की गणना करने के बाद, प्रत्येक समूह का प्रतिनिधि स्वतंत्र रूप से मॉडल संख्याओं के अनुसार बोर्ड पर तालिका में गणना के परिणाम को लिखता था। प्रत्येक पंक्ति में गणना के परिणाम बराबर होना चाहिए। इस आधार पर, शिक्षक प्रत्येक समूह के निष्कर्षों की शुद्धता निर्धारित करता है। परिणामों की तालिका जैसा दिखना चाहिए:

मॉडल संख्या	मैं काम करता हूं	द्वितीय कार्य
	(125/3) π ~ 41.67 π
	(425/9) π ~ 47.22 π
	(539/9) π ~ 59.89 π

मॉडल पैरामीटर:

1. l \u003d 12 सेमी, φ \u003d 120°
2. l \u003d 10 सेमी, φ \u003d 150°
3. l \u003d 15 सेमी, φ \u003d 120°
4. l \u003d 10 सेमी, φ \u003d 170°
5. l \u003d 14 सेमी, φ \u003d 110°

गणना का आवेदन माप त्रुटियों से जुड़ा हुआ है।

परिणामों की जांच करने के बाद, पक्ष के सूत्रों और शंकु की पूर्ण सतहों का उत्पादन स्क्रीन पर दिखाई देता है (स्लाइड 22-26)छात्रों को नोटबुक में दर्ज किया जाता है।

III मंच। अध्ययन की गई सामग्री को तेज करना।

1) छात्रों की पेशकश की जाती है समाप्त चित्रों पर मौखिक समाधान के लिए कार्य।

चित्रों में चित्रित शंकुओं की पूरी सतहों के क्षेत्रों का पता लगाएं (स्लाइड 27-32).

2) प्रश्न: क्या विभिन्न कैथेट के सापेक्ष एक आयताकार त्रिभुज के घूर्णन द्वारा गठित शंकु के क्षेत्र हैं? छात्र परिकल्पना को धक्का देते हैं और इसकी जांच करते हैं। हाइपोथिसिस की जांच समस्याओं को हल करके किया जाता है और बोर्ड पर छात्र द्वारा दर्ज किया जाता है।

दिया हुआ: Δ एबीसी, ∠C \u003d 90 डिग्री, एबी \u003d सी, एसी \u003d बी, सूर्य \u003d ए;

वीए ", एबीबी" - घूर्णन के शरीर।

ढूँढ़ने के लिए:एस पीपीके 1, एस पीपीके 2।

चित्रा 5। (स्लाइड 33)

फेसला:

1) आर \u003d सूर्य \u003d ए; S ppk 1 \u003d s bod 1 + s osn 1 \u003d π एक सी + π ए 2 \u003d π ए (ए + सी)।

2) आर \u003d एसी \u003d बी।; एस पीपीके 2 \u003d एस बोड 2 + एस ओएसएन 2 \u003d π बी सी + π बी 2 \u003d π बी (बी + सी)।

यदि s ppk 1 \u003d s ppk 2, तो एक 2 + एसी \u003d बी 2 + बीसी, एक 2 - बी 2 + एसी - बीसी \u003d 0, (ए-बी) (ए + बी + सी) \u003d 0।चूंकि ए, बी, सी -सकारात्मक संख्या (त्रिभुज के किनारों की लंबाई), उदासीनता केवल तभी होती है ए \u003d।बी

आउटपुट:दो शंकु के सतह क्षेत्र त्रिभुज कैथेट की समानता के मामले में ही बराबर होते हैं। (स्लाइड 34)

3) पाठ्यपुस्तक से कार्य को हल करना: संख्या 565।

चतुर्थ चरण। पाठ को सारांशित करना।

होम वर्क: पी .55, 56; № 548, № 561। (स्लाइड 35)

दरों की घोषणा।

पाठ के साथ निष्कर्ष, पाठ में प्राप्त मूलभूत जानकारी की पुनरावृत्ति।

साहित्य (स्लाइड 36)

1. ज्यामिति 10-11 कक्षाएं - अटानुसन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस बी कडोमटसेव एट अल।, एम।, "एनलाइटनमेंट", 2008।
2. "गणितीय rebuses और charads" - N.V. Udaltsova, पुस्तकालय "1 सितंबर को", "गणित" श्रृंखला, अंक 35, एम, स्वच्छ तालाब, 2010।

स्कूल में अध्ययन किए गए रोटेशन के निकाय एक सिलेंडर, शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित में परीक्षा के कार्य में आपको शंकु या क्षेत्र के क्षेत्र की मात्रा की गणना करने की आवश्यकता है - इस पर विचार करें कि भाग्यशाली क्या है।

सिलेंडर, शंकु और गेंद के सूत्र मात्रा और सतह क्षेत्र का उपयोग करें। वे सभी हमारी मेज में हैं। दिल से सिखाओ। इसलिए स्टीरियोमेरी का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य खींचना बुरा नहीं होता है। या, इस कार्य में, - नीचे से।

2. इस पिरामिड में अंकित किए गए शंकु की मात्रा से अधिक, सही चतुर्भुज पिरामिड के पास वर्णित शंकु की मात्रा कितनी बार वर्णित है?

सब कुछ सरल है - नीचे से एक दृश्य बनाएं। हम देखते हैं कि बड़े सर्कल का त्रिज्या एक छोटे से त्रिज्या से अधिक है। दोनों शंकु की ऊंचाई समान हैं। नतीजतन, अधिक शंकु की मात्रा एक से अधिक बार होगी।

एक और महत्वपूर्ण बात। हमें याद है कि गणित में ईईएम विकल्पों में भाग के कार्यों में, उत्तर पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखा गया है। इसलिए, भाग में आपकी प्रतिक्रिया में नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मूल्य को प्रतिस्थापित करना आवश्यक नहीं है! इसे कम किया जाना चाहिए! इस उद्देश्य के लिए, कुछ कार्यों में, कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, निम्नानुसार है: "सिलेंडर के किनारे सतह क्षेत्र को विभाजित" द्वारा विभाजित "।

लेकिन रोटेशन के निकायों के वॉल्यूम सूत्र और सतह क्षेत्र कहां हैं? बेशक, कार्य सी 2 (16) में। हम उसके बारे में भी बताएंगे।

हम जानते हैं कि एक शंकु क्या है, आइए इसकी सतह के क्षेत्र को खोजने का प्रयास करें। आपको ऐसे कार्य को हल करने की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि एक वफ़ल हॉर्न के निर्माण के लिए कितने परीक्षण करेंगे? या महल की ईंट की छत को फोल्ड करने की कितनी ईंटों की आवश्यकता है?

शंकु की तरफ की सतह के क्षेत्र को मापें बस यह काम नहीं करेगा। लेकिन एक कपड़े से लिपटे सभी एक ही सींग की कल्पना करें। कपड़े के टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और विघटित करने की आवश्यकता है। यह एक फ्लैट आकृति को बदल देता है, हम इसके क्षेत्र को पा सकते हैं।

अंजीर। 1. गठन करके शंकु काट लें

हम शंकु के साथ भी ऐसा ही करेंगे। उदाहरण के लिए, "हम अपनी तरफ की सतह काट लेंगे, उदाहरण के लिए, (देखें चित्र 1)।

अब विमान के लिए साइड सतह "बारी"। हमें इस क्षेत्र को प्राप्त होता है। इस क्षेत्र का केंद्र शंकु का चरम है, इस क्षेत्र का त्रिज्या बनाने के लिए शंकु के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई रुख के आधार पर परिधि के साथ मेल खाती है। इस तरह के एक क्षेत्र को शंकु की तरफ की सतह के स्कैन कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

अंजीर। 2. साइड सतह स्कैन

अंजीर। 3. रेडियंस में कोण का मापन

आइए उपलब्ध डेटा के अनुसार सेक्टर स्क्वायर खोजने का प्रयास करें। सबसे पहले हम पदनाम पेश करते हैं: रेडियंस में इस क्षेत्र के शीर्ष पर कोण को छोड़ दें (चित्र 3 देखें)।

स्वीप के शीर्ष पर एक कोण के साथ, हम अक्सर अक्सर समस्याओं का सामना करेंगे। इस बीच, प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: और यदि यह कोने 360 डिग्री से अधिक हो सकता है? यही है, क्या यह संभव नहीं होगा कि स्कैन खुद पर लगाएगा? बिल्कुल नहीं। हम इसे गणितीय रूप से साबित करते हैं। स्वीप को "लगाया"। इसका मतलब है कि स्कैनिंग चाप की लंबाई त्रिज्या के चक्र की लंबाई से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले से ही उल्लेख किया गया है, स्कैनिंग चाप की लंबाई त्रिज्या के चक्र की लंबाई है। और शंकु के आधार का त्रिज्या, ज़ाहिर है, उदाहरण के लिए, कम बनाने, क्योंकि एक आयताकार त्रिभुज का रोल hypotenuse से कम है

फिर प्लेमेट्री कोर्स से दो सूत्रों को याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर स्क्वायर :.

हमारे मामले में, भूमिका बनाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि की लंबाई के बराबर होती है, जो है। हमारे पास है:

अंत में प्राप्त करें :.

पक्ष सतह क्षेत्र के साथ, आप एक पूर्ण सतह क्षेत्र पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पक्ष सतह क्षेत्र में जोड़ा जाना चाहिए। लेकिन नींव त्रिज्या का एक चक्र है जिसका क्षेत्र सूत्र के अनुसार बराबर है।

अंत में हमारे पास है: , सिलेंडर के आधार का त्रिज्या कहां है, - बनाने।

हम उपरोक्त सूत्रों को कार्यों की एक जोड़ी तय करते हैं।

अंजीर। 4. वांछित कोने

उदाहरण 1।। शंकु की तरफ की सतह की साइडलाइन शीर्ष पर एक कोण वाला क्षेत्र है। इस कोण को ढूंढें यदि शंकु की ऊंचाई 4 सेमी है, और आधार का त्रिज्या 3 सेमी है (चित्र 4 देखें)।

अंजीर। 5. आयताकार त्रिभुज एक शंकु बनाने

पायथागोर प्रमेय द्वारा पहली कार्रवाई, हमें फॉर्मिंग मिलती है: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके बाद, हम जानते हैं कि .

उदाहरण 2।। शंकु के अक्षीय क्रॉस सेक्शन का क्षेत्र बराबर है, ऊंचाई बराबर है। पूर्ण सतह क्षेत्र खोजें (चित्र 6 देखें)।