>> Arktangens a arkotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a
§ 19. Arktangens a arckotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a
V príklade 2 §16 sme nedokázali vyriešiť tri rovnice:
Dve z nich sme už riešili - prvú v § 17 a druhú v § 18, preto sme museli zaviesť pojmy oblúkový kosínus a arkzín. Uvažujme tretiu rovnicu x = 2.
Grafy funkcií y=tg x a y=2 majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar - úsečka priesečníka priamky y = 2 s hlavnou vetvou dotyčnice. (Obr. 90). Pre číslo x1 prišli matematici s označením acrtg 2 (čítaj „oblúkový tangens dvoch“). Potom všetky korene rovnice x=2 možno opísať vzorcom x=arctg 2 + pk.
Čo je arctg 2? Toto je číslo dotyčnica ktorý sa rovná 2 a ktorý patrí do intervalu
Uvažujme teraz rovnicu tg x = -2.
Funkčné grafy 
majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar 
os priesečníka priamky y = -2 s hlavnou vetvou tangentoidu. Pre číslo x 2 prišli matematici so zápisom arctg(-2). Potom všetky korene rovnice x = -2 možno opísať vzorcom
Čo je actg(-2)? Ide o číslo, ktorého dotyčnica je -2 a patrí do intervalu. Upozorňujeme (pozri obr. 90): x 2 = -x 2. To znamená, že arctg(-2) = - arctg 2.
Sformulujme definíciu arkustangens vo všeobecnej forme.
Definícia 1. arсtg a (arkustangens a) je číslo z intervalu, ktorého dotyčnica sa rovná a. takže,
Teraz sme v pozícii, aby sme vyvodili všeobecný záver o riešení rovnice x=a: rovnica x = a má riešenia
Vyššie sme si všimli, že arctg(-2) = -arctg 2. Vo všeobecnosti platí, že pre akúkoľvek hodnotu vzorca a
Príklad 1 Vypočítať: 
Príklad 2 Riešte rovnice:
A) Vytvorme vzorec riešenia:
Hodnotu arkustangensu v tomto prípade nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme v získanom tvare.
odpoveď:
Príklad 3 Vyriešte nerovnosti: 
Nerovnosti formulára je možné riešiť graficky pri dodržaní nasledujúcich plánov
1) zostrojte dotyčnicu y = tan x a priamku y = a;
2) vyberte pre hlavnú vetvu tangeizoidu interval osi x, na ktorom je daná nerovnosť splnená;
3) s prihliadnutím na periodicitu funkcie y = tan x napíšte odpoveď vo všeobecnom tvare.
Aplikujme tento plán na vyriešenie daných nerovností.
: a) Zostrojme grafy funkcií y = tgх a y = 1. Na hlavnej vetve tangensoidu sa pretínajú v bode
Vyberme interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentoidu umiestnená pod priamkou y = 1 - to je interval
Ak vezmeme do úvahy periodicitu funkcie y = tgх, dôjdeme k záveru, že daná nerovnosť je splnená na akomkoľvek intervale tvaru:
Spojenie všetkých takýchto intervalov predstavuje všeobecné riešenie danej nerovnosti.
Odpoveď možno napísať aj inak:
b) Zostavme grafy funkcií y = tan x a y = -2. Na hlavnej vetve tangentoidu (obr. 92) sa pretínajú v bode x = arctg(-2).
Vyberme interval osi x, na ktorom je hlavná vetva dotyčnice
Uvažujme rovnicu s tan x=a, kde a>0. Grafy funkcií y=ctg x a y =a majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar: x = x 1 + pk, kde x 1 =arccstg a je úsečka priesečníka priamky y=a s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. .93). To znamená, že arcstg a je číslo, ktorého kotangens sa rovná a a ktoré patrí do intervalu (0, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie y = сtg x.
Na obr. 93 uvádza aj grafické znázornenie riešenia rovnice c1tg = -a. Grafy funkcií y = сtg x a y = -а majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar x = x 2 + pk, kde x 2 = агсстg (- а) je úsečka priesečník priamky y = -а s tangenciálnou vetvou hlavnej priamky. To znamená, že arcstg(-a) je číslo, ktorého kotangens sa rovná -a a ktoré patrí do intervalu (O, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie Y = сtg x.
Definícia 2. arccstg a (oblúkový kotangens a) je číslo z intervalu (0, n), ktorého kotangens sa rovná a.
takže,
Teraz môžeme vyvodiť všeobecný záver o riešení rovnice ctg x = a: rovnica ctg x = a má riešenia:
Upozorňujeme (pozri obr. 93): x 2 = n-x 1. Znamená to, že
Príklad 4. Vypočítať:
A) Povedzme
Rovnicu сtg x=а je možné takmer vždy previesť do tvaru Výnimkou je rovnica сtg x =0. Ale v tomto prípade s využitím toho, že môžete ísť do
rovnica cos x=0. Teda rovnica tvaru x = a nie je nezávislá.
A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník
Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie
Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok; Integrované lekcieMôžete si objednať podrobné riešenie vášho problému!!!
Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ďalej sa budeme zaoberať ich vzorcami.
Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.
1. Rovnica `sin x=a`.
Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.
Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.
Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Rovnica `cos x=a`
Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, nemá medzi reálnymi číslami žiadne riešenia.
Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.
Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch. 
3. Rovnica `tg x=a`
Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.
Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Rovnica `ctg x=a`
Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.
Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke
Pre sínus: 
Pre kosínus: 
Pre tangens a kotangens: 
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:
Metódy riešenia goniometrických rovníc
Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:
- s pomocou premeny na najjednoduchšie;
- vyriešiť najjednoduchšiu rovnicu získanú pomocou koreňových vzorcov a tabuliek napísaných vyššie.
Pozrime sa na hlavné metódy riešenia pomocou príkladov.
Algebraická metóda.
Táto metóda zahŕňa nahradenie premennej a jej nahradenie rovnosťou.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,
nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizácia.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.
Riešenie. Presuňme všetky členy rovnosti doľava: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a faktorizujeme ľavú stranu:
`sin x – 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcia na homogénnu rovnicu
Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu zredukovať na jednu z dvoch foriem:
`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).
Potom obe časti vydeľte `cos x \ne 0` - pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 hriech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` hriech^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedme nahradenie `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Prechod do polovičného uhla
Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Riešenie. Aplikujme vzorce s dvojitým uhlom, výsledkom čoho je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Zavedenie pomocného uhla
V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, vydeľte obe strany `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.
Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich druhých mocnín je rovný 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Označme ich takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potom:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:
Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Riešenie. Vydelíme obe strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).
`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.
Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, potom berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Zlomkové racionálne goniometrické rovnice
Ide o rovnosti so zlomkami, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje goniometrické funkcie.
Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Dajme rovnítko medzi čitateľom zlomku a nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, vždy sú úlohy na Jednotnú štátnu skúšku, preto si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!
Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť ju odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.
V strede v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.
Tangenta ( opálenie α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .
Tangenta
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.
Graf funkcie dotyčnice, y = tan x
Kotangens
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Akceptované sú aj nasledujúce zápisy:
;
;
.
Graf funkcie kotangens, y = ctg x
Vlastnosti dotyčnice a kotangens
Periodicita
Funkcie y = tg x a y = ctg x sú periodické s periódou π.
Parita
Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.
Oblasti definície a hodnôt, rastúce, klesajúce
Funkcie tangens a kotangens sú spojité vo svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangens a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnôt | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Zvyšovanie | - | |
| Zostupne | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y = 0 | - |
Vzorce
Výrazy využívajúce sínus a kosínus
;
;
;
;
;
Vzorce pre tangens a kotangens zo súčtu a rozdielu
Zostávajúce vzorce sa dajú ľahko získať napr
Súčin dotyčníc
Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc
Táto tabuľka predstavuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre určité hodnoty argumentu. 
Výrazy využívajúce komplexné čísla
Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; .
.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >
Integrály
Rozšírenia série
Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy navzájom, . Takto sa získajú nasledujúce vzorce.
o .
o .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca: 
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie tangens a kotangens sú arkustangens a arkotangens.
Arctangens, arctg
, Kde n- celý.
Arckotangens, arcctg
, Kde n- celý.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov, 2012.
Už skôr v programe študenti získali predstavu o riešení goniometrických rovníc, zoznámili sa s pojmami arc cosine a arc sinus a príkladmi riešení rovníc cos t = a a sin t = a. V tomto videonávode sa pozrieme na riešenie rovníc tg x = a a ctg x = a.
Ak chcete začať študovať túto tému, zvážte rovnice tg x = 3 a tg x = - 3. Ak rovnicu tg x = 3 vyriešime pomocou grafu, uvidíme, že priesečník grafov funkcií y = tg x a y = 3 má nekonečný počet riešení, kde x = x 1 + πk. Hodnota x 1 je súradnica x priesečníka grafov funkcií y = tan x a y = 3. Autor zavádza pojem arkustangens: arctangens 3 je číslo, ktorého tan sa rovná 3, a toto číslo patrí do intervalu od -π/2 do π/2. Pomocou konceptu arctangens možno riešenie rovnice tan x = 3 zapísať ako x = arctan 3 + πk.
Analogicky je vyriešená rovnica tg x = - 3 Zo zostrojených grafov funkcií y = tg x a y = - 3 je zrejmé, že priesečníky grafov, a teda aj riešenia rovníc, budú. byť x = x 2 + πk. Pomocou arkustangensu možno riešenie zapísať ako x = arkustan (- 3) + πk. Na ďalšom obrázku vidíme, že arctg (- 3) = - arctg 3.
Všeobecná definícia arkustangensu je nasledovná: arkustangens a je číslo z intervalu od -π/2 do π/2, ktorého dotyčnica sa rovná a. Potom riešením rovnice tan x = a je x = arctan a + πk.
Autor uvádza príklad 1. Nájdite riešenie výrazu arctg Zavedme si zápis: arkustangens čísla sa rovná x, potom tg x sa bude rovnať danému číslu, kde x patrí úsečke od -π. /2 až π/2. Rovnako ako v príkladoch v predchádzajúcich témach použijeme tabuľku hodnôt. Podľa tejto tabuľky tangens tohto čísla zodpovedá hodnote x = π/3. Zapíšme si riešenie rovnice: arkustangens daného čísla sa rovná π/3, π/3 tiež patrí do intervalu od -π/2 do π/2.
Príklad 2 - vypočítajte arkustangens záporného čísla. Pomocou rovnosti arctg (- a) = - arctg a zadáme hodnotu x. Podobne ako v príklade 2 zapíšeme hodnotu x, ktorá patrí segmentu od -π/2 do π/2. Z tabuľky hodnôt zistíme, že x = π/3, teda -- tg x = - π/3. Odpoveď na rovnicu je - π/3.
Uvažujme príklad 3. Riešte rovnicu tg x = 1. Napíšte, že x = arctan 1 + πk. V tabuľke hodnota tg 1 zodpovedá hodnote x = π/4, teda arctg 1 = π/4. Túto hodnotu dosadíme do pôvodného vzorca x a napíšeme odpoveď x = π/4 + πk.
Príklad 4: vypočítajte tan x = - 4,1. V tomto prípade x = arctan (- 4,1) + πk. Pretože V tomto prípade nie je možné nájsť hodnotu arctg; odpoveď bude vyzerať ako x = arctg (- 4,1) + πk.
V príklade 5 uvažujeme o riešení nerovnice tg x > 1 Na jej vyriešenie zostrojíme grafy funkcií y = tan x a y = 1. Ako vidno na obrázku, tieto grafy sa pretínajú v bodoch x =. π/4 + πk. Pretože v tomto prípade tg x > 1, na grafe zvýrazníme oblasť tangentoidu, ktorá sa nachádza nad grafom y = 1, kde x patrí do intervalu od π/4 do π/2. Odpoveď zapíšeme ako π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Ďalej zvážte rovnicu cot x = a. Na obrázku sú znázornené grafy funkcií y = cot x, y = a, y = - a, ktoré majú veľa priesečníkov. Riešenia možno zapísať ako x = x 1 + πk, kde x 1 = arcctg a a x = x 2 + πk, kde x 2 = arcctg (- a). Je potrebné poznamenať, že x2 = π-x1. Z toho vyplýva rovnosť arcctg (- a) = π - arcctg a. Nasleduje definícia oblúkového kotangensu: oblúkový kotangens a je číslo z intervalu od 0 do π, ktorého kotangens sa rovná a. Riešenie rovnice сtg x = a je napísané ako: x = arcctg a + πk.
Na konci video lekcie je urobený ďalší dôležitý záver - výraz ctg x = a možno zapísať ako tg x = 1/a za predpokladu, že a sa nerovná nule.
DEKODOVANIE TEXTU:
Uvažujme riešenie rovníc tg x = 3 a tg x = - 3. Ak prvú rovnicu vyriešime graficky, vidíme, že grafy funkcií y = tg x a y = 3 majú nekonečne veľa priesečníkov, ktorých úsečky napíšeme vo forme
x = x 1 + πk, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y = 3 s hlavnou vetvou tangentoidy (obr. 1), pre ktorú bolo vymyslené označenie
arctan 3 (oblúkový tangens troch).
Ako rozumieť arctg 3?
Ide o číslo, ktorého dotyčnica je 3 a toto číslo patrí do intervalu (- ;). Potom všetky korene rovnice tg x = 3 možno zapísať vzorcom x = arctan 3+πk.
Podobne riešenie rovnice tg x = - 3 môžeme zapísať v tvare x = x 2 + πk, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky y = - 3 s hlavnou vetvou čiary. tangentoida (obr. 1), pre ktorý je označenie arctg(- 3) (arkus tangenta mínus tri). Potom všetky korene rovnice môžeme zapísať vzorcom: x = arctan(-3)+ πk. Obrázok ukazuje, že arctg(- 3)= - arctg 3.
Sformulujme definíciu arkustangens. Arkustangens a je číslo z intervalu (-;), ktorého dotyčnica sa rovná a.
Často sa používa rovnosť: arctg(-a) = -arctg a, ktorá platí pre ľubovoľné a.
Keď poznáme definíciu arkustangens, môžeme urobiť všeobecný záver o riešení rovnice
tg x= a: rovnica tg x = a má riešenie x = arctan a + πk.
Pozrime sa na príklady.
PRÍKLAD 1. Vypočítajte arctan.
Riešenie. Nech arctg = x, potom tgх = a xϵ (- ;). Zobraz tabuľku hodnôt Preto x =, pretože tg = a ϵ (- ;).
Takže, arktan =.
PRÍKLAD 2. Vypočítajte arktan (-).
Riešenie. Pomocou rovnosti arctg(- a) = - arctg a napíšeme:
arctg(-) = - arctg . Nech - arctg = x, potom - tgх = a xϵ (- ;). Preto x =, keďže tg = a ϵ (- ;). Zobraziť tabuľku hodnôt
To znamená - arctg=- tgх= - .
PRÍKLAD 3. Riešte rovnicu tgх = 1.
1. Napíšte vzorec riešenia: x = arctan 1 + πk.
2. Nájdite hodnotu arkustangens
keďže tg = . Zobraziť tabuľku hodnôt
Takže arctan1= .
3. Nájdenú hodnotu vložte do vzorca riešenia:
PRÍKLAD 4. Vyriešte rovnicu tgх = - 4,1 (dotyčnica x sa rovná mínus štyrom bodom jedna).
Riešenie. Napíšme vzorec riešenia: x = arctan (- 4,1) + πk.
Hodnotu arkustangensu nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme v jej získanom tvare.
PRÍKLAD 5. Vyriešte nerovnosť tgх 1.
Riešenie. Vyriešime to graficky.
- Zostrojme tangens
y = tgх a priamka y = 1 (obr. 2). Pretínajú sa v bodoch ako x = + πk.
2. Vyberme interval osi x, v ktorom sa hlavná vetva tangentoidu nachádza nad priamkou y = 1, keďže podľa podmienky tgх 1. Toto je interval (;).
3. Využívame periodicitu funkcie.
Vlastnosť 2. y=tg x je periodická funkcia s hlavnou periódou π.
Berúc do úvahy periodicitu funkcie y = tgх, napíšeme odpoveď:
(;). Odpoveď možno napísať ako dvojitú nerovnosť:
Prejdime k rovnici ctg x = a. Uveďme grafické znázornenie riešenia rovnice pre kladné a záporné a (obr. 3).
Grafy funkcií y = ctg x a y = a a tiež
y = ctg x a y = -a
majú nekonečne veľa spoločných bodov, ktorých úsečky vyzerajú takto:
x = x 1 +, kde x 1 je súradnica priesečníka priamky y = a s hlavnou vetvou dotyčnice a
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky
y = - a s hlavnou vetvou tangentoidu a x 2 = arcсtg (- a).
Všimnite si, že x 2 = π - x 1. Zapíšme si teda dôležitú rovnosť:
arcсtg (-a) = π - arcсtg а.
Sformulujme definíciu: oblúk kotangens a je číslo z intervalu (0;π), ktorého kotangens sa rovná a.
Riešenie rovnice ctg x = a zapíšeme v tvare: x = arcctg a + .
Upozorňujeme, že rovnicu ctg x = a je možné transformovať do tvaru
tg x = okrem prípadov, keď a = 0.
V tejto lekcii budeme pokračovať v štúdiu arkustangens a riešení rovníc v tvare tg x = a pre ľubovoľné a. Na začiatku hodiny vyriešime rovnicu s tabuľkovou hodnotou a riešenie znázorníme na grafe a následne na kruhu. Ďalej riešime rovnicu tgx = a vo všeobecnom tvare a odvodíme všeobecný vzorec pre odpoveď. Znázornime výpočty na grafe a na kruhu a zvážme rôzne formy odpovede. Na konci hodiny vyriešime niekoľko úloh s riešeniami znázornenými na grafe a na kruhu.
Téma: Goniometrické rovnice
Lekcia: Arktangens a riešenie rovnice tgx=a (pokračovanie)
1. Téma lekcie, úvod
V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie rovnice pre akékoľvek reálne
2. Riešenie rovnice tgx=√3
Úloha 1. Vyriešte rovnicu
Poďme nájsť riešenie pomocou funkčných grafov 
(obr. 1).
Uvažujme interval Na tomto intervale je funkcia monotónna, čo znamená, že je dosiahnutá len pre jednu hodnotu funkcie.
odpoveď: 
Riešime rovnakú rovnicu pomocou číselného kruhu (obr. 2).
odpoveď: 
3. Riešenie rovnice tgx=a vo všeobecnom tvare
Riešime rovnicu vo všeobecnom tvare (obr. 3).
Na intervale má rovnica jedinečné riešenie 
Najmenšie pozitívne obdobie
Ilustrujme na číselnom kruhu (obr. 4).
4. Riešenie problémov
Úloha 2. Vyriešte rovnicu
Zmeňme premennú
Problém 3. Vyriešte systém:
Riešenie (obr. 5):
V určitom bode je teda hodnota riešením systému je len bod
odpoveď: 
Úloha 4. Vyriešte rovnicu 
Poďme vyriešiť pomocou metódy zmeny premennej:
Úloha 5. Nájdite počet riešení rovnice na intervale 
Vyriešme úlohu pomocou grafu (obr. 6).
Rovnica má tri riešenia na danom intervale.
Znázornime to na číselnom kruhu (obr. 7), aj keď to nie je také jasné ako na grafe.
Odpoveď: Tri riešenia.
5. Záver, záver
Rovnicu pre akékoľvek reálne sme vyriešili pomocou konceptu arkustangens. V ďalšej lekcii si predstavíme pojem arkus tangens.
Bibliografia
1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra a matematická analýza pre ročník 10 (učebnica pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy - M.: Prosveshchenie, 1997.
5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (ed. M. I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problémy algebry a princípy analýzy (príručka pre študentov 10.-11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.
Domáca úloha
Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Ďalšie webové zdroje
1. Matematika.
2. Problémy internetového portálu. ru.
3. Vzdelávací portál na prípravu na skúšky.