а. Нека бъдат дадени две прави линии. Тези прави линии, както е посочено в глава 1, образуват различни положителни и отрицателни ъгли, които могат да бъдат както остри, така и тъпи. Познавайки един от тези ъгли, лесно можем да намерим всеки друг.
Между другото, за всички тези ъгли числовата стойност на тангента е една и съща, разликата може да бъде само в знака
Уравнения на линии. Числата са проекциите на векторите на посоката на първата и втората права линия, ъгълът между тези вектори е равен на един от ъглите, образувани от прави линии. Следователно задачата се свежда до определяне на ъгъла между векторите, Получаваме
За простота можем да се съгласим ъгълът между две прави линии да означава остър положителен ъгъл (както например на фиг. 53).
Тогава допирателната на този ъгъл винаги ще бъде положителна. По този начин, ако се получи знак минус от дясната страна на формула (1), тогава трябва да го изхвърлим, тоест да запазим само абсолютната стойност.
Пример. Определете ъгъла между правите линии
По формула (1) имаме
с. Ако е посочено коя от страните на ъгъла е неговото начало и коя е краят, тогава, винаги отчитайки посоката на ъгъла обратно на часовниковата стрелка, можем да извлечем нещо повече от формула (1). Както е лесно да се види от фиг. 53 -ият знак, получен от дясната страна на формула (1), ще покаже кой - остър или тъп ъгъл образува втората права линия с първата.
(Всъщност от фиг. 53 виждаме, че ъгълът между първия и втория вектор на посоката е или равен на желания ъгъл между правите линии, или се различава от него с ± 180 °.)
д. Ако правите линии са успоредни, тогава техните вектори на посоката също са успоредни.Прилагайки условието за паралелност на два вектора, получаваме!
Това е необходимо и достатъчно условие за паралелност на две прави линии.
Пример. Директен
са успоредни, защото
д. Ако правите линии са перпендикулярни, тогава техните вектори на посоката също са перпендикулярни. Прилагайки условието за перпендикулярност на два вектора, получаваме условието за перпендикулярност на две прави линии, а именно
Пример. Директен
са перпендикулярни поради факта, че
Във връзка с условията на паралелизъм и перпендикулярност ще решим следните два проблема.
е. Начертайте права линия през точка, успоредна на тази права линия
Разтворът се извършва, както следва. Тъй като желаната права линия е успоредна на дадената, тогава за вектора на нейната посока можем да вземем същата като за дадената права линия, тоест вектор с проекции A и B. И след това уравнението на желаната права линия ще бъде написана под формата (§ 1)
Пример. Уравнение на права линия, преминаваща през точка (1; 3), успоредна на права линия
ще бъде следващата!
g. Начертайте права линия през точка, перпендикулярна на тази права линия
Тук вече не е подходящо да се вземе вектор с проекции А и като вектор на посоката, но вектор, който е перпендикулярен на него, трябва да бъде издухан. Следователно проекциите на този вектор трябва да бъдат избрани според условието за перпендикулярност на двата вектора, т.е.
Това условие може да бъде изпълнено по безброй начини, тъй като тук има едно уравнение с две неизвестни, но най -лесният начин е да вземете go Тогава уравнението на желаната права линия ще бъде записано във формата
Пример. Уравнение на права линия, преминаваща през точка (-7; 2) в перпендикулярна линия
ще бъде следното (според втората формула)!
з. В случая, когато правите линии са дадени от уравнения на формата
Ще бъда кратък. Ъгълът между две линии е равен на ъгъла между техните вектори на посоката. По този начин, ако можете да намерите координатите на векторите на посоката a = (x 1; y 1; z 1) и b = (x 2; y 2; z 2), можете да намерите ъгъла. По -точно косинусът на ъгъла по формулата:
Нека да видим как работи тази формула с конкретни примери:
Задача. Точките E и F са маркирани в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - средните точки на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между линиите AE и BF.
Тъй като ръбът на куба не е посочен, задаваме AB = 1. Въведете стандартната координатна система: началото е в точка A, осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега намираме координатите на векторите на посоките за нашите линии.
Нека намерим координатите на вектора AE. За да направим това, се нуждаем от точките A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точка E е средната точка на отсечката A 1 B 1, нейните координати са равни на средната аритметична на координатите на краищата. Обърнете внимание, че произходът на вектора AE съвпада с началото, така че AE = (0.5; 0; 1).
Сега нека се справим с вектора BF. Аналогично анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F - средна точка на сегмент B 1 C 1. Ние имаме:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Така че векторите за посоката са готови. Косинусът на ъгъла между правите линии е косинус на ъгъла между векторите на посоката, така че имаме:
Задача. В правилна тристранна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, точки D и E са маркирани - средните точки на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между линиите AD и BE.
Нека въведем стандартната координатна система: началото е в точка A, оста x е насочена по AB, z - по AA 1. Насочваме оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Намерете координатите на векторите на посоката за търсените линии.
Първо, нека намерим координатите на AD вектора. Помислете за точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), защото D - средната точка на сегмента A 1 B 1. Тъй като произходът на вектора AD съвпада с произхода, получаваме AD = (0.5; 0; 1).
Сега нека намерим координатите на вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна. С точка Е - средата на сегмента C 1 B 1 - е малко по -трудно. Ние имаме:
Остава да намерим косинуса на ъгъла:
Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, точки K и L са маркирани съответно средните точки на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между линиите AK и BL.
Нека въведем стандартна координатна система за призма: поставете началото на координатите в центъра на долната основа, насочете оста x по FC, оста y през средните точки на сегментите AB и DE и z- оста вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека изпишем координатите на интересните за нас точки:
Точките K и L са средните точки на сегментите съответно A 1 B 1 и B 1 C 1, така че техните координати се намират чрез средната аритметична стойност. Познавайки точките, намираме координатите на посоките вектори AK и BL:
Сега нека намерим косинуса на ъгъла:
Задача. В правилната четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, точки E и F са маркирани - средните точки на страните SB и SC, съответно. Намерете ъгъла между линиите AE и BF.
Нека въведем стандартна координатна система: началото е в точка А, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.
Точките E и F са средните точки на сегментите SB и SC съответно, така че техните координати се намират като средноаритметична на краищата. Нека изпишем координатите на интересните за нас точки:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Познавайки точките, намираме координатите на посоките вектори AE и BF:
Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да намерим косинуса на ъгъла:
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Затова се надяваме, че до края на статията ще поддържам бодра настроение.
Относителното положение на две прави линии
Случаят, когато публиката пее заедно с припева. Две прави линии могат:
1) съвпадение;
2) да са успоредни :;
3) или се пресичат в една точка :.
Помощ за манекени : моля, запомнете математическия знак на кръстовището, той ще бъде много често срещан. Записът показва, че линията се пресича с линията в точка.
Как да определим относителното положение на две прави линии?
Нека започнем с първия случай:
Две прави линии съвпадат тогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такъв брой "ламбди", че равенствата
Помислете за правите линии и съставете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.
Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението 
умножете по -1 (промяна на знаците) и всички коефициенти на уравнението 
намалено с 2, получавате същото уравнение :.
Вторият случай, когато линиите са успоредни:
Две прави линии са успоредни тогава и само ако техните коефициенти за променливите са пропорционални: 
, но.
Като пример, помислете за два реда. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите: 
Съвсем ясно е обаче, че.
И третият случай, когато линиите се пресичат:
Две прави линии се пресичат тогава и само ако техните коефициенти за променливи НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава ламбда стойност, че равенствата да са изпълнени 
Така че за прави линии ще съставим системата: 
От първото уравнение следва, че и от второто уравнение :, следователно, системата е непоследователна(без решения). По този начин коефициентите на променливите не са пропорционални.
Заключение: линиите се пресичат
В практически проблеми можете да използвате току -що разгледаната схема на решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на векторите за колинеарност, който разгледахме в урока Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Основа на вектори... Но има по -цивилизована опаковка:
Пример 1
Разберете относителното положение на правите линии: 
Решениевъз основа на изследването на векторите на посоката на прави линии:
а) От уравненията намираме векторите на посоките на правите линии: 
.
, така че векторите не са колинеарни и линиите се пресичат.
За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстовището:
Останалите прескачат камъка и продължават, направо към Кащей Безсмъртния =)
б) Намерете векторите на посоките на прави линии: 
Линиите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук също няма нужда да се брои детерминантата.
Очевидно коефициентите за неизвестните са пропорционални, докато.
Нека да разберем дали равенството е вярно: 
Поради това,
в) Намерете векторите на посоките на прави линии: 
Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори: 
следователно векторите на посоката са колинеарни. Линиите са или успоредни, или съвпадат.
Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесен за наблюдение директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. То обаче може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: 
.
Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни условия са нула, така че:
Получената стойност отговаря на това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).
По този начин линиите съвпадат.
Отговор:
Много скоро ще научите (или дори вече сте научили) как да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нищо за независимо решение, по -добре е да се постави друга важна тухла в геометричната основа:
Как да изградим права линия, успоредна на дадена?
За незнание на тази най -проста задача Славеят разбойник наказва строго.
Пример 2
Правата линия се дава от уравнението. Приравнете успоредна права линия, която минава през точка.
Решение: Нека обозначим неизвестната права буква. Какво казва състоянието за нея? Правата линия минава през точката. И ако правите линии са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правия "tse" е подходящ и за конструиране на правия "de".
Изваждаме вектора на посоката от уравнението:
Отговор:
Геометрията на примера изглежда ясна: 
Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:
1) Проверяваме дали линиите имат един и същ вектор на посоката (ако уравнението на линията не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).
2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение.
Аналитичният преглед в повечето случаи е лесен за извършване устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат паралелизма на прави линии без никакво рисуване.
Примерите за решение „направи си сам“ днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезаваш с Баба Яга, а тя, знаеш, е любител на всякакви гатанки.
Пример 3
Направете уравнение на права линия, преминаваща през точка, успоредна на права, ако
Има рационално и не много рационално решение. Най -краткият път е в края на урока.
Работихме малко с успоредни линии и ще се върнем към тях по -късно. Случаят с съвпадащи прави линии представлява малък интерес, затова помислете за проблем, който ви е добре известен от училищната програма:
Как да намерите точката на пресичане на две линии?
Ако направо 
пресичат в точка, тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения 
Как да намерите точката на пресичане на линиите? Решете системата.
Толкова за теб геометрично значение на система от две линейни уравнения в две неизвестниИма две пресичащи се (най -често) прави линии в равнина.
Пример 4
Намерете пресечната точка на линиите
Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.
Графичният начин е просто да нарисувате линиите с данни и да откриете точката на пресичане директно от чертежа: 
Ето нашата точка :. За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на правата линия, те трябва да се поберат както там, така и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата. По принцип разгледахме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.
Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е в това, че седмокласниците решават това, важното е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за изграждане, а самата точка на пресичане може да се намира някъде в тридесетте кралства извън листа на бележника.
Следователно е по -целесъобразно да се търси точката на пресичане с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата: 
За решаването на системата беше използван методът на уравнения по време на време. За да изградите подходящи умения, посетете урока Как да решим система от уравнения?
Отговор:
Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да отговарят на всяко уравнение в системата.
Пример 5
Намерете пресечната точка на линиите, ако те се пресичат.
Това е пример за решение „направи си сам“. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието подсказва какво е необходимо:
1) Съставете уравнението на права линия.
2) Съставете уравнението на права линия.
3) Разберете относителното положение на правите линии.
4) Ако линиите се пресичат, намерете точката на пресичане.
Разработването на алгоритъм на действия е типично за много геометрични проблеми и многократно ще се фокусирам върху това.
Пълно решение и отговор в края на урока:
Чифт обувки все още не са износени, тъй като стигнахме до втората част на урока:
Перпендикулярни прави линии. Разстояние от точка до линия.
Ъгъл между прави линии
Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега хижата на пилешки бутчета ще се обърне на 90 градуса:
Как да изградим права линия, перпендикулярна на дадена?
Пример 6
Правата линия се дава от уравнението. Изравнете перпендикулярна линия през точка.
Решение: По условие е известно, че. Би било хубаво да се намери векторът на посоката на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:
От уравнението "премахнете" нормалния вектор :, който ще бъде векторът на посоката на правата линия.
Нека съставим уравнението на права линия по точка и вектор на посоката:
Отговор: 
Нека разширим геометричната скица:
Хм ... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.
Аналитична проверка на решението:
1) Извадете посоките от уравненията 
и с помощта точково произведение на вектористигаме до извода, че правите линии са наистина перпендикулярни :.
Между другото, можете да използвате нормални вектори, това е още по -лесно.
2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение 
.
Проверката отново е лесна за устно.
Пример 7
Намерете точката на пресичане на перпендикулярни линии, ако уравнението е известно 
и точка.
Това е пример за решение „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да се изготви решението точка по точка.
Нашето вълнуващо пътешествие продължава:
Разстояние от точка до линия
Пред нас е права ивица на реката и нашата задача е да я достигнем по най -краткия път. Няма пречки и най -оптималният маршрут ще бъде движение по перпендикуляра. Тоест, разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикулярна линия.
Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до права линия "de".
Разстояние от точка до линия 
изразено с формулата
Пример 8
Намерете разстоянието от точка до права линия 
Решение: всичко, което е необходимо, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:
Отговор: 
Нека изпълним чертежа: 
Разстоянието от точката до намерената линия е точно дължината на червената линия. Ако съставите чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да бъде измерено с обикновена линийка.
Помислете за друга задача за същия план:
Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точка по отношение на права линия 
... Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма на решението с междинни резултати:
1) Намерете права, перпендикулярна на правата.
2) Намерете пресечната точка на линиите: 
.
И двете действия са разгледани подробно в този урок.
3) Точката е средната точка на отсечката. Знаем координатите на средата и един от краищата. От формули за координатите на средната точка на сегментанамираме.
Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.
Тук може да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микро калкулатор помага чудесно, като ви позволява да броите обикновени дроби. Многократно съветвани, ще съветват и отново.
Как да намерите разстоянието между две успоредни линии?
Пример 9
Намерете разстоянието между две успоредни линии
Това е друг пример за независимо решение. Нека ви подскажа: има безкрайно много начини за решаването му. Дебрифинг в края на урока, но по -добре се опитайте сами да се досетите, мисля, че успяхте да разпръснете своята изобретателност доста добре.
Ъгъл между две прави линии
Всеки ъгъл е скоба: 
В геометрията ъгълът между две прави линии се приема като НАЙ -МАЛКИЯ ъгъл, от който автоматично следва, че не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се брои като ъгъл между пресичащи се прави линии. И неговият „зелен“ съсед се счита за такъв, или противоположно ориентирани„Пурпурен“ ъгъл.
Ако правите линии са перпендикулярни, тогава всеки от четирите ъгъла може да се приеме като ъгъл между тях.
Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на „превъртане“ на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако.
Защо ти казах това? Изглежда, че обичайната концепция за ъгъл може да бъде изоставена. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно можете да получите отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по -лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите неговата ориентация със стрелка (по часовниковата стрелка).
Как да намерите ъгъла между две прави линии?Има две работни формули:
Пример 10
Намерете ъгъла между правите линии
Решениеи Метод първи
Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид: 
Ако направо не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата: 
Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно така скаларен продуктвектори на посоката на прави линии:
Ако, тогава знаменателят на формулата изчезва, а векторите ще бъдат ортогонални, а правите линии са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва относно неперпендикулярността на правите линии във формулировката.
Въз основа на гореизложеното е удобно да се изготви решение в две стъпки:
1) Изчислете скаларното произведение на посоките на правите линии:
, така че правите линии не са перпендикулярни.
2) Ъгълът между правите линии се намира по формулата:
Използвайки обратната функция, е лесно да намерите самия ъгъл. В този случай използваме странността на арктангенса (вж. Графики и свойства на елементарни функции):
Отговор: 
В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.
Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация: 
Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, защото в постановката на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започна с него.
Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест вземете коефициентите от второто уравнение 
, а коефициентите са взети от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с права линия 
.
Инструкции
Забележка
Периодът на тригонометричната функция на допирателната е 180 градуса, което означава, че наклоните на правите линии не могат по абсолютна стойност да надвишават тази стойност.
Полезен съвет
Ако наклоните са равни помежду си, тогава ъгълът между такива прави линии е 0, тъй като такива прави линии съвпадат или са успоредни.
За да се определи стойността на ъгъла между пресичането на прави линии, е необходимо да се преместят и двете прави линии (или една от тях) на нова позиция, използвайки метода на паралелното прехвърляне, преди да се пресече. След това трябва да намерите стойността на ъгъла между получените пресичащи се прави линии.
Ще имаш нужда
- Линийка, правоъгълен триъгълник, молив, транспортир.
Инструкции
Нека оставим вектора V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормала N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е равно на: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
За да изчислите стойността на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията, обратна на косинуса от получения израз, т.е. обратен косинус: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Пример: намери инжекциямежду вектор(5, -3, 8) и самолетдадено от общото уравнение 2 x - 5 y + 3 z = 0 Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всички известни стойности в горната формула: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.
Подобни видеа
Права линия, която има една обща точка с окръжност, е допирателна към окръжността. Друга особеност на допирателната е, че тя винаги е перпендикулярна на радиуса, насочен към допирателната точка, тоест допирателната и радиусът образуват права линия инжекция... Ако от една точка А се изтеглят две допирателни към окръжността AB и AC, то те винаги са равни една на друга. Определяне на ъгъла между тангентите ( инжекция ABC) е произведен с помощта на Питагоровата теорема.
Инструкции
За да определите ъгъла, трябва да знаете радиуса на окръжността OB и OS и разстоянието на началната точка на допирателната от центъра на окръжността - О. И така, ъглите ABO и ASO са равни, радиусът на OB , например 10 см, а разстоянието до центъра на окръжността АО е 15 см. Определете дължината на допирателната по формулата в съответствие с Питагоровата теорема: AB = квадратен корен от AO2 - OB2 или 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Определение.Ако са дадени две прави линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава остър ъгъл между тези прави линии ще бъде определен като
Две прави линии са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави линии са перпендикулярни, ако k 1 = -1 / k 2.
Теорема.Правите Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато пропорционалните коефициенти A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 = λС, линиите съвпадат. Координатите на точката на пресичане на две прави линии се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.
Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка
Перпендикулярно на тази линия
Определение.Правата линия, преминаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y = kx + b, се представя с уравнението:
Разстояние от точка до линия
Теорема.Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до прави Ax + Vy + C = 0 се определя като
.
Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, паднал от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:
(1)
Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка M 0, перпендикулярна на дадена права линия. Ако преобразуваме първото уравнение на системата във формата:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
след това, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.
Пример... Определете ъгъла между правите линии: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Пример... Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.
Решение... Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, следователно правите са перпендикулярни.
Пример... Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглено от върха C.
Решение... Намираме уравнението на страната AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Изискваното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k =. Тогава y =. Защото височината преминава през точка C, тогава нейните координати отговарят на това уравнение: 
откъдето b = 17. Общо :. 
Отговор: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права линия, преминаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави линии. Условието за паралелност и перпендикулярност на две линии. Определяне на пресечната точка на две линии
1. Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка А(х 1 , y 1) в дадена посока, определена от наклона к,
y - y 1 = к(х - х 1). (1)
Това уравнение определя сноп от прави линии, преминаващи през точката А(х 1 , y 1), който се нарича център на лъча.
2. Уравнение на права линия, преминаваща през две точки: А(х 1 , y 1) и Б(х 2 , y 2) е написано, както следва:
Наклонът на права линия, преминаваща през две дадени точки, се определя от формулата
3. Ъгъл между прави линии Аи Бнарича ъгъл, под който трябва да завъртите първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато не съвпадне с втората линия Б... Ако две прави линии са дадени от уравнения с наклон
y = к 1 х + Б 1 ,
y = к 2 х + Б 2 , (4)
тогава ъгълът между тях се определя по формулата
Обърнете внимание, че в числителя на дробата наклонът на първата права линия се изважда от наклона на втората права линия.
Ако уравненията на права линия са дадени в общ вид
А 1 х + Б 1 y + ° С 1 = 0,
А 2 х + Б 2 y + ° С 2 = 0, (6)
ъгълът между тях се определя по формулата
4. Условия за паралелизъм на две линии:
а) Ако правите линии са дадени от уравнения (4) с наклона, тогава необходимото и достатъчно условие за техния паралелизъм се състои в равенството на техните наклони:
к 1 = к 2 . (8)
б) За случая, когато правите линии са дадени от уравнения в общ вид (6), необходимото и достатъчно условие за техния паралелизъм е, че коефициентите при съответните текущи координати в техните уравнения са пропорционални, т.е.
5. Условия за перпендикулярност на две линии:
а) В случая, когато правите линии са дадени от уравнения (4) с наклона, необходимото и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е, че техните наклони са взаимни по величина и противоположни по знак, т.е.
Това условие може да бъде записано и под формата
к 1 к 2 = -1. (11)
б) Ако уравненията на прави линии са дадени в общ вид (6), тогава условието за тяхната перпендикулярност (необходимо и достатъчно) се състои в изпълнението на равенството
А 1 А 2 + Б 1 Б 2 = 0. (12)
6. Координатите на точката на пресичане на две прави линии се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Правите линии (6) се пресичат тогава и само тогава
1. Напишете уравненията на правите линии, преминаващи през точката M, едното от които е успоредно, а другото е перпендикулярно на дадена права линия l.