Ang larangan ng totoong mga numero ay may pag-aari ng pag-order (p. 6, p. 35): para sa anumang mga numero a, b, mayroong isa at isa lamang sa tatlong mga ugnayan: o. Sa kasong ito, ang notasyong a> b ay nangangahulugang positibo ang pagkakaiba, at ang notasyon para sa pagkakaiba ay negatibo. Hindi tulad ng larangan ng totoong mga numero, ang larangan ng mga kumplikadong numero ay hindi iniutos: para sa mga kumplikadong numero, ang mga konsepto ng "higit" at "mas kaunti" ay hindi tinukoy; samakatuwid, ang kabanatang ito ay nakikipag-usap lamang sa mga totoong numero.
Ang mga ratios ay tinatawag na mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga bilang a at b ay ang mga term (o bahagi) ng hindi pagkakapantay-pantay, ang mga palatandaan> (mas malaki kaysa sa) at Hindi Pagkakapantay-pantay ng isang> b at c> d ay tinatawag na mga hindi pagkakapareho ng magkatulad (o pareho) na kahulugan ; mga hindi pagkakapantay-pantay a> b at c Kaagad itong sumusunod mula sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na
1) ang anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa zero;
2) anumang negatibong numero ay mas mababa sa zero;
3) ang anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero;
4) ng dalawang negatibong numero, mas malaki ang isa na ang ganap na halaga ay mas mababa.
Ang lahat ng mga pahayag na ito ay maaaring madaling mabigyang geometrically. Hayaan ang positibong direksyon ng numero ng axis na pumunta sa kanan ng panimulang punto; kung gayon, anuman ang mga palatandaan ng mga numero, ang mas malaki sa mga ito ay kinakatawan ng isang punto na nakahiga sa kanan ng puntong kumakatawan sa mas maliit na bilang.
Ang mga hindi pantay ay may mga sumusunod na pangunahing katangian.
1. Asymmetry (hindi maibabalik): kung, pagkatapos, at kabaliktaran.
Sa katunayan, kung ang pagkakaiba ay positibo, kung gayon ang pagkakaiba ay negatibo. Sinabi nila na kapag muling ayusin ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin sa kabaligtaran.
2. Transitivity: kung, kung gayon. Sa katunayan, ang pagiging positibo ng mga pagkakaiba ay nagpapahiwatig ng pagiging positibo
Bilang karagdagan sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit din ang mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay at Tinukoy ang mga ito tulad ng sumusunod: ang notasyon ay nangangahulugang alinman o Samakatuwid, halimbawa, maaari ka ring magsulat. Karaniwan, ang mga hindi pagkakapantay na nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, at ang mga nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, ang mga palatandaan mismo ay tinatawag na mga palatandaan ng mahigpit o di-mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga pag-aari na 1 at 2 na isinasaalang-alang sa itaas ay may bisa din para sa hindi mabuting pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang natin ngayon ang mga aksyon na maaaring gampanan sa isa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay.
3. Ang pagdaragdag ng parehong numero sa mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay.
Patunay Hayaan ang isang hindi pagkakapantay-pantay at isang di-makatwirang numero na ibibigay. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pagkakaiba ay positibo. Idagdag sa numerong ito ng dalawang kabaligtaran na mga numero kung saan hindi ito magbabago, ibig sabihin
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Sinusundan mula rito na ang pagkakaiba ay positibo, iyon ay, iyon
at ito ay kailangang patunayan.
Ito ang batayan para sa posibilidad ng pag-skewing ng anumang term ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa isang bahagi nito patungo sa isa pa na may kabaligtaran na karatula. Halimbawa, mula sa hindi pagkakapantay-pantay
sumusunod dito
4. Kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong positibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago; kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad.
Patunay Hayaan pagkatapos Kung pagkatapos dahil ang produkto ng positibong mga numero ay positibo. Ang pagpapalawak ng mga braket sa kaliwang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha namin, ibig sabihin Ang kaso ay isinasaalang-alang sa isang katulad na paraan.
Eksakto ang parehong konklusyon ay maaaring magawa tungkol sa paghahati ng mga bahagi ng hindi pagkakapareho ng ilang bilang na hindi nol, dahil ang paghati sa isang numero ay katumbas ng pagpaparami ng isang numero at ang mga numero ay may parehong mga palatandaan.
5. Hayaang maging positibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos, kapag ang mga termino nito ay naitaas sa parehong positibong lakas, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
Patunay Hayaan sa kasong ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng paglipat at. Pagkatapos, dahil sa monotonic na pagtaas sa pagpapaandar ng kuryente para sa at positibo, mayroon tayo
Sa partikular, kung saan ay isang natural na numero, makukuha natin
iyon ay, kapag ang ugat ay nakuha mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na may positibong mga termino, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
Hayaang maging negatibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung gayon madaling patunayan na kapag ang mga termino nito ay itinaas sa isang kakatwang likas na kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago, at kapag itinaas sa isang pantay na likas na kapangyarihan, magbabago ito sa kabaligtaran. Posible ring kumuha ng isang kakaibang ugat mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga negatibong termino.
Dagdag dito, hayaan ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay may iba't ibang mga palatandaan. Pagkatapos, kapag naitaas ito sa isang kakatwang kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago, at kapag itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kakatwang kapangyarihan, ang tanda ng numero ay napanatili at samakatuwid ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kapag ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay naitaas sa isang pantay na kapangyarihan, isang hindi pagkakapantay-pantay na may positibong mga termino ay nabuo, at ang kahulugan nito ay nakasalalay sa ganap na mga halaga ng mga tuntunin ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng orihinal na isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran kahulugan, at kahit ang pagkakapantay-pantay ay maaaring makuha!
Kapaki-pakinabang na suriin ang lahat ng sinabi tungkol sa pagtaas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga kapangyarihan gamit ang sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 1. Itaas ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay sa tinukoy na kapangyarihan, binabago ang hindi pagkakapantay-pantay na tanda sa kabaligtaran o pantay na pag-sign, kung kinakailangan.
a) 3> 2 sa lakas ng 4; b) sa lakas ng 3;
c) sa lakas ng 3; d) sa lakas ng 2;
e) sa lakas ng 5; f) sa lakas ng 4;
g) 2> -3 sa lakas ng 2; h) sa lakas ng 2,
6. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay, maaari kang pumunta sa hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan kung ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay pareho positibo o parehong negatibo, pagkatapos sa pagitan ng kanilang mga katumbas na halaga ay mayroong isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran kahulugan:
Patunay Kung ang a at b ay magkatulad na pag-sign, kung gayon positibo ang kanilang produkto. Hatiin sa hindi pagkakapantay-pantay
iyon ay, kung ano ang kinakailangan upang makuha.
Kung ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay may magkasalungat na mga palatandaan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kanilang mga sukat na dami ay may parehong kahulugan, dahil ang mga palatandaan ng mga sukat na dami ay pareho ng mga palatandaan ng dami mismo.
Halimbawa 2. Suriin ang huling pag-aari 6 sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
7. Ang Logarithm ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring magawa lamang sa kaso kung ang mga tuntunin ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay positibo (walang mga negatibong numero at walang mga logarithm).
Hayaan . Pagkatapos ay sa kalooban
at sa kalooban
Ang kawastuhan ng mga pahayag na ito ay batay sa monotonicity ng logarithmic function, na nagdaragdag kung ang base at nababawasan bilang
Kaya, kapag kumukuha ng logarithm ng isang hindi pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga positibong term na may base na mas malaki sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng naibigay na isa ay nabuo, at kapag kumukuha ng isang logarithm para sa isang positibong base na mas mababa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran kahulugan ay nabuo.
8. Kung, kung gayon kung, ngunit, pagkatapos.
Sinusundan kaagad ito mula sa mga katangian ng monotonicity ng exponential function (Sek. 42), na nagdaragdag sa kaso at nababawasan kung
Sa pamamagitan ng pang-matagalang pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, hindi pagkakapareho ng parehong kahulugan tulad ng data ay nabuo.
Patunay Patunayan natin ang pahayag na ito para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay, kahit na totoo ito para sa anumang bilang ng mga idinagdag na hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan ang mga hindi pagkakapantay-pantay
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga numero ay magiging positibo; pagkatapos ay positibo din ang kanilang kabuuan, ibig sabihin
Pagpapangkat ng mga termino nang magkakaiba, nakukuha namin
at samakatuwid
at ito ay kailangang patunayan.
Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na nagreresulta mula sa pagdaragdag ng dalawa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay ng iba't ibang kahulugan.
10. Kung ibabawas namin mula sa isang term na hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng term na iba pang hindi pagkakapareho ng kabaligtaran na kahulugan, pagkatapos ay isang hindi pagkakapareho ng parehong kahulugan tulad ng una ay nabuo.
Patunay Hayaang ibigay ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng iba't ibang kahulugan. Ang pangalawa sa kanila, sa pag-aari ng hindi maibabalik, ay maaaring muling maisulat tulad ng sumusunod: d> c. Nagdagdag kami ngayon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay
ang parehong kahulugan. Mula sa huli nakita natin
at ito ay kailangang patunayan.
Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng isang hindi pagkakapareho na nagreresulta mula sa pagbabawas mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng isa pang hindi pagkakapareho ng parehong kahulugan.
Kaugalian na tawagan ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng notasyon ng maraming mga hindi pagkakapantay-pantay sa ilalim ng kulot na brace sign (sa kasong ito, ang bilang at uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa system ay maaaring maging di-makatwiran).
Upang malutas ang system, kinakailangan upang mahanap ang intersection ng mga solusyon ng lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito. Ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay anumang halaga ng pagbabago na kung saan ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Sa madaling salita, kinakailangan upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito - tatawagin itong sagot. Bilang isang halimbawa, subukan nating malaman kung paano malutas ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang agwat na pamamaraan.
Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay
Upang malutas ang problemang ito, mahalagang malaman ang pangunahing mga katangian na likas sa mga hindi pagkakapantay-pantay, na maaaring mabuo tulad ng sumusunod:
- Sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, ang isa at ang parehong pag-andar ay maaaring maidagdag, na tinukoy sa saklaw ng mga pinahihintulutang halaga (ADV) ng hindi pagkakapantay-pantay na ito;
- Kung ang f (x)> g (x) at h (x) ay anumang pagpapaandar na tinukoy sa hindi pagkakapantay-pantay ng ODZ, kung gayon ang f (x) + h (x)> g (x) + h (x);
- Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang positibong pagpapaandar na tinukoy sa ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay na ito (o ng isang positibong numero), makakakuha kami ng isang hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal na isa;
- Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang negatibong pag-andar na tinukoy sa ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay na ito (o ng isang negatibong numero) at ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay binago sa kabaligtaran, kung gayon ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na ito;
- Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay maaaring maidagdag ng term sa pamamagitan ng term, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay maaaring ibawas term sa pamamagitan ng term;
- Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan na may positibong mga bahagi ay maaaring maparami ayon sa pang-matagalang, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nabuo ng mga hindi negatibong pag-andar ay maaaring itaas ang pang-matagalang sa isang positibong lakas.
Upang malutas ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong malutas nang magkahiwalay ang bawat pagkakapantay-pantay, at pagkatapos ay ihambing ang mga ito. Ang resulta ay magiging positibo o negatibong sagot, na nangangahulugang may solusyon ang system o wala.
Paraan ng spacing
Kapag lumulutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga matematiko ay madalas na gumagamit ng pamamaraan ng mga agwat, bilang isa sa pinakamabisang. Pinapayagan kaming bawasan ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f (x)> 0 (<, <, >) sa solusyon ng equation f (x) = 0.
Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod:
- Hanapin ang saklaw ng mga wastong halaga ng hindi pagkakapantay-pantay;
- Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa form f (x)> 0 (<, <, >), iyon ay, ilipat ang kanang bahagi sa kaliwa at gawing simple;
- Malutas ang equation f (x) = 0;
- Gumuhit ng isang pagpapaandar sa isang diagram ng linya ng numero. Ang lahat ng mga puntos na minarkahan sa ODZ at binibigkis ito hatiin ang hanay na ito sa tinatawag na mga agwat ng pagpapanatili. Sa bawat ganoong agwat, natutukoy ang pag-sign ng pagpapaandar f (x);
- Isulat ang sagot sa anyo ng isang unyon ng magkakahiwalay na mga hanay kung aling f (x) ang may naaangkop na pag-sign. Ang mga puntos na LDZ na hangganan ay kasama (o hindi kasama) sa tugon pagkatapos ng karagdagang pag-verify.
Ang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay gampanan ang isang kilalang papel. Sa paaralan, higit sa lahat nakikipag-usap kami mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang, na may kahulugan kung saan magsisimula ang artikulong ito. At pagkatapos ay ililista at bibigyan ng katwiran mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang, kung saan nakabatay ang lahat ng mga prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay.
Napansin namin kaagad na marami sa mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang na pareho. Samakatuwid, ipapakita namin ang materyal ayon sa parehong pamamaraan: bumubuo kami ng isang pag-aari, binibigyan ng katwiran at mga halimbawa nito, at pagkatapos ay lumipat sa susunod na pag-aari.
Pag-navigate sa pahina.
Mga hindi pagkakapantay-pantay na bilang: kahulugan, halimbawa
Nang ipakilala namin ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay, napansin namin na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay madalas na tinukoy ng paraan ng pagsulat nito. Kaya't ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinawag naming makabuluhang mga expression ng algebraic na naglalaman ng mga palatandaan na hindi katumbas ng ≠, mas mababa sa<, больше >, mas mababa sa o katumbas ng ≤ o mas malaki sa o katumbas ng ≥. Batay sa kahulugan sa itaas, maginhawa upang magbigay ng isang kahulugan ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa bilang:
Ang pakikipagtagpo sa mga hindi pagkakapantay-pantay na bilang ay nangyayari sa mga aralin sa matematika sa unang baitang kaagad pagkatapos na makilala ang mga unang natural na numero mula 1 hanggang 9, at kakilala sa operasyon ng paghahambing. Totoo, doon sila ay simpleng tinatawag na mga hindi pagkakapantay-pantay, tinatanggal ang kahulugan ng "bilang". Para sa kalinawan, hindi nasasaktan na magbigay ng isang halimbawa ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay na bilang mula sa yugto ng kanilang pag-aaral: 1<2 , 5+2>3 .
At higit pa mula sa natural na mga numero, ang kaalaman ay napalawak sa iba pang mga uri ng mga numero (integer, makatuwiran, totoong mga numero), ang mga patakaran para sa kanilang paghahambing ay pinag-aaralan, at ito ay makabuluhang nagpapalawak ng pagkakaiba-iba ng species ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang: −5> −72, 3> −0.275 (7−5, 6) ,.
Mga pag-aari ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang
Sa pagsasagawa, ang pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagbibigay-daan sa serye mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang... Sumusunod sila mula sa paniwala ng hindi pagkakapantay-pantay na ipinakilala sa amin. Kaugnay sa mga numero, ang konseptong ito ay tinukoy ng sumusunod na pahayag, na maaaring maituring na isang kahulugan ng ugnayan na "mas kaunti" at "higit pa" sa hanay ng mga numero (madalas itong tinatawag na pagkakaiba sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay):
Kahulugan
- numero a ay mas malaki kaysa sa b kung at kung ang pagkakaiba ng a - b ay isang positibong numero;
- ang bilang a ay mas mababa kaysa sa bilang b kung at kung ang pagkakaiba ng a - b ay isang negatibong numero;
- ang bilang a ay katumbas ng bilang b kung at kung ang pagkakaiba ng a - b ay katumbas ng zero.
Ang kahulugan na ito ay maaaring muling isulat sa isang kahulugan ng ugnayan na "mas mababa sa o katumbas ng" at "mas malaki sa o katumbas ng". Narito ang mga salitang ito:
Kahulugan
- numero ang a ay higit sa o katumbas ng b kung at kung ang a - b ay isang hindi negatibong numero;
- ang bilang a ay mas mababa sa o katumbas ng bilang b kung at kung ang a - b ay isang hindi positibong numero.
Gagamitin namin ang mga kahulugan na ito sa pagpapatunay ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang, na susuriin namin ngayon.
Pangunahing katangian
Sinimulan namin ang aming survey sa tatlong pangunahing mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Bakit mahalaga ang mga ito? Sapagkat ang mga ito ay isang salamin ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinaka-pangkalahatang kahulugan, at hindi lamang kaugnay sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang.
Mga hindi pagkakapantay-pantay na bilang na nakasulat gamit ang mga palatandaan< и >, karaniwang:
Tulad ng para sa mga hindi pantay na bilang na nakasulat gamit ang mga palatandaan ng di-mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ≤ at ≥, mayroon silang pag-aari ng reflexivity (at hindi anti-reflexivity), dahil ang mga hindi pagkakapantay-pantay a≤a at a≥a ay nagsasama ng kaso ng pagkakapantay-pantay a = a . Nailalarawan din ang mga ito sa pamamagitan ng antisymmetry at transitivity.
Kaya, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na bilang na nakasulat gamit ang mga palatandaan ≤ at ≥ ay may mga sumusunod na katangian:
- ang reflexivity a≥a at a≤a ay totoong hindi pagkakapantay-pantay;
- antisymmetry, kung a≤b, kung gayon b≥a, at kung a≥b, kung gayon b≤a.
- paglipat, kung a≤b at b≤c, pagkatapos ay a≤c, at gayundin, kung a≥b at b≥c, pagkatapos ay a≥c.
Ang kanilang mga patunay ay halos kapareho sa mga naibigay na, kaya't hindi kami titira sa kanila, ngunit magpatuloy sa iba pang mahahalagang katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang.
Iba pang mahahalagang katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang
Suportahan natin ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang na may isang serye ng mga resulta na may malaking praktikal na kahalagahan. Ang mga pamamaraan para sa pagsusuri ng mga halaga ng mga expression ay batay sa mga ito, ang mga prinsipyo ay batay sa mga ito mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay atbp. Samakatuwid, ipinapayong makitungo nang maayos sa kanila.
Sa subseksyon na ito, ang mga pag-aari ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay mabubuo lamang para sa isang tanda ng isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ngunit dapat tandaan na ang mga katulad na katangian ay magiging wasto para sa kabaligtaran na pag-sign, pati na rin para sa mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Sa ibaba ay binubuo namin at pinatutunayan ang sumusunod na pag-aari ng mga hindi pagkakapantay-pantay: kung a
Para sa kaginhawaan, ipapakita namin ang mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang sa anyo ng isang listahan, sa kasong ito bibigyan namin ang kaukulang pahayag, isulat ito nang pormal gamit ang mga titik, magbigay ng isang patunay, at pagkatapos ay ipakita ang mga halimbawa ng paggamit. At sa pagtatapos ng artikulo, ibubuod namin ang lahat ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang sa isang talahanayan. Punta ka na!
Kinahinatnan. Pang-matagalang pagpaparami ng parehong totoong hindi pagkakapantay-pantay ng form a
Ang pagdaragdag (o pagbabawas) ng anumang numero sa magkabilang panig ng isang wastong hindi pagkakapantay-pantay sa bilang ay gumagawa ng isang wastong pagkakapantay-pantay sa bilang. Sa madaling salita, kung ang mga bilang a at b ay ganoon a
Para sa patunay, binubuo namin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay sa bilang, at ipinapakita na negatibo ito sa ilalim ng kundisyon a (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b... Dahil sa kundisyon a
Hindi kami nakasalalay sa patunay ng pag-aari na ito ng mga hindi pagkakapantay-pantay na bilang para sa pagbawas ng bilang c, dahil ang pagbabawas sa hanay ng mga totoong numero ay maaaring mapalitan ng pagdaragdag ng −c.
Halimbawa, kung nagdagdag ka ng 15 sa magkabilang panig ng tamang hindi pantay na bilang na 7> 3, nakukuha mo ang tamang hindi pagkakapantay-pantay sa bilang na 7 + 15> 3 + 15, na magkatulad na bagay, 22> 18.
Kung ang magkabilang panig ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang ay pinarami (o hinati) ng parehong positibong numero c, pagkatapos makuha mo ang tamang hindi pagkakapantay-pantay sa bilang. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (o hinati) ng isang negatibong numero c, at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nabaligtad, kung gayon ang wastong pagkakapantay-pantay ay nakuha. Sa literal na anyo: kung para sa mga numero a at b ang hindi pagkakapantay-pantay a b c.
Patunay Magsimula tayo sa kaso kapag c> 0. Isulat natin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng hindi pantay na bilang na pinatunayan: a c - b c = (a - b) c. Dahil sa kundisyon a 0, pagkatapos ang produkto (a - b) · c ay magiging isang negatibong numero bilang produkto ng isang negatibong numero a - b at isang positibong numero c (na sumusunod mula sa). Samakatuwid, isang c - b c<0
, откуда a·c Hindi kami nakasalalay sa patunay ng itinuturing na pag-aari para sa paghati sa magkabilang panig ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang sa parehong bilang c, dahil ang paghati ay maaaring palitan ng pagpaparami ng 1 / c. Ipakita natin ang isang halimbawa ng paglalapat ng nasuri na pag-aari sa mga kongkretong numero. Halimbawa, maaari mong pareho ang magkabilang panig ng tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang na 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Ang dalawang praktikal na mahahalagang resulta ay sinusundan mula sa pag-aari na napagmasdan lamang ng pagpaparami ng magkabilang panig ng isang bilang na pagkakapantay-pantay ng isang numero. Kaya't bubuo namin ang mga ito sa anyo ng mga kahihinatnan. Ang lahat ng mga pag-aari na tinalakay sa itaas sa subseksyon na ito ay pinag-isa ng katotohanan na una ang wastong numerong hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, at mula rito, sa pamamagitan ng ilang mga manipulasyon sa mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at pag-sign, isa pang wastong numerong hindi pagkakapantay-pantay ang nakuha. Ngayon ay bibigyan namin ang isang bloke ng mga pag-aari kung saan hindi isa, ngunit maraming tamang hindi pagkakapantay-pantay na bilang na una na ibinigay, at ang bagong resulta ay nakuha mula sa kanilang magkasanib na paggamit pagkatapos idagdag o i-multiply ang kanilang mga bahagi. Kung ang mga bilang a, b, c, at d ay nasiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a
Patunayan natin na ang (a + c) - (b + d) ay isang negatibong numero, patunayan nito na ang isang + c Sa pamamagitan ng pagtatalaga sa tungkulin, ang pag-aari na ito ay umaabot sa pang-matagalang pagdaragdag ng tatlo, apat, at, sa pangkalahatan, anumang may hangganang bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang. Kaya, kung ang mga numero a 1, a 2,…, a n at b 1, b 2,…, b n masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a 1 isang 1 + a 2 +… + a n . Halimbawa, binibigyan kami ng tatlong tamang hindi pagkakapantay-pantay sa bilang ng parehong marka −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Maaari mong i-multiply ang mga pang-matagalang numerikal na hindi pagkakapantay-pantay ng parehong pag-sign, ang magkabilang panig nito ay kinakatawan ng mga positibong numero. Sa partikular, para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay a
Para sa patunay, maaari nating maparami ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a
Ang pag-aari na ito ay wasto din para sa pagpaparami ng anumang may wakas na bilang ng mga tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang na may positibong mga bahagi. Iyon ay, kung ang isang 1, isang 2, ..., isang n at b 1, b 2, ..., b n ay mga positibong numero, at isang 1 a 1 · a 2 ·… · a n . Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kung ang talaan ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa bilang ay naglalaman ng mga hindi positibong numero, kung gayon ang kanilang pang-matagalang pagpaparami ay maaaring humantong sa mga maling hindi pagkakapantay-pantay sa bilang. Halimbawa, ang mga hindi pantay na bilang ng 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Bilang pagtatapos ng artikulo, tulad ng ipinangako, kolektahin namin ang lahat ng mga pinag-aralan na katangian sa talahanayan ng pag-aari ng hindi pagkakaparehong bilang:
Bibliograpiya.
- Moro M.I.... Matematika. Teksbuk. para sa 1 cl maaga shk Sa 2 oras, Bahagi 1. (Unang kalahati ng taon) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - Ika-6 na ed. - M.: Edukasyon, 2006 .-- 112 p.: May sakit. + App. (2 magkakahiwalay na l. Ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematika: aklat-aralin. para sa 5 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ika-21 ed., Nabura. - M.: Mnemosina, 2007 .-- 280 p.: May sakit. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: pag-aaral para sa 8 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2008 .-- 271 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. Ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - Ika-11 ed., Nabura. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
1 ... Kung a> b, kung gayon b< a ; sa kabaligtaran, kung a< b , kung gayon b> a.
Halimbawa... Kung 5x - 1> 2x + 1, kung gayon 2x +1< 5x — 1 .
2 ... Kung a> b at b> c, kung gayon a> c... Katulad, a< b at b< с , kung gayon a< с .
Halimbawa... Mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay x> 2y, 2y> 10 sumusunod dito x> 10.
3
... Kung a> b, tapos a + c> b + c at a - c> b - c... Kung a< b
, kung gayon a + c
Halimbawa 1... Ang hindi pagkakapantay-pantay x + 8> 3... Ang pagbabawas ng 8 mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, nakita namin x> - 5.
Halimbawa 2. Ang hindi pagkakapantay-pantay x - 6< — 2 ... Pagdaragdag ng 6 sa magkabilang bahagi, nakita namin NS< 4 .
4 ... Kung a> b at c> d, tapos a + c> b + d; eksaktong pareho kung a< b at kasama si< d , kung gayon a + c< b + d , ibig sabihin, dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan) maaaring maidagdag term sa pamamagitan ng term. Totoo rin ito para sa anumang bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay, halimbawa, kung a1> b1, a2> b2, a3> b3, kung gayon a1 + a2 + a3> b1 + b2 + b3.
Halimbawa 1. Mga hindi pantay — 8 > — 10 at 5 > 2 ay tama. Pagdaragdag ng mga ito ng term ayon sa term, nakita namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 3 > — 8 .
Halimbawa 2. Ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ibinibigay ( 1/2) x + (1/2) y< 18 ; (1/2) x - (1/2) y< 4 ... Pagdaragdag sa kanila ng term ayon sa term, nakita namin x< 22 .
Magkomento. Ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na magkatulad na kahulugan ay hindi maaaring ibawas matag-hakbang sa bawat isa, dahil maaaring totoo ang resulta, ngunit maaari rin itong mali. Halimbawa, kung mula sa hindi pagkakapantay-pantay 10 > 8 2 > 1 , pagkatapos makukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 8 > 7 ngunit kung mula sa parehong hindi pagkakapantay-pantay 10 > 8 ibawas ang hindi pagkakapantay-pantay ng termino 6 > 1 , pagkatapos ay nakakakuha tayo ng kalokohan. Ihambing ang susunod na item.
5 ... Kung a> b at c< d , kung gayon a - c> b - d; kung a< b at c - d, kung gayon a - c< b — d , ibig sabihin, ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay maaaring ibawas ayon sa bawat panahon mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay), na iniiwan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang iba ay binawas.
Halimbawa 1... Mga hindi pantay 12 < 20 at 15 > 7 ay tama. Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa unang termino ayon sa termino at iniiwan ang tanda ng una, nakukuha namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 3 < 13 ... Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawa sa pamamagitan ng term at pag-iwan ng tanda ng pangalawa, nakita namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 3 > — 13 .
Halimbawa 2... Ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ibinibigay (1/2) x + (1/2) y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 ... Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay, nakita namin y< 10 .
6 ... Kung a> b at m ay isang positibong numero, kung gayon ma> mb at a / n> b / n, ibig sabihin, ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin o mai-multiply ng parehong positibong numero (ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mananatiling pareho). a> b at n Ay isang negatibong numero, kung gayon na< nb at a / n< b/n , iyon ay, ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring maparami o nahahati sa parehong negatibong numero, ngunit ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baligtarin.
Halimbawa 1... Paghahati sa magkabilang panig ng totoong hindi pagkakapantay-pantay 25 > 20 sa 5 , nakukuha namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 5 > 4 ... Kung hinati natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay 25 > 20 sa — 5 , kung gayon kailangan mong baguhin ang pag-sign > sa < , at pagkatapos makukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 5 < — 4 .
Halimbawa 2... Mula sa hindi pagkakapantay-pantay 2x< 12 sumusunod dito NS< 6 .
Halimbawa 3... Mula sa hindi pagkakapantay-pantay - (1/3) x - (1/3) x> 4 sumusunod dito x< — 12 .
Halimbawa 4... Ang hindi pagkakapantay-pantay x / k> y / l; sumusunod ito mula rito lx> ky kung ang mga palatandaan ng mga numero l at k ay pareho at ano lx< ky kung ang mga palatandaan ng mga numero l at k nasa tapat.
Hindi pagkakapantay-pantay ay isang talaan kung saan ang mga numero, variable o expression ay konektado sa pamamagitan ng isang tanda<, >, o. Iyon ay, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring tawaging isang paghahambing ng mga numero, variable, o expression. Palatandaan < , > , ⩽ at ⩾ ay tinawag mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay.
Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay at kung paano ito nababasa:
Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay binubuo ng dalawang bahagi: kaliwa at kanan, na konektado ng isa sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay. Nakasalalay sa pag-sign na kumukonekta sa mga bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay, nahahati sila sa mahigpit at hindi mahigpit.
Mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang mga bahagi ay konektado sa pamamagitan ng isang pag-sign< или >. Mag-ayos ng mga hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang mga bahagi ay konektado sa pamamagitan ng pag-sign o.
Isaalang-alang natin ang mga pangunahing alituntunin ng paghahambing sa algebra:
- Anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa zero.
- Anumang negatibong numero ay mas mababa sa zero.
- Sa dalawang negatibong numero, mas malaki ang isa na may mas mababang ganap na halaga. Halimbawa, -1> -7.
- a at b positibo:
a - b > 0,
Yan a higit pa b (a > b).
- Kung ang pagkakaiba ng dalawang hindi pantay na mga numero a at b negatibo:
a - b < 0,
Yan a mas maliit b (a < b).
- Kung ang numero ay mas malaki kaysa sa zero, positibo ito:
a> 0, kaya't a ay isang positibong numero.
- Kung ang numero ay mas mababa sa zero, kung gayon ito ay negatibo:
a < 0, значит a- isang negatibong numero.
Mga katumbas na hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay na nagreresulta mula sa iba pang mga hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, kung a mas maliit b, kung gayon b higit pa a:
a < b at b > a- mga katumbas na hindi pagkakapantay-pantay
Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay
- Kung idaragdag mo ang parehong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay o ibawas ang parehong numero mula sa magkabilang panig, nakakakuha ka ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay,
kung a > b, kung gayon a + c > b + c at a - c > b - c
Sinusundan mula rito na posible na ilipat ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa isang bahagi patungo sa isa pa na may kabaligtaran na pag-sign. Halimbawa, pagdaragdag sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a - b > c - d sa d, nakukuha namin:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o nahahati sa parehong positibong numero, nakakakuha kami ng isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay,
- Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o nahahati ng parehong negatibong numero, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay kabaligtaran sa ibinigay, iyon ay, samakatuwid, kapag nagpaparami o naghahati sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay dapat palitan ng kabaligtaran.
Maaaring magamit ang pag-aari na ito upang baguhin ang palatandaan ng lahat ng mga kasapi ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pag-multiply ng magkabilang panig ng -1 at pag-reverse ng sign ng hindi pagkakapantay-pantay:
-a + b > -c
(-a + b) · -1< (-c) · -1
a - b < c
Hindi pagkakapantay-pantay -a + b > -c katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a - b < c