Определение.Функция F (x) се нарича първоизводна за функция f (x) на даден интервал, ако за всяко x от даден интервал F"(x)= f (x).
Основното свойство на антипроизводните.
Ако F (x) е първообразна на функцията f (x), тогава функцията F (x)+ C, където C е произволна константа, също е първообразна на функцията f (x) (т.е. всички първоизводни на функцията f(x) се записва във формата F(x) + C).
Геометрична интерпретация.
Графиките на всички първоизводни на дадена функция f (x) се получават от графиката на всяка една първоизводна чрез паралелни транслации по оста Oy.
Таблица на антипроизводните.
Правила за намиране на антипроизводни .
Нека F(x) и G(x) са първоизводни на функциите f(x) и g(x), съответно. Тогава:
1. F ( х) ± G ( х) – противопроизводно за f(х) ± ж(х);
2. А F ( х) – противопроизводно за Аf(х);
3. – противопроизводно за Аf(kx +b).
Задачи и тестове по темата "Antiderivoid"
- Антипроизводно
Уроци: 1 Задачи: 11 Тестове: 1
- Производно и антипроизводно - Подготовка за Единния държавен изпит по математика Единен държавен изпит по математика
Задачи: 3
- Интеграл - Първопроизводна и интегрална 11 клас
Уроци: 4 Задачи: 13 Тестове: 1
- Изчисляване на площи с помощта на интеграли - Първопроизводна и интегрална 11 клас
Уроци: 1 Задачи: 10 Тестове: 1
След като сте изучавали тази тема, трябва да знаете какво се нарича антидериват, неговото основно свойство, геометрична интерпретация, правила за намиране на антидеривати; да може да намира всички първоизводни на функции с помощта на таблица и правила за намиране на първоизводни, както и първоизводна, минаваща през дадена точка. Нека да разгледаме решаването на проблеми по тази тема с примери. Обърнете внимание на форматирането на решенията.
Примери.
1. Разберете дали функцията F ( х) = х 3 – 3х+ 1 антипроизводно за функция f(х) = 3(х 2 – 1).
Решение: F"( х) = (х 3 – 3х+ 1)′ = 3 х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(х), т.е. F"( х) = f(х), следователно F(x) е първоизводна на функцията f(x).
2. Намерете всички първоизводни функции f(x) :
а) f(х) = х 4 + 3х 2 + 5
Решение:Използвайки таблицата и правилата за намиране на антипроизводни, получаваме:
Отговор:
б) f(х) = sin(3 х – 2)
Решение:
На тази страница ще намерите:
1. Всъщност таблицата на антипроизводните - може да бъде изтеглена в PDF формат и разпечатана;
2. Видео за това как да използвате тази таблица;
3. Куп примери за пресмятане на първоизводната от различни учебници и тестове.
В самото видео ще анализираме много задачи, при които трябва да изчислите първоизводни на функции, често доста сложни, но най-важното е, че те не са степенни функции. Всички функции, обобщени в предложената по-горе таблица, трябва да се знаят наизуст, като производни. Без тях е невъзможно по-нататъшното изучаване на интегралите и приложението им за решаване на практически задачи.
Днес продължаваме да изучаваме примитивите и преминаваме към малко по-сложна тема. Ако миналия път разгледахме първоизводни само на степенни функции и малко по-сложни конструкции, днес ще разгледаме тригонометрията и много повече.
Както казах в последния урок, противопроизводните, за разлика от производните, никога не се решават „веднага“, като се използват стандартни правила. Освен това лошата новина е, че за разлика от производното, антипроизводното може изобщо да не се разглежда. Ако напишем напълно произволна функция и се опитаме да намерим нейната производна, тогава с много голяма вероятност ще успеем, но антипроизводната почти никога няма да бъде изчислена в този случай. Но има добра новина: има доста голям клас функции, наречени елементарни функции, чиито първоизводни са много лесни за изчисляване. И всички други по-сложни структури, които се дават на всякакви тестове, независими тестове и изпити, всъщност са изградени от тези елементарни функции чрез събиране, изваждане и други прости действия. Прототипите на такива функции отдавна са изчислени и компилирани в специални таблици. Именно с тези функции и таблици ще работим днес.
Но ще започнем, както винаги, с повторение: нека си припомним какво е антидериват, защо има безкрайно много от тях и как да определим общия им вид. За да направя това, избрах два прости проблема.
Решаване на лесни примери
Пример #1
Нека веднага да отбележим, че $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ и като цяло наличието на $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ веднага ни подсказва, че търсената първоизводна на функцията е свързана с тригонометрията. И наистина, ако погледнем таблицата, ще открием, че $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ не е нищо повече от $\text(arctg)x$. Така че нека го запишем:
За да намерите, трябва да запишете следното:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Пример №2
Тук също говорим за тригонометрични функции. Ако погледнем таблицата, тогава наистина се случва ето какво:
Трябва да намерим сред целия набор от антипроизводни този, който минава през посочената точка:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Нека най-накрая го запишем:
Толкова е просто. Единственият проблем е, че за да изчислите антипроизводни на прости функции, трябва да научите таблица с първоизводни. Въпреки това, след като проучих вместо вас таблицата с производни, мисля, че това няма да е проблем.
Решаване на задачи, съдържащи експоненциална функция
Като начало нека напишем следните формули:
\[((e)^(x))\до ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\до \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Нека да видим как работи всичко това на практика.
Пример #1
Ако погледнем съдържанието на скобите, ще забележим, че в таблицата на първоизводните няма такъв израз за $((e)^(x))$, който да е в квадрат, така че този квадрат трябва да бъде разширен. За целта използваме съкратените формули за умножение:
Нека намерим противопроизводното за всеки от термините:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\до \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Сега нека съберем всички термини в един израз и да получим общото антипроизводно:
Пример №2
Този път степента е по-голяма, така че формулата за съкратено умножение ще бъде доста сложна. И така, нека отворим скобите:
Сега нека се опитаме да вземем антипроизводното на нашата формула от тази конструкция:
Както можете да видите, няма нищо сложно или свръхестествено в първоизводните на експоненциалната функция. Всички те са изчислени чрез таблици, но внимателните ученици вероятно ще забележат, че първоизводната $((e)^(2x))$ е много по-близо до просто $((e)^(x))$ отколкото до $((a )^(x ))$. И така, може би има някакво по-специално правило, което позволява, знаейки първоизводната $((e)^(x))$, да намерим $((e)^(2x))$? Да, такова правило съществува. И освен това е неразделна част от работата с таблицата на антипроизводните. Сега ще го анализираме, като използваме същите изрази, с които току-що работихме като пример.
Правила за работа с таблицата на първоизводните
Нека напишем нашата функция отново:
В предишния случай използвахме следната формула за решаване:
\[((a)^(x))\до \frac(((a)^(x)))(\име на оператор(lna))\]
Но сега нека го направим малко по-различно: нека си спомним на каква база $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Както вече казах, тъй като производната $((e)^(x))$ не е нищо повече от $((e)^(x))$, следователно нейната антипроизводна ще бъде равна на същото $((e) ^ (x))$. Но проблемът е, че имаме $((e)^(2x))$ и $((e)^(-2x))$. Сега нека се опитаме да намерим производната на $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Нека пренапишем нашата конструкция отново:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Това означава, че когато намерим антипроизводното $((e)^(2x))$, получаваме следното:
\[((e)^(2x))\до \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Както можете да видите, получихме същия резултат като преди, но не използвахме формулата, за да намерим $((a)^(x))$. Сега това може да изглежда глупаво: защо да усложняваме изчисленията, когато има стандартна формула? При малко по-сложни изрази обаче ще откриете, че тази техника е много ефективна, т.е. използване на производни за намиране на антипроизводни.
Като загрявка, нека намерим първоизводната на $((e)^(2x))$ по подобен начин:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
При изчисляване нашата конструкция ще бъде написана, както следва:
\[((e)^(-2x))\до -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\до -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Получихме абсолютно същия резултат, но поехме по различен път. Именно този път, който сега ни се струва малко по-сложен, в бъдеще ще се окаже по-ефективен за изчисляване на по-сложни антипроизводни и използване на таблици.
Забележка! Това е много важен момент: антипроизводните, подобно на производните, могат да бъдат преброени по много различни начини. Ако обаче всички изчисления и изчисления са равни, тогава отговорът ще бъде същият. Току-що видяхме това с примера на $((e)^(-2x))$ - от една страна, изчислихме тази антипроизводна „направо“, използвайки дефиницията и я изчислявайки с помощта на трансформации, от друга страна, запомнихме, че $ ((e)^(-2x))$ може да бъде представено като $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ и едва тогава използвахме първоизводната за функцията $( (a)^(x))$. Въпреки това, след всички трансформации, резултатът беше същият, както се очакваше.
И сега, когато разбираме всичко това, е време да преминем към нещо по-значимо. Сега ще анализираме две прости конструкции, но техниката, която ще се използва при решаването им е по-мощен и полезен инструмент от простото „бягане“ между съседни антипроизводни от таблицата.
Решаване на задачи: намиране на първоизводната на функция
Пример #1
Нека разделим сумата, която е в числителите на три отделни фракции:
Това е доста естествен и разбираем преход - повечето ученици нямат проблеми с него. Нека пренапишем нашия израз, както следва:
Сега нека си припомним тази формула:
В нашия случай ще получим следното:
За да се отървете от всички тези триетажни фракции, предлагам да направите следното:
Пример №2
За разлика от предишната дроб, знаменателят не е продукт, а сума. В този случай вече не можем да разделим нашата дроб на сбора от няколко прости дроби, но трябва по някакъв начин да се опитаме да се уверим, че числителят съдържа приблизително същия израз като знаменателя. В този случай е доста лесно да го направите:
Тази нотация, която на математически език се нарича „добавяне на нула“, ще ни позволи отново да разделим дробта на две части:
Сега нека намерим това, което търсихме:
Това са всички изчисления. Въпреки привидната по-голяма сложност, отколкото в предишния проблем, количеството изчисления се оказа още по-малко.
Нюанси на решението
И тук се крие основната трудност при работа с таблични антипроизводни, това е особено забележимо във втората задача. Факт е, че за да изберем някои елементи, които лесно се изчисляват чрез таблицата, трябва да знаем какво точно търсим и именно в търсенето на тези елементи се състои цялото изчисляване на антипроизводните.
С други думи, не е достатъчно просто да запомните таблицата на антипроизводните - трябва да можете да видите нещо, което все още не съществува, но какво са имали предвид авторът и компилаторът на този проблем. Ето защо много математици, учители и професори непрекъснато спорят: „Какво е да вземеш антипроизводни или интеграция - това просто инструмент ли е или е истинско изкуство?“ Всъщност лично според мен интеграцията не е никакво изкуство – в нея няма нищо възвишено, това е просто практика и още практика. И за да се упражним, нека решим три по-сериозни примера.
Обучаваме интеграция на практика
Задача No1
Нека напишем следните формули:
\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\до \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\до \text(arctg)x\]
Нека напишем следното:
Проблем No2
Нека го пренапишем по следния начин:
Общият антипроизводен ще бъде равен на:
Проблем No3
Трудността на този проблем е, че за разлика от предишните функции по-горе, изобщо няма променлива $x$, т.е. Не разбираме какво да добавим или извадим, за да получим поне нещо подобно на това, което е по-долу. Въпреки това, всъщност този израз се счита дори за по-прост от който и да е от предишните изрази, тъй като тази функция може да бъде пренаписана, както следва:
Сега може да попитате: защо тези функции са равни? Да проверим:
Нека го пренапишем отново:
Нека трансформираме малко израза си:
И когато обяснявам всичко това на моите ученици, почти винаги възниква един и същ проблем: с първата функция всичко е повече или по-малко ясно, с втората можете също да го разберете с късмет или практика, но какъв вид алтернативно съзнание имате трябва да имате, за да решите третия пример? Всъщност не се плашете. Техниката, която използвахме при изчисляването на последната първоизводна, се нарича „разлагане на функция на нейната най-проста“ и това е много сериозна техника и на нея ще бъде посветен отделен видео урок.
Междувременно предлагам да се върнем към това, което току-що изучавахме, а именно към експоненциалните функции и донякъде да усложним проблемите с тяхното съдържание.
По-сложни задачи за решаване на първообразни експоненциални функции
Задача No1
Нека отбележим следното:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
За да намерите антипроизводното на този израз, просто използвайте стандартната формула - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
В нашия случай антипроизводното ще бъде така:
Разбира се, в сравнение с дизайна, който току-що решихме, този изглежда по-прост.
Проблем No2
Отново е лесно да се види, че тази функция може лесно да бъде разделена на два отделни члена - две отделни дроби. Нека пренапишем:
Остава да се намери антипроизводното на всеки от тези термини, като се използва описаната по-горе формула:
Въпреки очевидно по-голямата сложност на експоненциалните функции в сравнение със степенните функции, общият обем на изчисленията и изчисленията се оказа много по-прост.
Разбира се, за знаещите ученици това, което току-що обсъдихме (особено на фона на това, което обсъдихме преди), може да изглежда като елементарни изрази. Въпреки това, когато избирах тези две задачи за днешния видео урок, не си поставих за цел да ви кажа друга сложна и усъвършенствана техника - всичко, което исках да ви покажа е, че не трябва да се страхувате да използвате стандартни алгебрични техники за трансформиране на оригинални функции .
Използване на "тайна" техника
В заключение бих искал да разгледам още една интересна техника, която, от една страна, надхвърля това, което основно обсъждахме днес, но, от друга страна, тя, първо, не е никак сложна, т.е. Дори начинаещите ученици могат да го овладеят и, второ, доста често се среща във всички видове тестове и самостоятелна работа, т.е. познаването на това ще бъде много полезно в допълнение към познаването на таблицата на антипроизводните.
Задача No1
Очевидно имаме нещо много подобно на степенна функция. Какво трябва да направим в този случай? Нека помислим за това: $x-5$ не е много по-различно от $x$ - те просто добавиха $-5$. Нека го напишем така:
\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Нека се опитаме да намерим производната на $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Това предполага:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ надясно))^(\prime ))\]
В таблицата няма такава стойност, така че сега сами сме извели тази формула, като използваме стандартната формула за антипроизводна за степенна функция. Нека напишем отговора така:
Проблем No2
Много ученици, които разглеждат първото решение, може да си помислят, че всичко е много просто: просто заменете $x$ в степенната функция с линеен израз и всичко ще си дойде на мястото. За съжаление, всичко не е толкова просто и сега ще видим това.
По аналогия с първия израз записваме следното:
\[((x)^(9))\до \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Връщайки се към нашата производна, можем да напишем:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Това веднага следва:
Нюанси на решението
Моля, обърнете внимание: ако последния път нищо не се промени по същество, тогава във втория случай вместо $-10$ се появи $-30$. Каква е разликата между $-10$ и $-30$? Очевидно с коефициент $-3$. Въпрос: откъде идва? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че е взето в резултат на изчисляване на производната на сложна функция - коефициентът, който стои на $x$, се появява в антипроизводната по-долу. Това е много важно правило, което първоначално изобщо не планирах да обсъждам в днешния видео урок, но без него представянето на табличните първоизводни би било непълно.
Така че нека го направим отново. Нека да бъде нашата основна мощностна функция:
\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Сега, вместо $x$, нека заместим израза $kx+b$. Какво ще стане тогава? Трябва да намерим следното:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
На какво основание твърдим това? Много просто. Нека намерим производната на конструкцията, написана по-горе:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Това е същият израз, който е съществувал първоначално. По този начин тази формула също е правилна и може да се използва за допълване на таблицата на антипроизводните или е по-добре просто да запомните цялата таблица.
Изводи от „тайната: техника:
- И двете функции, които току-що разгледахме, всъщност могат да бъдат сведени до противопроизводните, посочени в таблицата, чрез разширяване на степените, но ако повече или по-малко можем да се справим по някакъв начин с четвъртата степен, тогава не бих направил деветата степен на всички се осмелиха да разкрият.
- Ако трябваше да разширим степените, ще получим такъв обем изчисления, че една проста задача ще ни отнеме неподходящо много време.
- Ето защо такива задачи, които съдържат линейни изрази, не трябва да се решават „стремглаво“. Веднага щом попаднете на антипроизводна, която се различава от тази в таблицата само по наличието на израза $kx+b$ вътре, веднага си спомнете формулата, написана по-горе, заменете я във вашата таблична антипроизводна и всичко ще се окаже много по-бързо и по-лесно.
Естествено, поради сложността и сериозността на тази техника, ще се връщаме към нейното разглеждане многократно в следващите видео уроци, но това е всичко за днес. Надявам се, че този урок наистина ще помогне на учениците, които искат да разберат антипроизводните и интеграцията.
Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как се решават интеграли и защо не можете без това.
Ние изучаваме понятието "интеграл"
Интеграцията е известна още в Древен Египет. Разбира се, не в съвременния му вид, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Вече имаме информация за , необходима за разбирането на интегралите, в нашия блог.
Неопределен интеграл
Нека имаме някаква функция f(x) .
Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .
С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.
Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.
Прост пример:
За да не се изчисляват постоянно антипроизводни на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности.
Пълна таблица на интегралите за ученици
Определен интеграл
Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.
Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция?
С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:
Точки a и b се наричат граници на интегриране.
Бари Алибасов и групата "Интеграл" Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от
Правила за изчисляване на интеграли за манекени
Свойства на неопределения интеграл
Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаване на примери.
- Производната на интеграла е равна на интеграла:
- Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:
- Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:
Свойства на определен интеграл
- Линейност:
- Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:
- При всякаквиточки а, bИ с:
Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:
Примери за решаване на интеграли
По-долу ще разгледаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.
За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионална служба за студенти и всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.
Преди това по дадена функция, ръководейки се от различни формули и правила, намерихме нейната производна. Производното има многобройни приложения: това е скоростта на движение (или по-общо, скоростта на всеки процес); ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функция за монотонност и екстремуми; помага за решаването на проблеми с оптимизацията.
Но наред със задачата за намиране на скоростта по известен закон на движение, има и обратна задача - задачата за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.
Пример 1.Материална точка се движи по права линия, нейната скорост в момент t се дава по формулата v=gt. Намерете закона за движение.
Решение. Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = v(t). Това означава, че за решаване на проблема трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на gt. Не е трудно да се познае че \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Всъщност
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Отговор: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Получаваме \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция от вида \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), където C е произволна константа, може да служи като закон на движение, тъй като \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
За да направим проблема по-конкретен, трябваше да коригираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в даден момент от времето, например при t = 0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенство s(t) = (gt 2)/2 + C получаваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена, изобретени са специални обозначения, например: повдигане на квадрат (x 2) и квадратен корен (\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната на дадена функция се нарича диференциация, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна, е интеграция.
Самият термин „производна“ може да бъде оправдан „от ежедневни термини“: функцията y = f(x) „ражда“ нова функция y" = f"(x). Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не я наричат „родител“ или „производител“; те казват, че е така по отношение на функцията y" = f"( x), първично изображение или примитив.
Определение.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, ако равенството F"(x) = f(x) е валидно за \(x \in X\)
На практика интервалът X обикновено не се посочва, но се подразбира (като естествена област на дефиниране на функцията).
Да дадем примери.
1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 2)" = 2x
2) Функцията y = x 3 е противопроизводна на функцията y = 3x 2, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 3)" = 3x 2
3) Функцията y = sin(x) е антипроизводна за функцията y = cos(x), тъй като за всяко x равенството (sin(x))" = cos(x) е вярно
При намирането на антипроизводни, както и на производни, се използват не само формули, но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.
Знаем, че производната на една сума е равна на сумата от нейните производни. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.
Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 2.Ако F(x) е антипроизводно за f(x), тогава kF(x) е антипроизводно за kf(x).
Теорема 1.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y = f(kx + m) е функцията \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Теорема 2.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x) + C.
Интеграционни методи
Метод на заместване на променливи (метод на заместване)
Методът на интегриране чрез заместване включва въвеждането на нова интеграционна променлива (т.е. заместване). В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него. Няма общи методи за избор на замествания. Способността за правилно определяне на заместването се придобива чрез практика.
Нека е необходимо да се изчисли интегралът \(\textstyle \int F(x)dx \). Нека направим заместването \(x= \varphi(t) \), където \(\varphi(t) \) е функция, която има непрекъсната производна.
Тогава \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за интегриране за неопределения интеграл, получаваме формулата за интегриране чрез заместване:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интегриране на изрази от формата \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ако m е нечетно, m > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването sin x = t.
Ако n е нечетно, n > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването cos x = t.
Ако n и m са четни, тогава е по-удобно да се направи заместването tg x = t.
Интеграция по части
Интегриране по части - прилагане на следната формула за интегриране:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)