समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

ए। दो सीधी रेखाएँ दें।ये सीधी रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में दर्शाया गया है, विभिन्न सकारात्मक और नकारात्मक कोण बनाती हैं, जो इस मामले में न्यून और अधिक दोनों हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम किसी अन्य कोण को आसानी से खोज सकते हैं।

वैसे इन सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा का संख्यात्मक मान समान होता है, अंतर केवल चिह्न में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण। संख्याएँ पहली और दूसरी सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अनुमान हैं। इन सदिशों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों में से एक के बराबर होता है। इसलिए, वैक्टर के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए कार्य कम हो जाता है, हम प्राप्त करते हैं

सरलता के लिए, हम दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर एक न्यून धनात्मक कोण के रूप में सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार यदि सूत्र (1) के दाईं ओर ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र (1) से, हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाता है कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी अंत है, तो, हमेशा कोण की दिशा को वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्र (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि अंजीर से देखना आसान है। सूत्र (1) के दायीं ओर प्राप्त 53वां चिन्ह इंगित करेगा कि कौन सा - न्यून या अधिक - कोण पहले के साथ दूसरी सीधी रेखा बनाता है।

(वास्तव में, अंजीर, 53 से, हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के वैक्टर के बीच का कोण या तो सीधी रेखाओं के बीच वांछित कोण के बराबर है, या इससे ± 180 ° से भिन्न है।)

डी। यदि सीधी रेखाएँ समानांतर हों, तो उनके दिशा सदिश भी समानांतर होते हैं।दो सदिशों की समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

यह दो सीधी रेखाओं की समांतरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। सीधे

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि सीधी रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति को लागू करते हुए, हम दो सीधी रेखाओं के लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। सीधे

इस तथ्य के कारण लंबवत हैं कि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। दी गई सीधी रेखा के समांतर एक बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचिए

समाधान निम्नानुसार किया जाता है। चूंकि वांछित सीधी रेखा दिए गए एक के समानांतर है, तो इसकी दिशा वेक्टर के लिए हम दी गई सीधी रेखा के लिए वही ले सकते हैं, जो कि ए और बी अनुमानों के साथ एक वेक्टर है। और फिर वांछित सीधी रेखा का समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। इस सीधी रेखा के लंबवत बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें

यहां यह अनुमानों ए के साथ और एक दिशा वेक्टर के रूप में एक वेक्टर लेने के लिए उपयुक्त नहीं है, लेकिन एक वेक्टर जो इसके लंबवत है उसे उड़ा दिया जाना चाहिए। इस वेक्टर के अनुमानों को चुना जाना चाहिए, इसलिए, दोनों वैक्टरों की लंबवतता की स्थिति के अनुसार, यानी स्थिति के अनुसार

इस शर्त को अनगिनत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है, लेकिन सबसे आसान तरीका है ले लो फिर वांछित सीधी रेखा के समीकरण को फॉर्म में लिखा जाएगा

उदाहरण। एक लंब रेखा में बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब सरल रेखाएँ फॉर्म के समीकरणों द्वारा दी जाती हैं

मैं संक्षिप्त हो जाऊंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, यदि आप दिशा सदिशों a = (x 1; y 1; z 1) और b = (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं, तो आप कोण ज्ञात कर सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र द्वारा कोण की कोज्या:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

कार्य। अंक ई और एफ को क्रमशः एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1 में चिह्नित किया गया है। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूंकि घन के किनारे को इंगित नहीं किया गया है, हम AB = 1 सेट करते हैं। मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के साथ निर्देशित होते हैं। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब हम अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

आइए सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हमें अंक ए = (0; 0; 0) और ई = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूँकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्यबिंदु है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होते हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब चलो वेक्टर बीएफ से निपटते हैं। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) को पार्स करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 का मध्य बिंदु। हमारे पास है:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो दिशा वैक्टर तैयार हैं। सीधी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

कार्य। एक नियमित त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E अंकित हैं - किनारों के मध्य बिंदु A 1 B 1 और B 1 C 1, क्रमशः। AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x अक्ष AB के साथ निर्देशित है, z - AA 1 के साथ। हम y-अक्ष को इस प्रकार निर्देशित करते हैं कि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। वांछित रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए AD वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: ए = (0; 0; 0) और डी = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 का मध्य बिंदु। चूँकि सदिश AD की उत्पत्ति मूल बिंदु से मेल खाती है, हम AD = (0.5; 0; 1) प्राप्त करते हैं।

आइए अब सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। प्वाइंट बी = (1; 0; 0) आसान है। बिंदु ई के साथ - खंड सी 1 बी 1 के मध्य में - यह थोड़ा अधिक कठिन है। हमारे पास है:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

कार्य। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक के और एल चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1,। रेखा AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: निचले आधार के केंद्र में निर्देशांक की उत्पत्ति रखें, FC के साथ x-अक्ष को निर्देशित करें, y-अक्ष को खंडों AB और DE के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, और z- अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

कार्य। नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक E और F अंकित हैं - क्रमशः SB और SC के पक्षों के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x और y कुल्हाड़ियों को क्रमशः AB और AD के साथ निर्देशित किया जाता है, और z अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी खंडों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। आइए हमारे लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AE और BF के निर्देशांक पाते हैं:

सदिश AE के निर्देशांक बिंदु E के निर्देशांकों से मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु A मूल बिंदु है। यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo इसलिए, हम पहले खंड पर आगे बढ़ेंगे, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं मन की एक हंसमुख फ्रेम बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति

मामला जब कोरस के साथ दर्शक गाते हैं। दो सीधी रेखाएं कर सकती हैं:

1) मैच;

2) समानांतर होना :;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें:।

डमी के लिए सहायता : कृपया चौराहे का गणितीय चिन्ह याद रखें, यह बहुत सामान्य होगा। रिकॉर्ड इंगित करता है कि रेखा एक बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो सीधी रेखाएं संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक समानुपाती हों, यानि "लम्बदास" की इतनी संख्या है कि समानताएं

सीधी रेखाओं पर विचार कीजिए और संगत गुणांकों से तीन समीकरण बनाइए: यह प्रत्येक समीकरण का अनुसरण करता है, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से कम करने पर आपको समान समीकरण प्राप्त होता है:।

दूसरा मामला, जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि चर के लिए उनके गुणांक आनुपातिक हैं: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो पंक्तियों पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है।

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि चर के लिए उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात्, ऐसा लैम्ब्डा मान नहीं है कि समानताएँ पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए, हम सिस्टम बनाते हैं:

पहले समीकरण से यह इस प्रकार है, और दूसरे समीकरण से: इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक कार्यों में, आप अभी विचार की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह समरूपता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वैक्टर का आधार... लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग है:

उदाहरण 1

सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अध्ययन के आधार पर:

क) समीकरणों से हम सीधी रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी अमर =)

बी) सीधी रेखाओं के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। यहां निर्धारक को गिनने की भी आवश्यकता नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के लिए गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि।

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) सीधी रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
इसलिए दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता "लैम्ब्डा" का गुणांक सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब आइए जानें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप सीखेंगे (या यहां तक ​​​​कि पहले ही सीख चुके हैं) कि कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को कैसे हल किया जाए। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ भी देने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाएं?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक समानांतर सीधी रेखा की बराबरी करें जो एक बिंदु से होकर जाती है।

समाधान: आइए अज्ञात सीधे अक्षर को निरूपित करें। स्थिति उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर जाती है। और यदि सीधी रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "tse" का निर्देशन वेक्टर भी सीधी रेखा "de" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सीधी दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा के समीकरण को ठीक से सरल नहीं किया गया है, तो सदिश संरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु प्राप्त समीकरण को संतुष्ट करता है।

विश्लेषणात्मक समीक्षा ज्यादातर मामलों में मौखिक रूप से करना आसान है। दो समीकरणों को देखें, और आप में से बहुत से लोग बिना किसी आरेखण के सीधी रेखाओं के समानांतरवाद का पता लगा लेंगे।

स्वयं करें समाधान के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

एक सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं यदि

एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत समाधान नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया है और बाद में उन पर वापस आएंगे। सीधी रेखाओं के संयोग का मामला कम रुचि का है, इसलिए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता हो:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

आपके लिए बहुत कुछ दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थएक समतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

चित्रमय तरीका केवल डेटा रेखाएँ खींचना और आरेखण से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

ये रही हमारी बात:. जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। मूल रूप से, हमने हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीका देखा रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि यह सातवीं कक्षा के छात्र तय करते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक ड्राइंग प्राप्त करने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाओं का निर्माण करना इतना आसान नहीं होता है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीस साम्राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पद-दर-अवधि जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल बनाने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

चेक तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति का विश्लेषण बताता है कि क्या आवश्यक है:
1) सरल रेखा का समीकरण बनाइए।
2) सरल रेखा का समीकरण बनाइए।
3) सरल रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

कार्यों के एल्गोरिथ्म का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लंबवत सीधी रेखाएँ। बिंदु से रेखा की दूरी।
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि इस के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब चिकन पैरों पर झोपड़ी 90 डिग्री मुड़ जाएगी:

किसी दिए गए के लंबवत सीधी रेखा कैसे बनाएं?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु के माध्यम से एक लंबवत रेखा को समान करें।

समाधान: शर्त से यह ज्ञात होता है कि। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से सामान्य वेक्टर को "हटाएं" :, जो सीधी रेखा का दिशा वेक्टर होगा।

आइए हम एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच का विस्तार करें:

हम्म ... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि सीधी रेखाएँ वास्तव में लंबवत होती हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु प्राप्त समीकरण को संतुष्ट करता है .

चेक, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से तैयार करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे छोटे रास्ते से उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक लंब रेखा की लंबाई होती है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "ro" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "em" से सीधी रेखा "de" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: केवल आवश्यकता है कि संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक स्थानापन्न करें और गणनाएँ करें:

उत्तर:

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

बिंदु से पाई गई रेखा की दूरी बिल्कुल लाल रेखा की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। = 1 सेमी (2 सेल), तो दूरी को एक साधारण रूलर से मापा जा सकता है।

उसी खाका के लिए एक और कार्य पर विचार करें:

कार्य एक बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए है जो एक सीधी रेखा के संबंध में एक बिंदु के सममित है ... मैं स्वयं क्रियाओं को करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिथ्म की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं का विस्तार से वर्णन किया गया है।

3) बिंदु रेखाखंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम ढूंढे।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना में कठिनाइयां आ सकती हैं, लेकिन टावर में, एक माइक्रो कैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों की गणना कर सकते हैं। बार-बार सलाह, बार-बार सलाह देंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। मैं आपको एक छोटा सा संकेत देता हूं: इसे हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोण एक जाम है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को सबसे छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वतः ही अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने के बीच के कोण के रूप में नहीं गिना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी ऐसा माना जाता है, या विपरीत उन्मुख"क्रिमसन" कोने।

यदि सीधी रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके बीच के कोण के रूप में 4 कोणों में से कोई भी लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने "स्क्रॉलिंग" की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक ऋणात्मक कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने आपको यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि कोण की सामान्य अवधारणा को समाप्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें आप आसानी से नकारात्मक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (दक्षिणावर्त) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानतथा विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और सीधी रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, दो चरणों में समाधान तैयार करना सुविधाजनक है:

1) सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
, इसलिए सीधी रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सरल रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

उलटा फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोने को स्वयं ढूंढना आसान है। इस मामले में, हम आर्कटिक की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहली संख्या एक सीधी रेखा है और इसके साथ कोण का "घुमा" शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और गुणांक पहले समीकरण से लिए गए हैं। संक्षेप में, आपको एक सीधी रेखा से शुरुआत करनी होगी .

निर्देश

ध्यान दें

स्पर्शरेखा के त्रिकोणमितीय फलन की अवधि 180 डिग्री है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखाओं के ढलान, निरपेक्ष मान में, इस मान से अधिक नहीं हो सकते हैं।

मददगार सलाह

यदि ढलान एक दूसरे के बराबर हैं, तो ऐसी रेखाओं के बीच का कोण 0 होता है, क्योंकि ऐसी रेखाएँ या तो संपाती होती हैं या समानांतर होती हैं।

सीधी रेखाओं को पार करने के बीच के कोण का मान निर्धारित करने के लिए, दोनों सीधी रेखाओं (या उनमें से एक) को पार करने से पहले समानांतर स्थानांतरण विधि का उपयोग करके एक नई स्थिति में ले जाना आवश्यक है। उसके बाद, आपको परिणामी प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच के कोण का मान ज्ञात करना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• शासक, समकोण त्रिभुज, पेंसिल, चांदा।

निर्देश

तो, मान लीजिए कि एक सदिश V = (a, b, c) और एक समतल A x + B y + C z = 0 दिया गया है, जहाँ A, B और C प्रसामान्य N के निर्देशांक हैं। तब कोण की कोज्या सदिश V और N के बीच α बराबर है: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण के मान की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन के विपरीत फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। प्रतिलोम कोज्या: α = arssos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²)))।

उदाहरण: खोजें इंजेक्शनके बीच वेक्टर(5, -3, 8) और विमानसामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0 द्वारा दिया गया हल: समतल N = (2, -5, 3) के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक लिखिए। उपरोक्त सूत्र में सभी ज्ञात मानों को रखें: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °।

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एक सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक बिंदु उभयनिष्ठ होता है, वृत्त की स्पर्श रेखा होती है। स्पर्शरेखा की एक और विशेषता यह है कि यह हमेशा स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, अर्थात स्पर्शरेखा और त्रिज्या एक सीधी रेखा बनाती है इंजेक्शन... यदि एक बिंदु A से वृत्त AB और AC पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे हमेशा एक दूसरे के बराबर होती हैं। स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण ( इंजेक्शन ABC) पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बनाया गया है।

निर्देश

कोण का निर्धारण करने के लिए, आपको वृत्त OB और OS की त्रिज्या और वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा के प्रारंभ बिंदु की दूरी जानने की आवश्यकता है - O. तो, कोण ABO और ASO बराबर हैं, OB की त्रिज्या , उदाहरण के लिए, 10 सेमी, और वृत्त AO के केंद्र की दूरी 15 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार सूत्र के साथ स्पर्शरेखा की लंबाई निर्धारित करें: AB = AO2 का वर्गमूल - OB2 या 152 - 102 = २२५ - १०० = १२५;

परिभाषा।यदि दो सीधी रेखाएं y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन सीधी रेखाओं के बीच न्यून कोण को परिभाषित किया जाएगा

दो सीधी रेखाएँ समांतर होती हैं यदि k 1 = k 2. दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1 / k 2।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर होती हैं जब आनुपातिक गुणांक A 1 = A, B 1 = B होता है। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन सीधी रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर जाने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M (x 0, y 0) दिया जाता है, तो सीधी रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) किसी दी गई सीधी रेखा पर बिंदु M से गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

निर्देशांक x 1 और y 1 को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।

उदाहरण... सीधी रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

कश्मीर 1 = -3; कश्मीर २ = २; टीजीφ = ; = पी / 4।

उदाहरण... दिखाएँ कि सीधी रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान... हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, इसलिए सीधी रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण... त्रिभुज A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान... हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2 एक्स - 3 वाई + 3 = 0;

आवश्यक ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। कश्मीर =। फिर वाई =। चूंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3 x + 2 y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से दी गई दिशा में गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के एक बंडल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण कहलाता है जिससे आपको पहली सीधी रेखा को मोड़ना है एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी... यदि ढलान वाले समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तब उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ध्यान दें कि भिन्न के अंश में पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि सरल रेखा के समीकरण सामान्य रूप में दिए गए हों

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

ए) यदि ढलान के साथ समीकरण (4) द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, तो उनके समानांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता में होती है:

क 1 = क 2 . (8)

बी) उस स्थिति के लिए जब सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, यानी।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब ढलान के साथ समीकरण (4) द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, उनके लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

बी) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनकी लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की स्थिति समानता की पूर्ति में होती है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। सीधी रेखाएं (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई सीधी रेखा l के लंबवत है।