Всеки ученик, който се подготвя за изпита по математика, ще ви помогне да повторите темата "намиране на ъгъла между направо." Тъй като статистиката показва, когато сертификационният тест се придаде, задачата според този раздел на стереометрията причинява трудности при голям брой ученици. В същото време, задачите, изискващи ъгъла между директните, се намират в изпита като основно и профилно ниво. Това означава, че всеки трябва да реши.
Акценти
В пространството има 4 вида взаимно местоположение на директно. Те могат да съвпадат, пресичат, да бъдат успоредни или пресичащи. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.
Да се \u200b\u200bнамери ъгълът между директно в употребата или, например в решаването, учениците на Москва и други градове могат да използват няколко начина за решаване на проблеми в този раздел на стереометрията. Можете да изпълнявате задачата от класически сгради. За това си струва да научите основните аксиоми и теоремите на стереометрията. Учителката трябва да може логично да изгражда разсъждение и да създаде чертежи, за да донесе задачата на планината задача.
Можете също да използвате метод за координация на вектор, прилагане на прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е правилно да се изпълнят всички изчисления. Половината си умения за решаване на проблеми на стереометрията и други участъци от училищната смелост ще ви помогнат за образователния проект "Школково".
Определение.Ако са дадени два права y \u003d k 1 x + b1, y \u003d k 2 x + b2, след това остър ъгъл между тези права ще бъде определен като
Два направа паралел, ако k 1 \u003d k2. Две прави линии перпендикулярни, ако k 1 \u003d -1 / k2.
Теорема.Right AH + W + C \u003d 0 и 1 x + в 1 y + c 1 \u003d 0 са успоредни, когато коефициентите a 1 \u003d λa са пропорционални на 1 \u003d λ. Ако и с 1 \u003d λС, след това директно съвпада. Координатите на пресечната точка на две директни са като решение на системата на уравненията на тези директни.
Уравнението на директното преминаване през тази точка
Перпендикулярно на това директно
Определение.Директ, преминаване през точка m 1 (x 1, в 1) и перпендикулярна на права линия y \u003d kx + b е представена от уравнението:
Разстояние от точка до директно
Теорема.Ако точка m (x 0, y 0) е зададена, след това разстоянието до права линия AH + W + C \u003d 0 се определя като
.
Доказателства.Нека точката m 1 (x 1, в 1) да бъде основата на перпендикуляра, намалена от точката m за определен директ. Тогава разстоянието между точки m и m 1:
(1)
Координатите X 1 и в 1 могат да бъдат намерени като решение на системата на уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на директно преминаване през дадена точка m 0, перпендикулярна на посочената директна директна. Ако конвертирате първото уравнение на системата:
A (x - x 0) + b (y - y 0) + ax 0 + с 0 + c \u003d 0,
това, решаване, получаваме:
Заместване на тези изрази до уравнение (1), ние намираме:
Теорема се доказва.
Пример. Определете ъгъла между прави: y \u003d -3 x + 7; Y \u003d 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; К 2 \u003d 2; Tgφ \u003d. 
Шпакловка φ \u003d p / 4.
Пример. Покажете, че направо 3x - 5Y + 7 \u003d 0 и 10x + 6U - 3 \u003d 0 перпендикулярно.
Решение. Ние откриваме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, следователно, директно перпендикулярно.
Пример. Дадени са върховете на триъгълника А (0; 1), b (6; 5), С (12; -1). Намерете уравнението на височината, проведено от върха на S.
Решение. Открийте част от частта на AV: 
Шпакловка 4 x \u003d 6 Y - 6;
2 x - 3 Y + 3 \u003d 0;
Желаното уравнение на височината е: AX + by + c \u003d 0 или y \u003d kx + b. k \u003d. След това y \u003d. Като Височината преминава през точка С, тогава координатите му отговарят на това уравнение: 
Където b \u003d 17. Общо :. 
Отговор: 3 x + 2 Y - 34 \u003d 0.
Уравнението е директно преминаване през тази точка в тази посока. Уравнението е директно преминаване през данните от двете точки. Ъгълът между две права. Състоянието на паралелството и перпендилността на две прави линии. Определяне на точката на пресичане на две директни
1. Уравнението на директното преминаване през тази точка А.(х. 1 , y. 1) в тази посока, определени от ъгловия коефициент к.,
y. - y. 1 = к.(х. - х. 1). (1)
Това уравнение определя лъча на директно преминаване през точката А.(х. 1 , y. 1), който се нарича център на гредата.
2. Уравнението на директно преминаване в две точки: А.(х. 1 , y. 1) I. Б.(х. 2 , y. 2), пише така:
Ъгловият коефициент на директно преминаване през две точки на точката се определя по формулата
3. Ъгъл между права А. и Б. наречен ъгъл, към който трябва да обърнете първото право А. Около точката на пресичане на тези директни срещу движението на часовниковата стрелка, докато съвпада с второто директно Б.. Ако две прави линии са дадени от уравнения с ъглов коефициент
y. = к. 1 х. + Б. 1 ,
y. = к. 2 х. + Б. 2 , (4)
след това ъгълът между тях се определя с формулата
Трябва да се плати на факта, че в числата на фракцията от ъгловия коефициент на втория пряк, ъгловият коефициент на първата права линия се изважда.
Ако уравненията са директно определени в обща форма
А. 1 х. + Б. 1 y. + ° С. 1 = 0,
А. 2 х. + Б. 2 y. + ° С. 2 = 0, (6)
ъгълът между тях се определя с формулата
4. Условия за паралелизъм на две прави линии:
а) ако директно е дадено от уравнения (4) с ъглов коефициент, тогава необходимото и достатъчно състояние на техния паралелизъм се състои в равенството на техните ъглови коефициенти:
к. 1 = к. 2 . (8)
б) за случая, когато директно се дава от уравнения в обща форма (6), необходимото и достатъчно състояние на техния паралелизъм е, че коефициентите в съответните текущи координати в уравненията им са пропорционални, т.е.
5. Условия перпендикулярност на две прави линии:
а) в случая, когато директно се дава от уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимото и достатъчно състояние на тяхната перпендикуляр е, че техните ъглови коефициенти са обратно по размер и противоположни от знака, т.е.
Това условие може също да бъде записано като
к. 1 к. 2 = -1. (11)
б) ако уравненията са пряко дадени в обща форма (6), състоянието на перпендикулярността (необходимото и достатъчно) е да се изпълни равенството
А. 1 А. 2 + Б. 1 Б. 2 = 0. (12)
6. Координатите на пресичането на две директно се намират чрез решаване на системата на уравнения (6). Направо (6) пресичат това и само в случая, когато
1. Напишете уравненията на директно преминаване през точка m, една от които е паралелна, а другата е перпендикулярна на посочената директна L.
О, о-о-о ... добре, калай, сякаш го прочетете \u003d) обаче, тогава релаксацията ще помогне, особено след днес купих подходящи аксесоари. Ето защо ще продължа към първия раздел, надявам се, до края на статията запазвам енергичното подреждане на духа.
Взаимно местоположение на две прави линии
Случая, когато залата седи на хор. Могат да могат две прави линии:
1) съвпада;
2) да бъдат успоредни:;
3) или пресичане в една точка :.
Помощ за чайници : Моля, помнете математическия знак на кръстовището, той ще се срещне много често. Входът означава, че директът се пресича с права точка в точката.
Как да определим взаимното местоположение на две прави линии?
Да започнем от първия път:
След това две права линия съвпадат и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. има такъв номер "ламбда", който се извършва равенство
Разгледайте директните и направете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно преките данни съвпадат.
Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението 
Умножете до -1 (промени за промяна) и всички коефициенти на уравнение 
Намаляване 2, тогава ще бъде получено същото уравнение :.
Вторият случай е, когато е направо успоредно на:
Два права паралела и само ако техните коефициенти са пропорционални на променливите: 
, но.
Като пример, помислете за две права. Проверете пропорционалността на съответните коефициенти с променливи: 
Въпреки това е съвсем очевидно.
И третия случай, когато линията се пресича:
Тогава се пресичат две прави линии и само ако техните коефициенти не са пропорционални на променливи, т.е. няма такова значение на "ламбда" да се извършва равни 
Така че, за директно създаване на система: 
От първото уравнение следва това, и от второто уравнение: това означава системата е непълна (Без решения). По този начин коефициентите с променливи не са пропорционални.
Заключение: направо пресичане
В практически задачи можете да използвате само схемата за решаване. Тя, между другото, напомня алгоритъма за проверка на вектори за колинеатността, които разглеждаме в урока Концепцията за линейни (без) зависимости на векторите. Основни вектори. Но има по-цивилизована опаковка:
Пример 1.
Разберете взаимното местоположение на директното: 
Решение Въз основа на изследването на директните вектори на директното:
а) от уравненията ще намерят директни вектори: 
.
Така че векторите не са колинеарни и прави пресечки.
Само в случай, поставете камък с указатели към кръстопътя:
Останалите скочи камъка и следвайте следващия, направо до безсмъртието на безсмъртния \u003d)
б) Ще намерим директни вектори директно: 
Направо имат същия водещ вектор, това означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук и определянето не е необходимо.
Очевидно е, че коефициентите на неизвестни са пропорционални на това.
Разбираме дали равенството е вярно: 
По този начин,
в) Ние намираме директни вектори директно: 
Изчислете детерминанта, съставен от координатите на данните на векторите: 
Следователно, водещи вектори колинеар. Директно или успоредно или съвпадащо.
Съотношението на пропорционалността на "ламбда" не е трудно да се види директно от съотношението на колонеарните вектори. Въпреки това, тя може да бъде намерена чрез коефициентите на самите уравнения: 
.
Сега разберете дали равенството е вярно. И двата безплатни членове Zero, така:
Получената стойност отговаря на това уравнение (отговаря на всеки номер като цяло).
Така директно съвпада.
Отговор:
Много скоро ще научите (или вече сте научили) за решаване на разглежданата задача орално буквално за секунди. В това отношение не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да се стартира друга важна тухла в геометрична фондация:
Как да се изгради прав паралел с това?
За невежество от този най-прост проблем, бодлят на нощта е силно наказуем.
Пример 2.
Директно се дава от уравнението. Направете уравнението на паралелен директ, който преминава през точката.
Решение: Обозначава с неизвестно пряко писмо. Какво е казано за нея в състоянието? Директното преминава през точката. И ако е очевидно, е очевидно, че директният водещ вектор "CE" е подходящ за изграждане на права линия "de".
Издърпайте водещия вектор от уравнението:
Отговор:
Примерната геометрия изглежда неудобно: 
Аналитичната проверка се състои в следните стъпки:
1) Проверяваме, че един и същ водещ вектор (ако директното уравнение не е опростено правилно, векторите ще бъдат колинеарни).
2) проверяваме дали точката, получена уравнение, удовлетворява.
Аналитичната проверка в повечето случаи е лесна за извършване устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят паралелизма на директни без никакви рисунки.
Примери за независимо решение днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да вземете баба яга и тя, знаете, любовник на всякакви мистерии.
Пример 3.
Направете уравнението на директно преминаване през точка, успоредна на линията, ако
Има рационално и не много рационално решение. Най-краткият път е в края на урока.
С паралелно направо, те работеха малко и се върнаха към тях. Случаят с съвпадащи прави линии е по-интересен, така че обмислете задачата, която ви е позната от училищната програма:
Как да намерим точка на пресичане на две прави линии?
Ако е изправен 
се пресичат в точката, нейните координати са решение Системи за линейни уравнения 
Как да намерим точката на пресичане на директна? Решаване на системата.
Ето ме геометричното значение на системата от две линейни уравнения с две неизвестни - Това са две пресичащи се (най-често) направо в самолета.
Пример 4.
Намерете точка на пресичане на директно
Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.
Графичният метод е просто да изтеглите данните директно и да научите точка на пресичане директно от чертежа: 
Ето наша точка :. За да се провери, е необходимо да се заместят нейните координати във всяко уравнение директно, те трябва да излязат там и там. С други думи, координатите на точката са решаването на системата. Всъщност разгледахме графично решение системи за линейни уравнения С две уравнения, две неизвестни.
Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими против. Не, не е, че седмите грейдери решават, че фактът е, че правилният и точен чертеж ще отнеме време. В допълнение, някои директно изграждане не са толкова прости, а самата точка на пресичане може да бъде някъде в тридетерното царство извън листа за въздушен лист.
Следователно, точката на пресичане е по-целесъобразно да се търси аналитичен метод. Разрешаване на системата: 
За да се реши системата, се използва методът на сглобяване на уравнения. За да изработите подходящите умения, посетете урока Как да решават системата на уравненията?
Отговор:
Проверка на тривиално - координатите на точката на пресичане трябва да отговарят на всяко уравнение на системата.
Пример 5.
Намерете точката на пресичане директно, ако се пресичат.
Това е пример за независимо решение. Задачата е удобна да се разбие на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) направете уравнението директно.
2) направете пряко уравнение.
3) Разберете взаимното местоположение на правите линии.
4) Ако директно пресичат, намерете точка на пресичане.
Разработването на алгоритъм за действия е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.
Пълно решение и отговор в края на урока:
Stoptan и чифт обувки, както стигнахме до втория участък:
Перпендикулярни права. Разстояние от точка до права.
Ъгълът между право
Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на това и сега колибата на любопитни крака ще се разгърне на 90 градуса:
Как да се изгради прав, перпендикулярно на това?
Пример 6.
Директно се дава от уравнението. Направете уравнението перпендикулярно на директното преминаване, преминало през точката.
Решение: При условията е известно, че. Би било хубаво да се намери водещ вектор право. Тъй като направо перпендикулярно фокус е просто:
От уравнението "премахване" на вектора на нормалното: което ще бъде директна линия.
Уравнението е директно да бъде на точката и водещ вектор:
Отговор: 
Ще стартираме геометричен етюд:
M-да ... оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.
Проверка на аналитичното решение:
1) от уравненията издърпайте водещите вектори 
и с помощ вектори на скаларния продукт Ние заключаваме, че правите линии са наистина перпендикулярни :.
Между другото, можете да използвате нормални вектори, това е още по-лесно.
2) проверка дали точката на полученото уравнение удовлетворява 
.
Проверете отново, лесно се изпълнявайте устно.
Пример 7.
Намерете пресечната точка перпендикулярна директна, ако уравнението е известно 
и точка.
Това е пример за независимо решение. В задачите няколко действия, така че решението е удобно да се постави в точки.
Нашето очарователно пътуване продължава:
Разстояние от точка до директно
Имаме пряка лента от река и нашата задача е да го достигнем най-краткия начин. Няма препятствия, а най-оптималният път ще се движи по перпендикулярно. Това означава, че разстоянието от точката до линията е дължината на перпендикулярния сегмент.
Разстоянието в геометрия традиционно означава от гръцката буква "RO", например: - разстояние от точката "em" до прави "de".
Разстояние от точка до директно 
Формулата се изразява
Пример 8.
Намерете разстоянието от точка до Direct 
Решение: Всичко, от което се нуждаете, тя внимателно замества номерата във формулата и извършва изчисление:
Отговор: 
Извършете чертеж: 
Намереното разстояние от точката до линията е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка на карираната хартия на 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да бъде измерено чрез обикновен владетел.
Помислете за друга задача на същия чертеж:
Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична за директната точка 
. Предлагам да изпълняваме сами действия, но аз обозначавам алгоритъма на разтвора с междинни резултати:
1) Намерете направо, което е перпендикулярно на права линия.
2) Намерете точката на пресичане на директно: 
.
И двете действия се разглобяват подробно в рамките на този урок.
3) Въпросът е среден на сегмента. Ние знаем координатите на средата и един от краищата. До координатни формули в средата на сегмента Намирам.
Тя няма да бъде излишно да се провери, че разстоянието е и 2.2 единици.
Трудностите тук могат да възникнат в изчисленията, но микрокалкулаторът помага в кулата, която ни позволява да разгледаме обикновените фракции. Многократно съветва, съветва и отново.
Как да намерим разстоянието между две паралелни права?
Пример 9.
Намерете разстоянието между два паралелни права
Това е друг пример за независимо решение. Ще ви кажа малко: има безкрайно много начини за решаване. Почти по полетите в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете себе си, мисля, че вашият smelter успя да се разпръсне добре.
Ъгълът между две права
Нищо един ъгъл, след това Jamb: 
В геометрията се приема по-малък ъгъл за ъгъла между два директни, от които автоматично следва, че не може да бъде тъп. На снимката ъгълът, маркиран с червена дъга, не се счита за ъгъл между пресичането. И се счита за такава "зелена" съседка или противоположно ориентирани Ъгъл "Малина".
Ако директният е перпендикулярен, след това чрез ъгъла между тях можете да вземете някой от 4 ъгли.
Каква е разликата между ъглите? Ориентация. Първо, тя е фундаментално важна за посоката на ъгъла на "превъртане". Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва с минус знак, например, ако.
Защо го казах? Изглежда възможно да се направи и обичайната концепция за ъгъла. Факт е, че във формулите, за които ще намерим ъгли, тя може лесно да бъде отрицателен резултат и това не трябва да ви изненада. Ъгълът с "минус" знак не е по-лош и има напълно конкретен геометричен смисъл. На чертежа за отрицателен ъгъл е необходимо да се уточни стрелката на нейната ориентация (по посока на часовниковата стрелка).
Как да намерим ъгъла между две права? Има две работни формули:
Пример 10.
Намерете ъгъла между направо
Решение и Първо мода
Обмислете две прави линии, дадени от уравнения в обща форма: 
Ако е изправен не перпендикулярноT. ориентиран Ъгълът между тях може да бъде изчислен по формулата: 
Най-близкото внимание се обръща на знаменателя - точно това е скаларен продукт Директни вектори директно:
Ако, знаменателят на формулата се изтегля до нула, и векторите ще бъдат ортогонални и директни перпендикулярни. Ето защо се прави резервация за пропускливостта на директното в текста.
Въз основа на гореизложеното, решението е удобно да подредите два стъпки:
1) Изчислете скаларния продукт на директните вектори на директно:
Така прав не е перпендикулярно.
2) Ъгълът между директно ще бъде намерен по формулата:
Използвайки обратната функция, е лесно да се намери самия ъгъл. В същото време използваме странността на Artcangant (вж Графики и свойства на елементарните функции):
Отговор: 
В отговор, посочете точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане в градуси, и в радиани), изчислени с помощта на калкулатора.
Е, минус, така минус, нищо ужасно. Ето геометрична илюстрация: 
Не е изненадващо, че ъгълът се оказа отрицателна ориентация, защото по отношение на задачата, първият брой върви направо и "подмладяване" на ъгъла започна с него.
Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да промените директните места, т.е. коефициентите вземат от второто уравнение 
и коефициентите вземат от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директно 
.
Ще бъда кратък. Ъгълът между две права е равен на ъгъла между техните водещи вектори. По този начин, ако успеете да намерите координатите на водещите вектори a \u003d (x 1; y 1; z 1) и b \u003d (x 2; y2; z2), след това можете да намерите ъгъл. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:
Нека видим как тази формула работи в конкретни примери:
Задача. В Куба ABCDA 1 B 1 C 1 d1, точки e и f са средата на ребрата А1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между прав AE и BF.
Тъй като ръбът на куба не е посочен, ние поставяме AB \u003d 1. Въвеждаме стандартна координатна система: Стартирайте в точка А, X, y ос, изпратете съответно по AB, AD и AA 1. Един сегмент е AB \u003d 1. Сега откриваме координатите на водещите вектори за нашите прави линии.
Ще намерим координатите на вектора AE. За това ще се нуждаем от точки А \u003d (0; 0; 0) и e \u003d (0.5; 0; 1). Тъй като точката Е е средата на сегмента А 1 B 1, нейните координати са равни на средните аритметични координати на краищата. Имайте предвид, че началото на вектора AE съвпада с началото на координатите, следователно AE \u003d (0.5; 0; 1).
Сега ще се справим с вектора на BF. По същия начин разглобяваме точките B \u003d (1; 0; 0) и F \u003d (1; 0.5; 1), защото F - в средата на сегмента В 1 С1. Ние имаме:
Bf \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).
Така че направляващите вектори са готови. Косинусът на ъгъла между прав е косинусът на ъгъла между водещите вектори, така че имаме:
Задача. В правилната трикардора призма на ABCA 1 B 1C 1, всички от които са 1, точките D и E са маркирани със средата на ребрата А 1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между права реклама и бъдете.
Въвеждаме стандартната координатна система: произходът в точката А, ос X ще насочи по AB, Z по AA 1. Оста Y ще изпрати така, че оксината равнина да съвпада с ABC равнината. Един сегмент е ab \u003d 1. Намерете координатите на водещите вектори за желаното директно.
За да започнем, ще намерим координатите на рекламния вектор. Обмислете точките: a \u003d (0; 0; 0) и d \u003d (0.5; 0; 1), защото D е средата на сегмента a 1 b 1. От началото на рекламния вектор съвпада с произхода на координатите, ние получаваме ad \u003d (0.5; 0; 1).
Сега откриваме координатите на вектора. Точка b \u003d (1; 0; 0) се счита за лесно. С точка Е - средата на сегмента C 1 B 1 - малко по-сложно. Ние имаме:
Остава да намериш косински ъгъл:
Задача. В правилната награда за шестоъгълник ABCDEFA 1 B 1 C 1 d 1 e 1 F 1, всички краища са 1, точките K и L са в средата на ребрата А 1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между прав Ак и Бл.
Въвеждаме стандартната координатна система за призмата: началото на координатите ще бъдат поставени в центъра на долната база, осната ос ще се насочи по протежение на FC, ос Y - през средата на сегментите на AB и DE, и ос Z вертикално нагоре. Един разрез отново е равен на AB \u003d 1. Ние ще запишем координатите, които ни интересуват:
Точките K и L са в средата на сегментите А 1 B 1 и B 1C 1, съответно, следователно техните координати са чрез средноаритметичната средна стойност. Знаещи точки, ние ще намерим координатите на водещи вектори АК и Бл:
Сега откриваме косинуса на ъгъла:
Задача. В правилната четириъгълна SABCD пирамида, всички от които са 1, точките e и f са съответно средата на страните на SB и SC. Намерете ъгъла между прав AE и BF.
Въвеждаме стандартна координатна система: Стартиране в точка А, X и Y оста ще изпрати съответно AB и AD и Ax Axis ще се насочи вертикално. Един сегмент е AB \u003d 1.
Точки E и F - средни сегменти на SB и SC, съответно, следователно техните координати са разположени като средноаритметична средна стойност. Ние записваме координатите, които ни интересуват:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)
Знаещи точки, ние ще намерим координатите на водещите вектори AE и BF:
Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точката Е, тъй като точката А е началото на координатите. Остава да намериш косински ъгъл:
