Дробното число е цяло число. Какво представляват рационалните числа? Какви са другите

Рационални числа

квартали

Подреденост. аИ бима правило, което ви позволява уникално да идентифицирате между тях една и само една от трите връзки: „< », « >' или ' = '. Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ бса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателни и б- отрицателно тогава а > б. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
сумиране на дроби
операция за добавяне.За всякакви рационални числа аИ бима т.нар правило за сумиране ° С. Самото число обаче ° СНаречен сумачисла аИ би се означава , и процесът на намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .
операция за умножение.За всякакви рационални числа аИ бима т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число ° С. Самото число обаче ° СНаречен работачисла аИ би се означава , и процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение е както следва: .
Транзитивност на отношението на поръчката.За всяка тройка рационални числа а , бИ ° Сако апо-малко бИ бпо-малко ° С, тогава апо-малко ° С, и ако аравно на бИ бравно на ° С, тогава аравно на ° С. 6435">Комутивност на събирането. Сборът не се променя от смяна на местата на рационалните членове.
Асоциативност на събирането.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число, когато се сумира.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се сумира, дава 0.
Комутативност на умножението.При промяна на местата на рационалните фактори продуктът не се променя.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличието на реципрочни.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, когато се умножи, дава 1.
Дистрибутивност на умножението по отношение на събирането.Операцията за умножение е в съответствие с операцията събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на поръчката с операцията на събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната част на рационалното неравенство. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че тяхната сума да надхвърли а. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни свойства

Всички други свойства, присъщи на рационалните числа, не се отделят като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на цели числа, а могат да бъдат доказани въз основа на дадените основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект. Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да цитирам само няколко от тях.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Задайте изброимост

Номериране на рационални числа

Най-простият от тези алгоритми е както следва. Съставя се безкрайна таблица с обикновени дроби за всяка и-ти ред във всеки jта колона от която е дроб. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от единица. Клетките на таблицата са обозначени , където и- номера на реда на таблицата, в която се намира клетката, и j- номер на колона.

Получената таблица се управлява от "змия" съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира от първото съвпадение.

В процеса на такъв байпас всяко ново рационално число се приписва на следващото естествено число. Тоест на дроби 1 / 1 се приписва номер 1, на дроби 2 / 1 - номер 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че само несводимите дроби са номерирани. Формалният признак за несводимост е равенството на единството на най-големия общ делител на числителя и знаменателя на дроба.

Следвайки този алгоритъм, може да се изброят всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, просто като се присвои на всяко рационално число неговата противоположност. Че. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Обединението им също е изброимо чрез свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Твърдението за изчислимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно недоумение, тъй като на пръв поглед се създава впечатлението, че е много по-голямо от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да се изброят всички рационални.

Недостатъчност на рационалните числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не се изразява с никакво рационално число

Рационални числа от вида 1 / нна свобода нмогат да бъдат измерени произволно малки количества. Този факт създава измамно впечатление, че рационалните числа могат да измерват всякакви геометрични разстояния като цяло. Лесно е да се покаже, че това не е вярно.

Бележки

литература

И. Кушнир. Наръчник по математика за ученици. – Киев: АСТАРТА, 1998. – 520 с.
П. С. Александров. Въведение в теорията на множествата и общата топология. - М.: глава. изд. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977 г
И. Л. Хмелницки. Въведение в теорията на алгебричните системи

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Както видяхме, множеството от естествени числа

е затворено при събиране и умножение и множеството цели числа

затворен при събиране, умножение и изваждане. Нито едно от тези множества обаче не е затворено при деление, тъй като делението на цели числа може да доведе до дроби, както в случаите на 4/3, 7/6, -2/5 и т.н. Множеството от всички такива дроби образува множеството от рационални числа. По този начин, рационално число (рационална дроб) е число, което може да бъде представено като , където a и d са цели числа, а d не е равно на нула. Нека направим някои забележки относно това определение.

1) Изисквахме d да е различно от нула. Това изискване (математически записано като неравенство) е необходимо, защото тук d е делител. Помислете за следните примери:

Случай 1. .

Случай 2. .

В случай 1, d е делител по смисъла на предишната глава, т.е. 7 е точен делител на 21. В случай 2, d все още е делител, но в различен смисъл, тъй като 7 не е точен делител на 25.

Ако 25 се нарича делимо, а 7 - делител, тогава получаваме частното 3 и остатъка 4. Така че думата делител се използва тук в по-общ смисъл и се прилага за повече случаи, отколкото в гл. I. Въпреки това, в случаи като случай 1, понятието за делител, въведено в гл. аз; следователно е необходимо, както в гл. I, изключвам възможността d = 0.

2) Имайте предвид, че докато изразите рационално число и рационална дроб са синоними, самата дума дроб се използва за обозначаване на всеки алгебричен израз, състоящ се от числител и знаменател, като например

3) Определението за рационално число включва израза „число, което може да бъде представено като , където a и d са цели числа и . Защо не може да бъде заменен с израза „число от формата, където a и d са цели числа и Причината за това е фактът, че има безкрайно много начини за изразяване на една и съща дроб (например 2/3 може също да бъде записано като 4/6, 6 /9, или или 213/33, или т.н.), и за нас е желателно нашата дефиниция за рационално число да не зависи от конкретен начин на изразяването му.

Дробът се дефинира по такъв начин, че стойността й не се променя, когато числителят и знаменателят се умножат по едно и също число. Въпреки това, не винаги е възможно да се каже само чрез разглеждане на дадена дроб дали е рационална или не. Помислете например за числата

Нито един от тях в избраното от нас обозначение няма формата , където a и d са цели числа.

Можем обаче да извършим серия от аритметични трансформации на първата дроб и да получим

По този начин стигаме до дроб, равна на първоначалната дроб, за която . Следователно числото е рационално, но не би било рационално, ако дефиницията на рационално число изисква числото да бъде от вида a/b, където a и b са цели числа. В случай на преобразуваща фракция

водят до число. В следващите глави ще научим, че числото не може да бъде представено като съотношение на две цели числа и следователно не е рационално или се казва, че е ирационално.

4) Забележете, че всяко цяло число е рационално. Както току-що видяхме, това е вярно в случая на числото 2. В общия случай на произволни цели числа може по подобен начин да се припише знаменател, равен на 1 на всяко от тях и да се получи тяхното представяне като рационални дроби.

) са числа с положителен или отрицателен знак (цело и дробно) и нула. По-точна концепция за рационалните числа звучи така:

рационално число- число, което е представено с проста дроб м/н, където числителят мса цели числа и знаменателят н- цели числа, например 2/3.

Безкрайните непериодични дроби НЕ са включени в набора от рационални числа.

а/б, където а∈ З (апринадлежи на цели числа) б∈ н (бпринадлежи към естествените числа).

Използване на рационални числа в реалния живот.

В реалния живот наборът от рационални числа се използва за преброяване на частите на някои цели делими обекти, например, торти или други храни, които се нарязват на парчета преди консумация, или за груба оценка на пространствените отношения на разширени обекти.

Свойства на рационалните числа.

Основни свойства на рационалните числа.

1. подреденост аИ бима правило, което ви позволява уникално да идентифицирате между тях 1-но и само една от 3-те отношения: “<», «>" или "=". Това правило е - правило за подрежданеи го формулирайте така:

2 положителни числа a=m a /n aИ b=m b /n bсвързани със същата връзка като 2 цели числа м а⋅ nbИ м б⋅ n a;
2 отрицателни числа аИ бсвързани със същата връзка като 2 положителни числа |b|И |a|;
кога аположително и б- отрицателно тогава а>б.

∀ а, б∈ Q(a ∨ а>б∨ a=b)

2. Операция по събиране. За всички рационални числа аИ бЯжте правило за сумиране, което ги поставя в съответствие с определено рационално число ° С. Самото число обаче ° С- това сумачисла аИ би се обозначава като (а+б) сумиране.

Правило за сумиранеизглежда така:

м а/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ п а)/(н а⋅ nb).

∀ а, б∈ В∃ !(a+b)∈ В

3. операция за умножение. За всички рационални числа аИ бЯжте правило за умножение, то ги свързва с определено рационално число ° С. Числото c се нарича работачисла аИ би обозначават (a⋅b), и процесът на намиране на това число се нарича умножение.

правило за умножениеизглежда така: м а н а⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивност на отношението на поръчката.За всякакви три рационални числа а, бИ ° Сако апо-малко бИ бпо-малко ° С, тогава апо-малко ° С, и ако аравно на бИ бравно на ° С, тогава аравно на ° С.

∀ а, б, в∈ Q(a ∧ б ⇒ а ∧ (a=b∧ b=c⇒ а = в)

5. Комутативност на събирането. От промяна на местата на рационалните членове сумата не се променя.

∀ а, б∈ Qa+b=b+a

6. Асоциативност на събирането. Редът на събиране на 3 рационални числа не влияе на резултата.

∀ а, б, в∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие на нула. Има рационално число 0, то запазва всяко друго рационално число при добавяне.

∃ 0 ∈ В∀ а∈ Qa+0=a

8. Наличие на противоположни числа. Всяко рационално число има противоположно рационално число, събирането им води до 0.

∀ а∈ В∃ (-а)∈ Qa+(−a)=0

9. Комутативност на умножението. При промяна на местата на рационалните фактори продуктът не се променя.

∀ а, б∈ Q а⋅ b=b⋅ а

10. Асоциативност на умножението. Редът на умножение на 3 рационални числа не влияе на резултата.

∀ а, б, в∈ Q(a⋅ б)⋅ c=a⋅ (б⋅ ° С)

11. Наличност на единица. Има рационално число 1, то запазва всяко друго рационално число в процеса на умножение.

∃ 1 ∈ В∀ а∈ Q а⋅ 1=a

12. Наличие на реципрочни. Всяко рационално число, различно от нула, има обратно рационално число, умножавайки по което получаваме 1 .

∀ а∈ В∃ a−1∈ Q а⋅ a−1=1

13. Дистрибутивност на умножението по отношение на събирането. Операцията за умножение е свързана със събиране с помощта на закона за разпределение:

∀ а, б, в∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ ° С

14. Връзка на връзката поръчка с операцията по добавяне. Едно и също рационално число се добавя към лявата и дясната част на рационалното неравенство.

∀ а, б, в∈ Qa ⇒ a+c

15. Връзка на отношението на реда с операцията за умножение. Лявата и дясната част на рационалното неравенство могат да бъдат умножени по едно и също неотрицателно рационално число.

∀ а, б, в∈ Qc>0∧ а ⇒ а⋅ ° С ⋅ ° С

16. Аксиома на Архимед. Каквото и да е рационалното число а, лесно е да се вземат толкова много единици, че тяхната сума ще бъде по-голяма а.

Рационални числа

квартали

Подреденост. аИ бима правило, което ви позволява уникално да идентифицирате между тях една и само една от трите връзки: „< », « >' или ' = '. Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ бса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателни и б- отрицателно тогава а > б. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
сумиране на дроби
операция за добавяне.За всякакви рационални числа аИ бима т.нар правило за сумиране ° С. Самото число обаче ° СНаречен сумачисла аИ би се означава , и процесът на намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .
операция за умножение.За всякакви рационални числа аИ бима т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число ° С. Самото число обаче ° СНаречен работачисла аИ би се означава , и процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение е както следва: .
Транзитивност на отношението на поръчката.За всяка тройка рационални числа а , бИ ° Сако апо-малко бИ бпо-малко ° С, тогава апо-малко ° С, и ако аравно на бИ бравно на ° С, тогава аравно на ° С. 6435">Комутивност на събирането. Сборът не се променя от смяна на местата на рационалните членове.
Асоциативност на събирането.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число, когато се сумира.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се сумира, дава 0.
Комутативност на умножението.При промяна на местата на рационалните фактори продуктът не се променя.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличието на реципрочни.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, когато се умножи, дава 1.
Дистрибутивност на умножението по отношение на събирането.Операцията за умножение е в съответствие с операцията събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на поръчката с операцията на събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната част на рационалното неравенство. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че тяхната сума да надхвърли а. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни свойства

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Задайте изброимост

Номериране на рационални числа

Получената таблица се управлява от "змия" съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира от първото съвпадение.

Недостатъчност на рационалните числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не се изразява с никакво рационално число

Бележки

литература

И. Кушнир. Наръчник по математика за ученици. – Киев: АСТАРТА, 1998. – 520 с.
П. С. Александров. Въведение в теорията на множествата и общата топология. - М.: глава. изд. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977 г
И. Л. Хмелницки. Въведение в теорията на алгебричните системи

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Набор от рационални числа

Множеството от рационални числа се обозначава и може да бъде записано по следния начин:

Оказва се, че различни записи могат да представляват една и съща дроб, например и , (всички дроби, които могат да бъдат получени една от друга чрез умножение или разделяне на едно и също естествено число, представляват едно и също рационално число). Тъй като чрез разделяне на числителя и знаменателя на дроб на техния най-голям общ делител, може да се получи единственото несводимо представяне на рационално число, може да се говори за тяхното множество като множество несводимдроби с взаимно просто цяло число и естествен знаменател:

Тук е най-големият общ делител на числата и .

Множеството от рационални числа е естествено обобщение на множеството от цели числа. Лесно е да се види, че ако рационалното число има знаменател, то е цяло число. Множеството от рационални числа е плътно навсякъде по оста на числата: между всякакви две различни рационални числа има поне едно рационално число (и следователно безкраен набор от рационални числа). Оказва се обаче, че множеството от рационални числа има изброима мощност (тоест всички негови елементи могат да бъдат преномерирани). Забележете, между другото, че дори древните гърци са били убедени в съществуването на числа, които не могат да бъдат представени като дроб (например те доказаха, че няма рационално число, чийто квадрат е 2).

Терминология

Официално определение

Формално рационалните числа се дефинират като набор от класове на еквивалентност на двойки по отношение на релацията на еквивалентност, ако . В този случай операциите по събиране и умножение се дефинират, както следва:

Свързани дефиниции

Правилни, неправилни и смесени дроби

правилно Дроба се нарича, ако модулът на числителя е по-малък от модула на знаменателя. Правилните дроби представляват рационални числа по модул по-малко от едно. Дроб, която не е правилна, се нарича погрешнои представлява рационално число, по-голямо или равно на един модул.

Неправилна дроб може да бъде представена като сбор от цяло число и правилна дроб, наречена смесена фракция . Например, . Подобна нотация (с липсващ знак за събиране), въпреки че се използва в елементарната аритметика, се избягва в строгата математическа литература поради сходството на нотацията за смесена дроб с нотацията за произведението на цяло число и дроб.

Височина на изстрела

Височина на обикновена дроб е сборът от модула на числителя и знаменателя на тази дроб. Височина на рационално число е сборът от модула на числителя и знаменателя на неприводимата обикновена дроб, съответстваща на това число.

Например височината на дроб е . Височината на съответното рационално число е , тъй като фракцията се намалява с .

Коментар

Срок дробно число (дробно)понякога [ изяснявам] се използва като синоним на термина рационално число, а понякога и синоним на всяко нецяло число. В последния случай дробните и рационалните числа са различни неща, тъй като тогава нецелите рационални числа са само специален случай на дробни числа.

Имоти

Основни свойства

Множеството от рационални числа удовлетворява шестнадесет основни свойства, които могат лесно да бъдат получени от свойствата на цели числа.

Подреденост.За всякакви рационални числа има правило, което ви позволява да идентифицирате еднозначно между тях едно и само едно от трите отношения: "", "" или "". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две положителни числа и са свързани с една и съща връзка като две цели числа и ; две неположителни числа и са свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж не е отрицателен, но - отрицателен, тогава .
сумиране на дроби
операция за добавяне. правило за сумиране сумачисла и и се означава с , а процесът на намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .
операция за умножение.За всякакви рационални числа и има т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число . Самият номер се извиква работачисла и и се обозначава , а процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение има следната форма: .
Транзитивност на отношението на поръчката.За всяка тройка от рационални числа и ако е по-малко и по-малко от , тогава по-малко от , и ако е равно на и равно на , тогава равно на .
Комутативност на събирането.От промяна на местата на рационалните членове сумата не се променя.
Асоциативност на събирането.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число, когато се сумира.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се сумира, дава 0.
Комутативност на умножението.При промяна на местата на рационалните фактори продуктът не се променя.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличието на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличието на реципрочни.Всяко ненулево рационално число има обратно рационално число, умножението по което дава 1.
Дистрибутивност на умножението по отношение на събирането.Операцията за умножение е в съответствие с операцията събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на поръчката с операцията на събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната част на рационалното неравенство.
Връзка на отношението на реда с операцията за умножение.Лявата и дясната част на рационалното неравенство могат да бъдат умножени по едно и също положително рационално число.
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число, можете да вземете толкова много единици, че тяхната сума да надхвърли.

Допълнителни свойства

Задайте изброимост

За да оцените броя на рационалните числа, трябва да намерите мощността на тяхното множество. Лесно е да се докаже, че множеството от рационални числа е изброимо. За да направите това, е достатъчно да се даде алгоритъм, който изброява рационални числа, т.е. установява биекция между наборите от рационални и естествени числа. Следният прост алгоритъм може да служи като пример за такава конструкция. Съставя се безкрайна таблица от обикновени дроби, на всеки -ти ред във всяка -та колона, от която има дроб. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от единица. Клетките на таблицата са обозначени с , където е номерът на реда на таблицата, в която се намира клетката, и е номерът на колоната.

Получената таблица се управлява от "змия" съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира от първото съвпадение.

В процеса на такъв байпас всяко ново рационално число се приписва на следващото естествено число. Тоест на дробите се приписва номер 1, на дробите - номер 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че само несводимите дроби са номерирани. Формалният признак за несводимост е равенството на единството на най-големия общ делител на числителя и знаменателя на дроба.

Разбира се, има и други начини за изброяване на рационалните числа. Например, за това можете да използвате структури като дървото Calkin - Wilf, дървото Stern - Brokaw или серията Farey.

Недостатъчност на рационалните числа

Вижте също


	Цели числа

Рационални числа

Реални числа Комплексни числа Кватерниони

Бележки

литература

И. Кушнир. Наръчник по математика за ученици. – Киев: АСТАРТА, 1998. – 520 с.
П. С. Александров. Въведение в теорията на множествата и общата топология. - М.: глава. изд. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977 г
И. Л. Хмелницки. Въведение в теорията на алгебричните системи