Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0 , связывающее переменные величины x и у . Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у . Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 – 25 = 0,
sin x + sin y – 1 = 0.
Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством . Примеры тождеств: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0, (х + у)(х - у) - х 2 + у 2 = 0.
Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.
Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.
Определение.
Уравнение (1) называется уравнением линии α
(в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х
и у
любой точки, лежащей на линии α
, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.
Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида
F (P, φ) = 0 , содержащим полярные координаты.
- уравнение прямой с угловым коэффициентом;
Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ . Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α , на который нужно повернуть ось ОХ , чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К .
|
|||
|
|||
Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ , которой она отсекает на оси ОУ .
|
|
Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0 , то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.
- уравнение прямой, проходящей через две точки;
|
|
. Это уравнение, если у 1 ≠ у 2
, можно записать в виде:
Если у 1 = у 2 , то уравнение искомой прямой имеет вид у = у 1 . В этом случае прямая параллельна оси ОХ . Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 и М 2 , параллельна оси ОУ , ее уравнение имеет вид х = х 1 .
- уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;
|
|
и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В ≠ 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.
Доказательство.
Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b , т.е. уравнением вида (5), где
A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.
Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = - α. Тем самым доказано первое утверждение.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В ≠ 0 .
Если В ≠ 0
, то (5) можно записать в виде . Пологая 
, получаем уравнение у = kx + b
, т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.
Если В = 0 , то А ≠ 0 и (5) принимает вид . Обозначая через α, получаем
х = α , т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.
Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.
1) С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2) В = 0 (А ≠ 0) ; уравнение Ах + С = 0 Оу.
3) А = 0 (В ≠ 0) ; Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.
Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.
- нормальное уравнение прямой;
Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)
ее нормальное уравнение.
Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А 1х + В 1у + С 1 = 0 и
А 2х + В 2у + С 2 = 0 => 
) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МА х + МВ у + МС = 0
, совпадающее с уравнением (7) т.е.
МА = cos α, MB = sin α, MC = - P (8)
Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:
М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)
Уравнением линии на плоскости XOY называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. В общем случае уравнение линии может быть записано в виде 0), (yx. F или)(xfy
Пусть задана прямая, пересекающая ось у в точке В (0, в) и образующая с осью х угол α Выберем на прямой произвольную точку М(х, у).
x y M N
Координаты точки N (x , в). Из треугольника BMN: k – угловой коэффициент прямой. k x by NB MN tg bkxy
Рассмотрим частные случаи: — уравнение прямой, проходящей через начало координат. 10 bkxy 2 bytg 00 — уравнение прямой, параллельной оси х.
т. е. у вертикальной прямой нет углового коэффициента. 3 22 tg — не существует Уравнение прямой, параллельной оси у, в этом случае имеет вид ax где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х.
Пусть задана прямая, проходящая через заданную точку2 и образующая с осью х угол α), (111 yx. M
Т. к. точка М 1 лежит на прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению (1): Вычитаем это уравнение из уравнения (1): bkxy 11)(11 xxkyy
Если в этом уравнении угловой коэффициент не определен, то оно задает пучок прямых, проходящих через данную точку, кроме прямой, параллельной оси у, не имеющей углового коэффициента. xy
Пусть задана прямая, проходящая через две точки: Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М 1:), (111 yx. M), (222 yx. M)(11 xxkyy
Т. к. точка М 2 лежит на данной прямой, подставим ее координаты в уравнение пучка прямых:)(1212 xxkyy 12 12 xx yy k Подставляем k в уравнение пучка прямых. Тем самым мы выделяем из этого пучка прямую, проходящую через две данные точки:
1 12 12 1 xx xx yy yy или 12 1 xx xx yy yy
РЕШЕНИЕ. Подставляем координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки. 53 5 42 4 xy)5(8 6 4 xy 4 1 4 3 xy
Пусть задана прямая, отсекающая на осях координат отрезки, равные а и в. Это значит, что она проходит через точки)0, (a. A), 0(b. B Найдем уравнение этой прямой.
xy 0 ab
Подставим координаты точек А и В в уравнение прямой, проходящей через две точки (3): a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x
ПРИМЕР. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -1) если она отсекает от положительной полуоси у отрезок, вдвое больший, чем на положительной полуоси х.
РЕШЕНИЕ. По условию задачи, ab 2 Подставляем в уравнение (4): 1 2 a y a x Точка А(2, -1) лежит на этой прямой, следовательно ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx
Рассмотрим уравнение: Рассмотрим частные случаи этого уравнения и покажем, что при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, это уравнение есть уравнение прямой на плоскости. 0 CBy. Ax
Тогда уравнение (5) можно представить в виде: Тогда получаем уравнение (1): Обозначим: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy
Тогда уравнение имеет вид: Получаем уравнение: — уравнение прямой, проходящей через начало координат. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y — уравнение прямой, параллельной оси х.
Тогда уравнение имеет вид: Получаем уравнение: — уравнение оси х. 40 y 5 000 CAB — уравнение прямой, параллельной оси у. 000 CAB A C x
Тогда уравнение имеет вид: — уравнение оси у. 60 x 000 CAB Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости. Это
ли две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.3. Какая теорема называется обратной данной теореме?Приведите примеры теорем, обратных данным.4.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.5.Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.6.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.
Помогите Пожалуйста с вопросами по геометрии(9 класс)! 2)Что значит разложить вектор по двумданным векторам. 9)Что такое радиус-вектора точки?Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам векторов. 10)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца. 11)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его концов. 12) Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. 13)Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам. 15)Какое уравнение называется уравнением данной линии?Приведите пример. 16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.
1)Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
3)Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
4)Объясните, как вводится прямоугольная системы координат.
5)Что такое координатные векторы?
6)Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
7)Что такое координаты вектора?
8)Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
10)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.
11)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его концов.
12) Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
13)Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.
14)Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.
16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.
17)Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.
18)Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.
19)Напишите уравнение прямых, проходящих через данную точку M0 (X0: Y0) и параллельных осям координат.
20)Напишите уравнение осей координат.
21)Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.
Пожалуйста очень надо! Желательно с рисунками(где надо)!
ГЕОМЕТРИЯ 9 КЛАСС.1)Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2)Что значит разложить вектор по двум данным векторам.
3)Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
4)Объясните, как вводится прямоугольная системы координат.
5)Что такое координатные векторы?
6)Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
7)Что такое координаты вектора?
8)Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
9)Что такое радиус-вектора точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам векторов.
14)Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.
15)Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.
17)Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.
18)Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.
19)Напишите уравнение прямых, проходящих через данную точку M0 (X0: Y0) и параллельных осям координат.
20)Напишите уравнение осей координат.
21)Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.
Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа х = x 0 , у = y 0 удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.
Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F(x, у) = 0.
Если даны уравнения двух линий F(x, у)= 0 и Ф(x, у) = 0, то совместное решение системы
F(x,y) = 0, Ф(х, у) = 0
дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения,
157. Даны точки *) M 1 (2; -2), М 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + y = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)
158. На линии, определенной уравнением х 2 + у 2 = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)
159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1)x - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х 2 - хy = 0; 10) ху + у 2 = 0; 11) х 2 - у 2 = 0; 12) ху = 0; 13) у 2 - 9 = 0; 14) х 2 - 8x + 15 = 0; 15) у 2 + by + 4 = 0; 16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у - |х|; 18) х - |у|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |у| = 0; 21) у = |х - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х 2 + у 2 = 16; 24) (х - 2) 2 + {у- 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Даны линии: l)x + y = 0; 2)х - у = 0; 3)x 2 + у 2 - 36 = 0; 4) х 2 + у 2 - 2х + у = 0; 5) х 2 + у 2 + 4х - 6у - 1 = 0. Определить, какие из них проходят через начало координат.
161. Даны линии: 1) х 2 + у 2 = 49; 2) {х - 3) 2 + (у + 4) 2 = 25; 3) (х + 6) 2 + (y - З) 2 = 25; 4) (х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) х 2 + у 2 - 12x + 16у - 0; 6) х 2 + у 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) х 2 + у 2 - 6х + 4у + 12 = 0. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.
162. Найти точки пересечения двух линий:
1) х 2 + у 2 - 8; х - у =0;
2) х 2 + у 2 - 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;
3) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 3 = 0; х 2 + у 2 = 25;
4) х 2 + у 2 - 8y + 10у + 40 = 0; х 2 + у 2 = 4.
163. В полярной системе координат даны точки M 1 (l; π/3),M 2 (2; 0).М 3 (2; π/4), М 4 (√3; π/6) и M 5 (1; 2/3π). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = 2cosΘ, и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)
164. На линии, определенной уравнением p = 3/cosΘ найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) π/3 , б) - π/3, в) 0, г) π/6. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
165. На линии, определенной уравнением p = 1/sinΘ, найти точки, полярные радиусьмкоторых равны следующим числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Построить на черТёЖе следующие спйралй Архимеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.
168. Построить на чертеже следующие гиперболиче-ские спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Построить на чертеже следующие логарифми-ческие спирали: 1) р = 2 Θ ; 2) p = (1/2) Θ .
170. Определить длины отрезков, на которые рассе-кает спираль Архимеда р = 3Θ луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом Θ = π/6. Сделать чертеж.
171. На спирали Архимеда р = 5/πΘ взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.
172. На гиперболической спирали P = 6/Θ найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.
173. На логарифмической спирали р = 3 Θ найти точку P, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.
Давайте повторим * Какое уравнение называется квадратным? * Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? * Какое квадратное уравнение называется приведенным? * Что называют корнем квадратного уравнения? * Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение?
Алгоритм решения квадратного уравнения: 1. Опредилить каким способом рациональней решить квадратное уравнение 2. Выбрать наиболее рациональный способ решения 3. Определение количества корней квадратного уравнения 4. Нахождение корней квадратного уравнения Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу…
Дополнительное условие Уравнение Корни Примеры 1. в = с = 0, а 0 ах 2 = 0 х 1 = 0 2. с = 0, а 0, в 0 ах 2 + bх = 0 х 1 = 0, х 2 =-b/а 3. в = 0, а 0, в 0 ах 2 + с = 0 а) х 1,2 = ±(c/а), где с/а 0. б) если с/а 0, то решений нет 4. а 0 ах 2 + bх + с = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 а, где D = в 2 – 4 ас, D0 5. в – четное число (в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 х 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, где k = 6. Теорема обратная теореме Виета x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. Специальные методы 7. Метод выделения квадрата двучлена. Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. Пример: решите уравнение х 2 -6 х+8=0 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0 связаны соотношениями: и Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно. Пример: решите уравнение 2 х 2 -9 х-5=0 На основании теорем:Пример: решите уравнение 157 х х-177=0 9. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен с /а 10. Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен –с/а Пример: решите уравнение 203 х х+17=0 х 1 =у 1 /а, х 2 =у 2 /а
III. Общие методы решения уравнений 11. Метод разложения на множители. Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Способы: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Пример: решите уравнение 3 х 2 +2 х-1=0 12. Метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной Пример: решите уравнение (х 2 +3 х-25) 2 -6(х 2 +3 х-25)= - 8
