Разделянето на естествените числа до прости и композитни се приписва на древната гръцка математика Питагора. И ако следвате Питагора, тогава наборът от естествени числа може да бъде разделен на три класа: (1) - комплект, състоящ се от един номер - единици; (2, 3, 5, 7, 11, 13,) - множество първични числа; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,) - различни компоненти.
Много различни мистерии работят втори комплект. Но първо, нека разберем, че такъв просто число. Отворете "Математически енциклопедичен речник" (YU. V. Prokhorov, Издателска къща "Съветска енциклопедия", 1988) и прочетете:
"Един прост номер е цяло число положително число, повече единици, които нямат други делители, освен само по себе си и единици: 2,3,5,7,11,13,
Концепцията за прост номер е основната в проучването на делимостта на естествените числа; Това е, че основната теорема на аритметични претенции, че всеки цялостен положителен брой, с изключение на 1, е единственият начин, който се разлага в работата на основните числа (редът на факторите не се вземат предвид). Простите цифри са безкрайно (това предложение, наречено Теорем Евклид, е известно, че е по-древно гръцки математици, доказателството му е все още в книгата. 9 "започна" Евклида). P. dirichlet (1837) установи, че в аритметичното развитие на A + BX при X \u003d 1. , 2, с с цяло число взаимно прост А и В, също съдържа безкрайно много основни числа.
За да намерите простите числа от 1 до X служи като 3-ри век. БК д. Метода на решаване на еретосфена. Разглеждането на последователността (*) на основните числа от 1 до X показва, че с увеличаване X става средно по-рядко. Има произволно дълги сегменти на редица естествени числа, сред които няма нито един (теорема 4). В същото време има такива прости числа, разликата между която е 2 (t.n. gemini). Досега (1987) е неизвестен, разбира се, или безкрайно много такива близнаци. Таблиците за първични числа, разположени в рамките на първите 11 милиона естествени числа, показват наличието на много големи близнаци (например 10 006 427 и 10,006,429).
Определянето на разпределението на основните числа в естествен брой числа е много трудна задача на теорията на числата. Той се поставя като изследване на асимптотичното поведение на функцията, обозначаваща броя на основните числа, не повече от положително число. От теоремата Euclidea е ясно, че кога. L. euler през 1737 г. въведе Zeta функция.
Той доказа това
Когато сумирането се извършва във всички естествени числа, и работата поема всички прости. Тази идентичност и нейните обобщения играят основна роля в теорията за разпространението на основните числа. Въз основа на това, L. Euler доказа, че редът и работата по прости P се различават. Освен това, L. Euler установи, че простите числа "много", за
И в същото време почти всички естествени числа са композитни, тъй като кога.
и с всеки (т.е., който расте като функция). Хронологично, както следва значителен резултат, като посочва теоремата на CEBYSHEV, е Т. Асимптотичен закон за разпространението на основните числа (J. Adamar, 1896, S. la Valle Poussin, 1896), който заключи, че границата на връзката е равна на 1. В бъдеще бяха изпратени значителните усилия на математиците, за да се изясни асимптотичния закон за разпределението на основните числа. Въпросите за разпределение на просните номера се изследват чрез елементарни методи и методи за математически анализ. "
Тук има смисъл да се донесе доказателство за някои теореми, дадени в статията.
Lemma 1. Ако възел (A, B) \u003d 1, тогава има цели числа x, y такъв, че.
Доказателства. Нека a и b са взаимно прости числа. Помислете за зададената j от всички естествени номера z, представляващи във формата и изберете най-малкото число d в него.
Доказваме това и е разделено на Г. Разделяме и на D с остатъка: и нека. Тъй като има формата,
Виждаме това.
Тъй като предложихме, D е най-малкият брой в J, получило противоречие. Така че, тя е разделена на D.
По същия начин, доказваме, че Б е разделен на D. Така, d \u003d 1. Лема се доказва.
Теорема 1. Ако номерата А и В са взаимно прости и работата на BX е разделена на A, X е разделена на a.
Доказателство1. Трябва да докажем, че AH е разделен на B и възел (A, B) \u003d 1, X е разделен на b.
В Лема 1 има X, Y такова. Тогава очевидно е разделено на b.
Доказателство 2. Помислете за зададената j от всички естествени числа Z така, че ZC е разделен на b. Нека D е най-малкият номер в J. Лесно е да се види това. Подобно на доказателството на Lemma 1, доказано е, че е разделено на D и B, разделено на D
Lemma 2. Ако цифрите Q, P1, P2, PN са прости и работата е разделена на Q, след това един от числата PI е Q.
Доказателства. Първо, отбелязваме, че ако един прост номер P споделя на Q, след това P \u003d Q. От тук незабавно следва изявлението на лемата за n \u003d 1. За n \u003d 2, той следва директно от теорема 1: ако P1R2 е разделен на прост номер Q и след това P2 е разделен на Q (т.е.).
Доказателство за лема за n \u003d 3 ще извърши така. Нека p1 p2 p3 да бъде разделен на q. Ако P3 \u003d Q, тогава всичко е доказано. Ако, според теорема 1, p1 p2 е разделен на q. По този начин случаят n \u003d 3 намалихме случая, който вече се счита за N \u003d 2.
По същия начин, от n \u003d 3, можем да отидем на n \u003d 4, след това до n \u003d 5, и като цяло, ако приемем, че е доказано, че е доказано, че е доказано, че може лесно да го докажем за n \u003d k + 1. Това ни убеждава, че лемата е вярна за всички n.
Основната теорема на аритметиката. Всяко естествено число се разлага по просто фактори.
Доказателства. Да предположим, че има две декомпозиции на номера А при прости фактори:
Тъй като дясната страна е разделена на Q1, тогава лявата част на равенството трябва да бъде разделена на Q1. Според Lemma 2, един от числата е Q1. Поправя двете части на равенството върху Q1.
Ще проведем същото разсъждение за Q2, след това за Q3, за Qi. В крайна сметка всички мултипликатори ще бъдат намалени надясно и ще останат 1. естествено, тя няма да бъде оставена отляво, с изключение на устройството. Оттук заключаваме, че две декомпозиции могат да се различават само по реда на факторите. Теорема се доказва.
Теоремата на евклида. Редица основни номера са безкрайни.
Доказателства. Да предположим, че редица прости числа са ограничени и означават последния прост номер на буквата N. Направете работа
Ние добавим към него 1. Получаваме:
Този номер, който е цяло число, трябва да съдържа поне един прост фактор, т.е. той трябва да бъде споделен поне един прост номер. Но всички прости числа, чрез предположение, не надвишават N, броят на М + 1 не е разделен без остатък или един от простите числа по-малки или равни на N, - всеки път, когато се оказва остатък 1. Теоремата е доказано.
Теорема 4. Раздели от съставни номера между прости има някаква дължина. Сега доказваме, че серията се състои от n последователни компоненти.
Те идват директно един към друг в естествен ред, като всеки следващ до 1 повече от предишния. Остава да докаже, че всички те са композитни.
Първи номер
Дори и от двете му термини съдържат множител 2. и всеки дори номер 2, - композитен.
Вторият номер се състои от два термина, всеки от които е множествена 3. Така че е броят на композита.
По същия начин, ние установяваме, че следващият номер е множество 4 и т.н. с други думи, всеки брой на нашата серия съдържа множител, различен от един и свой собствен; Следователно то е композитно. Теорема се доказва.
След изследване на доказателството на теоремите, ще продължи да разглежда статията. В своя текст се споменава методът на еретосфената сито като начин за намиране на прости номера. Този метод от същия речник:
"ERATOSTHENA е решение - метод, разработен от Eratosphen и позволява на композитни номера от естествен ред. Същността на ситото на еретосфена е както следва. Уни в единица. Номерът е два - проста. Всички естествени числа са шокирани за 2. номер 3 - първият неопределен брой ще бъде прост. След това всички естествени числа са смачкани, които са разделени на 3. Числото 5 е следният отключен номер - ще бъде прост. Продължавайки подобни изчисления, възможно е да се намери произволно дължина на последователността на основните числа. Racheto Eratosthene Като теоретичният метод за изследване на теорията на числата е разработен от V. Brune (1919).
Ето най-големият брой, което понастоящем е известно, че е просто:
Този брой има около седемстотин десетични знаци. Изчисления, с които е установено, че този брой е прост, се извършва на модерни изчислителни машини.
"Dzeta-функция на Riemann, -функция, - аналитична функция на сложна променлива, с σ\u003e 1, определено абсолютно и равномерно в близост до Дирихле:
Когато σ\u003e 1, изпълнението на работата на Ойлер е вярно:
(2) където r изпълнява всички прости номера.
Самоличността на серията (1) и произведенията (2) са едно от основните свойства на функцията ZETA. Тя ви позволява да получите различни съотношения, които свързват функцията ZETA с най-важните теоретични и цифрови функции. Следователно функцията Zeta играе важна роля в теорията на числата.
Функцията ZETA е въведена като функция на валидна променлива L. euler (1737, publ. 1744), която показва местоположението му в работата (2). Тогава Zeta функцията е разгледана от P. dirichlet и особено успешно P. l. chebyshev във връзка с изучаването на закона за разпределението на основните числа. Въпреки това, най-дълбоките свойства на функцията ZETA са открити след произведенията на Б. Риман, за първи път през 1859 г. на функцията на dzet като функция на сложна променлива, името "dzet функция" и обозначението "е въведени.
Но възниква въпросът: какво практично приложение съществува за всички тези работи за прости номера? Наистина, почти не се използва за тях, но има една област, в която се прилагат прости номера и техните свойства за този ден. Това е криптография. Тук простите числа се използват в системите за криптиране без ключов трансфер.
За съжаление, това е всичко, което е известно за простите числа. Има и много мистерии. Например, не е известно дали много прости номера са безкрайно си представени като два квадрата.
- Не е лесно прости номера.
Реших да извърша незначителни проучвания, за да намеря отговори на някои въпроси относно простите числа. На първо място, бях съставен от програма, която издава всички последователни прости числа, по-малки от 1,000,000, беше изготвена програма, която определя дали въведеният номер е прост. За да проучим проблемите на основните числа, аз бях построен графика, отбелязвайки зависимостта на величината на обикновен брой от поредния номер като допълнителен план на проучването, реших да използвам статията е Zeltser и BA Kordemsky "заети" прости числа." Авторите отпуснаха следните научни пътища:
1. 168 Места от първите хиляди естествени номера заемат прости номера. От тях 16 номера са палиндромични - всички същият: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 787, 797, 757, 787, 797, 919, 787, 797, 919, 787, 797, 757, 787, \\ t 797, 919, 929
Четирицифрен прост брой само 1061 и никой от тях не е палиндром.
Много цифри просто палиндромни числа много. В техния състав историци: 13331, 15551, 16661, 19991. Без съмнение има опаковки и този вид:, Но колко копия във всеки такъв пакет?
3 + x + x + x + 3 \u003d 6 + 3x \u003d 3 (2 + x)
9 + x + x + x + 9 \u003d 18 + 3x \u003d 3 (6 + x)
Може да се види, че количеството брой числа и е разделено на 3, затова тези номера са разделени и на 3.
Що се отнася до вида от формата, сред тях са прости числа 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.
2. В първите хиляди номера има пет "квартета", състоящи се от договор за достигане на прости числа, последните фигури, които образуват последователност 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), ( 101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).
Колко такива квартета са сред n-бележки прости номера при n\u003e 3?
С помощта на програма, написана от мен, е намерен квартет, пропуснат от авторите: (479, 467, 463, 461) и квартети за n \u003d 4, 5, 6. за n \u003d 4 има 11 квартета
3. Стадо девет прайми: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - атрактивно не само от факта, че е аритметична прогресия с разлика между 210, но и способността да се настанят Девет клетки, така че това, което се образува магически квадрат с постоянен, равен на разликата от два прости номера: 3119 - 2:
Следващият десети член на разглежданата прогресия 2089 също е прост номер. Ако премахнете от номера на опаковката 199, но включите 2089, след това в този състав стадото може да образува магически квадрат - тема за търсене.
Трябва да се отбележи, че има и други магически квадратчета, състоящи се от основни числа:
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
Предложеният площад е любопитен, защото
1. Това е магически квадрат 7х7;
2. съдържа магическия площад 5x5;
3. Магическият квадрат 5x5 съдържа магическия площад 3x3;
4. Всички тези квадрати имат един общ централен номер - 3407;
5. Всички 49 номера, които влизат в квадрат 7х7, завършват с номер 7;
6. Всички 49 номера на площада 7x7 са прости номера;
7. Всеки от 49 номера, включени в квадрат 7х7, представлява 30N + 17.
Използваните програми са написани от мен в програмния език DEV C ++ и техните текстове, които цитирам в приложението (вижте файлове с разширение. CPR). В допълнение към изброените, аз написах програма, която поставя последователни естествени номера към прости фактори (виж делителите 1. CRP) и програма, която намалява само на простите фактори (виж разделителите 2. CRP). Тъй като тези програми в съставена форма заемат твърде много място, са дадени само техните текстове. Въпреки това, всеки може да ги компилира с подходяща програма.
Биографии на учените, ангажирани в проблема с основните числа
Еуклид (еуклиди)
(около 330 г. пр. Хр. д. - около 272 г. пр. Хр. д.)
Има много малко значима информация за живота на най-известната математика на древността. Смята се, че е проучил в Атина и неговото брилянтно притежание на геометрията, разработено от училището на Платон. Въпреки това, очевидно той не е запознат с делата на Аристотел. Той преподава в Александрия, където е спечелил висока оценка на педагогическите си дейности по време на царуването на Птолемей I Sotota. Има легенда, че този цар е поискал да го отвори начин да постигне бърз успех в математиката, към който Евклид отговори, че няма кралски пътеки в геометрията (подобна история, но те също така разказваха за Менхом, който твърди, че е поискал Александър Страхотен). Традицията запази паметта на евклидея като доброжелателно и скромно лице. Евклидиан е автор на трактат по различни теми, но името му е свързано главно с един от трактатите, които името "започна". Става дума за посрещане на работата на математиците, които са работили към него (най-известните лицемер от Кос), резултатите от които той доведе до съвършенство поради способността си да бъде обобщена и трудолюбива.
Euler (euler) Леонард
(Базел, Швейцария 1707 - Санкт Петербург, 1783)
Математика, механик и физик. Роден в семейството на беден пастор Пол Ойлер. Образованието беше на първо място в бащата, а през 1720-24 г. в Базел в Базел, където бе изнесъл в математиката I. Bernoulli.
В края на 1726 г. Ойулер е поканен в Санкт Петербург Ан и през май 1727 г. дойде в Санкт Петербург. Само в организирана академия, ЮЛЕР намери благоприятни условия за научни дейности, което му позволи незабавно да започне класове по математика и механика. В продължение на 14 години от първия Петербургския период, сулър, подготвен за отпечатване на около 80 творби и публикува над 50. В Санкт Петербург, учи руски.
Ейлер участва в много области на дейността на Санкт Петербург. Той е изнасящ за ученици от академичния университет, участва в различна техническа експертиза, работи по подготовката на Русия, написа публично достъпна "ръководство за аритметика" (1738-40). На специална инструкция на Академията, Ойулер, подготвен за пресата "Sea Science" (1749) - фундаментална работа по теорията на корабостроенето и корабоплаването.
През 1741 г. ЮЛЕР приема предложението на пруския цар Фридрих II да се премести в Берлин, където реорганизацията на. В Берлинската академия на науките, директорът на математическия клас и член на управителния съвет, и след смъртта на първия си президент П. Моплертуй в продължение на няколко години (от 1759 г.) всъщност ръководи Академията. За 25 години живот в Берлин той подготви около 300 произведения сред тях редица големи монографии.
Живеейки в Берлин, Юулер не престава да работи интензивно за Санкт Петербург Акан, като същевременно запази заглавието на нейния уважаем член. Той доведе обширна научна и научна и организационна кореспонденция, по-специално, съответства на М. Ломоносов, който той високо ценен. Ойлер редактира математическия отдел на руския академичен научен орган, където публикува в почти същите статии по време на "мемоарите" на Берлин. Той активно участва в подготовката на руските математици; Бъдещи академици на С. Котеликов, С. Румъвски и М. Софронов бяха изпратени до Берлин, за да заемат под негово ръководство. Голямата помощ на Euler осигурява академия "Санкт Петербург" на науките, придобивайки научна литература и оборудване за нея, провеждане на преговори с кандидати за длъжности в Академията и т.н.
17 (28) Юли 1766 г. Ойлер заедно със семейството си се върна в Петербург. Въпреки старостта и разбра почти пълна слепота, той работеше продуктивно до края на живота си. За 17 години вторичен престой в Санкт Петербург, те подготвиха около 400 творби, сред които няколко големи книги. Ойлер продължи да участва в организационната работа на Академията. През 1776 г. той е един от експертите на проекта на моста на Юника над Нева, предложен от I. Kulibin, а една от цялата комисия е била подкрепена широко от проекта.
Заслугите на Ойлер като най-големият учен и организаторът на научните изследвания бяха високо оценени от живота му. В допълнение към академиите на Санкт Петербург и Берлин, той се състои от член на най-големите научни институции: Париж, Лондонското кралско общество и др.
Една от отличителните партии по креативност на Ойлер е изключителната им производителност. Само около 550 от неговите книги и статии са публикувани по време на живота му (списъкът на труда на Ойлер съдържа около 850 заглавия). През 1909 г. швейцарската природна наука започва да публикува пълната колекция от писанията на Ойлер, която е завършена през 1975 г.; Състои се от 72 тома. Колосалната научна кореспонденция на Ойлер (около 3000 букви) е от голям интерес (около 3000 букви), само частично публикуван.
Кръгът на дейност на Опеле беше необичайно широк, обхващайки всички отдели на съвременната математика и механика, теорията на еластичността, математическата физика, оптиката, теорията на музиката, теорията на машините, балистиката, морската наука, застрахователния бизнес и др. 5 произведения на Ойлер принадлежат към математиката, оставащите 2/5 главно към нейните приложения. Учените систематизираха своите резултати и резултати, получени от други, ученият систематизиран в редица класически монографии, написани с невероятна яснота и предоставени ценни примери. Такива, например "механици или науката за движението, очертано аналитично" (1736), "Въведение в анализ" (1748), "Диференциално изчисление" (1755), "теория на движението на твърдото тяло" (1765), " Universal Arithmetic "(1768-69), устоя на около 30 публикации на 6 езика," интегрално изчисление "(1768-94) и т.н. През XVIII век. и частично през XIX век. Публичните "писма за различни физически и философски въпроси, написани на някаква германска принцеса, придобива значително популярност. "(1768-74), които са издържали над 40 издания на 10 езика. Повечето от монографиите на Ойлер след това влязоха в обучението на ръководствата за най-високата и частично гимназия. Невъзможно е да се изброи всички теореми, методи и формули на супера, от които само няколко се появяват в литературата под неговото наименование [например, метода на счупения супер, заместване на супера, константа на супера, супераст, супер Уравнения, формулата на EULER, функцията на Ойлер, номера на Ойлер, формулата на супера - Maclorena, формула за формула на EULER - Фурие, характеристики на айлер, интеграл на супер, ъгли на EULER].
В "Механика" Еулер първо очерта динамиката на точката с помощта на математическия анализ: свободното движение на точката под действието на различни сили както в празнота, така и в среда на импеданс; движение на точката на тази линия или на тази повърхност; Движение под действието на централните сили. През 1744 г. той първо правилно формулира механичния принцип на най-малкото действие и показа първите си приложения. В "теорията на твърдото тяло", Ойулер разработи кинематиката и динамиката на твърдото тяло и дава уравнението на ротацията си около фиксираната точка, поставяйки началото на теорията на жироскопите. В своята теория на кораба Еулер има ценен принос за теорията за устойчивостта. Откриването на суйлер в небесната механика (например в теорията на луната), механика на твърдите среди (основните уравнения на идеалната течност под формата на американска и в променливите на TN Lagrange, газови колебания в тръби и др. ). В Optics, Euler даде (1747) формулата на лещата с битон, предложи метод за изчисляване на индекса на пречупване на средата. Суйлер се придържаше към теорията на вълната на светлината. Той вярвал, че различните цветове съответстват на различни дължини на вълните светлина. Ойлер предлагаше начини за премахване на хроматичните аберации и да даде методи за изчисляване на оптичните възли на микроскопа. Обширен работен цикъл, стартиран през 1748 г., американската физика, посветена на математическата физика: задачи за колебания в струни, плочи, мембрани и др. Всички тези проучвания стимулират развитието на теорията на диференциалните уравнения, приблизителни методи за анализ, промоции. Функции, диференциална геометрия и др. Много математически открития на EULER се съдържат в тези работи.
Основният случай на Ойлер като математика е развитието на математическия анализ. Той положи основите на няколко математически дисциплини, които бяха само в нейната лазаретна форма, или отсъстваха в смятането на безкрайно малкия I. Нютон, Labitsa, Bernoulli Brothers. По този начин, EULER за пръв път въведе функциите на сложния аргумент и изследва свойствата на основните елементарни функции на сложна променлива (индикативни, логаритмични и тригонометрични функции); По-специално, той извлича формулите, свързващи тригонометричните функции с индикативен. Работата на Ойлер в тази посока бележи началото на теорията на функциите на сложна променлива.
Euler е създател на вариационното изчисление, посочено в работата "методът за намиране на криви на линиите с свойствата на максимум или минимум. "(1744). Методът, с който е обемъкът през 1744 г., получен необходимото условие за екстрема на функционалното - уравнението на EULER е прототип на директни методи за вариационен смятане XX век. Ойлер създаде като независима дисциплина на теорията на обикновените диференциални уравнения и постави основите на теорията на уравненията с частни деривати. Тук притежава огромен брой открития: класически начин за решаване на линейни уравнения с постоянни коефициенти, метод на изменение на произволни константи, изясняване на основните свойства на уравнението на Riccati, интегриране на линейни уравнения с променливи коефициенти, използващи безкрайни редове, критерии за специални решения , преподаването за интегриращия мултипликатор, различни приблизителни методи и редица техники за решаване на уравнения с частни деривати. Значителна част от тези резултати, аулер, събран в "интегралното изчисление".
Euler също така обогатява диференциал и интегриран смятане в тесния смисъл на думата (например доктрината за замяната на променливите, теоремата за хомогенни функции, концепцията за двоен интеграл и изчисляване на много специални интеграли). В "диференциалното изчисление", EULER изрази и подкрепи примери за осъждане в целесъобразността на използването на различна серия и предложи методите за обобщение на редиците, предвиждайки идеята за съвременната строга теория на различната серия, създадена в Обръщане на XIX и XX век. Освен това, Euler получи много специфични резултати в теорията на редовете. Той отвори така наречената. Формулата за сумиране на Euler - Mcloren, предложи трансформацията на редиците, които са причинили името му, определя размера на огромния брой редове и въведе нови важни видове редове в математиката (например тригонометрични пръти). Това също е в непосредствена близост до изследванията на Euler за теорията на непрекъснатите фракции и други безкрайни процеси.
Euler е основател на теорията на специалните характеристики. Той за пръв път започна да разглежда синусите и косин като функции, а не като сегменти в кръг. Те са получили почти всички класически разлагане на елементарни функции в безкрайни редове и работи. Неговите творби създадоха теорията на γ-функцията. Той изследва свойствата на елиптични интеграли, хиперболични и цилиндрични функции, функции, някои θ функции, интегрални логаритъм и важни класове специални полиноми.
Според наблюдението на П. Чебишев, Юлер отбеляза началото на всички изследвания, които съставляват обща част от теорията на числата. По този начин, Юулан се оказа редица изявления, изразени от P. Farm (например, теорема с малка ферма), разработи основите на теорията на удръжките на енергия и теорията на квадратични форми, открити (но не доказват) квадратичния закон на Реципрочност и изследвани редица задачи на Диофантовски анализ. В работата по разделението на номерата към компонентите и теорията на простите числа, EULER първо използва методите за анализ, който е създател на аналитичната теория на числата. По-специално, тя въведе функцията ζ и доказа това Идентичността на Euler, която свързва прости числа с всички естествени.
Велики заслуги и в други области на математиката. В алгебра той притежава работа по решението в радикалите на уравненията на най-високите степени и уравнения с две неизвестни, както и така наречените. Идентичността на Ойлер около четири квадрата. Ойлер значително напреднала аналитична геометрия, особено доктрината за повърхности от втора употреба. В диференциална геометрия той разследва подробно свойствата на геодезическите линии, естествените уравнения на кривите се прилагат за първи път и най-важното, поставят основите на теорията на повърхностите. Той въведе концепцията за основните посоки в повърхностната точка, доказва тяхната ортогоналност, донесе формулата за кривина на нормалното напречно сечение, започна да изучава внедряването на повърхности и т.н.; В едно посмъртно публикувана работа (1862) тя е частично дефинирана от К. Гаус върху вътрешната геометрия на повърхностите. Оперът се занимаваше с индивидуални въпроси на топологията и се оказа, например, важна теорема на изпъкналата полиедрия. Euler-Mathematics често се характеризира като блестящ "калкулатор". Всъщност той е ненадминат майстор на официални изчисления и трансформации в своите писания, много математически формули и символи получиха модерна форма (например, тя принадлежи към обозначението за Е и π). Въпреки това, Ойлер също е направил редица дълбоки идеи в науката, които сега са строго обосновани и служат като извадка от дълбочината на проникване в темата за изследване.
Според П. Лаплас Суйлер е учител по математици от втората половина на XVIII век.
Дирихле (Дирихле) Питър Густав
(Durane, сега Германия, 1805 - Göttingen, ibid, 1859)
Учил е в Париж, подкрепял приятелски отношения с изключителни математици, по-специално с Фурие. За получаването на научна степен е професор по университети Бреслау (1826 - 1828), Берлин (1828 - 1855) и Гьотинген, където започва да ръководи катедрата по математика след смъртта на учен Карл Фридрих Гаус. Неговият най-изключителен принос за науката се отнася до теорията на числата, преди всичко - изучаването на поредицата. Това му позволи да развие теорията на серията, предложена от Фурие. Създадохме собствената си версия на доказателството на теоремата на фермата, използвали аналитични функции за решаване на аритметични задачи и въведе критериите за сближаване във връзка със серията. В областта на математическия анализ подобрява дефиницията и концепцията за функциите, в областта на теоретичната механика, насочена към изследването на стабилността на системите и на нютоновата концепция за потенциала.
Чебишев Пафнутия Лвович
Руският математик, създател на научното училище Санкт Петербург, академик на Санкт Петербург (1856). Члебишев Производството постави развитието на много нови раздели на математиката.
Най-многобройните произведения на Чебишев в областта на математическия анализ. Той по-специално беше теза за правото на четене на лекции, в която Чебишев изследва интегратора на някои ирационални изрази в алгебрични функции и логаритми. Интегрирането на алгебрични функции на Чебишев също посвети редица други творби. В един от тях (1853) се получава известен теорема за условията за интегриране в елементарните функции на диференциален бином. Важна посока на изследванията върху математическия анализ е работата му върху изграждането на общата теория на ортогоналните полиноми. Причината за създаването му е параболичен метод за интерполиране на най-малките квадрати. За същия кръг от идеи, Chebyshev проучвания за проблема с моментите и квадратурите са съседни. Като се има предвид намаляването на изчисленията, Chebyshev предложи (1873) да разглежда квадратурните формули с равни коефициенти (приблизителна интеграция). Проучванията за квадратурата и теорията на интерполиране бяха тясно свързани със задачите, които бяха повдигнати преди Chebyshev в департамента за артилерийството на военно-учен.
В теорията на вероятностите, Чебишев принадлежи към заслугите на систематично въвеждане под внимание на случайните количества и създаването на ново получаване на доказателства за лимитните теореми на теорията на вероятностите - т. Н. Меню Методи (1845, 1846, 1867, 1887). Те бяха доказани от голям брой закона в много общ вид; В същото време, доказателството му изуми от нейната простота и елементарност. Изследването на условията за сближаване на разпределителните функции на количествата независими случайни променливи към нормалния закон на Чебишев не донесе до пълно завършване. Въпреки това, чрез известно добавяне на методи на Чебишев, А. А. Марков успя да направи това. Без строги заключения, Чебишев също така очерта възможността за разяснения на тази граница на теорема под формата на асимптотични разлагания на разпределителната функция на количеството независими термини в градуси N¾1 / 2, където п е броят на компонентите. Работата на Чебишев за вероятностната теория съставлява важен етап от неговото развитие; Освен това те бяха базата, на която руското училище по вероятност теория нараства, на първо място, състоящо се от непосредствените ученици на Чебишев.
Роман Георг Фридриг Бернхард
(Базенц, Долна Саксония, 1826 - Селаска, Близо до нишеца, Италия 66)
Немски математик. През 1846 г. той влезе в Готингенския университет: Той слушал лекциите на К. Гаус, много идеи са разработени по-късно. През 1847-49 г. той слуша лекции в Берлинския университет; През 1849 г. той се връща в Гонтинген, където става близо до служителя на Гаус на физическия вестник В. Уебър, който събужда дълбок интерес към въпросите на математическите науки.
През 1851 г. защитава докторската дисертация "Основи на общата теория на функциите на една сложна променлива". От 1854 г. привансоц, с 1857 професор на университета Готинген.
Работите на Риман имаше голямо влияние върху развитието на математиката на втората половина на XIX век. И през ХХ век. При докторска дисертация, Riman отбеляза началото на геометричната посока на теорията на аналитичните функции; Те въведоха така наречените риманови повърхности, важни в проучванията на многоцелеви функции, беше разработена теорията на конформите и основните идеи на топологията бяха дадени във връзка с това, условията за съществуването на аналитични функции в рамките на Области на различни видове (т.нар. принцип на Дирихле) и др. Разработени от Riemann Methods широко използване в допълнителни работи по теорията на алгебричните функции и интегралите, съгласно аналитичната теория на диференциалните уравнения (по-специално уравнения, които определят хипергеометрични Функции), според аналитичната теория на номерата (например, Riemann е връзката на разпределението на основните числа със свойствата на функцията ζ, по-специално с разпределението на своите нули в комплекса - т.нар. Хипотеза Riemann, чиято справедливост все още не е доказана) и т.н.
В редица произведения, Риман разследва разлагането на функции в тригонометрични серии и във връзка с това определя необходимите и достатъчни условия за интегриране в смисъла на Riemann, която е стойността за теорията за наборите и функциите на валиден променлива. Римски също предложени методи за интегриране на диференциалните уравнения с частни деривати (например, като се използват така наречените Riemann Invarns и Riemann функции).
В известната лекция 1854 г. "на хипотези, разположени на базата на геометрията" (1867), римски даде цялостната идея на математическото пространство (според него, "разнообразие"), включително функционални и топологични пространства. Обмисляше геометрията тук в широк смисъл като доктрина за непрекъснати n-измерени колектори, т.е. разпалванията на всички хомогенни предмети и обобщавайки резултатите от Гаус върху вътрешната геометрия на повърхността, дава общата концепция за линеен елемент (диференциал (диференциал \\ t разстояние между точките на колектора), като по този начин се определя, че това, което се нарича Finservo интервали. По-подробно, Риман счита, че така наречените римани пространства, обобщаващи пространства на евклидовата геометрия, лобачевски и елиптична геометрия на Riemann, характеризираща се със специален вид линеен елемент и развива доктрината за тяхната кривина. Обсъждане на прилагането на идеите си към физическото пространство, римската повдигна въпроса за "причините за метричните свойства", сякаш да предскаже какво е направено в общата теория на относителността.
Идеите, предложени от Riemann и методи, разкриват нови начини за развитието на математиката и откритата употреба в механиката и общата теория на относителността. Ученият умира през 1866 г. от туберкулоза.
В тази статия ще изучаваме прости и композитни номера. Първо, ние ще дадем определението за прости и съставни числа, както и да дам примери. След това доказваме, че простите числа са безкрайно много. След това пишем таблица на основните числа и разглеждаме методите за изготвяне на таблица на основните числа, ние ще се освободим напълно в метода, който получи името на Rutto Eratospen. В заключение, ние ще подчертаем акцентите, които трябва да бъдат взети предвид в доказателството, че този брой е прост или композитен.
Навигация.
Прости и композитни номера - определения и примери
Концепции Обикновено номерата и композитни номера принадлежат към които повече единици. Такива цели числа, в зависимост от броя на техните положителни делители, са разделени на прости и съставни номера. Така да се разбере определения на прости и съставни номера, трябва да си представим добре какви са разделителите и множествата.
Определение.
Прости номера - Това са цели числа, големи единици, които имат само два положителни дела, а именно себе си и 1.
Определение.
Композитни номера - Това са цели числа, големи единици, които имат най-малко три положителни делители.
Отделно, ние отбелязваме, че номер 1 не се прилага за прости, нито към съставните номера. Устройството има само един положителен делител, който е сам номер 1. Този номер 1 е различен от всички други цели положителни числа, които имат най-малко два положителни дела.
Като се има предвид, че целият положителен брой са и че единицата има само един положителен делител, могат да се дадат други формулировки на озвучените определения на обикновени и съставни номера.
Определение.
Прости номера Обадете се на естествени числа, които имат само два положителни дела.
Определение.
Композитни номера Те наричат \u200b\u200bестествени числа, които имат повече от два положителни дела.
Имайте предвид, че всеки цялостен положителен брой, повече единици, има или просто или композитно число. С други думи, няма такъв цяло число, който не може да бъде обикновен или композитен. Това следва от имуществото на делимостта, която гласи, че числата 1 и А са винаги диверси на всяко цяло число а.
Въз основа на информацията от предишния параграф можете да дадете следното определение на съставните номера.
Определение.
Естествени числа, които не са прости, наречени съединение.
Тук примери за прости и съставни номера.
Като примери за съставните номера, ние даваме 6, 63, 121 и 6,697. Това твърдение също се нуждае от обяснение. Номер 6 е в допълнение към положителните делители 1 и 6 и разделители 2 и 3, тъй като 6 \u003d 2 · 3, следователно 6 е наистина композитен номер. Положителни делители 63 са числа 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Числото 121 е равно на продукта 11, така че неговите положителни делители са 1, 11 и 121. А броят 6,697 е композитен, тъй като неговите положителни делители, с изключение на 1 и 6,697, също са числа 37 и 181.
В заключение на този елемент искам все още да обърна внимание на факта, че простите числа и взаимно прости числа са далеч от същото.
Таблица на простите числа
Прости номера, за удобство на тяхната по-нататъшна употреба, са написани на масата, която се нарича таблица на основните числа. По-долу е представен таблица на простите числа до 1 000.
Има логически въпрос: "Защо напълнихме таблицата на основните числа само на 1000, няма ли да направите таблица от всички съществуващи прости номера"?
Отговорете първо на първата част от този въпрос. За повечето задачи, когато решавате, е необходимо да използвате прости номера, ние ще бъдем доста прости числа в рамките на хиляда. В други случаи най-вероятно ще трябва да прибягвате до всички специални решения. Въпреки че, несъмнено можем да изготвим таблица на основните числа до произволно голямо крайно число положително число, било то 10 000 или 1,000,000,000, в следващия параграф, ще говорим за методите за изготвяне на таблици на основните числа, по-специално, ние ще анализира повикването на метода.
Сега ще разберем с възможността (или по-скоро с невъзможността да компилирам таблицата на всички съществуващи прости номера. Не можем да изготвим таблица на всички основни числа, защото простите числа са безкрайно много. Последното изявление е теоремата, която доказваме след следващата спомагателна теорема.
Теорема.
Най-малкият положителен и различен от 1 разделител на естествен номер, по-голяма единица, е прост номер.
Доказателства.
Нека бъде а - естествено число, повече единици и Б - най-малкият положителен и различен делител на номера a. Доказваме, че Б е прост номер по метода от обратното.
Да предположим, че B е композитен номер. След това съществува разделител на числото Б (го означаваме B 1), което се отличава с 1 и от b. Също така вземат предвид, че абсолютната стойност на разделителя не надвишава абсолютната стойност на разделението (това знаем от свойствата на делимостта), тогава условието трябва да се извърши 1
Тъй като номер А е разделен на б при условията и ние казахме, че Б е разделен на B 1, концепцията за делимост ни позволява да говорим за съществуването на такива цели числа Q и Q 1, че A \u003d B · Q и B \u003d B 1 · q 1, където a \u003d b1 · (q 1 q). От това следва, че продуктът от две цели числа е цяло число, след това равенството a \u003d b 1 · (q 1 q) показва, че B 1 е разделител на номер a. Като се има предвид горното неравенство 1
Сега можем да докажем, че простите числа са безкрайно много.
Теорема.
Простите числа са безкрайно много.
Доказателства.
Да предположим, че не е така. Това е, предполагам, че простият брой само на парчета и тези прости числа са p 1, p 2, ..., p n. Ще покажем, че винаги можем да намерим прост брой, различни от посочените.
Помислете за номера, р, равен на P 1 · P2 · ... · P N +1. Ясно е, че този брой е различен от всеки от простите номера Р 1, p 2, ..., p n. Ако номерът P е прост, теоремата е доказана. Ако този номер е композитен, тогава по силата на предишната теорема има прост разделител на този номер (го обозначаваме P N + 1). Ние показваме, че този разделител не съвпада с нито един брой p 1, p 2, ..., p n.
Ако не е така, тогава според свойствата на делимостта, продуктът p 1 · p 2 · ... · p n ще бъдат споделени на P n + 1. Но на P N + 1, числото p, равно на сумата p 1 · p 2 · ... · p n +1 е разделен. От това следва, че на P N + 1 трябва да споделят втория мандат на тази сума, която е равна на една и това е невъзможно.
Толкова е доказано, че винаги може да се намери нов прост номер, не съответства на всяко количество от посочените прости номера. Следователно, простите числа са безкрайно много.
Така че, по силата на факта, че простите числа са безкрайно много, при приготвянето на таблици на основните числа винаги се ограничават от по-горе по всяко число, обикновено, 100, 1000, 10,000 и др.
Swelto Eratothen.
Сега ще обсъдим начини за изготвяне на таблици на основните числа. Да предположим, че трябва да направим таблица на основните номера до 100.
Най-очевидният метод за решаване на този проблем е последователна проверка на цели числа, като се започне с 2 и завършва 100, за наличието на положителен разделител, който е по-голям от 1 и по-малък от проверката (ние знаем от Свойствата на делимостта, че абсолютната стойност на разделителя не надвишава абсолютната стойност на разделението, различно от нула). Ако такъв разделител не е намерен, номерът проверима е прост и се въвежда в таблицата на основните числа. Ако такъв разделител е намерен, номерът на броя е композитен, той не е вписан в таблицата на основните числа. След това има преход към следващия номер, който също се проверява за наличието на разделител.
Ние описваме няколко първите стъпки.
Започваме с числа 2. Числото 2 няма положителни делители, с изключение на 1 и 2. Следователно, следователно е просто, влезме в нея в таблица на основните числа. Тук трябва да се каже, че 2 е най-малкият прост номер. Отидете на номер 3. Възможният му положителен делител, различен от 1 и 3, е номер 2. Но 3 на 2 не е разделен, следователно 3 е прост номер и също трябва да бъде добавен към таблицата на основните числа. Отидете на номер 4. Неговите положителни делители, различни от 1 и 4, могат да бъдат числа 2 и 3, проверете ги. Числото 4 е разделено на 2, следователно 4 е композитен номер и не е необходимо да се добавя към таблицата на основните числа. Привличаме вниманието към факта, че 4 е най-малкият композитен номер. Отидете на номер 5. Проверяваме дали неговият делител е поне един от числата 2, 3, 4. Тъй като 5 не споделят никакви 2, нито една от 3, нито 4, тогава тя е проста и тя трябва да бъде записана в таблицата на основните числа. След това преходът към числата 6, 7 и т.н. до 100.
Този подход към подготовката на таблица на основните числа е далеч от идеалния. Един или друг начин той има право да съществува. Обърнете внимание, че с метода за изграждане на таблица на цели числа е възможно да се използват признаци на разделяне, което леко ускорява процеса на намиране на делители.
Има по-удобен начин за компилиране на таблица на основните числа, наречена. Думата "Solsto", присъстваща в заглавието, не е случайно, тъй като действията на този метод помагат как да се "пресеят" през социотерасовите цели числа, големи единици за отделяне на простите от композита.
Ще покажем Eratospen LateoN в действие при изготвянето на таблица на основните числа до 50.
Първо, запишете реда на числото 2, 3, 4, ..., 50.
Първият записан номер 2 е прост. Сега от номер 2 се преместихме в правото на правото надясно за две числа и инсулт тези числа, докато стигнем до края на таблицата на числата. Така че те ще бъдат пресечени всички числа, множествени две.
Първият следващ в 2 необезпечен номер е 3. Това е прост номер. Сега от номер 3 преминаваме в правото на три номера (като се вземат предвид вече кръстосаните номера) и да ги измъкнем. Така че всички числа, множествени три, ще бъдат изтрити.
Първият извън 3 необезпечен номер е 5. Това е прост номер. Сега от числото 5 последователно се премествате вдясно на 5 номера (ние вземаме под внимание бройки, поразени по-рано) и ги удари. Това ще бъде пресечено всички числа, няколко пет.
Освен това прекоси номерата, множествена 7, след това няколко 11 и така нататък. Процесът завършва, когато няма номера за удар. По-долу е пълната таблица на основните номера до 50, получени с помощта на ератоспен Сол. Всички незалегнати номера са прости и всички кръстосани номера са композитни.
Нека все още формулираме и докажем теоремата, която ще ускори процеса на изготвяне на таблица на просните номера, използвайки ераторазуващия сингъл.
Теорема.
Най-малкият положителен и различен делител на компонент номер А не надвишава къде - от a.
Доказателства.
Означаваме буквата Б от най-малкия и различен делител на компонент номер А (числото Б е просто, което следва от теорема, доказано в самото начало на предишния параграф). След това има такова цяло число q, че a \u003d b · q (тук q е положително цяло число, което следва от правилата за умножаване на цели числа) и условието ще наруши, че b е най-малкият делител на номер А, тъй като Q го също е разделител на номер А поради равенство A \u003d Q · B). Умножаване на двете части на неравенството върху положителен и повече единица цяло число б (това е позволено да го направи), ние получаваме откъде.
Какво ни дава доказана теорема по отношение на еретосфената сито?
Първо, стремежът на компонентите, множествено множествено число Б, трябва да започне с число, равно на (следва от неравенството). Например, номерата на извличане, множество две, трябва да се стартират с числа 4, множествени три - с числа 9, няколко пет - с числа 25, и така нататък.
На второ място, компилирането на таблица на основните номера към номера n, използвайки разтвора на еремосфена, може да се счита за пълно, когато всички компоненти се изтриват, многократно с прости числа, които не са превишени. В нашия пример n \u003d 50 (тъй като ние представляваме таблица на основните числа до 50) и следователно ератосфенът се решава от всички компоненти, множествено на простите числа 2, 3, 5 и 7, които не надвишават аритметиката квадратен корен от 50. Това означава, че не е необходимо да ни търсим по-нататък за търсене и пресичане на числа, множествени прости числа 11, 13, 17, 19, 23 и т.н. до 47, тъй като те вече ще бъдат кръстени като много по-малко просто числа 2 , 3, 5 и 7.
Този номер е прост или композитен?
Някои задачи изискват изясняване дали този номер е прост или композитен. Като цяло тази задача е далеч от прости, особено за номера, записът, който се състои от значителен брой знаци. В повечето случаи е необходимо да се търси конкретен начин за решаване. Въпреки това ще се опитаме да дадем посоката на мислите за прости случаи.
Без съмнение можете да се опитате да се възползвате от признаците на разделяне на факта, че този номер е композитен. Ако, например, някои екземпляри на делимост показва, че този брой е разделен на някакво цяло число положително брой на повече единици, първоначалният номер е композитен.
Пример.
Докаже този номер 898 989 898 989 898 989 композит.
Решение.
Сумата от номерата на този брой е 9,8 + 9 · 9 \u003d 9,7. Тъй като броят, равен на 9 · 17 е разделен на 9, въз основа на делимостта на 9 може да се твърди, че първоначалният номер също е разделен на 9. Следователно тя е композитна.
Значителен недостатък на този подход се крие във факта, че признаците на делимост не позволяват да се докаже простотата на номера. Следователно, когато проверявате номера дали е прост или композитен, трябва да действате по различен начин.
Най-логическият подход е да се насладите на всички възможни делители на този номер. Ако никой от възможните делители не е истински делител на този номер, тогава този номер ще бъде прост, в противен случай съединение. От теоремите се оказаха в предишния параграф, следва, че разделятелите на този номер А трябва да се търсят сред простите числа, които не са по-добри. По този начин, този номер А може да бъде последователно разделен на прости номера (което е удобно да се вземе от таблицата на основните числа), опитвайки се да намери разделител на номера a. Ако се намери разделител, тогава номер А е композитен. Ако, сред простите числа, не повече, делителят на номер А няма да бъде, тогава номерът А е прост.
Пример.
Номер 11 723 прости или композитни?
Решение.
Разберете кой прост номер може да има делители от 11 723. За това оценяваме.
Това е съвсем очевидно 
, като 200 2 \u003d 40 000 и 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью сравнение на номера). По този начин възможните прости разделители на числото 11 723 по-малко от броя 200. Това вече улеснява нашата задача. Ако не знаехме това, тогава ще трябва да оправим всички прости числа не до 200 и до номер 11 723.
Ако желаете, можете да оцените по-точно. От 108 2 \u003d 11 664 и 109 2 \u003d 11 881, след това 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Така, всеки от основните числа по-малък от 109 е потенциално един прост делител на този номер 11 723.
Сега ние последователно ще разделим броя 11 723 на простите числа 2, 3, 5, 7, 11, 29, 9, 37, 23, 29, 31, 37, 23, 29, 31, 37, 71, 73, 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107. Ако номер 11 723 е разделен с цел един от записаните прости номера, тя ще бъде композитна. Ако не е разделен на един от записаните прости номера, първоначалният номер е прост.
Няма да описваме целия процес на монотонност и монотонност. Веднага кажете, че 11 723
Всички естествени числа освен единиците са разделени на прости и композитни. Един прост номер е естествен брой, който има само два дивизатора: единица и сама. Всички останали се наричат \u200b\u200bкомпозитни. Специалната част на математиката се занимава с изследването на свойствата на простите числа - теорията на числата. В теорията на RINGS, простите числа са корелирани с непринудими елементи.
Ние даваме последователността на прости числа от 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 79, 23, 23, 73, 79, 23, 29, 73, 79, 51, 73, 79 83, 89, 97 , 101, 103, 107, 109, 113, ... и др.
Според основната аритметична теорема, всеки естествен номер, който може да бъде представен като продукт на основните числа. В същото време това е единственият начин да се представи естествените числа с точност на реда на завода. Въз основа на това може да се каже, че простите числа са елементарните части на естествените числа.
Такова представяне на естествено число се нарича разлагане на естествен номер на прости номера или факторизация на номера.
Един от най-древните и ефективни начини за изчисляване на основните числа е "десетилетие".
Практиката показа, че след изчисляване на простите числа, използвайки ерасопското решение, е необходимо да проверите дали този номер е прост. За това са разработени специални тестове, така наречените тестове за простота. Алгоритъмът на тези тестове е вероятно. Най-често те се използват в криптографията.
Между другото, да се каже, че за някои класове числа съществуват специализирани ефективни тестове за простота. Например, за да проверите номерата на Mersenna, тестът Neuthege-Leverage се използва за простота и за проверка на простотата на броя на фермата - тест Пепин.
Всички знаем, че номерата са безкрайно много. Въпросът възниква правилно: Колко тогава е простите числа? Обикновените номера също са безкрайно количество. Най-древното доказателство за това решение е доказателството на Евклидес, който е изложен в "началото". Доказателството за евклиди има следната форма:
Представете си, че броят на простите числа разбира се. Преместете ги и добавете единица. Полученият номер не може да бъде разделен на един от крайния набор от основни номера, защото остатъкът от разделение към който и да е от тях дава единица. По този начин, номерът трябва да бъде разделен на някакъв прост номер, не е включен в този набор.
Теоремата за разпространение на простите числа твърди, че броят на простите числа с по-малки n, обозначени с π (n), нараства като n / ln (n).
За хиляди години проучване на основните числа се открива, че най-големият известен прост номер е 243112609 - 1. Този номер включва 12,978,189 десетични цифри и е прост брой Mermesen (M43112609). Това откритие е направено на 23 август 2008 г. в Математическия факултет на Университета в UCLA в рамките на проекта на разпределено търсене на първи числа на Mersenna Gimps.
Основната отличителна черта на броя на Мермена е наличието на високоефективен тест за простотата на люка - ливъридж. С него, простият брой mersenna за дълъг период от време са най-големият от добре познатите прости числа.
Въпреки това, до днес много въпроси относно просните номера не са получили точни отговори. На 5-ия Международен математически конгрес Едмънд Ландау формулира основните проблеми в областта на простите числа:
Проблемът на Goldbach или първият проблем на Landau се крие във факта, че е необходимо да се докаже или опровергае, че всеки друг номер, повече от две, може да бъде представен като сума от два прости номера и всеки нечетен брой, по-големи от 5, повече от 5, може да бъде представена като сума от три обикновени номера.
Вторият проблем на Landau изисква да се намери отговор на въпроса: е многото "прости близнаци" - прости числа, разликата между която е 2?
Хипотезата на Legendra или третия брой на Landau е: вярно ли е, че между N2 и (n + 1) 2 винаги има прост номер?
Четвъртият проблем на Landau: е многото прости номера на формуляра N2 + 1 безкрайно?
В допълнение към горните проблеми, има проблем за определяне на безкрайния брой основни числа в много целеви последователности на вида на фибоначивия номер, броя на фермата и др.
- Трансфер
Имотите на основните номера за първи път започнаха да изучават математиката на древната Гърция. Математиката на Питагоровото училище (500 - 300 г. пр. Хр.) Се интересува предимно от мистичните и нумерологични свойства на просните числа. Те бяха първите, които идват на идеи за перфектни и приятелски числа.
В перфектния номер сумата на собствените му дивизори е равна на него. Например собствените си делители на числото 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 \u003d 6. в разделители номер 28 са 1, 2, 4, 7 и 14. В същото време, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \u003d 28.
Числата се наричат \u200b\u200bприятелски, ако сумата от собствените си делители от същия брой е равна на другата, а напротив - например, 220 и 284. Може да се каже, че перфектният брой е приятелски за себе си.
По времето на работата на евклида "началото" в 300 г. пр. Хр. Вече имаше няколко важни факта по отношение на основните числа. В книгата IX "започна", евклид доказа, че простите числа са безкрайно количество. Това, между другото, е един от първите примери за използване на доказателства от противника. Той също така доказва основната теорема на аритметика - всяко цяло число може да бъде изпратено единственият начин под формата на продукт от прос.
Той също така показа, че ако номер 2 n -1 е прост, тогава числото 2 n-1 * (2 n -1) ще бъде перфектно. Друг математик, ауйвър, през 1747 г. успя да покаже, че всички най-точни номера могат да бъдат записани в този формуляр. И до днес не е известно дали има нечетни числа.
През 200 г. пр. Хр Гръцкият ератоспон излезе с алгоритъм за намиране на прости номера, наречена "Deuto Eratostthena".
И тогава имаше голяма почивка в историята на изследването на основните числа, свързани със средните векове.
Следните открития вече бяха направени в началото на математическата ферма от 17-ти век. Той доказа хипотезата на Алберт Жирр, че всеки прост номер от тип 4N + 1 може да бъде записан уникален начин под формата на сумата от два квадрата и също така формулира теоремата, че всеки номер може да бъде представен като сумата от четири квадрати.
Той разработи нов метод за факторизиране на големи числа и демонстрира своя номер 2027651281 \u003d 44021 × 46061. Той също така доказал малка ферма теорема: ако p е прост номер, тогава за всяко цяло а, това ще бъде истинско AP \u003d a modulo p.
Това твърдение доказва, че половината от това, което е известно като "китайската хипотеза", и датира от 2000 г. по-рано: цяло число n е просто тогава и само ако 2 n -2 е разделен на n. Втората част на хипотезата се оказа фалшива - например, 2 341 - 2 е разделена на 341, въпреки че числото 341 е композитно: 341 \u003d 31 × 11.
Малката ферма ферма служи като основа за много други резултати в теорията на номерата и методите за проверка на номерата, за да принадлежи на прости - много от които се използват и до днес.
Фермата пренаписва много с неговите съвременници, особено с монах, наречен с брак Мелесеен. В една от буквите той изрази хипотезата, че номерата на формата 2 n +1 винаги ще бъде проста, ако n е степен на двойки. Той го провери за n \u003d 1, 2, 4, 8 и 16 и беше уверен, че в случая, когато n не е степен на двойки, броят не е непременно просто. Тези цифри се наричат \u200b\u200bчисла на фермата и едва след 100 години, Юулер показа, че следният номер, 2 32 + 1 \u003d 4294967297 е разделен на 641 и затова не е лесно.
Номерата на формата 2 n - 1 също са служили като предмет, тъй като е лесно да се покаже, че ако N е композитен, тогава самият номер също е композитен. Тези цифри се наричат \u200b\u200bмилсински номера, тъй като той ги изучава активно.
Но не всички номера на формата 2 n - 1, където п е прост, са прости. Например, 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89. За първи път той е открит през 1536 година.
В продължение на много години броят на този вид дава на математиците най-известните прости числа. Че числото M 19, Катадио е доказано през 1588 г. и в продължение на 200 години е най-голямото познато по едно, докато Сулър доказа, че m 31 също е прост. Този рекорд продължи ощестотин години, а след това Лукас показа, че m 127 е прост (и това е броят на 39 цифри) и след това изследването продължи с появата на компютри.
През 1952 г. са доказали простотата на числата m 521, m 607, m 1279, m 2203 и m 2281.
До 2005 г. бяха открити 42 обикновени номера. Най-големият от тях, M 25964951 се състои от 7816230 цифри.
Работата на Ойлер имаше огромно влияние върху теорията на числата, включително и прости. Тя разширява малката теорема на фермата и въведе функцията φ. Факторизирана 5-ти номер на фермата 2 32 +1, имаше 60 двойки приятелски номера и формулирани (но не можеха да докажат) квадратичния закон на реципрочността.
Първоначално въведе методите на математическия анализ и развива аналитичната теория на числата. Той доказа, че не само хармоничната серия σ (1 / n), но и редица видове
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Сумата, получена от сумите обратно на прости номера, също се отклонява. Сумата от n членове на хармоничната серия се увеличава приблизително като дневник (n), а вторият ред се спуска по-бавно от дневника [log (n)]. Това означава, че например количеството на обратните стойности към всички просто намерени числа ще дадат само 4, въпреки че редът се различава.
На пръв поглед изглежда, че простите числа се разпределят между толкова, колкото случайно. Например, сред 100-те номера, които се движат точно пред 10,000,000, 9 прости, и сред 100 номера, които идват веднага след тази стойност - само 2. Но на големи сегменти, простите числа се разпределят съвсем равномерно. Лена и Гаус са издадени от тяхното разпространение. Гаус по някакъв начин описва приятел, че във всеки свободен 15 минути той винаги брои броя на простите в следващите 1000 номера. До края на живота си той преброи всички прости номера в интервала до 3 милиона. Лена и Гаус също изчислени, че за големи n, плътността на основните числа е 1 / log (n). Lenaland оцени броя на основните числа в интервала от 1 до n, като
π (n) \u003d n / (log (n) - 1.08366)
И Гаус - като логаритмичен интеграл
π (n) \u003d 1 / log (t) dt
С интервал на интеграция от 2 до n.
Твърдението на плътността на основните числа 1 / log (n) е известно като теорема за разпределение на основните числа. Тя се опитваше да докаже през целия 19-ти век и напредъкът стигна до Чебишев и Роман. Те го вързали с хипотезата на Риман - в този курс на непозната хипотеза за разпространението на ZELIE-функции на Riemann. Плътността на просните числа се доказва едновременно от Adamar и Valle Pusken през 1896 година.
В теорията на основните числа все още има много нерешени въпроси, някои от които имат много стотици години:
- хипотеза за номерата на Prime-Twin - за безкрайния брой двойки просви числа, различаващи се един от друг с 2
- хипотеза на Goldbach: Всеки, който започва с 4, може да бъде представен като сума от два прости номера.
- е броят на основните номера на формуляра N 2 + 1 безкраен?
- може ли винаги да има просто число между n 2 и (n + 1) 2? (Фактът, че между N и 2N винаги има прост номер, беше доказано от Chebyshev)
- дали броят на простите числа на фермата безкрайно? Има ли прости числа на фермата след 4-ти?
- има ли аритметична прогресия на последователни прости номера за всяка една дължина? Например, за дължина 4: 251, 257, 263, 269. Максималният на установената дължина е 26.
- е броят на множествата от три последователни прости номера в аритметичната прогресия?
- n 2 - N + 41 - прост номер за 0 ≤ n ≤ 40. Дали броят на тези основни числа безкрайно? Същият въпрос за формула N 2 - 79 N + 1601. Тези цифри са прости за 0 ≤ n ≤ 79.
- дали броят на основните числа не инфинира N # + 1 вида? (N # - резултат от умножаване на всички основни числа по-малки от n)
- дали броят на основните числа не инфинира N # -1 вида?
- е броят на простите номера на формата! + 1?
- е броят на простите номера на формата! - един?
- ако p е прост, независимо дали има винаги 2 p -1, той не съдържа сред множителите на прости номера
- последователността на Fibonacci съдържа безкраен брой основни числа?
Най-големите близнаци сред основните числа са 2003663613 × 2 195000 ± 1. Те \u200b\u200bсе състоят от 58711 цифри и са намерени през 2007 г.
Най-големият факториален прост номер (видове n! ± 1) е 147855! - 1. Състои се от 142891 цифри и е открита през 2002 година.
Най-големият прост номер (броят на N # ± 1) е 1098133 # + 1.
Тагове: Добавяне на тагове
Числата са различни: естествено, естествено, рационално, цяло число и частично, положително и отрицателно, сложно и просто, нечетно и дори, валидно и т.н. от тази статия можете да разберете какви са простите числа.
Какви номера наричат \u200b\u200bанглийската дума "прост"?
Много често учениците на един от най-неусложните въпроси на математиката, за това, което е прост номер, не знам как да отговорите. Те често са объркани чрез прости числа с естествени (т.е. числата, които се използват от хората с резултата от елементите, докато в някои източници започват с нулата, а в други - от уреда). Но това са напълно две различни концепции. Простите числа са естествени, т.е. всички и положителни числа, които са повече единици и които имат само 2 природни делители. В същото време един от тези делители е даден номер, а вторият. Например, три са прост номер, тъй като не е разделен без остатък без друг номер, освен само по себе си и единици.
Композитни номера
Обратното на основните числа са композитни. Те също са естествени, също повече единици, но нямат две, а по-голям брой дисители. Например, числата 4, 6, 8, 9 и т.н. са естествени, композитни, но не и прости числа. Както можете да видите, това е предимно числата, но не всички. Но "два" е четен номер и "първи номер" в редица основни числа.
Последователност
За да изградите редица основни номера, трябва да вземете подбора на всички естествени числа, като вземете предвид тяхната дефиниция, т.е. трябва да действате по метода от обратното. Необходимо е да се обмисли всеки от естествените положителни числа по темата за това дали има повече от два дела. Нека се опитаме да изградим серия (последователност), които съставляват прости номера. Списъкът започва с две, следващите три отиват, защото тя е разделена само на себе си и на единица. Помислете за числото четири. Има ли диверсори, с изключение на четири и единици? Да, този номер 2. Така че четири не са прост номер. Пет също са прости (то, с изключение на 1 и 5, не се разделя на произволен брой), но шест са разделени. И като цяло, ако следвате всички четни числа, тогава можете да видите, че в допълнение към "две", никой от тях не е прост. Оттук заключаваме, че дори числата, с изключение на две, не са прости. Друго откритие: всички числа, разделени на три, с изключение на тройката, независимо дали дори или нечетно, също не са прости (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.н.). Същото се отнася и за числата, които са разделени на пет и седем. Всичките им много не са лесни. Да обобщим. Така че, простите недвусмислени числа включват всички недвени числа, с изключение на единици и деветки, а от равномерни само "две". Самите десетки (10, 20, ... 40 и т.н.) не са прости. Двуцифрена, трицифрена и др. Прости номера могат да бъдат определени въз основа на горните принципи: ако те нямат други делители, с изключение на тях и самите единици.
Теории за свойствата на основните числа
Съществува наука, която изучава свойствата на цели числа, включително просто. Този раздел на математиката, който се нарича най-висок. В допълнение към свойствата на цели числа, тя също се занимава с алгебрични, трансцендентални числа, както и характеристики на различен произход, свързан с аритметика на тези числа. При тези проучвания се използват и аналитични и геометрични методи, аналитични и геометрични. Специално изучаването на прости номера се занимава с "теория на числата".
Прости номера - "изграждане на блокове" на естествени числа
При аритметика има теорема, наречена основната. Според него всяко естествено число, с изключение на звеното, може да бъде представено под формата на работа, чиито мултипликатори са прости номера, а процедурата за следване на уникалността, това означава, че методът на представяне е уникален. Тя се нарича разлагане на естествен номер на прости мултипликатори. Има друго име за този процес - факторизация на номерата. Въз основа на това, простите числа могат да се наричат \u200b\u200b"строителни материали", "блокове" за изграждане на естествени числа.
Търсене на прости номера. Изпитвания на простота
Много учени са се опитали да намерят някои принципи (системи), за да намерят списък с основни числа. Системите са известни на науката, които се наричат \u200b\u200bсъстезателна Аткина, Swelto Sundarrtam, Deuto Eratothene. Въпреки това, те не дават съществени резултати и за намиране на прости номера се използва проста проверка. Също така бяха създадени математици. Те са обичайни, за да бъдат наречени тестове за простота. Например, има тест, разработен от Рабин и Милър. Той използва криптографи. Има и тест на Kaivela-Agravala-Sassens. Въпреки това, той, въпреки достатъчната точност, е много сложен в изчислението, което се крие приложената му стойност.
Има ли много основни числа?
Фактът, че много прости безкрайност е писал в книгата "начало" древен гръцки учен еуклид. Той говореше така: "Да си представим, че простите числа имат лимита. Тогава нека ги изпратим помежду си и да добавим устройство към работата. Номерът, получен в резултат на тези прости действия, не може да бъде разделен на една от сортовете на просните номера, защото устройството винаги ще бъде в остатъка. Това означава, че има друг номер, който все още не е включен в списъка на основните числа. Следователно нашето предположение не е вярно и този набор не може да има ограничение. В допълнение към доказателствата, евклидови, има по-модерна формула, дадена от швейцарския математик на осемнадесети век Леонард Сулер. Според него, сумата, обратната сума на първите n числа нараства за неопределено време с нарастващ номер n. Но формулата на теоремата спрямо разпределението на основните числа: (n) нараства, като N / LN (N).
Какво е най-големият прост номер?
Всичко същото Leonard Euler успя да намери най-простия номер за своето време. Това е 2 31 - 1 \u003d 2147483647. Въпреки това, до 2013 г. е изчислена другата най-точна в списъка на основните числа - 2 57885161 - 1. Тя се нарича броят на Mersenna. Съдържа около 17 милиона десетични цифри. Както можете да видите, броят на учените от осемнадесети век е няколко пъти по-малък от това. Така че трябваше да бъде, защото Euler LED това преброяване ръчно, изчислителната машина вероятно е помогнала от нашия съвременен. Освен това този брой е получен във факултета по математика в един от американските факултети. Числата, споменати в чест на този учен, преминават през теста за простота на Luca лост. Въпреки това, науката не иска да спре там. Електронният фонд по границите, основан през 1990 г. в Съединените американски щати (ЕФР), назначи парична награда за намиране на големи прости числа. И ако до 2013 г. наградата разчиташе на тези учени, които ще ги намерят от 1 и 10 милиона десетични числа, днес тази цифра достигна от 100 милиона до 1 милиард. Размерът на наградите е от 150 до 250 хиляди щатски долара.
Имена на специални главни числа
Тези номера, които бяха намерени поради алгоритми, създадени от тези или други учени, и тестът на простотата се нарича специална. Ето някои от тях:
1. Mersene.
4. Callen.
6. Мелници и др.
Простотата на тези номера, наречена след горепосочените учени, се създава чрез следните тестове:
1. Luke Lemer.
2. Пепин.
3. Rislele.
4. Billhart - Lemer - Selfrianj и др.
Съвременната наука не спира в постигнатото и вероятно в близко бъдеще светът разпознава имената на тези, които са успели да получат награда от 250 000 долара, намират най-голям прост номер.