Когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.
Свойства квадрата.
У всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:
AB = BC = CD = AD
Противолежащие стороны квадрата параллельны:
AB || CD , BC || AD
Все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ ACB = ∠ ACD = ∠ BDC = ∠ BDA = ∠ CAB = ∠ CAD = ∠ DBC = ∠ DBA = 45°
Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника , кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата.
Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.
Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.
Формулы для определения длины диагонали квадрата:
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата :
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата :
4. Сумма углов квадрата = 360°:
5. Диагонали квадрата одной длины:
6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:
7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности :
R - радиус вписанной окружности;
D - диаметр вписанной окружности;
d - диагональ квадрата.
10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
R - радиус описанной окружности;
D - диаметр описанной окружности;
d - диагональ.
11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:
C - линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;
d - диагональ.
Вписанный круг в квадрат - это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности - сторона квадрата (половина).
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.
Круг, описанный вокруг квадрата - это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Интересные вопросы. Три в квадрате равно 9. четыре в квадрате равно 16. А чему равен угол в квадрате? (90?) Как называется треугольник, у которого две стороны равны? (равнобедренный) Может ли в треугольнике быть два тупых угла? (нет) Как называется прибор для измерения углов? (транспортир) Чему равна сумма углов треугольника? (180?) Как называются прямые, которые не пересекаются на плоскости? (параллельные) Как называется параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые? (квадрат) Как называется прибор для измерения отрезков? (линейка) Чему равна сумма смежных углов? (180?) Как называются прямые, которые пересекаются под прямым углом? (перпендикулярными).
Слайд 14 из презентации «Зачем нужна геометрия» . Размер архива с презентацией 665 КБ.Геометрия 7 класс
краткое содержание других презентаций«Основные понятия геометрии» - Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей. Выводы. Треугольники можно разделить на группы. Медианы. Вершины. Дайте определение параллельных прямых. Признак параллельности двух прямых. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Равные отрезки имеют равные длины. Отрезок – часть прямой. Прямые параллельны. Следствие. Треугольник с вершинами. Точка. Галилей.
«Начальные геометрические сведения» - На рисунке выделена часть прямой, ограниченная двумя точками. Через одну точку можно провести сколько угодно различных прямых. Начальные геометрические сведения. Обозначение. Какие точки принадлежат прямой. Провешивание прямой на местности. Евклид. Платон (477-347 до н.э.) - древнегреческий философ, ученик Сократа. Введение в геометрию. Евдем Родосский (IV век до н.э.) объясняет происхождение термина.
«Точка, прямая, отрезок» - Закрепление нового материала. Применение изученного к решению задач. Отрезок. Познакомить учащихся с некоторыми фактами. Работа в тетради по инструкции. Приветствие ученикам. Подготовка к изучению нового материала. Изучение нового материала. Точка, прямая, отрезок. Постройте прямую. Как зарождалась геометрия. Через две точки можно провести прямую и при том только одну. Через одну точку можно провести множество прямых.
«Задачи на готовых чертежах» - Найти: FM. Признаки параллельных прямых. Угол ВАС. Доказать: FВ ll АС. Найти параллельные прямые. Биссектриса. Свойства параллельных прямых. Углы. Найти условия, при которых AB ll DC. Доказать: АС ll ВD. Укажите параллельные прямые. Секущая. Прямые. Доказать: АК-биссектриса. Доказать:AB ll CD. Найти условия, при которых FB ll CM. Условия. Cf-биссектриса. Доказать: AВ ll CD. Параллельные прямые. Задачи на готовых чертежах.
«Решение задач на построение» - Построение перпендикулярных прямых. В геометрии выделяют задачи на построение. Построение треугольника по трем сторонам. Посмотрим на расположение циркулей. Угол А. Луч АВ – биссектриса. Построение биссектрисы угла. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Построение середины отрезка. Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой. Построение угла, равного данному. Задачи на построение.
«Свойства и признаки равнобедренного треугольника» - Биссектрисы треугольника. Сумма углов треугольника. Достройте треугольник своего настроения. Высоты. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Построение циркулем и линейкой. Высота. Отрезок биссектрисы угла. Характеристика. Боковые стороны. Качество. Исследовательская работа. Девиз нашего урока. Свойства треугольников. Понятие «свойство». Найдите угол. Равносторонний треугольник.
Эвристические методы, основанные на ассоциации
2. Дом пылал факелом. Пожар не ликвидировать. Но человек вошел в горящий дом, и его никто не остановил. Почему?
3. Два человека вошли в комнату, увидели убийцу, его окровавленную жертву, обсудили увиденное и спокойно вышли. Почему?
4. Писатель закончил предложение и поставил точку. Роман «Нехоженая тропа» был завершен. Внезапно он схватил рукопись, и «Нехоженой тропы» не стало... Что случилось?
Ассоциации - это образы, возникающие в сознании человека в ответ на какое-то воздействие, например в ответ на слово. Суть ассоциации - установление связи между явлениями, понятиями, порой весьма отдаленными друг от друга.
Простейший прием генерирования ассоциаций - быстрый ответ на одно стимулирующее слово. Этот прием часто используется, когда один человек или группа людей ведут поиск ассоциаций на одно и то же слово в условиях ограничения времени (например, одной минуты). При этом выявляются так называемые первичные ассоциации, число которых в ответ на одно слово колеблется обычно в пределах 10. Кроме первичных ассоциаций, высказываемых без замедления, человек может генерировать большое число дополнительных ассоциаций. Именно эти ассоциации позволяют обнаружить неожиданные, нетривиальные свойства рассматриваемого понятия или объекта.
Между двумя любыми понятиями можно установить ассоциативный переход в 4-5 шагов. Так, например, переход от понятия «огонь» к понятию «заяц», которые весьма отдалены друг от друга, может иметь вид: «огонь - тепло - печка - дрова - лес - заяц». Между двумя понятиями может быть найдено несколько ассоциативных переходов разной длительности: от 5 до 50 шагов. Чем более развито у человека воображение, тем более дальний ассоциативный переход он может найти.
Другим эффективным приемом развития ассоциативного мышления является установление ассоциативных переходов между двумя совершенно независимыми или противоположными утверждениями (высказываниями). Например, нужно найти ассоциативный переход между фразами: «Когда гремит гром...» и «У вас отрывается ручка от портфеля». На первый взгляд, связи между ними нет. Но раз мы взяли их в качестве примера, попробуем найти переход. Один из возможных переходов может быть такой: «Когда гремит гром, все понимают, что скоро пойдет дождь - пойдет дождь, нужно быстрее добраться домой - быстрее добраться можно на автобусе - все бегут на автобус, и вы тоже - у входа в автобус создается давка - в давке у вас отрывается ручка от портфеля». Как видим, получился короткий переход из шести шагов. Для развития ассоциативного мышления нужно стараться найти самый дальний путь с наибольшим числом шагов.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.
Свойства квадрата
1. Длины сторон квадрата равны.
AB=BC=CD=DA
2. Все углы квадрата прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
AB \parallel CD, BC \parallel AD
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.
\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}
Доказательство
Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
AO = BO = CO = DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}
AC = BD
Доказательство
Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.
7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD
8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD
9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .