Kumplikadong form na trigonometric. Panayam sa paksang: "Trigonometric form ng isang kumplikadong numero"

Sa seksyong ito, pag-uusapan pa namin ang tungkol sa trigonometric form ng isang kumplikadong numero. Ang demonstrative form sa mga praktikal na gawain ay hindi gaanong karaniwan. Inirerekumenda ko ang pag-download at, kung maaari, i-print mga talahanayan ng trigonometric, ang materyal na metodolohikal ay matatagpuan sa pahina ng mga pormula at talahanayan ng matematika. Hindi ka makakapunta sa malayo nang walang mga mesa.

Anumang kumplikadong numero (maliban sa zero) ay maaaring isulat sa trigonometric form:

Saan iyon kumplikadong modulus ng numero, a - kumplikadong numero ng pagtatalo.

Kinakatawan natin ang isang numero sa kumplikadong eroplano. Para sa kahulugan at pagiging simple ng paliwanag, ilalagay namin ito sa unang koordinasyon ng isang-kapat, ibig sabihin naniniwala kami na:

Sa pamamagitan ng modulus ng isang kumplikadong numero ay ang distansya mula sa pinagmulan sa kaukulang punto ng kumplikadong eroplano. Sa madaling salita, module ang haba ang radius vector, na ipinahiwatig sa pagguhit sa pula.

Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay karaniwang ipinapahiwatig: o

Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, madaling makakuha ng isang formula para sa paghahanap ng modulus ng isang kumplikadong numero: Ang formula na ito ay wasto para sa anumang nagkakahalaga ng "a" at "bs".

Tandaan : ang kumplikadong numero ng module ay isang paglalahat ng konsepto modulus ng tunay na numerobilang ang distansya mula sa punto sa pinagmulan.

Ang komplikadong argumento ng bilang tinawag iniksyon sa pagitan ng positibong semiaxis ang totoong axis at ang radius vector na iginuhit mula sa pinagmulan hanggang sa kaukulang punto. Ang pagtatalo ay hindi natukoy para sa isahan:.

Ang pinag-uusapang prinsipyo ay talagang katulad sa mga coordinate ng polar, kung saan ang polar radius at anggulo ng polar ay natatanging tumutukoy sa isang punto.

Ang kumplikadong argumento ng numero ay pamantayan na tinukoy: o

Mula sa mga pagsasaalang-alang sa geometriko, ang sumusunod na pormula ay nakuha para sa paghahanap ng argumento:

. Pansin! Gumagawa lamang ang formula na ito sa tamang kalahating eroplano! Kung ang kumplikadong numero ay matatagpuan hindi sa ika-1 at hindi sa ika-apat na coordinate quarter, kung gayon ang formula ay magiging bahagyang magkakaiba. Susuriin din namin ang mga kasong ito.

Ngunit una, tingnan natin ang pinakasimpleng mga halimbawa kapag ang mga kumplikadong numero ay matatagpuan sa coordinate axes.

Halimbawa 7

Ipakita ang mga kumplikadong numero sa trigonometric form: ,,,. Isagawa natin ang pagguhit:

Sa katunayan, ang gawain ay pasalita. Para sa kalinawan, isusulat ko muli ang trigonometric form ng isang kumplikadong numero:

Tandaan natin nang mahigpit, ang modyul - haba(na laging hindi negatibo), ang pagtatalo ay iniksyon

1) Kumakatawan tayo sa isang numero sa trigonometric form. Hanapin natin ang modyul at argumento nito. Halata naman na. Pormal na pagkalkula ayon sa formula: Malinaw na (ang numero ay nakasalalay nang direkta sa tunay na positibong semiaxis). Kaya, isang numero sa trigonometric form:.

Kasing linaw ng araw, baligtarin ang pagkilos sa pag-verify:

2) Kinakatawan natin ang bilang sa form na trigonometric. Hanapin natin ang modyul at argumento nito. Halata naman na. Pormal na pagkalkula ayon sa formula: Malinaw na (o 90 degree). Sa pagguhit, ang sulok ay minarkahan ng pula. Kaya, ang bilang sa trigonometric form ay: .

Gamit , madali itong ibalik ang form na algebraic ng numero (kasabay ng pagganap ng tseke):

3) Kinakatawan natin ang bilang sa form na trigonometric. Hanapin natin ang modyul nito at

pagtatalo Halata naman na. Pormal na pagkalkula gamit ang formula:

Malinaw na (o 180 degree). Sa pagguhit, ang sulok ay minarkahan ng asul. Kaya, isang numero sa trigonometric form:.

Pagsusulit:

4) At ang pang-apat na kawili-wiling kaso. Halata naman na. Pormal na pagkalkula ayon sa formula:

Ang argumento ay maaaring nakasulat sa dalawang paraan: Ang unang paraan: (270 degree), at, nang naaayon: ... Pagsusulit:

Gayunpaman, ang sumusunod na panuntunan ay mas pamantayan: Kung ang anggulo ay mas malaki sa 180 degree, pagkatapos ay nakasulat ito ng isang minus sign at ang kabaligtaran na oryentasyon ("pag-scroll") ng anggulo: (minus 90 degree), sa pagguhit ang anggulo ay minarkahan ng berde. Madali itong makita

alin ang parehong anggulo.

Samakatuwid, ang tala ay kumukuha ng form:

Pansin! Sa anumang kaso hindi mo dapat gamitin ang pantay ng cosine, ang kakatwa ng sine at isagawa ang karagdagang "pagpapasimple" ng talaan:

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang upang gunitain ang hitsura at mga pag-aari ng mga trigonometric at kabaligtaran na mga function ng trigonometric, ang mga sanggunian na materyales ay nasa huling mga talata ng pahina ng Mga graphic at mga katangian ng pangunahing mga pagpapaandar ng elementarya. At mas madaling malaman ang mga kumplikadong numero!

Sa disenyo ng pinakasimpleng mga halimbawa, dapat itong isulat : "Ito ay halata na ang modulus ay ... halata na ang pagtatalo ay ..."... Ito ay talagang halata at madaling malulutas nang pasalita.

Lumipat tayo sa mas karaniwang mga kaso. Walang mga problema sa modyul, dapat mong palaging gumamit ng isang formula. Ngunit ang mga formula para sa paghanap ng argumento ay magkakaiba, depende ito sa kung aling coordinate quarter ang bilang. Sa kasong ito, posible ang tatlong mga pagpipilian (kapaki-pakinabang upang isulat muli ang mga ito):

1) Kung (ika-1 at ika-4 na coordinate quarters, o kanang kalahating eroplano), kung gayon ang argumento ay dapat na matagpuan ng pormula.

2) Kung (2nd coordinate quarter), kung gayon ang argument ay dapat na matagpuan sa pamamagitan ng formula .

3) Kung (ika-3 na coordinate quarter), kung gayon ang argumento ay dapat na matagpuan sa pamamagitan ng formula .

Halimbawa 8

Ipakita ang mga kumplikadong numero sa trigonometric form: ,,,.

Hangga't may mga handa nang pormula, kung gayon ang pagguhit ay hindi kinakailangan. Ngunit may isang punto: kapag hiniling ka na kumatawan sa isang numero sa form na trigonometric, kung gayon ang pagguhit ay mas mahusay na magpatupad sa anumang kaso... Ang katotohanan ay ang isang solusyon na walang pagguhit ay madalas na tinanggihan ng mga guro, ang kawalan ng pagguhit ay isang seryosong dahilan para sa minus at hindi pagtanggap.

Kinakatawan namin ang mga numero at sa kumplikadong anyo, ang una at pangatlong numero ay para sa isang malayang solusyon.

Kumakatawan tayo sa isang numero sa trigonometric form. Hanapin natin ang modyul at argumento nito.

Dahil (kaso 2), pagkatapos

- Dito kailangan mong gamitin ang kakaibang arctangent. Sa kasamaang palad, ang talahanayan ay walang isang halaga, kaya sa mga ganitong kaso ang pagtatalo ay dapat iwanang sa isang masalimuot na form: - mga numero sa trigonometric form.

Kumakatawan tayo sa isang numero sa trigonometric form. Hanapin natin ang modyul at argumento nito.

Dahil (case 1), pagkatapos (minus 60 degrees).

Ganito:

–Bilang sa trigonometric form.

At dito, tulad ng nabanggit na, ang kahinaan Bawal hawakan.

Bilang karagdagan sa nakakatawang grapikong pamamaraan ng pag-verify, mayroon ding isang analitikal na pag-verify, na natupad sa Halimbawa 7. Gumagamit kami ng talahanayan ng mga halaga ng trigonometric function, habang isinasaalang-alang na ang anggulo ay eksaktong tabular na anggulo (o 300 degree): - ang mga numero sa orihinal na form na algebraic.

Ang mga numero at kumakatawan sa trigonometric form na iyong sarili. Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

Sa pagtatapos ng seksyon, maikling tungkol sa exponential form ng isang kumplikadong numero.

Anumang kumplikadong numero (maliban sa zero) ay maaaring isulat sa exponential form:

Nasaan ang modulus ng isang kumplikadong numero, at ang argument ng kumplikadong numero.

Ano ang kailangan mong gawin upang kumatawan sa isang kumplikadong numero nang exponentially? Halos pareho: isagawa ang pagguhit, hanapin ang module at ang argumento. At isulat ang bilang bilang.

Halimbawa, para sa bilang ng nakaraang halimbawa, nakakita kami ng isang module at isang argument:,. Pagkatapos ang numerong ito ay isusulat sa exponential form tulad ng sumusunod:

Ganito ang magiging hitsura ng isang exponential number:

Bilang - Kaya:

Ang payo lang huwag hawakan ang tagapagpahiwatig exponents, hindi na kailangang muling ayusin ang mga kadahilanan, buksan ang panaklong, atbp. Ang isang kumplikadong numero sa exponential form ay nakasulat mahigpit sa hugis.

3.1. Mga coordinate ng polar

Sa isang eroplano ay madalas na ginagamit polar coordinate system ... Ito ay tinukoy kung ang isang punto O ay ibinigay, na tinatawag poste, at isang sinag na nagmumula sa poste (para sa amin, ito ang axis Ang Ox) ay ang polar axis. Ang posisyon ng point M ay naayos na may dalawang numero: ang radius (o radius vector) at ang anggulo φ sa pagitan ng polar axis at ng vector. Ang anggulo φ ay tinawag anggulo ng polar; sinusukat sa mga radian at binibilang pabaliktad mula sa polar axis.

Ang posisyon ng isang punto sa polar coordinate system ay tinukoy ng isang iniutos na pares ng mga numero (r; φ). Sa poste r = 0, at ang φ ay hindi natukoy. Para sa lahat ng iba pang mga puntos r> 0, at φ ay tinukoy hanggang sa isang maramihang 2π. Sa kasong ito, ang mga pares ng mga numero (r; φ) at (r 1; φ 1) ay nauugnay sa parehong punto kung.

Para sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate xOy Ang mga coordinate ng Cartesian ng isang punto ay madaling ipahayag sa mga tuntunin ng mga polar coordinate nito tulad ng sumusunod:

3.2. Geometric interpretasyon ng isang kumplikadong bilang

Isaalang-alang sa eroplano ang isang Cartesian hugis-parihaba na coordinate system xOy.

Anumang kumplikadong numero z = (a, b) ay nakatalaga ng isang punto sa eroplano na may mga coordinate ( x, y), saan coordinate x = a, ibig sabihin ang totoong bahagi ng kumplikadong numero, at ang coordinate y = bi ay ang haka-haka na bahagi.

Ang eroplano na ang mga puntos ay kumplikadong mga numero ay ang kumplikadong eroplano.

Sa pigura, ang kumplikadong bilang z = (a, b) tugma ng point M (x, y).

Ehersisyo.Gumuhit ng mga kumplikadong numero sa koordinasyong eroplano:

3.3. Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero sa isang eroplano ay may mga coordinate ng isang punto M (x; y)... Kung saan:

Notasyon ng kumplikadong numero - trigonometric form ng isang kumplikadong numero.

Ang numero r ay tinawag modyul kumplikadong numero z at ipinahiwatig ng. Ang modulus ay isang hindi negatibong tunay na numero. Para kay .

Ang modulus ay zero kung at kung lamang z = 0, ibig sabihin a = b = 0.

Ang numero φ ay tinawag argumento z at tinukoy... Ang argument z ay tinukoy nang hindi malinaw, pati na rin ang anggulo ng polar sa polar coordinate system, lalo, hanggang sa isang maramihang 2π.

Pagkatapos ay kukuha kami ng :, kung saan ang smallest ay ang pinakamaliit na halaga ng argument. Halata naman na

Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng paksa, ipinakilala ang isang pandiwang pantulong na φ *, ganoon

Halimbawa 1... Hanapin ang trigonometric form ng isang kumplikadong numero.

Solusyon 1) isaalang-alang ang modyul :;

2) hinahanap namin ang φ: ;

3) trigonometric form:

Halimbawa 2. Hanapin ang algebraic form ng isang kumplikadong numero .

Narito sapat na upang mapalitan ang mga halaga ng mga function na trigonometric at ibahin ang anyo ng expression:

Halimbawa 3. Hanapin ang modulus at argument ng isang kumplikadong numero;

1) ;

2); φ - sa 4 na tirahan:

3.4. Mga pagkilos na may mga kumplikadong numero sa trigonometric form

· Pagdagdag at pagbawas mas maginhawa upang gumanap sa mga kumplikadong numero sa algebraic form:

· Pagpaparami- Paggamit ng mga simpleng pagbabago ng trigonometric, maaaring ipakita iyon kapag dumarami, ang mga module ng mga numero ay pinarami, at idinagdag ang mga argumento: ;

Mga Numero ng KOMPLEX XI

§ 256. Trigonometric form ng mga kumplikadong numero

Hayaan ang kumplikadong numero isang + bi tumutugma sa vector OA naman> na may mga coordinate ( a, b ) (tingnan ang fig. 332).

Tinukoy namin ang haba ng vector na ito sa pamamagitan ng r , at ang anggulo na nabubuo nito gamit ang axis NS , sa kabila φ ... Sa pamamagitan ng kahulugan ng sine at cosine:

a / r = cos φ , b / r = kasalanan φ .

Kaya pala a = r cos φ , b = r kasalanan φ ... Ngunit sa kasong ito, ang kumplikadong bilang isang + bi maaaring isulat bilang:

isang + bi = r cos φ + ir kasalanan φ = r (cos φ + ako kasalanan φ ).

Tulad ng alam mo, ang parisukat ng haba ng anumang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito. Kaya pala r 2 = a 2 + b 2, saan nagmula r = √a 2 + b 2

Kaya, anumang kumplikadong numero isang + bi maaaring kinatawan bilang :

isang + bi = r (cos φ + ako kasalanan φ ), (1)

saan r = √a 2 + b 2, at ang anggulo φ ay natutukoy mula sa kundisyon:

Ang form na ito ng pagsulat ng mga kumplikadong numero ay tinatawag trigonometric.

Bilang r sa pormula (1) ay tinawag modyul at ang anggulo φ - pagtatalo, kumplikadong numero isang + bi .

Kung ang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon positibo ang modulus nito; kung isang + bi = 0, kung gayon a = b = 0 at pagkatapos r = 0.

Ang modulus ng anumang kumplikadong numero ay natatanging natukoy.

Kung ang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang argumento nito ay natutukoy ng mga formula (2) walang pag-aalinlangan tumpak sa isang anggulo ng maramihang 2 π ... Kung isang + bi = 0, kung gayon a = b = 0. Sa kasong ito r = 0. Mula sa pormula (1) madaling maunawaan iyon bilang isang pagtatalo φ sa kasong ito, maaari kang pumili ng anumang anggulo: pagkatapos ng lahat, para sa anumang φ

0 (cos φ + ako kasalanan φ ) = 0.

Samakatuwid, ang zero argument ay hindi natukoy.

Module ng kumplikadong numero r minsan nagpapahiwatig ng | z | at ang arg argument z ... Tingnan natin ang ilang mga halimbawa kung paano maaaring kumatawan sa mga kumplikadong numero sa trigonometric form.

Halimbawa. 1. 1 + ako .

Hanapin ang modyul r at ang pagtatalo φ itong numero.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Samakatuwid, kasalanan φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, saan nagmula φ = π / 4 + 2nπ .

Kaya,

1 + ako = √ 2 ,

kung saan NS - anumang integer. Karaniwan, mula sa isang walang katapusang hanay ng mga halaga ng argument ng isang kumplikadong numero, ang isa ay napili na namamalagi sa pagitan ng 0 at 2 π ... Sa kasong ito, ang halagang ito ay π / 4. Kaya pala

1 + ako = √ 2 (cos π / 4 + ako kasalanan π / 4)

Halimbawa 2. Sumulat ng isang kumplikadong numero sa trigonometric form √ 3 - ako ... Meron kami:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, kasalanan φ = - 1 / 2

Samakatuwid, hanggang sa isang anggulo ng maramihang 2 π , φ = 11 / 6 π ; kaya,

√ 3 - ako = 2 (cos 11/6 π + ako kasalanan 11/6 π ).

Halimbawa 3 Sumulat ng isang kumplikadong numero sa trigonometric form ako

Komplikadong numero ako tumutugma sa vector OA naman> nagtatapos sa point A ng axis sa na may ordinate 1 (fig. 333). Ang haba ng naturang isang vector ay 1, at ang anggulo na ginagawa nito sa abscissa ay π / 2. Kaya pala

ako = cos π / 2 + ako kasalanan π / 2 .

Halimbawa 4. Isulat ang kumplikadong bilang 3 sa trigonometric form.

Ang kumplikadong bilang 3 ay tumutugma sa vector OA naman > NS abscissa 3 (Larawan 334).

Ang haba ng naturang isang vector ay 3, at ang anggulo na ginagawa nito sa abscissa ay 0. Samakatuwid,

3 = 3 (cos 0 + ako kasalanan 0),

Halimbawa 5. Isulat ang kumplikadong bilang -5 sa trigonometric form.

Ang kumplikadong bilang -5 ay tumutugma sa vector OA naman> nagtatapos sa isang axis point NS na may isang abscissa -5 (Larawan 335). Ang haba ng naturang isang vector ay 5, at ang anggulo na binubuo nito sa abscissa ay π ... Kaya pala

5 = 5 (cos π + ako kasalanan π ).

Ehersisyo

2047. Isulat ang mga kumplikadong numero na ito sa trigonometric form, na tumutukoy sa kanilang mga module at argumento:

1) 2 + 2√3 ako , 4) 12ako - 5; 7).3ako ;

2) √3 + ako ; 5) 25; 8) -2ako ;

3) 6 - 6ako ; 6) - 4; 9) 3ako - 4.

2048. Ipahiwatig sa eroplano ang hanay ng mga puntos na kumakatawan sa mga kumplikadong numero, ang moduli r at ang mga argumento φ kung saan natutugunan ang mga kundisyon:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Maaari bang ang mga module ng isang kumplikadong bilang ay mga numero sa parehong oras? r at - r ?

2050. Maaari ba ang mga anggulo na maging argumento ng isang kumplikadong numero nang sabay? φ at - φ ?

Upang kumatawan sa mga kumplikadong numero sa trigonometric form, na tumutukoy sa kanilang mga module at argumento:

2051 *. 1 + cos α + ako kasalanan α ... 2054 *. 2 (cos 20 ° - ako kasalanan 20 °).

2052 *. kasalanan φ + ako cos φ ... 2055 *. 3 (- cos 15 ° - ako kasalanan 15 °).

Panayam

Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Plano

1. Paglalarawan ng geometriko ng mga kumplikadong numero.

2. Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

3. Mga pagkilos sa mga kumplikadong numero sa trigonometric form.

Ang representasyong geometriko ng mga kumplikadong numero.

a) Ang mga kumplikadong numero ay kinakatawan ng mga puntos ng eroplano ayon sa sumusunod na panuntunan: a + bi = M ( a ; b ) (fig. 1).

Larawan 1

b) Ang isang kumplikadong numero ay maaaring kinatawan ng isang vector na nagsisimula sa puntoO at ang pagtatapos sa puntong ito (Larawan 2).

Figure 2

Halimbawa 7. Mga puntos ng plot na kumakatawan sa mga kumplikadong numero:1; - ako ; - 1 + ako ; 2 – 3 ako (fig. 3).

Larawan 3

Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

Komplikadong numeroz = a + bi maaaring maitakda gamit ang radius vector may mga coordinate( a ; b ) (fig 4).

Larawan 4

Kahulugan . Ang haba ng vector na kumakatawan sa isang kumplikadong numeroz , ay tinawag na modulus ng bilang na ito at na-denote or .

Para sa anumang kumplikadong numeroz modyul nitor = | z | ay natutukoy nang hindi malinaw sa pamamagitan ng pormula .

Kahulugan . Ang laki ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng tunay na axis at ang vector ang kumakatawan sa isang kumplikadong numero ay tinawag na argumento ng kumplikadong bilang na ito at na-denoteA rg z oφ .

Komplikadong argumento ng numeroz = 0 hindi natukoy Komplikadong argumento ng numerozAng ≠ 0 ay isang multivalued na dami at natutukoy hanggang sa term2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , saanarg z - ang pangunahing halaga ng argument, nakapaloob sa agwat(-π; π] , yan ay-π < arg z ≤ π (minsan ang pangunahing halaga ng argument ay kinuha bilang isang halaga na kabilang sa agwat .

Ang formula na ito para sar =1 madalas na tinukoy bilang formula ng Moivre:

(cos φ + kasalanan ko φ) n = cos (nφ) + kasalanan ko (nφ), n  N .

Halimbawa 11. Kalkulahin(1 + ako ) 100 .

Sumulat tayo ng isang kumplikadong numero1 + ako sa trigonometric form.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , kasalanan φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + kasalanan ko )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + kasalanan ko 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25) = 2 50 (cos π + i kasalanan π) = - 2 50 .

4) Kinukuha ang square root ng isang kumplikadong numero.

Kapag kumukuha ng square root ng isang kumplikadong numeroa + bi mayroon kaming dalawang kaso:

kungb > tungkol sa , kung gayon ;

Mga pagkilos sa mga kumplikadong bilang na nakasulat sa algebraic form

Ang form na algebraic ng kumplikadong bilang z =(a,b). ay tinatawag na isang algebraic expression ng form

z = a + bi.

Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 ako at z 2 = a 2 + b 2 ako nakasulat sa algebraic form ay isinasagawa tulad ng sumusunod.

1. Ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga kumplikadong numero

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ± b 2)∙ ako,

mga yan ang pagdaragdag (pagbabawas) ay isinasagawa alinsunod sa patakaran ng pagdaragdag ng mga polynomial na may pagbawas ng mga katulad na termino.

2. Produkto ng mga kumplikadong numero

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ a 2 - b 1 ∙ b 2) + (a 1 ∙ b 2 + a 2 ∙ b 1)∙ ako,

mga yan Ang pagpaparami ay ginaganap ayon sa karaniwang panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, isinasaalang-alang ang katunayan na ako 2 = 1.

3. Ang paghahati ng dalawang kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa sumusunod na panuntunan:

, (z 2 ≠ 0),

mga yan ang paghahati ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-multiply ng dividend at ang divisor ng conjugate ng divisor.

Ang exponentiation ng mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Madali itong ipakita

Mga halimbawa ng.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga kumplikadong numero z 1 = 2 – ako at z 2 = – 4 + 3ako

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ ako)+ (–4 + 3ako) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ako = –2+2ako

2. Hanapin ang produkto ng mga kumplikadong numero z 1 = 2 – 3ako at z 2 = –4 + 5ako

= (2 – 3ako) ∙ (–4 + 5ako) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ako)+ 2∙5ako– 3ako ∙ 5ako = 7+22ako

3. Hanapin ang pribado z mula sa paghahati z 1 = 3 - 2 na z 2 = 3 – ako

z = .

4. Malutas ang equation :, x at y Î R.

(2x + y) + (x + y)ako = 2 + 3ako

Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga kumplikadong numero, mayroon kaming:

kung saan x =–1 , y= 4.

5. Kalkulahin: ako 2 ,ako 3 ,ako 4 ,ako 5 ,ako 6 ,ako -1 , ako -2 .

6. Kalkulahin kung.

7. Kalkulahin ang katumbasan ng bilang z=3-ako.

Mga kumplikadong numero sa trigonometric form

Komplikadong eroplano tinawag na isang eroplano na may mga Cartesian coordinate ( x, y), kung ang bawat punto na may mga coordinate ( a, b) ay nakatalaga ng isang kumplikadong numero z = a + bi... Sa kasong ito, tinawag ang axis ng abscissa totoong axis, at ang ordinate axis ay haka-haka... Pagkatapos ang bawat kumplikadong numero isang + bi ay heometriko na inilalarawan sa isang eroplano bilang isang punto A (a, b) o vector.

Samakatuwid, ang posisyon ng punto A(at, samakatuwid, ang kumplikadong bilang z) ay maaaring tukuyin ng haba ng vector | | = r at anggulo j nabuo ng vector | | na may positibong direksyon ng tunay na axis. Ang haba ng vector ay tinatawag modulus ng isang kumplikadong numero at tinukoy ng | z | = r at ang anggulo j tinawag kumplikadong numero ng pagtatalo at tinukoy j = arg z.

Ito ay malinaw na | z| ³ 0 at | z | = 0 Û z = 0.

Fig. 2 ay ipinapakita iyon.

Ang pagtatalo ng isang kumplikadong numero ay natutukoy nang hindi malinaw, ngunit may katumpakan na 2 pk, kÎ Z.

Fig. 2 nakikita rin na kung z = a + bi at j = arg z, tapos

cos j =, kasalanan j =, tg j =.

Kung zÎR at z> 0, kung gayon arg z = 0 +2pk;

kung z ÎR at z< 0, kung gayon arg z = p + 2pk;

kung z = 0,arg z hindi natukoy

Ang pangunahing halaga ng argument ay natutukoy sa segment na 0 £ arg z£ 2 p,

o -p£ arg z £ p.

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang modulus ng mga kumplikadong numero z 1 = 4 – 3ako at z 2 = –2–2ako