Помислете за връзка на формата F(x, y)=0свързване на променливите хи в. Равенство (1) ще бъде извикано уравнение с две променливи x, y,ако това равенство не е вярно за всички двойки числа хи в. Примери за уравнения: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Ако (1) е вярно за всички двойки числа x и y, то се нарича самоличност. Примери за самоличност: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Уравнение (1) ще бъде извикано уравнението на множеството точки (x; y),ако това уравнение се удовлетворява от координатите хи вкоято и да е точка от множеството и не удовлетворяват координатите на нито една точка, която не принадлежи на това множество.
Важна концепция в аналитичната геометрия е концепцията за уравнението на права. Нека правоъгълна координатна система и някаква линия α.
Определение.Уравнение (1) се нарича линейно уравнение α
(в създадената координатна система), ако това уравнение се удовлетворява от координатите хи ввсяка точка от правата α
, и не удовлетворяват координатите на никоя точка, която не лежи на тази права.
Ако (1) е линейното уравнение α, тогава ще кажем, че уравнението (1) определя (задава)линия α.
линия α може да се определи не само от уравнение от вида (1), но и от уравнение от вида
F(P, φ) = 0, съдържащи полярни координати.
- уравнение на права линия с наклон;
Нека е дадена някаква права линия, която не е перпендикулярна на оста ох. Да се обадим ъгъл на наклондадена линия към оста охинжекция α с който да завъртите оста охтака че положителната посока да съвпада с една от посоките на правата линия. Тангенсът на ъгъла на наклон на права линия спрямо оста охНаречен фактор на наклонатази права линия и се обозначава с буквата Да се.
|
|||
|
|||
Извеждаме уравнението на тази права линия, ако я знаем Да сеи стойността в сегмента ОВ, която тя отрязва по оста OU.
|
|
Уравнение (2) се нарича уравнение на права линия с наклон.Ако K=0, тогава правата е успоредна на оста охи нейното уравнение е y = b.
- уравнение на права линия, минаваща през две точки;
|
|
. Това е уравнението ако y 1 ≠ y 2, може да се запише като: Ако y 1 = y 2, тогава уравнението на желаната права има вида y = y 1. В този случай линията е успоредна на оста ох. Ако х 1 = х 2, след това линията, минаваща през точките М 1и М 2, успоредно на оста OU, уравнението му има вида х = х 1.
- уравнение на права линия, минаваща през дадена точка с даден наклон;
|
|
и обратно, уравнение (5) за произволни коефициенти А, Б, В (НОи B ≠ 0едновременно) дефинира някаква линия в правоъгълна координатна система Оху.
Доказателство.
Нека първо докажем първото твърдение. Ако линията не е перпендикулярна о,тогава се определя от уравнението от първа степен: y = kx + b, т.е. уравнение от вида (5), където
A=k, B=-1и C = b.Ако линията е перпендикулярна о,тогава всичките му точки имат една и съща абциса, равна на стойността α сегмент, отрязан с права линия по оста ох.
Уравнението на тази права има формата x = α,тези. е също уравнение от първа степен от вида (5), където A \u003d 1, B \u003d 0, C = α.Това доказва първото твърдение.
Нека докажем обратното твърдение. Нека е дадено уравнение (5) и поне един от коефициентите НОи B ≠ 0.
Ако B ≠ 0, тогава (5) може да се запише като . наклонена 
, получаваме уравнението y = kx + b, т.е. уравнение от вида (2), което дефинира права линия.
Ако B = 0, тогава A ≠ 0и (5) приема формата . Обозначаване чрез α, получаваме
x = α, т.е. уравнение на права линия, перпендикулярна Ox.
Линиите, определени в правоъгълна координатна система от уравнение от първа степен, се наричат линии от първа поръчка.
Тип уравнение Ah + Wu + C = 0е непълна, т.е. един от коефициентите е равен на нула.
1) С = 0; Ah + Wu = 0и дефинира права, минаваща през началото.
2) B = 0 (A ≠ 0); уравнението Ax + C = 0 OU
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0и дефинира успоредна права ох.
Уравнение (6) се нарича уравнение на права линия "на сегменти". Числа аи бса стойностите на отсечките, които правата линия отрязва по координатните оси. Тази форма на уравнението е удобна за геометрична конструкция на права линия.
- нормално уравнение на права линия;
Аx + Вy + С = 0 е общото уравнение на някаква права линия и (5) х cos α + y sin α – p = 0(7)
неговото нормално уравнение.
Тъй като уравнения (5) и (7) дефинират една и съща права линия, тогава ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0и
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) коефициентите на тези уравнения са пропорционални. Това означава, че като умножим всички членове на уравнение (5) по някакъв фактор M, получаваме уравнението MA x + MB y + MS = 0, съвпадащо с уравнение (7) т.е.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
За да намерим М фактора, квадратираме първите две от тези равенства и добавяме:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)
Уравнението на права върху равнината XOY е уравнение, което удовлетворява координатите x и y на всяка точка от тази права и не удовлетворява координатите на никоя точка, която не лежи на тази права. Като цяло, уравнението на линията може да бъде записано като 0), (yx. F или) (xfy
Нека е дадена права линия, която пресича оста y в точка B (0, c) и образува ъгъл α с оста x. Нека изберем произволна точка M(x, y) на правата линия.
x y M N
Координати на точка N (x, in). От триъгълник BMN: k е наклонът на правата. k x от NB MN tg bkxy
Нека разгледаме частни случаи: - уравнението на права линия, минаваща през началото. 10 bkxy 2 bytg 00 е уравнението на права линия, успоредна на оста x.
т.е. вертикалната линия няма наклон. 3 22 tg - не съществува. Уравнението на права линия, успоредна на оста y, в този случай има формата ax, където a е отсечката, отрязана от правата линия на оста x.
Нека права линия минава през дадена точка2 и образува ъгъл α с оста x, (111 yx. M
Тъй като точка M 1 лежи на права линия, нейните координати трябва да отговарят на уравнение (1): Извадете това уравнение от уравнение (1): bkxy 11)(11 xxkyy)
Ако наклонът не е дефиниран в това уравнение, тогава то дефинира сноп от линии, минаващи през дадена точка, с изключение на права линия, успоредна на оста y, която няма наклон. xy
Нека е дадена права линия, минаваща през две точки: Нека напишем уравнението на молив от прави линии, минаващи през точка M
Тъй като точката M 2 лежи на дадена права, ние заместваме нейните координати в уравнението на молива от прави :) (1212 xxkyy 12 12 xx yy k Заместваме k в уравнението на молива на правите. Така избираме от този лъч е линия, минаваща през две дадени точки:
1 12 12 1 xx xx yy yy или 12 1 xx xx yy yy
РЕШЕНИЕ. Заместваме координатите на точките в уравнението на права линия, минаваща през две точки. 53 5 42 4 xy)5(8 6 4 xy 4 1 4 3 xy
Нека е дадена права линия, която отрязва отсечки, равни на a и b по координатните оси. Това означава, че минава през точките)0, (a. A), 0(b. B) Нека намерим уравнението на тази права.
xy 0 ab
Нека заместим координатите на точки A и B в уравнението на права линия, минаваща през две точки (3): a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x
ПРИМЕР. Съставете уравнението на права линия, минаваща през точка A (2, -1), ако тя отрязва от положителната полуос y отсечка, два пъти по-голяма от тази на положителната полуос x.
РЕШЕНИЕ. Съгласно условието на задачата, ab 2 Заместване в уравнение (4): 1 2 a y a x Точка A(2, -1) лежи на тази права, следователно нейните координати удовлетворяват това уравнение: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx
Помислете за уравнението: Помислете за специални случаи на това уравнение и покажете, че за всякакви стойности на коефициентите A, B (които не са равни на нула в същото време) и C, това уравнение е уравнението на права линия върху равнина. 0 CBy. брадва
Тогава уравнение (5) може да бъде представено по следния начин: Тогава получаваме уравнение (1): Означете: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy
Тогава уравнението изглежда така: Получаваме уравнението: - уравнението на правата, минаваща през началото. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y е уравнението на права линия, успоредна на оста x.
Тогава уравнението изглежда така: Получаваме уравнението: - уравнението на оста x. 40 y 5 000 CAB е уравнението на права линия, успоредна на оста y. 000 CAB A C x
Тогава уравнението има вида: - уравнението на оста y. 60 x 000 CAB По този начин, за всякакви стойности на коефициентите A, B (в същото време не е равно на нула) и C, уравнение (5) е уравнението на права линия върху равнина. Това е
Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни.3. Коя теорема се нарича обратна на тази теорема? Дайте примери за теореми, които са обратни на данните. 4. Докажете, че когато две успоредни прави пресичат секуща, лежащите ъгли са равни. 5. Докажете, че ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, то тя също е перпендикулярна на друга.6. Докаже се, че при пресичането на две успоредни прави на секасна: а) съответните ъгли са равни; б) сборът от едностранните ъгли е 180°.
Моля за помощ с въпроси по геометрия (9 клас)! 2) Какво означава да разложиш вектор на дведадени вектори. 9) Какъв е радиус-векторът на точка Докажете, че координатите на точка са равни на съответните координати на векторите. 10) Извеждане на формули за изчисляване на координатите на вектор от координатите на неговото начало и край. 11) Изведете формули за изчисляване на координатите на вектор от координатите на неговите краища. 12) Изведете формула за изчисляване на дължината на вектор по неговите координати. 13) Изведете формула за изчисляване на разстоянието между две точки по техните координати. 15) Кое уравнение се нарича уравнение на тази права? Дайте пример. 16) Изведете уравнението на окръжност с даден радиус с център в дадена точка.
1) Формулирайте и докажете лема за колинеарни вектори.
3) Формулирайте и докажете теорема за разширяването на вектор в два неколинеарни вектора.
4) Обяснете как се въвежда правоъгълна координатна система.
5) Какво представляват координатните вектори?
6) Формулирайте и докажете твърдението за разлагането на произволен вектор в координатни вектори.
7) Какво представляват векторните координати?
8) Формулирайте и докажете правилата за намиране на координатите на сбора и разликата на векторите, както и произведението на вектор по число според дадените координати на векторите.
10) Извеждане на формули за изчисляване на координатите на вектор от координатите на неговото начало и край.
11) Изведете формули за изчисляване на координатите на вектор от координатите на неговите краища.
12) Изведете формула за изчисляване на дължината на вектор по неговите координати.
13) Изведете формула за изчисляване на разстоянието между две точки по техните координати.
14) Дайте пример за решаване на геометрична задача с помощта на координатния метод.
16) Изведете уравнението на окръжност с даден радиус с център в дадена точка.
17) Напишете уравнението за окръжност с даден радиус с център в началото.
18) Изведете уравнението на тази права в правоъгълна координатна система.
19) Напишете уравнението на правите, минаващи през дадена точка M0 (X0: Y0) и успоредни на координатните оси.
20) Напишете уравнението на координатните оси.
21) Дайте примери за използване на уравненията на окръжност и права линия при решаване на геометрични задачи.
Моля, много е необходимо! За предпочитане с чертежи (където е необходимо)!
ГЕОМЕТРИЯ 9 КЛАС.1) Формулирайте и докажете лема за колинеарни вектори.
2) Какво означава да разложиш вектор на два дадени вектора.
3) Формулирайте и докажете теорема за разширяването на вектор в два неколинеарни вектора.
4) Обяснете как се въвежда правоъгълна координатна система.
5) Какво представляват координатните вектори?
6) Формулирайте и докажете твърдението за разлагането на произволен вектор в координатни вектори.
7) Какво представляват векторните координати?
8) Формулирайте и докажете правилата за намиране на координатите на сбора и разликата на векторите, както и произведението на вектор по число според дадените координати на векторите.
9) Какъв е радиус векторът на точка? Докажете, че координатите на точката са равни на съответните координати на векторите.
14) Дайте пример за решаване на геометрична задача с помощта на координатния метод.
15) Кое уравнение се нарича уравнение на тази права? Дай пример.
17) Напишете уравнението за окръжност с даден радиус с център в началото.
18) Изведете уравнението на тази права в правоъгълна координатна система.
19) Напишете уравнението на правите, минаващи през дадена точка M0 (X0: Y0) и успоредни на координатните оси.
20) Напишете уравнението на координатните оси.
21) Дайте примери за използване на уравненията на окръжност и права линия при решаване на геометрични задачи.
Равенство от вида F(x, y) = 0 се нарича уравнение с две променливи x, y, ако не е валидно за която и да е двойка числа x, y. Казват, че две числа x = x 0, y = y 0 удовлетворяват някакво уравнение от формата F (x, y) = 0, ако когато тези числа се заменят с променливите x и y в уравнението, неговата лява страна изчезва.
Уравнението на дадена права (в присвоената координатна система) е уравнение в две променливи, което се удовлетворява от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не се удовлетворява от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.
По-нататък вместо израза „да се даде уравнение на правата F(x, y) = 0“, често ще казваме по-кратко: като се има предвид правата F(x, y) = 0.
Ако са дадени уравненията на две линии F(x, y) = 0 и Ф(x, y) = 0, тогава общото решение на системата
F(x, y) = 0, F(x, y) = 0
дава всичките им пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки,
157. Дадени точки *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои от дадените точки лежат на правата, определена от уравнението x + y = 0, и кои не лежат върху нея. Коя права се определя от това уравнение? (Покажете го на чертежа.)
158. На линията, определена от уравнението x 2 + y 2 = 25, намерете точки, чиито абциси са равни на следните числа: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на същата права намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Коя права се определя от това уравнение? (Покажете го на чертежа.)
159. Определете кои линии се определят от следните уравнения (изградете ги върху чертежа): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Дадени са линии: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Определете кои от тях преминават през началото.
161. Дадени са линии: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Намерете точките на тяхното пресичане: а) с оста x; б) с оста Oy.
162. Намерете пресечните точки на две прави:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Точки M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) и M 5 ( 1;2/3π ). Определете кои от тези точки лежат на правата, дефинирана в полярни координати от уравнението p = 2cosΘ, и кои не лежат върху нея. Каква права се определя от това уравнение? (Покажете го на чертежа.)
164. На линията, дефинирана от уравнението p \u003d 3 / cosΘ, намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) π / 3, b) - π / 3, в) 0, d) π / 6 . Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
165. На линията, дефинирана от уравнението p = 1 / sinΘ, намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1 6) 2, в) √2. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
166. Определете кои линии се определят в полярни координати от следните уравнения (изградете ги върху чертежа): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Конструирайте върху чертежа следните спирали на Архимед: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. Постройте следните хиперболични спирали върху чертежа: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Конструирайте следните логаритмични спирали в чертежа: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .
170. Определете дължината на отсечките, на които Архимедовата спирала p = 3Θ разрязва лъча, напускащ полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл Θ = π / 6. Направете чертеж.
171. Точка C е взета върху архимедовата спирала p \u003d 5 / πΘ, чийто полярен радиус е 47. Определете с колко части тази спирала отрязва полярния радиус на точка C. Направете чертеж.
172. На хиперболична спирала P \u003d 6 / Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 12. Направете чертеж.
173. На логаритмична спирала p \u003d 3 Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 81. Направете чертеж.
Нека повторим * Какво е квадратно уравнение? * Кои уравнения се наричат непълни квадратни уравнения? * Кое квадратно уравнение се нарича редуцирано? * Какъв е коренът на квадратното уравнение? * Какво означава да се реши квадратно уравнение? Какво е квадратно уравнение? Кои уравнения се наричат непълни квадратни уравнения? Кое квадратно уравнение се нарича редуцирано? Какъв е коренът на квадратно уравнение? Какво означава да се реши квадратно уравнение? Какво е квадратно уравнение? Кои уравнения се наричат непълни квадратни уравнения? Кое квадратно уравнение се нарича редуцирано? Какъв е коренът на квадратно уравнение? Какво означава да се реши квадратно уравнение?
Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение: 1. Определете кой начин е по-рационален за решаване на квадратно уравнение 2. Изберете най-рационалния начин за решаване 3. Определяне на броя на корените на квадратно уравнение 4. Намиране на корените на таблица с квадратно уравнение ...
Допълнително условие Корени на уравнение Примери 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 ax 2 + c \u003d 0 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 = (-b ± D) / 2 a, където D \u003d в 2 - 4 as, D0 5. c е четно число (b = 2k), но 0, при 0, с 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1.2 = (-b ± D) / a, D 1 = k 2 - ac, където k \u003d 6. Теоремата е обратната на теоремата на Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. Специални методи 7. Методът за извличане на квадрат на бином. Цел: Редуциране на общото уравнение до непълно квадратно уравнение. Забележка: методът е приложим за всякакви квадратни уравнения, но не винаги е удобен за използване. Използва се за доказване на формулата за корените на квадратно уравнение. Пример: решаване на уравнението x 2 -6 x + 8 = 0 8. Методът на "прехвърляне" на старши коефициент. Корените на квадратните уравнения ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0 са свързани чрез отношенията: и Забележка: методът е добър за квадратни уравнения с "удобни" коефициенти. В някои случаи ви позволява да решите устно квадратно уравнение. Пример: решаване на уравнението 2 x 2 -9 x-5=0 Въз основа на теоремите: Пример: решаване на уравнението 157 x x-177=0 9. Ако в квадратното уравнение a + b + c = 0, тогава едно от корените са 1, а вторият, според теоремата на Vieta, е равен на c / a 10. Ако в квадратното уравнение a + c \u003d b, тогава един от корените е равен на -1, а вторият, според теоремата на Vieta, е равно на - c / a Пример: решете уравнението 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a
III. Общи методи за решаване на уравнения 11. Метод на разлагане. Цел: Привеждане на общо квадратно уравнение до вида A(x)·B(x)=0, където A(x) и B(x) са полиноми по отношение на x. Методи: Скоби на общ фактор; Използване на съкратени формули за умножение; метод на групиране. Пример: решаване на уравнението 3 x 2 +2 x-1=0 12. Метод за въвеждане на нова променлива. Добрият избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна Пример: решете уравнението (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8
