Patuloy na numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numeroε > 0 mayroong isang numero N na ang lahat ng mga halaga x n para sa kung saan n> N masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay
| x n - a |< ε. (6.1)
Isinulat nila ito bilang mga sumusunod: o x n → a.
Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n> N, nasa loob ng pagitan (a-ε, a + ε ), ibig sabihin. mahulog sa anumang maliitε -ang kapitbahayan ng punto a.
Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - diverging.
Ang konsepto ng isang limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng isang limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang ang limitasyon ng isang function x n = f (n) ng isang integer argument n.
Hayaang ibigay ang isang function na f (x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng function na ito D (f), iyon ay, isang punto, anumang kapitbahayan na naglalaman ng mga punto ng set D (f) maliban sa a... Punto a maaari o hindi kabilang sa set D (f).
Kahulugan 1.Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon pagpapaandar f (x) sa x →a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f (x n)) ay may parehong limitasyon A.
Ang kahulugang ito ay tinatawag na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.
Kahulugan 2... Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon pagpapaandar f (x) sa x →a kung, sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang arbitrary na arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang gayong δ> 0 (depende sa ε), na para sa lahat x nakahiga saε-mga kapitbahayan ng bilang a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 <
x-a< ε
, ang mga halaga ng function na f (x) ay makikitaε-kapitbahayan ng bilang A, i.e.| f (x) -A |<
ε.
Ang kahulugang ito ay tinatawag na ang kahulugan ng limitasyon ng Cauchy ng isang function, o “Sa wikang ε - δ “.
Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f (x) bilang x →a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang
. (6.3)
Kung sakaling ang sequence (f (x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sinasabi namin na ang function na f (x) ay mayroon walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:
Ang isang variable (i.e., isang sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit na halaga.
Ang isang variable na ang limitasyon ay infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.
Upang hanapin ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorem.
Teorama 1 ... Kung mayroong bawat limitasyon
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Magkomento... Mga expression tulad ng 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang walang hanggan o walang hanggan na malalaking dami, at ang paghahanap ng isang limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "pagsisiwalat ng mga walang katiyakan."
Teorama 2. (6.7)
mga. maaari kang pumunta sa limitasyon sa base ng degree na may pare-parehong exponent, sa partikular, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorama 3.
(6.10)
(6.11)
kung saan e » 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na una kamangha-manghang limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon.
Ang mga kahihinatnan ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
sa partikular ang hangganan
Kung x → a at sabay na x> a, pagkatapos ay isinusulat nila ang x→ a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, pagkatapos sa halip na simbolo 0 + 0, isulat ang +0. Katulad nito, kung x →a at, saka, x 
at tinawag nang naaayon limitasyon sa kanan at limitado kaliwa pagpapaandar f (x) sa puntong ito a... Para magkaroon ng limitasyon ng function na f (x) bilang x →a ay kinakailangan at sapat na 
... Ang pagpapaandar f (x) ay tinawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limit
. (6.15)
Ang Kalagayan (6.15) ay maaaring muling isulat bilang:
,
iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.
Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, sinabi na iyan sa x = x o pagpapaandar f (x) Mayroon itong pahinga. Isaalang-alang ang function na y = 1 / x. Ang domain ng pagpapaandar na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang puntong x = 0 ay ang limitasyong punto ng itinakdang D (f), dahil sa alinman sa kapitbahayan nito, iyon ay, anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D (f), ngunit ito mismo ay hindi kabilang sa hanay na ito. Ang halagang f (x o) = f (0) ay hindi natukoy, kaya't ang pagpapaandar ay may paghinto sa puntong x o = 0.
Ang pagpapaandar f (x) ay tinawag tuloy-tuloy sa kanan sa punto x o, kung ang limitasyon
,
at naiwan tuloy-tuloy sa puntong x o, kung ang limitasyon
.
Pagpapatuloy ng isang pag-andar sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.
Para sa pagpapaandar na maging tuluy-tuloy sa punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na mayroong isang limitadong limitasyon, at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f (x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng discontinuity ang function.
1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f (x o), sinabi nila iyan pagpapaandar f (x) sa punto x o meron break ng unang uri, o tumalon.
2. Kung ang hangganan ay+ ∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sinabi nila iyon sa punto x o ang pag-andar ay may isang puwang pangalawang uri.
Halimbawa, ang function na y = ctg x para sa x→ +0 ay may hangganan na katumbas ng + ∞, samakatuwid, sa puntong x = 0 mayroon itong paghinto ng pangalawang uri. Function y = E (x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntos na may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o jumps.
Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy v. Ang isang tuluy-tuloy na function ay ipinapakita bilang isang solid curve.
Maraming mga problema na nauugnay sa tuluy-tuloy na paglaki ng anumang dami na humantong sa pangalawang kapansin-pansin na limitasyon. Ang ganitong mga gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng mga radioactive substance, ang pagpaparami ng bakterya, atbp.
Isaalang-alang halimbawa ng Ya.I. Perelman pagbibigay ng interpretasyon ng bilang e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan 
... Sa mga bangko sa pagtitipid, ang pera ng interes ay idinagdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaan ang bangko na maglagay ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos ay sa petsang ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 unit ng pera. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera na may interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon, 100 den. mga yunit lalago sa 100×
1.5 = 150, at makalipas ang anim na buwan - 150×
1.5 = 225 (mga yunit ng pera). Kung ang koneksyon ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos pagkatapos ng isang taon, 100 den. mga yunit maging 100× (1 +1/3) 3 " 237 (mga yunit ng pananalapi). Pabibilisin namin ang mga tuntunin para sa pagsali sa pera na may interes sa 0.1 taon, sa 0.01 taon, sa 0.001 taon, atbp. Pagkatapos ay sa labas ng 100 den. mga yunit pagkatapos ng isang taon, ito ay lalabas:
100 × (1 +1/10) 10 "259 (mga yunit ng pera),
100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (mga yunit ng pera),
100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (mga yunit ng pera).
Sa isang walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng interes attachment, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang hanggan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon, katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilalaan sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon Ang interes ay idinagdag sa kabisera bawat segundo dahil ang limitasyon
Halimbawa 3.1.Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang numerical sequence, patunayan na ang sequence x n = (n-1) / n ay may limitasyon na katumbas ng 1.
Solusyon.Kailangan nating patunayan na anumanε Hindi namin kinuha ang> 0, para dito mayroong isang likas na numero N na para sa lahat n N ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay na humahawak:| x n -1 |< ε.
Kumuha ng anumang e> 0. Since; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, pagkatapos ay upang hanapin ang N, sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na 1 / n< e. Kaya n> 1 / e at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1 / e, N = E (1 / e ). Kaya namin napatunayan na ang limitasyon.
Halimbawa 3.2
... Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino 
.
Solusyon.Inilapat namin ang sum limit theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Para sa n→ ∞ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa sa n... Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit at sum limit theorem, makikita natin:
.
Halimbawa 3.3. 
... Hanapin ang .
Solusyon. 
.
Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang degree na limitasyon ay katumbas ng antas ng base limit.
Halimbawa 3.4
... Hanapin ( 
).
Solusyon.Imposibleng ilapat ang teorama ng pagkakaiba sa limitasyon, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa anyo ∞-∞ ... Binabago namin ang formula para sa karaniwang miyembro:
.
Halimbawa 3.5 ... Isang function na f (x) = 2 1 / x ang ibinigay. Patunayan na walang limitasyon.
Solusyon.Gamitin natin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence (x n) converging sa 0, i.e. Ipakita natin na ang halaga f (x n) = ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod. Hayaan ang x n = 1 / n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon 
Pumili tayo ngayon bilang x n isang sequence na may karaniwang termino x n = -1 / n, na umaabot din sa zero. 
Samakatuwid, walang limitasyon.
Halimbawa 3.6 ... Patunayan na walang limitasyon.
Solusyon.Hayaang ang x 1, x 2, ..., x n, ... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
... Paano kumikilos ang sequence (f (x n)) = (sin x n) para sa iba't ibang x n → ∞
Kung x n = p n, kung gayon sin x n = sin p n = 0 para sa lahat n at ang limitasyon Kung
x n = 2 p n + p / 2, pagkatapos sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya wala ito.
Widget para sa pagkalkula ng mga limitasyon on-line
Sa itaas na window, sa halip na sin (x) / x, ipasok ang function na nais mong hanapin ang limitasyon. Sa ibabang window, ipasok ang numerong x at pindutin ang Calcular button, makuha ang gustong limitasyon. At kung nag-click ka sa Ipakita ang mga hakbang sa kanang sulok sa itaas sa window ng resulta, makakakuha ka ng isang detalyadong solusyon.
Mga panuntunan sa pagpasok ng function: sqrt (x) - square root, cbrt (x) - cube root, exp (x) - exponent, ln (x) - natural logarithm, sin (x) - sine, cos (x) - cosine, tan Ang (x) ay ang tangent, ang cot (x) ay ang cotangent, ang arcsin (x) ay ang arcsine, ang arccos (x) ay ang inverse cosine, ang arctan (x) ay ang arctangent. Mga Palatandaan: * multiplikasyon, / dibisyon, ^ exponentiation, sa halip na kawalang-hanggan Infinity. Halimbawa: ang function ay ipinasok tulad nito sqrt (tan (x / 2)).
Ang teorya ng limitasyon ay isa sa mga sangay ng pagsusuri sa matematika. Ang problema sa paglutas ng mga limitasyon ay medyo malawak, dahil mayroong dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga limitasyon. Mayroong dose-dosenang mga nuances at trick upang malutas ito o ang limitasyon. Gayunpaman, susubukan pa rin naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na pinakakaraniwan sa pagsasanay.
Magsimula tayo sa mismong konsepto ng isang limitasyon. Ngunit una, isang maikling makasaysayang background. Nabuhay noong ika-19 na siglo ang Pranses na si Augustin Louis Cauchy, na naglatag ng mga pundasyon ng mathematical analysis at nagbigay ng mahigpit na mga kahulugan, ang kahulugan ng limitasyon, sa partikular. Dapat kong sabihin na ang kaparehong Cauchy na ito ay pinangarap, pinapangarap at panaginip sa bangungot sa lahat ng mga mag-aaral ng pisika at matematika faculties, dahil pinatunayan niya ang isang malaking bilang ng mga theorem ng pagsusuri sa matematika, at ang isang teorama ay mas nakakainis kaysa sa iba. Sa bagay na ito, hindi namin isasaalang-alang ang isang mahigpit na kahulugan ng limitasyon, ngunit susubukan naming gawin ang dalawang bagay:
1. Maunawaan kung ano ang isang limitasyon.
2. Matutong harapin ang mga pangunahing uri ng limitasyon.
Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang mga hindi siyentipikong paliwanag, mahalaga na ang materyal ay naiintindihan kahit para sa isang tsarera, na, sa katunayan, ay ang gawain ng proyekto.
Kaya't ano ang hangganan?
At isang halimbawa lang, bakit shaggy lola….
Ang anumang limitasyon ay may tatlong bahagi:
1) Ang kilalang icon ng limitasyon.
2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon, sa kasong ito. Ang entry ay nakasulat na "x ay may gawi sa isa." Kadalasan - eksakto, bagaman sa halip na "x" sa pagsasanay, mayroong iba pang mga variable. Sa mga praktikal na pagsasanay, ganap na anumang numero ay maaaring maging kapalit ng yunit, pati na rin ang kawalang-hanggan ().
3) Mga function sa ilalim ng limit sign, sa kasong ito.
Yung recording mismo 
ganito ang babasahin: "ang limitasyon ng pagpapaandar kapag may ugali sa x."
Suriin natin ang susunod na mahalagang tanong - ano ang ibig sabihin ng expression na "x naghahanap sa isa "? At ano ang "pagsusumikap" pa rin?
Ang konsepto ng limitasyon ay isang konsepto, kung maaari kong sabihin, pabago-bago... Bumuo tayo ng isang pagkakasunud-sunod: una, pagkatapos ,, ..., 
, ….
Iyon ay, ang expression na "x naghahanap sa isang "dapat na maunawaan tulad ng sumusunod -" x "sunud-sunod na tumatagal ng mga halaga, na walang katapusan na malapit sa pagkakaisa at halos kasabay nito.
Paano malutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa itaas, kailangan mo lamang palitan ang isa sa pagpapaandar sa ilalim ng limitasyon ng pag-sign:
Kaya ang unang panuntunan: Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lamang muna naming i-plug ang numero sa pagpapaandar.
Isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng limitasyon, ngunit kahit na ang mga ganoon ay matatagpuan sa pagsasanay, at, bukod dito, hindi bihira!
Halimbawa na may infinity:
Pag-unawa kung ano ito? Ito ang kaso kapag ito ay tumataas nang walang katiyakan, iyon ay: una, pagkatapos, pagkatapos, pagkatapos at iba pa hanggang sa kawalang-hanggan.
Ano ang mangyayari sa function sa oras na ito?
, , 
, …
Kaya: kung, kung gayon ang function ay may posibilidad na minus infinity:
Sa halos pagsasalita, ayon sa aming unang panuntunan, sa halip na "x" ay pinapalitan namin ang infinity sa function at makuha ang sagot.
Isa pang halimbawa na may infinity:
Muli, nagsisimula kaming tumaas sa infinity, at tingnan ang pag-uugali ng function: 
Konklusyon: kapag ang pag-andar ay tumataas nang walang katiyakan:
At isa pang serye ng mga halimbawa:
Pakisubukang pag-isipang suriin ang sumusunod at tandaan ang pinakasimpleng uri ng mga limitasyon:
, , , , 
, , , , 
,
Kung mayroon kang mga pagdududa kahit saan, maaari kang pumili ng isang calculator at magsanay ng kaunti.
Sa kaganapan na, subukang bumuo ng isang sequence,,. Kung, kung gayon,,.
Tandaan: Sa mahigpit na pagsasalita, ang diskarte na ito sa pagbuo ng mga pagkakasunud-sunod mula sa ilang mga numero ay hindi tama, ngunit ito ay lubos na angkop para sa pag-unawa sa pinakasimpleng mga halimbawa.
Bigyang-pansin din ang sumusunod na bagay. Kahit na ang isang limitasyon ay ibinigay na may malaking numero sa itaas, ngunit kahit na may isang milyon:, pagkatapos ay ang lahat ng parehong 
, dahil maaga o huli ang "X" ay kukuha ng napakalaking halaga na ang isang milyon kung ihahambing sa kanila ay magiging isang tunay na mikrobyo.
Ano ang kailangan mong tandaan at maunawaan mula sa itaas?
1) Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna nating isaksak ang numero sa function.
2) Dapat mong maunawaan at agad na lutasin ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng 
, , atbp.
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang pangkat ng mga limitasyon kung kailan, at ang function ay isang fraction, sa numerator at denominator kung saan mayroong mga polynomial.
Halimbawa:
Kalkulahin ang Limitasyon 
Ayon sa aming panuntunan, susubukan naming palitan ang infinity sa function. Ano ang makukuha natin sa tuktok? Infinity. At ano ang nangyayari sa ibaba? Pati infinity. Kaya mayroon tayong tinatawag na kawalan ng katiyakan ng mga species. Ang isa ay mag-iisip na, at ang sagot ay handa na, ngunit sa pangkalahatang kaso ito ay hindi sa lahat ng kaso, at kailangan mong mag-aplay ng ilang pamamaraan ng solusyon, na isasaalang-alang namin ngayon.
Paano malutas ang mga limitasyon ng isang naibigay na uri?
Una, tinitingnan natin ang numerator at hanapin ang pinakamataas na kapangyarihan: 
Ang pinakamataas na antas sa numerator ay dalawa.
Ngayon ay tinitingnan natin ang denominator at matatagpuan din sa pinakamataas na kapangyarihan: 
Ang pinakamataas na kapangyarihan ng denominator ay dalawa.
Pagkatapos ay pipiliin namin ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator: sa halimbawang ito, pareho sila at katumbas ng dalawa.
Kaya, ang paraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang maihayag ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan.
Ganyan yan, ang sagot, hindi infinity.
Ano ang pangunahing mahalaga sa disenyo ng solusyon?
Una, ipinapahiwatig namin ang kawalan ng katiyakan, kung mayroon man.
Pangalawa, ipinapayong matakpan ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag. Karaniwan akong gumagamit ng isang senyas, hindi ito nagdadala ng anumang kahulugan sa matematika, ngunit nangangahulugan na ang solusyon ay nagambala para sa isang intermediate na paliwanag.
Pangatlo, sa limitasyon ay kanais-nais na markahan kung ano ang nagsusumikap at kung saan. Kapag natapos ang gawain sa pamamagitan ng kamay, mas maginhawang gawin ito tulad nito: 
Pinakamainam na gumamit ng isang simpleng lapis upang markahan.
Siyempre, wala kang magagawa dito, ngunit pagkatapos, marahil, mapapansin ng guro ang mga pagkukulang sa solusyon o magsimulang magtanong ng mga karagdagang katanungan sa takdang-aralin. Kailangan mo ba ito?
Halimbawa 2
Hanapin ang limitasyon 
Muli, sa numerator at denominator, makikita natin sa pinakamataas na kapangyarihan: 
Pinakamataas na degree sa numerator: 3
Pinakamataas na degree sa denominator: 4
Pumili tayo ang pinakadakila halaga, sa kasong ito ay isang apat.
Ayon sa aming algorithm, upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa.
Ang kumpletong disenyo ng takdang-aralin ay maaaring magmukhang ganito:
Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng
Halimbawa 3
Hanapin ang limitasyon 
Ang pinakamataas na antas ng "x" sa numerator: 2
Ang maximum na antas ng "x" sa denominator: 1 (maaaring isulat bilang)
Upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan, hatiin ang numerator at denominator sa. Ang isang malinis na solusyon ay maaaring magmukhang ganito:
Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng
Ang pagre-record ay hindi nangangahulugang paghahati sa zero (hindi mo maaaring hatiin sa zero), ngunit paghahati sa isang infinitesimal na numero.
Kaya, kapag isiwalat ang kawalan ng katiyakan ng mga species, maaari naming makuha may hangganang bilang, zero o infinity.
Mga Limitasyon na may Kawalang-katiyakan ng isang Uri at Isang Paraan para sa Kanilang Solusyon
Ang susunod na pangkat ng mga limitasyon ay medyo katulad ng mga limitasyon na isinasaalang-alang lamang: may mga polynomial sa numerator at denominator, ngunit ang "x" ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit sa may hangganang bilang.
Halimbawa 4
Lutasin ang limitasyon 
Una, subukan nating palitan ang -1 sa fraction: 
Sa kasong ito, ang tinatawag na kawalan ng katiyakan ay nakuha.
Pangkalahatang tuntunin: kung may mga polynomial sa numerator at denominator, at may mga hindi katiyakan ng form, kung gayon para sa pagsisiwalat nito kailangan mong i-factor out ang numerator at denominator.
Upang gawin ito, kadalasan kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation at / o gumamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Kung ang mga bagay na ito ay nakalimutan, pagkatapos ay bisitahin ang pahina Mga pormula at talahanayan ng matematika at basahin ang materyal sa pagtuturo Mainit na Formula sa Kurso sa Matematika sa Paaralan... Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinakamahusay na i-print ito, ito ay kinakailangan nang madalas, at ang impormasyon mula sa papel ay mas mahusay na hinihigop.
So, we decide our limit 
Isama natin ang numerator at denominator
Upang mai-factor ang numerator, kailangan mong lutasin ang quadratic equation: 
Una, nakita namin ang discriminant:
At ang square root nito:.
Kung malaki ang discriminant, halimbawa 361, gumagamit kami ng calculator, available ang square root function sa pinakasimpleng calculator.
! Kung ang ugat ay hindi ganap na na-extract (isang fractional na numero na may kuwit ay nakuha), ito ay napaka-malamang na ang discriminant ay nakalkula nang hindi tama o may typo sa trabaho.
Susunod, nakita namin ang mga ugat: 
kaya:
Lahat. Ang numerator ay pinalawak.
Denominator. Ang denominator ay ang pinakasimpleng kadahilanan, at walang paraan upang pasimplehin ito.
Malinaw, maaari itong paikliin sa:
Ngayon pinapalitan namin ang -1 sa expression na nananatili sa ilalim ng limit sign:
Naturally, sa pagsubok, sa pagsusulit, sa pagsusulit, ang desisyon ay hindi kailanman inilarawan sa ganoong detalye. Sa huling bersyon, ang disenyo ay dapat magmukhang ganito:
I-factor ang numerator. 
Halimbawa 5
Kalkulahin ang Limitasyon 
Una, isang "malinis" na solusyon
Isama natin ang numerator at denominator.
Numerator:
Denominator: 
, 
Ano ang mahalaga sa halimbawang ito?
Una, dapat mong maunawaan nang mabuti kung paano ipinahayag ang numerator, una naming kinuha ang 2 sa labas ng bracket, at pagkatapos ay ginamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Dapat malaman at makita ang formula na ito.
Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay tinatawag na sumusunod na pagkakapantay-pantay:
\ begin (equation) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (equation)
Dahil para sa $ \ alpha \ hanggang (0) $ mayroon kaming $ \ sin \ alpha \ hanggang (0) $, sinasabing ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagpapakita ng kawalan ng katiyakan ng anyo na $ \ frac (0) (0) $. Sa pangkalahatan, sa formula (1), sa halip na ang variable na $ \ alpha $ sa ilalim ng sine sign at sa denominator, anumang expression ay maaaring matagpuan, hangga't ang dalawang kundisyon ay nasiyahan:
- Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, i.e. mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo na $ \ frac (0) (0) $.
- Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho.
Ang mga kahihinatnan mula sa unang kapansin-pansin na limitasyon ay madalas ding ginagamit:
\ begin (equation) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (equation) \ begin (equation) \ lim _ (\ alpha \ to ( 0) ) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (equation) \ begin (equation) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha ) = 1 \ dulo (equation)
Labing-isang halimbawa ang nalutas sa pahinang ito. Ang Halimbawa No. 1 ay nakatuon sa patunay ng mga formula (2) - (4). Ang mga halimbawa # 2, # 3, # 4 at # 5 ay naglalaman ng mga solusyon na may mga detalyadong komento. Ang mga halimbawa # 6-10 ay naglalaman ng mga solusyon na halos walang komento, dahil ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay sa mga nakaraang halimbawa. Gumagamit ang solusyon ng ilan sa mga trigonometrikong formula na maaaring matagpuan.
Tandaan na ang pagkakaroon ng mga function na trigonometric, kaakibat ng kawalan ng katiyakan na $ \ frac (0) (0) $, ay hindi nangangahulugang kinakailangan ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Minsan sapat na ang mga simpleng pagbabago ng trigonometric - halimbawa, tingnan.
Halimbawa # 1
Patunayan na $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha ) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $.
a) Dahil $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, kung gayon:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg (\ alpha)) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) $$
Dahil $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (0) = 1 $ at $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 $ , pagkatapos:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) = \ frac (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0 )) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha)) (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (\ alpha)) = \ frac (1) (1) = 1 . $$
b) Gawin natin ang pagpapalit na $ \ alpha = \ sin (y) $. Dahil $ \ sin (0) = 0 $, pagkatapos ay mula sa kondisyon na $ \ alpha \ hanggang (0) $ mayroon kaming $ y \ hanggang (0) $. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan na zero kung saan ang $ \ arcsin \ alpha = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, kaya:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (y) (\ sin (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ sin (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (\ sin (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$
Ang pagkakapantay-pantay na $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 $ ay napatunayan.
c) Gawin natin ang pagpapalit $ \ alpha = \ tg (y) $. Dahil $ \ tg (0) = 0 $, ang mga kundisyon na $ \ alpha \ hanggang (0) $ at $ y \ hanggang (0) $ ay katumbas. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan na zero kung saan $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, samakatuwid, batay sa mga resulta ng item a), magkakaroon tayo ng:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ kanan | = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (y) (\ tg (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ tg (y)) { y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (\ tg (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$
Ang pagkakapantay-pantay na $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $ ay napatunayan.
Ang mga pagkakapantay-pantay a), b), c) ay kadalasang ginagamit kasama ng unang kapansin-pansing limitasyon.
Halimbawa Blg 2
Kalkulahin ang limitasyon ng $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4 ) ( x + 7)) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (x ^ 2-4) (x + 7) = \ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) = 0 $ at $ \ lim_ ( x \ to (2)) \ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right) = \ sin (0) = 0 $, ibig sabihin pareho ang numerator at denominator ng fraction nang sabay-sabay na may posibilidad na zero, pagkatapos dito ay nakikitungo tayo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $ \ frac (0) (0) $, i.e. tapos na. Bilang karagdagan, makikita na ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay nag-tutugma (i.e., at nasiyahan):
Kaya, ang parehong mga kundisyon na nakalista sa simula ng pahina ay natutugunan. Mula dito sumusunod na ang formula ay naaangkop, i.e. $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) = 1 $.
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) = 1 $.
Halimbawa Blg. 3
Hanapin ang $ \ lim_ (x \ hanggang (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (9x) = 0 $ at $ \ lim_ (x \ to (0)) x = 0 $, kami ay nakikitungo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $ \ frac ( 0 ) (0) $, ibig sabihin. tapos na. Gayunpaman, ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay hindi tugma. Dito kailangan mong magkasya ang expression sa denominator sa nais na hugis. Kailangan namin ang expression na $ 9x $ sa denominator - pagkatapos ito ay magiging totoo. Sa katunayan, nawawala ang $ 9 multiplier sa denominator, na hindi gaanong mahirap ipasok - i-multiply lang ang expression ng denominator sa $ 9. Naturally, upang mabayaran ang multiplikasyon ng $ 9, kakailanganin mong agad ng $ 9 at hatiin:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x \ cdot \ frac (1) (9)) = 9 \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $$
Ngayon ang mga expression sa denominator at sa ilalim ng sine sign ay nagtutugma. Ang parehong kundisyon para sa limitasyong $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $ ay nasiyahan. Samakatuwid, $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 1 $. Nangangahulugan ito na:
$$ 9 \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 9 \ cdot (1) = 9. $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = 9 $.
Halimbawa Blg. 4
Hanapin ang $ \ lim_ (x \ hanggang (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (5x) = 0 $ at $ \ lim_ (x \ to (0)) \ tg (8x) = 0 $, dito tayo ay humaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng anyo $ \ frac (0) (0) $. Gayunpaman, ang hugis ng unang kapansin-pansin na limitasyon ay nilabag. Ang numerator na naglalaman ng $ \ sin (5x) $ ay nangangailangan ng $ 5x $ sa denominator. Sa sitwasyong ito, ang pinakamadaling paraan ay hatiin ang numerator sa $ 5x $, at pagkatapos ay i-multiply sa $ 5x $. Bilang karagdagan, magsasagawa kami ng katulad na operasyon sa denominator, pagpaparami at paghahati ng $ \ tg (8x) $ ng $ 8x $:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x) ) $$
Pagbabawas ng $ x $ at paglipat ng pare-parehong $ \ frac (5) (8) $ sa labas ng limit sign, makuha namin ang:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) ( 8x)) $$
Tandaan na ang $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x) $ ay ganap na nakakatugon sa mga kinakailangan para sa unang kahanga-hangang limitasyon. Upang mahanap ang $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x) $ ang formula ay naaangkop:
$$ \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x)) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (1) (1) = \ frac (5) (8). $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ frac (5) (8) $.
Halimbawa Blg. 5
Hanapin ang $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (tandaan na $ \ cos (0) = 1 $) at $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, pagkatapos ay nakikitungo kami sa isang kawalan ng katiyakan ng anyong $ \ frac (0) (0) $. Gayunpaman, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, kailangan mong alisin ang cosine sa numerator sa pamamagitan ng paglipat sa mga sine (upang mailapat ang formula sa ibang pagkakataon) o tangents (upang mailapat ang formula sa ibang pagkakataon). Magagawa ito sa sumusunod na pagbabago:
$$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) $$ $$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) = \ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x). $$
Bumalik tayo sa limitasyon:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ kanan) $$
Ang fraction na $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ ay malapit na sa form na kinakailangan para sa unang kapansin-pansing limitasyon. Gumawa tayo ng kaunti sa fraction na $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $, pag-aayos nito sa unang kapansin-pansing limitasyon (tandaan na ang mga expression sa numerator at sa ilalim ng sine ay dapat tumugma):
$$ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \ cdot \ frac (1) (25)) = 25 \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) = 25 \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 $$
Bumalik tayo sa itinuturing na limitasyon:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) = \ lim_ (x \ to (0 )) \ kaliwa (25 \ cos (5x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 \ right) = \\ = 25 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ cos (5x) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 = 25 \ cdot (1) \ cdot ( 1 ^ 2) = 25. $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = 25 $.
Halimbawa Blg. 6
Hanapin ang limitasyon $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (6x)) = 0 $ at $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (2x)) = 0 $, pagkatapos tayo ay humaharap sa kawalan ng katiyakan $ \ frac (0) (0) $. Buksan natin ito sa unang kapansin-pansing limitasyon. Upang magawa ito, lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga kasalanan. Dahil $ 1- \ cos (2 \ alpha) = 2 \ sin ^ 2 (\ alpha) $, kung gayon:
$$ 1- \ cos (6x) = 2 \ sin ^ 2 (3x); \; 1- \ cos (2x) = 2 \ sin ^ 2 (x). $$
Pagpasa sa ibinigay na limitasyon sa mga kasalanan, magkakaroon tayo ng:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 (3x)) (2 \ sin ^ 2 (x)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 (3x)) (\ sin ^ 2 (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \ cdot (3x) ^ 2) (\ frac (\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \ cdot (x ^ 2)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ left (\ frac (\ sin (3x)) (3x) \ right) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2)) (\ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2 \ cdot (x ^ 2)) = 9 \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (3x)) (3x) \ kanan) ^ 2) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2) = 9 \ cdot \ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) = 9. $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = 9 $.
Halimbawa Blg. 7
Kalkulahin ang limitasyon ng $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) $ assuming $ \ alpha \ neq \ beta $.
Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay nang mas maaga, ngunit narito lamang tandaan namin na may muling kawalan ng katiyakan $ \ frac (0) (0) $. Pumunta tayo mula sa mga cosine hanggang sa mga sine gamit ang formula
$$ \ cos \ alpha- \ cos \ beta = -2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) (2). $$
Gamit ang formula sa itaas, nakukuha namin ang:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) ( 0) \ kanan | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (-2 \ sin \ frac (\ alpha (x) + \ beta (x)) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha (x) - \ beta (x)) (2)) (x ^ 2) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta ) (2) \ kanan) \ cdot \ sin \ kaliwa (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ kanan)) (x ^ 2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ kaliwa (\ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ kanan)) (x) \ cdot \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right)) (x) \ right) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2 ) \ cdot \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ kanan)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right) = \\ = - \ frac ((\ alpha + \ beta) \ cdot (\ alpha- \ beta)) (2) \ lim_ (x \ to (0 )) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ kanan)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2 )) = - \ frac (\ alpha ^ 2- \ beta ^ 2) (2) \ cdot (1) \ cdot (1) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alpha ^ 2) (2). $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alpha ^ 2) (2) $.
Halimbawa Blg. 8
Hanapin ang limitasyong $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ hanggang (0)) (\ tg (x) - \ sin (x)) = 0 $ (tandaan na $ \ sin (0) = \ tg (0) = 0 $) at $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 3 = 0 $, pagkatapos narito tayo ay nakikitungo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $ \ frac (0) (0) $. Buksan natin ito tulad ng sumusunod:
$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ left | \ frac (0) (0) \ kanan | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (x)) (\ cos (x)) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to ( 0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (\ frac (1) (\ cos (x)) - 1 \ right)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (1- \ cos (x) \ right)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot (2) \ sin ^ 2 \ frac (x) (2)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin \ frac (x) (2)) (\ frac (x) ( 2)) \ kanan) ^ 2 \ cdot \ frac (1) (\ cos (x)) \ kanan) = \ frac (1) (2) \ cdot (1) \ cdot (1 ^ 2) \ cdot (1 ) = \ frac (1) (2). $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ frac (1) (2) $.
Halimbawa Blg. 9
Hanapin ang limitasyong $ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) $.
Dahil $ \ lim_ (x \ to (3)) (1- \ cos (x-3)) = 0 $ at $ \ lim_ (x \ to (3)) (x-3) \ tg \ frac (x - 3) (2) = 0 $, pagkatapos ay mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo na $ \ frac (0) (0) $. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, maginhawang baguhin ang variable sa paraang ang bagong variable ay nagiging zero (tandaan na ang variable na $ \ alpha \ sa 0 $ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $ t = x-3 $. Gayunpaman, alang-alang sa kaginhawaan ng karagdagang mga pagbabago (ang benepisyo na ito ay maaaring makita sa kurso ng solusyon sa ibaba), sulit na gawin ang sumusunod na kapalit: $ t = \ frac (x-3) (2) $. Tandaan na ang parehong kapalit ay naaangkop sa kasong ito, ang pangalawang pagpapalit lamang ay magbibigay-daan sa iyo upang gumana nang mas kaunti sa mga praksyon. Dahil $ x \ hanggang (3) $, pagkatapos ay $ t \ hanggang (0) $.
$$ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = \ left | \ frac (0) (0) \ kanan | = \ left | \ start (nakahanay) & t = \ frac (x-3) (2); \\ & t \ to (0) \ end (nakahanay) \ kanan | = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (1- \ cos (2t)) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2t) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ tg (t)) = \\ = \ lim_ (t \ sa (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ frac (\ sin (t)) (\ cos (t))) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin (t) \ cos (t)) (t) = \ lim_ (t \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ cos (t) \ right) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ lim_ (t \ to (0)) \ cos (t) = 1 \ cdot (1) = 1. $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = 1 $.
Halimbawa Blg. 10
Hanapin ang Limit $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) $.
Muli ay nakikitungo kami sa $ \ frac (0) (0) $ kawalan ng katiyakan. Bago magpatuloy sa paglawak nito, maginhawa upang baguhin ang variable sa isang paraan na ang bagong variable ay may gawi (tandaan na ang variable na $ \ alpha \ to (0) $ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ang pagpasok ng variable na $ t = \ frac (\ pi) (2) -x $. Dahil $ x \ to \ frac (\ pi) (2) $, pagkatapos ay $ t \ to (0) $:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ kanan) ^ 2) = \ kaliwa | \ frac (0) (0) \ kanan | = \ left | \ begin (aligned) & t = \ frac (\ pi) (2) -x; \\ & t \ to (0) \ end (aligned) \ right | = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (1- \ sin \ left (\ frac (\ pi) (2) -t \ kanan)) (t ^ 2) = \ lim_ (t \ to (0 )) \ frac (1- \ cos (t)) (t ^ 2) = \\ = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) ( t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (\ frac (t ^ 2) (4) \ cdot (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (t \ to ( 0)) \ kaliwa (\ frac (\ sin \ frac (t) (2)) (\ frac (t) (2)) \ right) ^ 2 = \ frac (1) (2) \ cdot (1 ^ 2 ) = \ frac (1) (2). $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ kanan) ^ 2) = \ frac (1) (2) $.
Halimbawa Blg. 11
Hanapin ang mga limitasyon na $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) $, $ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) $.
Sa kasong ito, hindi namin kailangang gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Mangyaring tandaan: kapwa sa una at sa pangalawang mga limitasyon mayroon lamang mga trigonometric function at numero. Kadalasan sa mga halimbawa ng ganitong uri posible na gawing simple ang pagpapahayag sa ilalim ng tanda ng limitasyon. Sa kasong ito, pagkatapos ng nabanggit na pagpapasimple at pagbabawas ng ilang mga kadahilanan, ang kawalan ng katiyakan ay nawawala. Ibinigay ko ang halimbawang ito sa isang layunin lamang: upang maipakita na ang pagkakaroon ng mga function na trigonometric sa ilalim ng pag-sign ng limitasyon ay hindi nangangahulugang ang aplikasyon ng unang kapansin-pansin na limitasyon.
Dahil $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) (1- \ sin (x)) = 0 $ (tandaan na $ \ sin \ frac (\ pi) (2) = 1 $ ) at $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (tandaan na $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), pagkatapos ay haharapin natin ang isang walang katiyakan sa form na $ \ frac (0) (0) $. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na kailangan nating gamitin ang unang kapansin-pansing limitasyon. Upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan, sapat na upang isaalang-alang na $ \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x $:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ left | \ frac (0) (0) \ kanan | = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (1- \ sin ^ 2x) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) ( 2)) \ frac (1- \ sin (x)) ((1- \ sin (x)) (1+ \ sin (x))) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2) ) \ frac (1) (1+ \ sin (x)) = \ frac (1) (1 + 1) = \ frac (1) (2). $$
Mayroong katulad na solusyon sa Reshebnik ni Demidovich (No. 475). Tulad ng para sa pangalawang limitasyon, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa ng seksyong ito, mayroon kaming kawalan ng katiyakan ng form na $ \ frac (0) (0) $. Bakit ito bumangon? Ito ay lumitaw dahil $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ at $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = - 1 $. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang baguhin ang mga expression sa numerator at denominator. Ang layunin ng ating mga aksyon: isulat ang kabuuan sa numerator at denominator sa anyo ng isang produkto. Sa pamamagitan ng paraan, madalas sa loob ng isang katulad na view, ito ay maginhawa upang baguhin ang isang variable, na ginawa sa paraang ang bagong variable ay may posibilidad na zero (tingnan, halimbawa, ang mga halimbawa # 9 o # 10 sa pahinang ito). Gayunpaman, sa halimbawang ito, walang kahulugan ang pagpapalit, bagama't kung ninanais, madaling baguhin ang variable na $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $.
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = \ lim_ (x \ sa \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cdot \ left (\ cos (x) + \ frac (1) (2) \ right )) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) - \ tg \ frac (2 \ pi) (3)) (2 \ cdot \ left (\ cos (x) - \ cos \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ frac (\ sin \ kaliwa (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ kanan)) (\ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3))) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) ( 3 )) \ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2 ) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (2 \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3 )) (2)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ cos \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3 )) = \\ = \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left ( - \ frac (1) (2) \ right)) = - \ frac (4 ) (\ sqrt (3)). $$
Gaya ng nakikita mo, hindi namin kinailangang ilapat ang unang kahanga-hangang limitasyon. Siyempre, maaari itong gawin kung ninanais (tingnan ang tala sa ibaba), ngunit hindi ito kinakailangan.
Ano ang magiging solusyon gamit ang unang kahanga-hangang limitasyon? Ipakita itago
Gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon, nakukuha namin ang:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ kanan)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi ) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ kanan)) (x- \ frac (2 \ pi) (3)) \ cdot \ frac (1) (\ frac (\ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) ) (\ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2))) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3) ) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ right) = 1 \ cdot (1) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt ( 3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ kanan) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ kanan)) = - \ frac (4) (\ sqrt (3)). $$
Sagot: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (2) $, $ \ lim_ ( x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = - \ frac (4) (\ sqrt ( 3)) $.
Paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng mga limitasyon Kapag nilutas ang mga problema para sa paghahanap ng mga limitasyon, dapat mong tandaan ang ilang mga limitasyon upang hindi mo na kailangang kalkulahin muli ang mga ito sa bawat pagkakataon. Pinagsasama ang mga kilalang limitasyong ito, makakahanap kami ng mga bagong limitasyon gamit ang mga katangiang nakasaad sa §4. Para sa kaginhawahan, ipinakita namin ang pinakamadalas na nakakaharap na mga limitasyon: Mga limitasyon 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o \ X \ 5 lim sin * - l X -о X 6 lim f (x) = f (a), kung f (x) ay tuloy-tuloy xa Kung alam na ang function ay tuloy-tuloy, sa halip na hanapin ang limitasyon, kalkulahin ang halaga ng function. Halimbawa 1. Maghanap ng lim (x * -6l: + 8). Dahil tuloy-tuloy ang many- X-> 2 term-function, pagkatapos ay lim (x * -6x4- 8) = 2 * -6-2 + 8 = 4.x- + 2x * _2x 4-1 Halimbawa 2. Hanapin ang lim -G. ... Una, nakita namin ang limitasyon - X- + 1 x ~ zx mga kaso ng denominator: lim [xz - \ - bx) = 12 + 5-1 = 6; ito ay hindi katumbas ng X-Y1 zero, na nangangahulugan na ang property 4 ng § 4 ay maaaring ilapat, pagkatapos x ™ i * "+ & * ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1" "6 1. Ang Ang limitasyon ng denominator na XX ay zero, kaya hindi mailalapat ang property 4 ng § 4. Dahil ang numerator ay isang pare-parehong numero, at ang denominator [x2x) -> - 0 bilang x - 1, ang buong fraction ay tumataas nang walang hangganan sa absolute value, iyon ay , lim "1X - * - - 1 x * + x Halimbawa 4. Hanapin ang lim \ -ll *"! "4 na hindi naaangkop. Ngunit ang limitasyon ng numerator ay katumbas din ng zero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Kaya, ang mga limitasyon ng numerator at denominator ay magkasabay na katumbas ng zero. Gayunpaman, ang numero 2 ay ang ugat ng parehong numerator at denominator, kaya ang fraction ay maaaring kanselahin ng pagkakaiba x-2 (sa pamamagitan ng Bezout's theorem). Sa katunayan, x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" -f- 6 r x -3 -1 1 Halimbawa 5. Hanapin ang lim xn (integer n, positibo). X c Mayroon kaming xn = X * X. ... X, n beses Dahil ang bawat kadahilanan ay lumalaki nang walang hanggan, lumalaki din ang produkto nang walang hanggan, iyon ay, lim xn = oo. x oo Halimbawa 6. Hanapin ang lim xn (n ay isang integer, positibo). X -> - CO Mayroon kaming xn = x x ... x. Dahil ang bawat kadahilanan ay lumalaki sa ganap na halaga, natitirang negatibo, kung gayon sa kaso ng isang pantay na degree ang produkto ay lalago nang walang katiyakan, mananatiling positibo, iyon ay, lim * n = + oo (para sa kahit n). * - * -co Sa kaso ng isang kakaibang antas, ang ganap na halaga ng produkto ay tumataas, ngunit ito ay nananatiling negatibo, iyon ay, lim xn = - oo (kapag n ay kakaiba). n - 00 Halimbawa 7. Find lim. x x - * - co * Kung m> ny kung gayon maaari kang magsulat: m = n + kt kung saan k> 0. Samakatuwid, xm b lim - = - = lim - = - = lim x. yP Yn x -x> A x y Dumating sa halimbawa 6. Kung ty uTL xm I lim lim lim m. X - О х- * у Л X -> ω Dito nananatiling pare-pareho ang numerator, at ang denominator ay lumalaki sa absolute value, samakatuwid lim -b = 0. mas mabilis mas malaki ang exponent. $ хв_Зхг + 7 Halimbawa 8. Hanapin ang lim g L -г - =. Sa halimbawang ito x- * ® «J *" Г bX -х-о at ang numerator at denominator ay tumataas nang walang katiyakan. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng pinakamataas na kapangyarihan x, iyon ay, sa xb, pagkatapos ay 3 7_ Halimbawa 9. Maghanap ng lira. Gumagawa ng mga pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng lira. , pagkatapos ay ang limitasyon ng denominator ng rade- * ® XX - + - CD X ay zero, habang ang limitasyon ng numerator ay 1. Samakatuwid, ang buong praksyon ay tumataas nang walang hangganan, iyon ay, t. lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Pagkatapos x -> - S lim (l-fsin *) Halimbawa 15. Find lim *<*-e>2 at lim e "(X" a) \ Pos - X- + ± co X ± CO press (l: - a) 2 = z; dahil ang (n; -a) 2 ay palaging hindi negatibo at lumalaki nang walang limitasyong may x, pagkatapos ay bilang x - ± oo ang bagong variable z - * oo. Samakatuwid, nakukuha namin ang φm £<*-«)* = X ->± 00 s = lim er = oo (tingnan ang komento sa §5). r - * ■ ω Katulad nito lim e ~ (X-a) 2 = lim e ~ z = Q, dahil x ± oo rm - (x- a) r bumababa nang walang limitasyong bilang x -> ± oo (tingnan ang Puna sa §
Ang mga limitasyon ay nagbibigay sa lahat ng mga mag-aaral sa matematika ng maraming abala. Upang malutas ang limitasyon, kung minsan kailangan mong gumamit ng maraming mga trick at pumili mula sa iba't ibang mga paraan ng solusyon nang eksakto ang isa na angkop para sa isang partikular na halimbawa.
Sa artikulong ito hindi ka namin matutulungan na maunawaan ang mga limitasyon ng iyong mga kakayahan o maunawaan ang mga limitasyon ng kontrol, ngunit susubukan naming sagutin ang tanong: kung paano maunawaan ang mga limitasyon sa mas mataas na matematika? Ang pag-unawa ay may kasamang karanasan, kaya sa parehong oras ay magbibigay kami ng ilang detalyadong halimbawa ng paglutas ng mga limitasyon na may mga paliwanag.
Limitahan ang konsepto sa matematika
Ang unang tanong: ano ang limitasyong ito at ano ang limitasyon? Maaari nating pag-usapan ang mga limitasyon ng mga numerical sequence at function. Interesado kami sa konsepto ng limitasyon ng isang function, dahil sa kanila ang madalas na nakakaharap ng mga mag-aaral. Ngunit una, ang pinaka-pangkalahatang kahulugan ng isang limitasyon:
Sabihin nating mayroong ilang variable. Kung ang halagang ito sa proseso ng pagbabago ay walang katapusang papalapit sa isang tiyak na numero a , pagkatapos a Ay ang hangganan ng halagang ito.
Para sa isang function na tinukoy sa isang tiyak na pagitan f (x) = y ang nasabing bilang ay tinatawag na isang limitasyon A , kung saan ang function ay may kaugaliang NS pag-aalaga sa isang tiyak na punto a ... Punto a nabibilang sa agwat kung saan tinukoy ang pagpapaandar.
Mukhang mahirap, ngunit napakasimpleng isulat:
Lim- mula sa Ingles limitasyon ay ang hangganan.
Mayroon ding geometric na paliwanag para sa kahulugan ng limitasyon, ngunit dito hindi tayo pupunta sa teorya, dahil mas interesado tayo sa praktikal kaysa sa teoretikal na bahagi ng isyu. Pag sinabi natin yan NS may posibilidad sa ilang halaga, nangangahulugan ito na hindi kinukuha ng variable ang halaga ng numero, ngunit malapit ito nang walang hanggan.
Magbigay tayo ng konkretong halimbawa. Ang hamon ay hanapin ang limitasyon.
Upang malutas ang halimbawang ito, palitan ang halaga x = 3 sa isang function. Nakukuha namin:
Sa pamamagitan ng paraan, kung interesado ka, basahin ang isang hiwalay na artikulo sa paksang ito.
Sa mga halimbawa NS maaaring magsikap para sa anumang halaga. Maaari itong maging anumang numero o infinity. Narito ang isang halimbawa kung kailan NS may posibilidad na infinity:
Ito ay intuitively malinaw na ang mas malaki ang numero sa denominator, mas mababa ang halaga na ang function ay kukuha. Kaya, na may walang limitasyong paglago NS ibig sabihin 1 / x bababa at lalapit sa zero.
Tulad ng nakikita mo, upang malutas ang limitasyon, kailangan mo lamang na palitan ang halaga upang magsikap para sa pag-andar NS ... Gayunpaman, ito ang pinakasimpleng kaso. Ang paghahanap ng limitasyon ay kadalasang hindi masyadong halata. Kawalang-katiyakan tulad ng 0/0 o infinity / infinity ... Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Upang gumawa ng mga trick!
Kawalang-katiyakan sa loob
Kawalang-katiyakan ng anyo na infinity / infinity
Hayaang magkaroon ng limitasyon:
Kung susubukan nating palitan ang infinity sa function, makakakuha tayo ng infinity sa parehong numerator at denominator. Sa pangkalahatan, ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na mayroong isang tiyak na elemento ng sining sa paglutas ng gayong mga kawalang-katiyakan: dapat tandaan kung paano mababago ang isang function sa paraang mawala ang kawalan ng katiyakan. Sa aming kaso, hinahati namin ang numerator at denominator sa NS sa senior degree. Ano ang mangyayari?
Mula sa halimbawang isinaalang-alang sa itaas, alam natin na ang mga terminong naglalaman ng x sa denominator ay magiging zero. Kung gayon ang solusyon sa limitasyon ay:
Upang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng infinity / infinity hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng NS sa pinakamataas na antas.
Siya nga pala! Para sa aming mga mambabasa, mayroon na ngayong 10% na diskwento sa
Isa pang uri ng kawalan ng katiyakan: 0/0
Gaya ng nakasanayan, pagpapalit sa function ng halaga x = -1 nagbibigay 0 sa numerator at denominator. Tumingin ng kaunti pa malapit at mapapansin mo na mayroon tayong quadratic equation sa numerator. Hanapin ang mga ugat at isulat:
Paikliin natin at kunin:
Kaya, kung ikaw ay nahaharap sa isang kawalan ng katiyakan tulad ng 0/0 - factor out ang numerator at denominator.
Upang gawing mas madali para sa iyo na malutas ang mga halimbawa, nagbibigay kami ng isang talahanayan na may mga limitasyon ng ilang mga function:
Ang panuntunan ng L'Hôpital sa loob
Isa pang makapangyarihang pamamaraan para sa pag-aalis ng parehong uri ng kawalan ng katiyakan. Ano ang kakanyahan ng pamamaraan?
Kung may kawalan ng katiyakan sa limitasyon, kinukuha namin ang hinalaw ng numerator at denominator hanggang sa mawala ang kawalan ng katiyakan.
Ganito ang panuntunan ng L'Hôpital:
Isang mahalagang punto : ang limitasyon kung saan sa halip ng numerator at denominator ay mga derivatives ng numerator at denominator, ay dapat na umiiral.
At ngayon para sa isang tunay na halimbawa:
Karaniwang kawalang-katiyakan 0/0 ... Kunin natin ang mga derivatives ng numerator at denominator:
Voila, ang kalabuan ay nalutas nang mabilis at matikas.
Inaasahan namin na magagamit mo nang kapaki-pakinabang ang impormasyong ito sa kasanayan at makahanap ng isang sagot sa tanong na "paano malutas ang mga limitasyon sa mas mataas na matematika". Kung kailangan mong kalkulahin ang limitasyon ng isang sequence o ang limitasyon ng isang function sa isang punto, at walang oras para sa gawaing ito mula sa salitang "at all", makipag-ugnayan sa isang propesyonal na serbisyo ng mag-aaral para sa mabilis at detalyadong solusyon.