Ang fractional number ay isang integer. Ano ang mga rational na numero? Ano ang iba

Mga rational na numero

quarters

Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging tukuyin sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong relasyon: "< », « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang hindi positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
pagsusuma ng mga fraction
dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod: .
Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas kaunti b at b mas kaunti c, pagkatapos a mas kaunti c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga makatwirang numero ay hindi tinutukoy bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila direktang nakabatay sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring patunayan sa batayan ng mga ibinigay na pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwiran dito na banggitin lamang ang ilan sa mga ito.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Itakda ang countability

Pagbilang ng mga rational na numero

Ang pinakasimple sa mga algorithm na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ika-kolum na kung saan ay isang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy , kung saan i- ang row number ng table kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon 1 / 1 ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon 2 / 1 - ang numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksiyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.

Kasunod ng algorithm na ito, maaaring isa-isahin ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero, sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero ng kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang pagsasama ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.

Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay magkakaroon ng impresyon na ito ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ang kaso, at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero

Mga rational na numero ng form 1 / n sa kabuuan n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng isang mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring masukat ang anumang mga geometriko na distansya sa pangkalahatan. Madaling ipakita na hindi ito totoo.

Mga Tala

Panitikan

I. Kushnir. Handbook ng matematika para sa mga mag-aaral. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Panimula sa set theory at pangkalahatang topology. - M.: ulo. ed. Phys.-Math. naiilawan ed. "Agham", 1977
I. L. Khmelnitsky. Panimula sa teorya ng algebraic system

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tulad ng nakita natin, ang hanay ng mga natural na numero

ay sarado sa ilalim ng karagdagan at pagpaparami, at ang hanay ng mga integer

sarado sa ilalim ng karagdagan, pagpaparami at pagbabawas. Gayunpaman, wala sa mga set na ito ang sarado sa ilalim ng dibisyon, dahil ang paghahati ng mga integer ay maaaring humantong sa mga fraction, tulad ng sa mga kaso ng 4/3, 7/6, -2/5, at iba pa. Ang hanay ng lahat ng naturang mga fraction ay bumubuo sa hanay ng mga rational na numero. Kaya, ang rational na numero (rational fraction) ay isang numero na maaaring katawanin bilang , kung saan ang a at d ay mga integer, at ang d ay hindi katumbas ng zero. Gumawa tayo ng ilang mga puna tungkol sa kahulugan na ito.

1) Hinihiling namin na ang d ay iba sa zero. Ang pangangailangang ito (matematikong isinulat bilang hindi pagkakapantay-pantay ) ay kinakailangan dahil dito ang d ay isang divisor. Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:

Kaso 1. .

Kaso 2. .

Sa kaso 1, ang d ay isang divisor sa kahulugan ng nakaraang kabanata, ibig sabihin, ang 7 ay isang eksaktong divisor ng 21. Sa kaso 2, ang d ay isang divisor pa rin, ngunit sa ibang kahulugan, dahil ang 7 ay hindi isang eksaktong divisor ng 25.

Kung ang 25 ay tinatawag na isang divisible at 7 isang divisor, kung gayon makuha natin ang quotient 3 at ang natitira 4. Kaya, ang salitang divisor ay ginagamit dito sa isang mas pangkalahatang kahulugan at nalalapat sa mas maraming mga kaso kaysa sa Ch. I. Gayunpaman, sa mga kaso tulad ng Case 1, ang konsepto ng isang divisor na ipinakilala sa Ch. ako; samakatuwid ito ay kinakailangan, tulad ng sa Chap. I, ibukod ang posibilidad na d = 0.

2) Tandaan na, habang ang mga expression na rational number at rational fraction ay magkasingkahulugan, ang salitang fraction mismo ay ginagamit upang tumukoy sa anumang algebraic expression na binubuo ng numerator at denominator, tulad ng, halimbawa,

3) Kasama sa kahulugan ng rational number ang expression na “isang numero na maaaring katawanin bilang , kung saan ang a at d ay mga integer at . Bakit hindi ito mapalitan ng ekspresyong “isang numero ng anyo kung saan ang a at d ay mga integer at Ang dahilan nito ay ang katotohanan na mayroong walang katapusang maraming paraan upang ipahayag ang parehong fraction (halimbawa, 2/3 ay maaari ding isulat bilang 4/6, 6/9, o o 213/33, o atbp.), at ito ay kanais-nais para sa amin na ang aming kahulugan ng isang rational na numero ay hindi nakasalalay sa isang partikular na paraan ng pagpapahayag nito.

Ang isang fraction ay binibigyang kahulugan sa paraang hindi nagbabago ang halaga nito kapag ang numerator at denominator ay pinarami ng parehong numero. Gayunpaman, hindi laging posible na sabihin sa pamamagitan lamang ng pagtingin sa isang partikular na bahagi kung ito ay makatuwiran o hindi. Isaalang-alang, halimbawa, ang mga numero

Wala sa mga ito sa notasyong napili namin ang may form , kung saan ang a at d ay mga integer.

Maaari naming, gayunpaman, magsagawa ng isang serye ng mga pagbabagong aritmetika sa unang bahagi at makakuha

Kaya, dumating tayo sa isang fraction na katumbas ng orihinal na fraction kung saan . Ang bilang ay samakatuwid ay makatwiran, ngunit ito ay hindi magiging makatwiran kung ang kahulugan ng isang makatwirang numero ay nangangailangan na ang numero ay nasa anyong a/b, kung saan ang a at b ay mga integer. Sa kaso ng isang bahagi ng conversion

humantong sa isang numero. Sa mga susunod na kabanata, malalaman natin na ang isang numero ay hindi maaaring katawanin bilang isang ratio ng dalawang integer, at samakatuwid ay hindi makatwiran, o sinasabing hindi makatwiran.

4) Tandaan na ang bawat integer ay makatwiran. Gaya ng nakita na natin, totoo ito sa kaso ng numero 2. Sa pangkalahatang kaso ng mga arbitrary integer, maaari ding magtalaga ng denominator na katumbas ng 1 sa bawat isa sa kanila at makuha ang kanilang representasyon bilang rational fractions.

) ay mga numerong may positibo o negatibong tanda (integer at fractional) at sero. Ang isang mas tumpak na konsepto ng mga rational na numero ay parang ganito:

makatwirang numero- isang numero na kinakatawan ng isang simpleng fraction m/n, kung saan ang numerator m ay mga buong numero, at ang denominator n- mga integer, halimbawa 2/3.

Ang mga infinite non-periodic fraction ay HINDI kasama sa hanay ng mga rational na numero.

a/b, saan a∈ Z (a nabibilang sa mga integer) b∈ N (b nabibilang sa mga natural na numero).

Paggamit ng mga rational na numero sa totoong buhay.

Sa totoong buhay, ang hanay ng mga rational na numero ay ginagamit upang mabilang ang mga bahagi ng ilang integer na nahahati na mga bagay, Halimbawa, mga cake, o iba pang pagkain na hinihiwa-hiwain bago kainin, o para sa isang magaspang na pagtatantya ng mga spatial na relasyon ng mga pinahabang bagay.

Mga katangian ng mga rational na numero.

Mga pangunahing katangian ng mga rational na numero.

1. kaayusan a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging makilala sa pagitan nila 1-ngunit at isa lamang sa 3 relasyon: "<», «>" o "=". Ang panuntunang ito ay- tuntunin sa pag-order at bumalangkas ng ganito:

2 positibong numero a=m a /n a at b=m b /n b nauugnay sa parehong relasyon bilang 2 integer m a⋅ nb at m b⋅ n a;
2 negatibong numero a at b nauugnay sa parehong kaugnayan ng 2 positibong numero |b| at |a|;
kailan a positibo, at b- negatibo, kung gayon a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Pagdaragdag ng operasyon. Para sa lahat ng mga rational na numero a at b meron tuntunin sa pagbubuod, na naglalagay sa kanila sa pagsusulatan sa isang tiyak na makatwirang numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c- ito sum numero a at b at tinutukoy bilang (a+b) pagbubuod.

Panuntunan sa pagbubuod parang ganyan:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. pagpaparami ng operasyon. Para sa lahat ng mga rational na numero a at b meron tuntunin sa pagpaparami, iniuugnay nito ang mga ito sa isang tiyak na makatwirang numero c. Ang numero c ay tinatawag trabaho numero a at b at magpakilala (a⋅b), at ang proseso ng paghahanap ng numerong ito ay tinatawag pagpaparami.

tuntunin sa pagpaparami parang ganyan: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang tatlong rational na numero a, b at c kung a mas kaunti b at b mas kaunti c, pagkatapos a mas kaunti c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Commutativity ng karagdagan. Mula sa isang pagbabago sa mga lugar ng mga makatwirang termino, ang kabuuan ay hindi nagbabago.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod ng pagdaragdag ng 3 rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Pagkakaroon ng zero. Mayroong rational number 0, pinapanatili nito ang bawat iba pang rational number kapag idinagdag.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang bawat rational na numero ay may kabaligtaran na rational na numero, ang pagdaragdag sa mga ito nang magkasama ay magreresulta sa 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod ng pagpaparami ng 3 rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Availability ng isang unit. Mayroong rational number 1, pinapanatili nito ang bawat iba pang rational number sa proseso ng multiplication.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational na numero maliban sa zero ay may inverse rational number, na nagpaparami kung saan makakakuha tayo ng 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay nauugnay sa pagdaragdag gamit ang batas ng pamamahagi:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay idinaragdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Koneksyon ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Ang kaliwa at kanang bahagi ng isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply sa parehong hindi-negatibong rational na numero.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, madaling kumuha ng napakaraming unit na magiging mas malaki ang kanilang kabuuan a.

Mga rational na numero

quarters

Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging tukuyin sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong relasyon: "< », « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang hindi positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
pagsusuma ng mga fraction
dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod: .
Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas kaunti b at b mas kaunti c, pagkatapos a mas kaunti c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Itakda ang countability

Pagbilang ng mga rational na numero

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero

Mga Tala

Panitikan

I. Kushnir. Handbook ng matematika para sa mga mag-aaral. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Panimula sa set theory at pangkalahatang topology. - M.: ulo. ed. Phys.-Math. naiilawan ed. "Agham", 1977
I. L. Khmelnitsky. Panimula sa teorya ng algebraic system

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010 .

Set ng mga rational na numero

Ang hanay ng mga rational na numero ay ipinahiwatig at maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Lumalabas na ang iba't ibang mga entry ay maaaring kumatawan sa parehong fraction, halimbawa, at , (lahat ng mga fraction na maaaring makuha mula sa bawat isa sa pamamagitan ng multiply o paghahati sa parehong natural na numero ay kumakatawan sa parehong rational na numero). Dahil sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator ng isang fraction sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, makukuha ng isa ang tanging hindi mababawas na representasyon ng isang rational na numero, masasabi ng isa ang kanilang set bilang isang set hindi mababawasan mga fraction na may coprime integer numerator at natural denominator:

Narito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero at .

Ang hanay ng mga rational na numero ay isang natural na paglalahat ng hanay ng mga integer. Madaling makita na kung ang isang rational na numero ay may denominator , kung gayon ito ay isang integer. Ang hanay ng mga rational na numero ay nasa lahat ng dako sa axis ng numero: sa pagitan ng alinmang dalawang magkaibang rational na numero ay mayroong kahit isang rational na numero (at samakatuwid ay isang walang katapusang hanay ng mga rational na numero). Gayunpaman, lumalabas na ang hanay ng mga rational na numero ay may mabibilang na cardinality (iyon ay, ang lahat ng mga elemento nito ay maaaring palitan ng numero). Pansinin, sa pamamagitan ng paraan, na kahit na ang mga sinaunang Greeks ay kumbinsido sa pagkakaroon ng mga numero na hindi maaaring kinakatawan bilang isang fraction (halimbawa, pinatunayan nila na walang rational na numero na ang parisukat ay 2).

Terminolohiya

Pormal na kahulugan

Sa pormal na paraan, ang mga rational na numero ay tinukoy bilang ang set ng equivalence classes ng mga pares na may kinalaman sa equivalence relation if . Sa kasong ito, ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Mga kaugnay na kahulugan

Wasto, hindi wasto at halo-halong mga praksiyon

Tama Ang isang fraction ay tinatawag kung ang modulus ng numerator ay mas mababa kaysa sa modulus ng denominator. Ang mga wastong fraction ay kumakatawan sa mga rational na numero, modulo na mas mababa sa isa. Ang isang fraction na hindi wasto ay tinatawag mali at kumakatawan sa isang rational number na mas malaki sa o katumbas ng isang modulo.

Ang isang hindi wastong fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang buong bilang at isang wastong fraction na tinatawag halo-halong bahagi . Halimbawa, . Ang isang katulad na notasyon (na may nawawalang tanda ng karagdagan), bagama't ginagamit sa elementarya na arithmetic, ay iniiwasan sa mahigpit na panitikan sa matematika dahil sa pagkakapareho ng notasyon para sa isang pinaghalong fraction sa notasyon para sa produkto ng isang integer at isang fraction.

Taas ng shot

Taas ng isang karaniwang fraction ay ang kabuuan ng modulus ng numerator at denominator ng fraction na ito. Taas ng isang rational na numero ay ang kabuuan ng modulus ng numerator at denominator ng hindi mababawasang ordinaryong fraction na naaayon sa numerong ito.

Halimbawa, ang taas ng isang fraction ay . Ang taas ng katumbas na rational number ay , dahil ang fraction ay nababawasan ng .

Komento

Termino fractional number (fraction) minsan [ linawin] ay ginagamit bilang kasingkahulugan para sa termino makatwirang numero, at kung minsan ay kasingkahulugan para sa anumang non-integer na numero. Sa huling kaso, ang mga fractional at rational na numero ay magkaibang mga bagay, mula noon ang non-integer rational na mga numero ay isang espesyal na kaso lamang ng mga fractional na numero.

Ari-arian

Mga pangunahing katangian

Ang hanay ng mga rational na numero ay nakakatugon sa labing-anim na pangunahing katangian na madaling makuha mula sa mga katangian ng mga integer.

Kaayusan. Para sa anumang mga rational na numero, mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging tukuyin sa pagitan ng mga ito ang isa at isa lamang sa tatlong ugnayan: "", "" o "". Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at ay formulated bilang mga sumusunod: dalawang positibong numero at ay nauugnay sa pamamagitan ng parehong kaugnayan bilang dalawang integers at ; dalawang di-positibong numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglang hindi negatibo, ngunit - negatibo, kung gayon .
pagsusuma ng mga fraction
dagdag na operasyon. tuntunin sa pagbubuod sum mga numero at at ay tinutukoy ng , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero at mayroong tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang makatwirang numero. Ang numero mismo ay tinatawag trabaho mga numero at at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay may sumusunod na anyo: .
Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang triple ng mga rational na numero , at kung mas mababa sa at mas mababa sa , pagkatapos ay mas mababa sa , at kung katumbas ng at katumbas ng , pagkatapos ay katumbas ng .
Commutativity ng karagdagan. Mula sa isang pagbabago sa mga lugar ng mga makatwirang termino, ang kabuuan ay hindi nagbabago.
Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang hindi-zero na rational na numero ay may kabaligtaran na rational na numero, kung saan ang multiplikasyon ay nagbibigay ng 1.
Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality.
Koneksyon ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Ang kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality ay maaaring i-multiply sa parehong positibong rational number.
Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero, maaari kang kumuha ng napakaraming mga yunit na ang kanilang kabuuan ay lalampas.

Mga karagdagang katangian

Itakda ang countability

Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, sapat na upang magbigay ng isang algorithm na nagsasaad ng mga rational na numero, iyon ay, nagtatatag ng isang bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na mga numero. Ang sumusunod na simpleng algorithm ay maaaring magsilbi bilang isang halimbawa ng naturang konstruksiyon. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat -th row sa bawat -th column kung saan mayroong fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy ng , kung saan ang row number ng talahanayan kung saan matatagpuan ang cell, at ang numero ng column.

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon - ang bilang 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.

Siyempre, may iba pang mga paraan upang mabilang ang mga makatwirang numero. Halimbawa, para dito maaari kang gumamit ng mga istruktura tulad ng Calkin - Wilf tree, ang Stern - Brokaw tree o ang Farey series.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Tingnan din


	Buong mga numero

Mga rational na numero

Mga totoong numero Mga kumplikadong numero Quaternions

Mga Tala

Panitikan

I. Kushnir. Handbook ng matematika para sa mga mag-aaral. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Panimula sa set theory at pangkalahatang topology. - M.: ulo. ed. Phys.-Math. naiilawan ed. "Agham", 1977
I. L. Khmelnitsky. Panimula sa teorya ng algebraic system