Vsak šolar, ki se pripravlja na izpit iz matematike, bo pomagal ponoviti temo "Iskanje kota med naravnostjo." Kot statistični podatki kažejo, ko je preskus certificiranja opravljen, naloga v skladu s tem razdelkom stereometrije povzroča težave pri velikem številu študentov. Hkrati se nalog, ki zahtevajo poiščejo kot med neposrednim, najdemo v izpitu kot osnovno in profilno raven. To pomeni, da se morajo vsi odločili.
Poudarki
V prostoru je 4 vrste medsebojne lokacije neposredne. Lahko sovpadajo, sekajo, bodo vzporedno ali prečkajo. Kot med njimi je lahko oster ali naravnost.
Da bi našli kot med neposredno v uporabi ali, na primer pri reševanju, lahko šolarji v Moskvi in \u200b\u200bdrugih mestih uporabijo več načinov za reševanje problemov v tem delu stereometrije. Naloga lahko izvedete s klasičnimi stavbami. Za to je vredno spoznati glavne aksiome in izreke stereometrije. Schoolboy mora biti sposoben logično graditi utemeljitev in ustvariti risbe, da bi nalogo prinesla planimetično nalogo.
Uporabite lahko tudi metodo vektorske koordinate, nanašanje preprostih formul, pravila in algoritmov. Glavna stvar v tem primeru je pravilno izpolnjevati vse izračune. Pol njihovih spretnosti za reševanje problemov na stereometriji in drugih odsekih šolskega poguma vam bo pomagal vam izobraževalnim projektom "Shkolkovo".
Opredelitev.Če sta podana dva ravna Y \u003d K1 x + B 1, Y \u003d K2 x + B 2, nato pa se bo oster kot med njimi določil kot
Dva ravna vzporedna, če je K 1 \u003d K2. Dve ravni črti, ki so pravokotni, če je K 1 \u003d -1 / K2.
Teorem.Straight AH + W + C \u003d 0 in A1 x + v 1 Y + C 1 \u003d 0 sta vzporedna, ko so koeficienti A 1 \u003d λA sorazmerni z 1 \u003d λ. Če tudi z 1 \u003d λі, potem neposredno sovpada. Koordinate presečišča dveh neposrednih so kot rešitev sistema enačb teh neposrednih.
Enačba neposrednega prenosa skozi to točko
Pravokotno na to neposredno
Opredelitev.Neposredno, mimo točke M 1 (x 1, v 1) in pravokotno na ravne črte Y \u003d KX + B, je predstavljena z enačbo:
Oddaljenost od točke do neposredne
Teorem.Če je točka M (X 0, Y 0) določena, potem je razdalja do ravne črte AH + W + C \u003d 0 definirana kot
.
Dokaz.Naj bo točka M 1 (x 1, v 1) osnova za pravokotno, znižana od točke M na določeno neposredno. Potem razdalja med točkami M in M \u200b\u200b1:
(1)
Koordinate X 1 in 1 je mogoče najti kot rešitev sistema enačb:
Druga enačba sistema je enačba neposrednega prehoda skozi določeno točko M 0 pravokotno na določeno neposredno neposredno. Če pretvorite prvo enačbo sistema na misel:
A (X-X 0) + B (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + za 0 + C \u003d 0,
to, reševanje, dobimo:
Zamenjava teh izrazov enačbi (1), najdemo:
Izkazalo se je izrek.
Primer. Določite kot med ravnim: y \u003d -3 x + 7; Y \u003d 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; K 2 \u003d 2; Tgφ \u003d. 
; φ \u003d p / 4.
Primer. Pokažite, da je ravna 3x - 5y + 7 \u003d 0 in 10x + 6U - 3 \u003d 0 pravokotno.
Sklep. Najdemo: K 1 \u003d 3/5, K 2 \u003d -5/3, K 1 * K2 \u003d -1, torej, neposredno pravokotno.
Primer. Navedene so tocke trikotnika A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite višinsko enačbo, ki se izvede z vrha S.
Sklep. Poiščite del dela AV: 
; 4 x \u003d 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 \u003d 0;
Želena enačba višine je: AX + BY + C \u003d 0 ali Y \u003d KX + B. k \u003d. Potem y \u003d. Ker Višina gre skozi točko C, nato pa njegove koordinate izpolnjujejo to enačbo: 
Kjer je B \u003d 17.. 
Odgovor: 3 x + 2 y - 34 \u003d 0.
Enačba je neposredna prehod skozi to točko v tej smeri. Enačba je neposredna prehod skozi podatke dveh točk. Kot med dvema naravnostjo. Stanje vzporednosti in pravokotnost dveh ravni črtov. Določanje presečišča dveh neposrednih
1. Enačba neposrednega prenosa skozi to točko A.(x. 1 , y. 1) V tej smeri, ki jo določa kotni koeficient k.,
y. - y. 1 = k.(x. - x. 1). (1)
Ta enačba določa žarek neposrednega prehoda skozi točko A.(x. 1 , y. 1), ki se imenuje središče žarka.
2. Enačba neposrednega prehoda v dveh točkah: A.(x. 1 , y. 1) I. B.(x. 2 , y. 2), piše taka:
Kotni koeficient neposrednega prehoda skozi dve točki točke je določen s formulo
3. Kot med naravnostjo A. in B. imenovan kot, na katerega morate obrniti prvo naravnost A. Okoli presečišča te neposredne proti gibanju v smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo neposredno B.. Če dve ravni liniji dajejo enačbe z kotnim koeficientom
y. = k. 1 x. + B. 1 ,
y. = k. 2 x. + B. 2 , (4)
potem je kot med njimi določen s formulo
Plačati je treba dejstvo, da se v števcu frakcije iz kotnega koeficienta drugega naravnega, kotnega koeficienta prve ravni črte odšteje.
Če so enačbe neposredno določene v splošni obliki
A. 1 x. + B. 1 y. + C. 1 = 0,
A. 2 x. + B. 2 y. + C. 2 = 0, (6)
kot med njimi je določen s formulo
4. Pogoji vzporednosti dveh ravni linij:
a) Če so enačbe (4) z enačbo (4) z kotnim koeficientom, potem potrebnega in zadostnega stanja njihovega vzporednosti sestavljajo enakost njihovih kotnih koeficientov:
k. 1 = k. 2 . (8)
b) Za primer, ko so enačbe v splošni obliki (6), je potrebno in zadostno stanje njihovega vzporednika, da so koeficienti na ustreznih sedanjih koordinatah v svojih enačbah sorazmerni, t.j.
5. Pogoji, ki se nanašajo na dve ravni črti:
a) V primeru, da je neposredna z enačbami (4) z kotnim koeficientom, je potrebno in zadostno stanje njihovega pravokotnega, da so njihovi kotni koeficienti obratno v velikosti in nasproti znaka, t.j.
Ta pogoj se lahko zabeleži tudi kot
k. 1 k. 2 = -1. (11)
b) Če se enačbe neposredno navedejo v splošni obliki (6), je pogoj njihove pravokotne (potrebne in zadostne) izpolnjevati enakost
A. 1 A. 2 + B. 1 B. 2 = 0. (12)
6. Koordinate presečišča dveh neposrednih se nahajajo z reševanjem sistema enačb (6). Naravnost (6) sekajo v tem in samo v primeru, ko
1. Napišite enačbe neposrednega prehoda skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa je pravokotna na določeno neposredno L.
Oh-oh-oh-oh ... no, tin, kot da bi ga prebral sam \u003d) Vendar pa bo sprostitev pomagala, še posebej od danes sem kupil ustrezne dodatke. Zato bom nadaljeval s prvim oddelkom, upam, da do konca članka ohranim živahno ureditev duha.
Medsebojna lokacija dveh ravni linij
Primer, ko hodnik doseže zbor. Dve ravni črti lahko:
1) sovpada;
2) biti vzporedni:;
3) ali seka v eni točki :. \\ t
Pomoč za čajnike : Ne pozabite na matematični znak križišča, se bo pogosto srečal. Vnos označuje, da neposredna seka z ravno točko na točki.
Kako določiti medsebojno lokacijo dveh ravni linij?
Začnimo od prvega časa:
Dve ravni liniji sovpadata, nato pa samo, če so njihovi koeficienti sorazmerni, to je takšno številko "Lambda", ki je izvedena enakost
Razmislite o neposrednih in izvedenih treh enačbah iz ustreznih koeficientov :. Iz vsake enačbe izhaja, da torej neposredni podatki sovpadajo.
Dejansko, če vsi koeficienti enačbe 
Pomnožite na -1 (menjalne oznake) in vsi koeficienti enačb 
Zmanjšajte 2, nato pa se dobi ena enačba :. \\ T
Drugi primer je, ko je ravno vzporedno:
Potem dva ravne vzporednice in le, če so njihovi koeficienti sorazmerni s spremenljivkami: 
, Ampak.
Kot primer razmislite o dveh naravnost. Preverite sorazmernost ustreznih koeficientov s spremenljivkami: 
Vendar pa je to povsem očitno.
In tretji primer, ko se ravna črta seka:
Dve ravni črti sekajo, nato pa samo, če njihovi koeficienti niso sorazmerni s spremenljivkami, to pomeni, da ni takega pomena "Lambda", ki se izvaja enaka 
Torej, za neposredno izdelavo sistema: 
Iz prve enačbe sledi, da in iz druge enačbe: sistem je nepopoln (Brez rešitev). Tako koeficienti s spremenljivkami niso sorazmerni.
Zaključek: Ravno seka
V praktičnih nalogah lahko uporabljate samo shemo rešitev. Mimogrede, povsem spominja na algoritem za preverjanje vektorjev za kolinearnost, ki smo jo upoštevali v lekciji Koncept linearnih (ne) odvisnosti vektorjev. Osnova vektorjev. Vendar pa je bolj civilizirana embalaža:
Primer 1.
Ugotovite medsebojno lokacijo neposrednega: 
Sklep Na podlagi študije neposrednih vektorjev:
a) iz enačb najdejo neposredne vektorje: 
.
Torej, vektorji niso kolinearni in ravne sekajo.
V primeru, da postavite kamen z kazalci na križišče:
Ostalo skoči na kamen in sledite naslednjem, naravnost do nesnosti Immartal \u003d)
b) Našli bomo neposredne vektorje: 
Ravno ima isti vodilni vektor, to pomeni, da so bodisi vzporedni ali sovpadajo. Tu in determinanta ni potrebna.
Očitno so koeficienti na neznanem sorazmerni s tem.
Ugotavljamo, ali je enakost resnična: 
V to smer,
c) Ugotavljamo neposredne vektorje: 
Izračunajte determinanto, pridobljeno iz koordinat podatkov vektorjev: 
Zato se vodilni vektorji konkurirajo. Neposredno ali sovpadajo.
Razmerje med sorazmernostjo "Lambda" ni težko videti neposredno iz razmerja količnega vektorja. Vendar pa je mogoče najti s koeficienti samih enačb: 
.
Zdaj ugotovite, ali je enakost resnična. Oba brezplačna nič, torej:
Dobljena vrednost izpolnjuje to enačbo (izpolnjuje katero koli številko na splošno).
Tako neposredno sovpada.
Odgovor:
Zelo kmalu se boste naučili (ali ste se naučili) rešili obravnavano nalogo ustno dobesedno v sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudili ničesar za samostojno odločitev, je bolje, da začnete še eno pomembno opeko v geometrijskem fundaciji:
Kako zgraditi ravno vzporedno s tem?
Za nevednost tega najpreprostejšega problema je nočni ropar močno kaznovan.
Primer 2.
Neposredno izda enačba. Enačbo vzporedno neposredno, ki poteka skozi točko.
Sklep: Označuje z neznanim direktnim pismom. Kaj je rečeno o njej v stanju? Neposredno preide skozi točko. In če ravne vzporednice, je očitno, da je direktni "CE" vodnik vektor primeren za izgradnjo ravne črte "DE".
Izvlecite vodni vektor iz enačbe:
Odgovor:
Primer geometrija izgleda neprijetno: 
Analitični pregled je sestavljen iz naslednjih korakov:
1) Preverjamo, da isti vodni vektor (če neposredna enačba ni pravilno poenostavljena, bodo vektorji kolineži).
2) Preverimo, ali je točka dobljena enačba izpolnjuje.
Analitični ček v večini primerov je enostavno opravljati ustno. Poglejte dve enačbi, mnogi od vas bodo hitro določili vzporednost neposrednega brez risanja.
Primeri za neodvisno rešitev bodo danes ustvarjalni. Ker si še vedno moraš vzeti Baba Yaga, in ona, veš, ljubitelj vseh vrst skrivnosti.
Primer 3.
Enačba neposrednega prehoda skozi točko vzporedno s črto, če
Obstaja racionalna in ne zelo racionalna rešitev. Najkrajša pot je na koncu lekcije.
Z vzporednim ravnanjem so delali malo in se jim vrnili. Primer sovpada ravnih linij je bolj zanimiv, zato upoštevajte nalogo, ki je znana iz šolskega programa:
Kako najti križišče dve ravni linije?
Če je naravnost 
sekajo na točki, njegove koordinate so odločitev Sistemi linearnih enačb 
Kako najti točko presečišča neposredno? Rešiti sistem.
Tukaj sem geometrijski pomen sistema dveh linearnih enačb z dvema neznano - To sta dva križa (najpogosteje) naravnost na ravnino.
Primer 4.
Poiščite točko presečitve neposrednega
Sklep: Obstajata dva načina za reševanje grafične in analitične.
Grafična metoda je preprosto narisati podatke neposredno in naučiti presečišče točke neposredno iz risbe: 
Tukaj je naša točka :. Če želite preveriti, je treba svoje koordinate nadomestiti v vsaki enačbi, da morajo priti ven tam in tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. Pravzaprav smo pregledali grafično rešitev sistemi linearnih enačb Z dvema enačbama, dve neznani.
Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazni. Ne, to ni, da se sedmi grederji odločijo, da je dejstvo, da bo pravica in natančna risba potrebna čas. Poleg tega nekakšna neposredna gradnja ni tako preprosta, križišče pa je lahko nekje v tridesetem kraljestvu zunaj Airtal Sheet.
Zato je točka križišča bolj primerna za iskanje analitske metode. Reševanje sistema: 
Za reševanje sistema se uporablja način preusmerjanja enačb. Za izdelavo ustreznih veščin obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?
Odgovor:
Preverite trivialno - koordinate presečišča mora izpolnjevati vsako enačbo sistema.
Primer 5.
Poiščite točko preseka neposredno, če se križajo.
To je primer za samostojno rešitev. Naloga je primerna za razbijanje v več faz. Analiza stanja kaže, da je to potrebno:
1) Naredite Equion Direct.
2) Naredite neposredno enačbo.
3) Ugotovite medsebojno lokacijo ravnih linij.
4) Če neposredna seka, poiščite točko križišča.
Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske naloge, in se bom večkrat osredotočil na to.
Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije:
Stoptan in par čevljev, kot smo prišli do drugega razreda lekcije:
Pravokotne ravne črte. Oddaljenost od točke do ravnega.
Kot med naravnostjo
Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili, kako zgraditi ravno črto, vzporedno s tem, in zdaj bo koča na radovednih nogah odvijala 90 stopinj:
Kako zgraditi naravnost, pravokotno na to?
Primer 6.
Neposredno izda enačba. Enačbo, ki je pravokotna na neposreden prehod, ki poteka skozi točko.
Sklep: Pod pogojem je to znano. Lepo bi bilo najti vodilni vektor naravnost. Ker je ravne pravokotne, je poudarek preprosto:
Iz enačbe "Odstranite" vektor normalnega: ki bo neposredna linija.
Enačba je neposredna, da je na točki in vodilni vektor:
Odgovor: 
Začeli bomo geometrijsko etude:
M-ja ... oranžno nebo, pomarančno morje, oranžna kamela.
Preverjanje analitične rešitve:
1) Iz enačb izvlecite vodilne vektorje 
in s pomočjo vektorji Scalar Product. Ugotavljamo, da so ravne črte res pravokotne :.
Mimogrede, lahko uporabite normalne vektorje, je še lažje.
2) Preverjanje, ali je točka pridobljene enačbe izpolnjena 
.
Ponovno preverite, enostavno izvedite peroralno.
Primer 7.
Poiščite točko križišča, ki je pravokotno neposredno, če je enačba znana 
in točko.
To je primer za samostojno rešitev. V nalogi več ukrepov, tako da je rešitev primerna za mesto na točkah.
Naše fascinantno potovanje se nadaljuje:
Oddaljenost od točke do neposredne
Imamo neposreden trak reke in naša naloga je, da jo dosežemo z najkrajšo potjo. Ni ovir, in najbolj optimalna pot se bo premaknila na pravokotno. To je, razdalja od točke do linije je dolžina pravokotnega segmenta.
Razdalja v geometriji tradicionalno označuje grško črko "RO", na primer: - Oddaljenost od točke "EM" na ravno "DE".
Oddaljenost od točke do neposredne 
Formula je izražena
Primer 8.
Poiščite razdaljo od točke do neposredne 
Sklep: Vse kar potrebujete, nežno se nadomesti številke v formuli in izvede izračun:
Odgovor: 
Izvedite risbo: 
Najdena razdalja od točke do linije je točno dolžina rdečega segmenta. Če naredite risbo na papirju na 1 enoti. \u003d 1 cm (2 celice), nato pa se razdalja lahko meri z navadnim vladarjem.
Razmislite o drugi nalogi na isti risbi:
Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična o neposredni točki 
. Predlagam, da opravljam dejanja sami, vendar i označujem algoritem rešitev z vmesnimi rezultati:
1) Poiščite naravnost, ki je pravokotna na ravno črto.
2) Poiščite presečišče neposrednega: 
.
Oba dejanja sta podrobno razstavljena v okviru te lekcije.
3) Bistvo je sredi segmenta. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Z mID-Segment koordinatne formule Najti.
To ne bo odveč, da bi preverili, da je razdalja tudi 2,2 enote.
Težave se lahko pojavijo v izračunih, vendar mikrokakladator pomaga pri stolpu, ki nam omogoča, da upoštevamo običajne frakcije. Večkrat svetuje, svetuje in znova.
Kako najti razdaljo med dvema paralelno naravnost?
Primer 9.
Poiščite razdaljo med dvema paralelno naravnost
To je še en primer za neodvisno odločitev. Malo vam bom povedal: brezstopenjskim načinom reševanja. Polovico letov na koncu lekcije, vendar bolje poskusite uganiti sebe, mislim, da je tvoja talilnica uspela dobro razpršiti.
Kot med dvema naravnostjo
Nič vogala, nato Jamb: 
V geometriji, je manjši kot je sprejet za kot med dvema neposredno, iz katerega samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje kot kot med sekanjem naravnost. In se šteje za takšno "zeleno" sosedo ali nasprotno usmerjena "Raspberry" kot.
Če je neposredno pravokotna, potem po kotu med njimi lahko vzamete katerega od 4 vogalov.
Kakšna je razlika med koti? Usmerjenost. Prvič, bistveno je pomembna za smer "pomikanja" kot. Drugič, negativno usmerjen kot je zabeležen z minus znak, na primer, če.
Zakaj sem to povedal? Zdi se lahko in običajni koncept kota. Dejstvo je, da je v formulah, za katere bomo našli vogale, je lahko zlahka negativen rezultat, kar te ne bi smelo najti presenetiti. Kot z znakom "minus" ni slabši in ima popolnoma konkreten geometrični pomen. V risbi za negativni kot je treba določiti puščico svoje orientacije (v smeri urinega kazalca).
Kako najti kot med dvema naravnost? Obstajata dve delovni formulami:
Primer 10.
Poiščite vogal med naravnostjo
Sklep in Najprej
Razmislite o dveh ravnih vrsticah, ki jih izhajajo iz enačb v splošni obliki: 
Če je naravnost ni pravokotnoT. orientEd. Kot med njimi se lahko izračuna z uporabo formule: 
Najbližja pozornost je namenjena imenovalu - točno je scalarni izdelek Neposredni vektorji:
Če je imenovalec formule narisan na nič, in vektorji bodo pravokotni in neposredni pravokotni. Zato je rezervacija opravljena glede neporavnakularnosti neposrednega v besedilu.
Na podlagi zgoraj navedenega je rešitev primerna za urejanje dveh korakov:
1) Izračunajte skalarni produkt neposrednih vektorjev:
Tako ravna ni pravokotna.
2) Kot med neposrednim delom bo našli s formulo:
Z uporabo povratne funkcije je enostavno najti sam kot. Ob istem času, uporabljamo čudno arantant (glej Grafikoni in lastnosti osnovnih funkcij):
Odgovor: 
V odgovoru navedite natančno vrednost, kot tudi približna vrednost (po možnosti v stopinjah, in v radianih), izračunana z uporabo kalkulatorja.
No, minus, tako minus, nič grozljivo. Tukaj je geometrijska ilustracija: 
Ni presenetljivo, da se je kotar izkazal za negativno usmeritev, saj v smislu naloge, prva številka gre naravnost in "pomlajevanje" kota začel z njo.
Če res želite dobiti pozitiven kot, morate spremeniti neposredna mesta, to je, koeficienti vzamejo iz druge enačbe 
, in koeficienti od prve enačbe. Skratka, morate začeti z neposredno 
.
Bom kratek. Kot med dvema naravnostma je enak vogalu med vodilnimi vektorji. Torej, če vam uspe najti koordinate vodilnih vektorjev A \u003d (x 1; y 1; z 1) in b \u003d (x 2; y2; z 2), potem lahko najdete kot. Natančneje, kosine vogala po formuli:
Poglejmo, kako ta formula deluje na določenih primerih:
Nalogo. Na Kubi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so točke E in F sredi reber A 1 B 1 in B 1 C1. Poiščite kot med ravnim AE in bf.
Ker rob kocke ni podan, smo dali AB \u003d 1. Uvajamo standardni koordinatni sistem: Začnite na točki A, X, Y os, Pošlji vzdolž AB, AD in AA 1. En segment je AB \u003d 1. Zdaj najdemo koordinate vodilnih vektorjev za naše ravne črte.
Našli bomo koordinate vektorja AE. Za to bomo potrebovali točke A \u003d (0; 0; 0) in E \u003d (0,5; 0; 1). Ker je točka E sredi segmenta A 1 B 1, so njene koordinate enake povprečne aritmetične koordinate koncev. Upoštevajte, da začetek vektorja AE sovpada z začetkom koordinat, zato AE \u003d (0,5; 0; 1).
Zdaj se bomo ukvarjali z vektorjem BF. Podobno razstavimo točke B \u003d (1; 0; 0) in F \u003d (1; 0,5; 1), ker F - Sredina segmenta B 1 C 1. Imamo:
Bf \u003d (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0,5; 1).
Torej so vodilni vektorji pripravljeni. Kosina kota med ravnijo je kosinasta kota med vodilnimi vektorji, zato imamo:
Nalogo. V pravilni trikoralni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katerih rebra so 1, so točke D in E označene sredi reber A 1 B 1 in B 1 C1. Poiščite kot med ravnim oglasom in biti.
Uvajamo standardni koordinatni sistem: poreklo na točki A, X Axis bo usmerjala vzdolž AB, Z vzdolž AA 1. Os Y bo poslala tako, da se oksisko letalo ujema z ravnino ABC. En segment je AB \u003d 1. Poiščite koordinate vodilnih vektorjev za želeno neposredno.
Za začetek bomo našli koordinate oglasa vektorja. Razmislite o točkah: a \u003d (0; 0; 0) in D \u003d (0,5; 0; 1), ker D je sredi segmenta A 1 B 1. Od začetka vektorja oglasa sovpada s poreklom koordinat, dobimo AD \u003d (0,5; 0; 1).
Zdaj najdemo koordinate vektorja. Točka b \u003d (1; 0; 0) je enostavno. S točko E - sredi segmenta C 1 B 1 - malo bolj zapleteno. Imamo:
Še vedno je najti koz koz:
Nalogo. V pravilni šesterokotni nagradi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katerih robovi so 1, so točke K in L sredi rebra A 1 B 1 in B 1 C1. Poiščite kot med ravnim AK in BL.
Predstavimo standardni koordinatni sistem za prizmo: začetek koordinat bo nameščen v središče spodnje baze, X os usmerja na FC, os y - skozi sredino segmentov AB in DE, in os je navpično navzgor. En sam rez je spet enak AB \u003d 1. Mi bomo zapisali koordinate, ki vas zanimajo za nas:
Točke K in L sta sredi segmentov A 1 B 1 in B 1 C1, zato so njihove koordinate skozi aritmetično povprečje. Poznavanje točk, bomo našli koordinate vodilnih vektorjev AK in BL:
Zdaj najdemo kosine vogala:
Nalogo. V pravilnem kvadrangularnem SABCD piramidi, katerih rebra so 1, so točke E in F sredi strani SB in SC, oziroma. Poiščite kot med ravnim AE in bf.
Uvajamo standardni koordinatni sistem: Začetek na točki A, X in Y Os bo poslana vzdolž AB in AD, oziroma osi z osi Z bo usmerjala navpično. En segment je AB \u003d 1.
Točke e in f - posnemajo segmentov SB in SC, zato se njihove koordinate nahajata kot aritmetično povprečje koncev. Mi zapišemo koordinate interesa za nas:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)
Poznavanje točk, bomo našli koordinate vodilnih vektorjev AE in BF:
Koordinate AE vector sovpada s koordinatami točke E, od točke A je začetek koordinat. Še vedno je najti koz koz:
