Често е необходимо да се решават задачи, при които е необходимо да се намери най-голямата или най-малката стойност от набора от тези стойности, които функцията приема на сегмент.
Нека се обърнем например към графиката на функцията f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 на сегмента [-1; 2]. За да работим с функция, трябва да начертаем нейната графика.
От построената графика се вижда, че функцията приема най-голямата стойност на този сегмент, равна на 2, в точките: x = -1 и x = 1; най-малката стойност, равна на -7, функцията приема при x = 2.
Точката x = 0 е минималната точка на функцията f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4. Това означава, че има съседство на точка x = 0, например интервалът (-1/2; 1/2) - такъв, че в тази околност функцията приема най-малката стойност при x \u003d 0. Въпреки това, на по-голям интервал, например на сегмента [ -one; 2], функцията приема най-малката стойност в края на сегмента, а не в минималната точка.
По този начин, за да се намери най-малката стойност на функция на определен сегмент, е необходимо да се сравнят нейните стойности в краищата на сегмента и в минималните точки.
Като цяло, да предположим, че функцията f(x) е непрекъсната на сегмент и че функцията има производна във всяка вътрешна точка на този сегмент.
За да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция на сегмент, е необходимо:
1) намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е. числа f(a) и f(b);
2) намерете стойностите на функцията в неподвижни точки, които принадлежат на интервала (a; b);
3) изберете най-голямата и най-малката от намерените стойности.
Нека приложим придобитите знания на практика и разгледаме проблема.
Намерете най-големите и най-малките стойности на функцията f (x) \u003d x 3 + x / 3 на сегмента.
Решение.
1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.
2) f´(x) = 3x 2 - 3 / x 2 = (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.
Интервалът (1/2; 2) съдържа една неподвижна точка x 1 = 1, f(1) = 4.
3) От числата 6 1/8, 9 ½ и 4 най-голямото е 9 ½, най-малкото е 4.
Отговор. Най-голямата стойност на характеристиката е 9 ½, най-малката стойност на характеристиката е 4.
Често при решаване на задачи е необходимо да се намери най-голямата и най-малката стойност на функция не на сегмент, а на интервал.
В практическите задачи функцията f(x) обикновено има само една стационарна точка на даден интервал: или максимална точка, или точка на минимум. В тези случаи функцията f(x) приема най-голямата стойност в даден интервал в максималната точка, а в минималната точка - най-малката стойност в този интервал. Нека се обърнем към проблема.
Числото 36 се записва като произведение на две положителни числа, чийто сбор е най-малък.
Решение.
1) Нека първият фактор е x, тогава вторият фактор е 36/x.
2) Сборът от тези числа е x + 36/x.
3) Според условията на задачата х е положително число. И така, проблемът се свежда до намирането на стойността на x - такава, че функцията f (x) \u003d x + 36 / x приема най-малката стойност на интервала x > 0.
4) Намерете производната: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.
5) Стационарни точки x 1 = 6, x 2 = -6. На интервала x > 0 има само една неподвижна точка x = 6. При преминаване през точка x = 6, производната сменя знака “–” на знак “+” и следователно x = 6 е минималната точка. Следователно функцията f(x) = x + 36/x приема най-малката стойност на интервала x > 0 в точката x = 6 (това е стойността f(6) = 12).
Отговор. 36 = 6 ∙ 6.
При решаване на някои проблеми, при които е необходимо да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция, е полезно да се използва следното твърдение:
ако стойностите на функцията f(x) на някакъв интервал са неотрицателни, тогава тази функция и функцията (f(x)) n, където n е естествено число, вземат най-голямата (най-малката) стойност в същата точка.
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Миниатюрна и доста проста задача от типа, която служи като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата, сънното царство на средата на юли, така че е време да се успокоите с лаптоп на плажа. Рано сутринта изигра слънчев лъч на теория, за да се съсредоточи скоро върху практиката, която въпреки декларираната си лекота съдържа стъклени фрагменти в пясъка. В тази връзка препоръчвам съвестно да разгледате няколко примера от тази страница. За да решавате практически задачи, трябва да можете намерете производнии да разберете материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функция.
Първо, накратко за основното. В урок за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост на интервал. Примерното поведение на функция върху сегмент се формулира по подобен начин. Функцията е непрекъсната на сегмент, ако:
1) той е непрекъснат на интервала;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.
Вторият параграф разглежда т.нар едностранна приемственостфункционира в дадена точка. Има няколко подхода към неговото дефиниране, но ще се придържам към реда, започнат по-рано:
Функцията е непрекъсната в дадена точка на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и нейната дясна граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: 
. Той е непрекъснат в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и неговата лява граница е равна на стойността в тази точка: 
Представете си, че зелените точки са ноктите, върху които е прикрепена вълшебната гумена лента:
Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно, без значение колко далеч разтягаме графиката нагоре и надолу (по оста), функцията ще остане ограничен- жив плет отгоре, жив плет отдолу и нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната върху сегмент, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се посочва и доказва строго Първата теорема на Вайерщрас.... Много хора се дразнят, че елементарните твърдения са досадно обосновани в математиката, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на хавлиеното средновековие е изтеглил графиката в небето отвъд границите на видимостта, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа ограничената функция в пространството изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква отвъд хоризонта? В крайна сметка, някога Земята се смяташе за плоска, така че днес дори обикновената телепортация изисква доказателство =)
Според втора теорема на Вайерщрас, непрекъснато на сегментафункцията достига своята точен горен ръбИ неговият точен долен ръб .
Номерът също се нарича максималната стойност на функцията на сегментаи се означава с , а числото - минималната стойност на функцията на сегментамаркиран .
в нашия случай: 
Забележка
: на теория записите са често срещани 
.
Грубо казано, най-голямата стойност се намира там, където е най-високата точка на графиката, а най-малката - там, където е най-ниската точка.
Важно!Както вече беше посочено в статията за екстремуми на функцията, най-голямата стойност на функциятаи най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво функция максимуми функция минимум. И така, в този пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.
Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори наводнението, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа 
и това е!
Освен това решението е чисто аналитично, следователно, няма нужда да рисувате!
Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:
1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.
Хванете още едно лакомство: няма нужда да проверявате достатъчно условие за екстремум, тъй като, както току-що е показано, наличието на минимум или максимум все още не е гарантиранокаква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига своя максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията в интервала . Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.
Така че на първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали имат екстремуми или не.
2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.
3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграфи, изберете най-малкото и най-голямото число, запишете отговора.
Седим на брега на синьото море и удряме петите в плитка вода:
Пример 1
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент
Решение:
1) Изчислете стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи към този сегмент:
Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:
2) Изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента: 
3) Получени са "удебелени" резултати с експоненциали и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина ще се въоръжим с калкулатор или Excel и ще изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че: 
Сега всичко е ясно.
Отговор:
Дробно-рационален пример за независимо решение:
Пример 6
Намерете максималните и минималните стойности на функция на сегмент
Опция 1. в
1. Графика на функция y=е(х) показано на фигурата.
Посочете най-голямата стойност на тази функция 1
на сегмента [ а; б]. а 0 1 б х
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. Функции y=е(х) зададен на сегмента [ а; б]. в
Фигурата показва графика на нейната производна
y=е ´(х). Изследвайте за крайности 1 б
функция y=е(х). Моля, посочете количеството в отговора си. а 0 1 х
минимални точки.
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. Намерете най-голямата стойност на функция y \u003d -2x2 + 8x -7.
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. Намерете най-малката стойност на функция 
на сегмента .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. Намерете най-малката стойност на функция y=|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> има минимум в точката xo=1,5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.в
9. Посочете най-голямата стойност на функцията y=е(х) ,
1 х
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
y=lg(100 – х2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. Намерете най-малката стойност на функция y=2грях-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
Тест 14 Най-голямата (най-малката) стойност на функцията.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Графика на функцията y=е(х) показано на фигурата.
Посочете най-малката стойност на тази функция 1
на сегмента [ а; б]. а б
0 1 х
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. в Фигурата показва графика на функцията y=е(х).
Колко максимални точки има функцията?
1
0 1 х 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. В кой момент е функцията y = 2x2 + 24x -25приема най-малката стойност?
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> на сегмента [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> има минимум в точката xo = -2?
; 2) -6;; 4) 6.в
9. Посочете най-малката стойност на функцията y=е(х) ,
чиято графика е показана на фигурата. 1 х
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. Намерете най-голямата стойност на функция y=дневник11 (121 – х2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. Намерете най-голямата стойност на функция y=2cos+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
Отговори :
Най-голямата стойност на функция се нарича най-голяма, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.
Функцията може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма изобщо. Намирането на най-големите и най-малките стойности на непрекъснатите функции се основава на следните свойства на тези функции:
1) Ако в някакъв интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимумът (минимум), тогава това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.
2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на някакъв сегмент, тогава тя задължително има най-голямата и най-малката стойност на този сегмент. Тези стойности се достигат или в екстремалните точки, лежащи вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.
За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмента, се препоръчва да използвате следната схема:
1. Намерете производната.
2. Намерете критичните точки на функцията, където =0 или не съществува.
3. Намерете стойностите на функцията в критичните точки и в краищата на отсечката и изберете от тях най-голямото f max и най-малкото f min.
При решаване на приложни задачи, по-специално оптимизационни, важни са проблемите за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаването на такива задачи трябва, въз основа на условието , изберете независима променлива и изразете изследваната стойност чрез тази променлива. След това намерете желаната максимална или минимална стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условието на задачата.
Пример.Резервоарът, който има формата на правоъгълен паралелепипед с квадратно дъно, отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан отвътре с калай. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара с вместимост 108 литра. вода, така че цената на консервирането му да е най-малка?
Решение.Разходите за покриване на резервоара с калай ще бъдат най-ниски, ако за даден капацитет повърхността му е минимална. Означете с a dm - страната на основата, b dm - височината на резервоара. Тогава площта S на нейната повърхност е равна на
И 
Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Изследваме функцията S за екстремум. Намерете първата производна, приравнете я на нула и решете полученото уравнение:
Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция 
между.
Решение: Посочената функция е непрекъсната по цялата числова ос. Производна на функцията
Производна в и при . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:
.
Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни на . Следователно, най-голямата стойност на функцията е в , най-малката стойност на функцията е в .
Въпроси за самоизследване
1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности във формата . Избройте различните видове несигурности, за които може да се използва правилото на L'Hospital.
2. Формулирайте признаци на нарастваща и намаляваща функция.
3. Определете максимума и минимума на функция.
4. Формулирайте необходимото условие за съществуване на екстремум.
5. Кои стойности на аргумента (кои точки) се наричат критични? Как да намеря тези точки?
6. Кои са достатъчните признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция за екстремум, използвайки първата производна.
7. Очертайте схемата за изследване на функцията за екстремум с помощта на втората производна.
8. Определете изпъкналост, вдлъбнатост на крива.
9. Каква е точката на инфлексия на графика на функцията? Посочете как да намерите тези точки.
10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци за изпъкналост и вдлъбнатост на кривата на даден сегмент.
11. Определете асимптотата на кривата. Как да намерим вертикалните, хоризонталните и наклонените асимптоти на графика на функциите?
12. Очертайте общата схема за изследване на функция и построяване на нейната графика.
13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден сегмент.
През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани членове на експедицията.
Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете връзката към нея с приятелите си в социалните мрежи.
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете
иили веднага след етикета . Според първия вариант MathJax се зарежда по-бързо и по-малко забавя страницата. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва периодично да се актуализира. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо да наблюдавате постоянно актуализациите на MathJax.Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете джаджа, предназначена да вмъкне JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете джаджата по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса на MathML, LaTeX и ASCIIMathML за маркиране и сте готови да вградите математически формули във вашите уеб страници.
Още една новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме подтикна да пиша отново за... фрактали, и какво знае Волфрам Алфа за тях. По този повод има интересна статия, в която има примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.
Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест, това е самоподобна структура, като се имат предвид детайлите на която, когато се увеличи, ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), когато увеличим, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например, при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: при всяко увеличение в тях отново ще видим същата сложна форма, която с всяко увеличение ще се повтаря отново и отново.
Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, в статията си „Фрактали и изкуство за наука“ пише: „Фракталите са геометрични фигури, които са толкова сложни в детайлите си, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще бъде увеличен до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация.