Назад напред
внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока:
Образователни: Укрепване на уменията на студентите за работа с графики на функции в подготовка за Единния държавен изпит.
Развитие: да развие познавателния интерес на учениците към академичните дисциплини, способността да прилагат знанията си на практика.
Образователни: култивирайте вниманието, точността, разширявайте хоризонтите на учениците.
Оборудване и материали: компютър, екран, проектор, презентация „Четене на графики. Единен държавен изпит"
По време на часовете
1. Фронтално проучване.
1) <Презентация. Слайды 3,4>.
Какво се нарича графика на функция, област на дефиниция и диапазон от стойности на функция? Определете областта на дефиницията и обхвата на стойностите на функциите.\
2) <Презентация. Слайды 5,6>.
Коя функция се нарича четно, нечетно, свойства на графиките на тези функции?
2. Решение на упражнения
1) <Презентация. Слайд 7>.
Периодична функция. Определение.
Решете задачата: Дадена е графика на периодична функция, x принадлежи на интервала [-2;1]. Изчислете f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.
f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1
f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1
f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1
f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2
2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.
Решаване на неравенства с помощта на графики на функции.
а) Решете неравенството f(x) 0, ако фигурата показва графика на функцията y=f(x), дадена на интервала [-7;6]. Варианти на отговор: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +
б) На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), зададена на отсечката [-4;7].Посочете всички стойности на X, за които е валидно неравенството f(x) -1.
- [-0,5;3], 2) [-0,5;3] U, 3) [-4;0,5] U +, 4) [-4;0,5]
в) На фигурата са показани графики на функциите y=f(x) и y=g(x), зададени на интервала [-3;6]. Избройте всички стойности на X, за които е валидно неравенството f(x) g(x).
- [-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U+, 4) [-3;-1] U
3) <Презентация. Слайд 11>.
Нарастващи и намаляващи функции
Една от фигурите показва графика на функция, нарастваща на отсечката , а другата - намаляваща на отсечката [-2;0]. Моля, посочете тези чертежи.
4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.
Експоненциални и логаритмични функции
а) Назовете условието за нарастване и намаляване на показателни и логаритмични функции. През коя точка минават графиките на експоненциалните и логаритмичните функции, какви свойства имат графиките на тези функции?
б) На една от картинките е показана графика на функцията y=2 -x .
Графиката на експоненциалната функция минава през точката (0, 1), тъй като основата на степента е по-малка от 1, тази функция трябва да е намаляваща. (№ 3)
в) Една от фигурите показва графика на функцията y=log 5 (x-4). Посочете номера на този график.
Графиката на логаритмичната функция y=log 5 x минава през точката (1;0) , тогава, ако x -4 = 1, тогава y = 0, x = 1 + 4, х=5. (5;0) – пресечната точка на графиката с оста OX. Ако x -4 = 5 , тогава y=1, x=5+4, x=9,
5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.
Намиране на броя на допирателните към графиката на функция от графиката на нейната производна
а) Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала (-6;7). Фигурата показва графика на производната на тази функция. Към графиката на функцията се начертават всички допирателни, успоредни на правата y=5-2x (или съвпадащи с нея). Посочете броя на точките върху графиката на функцията, при които са начертани тези допирателни.
K = tga = f’(x o). По условие k=-2 Следователно f’(x o) =-2. Начертаваме права линия y=-2. Тя пресича графиката в две точки, което означава, че допирателните към функцията са начертани в две точки.
b) Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-7;3]. Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете броя на точките върху графиката на функцията y=f(x), в които допирателните към графиката са успоредни на оста x или съвпадат с нея.
Ъгловият коефициент на прави линии, успоредни на абсцисната ос или съвпадащи с нея, е нула. Следователно K=tg a = f `(x o)=0. Оста OX пресича тази графика в четири точки.
в) Функция y=f(x)определени на интервала (-6;6). Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете броя на точките върху графиката на функцията y=f(x), при които допирателните към графиката са наклонени под ъгъл от 135° спрямо положителната посока на оста x.
6) <Презентация. Слайды 18, 19>.
Намиране на наклона на допирателната от графиката на производната на функция
а) Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-2;6]. Фигурата показва графика на производната на тази функция. Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) има най-малък наклон.
k=tga=f’(x o). Производната на функцията приема най-малката стойност y=-3 в точката x=2. Следователно допирателната към графиката има най-малък наклон в точка x=2
b) Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-7;3]. Фигурата показва графика на производната на тази функция. Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) има най-голям ъглов коефициент.
7) <Презентация. Слайд 20>.
Намиране на стойността на производната от графиката на функция
Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x o. Намерете стойността на производната f `(x) в точка x o
f’(x o) =tga. Тъй като на фигурата a е тъп ъгъл, тогава tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5
8) <Презентация. Слайд 21>.
Намиране на минимум (максимум) на функция от графиката на нейната производна
В точката x=4 производната променя знака от минус на плюс. Това означава, че x=4 е минималната точка на функцията y=f(x)
В точка x=1 производната променя знака от плюс на минус . Това означава, че x=1 е точка максимумфункцииy=f(x))
3. Самостоятелна работа
<Презентация. Слайд 22>.
1 опция
1) Намерете областта на дефиниция на функцията.
2) Решете неравенството f(x) 0
3) Определете интервалите на спадане на функцията.
4) Намерете минималните точки на функцията.
5) Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) е с най-голям наклон.
Вариант 2
1) Намерете диапазона от стойности на функцията.
2) Решете неравенството f(x) 0
3) Определете интервалите на нарастване на функцията.
Графика на производната на функцията y=f(x)
4) Намерете максималните точки на функцията.
5) Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) е с най-малък наклон.
4. Обобщаване на урока
ТЕМА „ЧЕТЕНЕ НА ГРАФИКАТА НА ПРОИЗВОДНА ФУНКЦИЯ“
Целта на урока: формиране на умения за определяне на свойствата на производна от графиката на функция, свойствата на функция от графиката на производна, сравняване на графиката на функция и графиката на нейната производна.
Материали и оборудване: компютърна презентация.
План на урока
- Организиране на времето.
- Устно броене „Хвани грешка“
- Повторение на теоретичен материал по темата „Вашата собствена подкрепа“
- Обучение на умения
- Игра "Компетентност"
- Обобщаване.
По време на часовете.
- Организиране на времето. В хода на изучаването на темата „Изучаване на функции с помощта на производни“ бяха развити умения за намиране на критичните точки на функция, производна, определяне на свойствата на функцията с нейна помощ и изграждане на нейната графика. Днес ще разгледаме тази тема от различен ъгъл: как да определим свойствата на самата функция чрез графиката на производната на функция. Нашата задача: да се научим да се ориентираме в разнообразието от задачи за единен държавен изпит, свързани с графики на функции и техните производни.
- Устно броене
(2x 2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; х / =1 х
- Повторение на теоретичния материал по темата. (нарисувайте човече в тетрадката си, за да представите настроението в началото на урока)
Нека повторим някои свойства на функцията: нарастване и намаляване, екстремуми на функцията.
Достатъчен знак за нарастваща (намаляваща) функция. Той гласи:
- Ако производната на функция е положителна във всяка точка от интервала X, тогава функцията нараства през интервала X.
- Ако производната на функция е отрицателна във всяка точка от интервала X, тогава функцията намалява на интервала X.
Достатъчни условия за екстремум:
Нека функцията y=f(x) е непрекъсната в интервала X и има критична точка x 0 вътре в интервала. Тогава, ако при преминаване през точката x 0 производната е:
а) променя знака от “+” на “-”, тогава x 0 е максималната точка на функцията,
б) променя знака от “-” на “+”, след което х 0– минимална точка на функцията,
в) не променя знака, след това в точката х 0няма крайност.
Производната на функция сама по себе си е функция. Това означава, че тя има собствен график.
х(имаме сегмент [ А; b]) се намира над оста x, тогава функцията нараства през този интервал.
Ако графиката на производната върху интервала хсе намира под оста x, тогава функцията намалява на този интервал. Освен това опциите на производната графика могат да бъдат различни.
И така, разполагайки с графика на производната на функция, можем да направим изводи за свойствата на самата функция.
- Развитие на умения. Нека разгледаме проблема:
- Игра "Компетентност"
- Обобщаване. (нарисувайте малко човече в тетрадка, посочвайки настроението в края на урока) Ролята на „обобщаването“ (той ще каже каква мисъл (заключение, резултат ...) в урока според него е била основната един)
Изтегли:
Преглед:
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
ЧЕТЕНЕ НА ГРАФИКАТА НА ПРОИЗВОДНАТА ФУНКЦИЯ и дали на път за Единния държавен изпит
План на урока Организационен момент. Устно изчисление „Хвани грешка“ Повторение на теоретичен материал по темата, бележки „Вашата подкрепа“ Развитие на умения Игра „Компетентност“ Обобщаване.
Устно броене „Открийте грешката“ (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5
Повторение на теоретичен материал по темата f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Достатъчен знак за нарастване (намаляване) на функция: Ако производната на функция е положителна във всяка точка от интервала X, тогава функцията нараства на интервала X. Ако производната на функцията е отрицателна във всяка точка от интервала X, тогава функцията намалява на интервала X. Ако графиката на производната на интервала X е разположена над оста x, тогава функцията нараства на този интервал. Ако графиката на производната на интервала X е разположена под оста x, тогава функцията намалява на този интервал.
f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 „Собствена подкрепа“ Увеличаване Намаляване Нарастване
f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E ако при преминаване през точката x 0 производната: а) променя знака от „+“ на „-“, тогава x 0 е точката максимум на функцията, b) променя знака от “-” на “+”, тогава x 0 е минималната точка на функцията, c) не променя знака, тогава няма екстремум в точката x 0 . Повторение на теоретичен материал по темата „Твоята собствена опора” Необходимо условие за съществуването на екстремум: Ако функцията y=f (x) има екстремум в точката x=x0, то в тази точка производната е или равна на 0 или не съществува. макс мин
Развитие на умения (решаване на задачи от отворената банка за единен държавен изпит) увеличаващи се интервали: (-5;-1), (2;8),(11;12) Отговор: 6 1 f(x) f / (x) + + +
Интервали на намаляване на развитието на уменията: (-1;0), (9;12) Отговор: 3 2 f(x) f / (x) – – Развитие на умения (решаване на задачи от отворената банка за единен държавен изпит)
Развитие на умения Отговор: -3 3 f(x) f / (x) Развитие на умения (решаване на задачи от отворената банка за единен държавен изпит)
Развитие на умения Отговор: - 3 4 f(x) f / (x) Развитие на умения (решаване на задачи от отворената банка за единен държавен изпит)
Развитие на умения 5 f(x) f / (x) Развитие на умения (решаване на задачи от отворената банка за единен държавен изпит)
Игра „Компетентност“ Участници: два отбора - състезаващи се компании Екипите измислят 3 задачи един за друг по темата на урока, разменят задачи, изпълняват ги и показват решението на дъската. Ако опонентът се провали, тогава отборът, който задава въпроса, трябва да отговори сам. Всяка компания оценява работата на конкурентна компания по 5-точкова система (всяка задача и всеки отговор) Спонсори на знанията: Петрова Гелена и Семенова Кунай
Обобщаване: Рисуване на човек Обобщаване: какво беше основното в урока? какво беше интересно? какво научи? Критерии за оценка: 28-30 точки - оценка "5" 20-27 точки - оценка "4" 10-19 точки - оценка "3" Под 10 точки - препоръка за усърдна работа при подготовката за Единния държавен изпит
Елементи на математическия анализ в Единния държавен изпит Малиновская Галина Михайловна [имейл защитен] Справочен материал Таблица с производни на основни функции. Правила за диференциране (производна на сбор, произведение, частно на две функции). Производна на сложна функция. Геометрично значение на производната. Физическо значение на производната. Референтен материал Точки на екстремум (максимум или минимум) на функция, указана графично. Намиране на най-голямата (най-малката) стойност на функция, непрекъсната на даден интервал. Производна на функция. Формула на Нютон-Лайбниц. Намиране на площта на извит трапец. Физически приложения 1.1 Материална точка се движи праволинейно по закона 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от начало на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t= 3s. 1.2 Материална точка се движи 1 3 праволинейно по закона 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 2 m/s? Решение: Търсим производната на x(t) (функция на пътя спрямо времето). В задача 1.1 заменете нейната стойност с t и изчислете скоростта (Отговор: 59). В задача 1.2 приравняваме намерената производна на дадено число и решаваме уравнението спрямо променливата t. (Отговор: 7). Геометрични приложения 2.1 Правата 𝑦 = 7𝑥 − 5 е успоредна на допирателната към графиката 2 на функцията 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Намерете абсцисата на допирателната точка. 2.2 Правата линия 𝑦 = 3𝑥 + 1 е допирателна към втората графика на функцията 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. Намери си. 2.3 Правата линия 𝑦 = −5𝑥 + 8 е допирателна към втората графика на функцията 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на точката на допиране е по-голяма от 0. 2.4 Правата 𝑦 = 3𝑥 + 4 е допирателна към графика 2 на функцията 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Намерете c. Решение: В задача 2.1 търсим производната на функцията и я приравняваме на наклона на правата (Отговор: 0,5). В задачи 2.2-2.4 съставяме система от две уравнения. В единия приравняваме функции, в другия приравняваме техните производни. В система с две неизвестни (променлива x и параметър), ние търсим параметър. (Отговори: 2,2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7). 2.5 На фигурата е показана графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата 𝑥0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка 𝑥0. 2.6 Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата 𝑥0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка 𝑥0. 2.7 Фигурата показва графиката на функцията y=f(x). Правата, минаваща през началото, докосва графиката на тази функция в точката с абсцисата 10. Намерете стойността на производната на функцията в точката x=10. 𝑥0 = 0 Решение: Стойността на производната на функция в точка е тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към графиката на функцията, начертана в тази точка. „Дописваме“ правоъгълния триъгълник и търсим тангенса на съответния ъгъл, който приемаме за положителен, ако тангентата образува остър ъгъл с положителната посока на оста Ox (тангентата „увеличава“) и отрицателен, ако ъгълът е тъп (тангентата намалява). В задача 2.7 трябва да начертаете допирателна през зададената точка и началото. Отговори: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2,7) -0,6. Четене на графика на функция или графика на производна на функция 3.1 На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (6;8). Определете броя на целочислените точки, при които производната на функцията е положителна. 3.2 Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-5;5). Определете броя на целочислените точки, при които производната на функцията f(x) е отрицателна. Решение: Знакът на производната е свързан с поведението на функцията. Ако производната е положителна, тогава избираме тази част от графиката на функцията, където функцията нараства. Ако производната е отрицателна, тогава къде функцията намалява. Избираме интервала, съответстващ на тази част на оста Ox. В съответствие с въпроса на задачата ние или преизчисляваме броя на целите числа, включени в даден интервал, или намираме тяхната сума. Отговори: 3.1) 4; 3.2) 8. 3.3 На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2;12). Намерете сумата от точките на екстремум на функцията f(x). Първо, разглеждаме какво е на фигурата: графика на функция или графика на производна. Ако това е графика на производната, тогава се интересуваме само от знаците на производната и абсцисата на точките на пресичане с оста Ox. За по-голяма яснота можете да начертаете по-позната картина със знаците на производната върху получените интервали и поведението на функцията. Отговорете на въпроса в задачата според картинката. (Отговор: 3.3) 44). 3.4 Фигурата показва графика на ′ y=𝑓 (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-7;14]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) ), принадлежащи на сегмента [-6;9] 3.5 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-11;11). брой точки на екстремум на функцията f(x), принадлежащи на сегмента [-10;10] Решение: Търсим пресечните точки на графиката на производната с оста Ox, като подчертаваме онази част от оста, която е посочена в задачата . Определяме знака на производната на всеки от получените интервали (ако графиката на производната е под оста, тогава “-”, ако е над, тогава “+”). Максималните точки ще бъдат тези, при които знакът е променен от “+” на “-”, минималните точки – от “-” на “+”. И двете са екстремни точки. Отговори: 3.4) 1; 3.5) 5. 3.6 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-8;3). В коя точка от отсечката [-3;2] функцията f(x) приема най-голяма стойност. 3.7 Фигурата показва графика на ′ y=𝑓 (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-8;4). В коя точка от отсечката [-7;-3] функцията f(x) приема най-малка стойност. Решение: Ако производната промени знака на разглеждания сегмент, тогава решението се основава на теоремата: ако функция, непрекъсната на сегмент, има една точка на екстремум върху него и това е максимална (минимална) точка, тогава най-голямата (най-малката) стойност на функцията на този сегмент се постига в тази точка. Ако функция, непрекъсната на сегмент, е монотонна, тогава тя достига своите минимални и максимални стойности на даден сегмент в неговите краища. Отговори: 3,6) -3; 3,7) -7. 3.8 Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-5;5). Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна или съвпада с правата линия y=6. 3.9 Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и осем точки по абсцисната ос: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . В колко от тези точки производната на f(x) е положителна? 4.2 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-5;7). Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали. 4.5 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-4;8). Намерете точката на екстремума на функцията f(x), принадлежаща на отсечката [-2;6]. 4.6 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-10;2). Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна или съвпада с правата линия y=-2x-11. Решение: 4.6 Тъй като фигурата показва графика на производната и допирателната е успоредна на тази права, производната на функцията в тази точка е равна на -2. Търсим точки на производната графика с ордината, равна на -2, и броим броя им. Получаваме 5. Отговори: 3,8) 4; 3,9) 5; 4.2) 18; 4,5) 4; 4.6) 5. 4.8 Фигурата показва графика на y=𝑓 ′ (𝑥) - производната на функцията f(x). Намерете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката y=f(x) е успоредна или съвпада с абсцисната ос. Решение: Ако права линия е успоредна на оста Ox, тогава нейният наклон е нула. Наклонът на тангентата е нула, което означава, че производната е нула. Търсим абсцисата на пресечната точка на графиката на производната с оста Ox. Получаваме -3. 4.9 Фигурата показва графика на функцията y=𝑓 ′ (x) производна на функцията f(x) и осем точки по абсцисната ос: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . В колко от тези точки производната на функцията f(x) нараства? Геометричен смисъл на определения интеграл 5.1 На фигурата е показана графика на някаква функция y=f(x) (два лъча с обща начална точка). Като използвате фигурата, изчислете F(8)-F(2), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x). Решение: Повърхнината на извит трапец се изчислява чрез определен интеграл. Определеният интеграл се изчислява с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц като нарастване на първоизводната. В задача 5.1 изчисляваме площта на трапеца, използвайки добре познатата формула на геометричния курс (това ще бъде увеличението на първоизводната). В задачи 5.2 и 5.3 първоизводната вече е дадена. Необходимо е да се изчислят стойностите му в краищата на сегмента и да се изчисли разликата. 5.2 Фигурата показва графика на някаква функция y=f(x). Функцията 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − е една от 8-те първоизводни на функцията f(x). Намерете областта на защрихованата фигура. Решение: Повърхнината на извит трапец се изчислява чрез определен интеграл. Определеният интеграл се изчислява с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц като нарастване на първоизводната. В задача 5.1 изчисляваме площта на трапеца, използвайки добре познатата формула на геометричния курс (това ще бъде увеличението на първоизводната). В задача 5.2 първоизводната вече е дадена. Необходимо е да се изчислят стойностите му в краищата на сегмента и да се изчисли разликата. Успех на Единния държавен изпит по математика
Слайд 12
Симетрия спрямо правата линия y=x
Графиките на тези функции нарастват при > 1 и намаляват при 0
Слайд 13
Една от фигурите показва графика на функцията y=2-x. Моля, посочете този чертеж. Графика на експоненциална функция Графиката на експоненциална функция минава през точката (0, 1).Тъй като основата на степента е по-малка от 1, тази функция трябва да е намаляваща.
Слайд 14
Една от фигурите показва графика на функцията y=log5 (x-4). Посочете номера на този график. Графиката на логаритмичната функция y=log5x минава през точката (1;0), тогава ако x -4 = 1, тогава = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – пресечната точка на графиката с оста OX Ако x -4 = 5, то y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Графика на логаритмичната функция 9 5 1.
Слайд 15
Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала (-6;7). Фигурата показва графика на производната на тази функция. Всички допирателни, успоредни на правата линия y = 5-2x (или съвпадащи с нея), се начертават върху графиката на функцията. Посочете броя на точките върху графиката на функцията, при които са начертани тези допирателни. K = tga = f'(xo) По условие k = -2 Следователно f'(xo) = -2 Начертаваме права линия y = -2 Тя пресича графиката в две точки, което означава допирателната към функцията са начертани в две точки. Намиране на броя на допирателните към графиката на функция от графиката на нейната производна
Слайд 16
Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-7;3]. Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете броя на точките върху графиката на функцията y=f(x), в които допирателните към графиката са успоредни на оста x или съвпадат с нея. Ъгловият коефициент на прави линии, успоредни на абсцисата или съвпадащи с нея, е нула. Следователно K=tg a = f `(xo)=0 Оста OX пресича тази графика в четири точки. Намиране на броя на допирателните към функция от графиката на нейната производна
Слайд 17
Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала (-6;6). Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете броя на точките върху графиката на функцията y=f(x), при които допирателните към графиката са наклонени под ъгъл 135 спрямо положителната посока на оста x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Следователно f`(xo)=-1 Начертайте права линия y=-1 Тя пресича графиката в три точки , което означава допирателни към функцията, изпълнявана в три точки. Намиране на броя на допирателните към функция от графиката на нейната производна
Слайд 18
Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-2;6]. Фигурата показва графика на производната на тази функция. Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) има най-малък ъглов коефициент k=tg a=f'(xo) Производната на функцията приема най-малка стойност y=-3 в точка х=2. Следователно допирателната към графиката има най-малък наклон в точка x=2 Намиране на наклона на допирателната от графиката на производната на функцията -3 2
Слайд 19
Функцията y=f(x) е дефинирана на интервала [-7;3]. Фигурата показва графика на производната на тази функция. Посочете абсцисата, при която допирателната към графиката на функцията y=f(x) има най-голям наклон. k=tg a=f’(xo) Производната на функцията приема най-голямата си стойност y=3 в точка x=-5. Следователно допирателната към графиката има най-голям наклон в точка x = -5 Намиране на наклона на допирателната от графиката на производната на функцията 3 -5
Слайд 20
Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата xo. Намерете стойността на производната f `(x) в точката xo f ’(xo) =tg a Тъй като на фигурата a е тъп ъгъл, тогава tan a
Слайд 21
Намиране на минимум (максимум) на функция от графиката на нейната производна
В точката x=4 производната променя знака от минус на плюс. Това означава, че x = 4 е минималната точка на функцията y = f (x) 4 В точки x = 1, производната променя знака от плюс. minusMeanx=1 е максималната точка на функцията y=f(x))
Слайд 22
Самостоятелна работа
Фиг.11) Намерете областта на дефиниция на функцията. 2) Решете неравенството f(x) ≥ 0 3) Определете интервалите на спадане на функцията. Фиг. 2 – графика на производната функция y=f(x) 4) Намерете минималните точки на функцията. 5) Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) е с най-голям ъглов коефициент. Фиг.11) Намерете диапазона от стойности на функцията. 2) Решете неравенството f(x)≤ 0 3) Определете интервалите на нарастване на функцията. Фиг. 2 – графика на производната функция y=f(x) 4) Намерете максималните точки на функцията. 5) Посочете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y=f(x) е с най-малък наклон. 1 Вариант 2 Вариант
Тема: Общ преглед на курса по математика. Подготовка за изпити
Урок: Разчитане на графика на функции. Разрешаване на проблеми B2
В нашия живот графиките се срещат доста често, вземете например прогноза за времето, която е представена под формата на графика на промените в някои показатели, например температура или сила на вятъра във времето. Не се замисляме дали да прочетем тази диаграма, въпреки че това може да е първият път, когато четем диаграма в живота си. Можете също така да дадете пример за графика на промените в обменните курсове във времето и много други примери.
И така, първата диаграма, която ще разгледаме.
Ориз. 1. Илюстрация на графика 1
Както можете да видите, графиката има 2 оси. Оста, която сочи надясно (хоризонтално), се нарича ос 
. Оста, насочена нагоре (вертикално), се нарича ос 
.
Първо, нека да разгледаме оста. В тази графика броят на оборотите в минута на определен автомобилен двигател е нанесен по тази ос. Тя може да бъде равна и т.н. На тази ос също има разделения, някои от тях са обозначени с номера, някои от тях са междинни и не са посочени. Лесно е да се досетите, че първото деление от нула е , третото е и т.н.
Сега нека разгледаме оста. На тази графика по тази ос са нанесени числените стойности на нютона на метър (), стойностите на въртящия момент, които са равни и т.н. В този случай цената на разделяне е равна на .
Сега нека се обърнем към самата функция (към линията, която е представена на графиката). Както можете да видите, тази линия отразява колко нютона на метър, тоест какъв въртящ момент ще бъде при определена скорост на двигателя в минута. Ако вземем стойността 1000 об./мин. и от тази точка на графиката отидем наляво, ще видим, че линията минава през точка 20, т.е. стойността на въртящия момент при 1000 об / мин ще бъде равна (Фигура 2.2).
Ако вземем стойност от 2000 rpm, тогава линията ще премине вече в точката (Фигура 2.2).
Ориз. 2. Определяне на въртящия момент чрез броя на оборотите в минута
Сега си представете, че нашата задача е да намерим най-голямата стойност от тази графика. Търсим най-високата точка (), съответно най-ниската стойност на въртящия момент в тази графика ще се счита за 0. За да намерите най-голямата стойност на функцията на графиката, трябва да вземете предвид най-голямата стойност, която функцията достига по вертикалата ос. Ние гледаме коя стойност е най-висока и гледаме по вертикалната ос какво ще бъде най-високото постигнато число. Ако говорим за най-малката стойност, тогава вземаме, напротив, най-ниската точка и разглеждаме нейната стойност по вертикалната ос.
Ориз. 3. Най-голяма и най-малка стойност на функция според графиката
Най-голямата стойност в този случай е, а най-малката стойност, съответно, е 0. Важно е да не бъркате и да посочите правилно максималната стойност, някои посочват максималната стойност от 4000 об / мин, това не е максималната стойност, а точката при която е взета максималната стойност (максимална точка), най-голямата стойност е точно .
Трябва също да обърнете внимание на вертикалната ос, нейните мерни единици, т.е. например, ако вместо нютони на метър () са посочени стотици нютони на метър (), максималната стойност ще трябва да се умножи по сто и т.н.
Най-голямата и най-малката стойност на функцията са много тясно свързани с производната на функцията.
Ако дадена функция нараства върху разглеждания сегмент, тогава производната на функцията върху този сегмент е положителна или равна на нула при краен брой точки, най-често е просто положителна. По същия начин, ако функция намалява върху разглеждания сегмент, тогава производната на функцията върху този сегмент е отрицателна или равна на нула при краен брой точки. Обратното е вярно и в двата случая.
Следващият пример има някои трудности поради ограничението на хоризонталната ос. Необходимо е да се намери най-голямата и най-малката стойност на посочения сегмент.
Графиката показва промяната на температурата във времето. На хоризонталната ос виждаме времето и дните, а на вертикалната ос виждаме температурата. Необходимо е да се определи най-високата температура на въздуха на 22 януари, т.е. трябва да се вземе предвид не цялата графика, а частта, отнасяща се до 22 януари, т.е. от 00:00 часа на 22 януари до 00:00 часа на 23 януари.
Ориз. 4. Графика на изменение на температурата
Чрез ограничаване на графиката за нас става очевидно, че максималната температура съответства на точка .
Дадена е графика на температурните промени за три дни. На оста ox - времето от деня и деня от месеца, на оста oy - температурата на въздуха в градуси по Целзий.
Трябва да разгледаме не целия график, а частта, която се отнася за 13 юли, т.е. от 00:00 часа на 13 юли до 00:00 часа на 14 юли.
Ориз. 5. Илюстрация за допълнителен пример
Ако не въведете ограниченията, описани по-горе, може да получите грешен отговор, но в даден интервал максималната стойност е очевидна: , и тя се достига в 12:00 на 13 юли.
Пример 3: определете на коя дата са паднали пет милиметра дъжд за първи път:
Графиката показва дневните валежи в Казан от 3 февруари до 15 февруари 1909 г. Дните от месеца се показват хоризонтално, а количеството на валежите в милиметри се показва вертикално.
Ориз. 6. Дневни валежи
Да започнем по ред. На 3-то виждаме, че падна малко повече от 0, но по-малко от 1 мм. валежи, на 4-ти са паднали 4 мм валежи и т.н. Числото 5 се появява за първи път на 11-ия ден. За удобство можете виртуално да начертаете права линия срещу петицата; за първи път тя ще пресече графиката на 11 февруари, това е правилният отговор.
Пример 4: определете на коя дата цената на унция злато е била най-ниска
Графиката показва цената на златото при затваряне на борсовата търговия за всеки ден от 5 март до 28 март 1996 г. Дните от месеца се показват хоризонтално, вертикално,
съответно цената на унция злато в щатски долари.
Линиите между точките са начертани само за яснота; информацията се носи само от самите точки.
Ориз. 7. Графика на промените в цената на златото на борсата
Допълнителен пример: определете в коя точка от сегмента функцията приема най-голяма стойност:
Производната на определена функция е дадена на графиката.
Ориз. 8. Илюстрация за допълнителен пример
Производната е дефинирана на интервала
Както можете да видите, производната на функцията върху даден сегмент е отрицателна и е равна на нула в лявата гранична точка. Както знаем, ако производната на функция е отрицателна, тогава функцията на разглеждания интервал намалява, следователно нашата функция намалява на целия разглеждан интервал, в този случай тя приема най-голяма стойност в най-лявата граница. Отговор: точка.
И така, разгледахме концепцията за графика на функция, проучихме какво представляват осите на графиката, как да намерим стойността на функция от графика, как да намерим най-голямата и най-малката стойност.
- Мордкович А.Г. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравин О.В. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Дропла.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Просвещение.
- Единен държавен изпит ().
- Фестивал на педагогическите идеи ().
- Ученето е лесно.RF ().
- Диаграмата (Фигура 9) показва средната месечна температура на въздуха в Екатеринбург (Свердловск) за всеки месец от 1973 г. Хоризонталната ос показва месеците, а вертикалната ос показва температурата в градуси по Целзий. Определете от диаграмата най-ниската средна месечна температура за периода от май до декември 1973 г. включително. Дайте отговора си в градуси по Целзий.
Ориз. 9. Температурна диаграма
- Използвайки същата графика (Фигура 9), определете разликата между най-високата и най-ниската средна месечна температура през 1973 г. Дайте отговора си в градуси по Целзий.
- Графиката (Фигура 10) показва процеса на нагряване на двигател с вътрешно горене при температура на околната среда 15 градуса. Абсцисната ос показва времето в минути, изтекло от стартирането на двигателя, а оста y показва температурата на двигателя в градуси по Целзий. Товарът може да бъде свързан към двигателя, когато температурата на двигателя достигне 45 градуса. Какъв е минималният брой минути, които трябва да се изчакат преди свързване на товара към двигателя?
Ориз. 10. График за загряване на двигателя