IZBIRNI PREDMET TEMA

PRETVORBA ŠTEVILSKIH IN ČRKOVNIH IZRAZOV

Količina 34 ur

višji učitelj matematike

Mestna izobraževalna ustanova "Srednja šola št. 51"

Saratov, 2008

PROGRAM IZBIRNIH PREDMETOV

"PRETVORBA ŠTEVILSKIH IN ČRKOVNIH IZRAZOV"

Pojasnilo

V zadnjih letih se zaključni izpiti v šolah, pa tudi sprejemni izpiti na univerzah izvajajo s testi. Ta oblika preverjanja se razlikuje od klasičnega izpita in zahteva specifično pripravo. Značilnost testiranja v obliki, ki se je razvila do danes, je potreba po odgovoru na veliko število vprašanj v omejenem časovnem obdobju, to pomeni, da je potrebno ne samo odgovoriti na zastavljena vprašanja, ampak tudi hitro. Zato je pomembno obvladati različne tehnike in metode, ki vam omogočajo doseganje želenega rezultata.

Ko rešujete skoraj vsako šolsko težavo, morate narediti nekaj preobrazb. Pogosto je njegova zapletenost v celoti odvisna od stopnje zapletenosti in količine transformacije, ki jo je treba izvesti. Nič nenavadnega ni, da učenec ne zna rešiti problema, pa ne zato, ker ne ve, kako se rešuje, ampak zato, ker ne more narediti vseh potrebnih transformacij in izračunov brez napak, v razumnem času.

Izbirni predmet Pretvarjanje številskih in črkovnih izrazov širi in poglablja osnovni učni načrt matematike v srednji šoli in je namenjen učenju v 11. razredu. Predlagani tečaj je namenjen razvoju računalniških spretnosti in ostrine mišljenja. Tečaj je namenjen študentom z visoko ali povprečno stopnjo matematične pripravljenosti in je zasnovan tako, da jim pomaga pri pripravi na vpis na univerze in olajša nadaljevanje resnega matematičnega izobraževanja.

Cilji:

Sistematizacija, posploševanje in razširitev znanja učencev o številih in operacijah z njimi;

Razvoj samostojnosti, ustvarjalnega mišljenja in kognitivnega interesa učencev;

Oblikovanje zanimanja za računalniški proces;

Prilagajanje študentov novim pravilom za vpis na univerze.

Pričakovani rezultati:

Poznavanje klasifikacije števil;

Izboljšanje spretnosti hitrega štetja;

Sposobnost uporabe matematičnih orodij pri reševanju različnih problemov;

Izobraževalni in tematski načrt

Načrt velja 34 ur. Zasnovan je ob upoštevanju teme diplomskega dela, zato sta upoštevana dva ločena dela: številski in abecedni izraz. Po učiteljevi presoji lahko abecedne izraze upoštevamo skupaj s številskimi izrazi v ustreznih temah.

		Število ur
	Številski izrazi Cela števila Metoda matematične indukcije Racionalna števila Decimalni periodični ulomki Iracionalna števila Korenine in stopinje Logaritmi Trigonometrične funkcije Inverzne trigonometrične funkcije Kompleksna števila Test na temo "Številski izrazi" Primerjanje številskih izrazov Dobesedni izrazi Pretvarjanje izrazov z radikali Pretvarjanje potenčnih izrazov Pretvarjanje logaritemskih izrazov Pretvarjanje trigonometričnih izrazov Končni test

Cela števila (4h)

Serije številk. Temeljni izrek aritmetike. GCD in NOC. Znaki deljivosti. Metoda matematične indukcije.

Racionalna števila (2h)

Definicija racionalnega števila. Glavna lastnost ulomka. Formule za skrajšano množenje. Definicija periodičnega ulomka. Pravilo za pretvorbo iz decimalnega periodičnega ulomka v navadni ulomek.

Iracionalna števila. Radikali. Stopnje. Logaritmi (6h)

Definicija iracionalnega števila. Dokaz iracionalnosti števila. Znebiti se iracionalnosti v imenovalcu. Realne številke. Lastnosti stopnje. Lastnosti aritmetičnega korena n-te stopnje. Definicija logaritma. Lastnosti logaritmov.

Trigonometrične funkcije (4h)

Številčni krog. Številske vrednosti trigonometričnih funkcij osnovnih kotov. Pretvarjanje velikosti kota iz stopinjske mere v radiansko mero in obratno. Osnovne trigonometrične formule. Redukcijske formule. Inverzne trigonometrične funkcije. Trigonometrične operacije na ločnih funkcijah. Osnovni odnosi med ločnimi funkcijami.

Kompleksna števila (2h)

Koncept kompleksnega števila. Dejanja s kompleksnimi števili. Trigonometrične in eksponentne oblike kompleksnih števil.

Vmesno testiranje (2h)

Primerjava številskih izrazov (4h)

Numerične neenakosti na množici realnih števil. Lastnosti številskih neenačb. Podprite neenakosti. Metode dokazovanja numeričnih neenakosti.

Črkovni izrazi (8h)

Pravila za pretvarjanje izrazov s spremenljivkami: polinomi; algebrski ulomki; iracionalni izrazi; trigonometrične in druge izraze. Dokazi identitet in neenakosti. Poenostavljanje izrazov.

1. del izbirnega predmeta: “Številski izrazi”

LEKCIJA 1(2 uri)

Tema lekcije: Cela števila

Cilji lekcije: Povzeti in sistematizirati znanje učencev o številih; spomnite se pojmov GCD in LCM; razširiti znanje o znakih deljivosti; obravnavajte probleme, rešene v celih številih.

Med poukom

jaz. Uvodno predavanje.

Razvrstitev številk:

cela števila;

Cela števila;

Racionalna števila;

Realna števila;

Kompleksna števila.

Uvajanje številskega niza v šoli se začne s pojmom naravnega števila. Kličejo se številke, ki se uporabljajo pri štetju predmetov naravno. Množico naravnih števil označujemo z N. Naravna števila delimo na praštevila in sestavljena. Praštevila imajo samo dva delitelja: ena in samo število imajo več kot dva delitelja. Temeljni izrek aritmetike navaja: "Vsako naravno število, večje od 1, je mogoče predstaviti kot zmnožek praštevil (ni nujno različnih) in na edinstven način (do vrstnega reda faktorjev)."

Obstajata še dva pomembna aritmetična koncepta, povezana z naravnimi števili: največji skupni delitelj (GCD) in najmanjši skupni večkratnik (LCM). Vsak od teh pojmov se dejansko definira sam. Reševanje številnih težav olajšajo znaki deljivosti, ki si jih je treba zapomniti.

Preizkus deljivosti z 2 . Število je deljivo z 2, če je njegova zadnja številka soda ali o.

Preizkusite deljivost s 4 . Število je deljivo s 4, če sta zadnji dve števki ničli ali tvorita število, deljivo s 4.

Preizkusite deljivost z 8. Število je deljivo z 8, če so njegove zadnje tri števke ničle ali tvorijo število, deljivo z 8.

Preizkusi deljivosti s 3 in 9. S 3 so deljiva samo tista števila, katerih vsota števk je deljiva s 3; z 9 – samo tiste, katerih vsota števk je deljiva z 9.

Preizkusite deljivost s 6. Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in 3.

Test deljivosti s 5 . Številke, katerih zadnja cifra je 0 ali 5, so deljiva s 5.

Preizkusite deljivost s 25. S 25 so deljiva števila, katerih zadnji dve števki sta ničli ali tvorita število, deljivo s 25.

Znaki deljivosti na 10,100,1000. Z 10 so deljiva samo tista števila, katerih zadnja cifra je 0, s 100 so deljiva le tista števila, katerih zadnji dve števki sta 0, in s 1000 so deljiva le tista števila, katerih zadnje tri števke so 0.

Test deljivosti z 11 . Z 11 so deljiva le tista števila, če je vsota števk, ki zasedajo liha mesta, enaka vsoti števk, ki zasedajo soda mesta, ali se od nje razlikuje za število, deljivo z 11.

V prvi lekciji si bomo ogledali naravna in cela števila. celaštevila so naravna števila, njihova nasprotja in ničla. Množica celih števil je označena z Z.

II. Reševanje problema.

ZGLED 1. Razstavi na prafaktorje: a) 899; b) 1000027.

Rešitev: a) ;

b) ZGLED 2. Poišči NOT števil 2585 in 7975.

Rešitev: Uporabimo evklidski algoritem:

Če https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Odgovor: gcd(2585,7975) = 55.

PRIMER 3. Izračunaj:

Rešitev: = 1987100011989. Drugi produkt je enak enaki vrednosti. Zato je razlika 0.

ZGLED 4. Poišči NKT in NKM števil a) 5544 in 1404; b) 198, 504 in 780.

Odgovori: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

ZGLED 5. Poiščite količnik in ostanek pri deljenju

a) 5 do 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) od -529 do (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 do (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Rešitev: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Rešitev: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

PRIMER 7..gif" width="67" height="27 src="> za 17.

Rešitev: Vnesemo zapis , kar pomeni, da pri deljenju z m števila a, b,c,…d dajo enak ostanek.

Zato bo za vsak naravni k obstajal

Ampak 1989=16124+5. pomeni,

Odgovor: Ostanek je 12.

PRIMER 8. Poiščite najmanjše naravno število, večje od 10, ki bi pri deljenju s 24, 45 in 56 pustilo ostanek 1.

Odgovor: NOC(24;45;56)+1=2521.

ZGLED 9. Poišči najmanjše naravno število, ki je deljivo s 7 in mu pri deljenju s 3, 4 in 5 ostane ostanek 1.

Odgovor: 301. Smer. Med številkami oblike 60k + 1 morate najti najmanjše, deljivo s 7; k = 5.

PRIMER 10. Desno in levo 23 prištejte eno števko, tako da bo dobljeno štirimestno število deljivo z 9 in 11.

Odgovor: 6237.

PRIMER 11. Na zadnji strani številke dodajte tri števke, tako da bo dobljeno število deljivo s 7, 8 in 9.

Odgovor: 304 ali 808. Opomba. Število, ko ga delimo z = 789), pusti preostanek 200. Torej, če mu dodate 304 ali 808, bo deljivo s 504.

PRIMER 12. Ali je možno števke v trimestnem številu, deljivem s 37, preurediti tako, da bo dobljeno število deljivo tudi s 37?

Odgovor: Da. Note..gif" width="61" height="24"> je prav tako deljivo s 37. Imamo A = 100a + 10b + c = 37k, od koder je c =37k -100a – 10b. Potem je B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, kar pomeni, da je B deljeno s 37.

PRIMER 13. Poišči število, s katerim pri deljenju števil 1108, 1453,1844 in 2281 dobimo enak ostanek.

Odgovor: 23. Navodilo. Razliko poljubnih dveh danih števil delimo z želenim. To pomeni, da je za nas primeren vsak skupni delitelj vseh možnih podatkovnih razlik, razen 1

ZGLED 14. Predstavljajmo si 19 kot razliko kubov naravnih števil.

ZGLED 15. Kvadrat naravnega števila je enak zmnožku štirih zaporednih lihih števil. Poiščite to številko.

odgovor: .

PRIMER 16..gif" width="115" height="27"> ni deljivo z 10.

Odgovor: a) Navodilo. Po združevanju prvega in zadnjega člena, drugega in predzadnjega itd. uporabite formulo za vsoto kock.

b) Indikacija..gif" width="120" height="20">.

4) Poiščite vse pare naravnih števil, katerih GCD je 5 in LCM 105.

Odgovor: 5, 105 ali 15, 35.

LEKCIJA 2(2 uri)

Tema lekcije: Metoda matematične indukcije.

Namen lekcije: Pregled matematičnih trditev, ki zahtevajo dokaz; seznaniti študente z metodo matematične indukcije; razvijati logično mišljenje.

Med poukom

jaz. Preverjanje domače naloge.

II. Razlaga nove snovi.

V šolskem tečaju matematike so poleg nalog »Poišči vrednost izraza« tudi naloge oblike: »Dokaži enakost«. Ena izmed najbolj univerzalnih metod dokazovanja matematičnih trditev, ki vključujejo besede "za poljubno naravno število n", je metoda popolne matematične indukcije.

Dokaz s to metodo je vedno sestavljen iz treh korakov:

1) Osnova indukcije. Veljavnost izjave se preveri za n = 1.

V nekaterih primerih je treba preveriti več

začetne vrednosti.

2) Predpostavka indukcije. Predpostavlja se, da je izjava resnična za vse

3) Induktivni korak. Veljavnost izjave je dokazana za

Tako, začenši z n = 1, na podlagi dokazanega induktivnega prehoda dobimo veljavnost dokazane izjave za

n =2, 3,…t. tj. za katero koli n.

Poglejmo si nekaj primerov.

PRIMER 1: Dokaži, da je za vsako naravno število n število deljivo s 7.

Dokaz: Označimo .

Korak 1..gif" width="143" height="37 src="> je deljen s 7.

Korak 3..gif" width="600" height="88">

Zadnje število je deljivo s 7, ker je razlika dveh celih števil, deljivih s 7.

PRIMER 2: Dokažite enakost https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> je pridobljeno iz zamenjava n s k = 1.

III. Reševanje problema

V prvi lekciji je izmed spodnjih nalog (št. 1-3) izbranih več za rešitev po presoji učitelja za analizo na tabli. Druga lekcija zajema št. 4.5; samostojno delo poteka od št. 1-3; Številka 6 je ponujena kot dodatna, z obvezno rešitvijo na tabli.

1) Dokaži, da je a) deljivo s 83;

b) deljivo s 13;

c) deljivo z 20801.

2) Dokažite, da za vsak naravni n velja:

A) deljivo s 120;

b) deljivo s 27;

V) deljivo s 84;

G) deljivo s 169;

d) deljivo z 8;

e) deljivo z 8;

g) deljivo s 16;

h) deljivo s 49;

in) deljivo s 41;

za) deljivo s 23;

l) deljivo s 13;

m) deljeno s .

3) Dokaži, da:

G) ;

4) Izpeljite formulo za vsoto https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Dokaži, da je vsota členov vsake vrstice tabele

…………….

je enaka kvadratu lihega števila, katerega številka vrstice je enaka številki vrstice z začetka tabele.

Odgovori in napotki.

1) Uporabimo vnos, predstavljen v 4. primeru prejšnje lekcije.

A) . Zato je deljivo s 83 .

b) Ker , To ;

. torej .

c) Ker je , je treba dokazati, da je to število deljivo z 11, 31 in 61..gif" width="120" height="32 src=">. Na enak način dokažemo deljivost z 11 in 31.

2) a) Dokažimo, da je ta izraz deljiv s 3, 8, 5. Deljivost s 3 izhaja iz dejstva, da , od treh zaporednih naravnih števil pa je eno deljivo s 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Če želite preveriti deljivost s 5, je dovolj, da upoštevate vrednosti n = 0,1,2,3,4.

Izrazi, pretvorba izrazov

Potencialni izrazi (izrazi s potencami) in njihova transformacija

V tem članku bomo govorili o pretvarjanju izrazov s potencami. Najprej se bomo osredotočili na transformacije, ki se izvajajo z izrazi katere koli vrste, vključno s potenčnimi izrazi, kot je odpiranje oklepajev in prinašanje podobnih izrazov. Nato bomo analizirali transformacije, ki so značilne posebej za izraze s stopnjami: delo z osnovo in eksponentom, uporaba lastnosti stopinj itd.

Navigacija po straneh.

Kaj so izrazi moči?

Izraz "izrazi moči" se v šolskih učbenikih matematike praktično ne pojavlja, vendar se pogosto pojavlja v zbirkah nalog, zlasti tistih, ki so namenjene pripravi na enotni državni izpit in na primer enotni državni izpit. Po analizi nalog, pri katerih je potrebno izvesti kakršna koli dejanja s potenčnimi izrazi, postane jasno, da se potenčni izrazi razumejo kot izrazi, ki v svojih vnosih vsebujejo potence. Zato lahko zase sprejmete naslednjo definicijo:

Opredelitev.

Izrazi moči so izrazi, ki vsebujejo potence.

Dajmo primeri izrazov moči. Še več, predstavili jih bomo glede na to, kako poteka razvoj pogledov na stopnjo z naravnim eksponentom na stopnjo z realnim eksponentom.

Kot je znano, se na tej stopnji najprej seznanimo s potenco števila z naravnim eksponentom, prvimi najenostavnejšimi potenčnimi izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 se pojavi −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Malo kasneje se preučuje potenca števila s celim eksponentom, kar privede do pojava potenčnih izrazov z negativnimi celimi potencami, kot so: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

V srednji šoli se vrnejo k diplomam. Tam je uvedena stopnja z racionalnim eksponentom, kar povzroči pojav ustreznih izrazov moči: , , in tako naprej. Končno so upoštevane stopnje z iracionalnimi eksponenti in izrazi, ki jih vsebujejo: , .

Zadeva ni omejena na naštete potenčne izraze: naprej spremenljivka prodre v eksponent in nastanejo npr. naslednji izrazi: 2 x 2 +1 oz. . In po seznanitvi z , se začnejo pojavljati izrazi s potencami in logaritmi, na primer x 2·lgx −5·x lgx.

Torej, ukvarjali smo se z vprašanjem, kaj predstavljajo izrazi moči. Nato se jih bomo naučili preoblikovati.

Glavne vrste transformacij potencialnih izrazov

S potenčnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih identitetnih transformacij izrazov. Na primer, lahko odprete oklepaje, zamenjate številske izraze z njihovimi vrednostmi, dodate podobne izraze itd. Seveda je v tem primeru treba upoštevati sprejeti postopek za izvajanje dejanj. Navedimo primere.

Primer.

Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 ·(4 2 −12) .

rešitev.

Glede na vrstni red izvajanja dejanj najprej izvedite dejanja v oklepajih. Tam najprej zamenjamo potenco 4 2 z njeno vrednostjo 16 (če je treba, glej), in drugič izračunamo razliko 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

V dobljenem izrazu potenco 2 3 nadomestimo z njeno vrednostjo 8, nakar izračunamo produkt 8·4=32. To je želena vrednost.

Torej, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primer.

Poenostavite izraze s potencami 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

rešitev.

Očitno ta izraz vsebuje podobna člena 3·a 4 ·b −7 in 2·a 4 ·b −7 , ki ju lahko predstavimo: .

odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primer.

Izrazite izraz s potencami kot produkt.

rešitev.

Nalogi se lahko spopadete tako, da število 9 predstavite kot potenco števila 3 2 in nato uporabite formulo za skrajšano množenje - razlika kvadratov:

odgovor:

Obstajajo tudi številne enake transformacije, ki so lastne posebej izrazom moči. Analizirali jih bomo še naprej.

Delo z osnovo in eksponentom

Obstajajo stopnje, katerih osnova in/ali eksponent niso le števila ali spremenljivke, ampak nekateri izrazi. Kot primer podajamo vnose (2+0,3·7) 5−3,7 in (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pri delu s takšnimi izrazi lahko nadomestite tako izraz v osnovi stopnje kot izraz v eksponentu z identično enakim izrazom v ODZ njegovih spremenljivk. Z drugimi besedami, po nam znanih pravilih lahko ločeno transformiramo osnovo stopnje in ločeno eksponent. Jasno je, da bo kot rezultat te transformacije pridobljen izraz, ki je identično enak prvotnemu.

Takšne transformacije nam omogočajo poenostavitev izrazov s pooblastili ali doseganje drugih ciljev, ki jih potrebujemo. Na primer, v zgoraj omenjenem potenčnem izrazu (2+0,3 7) 5−3,7 lahko izvajate operacije s števili v osnovi in ​​eksponentu, kar vam bo omogočilo premik na potenco 4,1 1,3. In ko odpremo oklepaje in pripeljemo podobne člene na osnovo stopnje (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobimo potenčni izraz enostavnejše oblike a 2·(x+ 1) .

Uporaba lastnosti stopnje

Eno od glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami so enakosti, ki odražajo . Spomnimo se glavnih. Za poljubna pozitivna števila a in b ter poljubni realni števili r in s veljajo naslednje lastnosti potence:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Upoštevajte, da za naravne, cele in pozitivne eksponente omejitve števila a in b morda niso tako stroge. Na primer, za naravni števili m in n enakost a m ·a n =a m+n ne velja le za pozitivni a, ampak tudi za negativni a in za a=0.

V šoli je pri transformaciji izrazov moči glavni poudarek na sposobnosti izbire ustrezne lastnosti in njene pravilne uporabe. V tem primeru so baze stopinj običajno pozitivne, kar omogoča uporabo lastnosti stopinj brez omejitev. Enako velja za transformacijo izrazov, ki vsebujejo spremenljivke v bazah potenc - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk je običajno tak, da baze na njem zavzamejo samo pozitivne vrednosti, kar vam omogoča prosto uporabo lastnosti potenc . Na splošno se morate nenehno spraševati, ali je v tem primeru mogoče uporabiti katero koli lastnost diplom, saj lahko nepravilna uporaba lastnosti povzroči zoženje izobraževalne vrednosti in druge težave. Te točke so podrobno in s primeri obravnavane v članku transformacija izrazov z uporabo lastnosti potenc. Tu se bomo omejili na nekaj preprostih primerov.

Primer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazi kot potenco z osnovo a.

rešitev.

Najprej transformiramo drugi faktor (a 2) −3 z uporabo lastnosti dviga potence na potenco: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Prvotni izraz moči bo imel obliko a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očitno ostaja uporaba lastnosti množenja in deljenja potenc z isto bazo, ki jo imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Lastnosti potence pri preoblikovanju potencialnih izrazov se uporabljajo tako od leve proti desni kot od desne proti levi.

Primer.

Poiščite vrednost potenčnega izraza.

rešitev.

Enakost (a·b) r =a r ·b r, uporabljena od desne proti levi, nam omogoča prehod od prvotnega izraza k produktu oblike in naprej. In pri množenju potenc z enakimi osnovami se eksponenti seštejejo: .

Prvotni izraz je bilo mogoče preoblikovati na drug način:

odgovor:

.

Primer.

Glede na potenčni izraz a 1,5 −a 0,5 −6 vnesite novo spremenljivko t=a 0,5.

rešitev.

Stopnjo a 1,5 lahko predstavimo kot 0,5 3 in jo nato na podlagi lastnosti stopnje na stopnjo (a r) s =a r s, uporabljeno od desne proti levi, pretvorimo v obliko (a 0,5) 3. torej a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Zdaj je enostavno uvesti novo spremenljivko t=a 0,5, dobimo t 3 −t−6.

odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Izrazi moči lahko vsebujejo ali predstavljajo ulomke s potenci. Vse osnovne transformacije ulomkov, ki so del ulomkov katere koli vrste, so v celoti uporabne za takšne ulomke. To pomeni, da je ulomke, ki vsebujejo potence, mogoče zmanjšati, zmanjšati na nov imenovalec, delati ločeno z njihovim števcem in ločeno z imenovalcem itd. Za ponazoritev teh besed razmislite o rešitvah več primerov.

Primer.

Poenostavite izražanje moči .

rešitev.

Ta izraz moči je ulomek. Delajmo z njegovim števcem in imenovalcem. V števcu odpremo oklepaje in dobljeni izraz poenostavimo z uporabo lastnosti potenc, v imenovalcu pa predstavimo podobne izraze:

In spremenimo tudi predznak imenovalca tako, da pred ulomek postavimo minus: .

odgovor:

.

Zmanjševanje ulomkov s potencami na nov imenovalec se izvede podobno kot zmanjševanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec. V tem primeru najdemo tudi dodatni faktor in z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka. Pri izvajanju tega dejanja je vredno zapomniti, da lahko zmanjšanje na nov imenovalec povzroči zoženje VA. Da se to ne bi zgodilo, je potrebno, da dodatni faktor ne gre na nič za nobeno vrednost spremenljivk iz spremenljivk ODZ za prvotni izraz.

Primer.

Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) na imenovalec a, b) na imenovalec.

rešitev.

a) V tem primeru je precej enostavno ugotoviti, kateri dodatni množitelj pomaga doseči želeni rezultat. To je množitelj a 0,3, saj je a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Upoštevajte, da v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke a (to je niz vseh pozitivnih realnih števil) moč a 0,3 ne izgine, zato imamo pravico pomnožiti števec in imenovalec danega ulomek s tem dodatnim faktorjem:

b) Če natančneje pogledate imenovalec, boste ugotovili, da

in množenje tega izraza z bo dalo vsoto kock in , to je . In to je novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodatni dejavnik. V območju dovoljenih vrednosti spremenljivk x in y izraz ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:

odgovor:

A) , b) .

Prav tako ni nič novega pri zmanjševanju ulomkov s potencami: števec in imenovalec sta predstavljena kot več faktorjev, enaka faktorja števca in imenovalca pa sta zmanjšana.

Primer.

Zmanjšaj ulomek: a) , b) .

rešitev.

a) Prvič, števec in imenovalec lahko zmanjšamo s številoma 30 in 45, kar je enako 15. Očitno je tudi mogoče izvesti zmanjšanje za x 0,5 +1 in za . Tukaj je tisto, kar imamo:

b) V tem primeru enaki faktorji v števcu in imenovalcu niso takoj vidni. Če jih želite pridobiti, boste morali izvesti predhodne transformacije. V tem primeru so sestavljeni iz faktoriziranja imenovalca z uporabo formule razlike kvadratov:

odgovor:

A)

b) .

Pretvarjanje ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov se večinoma uporabljata za izvajanje stvari z ulomki. Dejanja se izvajajo po znanih pravilih. Pri seštevanju (odštevanju) se ulomki zreducirajo na skupni imenovalec, nakar se števci seštejejo (odštejejo), imenovalec pa ostane enak. Rezultat je ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev. Deljenje z ulomkom je množenje z njegovim inverzom.

Primer.

Sledite korakom .

rešitev.

Najprej odštejemo ulomke v oklepajih. Da bi to naredili, jih pripeljemo do skupnega imenovalca, ki je , nato pa odštejemo števce:

Zdaj pomnožimo ulomke:

Očitno je možno reducirati za potenco x 1/2, po kateri imamo .

Izraz moči v imenovalcu lahko poenostavite tudi z uporabo formule razlike kvadratov: .

odgovor:

Primer.

Poenostavite Power Expression .

rešitev.

Očitno lahko ta ulomek zmanjšamo za (x 2,7 +1) 2, kar daje ulomek . Jasno je, da je treba s pooblastili X narediti nekaj drugega. Da bi to naredili, dobljeni ulomek pretvorimo v produkt. To nam daje možnost, da izkoristimo lastnost delitve potenc z enakimi osnovami: . In na koncu procesa se premaknemo od zadnjega produkta do ulomka.

odgovor:

.

In dodajmo še, da je mogoče in v mnogih primerih zaželeno faktorje z negativnimi eksponenti prenesti s števca na imenovalec ali z imenovalca na števec, pri čemer eksponentu spremenimo predznak. Takšne transformacije pogosto poenostavijo nadaljnja dejanja. Izraz moči lahko na primer nadomestite z .

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

Pogosto so v izrazih, v katerih so potrebne nekatere transformacije, poleg potenc prisotni tudi koreni z ulomki. Za preoblikovanje takega izraza v želeno obliko je v večini primerov dovolj, da gremo samo na korene ali samo na potence. Ker pa je bolj priročno delati s pooblastili, se običajno premikajo od korenin do pooblastil. Vendar je priporočljivo izvesti takšen prehod, ko vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi se morali sklicevati na modul ali razdeliti ODZ na več intervalov (o tem smo podrobno razpravljali v člen prehod s korenov na potence in nazaj Po seznanitvi s stopnjo z racionalnim eksponentom je uvedena stopnja z iracionalnim eksponentom, ki nam omogoča, da govorimo o stopnji s poljubnim realnim eksponentom študiral v šoli. eksponentna funkcija, ki je analitično podana s potenco, katere osnova je število, eksponent pa spremenljivka. Tako se soočamo s potenčnimi izrazi, ki vsebujejo števila v osnovi potence, v eksponentu pa izraze s spremenljivkami, in seveda se pojavi potreba po izvedbi transformacij takih izrazov.

Povedati je treba, da je treba transformacijo izrazov navedenega tipa običajno izvesti pri reševanju eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti, in te pretvorbe so precej preproste. V veliki večini primerov temeljijo na lastnostih diplome in so večinoma namenjeni uvajanju nove spremenljivke v prihodnosti. Enačba nam jih bo omogočila, da jih pokažemo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Prvič, potence, v eksponentih katerih je vsota določene spremenljivke (ali izraza s spremenljivkami) in števila, zamenjamo z produkti. To velja za prvi in ​​zadnji člen izraza na levi strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Nato obe strani enakosti delimo z izrazom 7 2 x, ki na ODZ spremenljivke x za izvirno enačbo zavzema samo pozitivne vrednosti (to je standardna tehnika za reševanje enačb tega tipa, nismo zdaj govorimo o tem, zato se osredotočite na poznejše transformacije izrazov s potencami ):

Zdaj lahko prekličemo ulomke s potencami, kar daje .

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami relacij, kar ima za posledico enačbo , kar je enakovredno . Izvedene transformacije nam omogočajo uvedbo nove spremenljivke, ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratne enačbe

I. V. Bojkov, L. D. Romanova Zbirka nalog za pripravo na enotni državni izpit. 1. del. Penza 2003.

Program izbirnega predmeta Pretvarjanje številskih in črkovnih izrazov

Pojasnilo

V zadnjih letih se kontrola kakovosti šolskega izobraževanja matematike izvaja s CMM, katerih večina nalog je ponujena v testni obliki. Ta oblika preverjanja se razlikuje od klasične izpitne naloge in zahteva posebno pripravo. Značilnost testiranja v obliki, ki se je razvila do danes, je potreba po odgovorih na veliko število vprašanj v omejenem časovnem obdobju, tj. Potrebno je ne le pravilno odgovoriti na zastavljena vprašanja, ampak tudi to storiti dovolj hitro. Zato je pomembno, da učenci obvladajo različne tehnike in metode, ki jim bodo omogočile doseganje želenega rezultata.

Pri reševanju skoraj vseh šolskih matematičnih nalog morate narediti nekaj transformacij. Pogosto je njegova zapletenost v celoti odvisna od stopnje zapletenosti in količine transformacije, ki jo je treba izvesti. Nič nenavadnega ni, da učenec ne zna rešiti nekega problema, pa ne zato, ker ne ve, kako se rešuje, temveč zato, ker ne more brez napak narediti vseh potrebnih transformacij in izračunov v predvidenem času.

Primeri pretvorbe številskih izrazov niso pomembni sami po sebi, temveč kot sredstvo za razvoj tehnik pretvorbe. Z vsakim letom šolanja se pojem števila razširi iz naravnega v realnega, v srednji šoli pa se učijo transformacije potenc, logaritemskih in trigonometričnih izrazov. To gradivo je precej težko preučevati, saj vsebuje veliko formul in pravil preoblikovanja.

Če želite poenostaviti izraz, izvesti zahtevana dejanja ali izračunati vrednost izraza, morate vedeti, v katero smer se morate "premakniti" po poti transformacij, ki vodijo do pravilnega odgovora po najkrajši "poti". Izbira racionalne poti je v veliki meri odvisna od posedovanja celotnega obsega informacij o metodah preoblikovanja izrazov.

V srednji šoli je treba sistematizirati in poglobiti znanja in praktične spretnosti pri delu s številskimi izrazi. Statistični podatki kažejo, da je približno 30 % napak pri prijavi na univerze računske narave. Zato je treba pri obravnavi ustreznih tem v srednji šoli in pri njihovem ponavljanju v srednji šoli več pozornosti nameniti razvoju računalniških sposobnosti pri šolarjih.

Zato lahko učiteljem, ki poučujejo v 11. razredu specializirane šole, ponudimo izbirni predmet »Pretvarjanje številskih in abecednih izrazov v šolskem tečaju matematike«.

Ocene:== 11

Vrsta izbirnega predmeta:

sistematizacijo, posploševanje in poglabljanje predmeta.

Število ur:

34 (na teden – 1 ura)

Izobraževalno področje:

matematika

Cilji in cilji predmeta:

Sistematizacija, posploševanje in razširitev znanja učencev o številih in operacijah z njimi; - oblikovanje zanimanja za računalniški proces; - razvoj samostojnosti, ustvarjalnega mišljenja in spoznavnega interesa učencev; - prilagajanje študentov novim pravilom za vpis na univerze.

Organizacija študija tečaja

Izbirni predmet Pretvarjanje številskih in črkovnih izrazov širi in poglablja osnovni učni načrt matematike v srednji šoli in je namenjen učenju v 11. razredu. Predlagani tečaj je namenjen razvoju računalniških spretnosti in ostrine mišljenja. Predmet je strukturiran po klasičnem učnem načrtu s poudarkom na praktičnih vajah. Namenjen je študentom z visoko ali povprečno stopnjo matematične pripravljenosti in je zasnovan tako, da jim pomaga pri pripravi na vpis na univerze in olajša nadaljevanje resnega matematičnega izobraževanja.

Načrtovani rezultati:

Poznavanje klasifikacije števil;

Izboljšanje spretnosti hitrega štetja;

Sposobnost uporabe matematičnih orodij pri reševanju različnih problemov;

Razvoj logičnega mišljenja, ki omogoča nadaljevanje resnega matematičnega izobraževanja.

Vsebina izbirnega predmeta Pretvorba številskih in črkovnih izrazov

Cela števila (4h): Serije številk. Temeljni izrek aritmetike. GCD in NOC. Znaki deljivosti. Metoda matematične indukcije.

Racionalna števila (2h): Definicija racionalnega števila. Glavna lastnost ulomka. Formule za skrajšano množenje. Definicija periodičnega ulomka. Pravilo za pretvorbo iz decimalnega periodičnega ulomka v navadni ulomek.

Iracionalna števila. Radikali. Stopnje. Logaritmi (6h): Definicija iracionalnega števila. Dokaz iracionalnosti števila. Znebiti se iracionalnosti v imenovalcu. Realne številke. Lastnosti stopnje. Lastnosti aritmetičnega korena n-te stopnje. Definicija logaritma. Lastnosti logaritmov.

Trigonometrične funkcije (4h):Številčni krog. Številske vrednosti trigonometričnih funkcij osnovnih kotov. Pretvarjanje velikosti kota iz stopinjske mere v radiansko mero in obratno. Osnovne trigonometrične formule. Redukcijske formule. Inverzne trigonometrične funkcije. Trigonometrične operacije na ločnih funkcijah. Osnovni odnosi med ločnimi funkcijami.

Kompleksna števila (2h): Koncept kompleksnega števila. Dejanja s kompleksnimi števili. Trigonometrične in eksponentne oblike kompleksnih števil.

Vmesno testiranje (2h)

Primerjava številskih izrazov (4h): Numerične neenakosti na množici realnih števil. Lastnosti številskih neenačb. Podprite neenakosti. Metode dokazovanja numeričnih neenakosti.

Dobesedni izrazi (8h): Pravila za pretvarjanje izrazov s spremenljivkami: polinomi; algebrski ulomki; iracionalni izrazi; trigonometrične in druge izraze. Dokazi identitet in neenakosti. Poenostavljanje izrazov.

Izobraževalni in tematski načrt

Načrt velja 34 ur. Zasnovan je ob upoštevanju teme diplomskega dela, zato sta upoštevana dva ločena dela: številski in abecedni izraz. Po učiteljevi presoji lahko abecedne izraze upoštevamo skupaj s številskimi izrazi v ustreznih temah.

№	Tema lekcije	Število ur
1.1	Cela števila	2
1.2	Metoda matematične indukcije	2
2.1	Racionalna števila	1
2.2	Decimalni periodični ulomki	1
3.1	Iracionalna števila	2
3.2	Korenine in stopinje	2
3.3	Logaritmi	2
4.1	Trigonometrične funkcije	2
4.2	Inverzne trigonometrične funkcije	2
5	Kompleksna števila	2
	Test na temo "Številski izrazi"	2
6	Primerjanje številskih izrazov	4
7.1	Pretvarjanje izrazov z radikali	2
7.2	Pretvarjanje potenčnih in logaritemskih izrazov	2
7.3	Pretvarjanje trigonometričnih izrazov	2
	Končni test	2
	Skupaj	34

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Dobesedni izraz (ali spremenljiv izraz) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in matematičnih simbolov. Naslednji izraz je na primer dobeseden:

a+b+4

Z uporabo abecednih izrazov lahko pišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja s črkovnimi izrazi je ključ do dobrega poznavanja algebre in višje matematike.

Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko rešili enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.

Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro poznati osnove aritmetike: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, operacije z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.

Vsebina lekcije

Spremenljivke

Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+ 4 spremenljivke so črke a in b. Če zamenjamo poljubna števila namesto teh spremenljivk, potem dobesedni izraz a+b+ 4 se bo spremenil v številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.

Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo vrednosti spremenljivk. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a in b. Za spreminjanje vrednosti se uporablja znak enačaja

a = 2, b = 3

Spremenili smo vrednosti spremenljivk a in b. Spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Nastali dobesedni izraz a+b+4 spremeni v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:

Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer, zapis ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo spremenljivke a in bštevilke 2 in 3 , potem dobimo 6

Množenje števila z izrazom lahko zapišeš tudi skupaj v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se da zapisati a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.

kvote

V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta na primer število in spremenljivka zapisani skupaj 3a. To je pravzaprav okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .

Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 pri tem delu imenujejo koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat" ali "trikrat A« ali »povečajte vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«

Na primer, če spremenljivka a enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.

3 × 5 = 15

Preprosto povedano, koeficient je število, ki se pojavi pred črko (pred spremenljivko).

Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča za petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc «.

Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enakovreden 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:

Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.

Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja le za koeficient 6 , in ne pripada spremenljivki b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.

Poiščimo vrednost izraza −6b pri b = 3.

−6b −6×b. Za jasnost zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primer 2. Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5

Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primer 3. Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2

−5a+b to je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti zapišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a in b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient enota:

vendar tradicionalno enota ni zapisana, zato preprosto napišejo a oz ab

Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz −a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izkazalo se je takole:

−1 × a = −1a

Tukaj je majhna zanka. V izrazu −a znak minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.

Na primer, če je podan izraz −a in pozvani smo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in prejel odgovor −2 , ne da bi se preveč osredotočal na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je bil minus ena pomnožen s pozitivnim številom 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Če podamo izraz −a in morate najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote eksplicitno zapišemo.

Primer 4. Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz abc a, b in c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Primer 5. Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4

Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primer 6. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7

Izraz − abc to je kratka oblika za −1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primer 7. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3

Zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki:

−abc = −1 × a × b × c

Zamenjajmo vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako določiti koeficient

Včasih morate rešiti problem, v katerem morate določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da znamo pravilno množiti števila.

Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.

Primer 1. 7m×5a×(−3)×n

Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če izraz napišete v razširjeni obliki. Se pravi, deluje 7m in 5a zapišite v obrazec 7×m in 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Uporabimo asociativni zakon množenja, ki omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer bomo posebej množili števila in posebej črke (spremenljivke):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek

Koeficient je −105 . Po zaključku je priporočljivo, da del črk uredite po abecednem vrstnem redu:

−105 zjutraj

Primer 2. Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Primer 3. Določite koeficient v izrazu:

Ločeno pomnožimo številke in črke:

Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zapisana, saj je običajno, da se koeficient 1 ne zapiše.

Ta na videz najpreprostejša opravila se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen nepravilno: ali manjka minus ali pa je, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.

Sešteva v dobesednih izrazih

Pri seštevanju več števil dobimo vsoto teh števil. Števila, ki seštevajo, imenujemo seštevalci. Izrazov je lahko več, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje ovrednotiti, ker je seštevanje lažje kot odštevanje. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tem izrazu sta števili 3 in 5 odštevanca, ne seštevka. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ni pomembno, da imata števili −3 in −5 zdaj znak minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodatka, to je, da je izraz vsota.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) enako enaki vrednosti - minus ena

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tako pomen izraza ne bo trpel, če bomo nekje odštevanje nadomestili s seštevanjem.

Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.

Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu pokliče soda števila (ali spremenljivke), ki niso seštevalci.

Na primer, če je razlika zapisana na tabli a−b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odštevanje. Obe spremenljivki bo poklical z eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a−b matematik vidi, kako vsota a + (−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo pogoji.

Podobni izrazi

Podobni izrazi- to so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a in 2a so podobni.

Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali reševanje enačbe. Ta operacija se imenuje prinaša podobne pogoje.

Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in dobljeni rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.

Na primer, predstavimo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. V tem primeru so vsi izrazi podobni. Seštejmo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom – s spremenljivko a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takšni izrazi se običajno spomnijo in rezultat se takoj zapiše:

3a + 4a + 5a = 12a

Poleg tega lahko sklepamo na naslednji način:

Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a

Oglejmo si nekaj primerov prinašanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako malenkost. Kljub temu, da je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Večinoma zaradi nepazljivosti, ne neznanja.

Primer 1. 3a+ 2a+ 6a+ 8a

Seštejmo koeficiente v tem izrazu in dobljeni rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

3a+ 2a+ 6a+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Gradnja (3 + 2 + 6 + 8) ×a Ni vam treba zapisati, zato bomo odgovor zapisali takoj

3 a+ 2 a+ 6 a+ 8 a = 19 a

Primer 2. Podajte podobne izraze v izrazu 2a+a

Drugi mandat a napisano brez koeficienta, v resnici pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + 1a

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. To pomeni, da seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Naj na kratko zapišemo rešitev:

2a + a = 3a

2a+a, lahko razmišljate drugače:

Primer 3. Podajte podobne izraze v izrazu 2a−a

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa izgleda tako (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej izraz izgleda takole:

2a + (−1a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim delom črke:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Običajno napisano krajše:

2a − a = a

Podajanje podobnih izrazov v izrazu 2a−a Lahko razmišljate drugače:

Bili sta 2 spremenljivki a, odštejemo eno spremenljivko a in posledično je ostala samo ena spremenljivka a

Primer 4. Podajte podobne izraze v izrazu 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Naj na kratko zapišemo rešitev:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več različnih skupin podobnih izrazov. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za ostale, in sicer seštevanje koeficientov in množenje rezultata s skupnim črkovnim delom. Da bi se izognili napakam, je primerno različne skupine pojmov označiti z različnimi črtami.

Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko poudarite z dvema vrsticama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Še enkrat ponavljamo, izraz je preprost in v mislih lahko navedemo podobne izraze:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primer 5. Podajte podobne izraze v izrazu 5a − 6a −7b + b

Kjer je mogoče, zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podobne izraze podčrtajmo z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtamo z eno črto, ter izraze, ki vsebujejo spremenljivke b, podčrtaj z dvema črtama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Če izraz vsebuje navadna števila brez črkovnih faktorjev, se te seštevajo ločeno.

Primer 6. Podajte podobne izraze v izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo črkovnih faktorjev, vendar so podobni izrazi - le dodati jih je treba. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Naj na kratko zapišemo rešitev:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Izraze lahko razporedimo tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.

Primer 7. Podajte podobne izraze v izrazu 5t+2x+3x+5t+x

Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Naj na kratko zapišemo rešitev:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izločite iz izraza, saj je njihova vsota enaka nič.

Primer 8. Podajte podobne izraze v izrazu 3t − 4t − 3t + 2t

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponente 3t in (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo tako, da preprosto prečrtamo izraze 3t in (−3t)

Posledično nam bo ostal izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Naj na kratko zapišemo rešitev:

Poenostavljanje izrazov

"poenostaviti izraz" in spodaj je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.

Pravzaprav smo že poenostavljali izraze, ko smo zmanjševali ulomke. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje razumljiv.

Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.

To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Uporabi vsa veljavna dejanja za ta izraz, vendar naj bo preprostejši." .

V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:

Kaj še lahko narediš? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalni ulomek 0,5

Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.

Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "Kaj je mogoče storiti?" . Ker obstajajo dejanja, ki jih lahko storite, in so dejanja, ki jih ne morete storiti.

Druga pomembna točka, ki si jo morate zapomniti, je, da se pomen izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz predstavlja delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5

Vendar smo izraz poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5

Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Kot rezultat smo prejeli končni odgovor 0,5.

Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno enaka 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev v vsaki fazi izvedena pravilno. Prav k temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.

Pogosto je treba dobesedne izraze poenostaviti. Zanje veljajo enaka pravila poenostavljanja kot za številske izraze. Izvajate lahko katera koli veljavna dejanja, če se vrednost izraza ne spremeni.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1. Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo si jo ogledali, ko smo se naučili določiti koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.

Primer 2. Poenostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2

Drugi kos (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapišemo v obliki ( −6,3)×b , nato ločeno pomnožite številke in posebej pomnožite črke:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Torej izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 poenostavljeno na 5.04b

Primer 3. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Zdaj pa pomnožimo številke posebej in pomnožimo črke posebej:

Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko na kratko zapišemo:

Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrčimo med postopkom reševanja in ne čisto na koncu, kot smo to storili pri navadnih ulomkih. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:

Ulomek je mogoče skrajšati tako, da izberete faktor tako v števcu kot v imenovalcu in te faktorje zmanjšate za njihov največji skupni faktor. Z drugimi besedami, uporaba, pri kateri ne opišemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.

Na primer, v števcu je faktor 12, v imenovalcu pa faktor 4 lahko zmanjšamo za 4. Štirico ohranimo v mislih in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, ko jih je najprej prečrtal

Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih je malo in jih lahko pomnožite v mislih:

Sčasoma boste morda ugotovili, da se pri reševanju določenega problema izrazi začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitre izračune. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar je mogoče hitro zmanjšati, je treba hitro zmanjšati.

Primer 4. Poenostavite izraz

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 5. Poenostavite izraz

Pomnožimo številke posebej in črke posebej:

Torej izraz poenostavljeno na mn.

Primer 6. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke posebej in črke posebej. Za lažji izračun lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na

Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Primer 7. Poenostavite izraz

Ločeno pomnožimo števila in posebej črke. Za lažji izračun lahko mešana števila in decimalne ulomke 0,1 in 0,6 pretvorite v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:

Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Zmanjšati je dovoljeno tudi nove faktorje, ki nastanejo kot posledica zmanjšanja prejšnjih faktorjev.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.

Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a+4b, potem tega ne morete napisati takole:

To je enako, kot če bi nas prosili, da seštejemo dve števili in bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.

Pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke a in b izražanje 5a +4b spremeni v navaden številski izraz. Predpostavimo, da spremenljivke a in b imajo naslednje pomene:

a = 2, b = 3

Potem bo vrednost izraza enaka 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru je uspelo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni poenostavitev izraza 5a+4b je bila izvedena nepravilno.

Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.

Z izrazom 5a+4b res ne moreš storiti ničesar. Ne poenostavlja ga.

Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.

Primer 8. Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ali krajše: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a

Primer 9. Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Izraz (–2,5b) ostal nespremenjen, ker ga ni bilo s čim priložiti.

Primer 10. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Koeficient je bil za lažji izračun.

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 11. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na.

V tem primeru bi bilo primerneje najprej sešteti prvi in ​​zadnji koeficient. V tem primeru bi imeli kratko rešitev. Izgledalo bi takole:

Primer 12. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na .

Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.

To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Kratka rešitev je preskočila korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podrobnosti o tem, kako so bili ulomki reducirani na skupni imenovalec.

Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole , ampak na kratko kot . Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo podrobno zapisali rešitev, povsod, kjer je bilo možno, zamenjali odštevanje s seštevanjem in to zamenjavo ohranili za odgovor.

Identitete. Identično enaki izrazi

Ko poljubni izraz poenostavimo, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je poenostavljeni izraz pravilen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, potem je poenostavljeni izraz resničen.

Poglejmo preprost primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a×7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, nadomestimo poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej v prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa v drugega, ki je bil poenostavljen.

Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:

a = 4, b = 5

Nadomestimo jih v prvi izraz 2a×7b

Zdaj pa nadomestimo iste vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

To vidimo, ko a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in pomen drugega izraza 14ab enaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 in b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Tako za vse vrednosti izraznih spremenljivk 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.

Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti.

2a × 7b = 14ab

Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).

In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.

Drugi primeri identitet:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.

Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksen izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Ta zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali preprosto preoblikovanje izraza.

Na primer, izraz smo poenostavili 2a×7b, in dobil enostavnejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.

Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in nato je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo identitetne transformacije z enim od delov enakosti in pridobimo drugi del. Ali pa izvedite enake transformacije na obeh straneh enakosti in se prepričajte, da obe strani enakosti vsebujeta enake izraze.

Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Poenostavimo levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Zaradi majhne identitetne transformacije je leva stran enakosti postala enaka desni strani enakosti. Tako smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, seštevati podobne člene in tudi poenostaviti nekatere izraze.

Vendar to niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo videli še večkrat v prihodnosti.

Naloge za samostojno reševanje:

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah