Ang bawat mag-aaral na naghahanda para sa pagsusulit sa matematika ay magiging kapaki-pakinabang na ulitin ang paksang "Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya." Tulad ng ipinapakita ng mga istatistika, kapag pumasa sa pagsusulit sa sertipikasyon, ang mga problema sa seksyong ito ng stereometry ay nagdudulot ng mga paghihirap para sa isang malaking bilang ng mga mag-aaral. Kasabay nito, ang mga gawain na nangangailangan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa PAGGAMIT ng parehong pangunahing at antas ng profile. Nangangahulugan ito na ang lahat ay dapat na malutas ang mga ito.
Mga pangunahing sandali
Mayroong 4 na uri ng mutual arrangement ng mga tuwid na linya sa espasyo. Maaari silang magkasabay, mag-intersect, maging parallel, o mag-intersect. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring matalim o tama.
Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa pagsusulit o, halimbawa, sa solusyon, ang mga mag-aaral sa Moscow at iba pang mga lungsod ay maaaring gumamit ng ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa seksyong ito ng stereometry. Makukumpleto mo ang gawain sa pamamagitan ng paggamit ng mga klasikong konstruksyon. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-aaral ng mga pangunahing axiom at theorems ng stereometry. Ang mag-aaral ay kailangang makabuo ng lohikal na pangangatwiran at lumikha ng mga guhit upang madala ang gawain sa isang problemang planimetric.
Maaari mo ring gamitin ang paraan ng vector coordinate gamit ang mga simpleng formula, panuntunan, at algorithm. Ang pangunahing bagay sa kasong ito ay gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang tama. Ang proyektong pang-edukasyon na "Shkolkovo" ay tutulong sa iyo na mahasa ang iyong mga kasanayan sa paglutas ng mga problema sa stereometry at iba pang mga seksyon ng kurso sa paaralan.
Kahulugan. Kung ang dalawang tuwid na linya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ay ibinigay, kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya na ito ay tutukuyin bilang
Dalawang tuwid na linya ay magkatulad kung k 1 = k 2. Dalawang tuwid na linya ay patayo kung k 1 = -1 / k 2.
Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + By + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang proportional coefficients A 1 = λA, B 1 = λB. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga tuwid na linya na ito.
Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto
Patayo sa linyang ito
Kahulugan. Ang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y = kx + b ay kinakatawan ng equation:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Teorama. Kung ang isang punto M (x 0, y 0) ay ibinigay, ang distansya sa tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 ay tinutukoy bilang
.
Patunay. Hayaang ang point M 1 (x 1, y 1) ang base ng perpendicular na ibinaba mula sa point M papunta sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:
(1)
Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:
Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
pagkatapos, paglutas, makuha namin:
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa... Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Halimbawa... Ipakita na ang mga tuwid na linya 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.
Solusyon... Nakikita namin ang: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, samakatuwid, ang mga tuwid na linya ay patayo.
Halimbawa... Ang mga vertices ng tatsulok na A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.
Solusyon... Nahanap namin ang equation ng side AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Ang kinakailangang equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k =. Pagkatapos y =. kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ay natutugunan ng mga coordinate nito ang equation na ito: 
saan b = 17. Kabuuan:. 
Sagot: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang tiyak na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagpapasiya ng intersection point ng dalawang linya
1. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon na tinutukoy ng slope k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang bundle ng mga tuwid na linya na dumadaan sa punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.
2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula
3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B tinatawag na anggulo kung saan kailangan mong i-on ang unang tuwid A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito nang pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B... Kung ang dalawang tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation na may slope
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula
Tandaan na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibinabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.
Kung ang mga equation ng tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula
4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:
a) Kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.
5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:
a) Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may slope, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.
Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay binubuo sa katuparan ng pagkakapantay-pantay.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga tuwid na linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang
1. Isulat ang mga equation ng mga tuwid na linya na dumadaan sa punto M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa isang tuwid na linya l.
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Samakatuwid, bumaba tayo sa unang seksyon, inaasahan kong sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang pag-iisip.
Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya
Ang kaso kapag kumakanta ang audience kasama ang chorus. Dalawang tuwid na linya ay maaari:
1) tugma;
2) maging parallel:;
3) o bumalandra sa isang punto:.
Tulong para sa mga Dummies : mangyaring tandaan ang mathematical sign ng intersection, ito ay magiging karaniwan. Ang tala ay nagpapahiwatig na ang linya ay nagsalubong sa linya sa isang punto.
Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya?
Magsimula tayo sa unang kaso:
Dalawang tuwid na linya ang nagtutugma kung at lamang kung ang kanilang mga kaukulang coefficient ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong napakaraming "lambdas" na hawak ng mga pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient:. Ito ay sumusunod mula sa bawat equation na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nagtutugma.
Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation 
multiply sa -1 (pagbabago ng mga palatandaan), at lahat ng mga coefficient ng equation 
binawasan ng 2, makakakuha ka ng parehong equation:.
Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:
Dalawang tuwid na linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient para sa mga variable ay proporsyonal: 
, ngunit.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable: 
Gayunpaman, ito ay lubos na malinaw na.
At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:
Dalawang tuwid na linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient para sa mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng lambda na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay 
Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuuin namin ang system: 
Mula sa unang equation ito ay sumusunod na, at mula sa pangalawang equation:, samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.
Konklusyon: ang mga linya ay nagsalubong
Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector... Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:
Halimbawa 1
Alamin ang relatibong posisyon ng mga tuwid na linya: 
Solusyon batay sa pag-aaral ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya: 
.
, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.
Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:
Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei the Immortal =)
b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya: 
Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugan na sila ay magkapareho o magkasabay. Hindi na rin kailangang bilangin ang determinant dito.
Malinaw, ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay proporsyonal, habang.
Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay: 
Sa ganitong paraan,
c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya: 
Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito: 
kaya ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.
Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: 
.
Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:
Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).
Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.
Sagot:
Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) kung paano lutasin ang problema na isinasaalang-alang nang literal sa loob ng ilang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakikitang dahilan upang mag-alok ng anuman para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya parallel sa isang ibinigay na isa?
Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.
Halimbawa 2
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Equate ang isang parallel na tuwid na linya na dumadaan sa isang punto.
Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang tuwid na titik. Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga tuwid na linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang pagdidirekta ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".
Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:
Sagot:
Ang geometry ng halimbawa ay mukhang diretso: 
Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa nakuha na equation.
Sa karamihan ng mga kaso, madaling gawin ang analytical review. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na mauunawaan ang parallelism ng mga tuwid na linya nang walang anumang pagguhit.
Ang mga halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.
Halimbawa 3
Gumawa ng isang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa isang tuwid na linya kung
Mayroong makatwiran at hindi masyadong makatuwirang solusyon. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.
Nagtrabaho kami nang kaunti gamit ang parallel straight lines at babalikan namin ang mga ito mamaya. Ang kaso ng coinciding straight lines ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum ng paaralan:
Paano mahahanap ang intersection point ng dalawang linya?
Kung diretso 
bumalandra sa isang punto, pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation 
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.
Sobra para sayo geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam Ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na mga linya sa isang eroplano.
Halimbawa 4
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya
Solusyon: Mayroong dalawang paraan ng paglutas - graphical at analytical.
Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga linya ng data at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit: 
Narito ang aming punto:. Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system. Karaniwan, tumingin kami sa isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.
Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magdedesisyon kaya, ang punto ay kailangan ng oras upang makakuha ng tama at TAMANG guhit. Bilang karagdagan, hindi ganoon kadali ang paggawa ng ilang tuwid na linya, at ang intersection point mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.
Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang intersection point gamit ang analytical method. Lutasin natin ang sistema: 
Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano lutasin ang isang sistema ng mga equation?
Sagot:
Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation sa system.
Halimbawa 5
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.
Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri ng kondisyon ay nagmumungkahi kung ano ang kinakailangan:
1) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
2) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga tuwid na linya.
4) Kung ang mga linya ay nagsalubong, pagkatapos ay hanapin ang intersection point.
Ang pagbuo ng isang algorithm ng mga aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.
Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial:
Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa pagod, dahil nakarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:
Mga patayong tuwid na linya. Distansya mula sa punto hanggang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya patayo sa isang ibinigay na isa?
Halimbawa 6
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Equate ang isang patayo na linya sa pamamagitan ng isang punto.
Solusyon: Sa kondisyon ay alam na. Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:
Mula sa equation na "alisin" ang normal na vector:, na magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.
Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon:
Sagot: 
Palawakin natin ang geometric sketch:
Hmmm ... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.
Analytical na pag-verify ng solusyon:
1) Kunin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation 
at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector dumating tayo sa konklusyon na ang mga tuwid na linya ay talagang patayo:.
Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa nakuha na equation 
.
Ang tseke, muli, ay madaling gawin nang pasalita.
Halimbawa 7
Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala 
at punto.
Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang iguhit ang solusyon sa bawat punto.
Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang pagmamaneho sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay ang haba ng patayo na linya.
Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".
Distansya mula sa punto hanggang linya 
ipinahayag ng pormula
Halimbawa 8
Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya 
Solusyon: ang kailangan lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:
Sagot: 
Isagawa natin ang pagguhit: 
Ang distansya mula sa punto sa linya na natagpuan ay eksaktong haba ng pulang linya. Kung gumuhit ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.
Isaalang-alang ang isa pang gawain para sa parehong blueprint:
Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa isang punto na may paggalang sa isang tuwid na linya 
... Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon sa iyong sarili, ngunit magtatalaga ako ng isang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:
1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: 
.
Ang parehong mga aksyon ay sakop nang detalyado sa araling ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng segment ng linya. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng ang mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment nahanap namin.
Hindi magiging kalabisan na suriin na ang distansya ay 2.2 units din.
Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang micro calculator ay nakakatulong nang mahusay, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang ng mga ordinaryong fraction. Paulit-ulit na pinapayuhan, magpapayo at muli.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Hayaan akong magbigay sa iyo ng isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming mga paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat nang maayos ang iyong katalinuhan.
Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya
Ang bawat anggulo ay isang hamba: 
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang PINAKAMALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi binibilang bilang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na tuwid na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay ay itinuturing na ganoon, o kabaligtaran ang oriented"Crimson" na sulok.
Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan naka-scroll ang sulok ay napakahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong nakatuon na anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung.
Bakit ko sinabi ito? Tila ang karaniwang konsepto ng isang anggulo ay maaaring ibigay. Ang katotohanan ay sa mga pormula kung saan mahahanap namin ang mga anggulo, madali kang makakuha ng negatibong resulta, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Solusyon at Pamamaraan isa
Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo: 
Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: 
Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
Kung, kung gayon ang denominator ng formula ay naglalaho, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga tuwid na linya ay patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.
Batay sa nabanggit, ito ay maginhawa upang gumuhit ng isang solusyon sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
, na nangangahulugan na ang mga tuwid na linya ay hindi patayo.
2) Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):
Sagot: 
Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa mga degree at sa radians), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, so minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan: 
Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula dito.
Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga koepisyent mula sa pangalawang equation 
, at ang mga coefficient ay kinuha mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang tuwid na linya 
.
Magpa-brief ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Kaya, kung mahahanap mo ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon a = (x 1; y 1; z 1) at b = (x 2; y 2; z 2), maaari mong mahanap ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo sa pamamagitan ng formula:
Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga partikular na halimbawa:
Gawain. Ang mga puntos na E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.
Dahil ang gilid ng kubo ay hindi ipinahiwatig, itinakda namin ang AB = 1. Ipakilala ang karaniwang coordinate system: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x, y, z axes ay nakadirekta sa AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Ngayon ay nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa aming mga linya.
Hanapin natin ang mga coordinate ng vector AE. Upang gawin ito, kailangan natin ang mga puntos na A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang midpoint ng segment A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay kasabay ng pinagmulan, kaya AE = (0.5; 0; 1).
Ngayon ay haharapin natin ang vector BF. Katulad nito, na-parse namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), dahil F - midpoint ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Kaya handa na ang mga vector ng direksyon. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon, kaya mayroon tayong:
Gawain. Sa isang regular na trihedral prism ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga punto D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AD at BE.
Ipakilala natin ang isang karaniwang coordinate system: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x-axis ay nakadirekta sa kahabaan ng AB, z - kasama ang AA 1. Idinirekta namin ang y-axis upang ang OXY plane ay tumutugma sa ABC plane. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa mga hinahanap na linya.
Una, hanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), dahil D - midpoint ng segment A 1 B 1. Dahil ang pinagmulan ng vector AD ay tumutugma sa pinagmulan, nakukuha namin ang AD = (0.5; 0; 1).
Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Point B = (1; 0; 0) ay madaling kalkulahin. Sa punto E - ang gitna ng segment C 1 B 1 - ito ay medyo mas mahirap. Meron kami:
Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:
Gawain. Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AK at BL.
Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: ilagay ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, idirekta ang x-axis sa kahabaan ng FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga segment na AB at DE, at ang z- axis patayo pataas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:
Ang mga puntong K at L ay ang mga midpoint ng mga segment na A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AK at BL:
Ngayon, hanapin natin ang cosine ng anggulo:
Gawain. Sa regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.
Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.
Ang mga puntong E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AE at BF:
Ang mga coordinate ng vector AE ay nag-tutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:
