Ang mga katawan ng rebolusyon na pinag-aralan sa paaralan ay isang silindro, isang kono at isang bola.
Kung sa isang problema sa pagsusulit sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo - isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte.
Mag-apply ng mga formula at dami ng lugar sa itaas para sa isang silindro, kono, at bola. Nasa table namin silang lahat. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.
Minsan magandang ideya na gumuhit ng isang nangungunang pagtingin. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.
2. Gaano karaming beses ang dami ng isang kono na inilarawan tungkol sa isang regular na quadrangular pyramid na mas malaki kaysa sa dami ng isang kono na nakasulat sa pyramid na ito?
Ito ay simple - gumuhit ng isang ilalim na view. Nakita namin na ang radius ng mas malaking bilog ay mas malaki ang beses kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong mga kono ay pareho. Dahil dito, ang dami ng mas malaking kono ay magiging dalawang beses na mas malaki.
Isa pang mahalagang punto. Tandaan na sa mga problema ng bahagi B ng mga pagkakaiba-iba ng USE sa matematika, ang sagot ay nakasulat sa anyo ng isang integer o isang pangwakas na decimal na maliit na bahagi. Samakatuwid, hindi dapat mayroong o sa iyong sagot sa bahagi B. Hindi mo rin kailangang palitan ang tinatayang halaga ng numero alinman! Tiyak na mababawasan ito!. Para sa mga ito, sa ilang mga problema ang gawain ay nakabalangkas, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral na ibabaw ng silindro na hinati sa".
At saan pa inilalapat ang mga formula para sa dami at pang-ibabaw na lugar ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problemang C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.
Alam namin kung ano ang isang kono, subukang hanapin ang ibabaw na lugar nito. Bakit mo kailangang malutas ang gayong problema? Halimbawa, kailangan mong maunawaan kung magkano ang kuwarta na pupunta upang makagawa ng isang waffle cone? O kung gaano karaming mga brick ang aabutin upang mailatag ang bubong ng brick ng isang kastilyo?
Hindi madaling sukatin ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono. Ngunit isipin natin ang parehong sungay na nakabalot sa tela. Upang hanapin ang lugar ng isang piraso ng tela, kailangan mong i-cut at ikalat ito sa mesa. Makakakuha kami ng isang flat figure, mahahanap natin ang lugar nito.
Larawan: 1. Seksyon ng kono sa kahabaan ng generatrix
Gawin din ang pareho sa kono. "Gupitin" natin ang pag-ilid na ibabaw nito kasama ang anumang generatrix, halimbawa, (tingnan ang Larawan 1).
Ngayon ay "inalis" namin ang pang-ibabaw na bahagi ng isang eroplano. Nakukuha natin ang sektor. Ang gitna ng sektor na ito ay ang tuktok ng kono, ang radius ng sektor ay katumbas ng generatrix ng kono, at ang haba ng arko nito ay kasabay ng pag-ikot ng base ng kono. Ang nasabing sektor ay tinatawag na walis ng lateral na ibabaw ng kono (tingnan ang Larawan 2).
Larawan: 2. Pag-unlad ng pag-ilid sa ibabaw
Larawan: 3. Pagsukat ng anggulo sa mga radian
Subukan nating hanapin ang lugar ng sektor mula sa magagamit na data. Una, ipakilala natin ang notasyon: hayaan ang anggulo sa tuktok ng sektor sa mga radiano (tingnan ang Larawan 3).
Madalas nating makitungo sa anggulo sa tuktok ng walis sa mga gawain. Sa ngayon, subukang sagutin ang tanong: hindi ba ang anggulo na ito ay maging higit sa 360 degree? Iyon ay, hindi ba magaganap na ang pag-scan ay magpapatong sa sarili nito? Syempre hindi. Patunayan natin ito sa matematika. Hayaan ang pag-scan na "superimpose" sa kanyang sarili. Nangangahulugan ito na ang haba ng sweep arc ay mas malaki kaysa sa paligid ng bilog ng radius. Ngunit, tulad ng nabanggit na, ang haba ng sweep arc ay ang haba ng bilog ng radius. At ang radius ng base ng kono, siyempre, ay mas mababa sa generatrix, halimbawa, dahil ang binti ng isang tatsulok na may tamang-kanan ay mas mababa kaysa sa hypotenuse
Pagkatapos tandaan natin ang dalawang mga formula mula sa kurso ng planimetry: haba ng arc. Lugar ng sektor:
Sa aming kaso, ang papel na ginagampanan ng generator , at ang haba ng arko ay katumbas ng paligid ng base ng kono, iyon ay. Meron kami:
Sa wakas nakukuha natin:.
Kasama ang pag-ilid sa ibabaw ng lugar, ang kabuuang lugar sa ibabaw ay maaari ring matagpuan. Para sa mga ito, ang baseng lugar ay dapat idagdag sa lateral na ibabaw na lugar. Ngunit ang base ay isang bilog ng radius, na ang lugar ay katumbas ng.
Sa wakas, mayroon kaming: , kung saan ang radius ng base ng silindro, ay ang generator.
Malutas natin ang isang pares ng mga problema sa paggamit ng ibinigay na mga formula.
Larawan: 4. Ang nais na anggulo
Halimbawa 1... Ang pipi na bahagi ng kono ay isang sektor na may anggulo ng tuktok. Hanapin ang anggulo na ito kung ang taas ng kono ay 4 cm at ang radius ng base ay 3 cm (tingnan ang Larawan 4).
Larawan: 5. Taas-anggulo na tatsulok na bumubuo ng isang kono
Sa pamamagitan ng unang aksyon, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakita namin ang generator: 5 cm (tingnan ang Larawan 5). Dagdag dito, alam natin iyan .
Halimbawa 2... Ang lugar ng seksyon ng ehe ng kono ay pantay, ang taas ay pantay. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw (tingnan ang Larawan 6).
Narito ang mga problema sa mga cones, ang kondisyon ay nauugnay sa kanyang lugar sa ibabaw. Sa partikular, sa ilang mga problema mayroong tanong ng pagbabago ng lugar na may pagtaas (pagbaba) sa taas ng kono o sa radius ng base nito. Teorya para sa paglutas ng problema sa. Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:
27135. Ang paligid ng base ng kono ay 3, ang generatrix ay 2. Hanapin ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono.
Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono ay:
Pinalitan namin ang data:
75697. Gaano karaming beses ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono ay tataas kung ang generatrix nito ay nadagdagan ng 36 beses, at ang radius ng base ay mananatiling pareho?
Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono:
Ang generatrix ay nadagdagan ng 36 beses. Ang radius ay mananatiling pareho, na nangangahulugang ang baso ng base ay hindi nagbago.
Nangangahulugan ito na ang lateral na ibabaw na lugar ng binagong kono ay magiging katulad ng:
Sa gayon, tataas ito ng 36 beses.
* Ang pagpapakandili ay prangka, kaya't ang problemang ito ay madaling malulutas nang pasalita.
27137. Ilang beses magbabawas ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono kung ang radius ng base nito ay nabawasan ng 1.5 beses?
Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono ay:
Ang radius ay nabawasan ng 1.5 beses, iyon ay:
Natagpuan namin na ang lateral na ibabaw na lugar ay nabawasan ng 1.5 beses.
27159. Ang taas ng kono ay 6, ang generatrix ay 10. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw na hinati ni Pi.
Buong ibabaw ng kono:
Hanapin ang radius:
Ang taas at generator ay kilala, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem kinakalkula namin ang radius:
Ganito:
Hinahati namin ang nakuha na resulta ni Pi at isulat ang sagot.
76299. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono ay 108. Ang isang seksyon ay iginuhit kahilera sa base ng kono, na hinahati ang taas sa kalahati. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng na-trim na kono.
Ang seksyon ay dumadaan sa gitna ng taas na parallel sa base. Nangangahulugan ito na ang base radius at ang generatrix ng cut-off na kono ay magiging 2 beses na mas mababa kaysa sa radius at generatrix ng orihinal na kono. Isusulat namin kung ano ang ibabaw na lugar ng cut off na kono:
Nakuha namin na ito ay magiging 4 na beses na mas mababa kaysa sa ibabaw na lugar ng orihinal, iyon ay, 108: 4 \u003d 27.
* Dahil ang orihinal at ang cut cone ay magkatulad na mga katawan, posible ring gamitin ang pagkakatulad na pag-aari:
27167. Ang radius ng base ng kono ay 3, ang taas ay 4. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono na hinati ni Pi.
Kabuuang pormula sa ibabaw ng kono:
Ang radius ay kilala, kinakailangan upang makahanap ng generator. 
Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem:
Ganito:
Hatiin ang resulta sa pamamagitan ni Pi at isulat ang sagot.
Isang gawain. Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono ay apat na beses sa base area. Hanapin kung ano ang cosine ng anggulo sa pagitan ng generatrix ng kono at ang eroplano ng base.
Ang batayang lugar ng kono ay: 
Ang lugar sa ibabaw ng kono (o sa simpleng ibabaw lamang ng kono) ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng base at ng gilid na bahagi.
Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono ay kinakalkula ng formula: S \u003d πR l, kung saan ang R ay ang radius ng base ng kono, at l - generatrix ng kono.
Dahil ang lugar ng base ng kono ay katumbas ng πR 2 (bilang ang lugar ng isang bilog), ang lugar ng buong ibabaw ng kono ay magiging katumbas ng: πR 2 + πR l \u003d πR (R + l).
Ang paghihiwalay ng formula para sa pag-ilid na lugar ng ibabaw ng isang kono ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng naturang pangangatuwiran. Hayaan ang pagguhit na ipakita ang pag-unlad ng pag-ilid sa ibabaw ng kono. Hinahati namin ang arko AB sa maraming pantay na bahagi hangga't maaari at ikinonekta ang lahat ng mga puntos sa dibisyon sa gitna ng arko, at ang mga katabi sa bawat isa sa pamamagitan ng mga chord.
Nakukuha namin ang isang serye ng pantay na mga tatsulok. Ang lugar ng bawat tatsulok ay ah / 2, saan at ay ang haba ng base ng tatsulok, a h - ang kanyang mataas.
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok ay: ah / 2 n = anh / 2, saan n ay ang bilang ng mga tatsulok.
Sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga dibisyon, ang kabuuan ng mga lugar ng mga triangles ay nagiging napakalapit sa lugar ng walisin, iyon ay, ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng kono. Ang kabuuan ng mga base ng mga tatsulok, ibig sabihin isang, nagiging napakalapit sa haba ng arc AB, ibig sabihin, sa paligid ng base ng kono. Ang taas ng bawat tatsulok ay nagiging napakalapit sa radius ng arko, iyon ay, sa generatrix ng kono.
Hindi pinapansin ang mga hindi gaanong pagkakaiba sa mga sukat ng mga dami na ito, nakukuha namin ang formula para sa pag-ilid na lugar sa ibabaw ng kono (S):
S \u003d C l / 2, kung saan ang C ay ang paligid ng base ng kono, l - generatrix ng kono.
Alam na С \u003d 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng bilog ng base ng kono, nakukuha namin ang: S \u003d πR l.
Tandaan Sa pormulang S \u003d C l / 2, ang tanda ng isang eksaktong, at hindi isang tinatayang, ang pagkakapantay-pantay ay itinakda, bagaman sa batayan ng pangangatuwiran sa itaas, maaari naming isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito sa isang tinatayang. Ngunit sa high school, napatunayan na ang pagkakapantay-pantay
S \u003d C l / 2 eksaktong, hindi tinatayang.
Teorama Ang pag-ilid sa ibabaw ng kono ay katumbas ng produkto ng paligid ng base at kalahati ng generatrix.
Ipasok natin ang ilang regular na pyramid sa kono (Larawan) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik r at l mga numero na nagpapahayag ng haba ng perimeter ng base at apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang pag-ilid sa ibabaw nito ay ipapakita ng produktong 1/2 r l .
Ipagpalagay na ngayon na ang bilang ng mga panig ng polygon na nakasulat sa base ay tumataas nang walang katiyakan. Pagkatapos ang perimeter r ay may gawi sa limitasyong kinuha bilang haba ng C ng paligid ng base, at ang apothem l ay magkakaroon ng isang cone generatrix bilang isang limitasyon (dahil sumusunod ito mula sa ΔSAK na SA - SK
1 / 2 r l, ay may posibilidad na limitahan 1/2 C
L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng pag-ilid sa ibabaw ng kono. Na itinalaga ang lateral na ibabaw ng kono na may letrang S, maaari kaming magsulat:
S \u003d 1/2 C L \u003d C 1/2 L
Mga kahihinatnan.
1) Dahil sa C \u003d 2 π
R, pagkatapos ang lateral na ibabaw ng kono ay ipinahiwatig ng pormula:
S \u003d 1/2 2π R L \u003d π RL
2) Nakukuha namin ang buong ibabaw ng kono kung idinagdag namin ang gilid na bahagi sa base area; samakatuwid, na nagpapahiwatig ng kumpletong ibabaw ng T, magkakaroon kami ng:
T \u003d π RL + π R 2 \u003d π R (L + R)
Teorama Ang lateral na ibabaw ng pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng haba ng mga bilog ng mga base at ang generator.
Ipasok natin ang ilang regular na pinutol na pyramid sa pinutol na kono (Larawan.) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik p, p 1 at l mga bilang na nagpapahayag, sa pantay na mga yunit ng linear, ang haba ng mga perimeter ng mas mababang at itaas na mga base at ang apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang pag-ilid sa itaas ng nakasulat na pyramid ay 1/2 ( p + p 1) l
Na may isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga mukha sa gilid ng nakasulat na pyramid, ang mga perimeter r at r 1 ay may gawi sa mga limitasyong kinuha bilang haba ng C at C 1 ng mga base na bilog, at ang apothem l ay may isang limitasyong generator L ng isang pinutol na kono. Dahil dito, ang halaga ng pag-ilid sa itaas ng nakasulat na pyramid ay may kaugaliang sa limitasyong katumbas ng (C + C 1) L. Ang limitasyong ito ay kinukuha bilang halaga ng pag-ilid na ibabaw ng pinutol na kono. Ang pagtukoy sa lateral na ibabaw ng pinutol na kono ng titik S, magkakaroon kami ng:
S \u003d 1/2 (C + C 1) L
Mga kahihinatnan.
1) Kung ang R at R 1 ay nangangahulugang ang radii ng mga bilog ng mas mababa at itaas na mga base, kung gayon ang pag-ilid na ibabaw ng pinutol na kono ay:
S \u003d 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L \u003d π (R + R 1) L.
2) Kung sa trapezoid OO 1 A 1 A (Larawan.), Mula sa pag-ikot kung saan nakuha ang isang pinutol na kono, iginuhit namin ang gitnang linya BC, pagkatapos ay nakukuha namin:
BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),
R + R 1 \u003d 2BC.
Dahil dito,
S \u003d 2 π BC L,
ibig sabihin ang lateral na ibabaw ng pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng sirkulasyon ng gitnang seksyon ng generator.
3) Ang buong ibabaw ng T ng pinutol na kono ay ipinahayag bilang mga sumusunod:
T \u003d π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)