मैट विश्लेषण एक फ़ंक्शन की सीमाओं को खोजने के लिए है। दूसरी अद्भुत सीमा

लगातार संख्या एबुलाया सीमा दृश्यों(x n) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिएε > 0 एक संख्या N है जो सभी मान एक्स एन, जिसके लिए n> N, असमानता को संतुष्ट करें

| एक्स एन - ए |< ε. (6.1)

वे इसे इस प्रकार लिखते हैं: या x n →ए।

असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है

ए-< x n < a + ε, (6.2)

जिसका अर्थ है कि अंक एक्स एन, किसी संख्या n> N से प्रारंभ करते हुए, अंतराल के भीतर स्थित हों (a-, ए + ), अर्थात। किसी भी छोटे में गिरनाε -बिंदु का पड़ोस ए.

जिस क्रम की एक सीमा होती है उसे कहते हैं अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, क्योंकि अनुक्रम की सीमा को एक पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f (n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है। एन.

मान लीजिए एक फलन f (x) दिया गया है और मान लीजिए ए - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन D (f) का डोमेन, अर्थात्, एक बिंदु, जिसके किसी भी पड़ोस में सेट डी (एफ) के अलावा अन्य बिंदु शामिल हैं ए... बिंदु एसेट डी (एफ) से संबंधित हो सकता है या नहीं।

परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है सीमा समारोहच (एक्स) परएक्स →a अगर तर्क मूल्यों के किसी भी अनुक्रम (x n) के लिए है ए, संगत अनुक्रम (f (x n)) की एक ही सीमा A है।

इस परिभाषा को कहा जाता है हाइन के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा,या " क्रम की भाषा में”.

परिभाषा 2... अचर संख्या A कहलाती है सीमा समारोहच (एक्स) परएक्स →ए अगर, मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या निर्दिष्ट करके ε, कोई ऐसा पा सकता है> 0 (ε . पर निर्भर करता है)), जो सभी के लिए एक्समें लेटा हुआε-संख्या के पड़ोस ए, अर्थात। के लिये एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 < एक्स-ए< ε , फ़ंक्शन के मान f (x) में होंगे-संख्या A का पड़ोस, अर्थात्।| एफ (एक्स) -ए |< ε.

इस परिभाषा को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन की कॉची सीमा की परिभाषा,या "भाषा में ε - “.

परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फलन f (x) x → . के रूप मेंएक है सीमा A के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

. (6.3)

इस घटना में कि सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनुक्रम (f (x n)) अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सअपनी सीमा तक ए, तो हम कहते हैं कि फलन f (x) में है अंतहीन सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:

एक चर (अर्थात् अनुक्रम या फलन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाती है असीम रूप से छोटा मूल्य।

एक चर जिसकी सीमा अनंत है, कहलाती है असीम रूप से बड़ा.

व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का प्रयोग करें।

प्रमेय 1 ... अगर हर सीमा है

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी... 0/0 जैसे भाव, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा ज्ञात करना "अनिश्चितताओं का प्रकटीकरण" कहलाता है।

प्रमेय २। (6.7)

वे। आप एक स्थिर घातांक के साथ डिग्री के आधार पर सीमा तक जा सकते हैं, विशेष रूप से, ;

(6.8)

(6.9)

प्रमेय 3.

(6.10)

(6.11)

कहां इ » 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (६.१०) और (६.११) को प्रथम कहा जाता है अद्भुत सीमाऔर दूसरी उल्लेखनीय सीमा।

सूत्र (6.11) के परिणाम भी व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेष रूप से सीमा

यदि x → ए और एक ही समय में x> a, फिर वे x . लिखते हैं→ ए + 0। यदि, विशेष रूप से, ए = 0, तो प्रतीक 0 + 0 के बजाय, +0 लिखें। इसी प्रकार, यदि x →ए और, इसके अलावा, एक्स ए-0. संख्या और तदनुसार कहा जाता है दायीं ओर की सीमातथा बाईं सीमा समारोहच (एक्स) बिंदु पर ए... फ़ंक्शन f (x) की x → . के रूप में एक सीमा होने के लिएa आवश्यक और पर्याप्त है ... फलन f (x) कहलाता है निरंतर बिंदु पर x ० अगर सीमा

. (6.15)

शर्त (6.15) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अर्थात्, फ़ंक्शन के संकेत के तहत सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

यदि समानता (6.15) का उल्लंघन किया जाता है, तो कहा जाता है कि परएक्स = एक्स ओ समारोहच (एक्स) यह है टूटना।फ़ंक्शन y = 1 / x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D (f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात्, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D (f) से बिंदु होते हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं होता है। मान f (x o) = f (0) अपरिभाषित है, इसलिए फ़ंक्शन का बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।

फलन f (x) कहलाता है बिंदु पर दाईं ओर निरंतरएक्स ओ, अगर सीमा

तथा बिंदु पर निरंतर छोड़ दियाएक्स ओ, अगर सीमा

एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाईं और बाईं ओर इसकी निरंतरता के बराबर है।

फ़ंक्शन के बिंदु पर निरंतर होने के लिए एक्स ओ, उदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, पहला, कि एक परिमित सीमा है, और दूसरी, कि यह सीमा f (x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दो शर्तों में से कम से कम एक को पूरा नहीं किया जाता है, तो फ़ंक्शन में असंतुलन होगा।

1. यदि सीमा मौजूद है और f (x o) के बराबर नहीं है, तो वे कहते हैं कि समारोहच (एक्स) बिंदु परएक्स ओ है पहली तरह का ब्रेक,या छलांग.

2. यदि सीमा है+ या -∞ या मौजूद नहीं है, तो वे कहते हैं कि in बिंदुएक्स ओ समारोह में एक अंतर है दूसरा प्रकार.

उदाहरण के लिए, x . के लिए फलन y = ctg x→ +0 की सीमा + . के बराबर है, इसलिए, बिंदु x = 0 पर यह दूसरे प्रकार का असंततता है। फलन y = E (x) ( . का पूर्णांक भाग) एक्स) पूर्णांक एब्सिसस वाले बिंदुओं पर पहली तरह की असंततता होती है, या कूदता है।

एक फलन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरवी. एक निरंतर कार्य को एक ठोस वक्र के रूप में दिखाया गया है।

किसी भी मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह के कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के कानून के अनुसार योगदान की वृद्धि, देश की जनसंख्या की वृद्धि, रेडियोधर्मी पदार्थों का क्षय, बैक्टीरिया का प्रजनन आदि।

विचार करना Ya.I. Perelman . का उदाहरणसंख्या की व्याख्या देना इचक्रवृद्धि ब्याज की समस्या में। संख्या इएक सीमा है ... बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के गठन में बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दें। इकाइयों 100% प्रति वर्ष की दर से। अगर एक साल बाद ही तय पूंजी में ब्याज की रकम जोड़ी जाएगी तो इस तारीख तक 100 डेन। इकाइयों 200 मौद्रिक इकाइयों में बदल जाएगा। अब देखते हैं क्या 100 मांद में बदल जाएगा। इकाइयों, यदि ब्याज वाली राशि हर छह महीने में निश्चित पूंजी में जोड़ दी जाती है। आधे साल के बाद, 100 डेन। इकाइयों बढ़कर 100 . हो जाएगा× १.५ = १५०, और छह महीने बाद - १५०× 1.5 = 225 (मौद्रिक इकाइयाँ)। यदि कनेक्शन वर्ष के हर 1/3 भाग में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद, 100 डेन। इकाइयों 100 . में बदलो× (1 +1/3) 3 " 237 (मौद्रिक इकाइयां)। हम ब्याज वाली राशि में शामिल होने की शर्तों को बढ़ाकर 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष, आदि कर देंगे। फिर 100 डेन में से। इकाइयों एक साल बाद यह निकलेगा:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (मौद्रिक इकाइयाँ),

१०० × (१ + १/१००) १०० * २७० (मौद्रिक इकाइयाँ),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (मौद्रिक इकाइयाँ)।

ब्याज अनुलग्नक की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी असीमित रूप से नहीं बढ़ती है, लेकिन लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाती है। प्रति वर्ष 100% पर आवंटित पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही उपार्जित हो प्रति सेकंड पूंजी में ब्याज जोड़ा जाता था क्योंकि सीमा

उदाहरण 3.1।संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का उपयोग करते हुए, सिद्ध करें कि अनुक्रम x n = (n-1) / n की सीमा 1 के बराबर है।

समाधान।हमें यह साबित करने की जरूरत है कि जो कुछ भीε हमने नहीं लिया> 0, इसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N है जैसे कि सभी n N के लिए निम्नलिखित असमानता है:| एक्स एन -1 |< ε.

कोई e> 0 लीजिए। चूंकि; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, तो N खोजने के लिए यह असमानता 1 / n को हल करने के लिए पर्याप्त है< इ। इसलिए एन> 1 / ई और, इसलिए, एन को 1 / के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता हैई, एन = ई (1 / ई ) हमने इस प्रकार साबित कर दिया है कि सीमा।

उदाहरण 3.2 ... एक उभयनिष्ठ पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए .

समाधान।हम योग सीमा प्रमेय को लागू करते हैं और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करते हैं। नहीं के लिए→ प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते। इसलिए, हम पहले रूपांतरित करते हैं एक्स एनपहले पद के अंश और हर को विभाजित करके एन 2, और दूसरा पर एन... फिर, भागफल सीमा और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:

उदाहरण 3.3. ... पाना ।

समाधान। .

यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री सीमा आधार सीमा की डिग्री के बराबर है।

उदाहरण 3.4 ... पाना ( ).

समाधान।सीमा अंतर प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है ∞-∞ ... हम आम सदस्य के लिए सूत्र बदलते हैं:

उदाहरण 3.5 ... एक फलन f (x) = 2 1 / x दिया गया है। साबित करें कि कोई सीमा नहीं है।

समाधान।आइए हम एक अनुक्रम के संदर्भ में एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करें। एक अनुक्रम लें (x n) जो 0 में परिवर्तित होता है, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f (x n) = विभिन्न अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। मान लीजिए x n = 1 / n। जाहिर है, फिर सीमा आइए अब के रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य शब्द x n = -1 / n के साथ एक अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी अग्रसर है। इसलिए, कोई सीमा नहीं है।

उदाहरण 3.6 ... साबित करें कि कोई सीमा नहीं है।

समाधान।मान लीजिए x 1, x 2, ..., x n, ... एक अनुक्रम है जिसके लिए
... अनुक्रम (f (x n)) = (sin x n) भिन्न x n → के लिए कैसे व्यवहार करता है

यदि x n = p n, तो sin x n = sin p n = 0 सभी के लिए एनऔर सीमा अगर
एक्स एन = 2पी एन + पी / 2, फिर पाप एक्स एन = पाप (2 पी एन + पी / 2) = पाप पी / 2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा। तो यह अस्तित्व में नहीं है।

ऑनलाइन सीमा की गणना के लिए विजेट

ऊपरी विंडो में sin (x)/x के स्थान पर उस function को दर्ज करें जिसकी सीमा आप खोजना चाहते हैं। निचली विंडो में, वह संख्या दर्ज करें जिस पर x जाता है और कैलक्यूलर बटन दबाएं, वांछित सीमा प्राप्त करें। और अगर आप रिजल्ट विंडो में ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

फ़ंक्शन प्रविष्टि नियम: sqrt (x) - वर्गमूल, cbrt (x) - घनमूल, exp (x) - घातांक, ln (x) - प्राकृतिक लघुगणक, sin (x) - sine, cos (x) - कोसाइन, टैन (x) स्पर्शरेखा है, खाट (x) कोटैंजेंट है, आर्क्सिन (x) आर्क्साइन है, आर्ककोस (x) प्रतिलोम कोज्या है, आर्कटान (x) चाप स्पर्शरेखा है। संकेत: * गुणा, / भाग, ^ घातांक, के बजाय अनंतताअनंतता। उदाहरण: फ़ंक्शन इस sqrt (tan (x / 2)) की तरह दर्ज किया गया है।

सीमा सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की शाखाओं में से एक है। सीमाओं को हल करने की समस्या काफी व्यापक है, क्योंकि विभिन्न प्रकार की सीमाओं को हल करने के दर्जनों तरीके हैं। इस या उस सीमा को हल करने के लिए दर्जनों बारीकियां और तरकीबें हैं। फिर भी, हम अभी भी उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने का प्रयास करेंगे जिनका व्यवहार में अक्सर सामना किया जाता है।

आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 19 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुई कॉची रहते थे, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण की नींव रखी और कठोर परिभाषाएँ दीं, विशेष रूप से सीमा की परिभाषा। मुझे कहना होगा कि यह वही कॉची सपने देखता है, सपने देखता है और सपने में सपने देखता है, भौतिकी और गणित संकाय के सभी छात्रों के लिए, क्योंकि उन्होंने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या साबित कर दी है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घृणित है। इस संबंध में, हम सीमा की एक सख्त परिभाषा पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन दो चीजें करने की कोशिश करेंगे:

1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. बुनियादी प्रकार की सीमाओं से निपटना सीखें।

मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आती है, जो वास्तव में परियोजना का कार्य है।

तो सीमा क्या है?

और सिर्फ एक उदाहरण है कि दादी क्यों झबरा है…।

किसी भी सीमा के तीन भाग होते हैं:

1) प्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत प्रविष्टियां। प्रविष्टि पढ़ती है "x एक की ओर जाता है।" सबसे अधिक बार - बिल्कुल, हालांकि व्यवहार में "x" के बजाय, अन्य चर भी हैं। व्यावहारिक अभ्यासों में, इकाई के स्थान पर बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत ()।
3) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत कार्य।

रिकॉर्डिंग ही इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"

आइए अगले महत्वपूर्ण प्रश्न का विश्लेषण करें - अभिव्यक्ति "x ." क्या है चाहता हैएक को "? और वैसे भी "प्रयास" क्या है?
एक सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, अगर मैं ऐसा कह सकता हूं, गतिशील... आइए एक क्रम बनाएँ: पहले, फिर, ..., , ….
अर्थात्, व्यंजक "x चाहता हैएक के लिए "निम्नानुसार समझा जाना चाहिए -" x "क्रमिक रूप से मूल्यों को लेता है, जो असीम रूप से एकता के करीब हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको केवल सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में एक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो पहला नियम है: जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करते हैं.

हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया है, लेकिन ऐसे भी व्यवहार में पाए जाते हैं, और, इसके अलावा, शायद ही कभी!

अनंत के साथ उदाहरण:

समझना क्या है? यह तब होता है जब यह अनिश्चित काल तक बढ़ता है, अर्थात्: पहले, फिर, फिर, फिर और इसी तरह अनंत तक।

इस समय समारोह का क्या होता है?
, , , …

तो: यदि, तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से, हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं, और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: जब फलन अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

कृपया निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाएँ याद रखें:

, , , , , , , , ,
यदि आपको कहीं भी संदेह है, तो आप एक कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
उस स्थिति में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,,। तो अगर,,।

नोट: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं से अनुक्रमों के निर्माण के साथ यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सबसे सरल उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।

निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही सबसे ऊपर बड़ी संख्या के साथ एक सीमा दी हो, लेकिन एक लाख के साथ भी:, तो सभी समान , क्योंकि जल्दी या बाद में "एक्स" ऐसे विशाल मूल्यों पर ले जाएगा कि उनकी तुलना में एक लाख वास्तविक सूक्ष्म जीव होंगे।

ऊपर से आपको क्या याद रखने और समझने की आवश्यकता है?

1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करते हैं।

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , आदि।

अब हम सीमाओं के एक समूह पर विचार करेंगे जब, और फलन एक भिन्न हो, जिसके अंश और हर में बहुपद हों

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। हमें सबसे ऊपर क्या मिलता है? अनंतता। और नीचे क्या होता है? साथ ही अनंत। तो हमारे पास प्रजातियों की तथाकथित अनिश्चितता है। कोई ऐसा सोचेगा, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य स्थिति में ऐसा बिल्कुल नहीं है, और आपको कुछ समाधान तकनीक लागू करने की आवश्यकता है, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

किसी दिए गए प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?

सबसे पहले, हम अंश को देखते हैं और उच्चतम घात में पाते हैं:

अंश में उच्चतम डिग्री दो है।

अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम घात में भी पाते हैं:

हर की उच्चतम शक्ति दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम शक्ति चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम शक्ति से विभाजित करना आवश्यक है।

ऐसा ही है, उत्तर, अनंत नहीं।

समाधान के डिजाइन में मौलिक रूप से क्या महत्वपूर्ण है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

दूसरा, मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करना उचित है। मैं आमतौर पर एक संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं होता है, लेकिन इसका मतलब है कि समाधान एक मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए बाधित किया गया था।

तीसरा, सीमा में, यह चिह्नित करना वांछनीय है कि क्या प्रयास कर रहा है और कहाँ। जब काम हाथ से पूरा हो जाता है, तो इसे इस तरह करना अधिक सुविधाजनक होता है:

चिह्नित करने के लिए एक साधारण पेंसिल का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

बेशक, आप इसमें से कुछ नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर, शायद, शिक्षक समाधान में कमियों को नोट करेगा या असाइनमेंट पर अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देगा। क्या तुम्हें यह चाहिये?

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं
फिर से, अंश और हर में, हम उच्चतम घात में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
हम चुनते हैं महानतममूल्य, इस मामले में एक चार।
हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, अनिश्चितता का खुलासा करने के लिए, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं।
असाइनमेंट का पूरा डिज़ाइन इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं
अंश में "x" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "x" की अधिकतम डिग्री: 1 (इस रूप में लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता प्रकट करने के लिए, अंश और हर को विभाजित करें। एक साफ समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

रिकॉर्डिंग का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते), लेकिन एक अनंत संख्या से विभाजन।

इस प्रकार, प्रजातियों की अनिश्चितता का खुलासा करते समय, हम प्राप्त कर सकते हैं सीमित संख्या, शून्य या अनंत।

एक प्रकार की अनिश्चितता के साथ सीमाएं और उनके समाधान के लिए एक विधि

सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं जाता है, लेकिन सीमित संख्या.

उदाहरण 4

सीमा को हल करें
सबसे पहले, आइए भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त की जाती है।

सामान्य नियम: यदि अंश और हर में बहुपद हैं, और प्रपत्र की अनिश्चितताएं हैं, तो इसके प्रकटीकरण के लिए आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा.

ऐसा करने के लिए, सबसे अधिक बार आपको द्विघात समीकरण को हल करने और / या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। अगर ये बातें भूल जाते हैं, तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और टेबलऔर शिक्षण सामग्री पढ़ें हॉट फॉर्मूला स्कूल गणित पाठ्यक्रम... वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है, इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और कागज से जानकारी बेहतर अवशोषित होती है।

तो, हम अपनी सीमा तय करते हैं

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें

अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा:

सबसे पहले, हम विवेचक पाते हैं:

और इसका वर्गमूल:.

यदि विभेदक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, वर्गमूल फ़ंक्शन सबसे सरल कैलकुलेटर पर उपलब्ध है।

! यदि रूट पूरी तरह से निकाला नहीं गया है (अल्पविराम के साथ एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त की जाती है), यह बहुत संभावना है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई है या नौकरी में कोई टाइपो है।

अगला, हम जड़ें पाते हैं:

इस प्रकार:

हर चीज़। अंश का विस्तार किया गया है।

हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है, इसे संक्षिप्त किया जा सकता है:

अब हम व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो सीमा चिन्ह के अंतर्गत रहता है:

स्वाभाविक रूप से, परीक्षण में, परीक्षण में, परीक्षा में, निर्णय को इतने विस्तार से वर्णित नहीं किया जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

आइए अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, एक "साफ" समाधान

आइए हम अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
हर:

,

इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको अच्छी तरह से समझना चाहिए कि अंश कैसे प्रकट होता है, पहले हमने ब्रैकेट से 2 निकाले, और फिर वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग किया। यह सूत्र अवश्य ही जाना और देखा जाना चाहिए।

पहली उल्लेखनीय सीमा को निम्नलिखित समानता कहा जाता है:

\ start (समीकरण) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (समीकरण)

चूँकि $ \ alpha \ to (0) $ के लिए हमारे पास $ \ sin \ alpha \ to (0) $ है, ऐसा कहा जाता है कि पहली उल्लेखनीय सीमा $ \ frac (0) (0) $ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, साइन साइन के तहत और हर में चर $ \ alpha $ के बजाय, कोई भी अभिव्यक्ति स्थित हो सकती है, जब तक कि दो शर्तें पूरी होती हैं:

साइन साइन के तहत और हर में एक साथ अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है, यानी। $ \ frac (0) (0) $ के रूप में अनिश्चितता है।
साइन साइन के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणाम भी अक्सर उपयोग किए जाते हैं:

\ start (समीकरण) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (समीकरण) \ start (समीकरण) \ lim _ (\ alpha \ to ( 0) ) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (समीकरण) \ start (समीकरण) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) ) = 1 \ अंत (समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्र (2) - (4) के प्रमाण के लिए समर्पित है। उदाहरण # 2, # 3, # 4 और # 5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान हैं। उदाहरण # 6-10 में लगभग बिना किसी टिप्पणी के समाधान हैं, क्योंकि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिया गया था। समाधान कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करता है जिन्हें पाया जा सकता है।

ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति, अनिश्चितता $ \ frac (0) (0) $ के साथ मिलकर, इसका मतलब यह नहीं है कि पहली उल्लेखनीय सीमा की आवश्यकता है। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ अल्फा ) (\ अल्फा) = 1 $, $ \ लिम _ (\ अल्फा \ से (0)) \ फ्रैक (\ arctg \ अल्फा) (\ अल्फा) = 1 $।

ए) चूंकि $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, तब:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg (\ alpha)) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) $$

चूँकि $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (0) = 1 $ और $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 $, फिर:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) = \ frac (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0) )) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha)) (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (\ alpha)) = \ frac (1) (1) = 1 . $$

बी) आइए प्रतिस्थापन $ \ alpha = \ sin (y) $ करें। चूँकि $ \ sin (0) = 0 $, तो शर्त $ \ alpha \ से (0) $ तक हमारे पास $ y \ to (0) $ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $ \ arcsin \ alpha = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, इसलिए:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (y) (\ sin (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ sin (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (\ sin (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$

समानता $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 $ सिद्ध होती है।

ग) आइए प्रतिस्थापन $ \ alpha = \ tg (y) $ करें। चूंकि $ \ tg (0) = 0 $, शर्तें $ \ alpha \ से (0) $ और $ y \ से (0) $ समतुल्य हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, इसलिए, आइटम a के परिणामों के आधार पर), हमारे पास होगा:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (y) (\ tg (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ tg (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (\ tg (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$

समानता $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $ सिद्ध होती है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण संख्या 2

$ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) की सीमा की गणना करें (\ frac (x ^ 2-4) ) (एक्स + 7)) $।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (x ^ 2-4) (x + 7) = \ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) = 0 $ और $ \ lim_ ( x \ to (2)) \ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right) = \ sin (0) = 0 $, अर्थात भिन्न के अंश और हर दोनों एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो यहाँ हम $ \ frac (0) (0) $ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, अर्थात। किया हुआ। इसके अलावा, यह देखा जा सकता है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल खाते हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी होती हैं। इससे यह इस प्रकार है कि सूत्र लागू होता है, अर्थात। $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) = 1 $।

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) = 1 $।

उदाहरण संख्या 3

$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) $ खोजें।

चूंकि $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (9x) = 0 $ और $ \ lim_ (x \ to (0)) x = 0 $, हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $ \ frac ( ० ) (०) $, यानी। किया हुआ। हालांकि, साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल नहीं खाते। यहां आपको हर में अभिव्यक्ति को वांछित आकार में फिट करने की आवश्यकता है। हमें हर में $9x$ व्यंजक चाहिए - तब यह सत्य हो जाएगा। वास्तव में, हम हर में $9 गुणक को खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है - बस हर के व्यंजक को $9 से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $ 9 से गुणा के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, आपको तुरंत $ 9 से विभाजित करना होगा और विभाजित करना होगा:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x \ cdot \ frac (1) (9)) = 9 \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin) (9x)) (9x) $$

अब हर और साइन साइन के नीचे के भाव मेल खाते हैं। सीमा $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए, $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 1 $। इस का मतलब है कि:

$$ 9 \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 9 \ cdot (1) = 9. $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = 9 $।

उदाहरण संख्या 4

$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) $ खोजें।

चूंकि $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (5x) = 0 $ और $ \ lim_ (x \ to (0)) \ tg (8x) = 0 $, यहां हम अनिश्चितता से निपट रहे हैं फॉर्म $ \ फ्रैक (0) (0) $। हालांकि, पहली उल्लेखनीय सीमा के आकार का उल्लंघन किया जाता है। $ \ sin (5x) $ वाले अंश को हर में $ 5x $ की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका अंश को $ 5x $ से विभाजित करना है, और फिर $ 5x $ से गुणा करना है। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $ \ tg (8x) $ को $ 8x $ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x) ) $$

$ x $ से कम करने और स्थिर $ \ frac (5) (8) $ को सीमा चिह्न से बाहर ले जाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x) )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) ( 8x)) $$

ध्यान दें कि $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x) $ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से पूरा करता है। $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x) $ खोजने के लिए सूत्र लागू होता है:

$$ \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x)) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (1) (1) = \ frac (5) (8)। $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ frac (5) (8) $।

उदाहरण संख्या 5

$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $ खोजें।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (याद रखें कि $ \ cos (0) = 1 $) और $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, तो हम $ \ frac (0) (0) $ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालांकि, पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने के लिए, आपको साइन (सूत्र को बाद में लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (सूत्र को बाद में लागू करने के लिए) पर जाकर अंश में कोसाइन से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। यह निम्नलिखित परिवर्तन के साथ किया जा सकता है:

$$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ बाएँ (1- \ cos ^ 2 (5x) \ दाएँ) $$ $$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ बाएँ (1- \ cos ^ 2 (5x) \ दाएँ) = \ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x)। $$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) (0) \ दाएँ | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos) (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) $$

अंश $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ पहले से ही पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक रूप के करीब है। आइए अंश $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा में समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश में और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \ cdot \ frac (1) (25)) = 25 \ cdot \ फ़्रैक (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) = 25 \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 $$

आइए विचार की गई सीमा पर लौटते हैं:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) = \ lim_ (x \ to (0) )) \ बाएँ (25 \ cos (5x) \ cdot \ बाएँ (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ दाएँ) ^ 2 \ दाएँ) = \\ = 25 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ cos (5x) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 = 25 \ cdot (1) \ cdot ( 1 ^ 2) = 25. $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = 25 $।

उदाहरण संख्या 6

सीमा ज्ञात कीजिए $\ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) $।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (6x)) = 0 $ और $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (2x)) = 0 $, तो हम अनिश्चितता $ \ frac (0) (0) $ से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ खोलें। ऐसा करने के लिए, आइए कोज्या से ज्या की ओर चलें। चूंकि $ 1- \ cos (2 \ alpha) = 2 \ sin ^ 2 (\ alpha) $, तब:

$$ 1- \ cos (6x) = 2 \ sin ^ 2 (3x); \; 1- \ cos (2x) = 2 \ sin ^ 2 (x)। $$

दी गई सीमा में ज्या तक जाने पर, हमारे पास होगा:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = \ बाएँ | \ frac (0) (0) \ दाएँ | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 (3x)) (2 \ sin ^ 2 (x)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 (3x)) (\ sin ^ 2 (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \ cdot (3x) ^ 2) (\ frac (\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \ cdot (x ^ 2)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ बाएँ (\ फ़्रैक (\ sin (3x)) (3x) \ दाएँ) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2)) (\ बाएँ (\ frac (\ sin (x)) (x) \ दाएँ) ^ 2 \ cdot (x ^ 2)) = 9 \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (3x)) (3x) \ right) ^ 2) (\ displaystyle \ lim_ (x) \ to (0)) \ बाएँ (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2) = 9 \ cdot \ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) = 9. $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = 9 $।

उदाहरण संख्या 7

$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) की सीमा की गणना करें (x ^ 2) $ $ \ alpha \ neq मानकर \ बीटा $।

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिया गया था, लेकिन यहां हम सिर्फ ध्यान दें कि फिर से एक अनिश्चितता $ \ frac (0) (0) $ है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोज्या से ज्या की ओर चलते हैं

$$ \ cos \ alpha- \ cos \ बीटा = -2 \ sin \ frac (\ alpha + \ बीटा) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2)। $$

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) ( 0) \ सही | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (-2 \ sin \ frac (\ alpha (x) + \ beta (x)) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha (x) - \ बीटा (x)) (2)) (x ^ 2) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \) बीटा ) (2) \ दाएँ) \ cdot \ sin \ बाएँ (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2) \ दाएँ)) (x ^ 2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ लेफ्ट (\ फ्रैक (\ sin \ लेफ्ट (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x) \ cdot \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ अल्फा- \ बीटा) (2) \ दाएँ)) (x) \ दाएँ) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ से (0)) \ बाएँ (\ frac (\ sin \ बाएँ) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2 ) \ cdot \ frac (\ sin \ बाएँ (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2) \ दाएँ)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2)) \ cdot \ फ्रैक (\ अल्फा- \ बीटा) (2) \ राइट) = \\ = - \ फ्रैक ((\ अल्फा + \ बीटा) \ cdot (\ अल्फा- \ बीटा)) (2) \ lim_ (x \ से (0 )) \ frac (\ sin \ लेफ्ट (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ बीटा) (2 )) = - \ फ्रैक (\ अल्फा ^ 2- \ बीटा ^ 2) (2) \ cdot (1) \ cdot (1) = \ frac (\ बीटा ^ 2- \ अल्फा ^ 2) (2)। $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ frac (\ beta ^ 2- \ अल्फा ^ 2) (2) $।

उदाहरण संख्या 8

सीमा ज्ञात कीजिए $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) $।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ tg (x) - \ sin (x)) = 0 $ (याद रखें कि $ \ sin (0) = \ tg (0) = 0 $) और $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 3 = 0 $, तो यहां हम $ \ frac (0) (0) $ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस प्रकार खोलें:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ left | \ frac (0) (0) \ दाएँ | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (x)) (\ cos (x)) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to ( 0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (\ frac (1) (\ cos (x)) - 1 \ right)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (1- \ cos (x) \ right)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot (2) \ sin ^ 2 \ frac (x) (2)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (x \ से (0)) \ बाएँ (\ frac (\ sin (x)) (x) \ cdot \ बाएँ (\ frac (\ sin \ frac (x) (2)) (\ frac (x) ( 2)) \ दाएँ) ^ 2 \ cdot \ frac (1) (\ cos (x)) \ दाएँ) = \ frac (1) (2) \ cdot (1) \ cdot (1 ^ 2) \ cdot (1 ) = \ फ़्रेक (1) (2)। $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ frac (1) (2) $।

उदाहरण संख्या 9

सीमा ज्ञात कीजिए $\ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) $।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to (3)) (1- \ cos (x-3)) = 0 $ और $ \ lim_ (x \ to (3)) (x-3) \ tg \ frac (x - 3) (2) = 0 $, तो $ \ frac (0) (0) $ के रूप में अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $ \ alpha \ से 0 $)। चर $ t = x-3 $ को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। हालांकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), यह निम्नलिखित प्रतिस्थापन करने लायक है: $ t = \ frac (x-3) (2) $। ध्यान दें कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू हैं, केवल दूसरा प्रतिस्थापन आपको भिन्नों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूंकि $ x \ से (3) $, फिर $ t \ से (0) $।

$$ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = \ left | \ frac (0) (0) \ सही | = \ बाएँ | \ start (संरेखित) और t = \ frac (x-3) (2); \\ & t \ से (0) \ अंत (संरेखित) \ दाएँ | = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (1- \ cos (2t)) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2t) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ tg (t)) = \\ = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ frac (\ sin (t)) (\ cos (t))) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin (t) \ cos (t)) (t) = \ lim_ (t \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ cos (t) \ right) = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ lim_ (t \ to (0)) \ cos (t) = 1 \ cdot (1) = 1. $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = 1 $।

उदाहरण संख्या 10

सीमा खोजें २) $.

फिर से हम $ \ frac (0) (0) $ अनिश्चितता से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $ \ alpha \ से (0) $)। सबसे आसान तरीका है कि वेरिएबल $ t = \ frac (\ pi) (2) -x $ दर्ज करें। चूंकि $ x \ से \ frac (\ pi) (2) $, फिर $ t \ से (0) $:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) = \ बाएँ | \ फ़्रेक (0) (0) \ दाएँ | = \ बाएँ | \ start (गठबंधन) और t = \ frac (\ pi) (2) -x; \\ & t \ से (0) \ अंत (गठबंधन) \ दाएँ | = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (1- \ sin \ left (\ frac (\ pi) (2) -t \ right)) (t ^ 2) = \ lim_ (t \ to (0) )) \ frac (1- \ cos (t)) (t ^ 2) = \\ = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) ( t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ to (0)) \ फ़्रैक (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (\ frac (t ^ 2) (4) \ cdot (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (t \ to ( 0)) \ लेफ्ट (\ frac (\ sin \ frac (t) (2)) (\ frac (t) (2)) \ right) ^ 2 = \ frac (1) (2) \ cdot (1 ^ 2 ) = \ फ़्रेक (1) (2)। $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) = \ फ़्रेक (1) (2) $.

उदाहरण संख्या 11

सीमाएं खोजें $ \ lim_ (x \ से \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) $, $ \ lim_ (x \ से \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) $।

इस मामले में, हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें: पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में केवल त्रिकोणमितीय कार्य और संख्याएँ हैं। अक्सर, इस तरह के उदाहरणों में, सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति को सरल बनाना संभव है। इस मामले में, उपरोक्त सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक उद्देश्य से दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा के आवेदन से नहीं है।

चूँकि $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) (1- \ sin (x)) = 0 $ (याद रखें कि $ \ sin \ frac (\ pi) (2) = 1 $) और $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (याद रखें कि $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), तो हम एक के साथ काम कर रहे हैं $ \ frac (0) (0) $ के रूप की अनिश्चितता। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता है। अनिश्चितता का खुलासा करने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि $ \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x $:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ बाएँ | \ frac (0) (0) \ दाएँ | = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (1- \ sin ^ 2x) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) ( 2)) \ frac (1- \ sin (x)) ((1- \ sin (x)) (1+ \ sin (x))) = \ lim_ (x \ से \ frac (\ pi) (2) ) \ frac (1) (1+ \ sin (x)) = \ frac (1) (1 + 1) = \ frac (1) (2)। $$

डेमिडोविच के रेशेबनिक (नंबर 475) में एक समान समाधान है। दूसरी सीमा के लिए, जैसा कि इस खंड के पिछले उदाहरणों में, हमारे पास $ \ frac (0) (0) $ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उठता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ और $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = - 1 $। हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का उद्देश्य: अंश और हर में योग को उत्पाद के रूप में लिखें। वैसे, अक्सर एक समान दृश्य के भीतर, एक चर को बदलना सुविधाजनक होता है, इस तरह से बनाया जाता है कि नया चर शून्य हो जाता है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण # 9 या # 10 देखें)। हालाँकि, इस उदाहरण में, प्रतिस्थापित करने का कोई मतलब नहीं है, हालाँकि, यदि वांछित है, तो चर $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $ को बदलना आसान है।

$$ \ lim_ (x \ से \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = \ lim_ (x \ से \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cdot \ बाएँ (\ cos (x) + \ frac (1) (2) \ दाएँ )) = \ lim_ (x \ से \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) - \ tg \ frac (2 \ pi) (3)) (2 \ cdot \ बाएँ (\ cos (x) - \ cos \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ frac (\ sin) \ लेफ्ट (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) (\ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3))) (- 4 \ sin \ frac (x + \) फ्रैक (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) = \ lim_ (x \ से \ frac (2 \ pi) ( 3 )) \ frac (\ sin \ लेफ्ट (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2 ) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (2 \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3 )) (2)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ cos \ frac (x- \) फ़्रेक (2 \ pi) (3)) (2)) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3 )) = \\ = \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ ( - \ frac (1) (2) \ दाएँ)) = - \ frac (4 .) ) (\ sqrt (3))। $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यह वांछित होने पर किया जा सकता है (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करके समाधान क्या होगा? दिखाओ छुपाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi ) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3)) \ right)) (x- \ frac (2 \ pi) (3)) \ cdot \ frac (1) (\ frac (\ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) ) (\ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2))) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3) ) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ right) = 1 \ cdot (1) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (\ sqrt ( 3)) (2) \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ)) = - \ frac (4) (\ वर्ग (3))। $$

उत्तर: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (2) $, $ \ lim_ ( x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = - \ frac (4) (\ sqrt ( 3)) $.

सीमा ज्ञात करने के लिए समस्याओं का समाधान सीमा ज्ञात करने के लिए समस्याओं को हल करते समय, आपको कुछ सीमाएँ याद रखनी चाहिए ताकि आपको हर बार उनकी पुनर्गणना करने की आवश्यकता न पड़े। इन ज्ञात सीमाओं को मिलाकर, हम 4 में दर्शाए गए गुणों का उपयोग करके नई सीमाएँ प्राप्त करेंगे। सुविधा के लिए, हम सबसे अधिक बार सामना की जाने वाली सीमाएँ प्रस्तुत करते हैं: सीमाएँ 1 लिम x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o \ X \ 5 lim sin * - एल एक्स -ओ एक्स 6 लिम एफ (एक्स) = एफ (ए), अगर एफ (एक्स) निरंतर एक्स है यदि यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन निरंतर है, तो सीमा खोजने के बजाय, फ़ंक्शन के मान की गणना करें। उदाहरण 1. लिम (x * -6l: + 8) खोजें। चूँकि अनेक- X-> 2 पद-फलन सतत है, तो lim (x * -6x4- 8) = 2 * -6-2 + 8 = 4.x- + 2x * _2x 4-1 उदाहरण 2. lim ज्ञात कीजिए। -जी। ... सबसे पहले, हम सीमा पाते हैं - X- + 1 x ~ rbx हर के मामले: lim [xr - \ - bx) = 12 + 5-1 = 6; यह X-Y1 शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि 4 का गुण 4 लागू किया जा सकता है, तो x ™ i * "+ & * ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1" "6 1. हर XX की सीमा शून्य के बराबर है, इसलिए, 4 के गुण 4 को लागू नहीं किया जा सकता है। चूंकि अंश एक स्थिर संख्या है, और हर [x2x) -> - 0 x -1 के लिए, पूर्ण भिन्न में असीम रूप से वृद्धि होती है निरपेक्ष मान, अर्थात् lim "1X - * - - 1 x * + x उदाहरण 4. lim \ -ll * "!" 4 लागू नहीं है। लेकिन अंश की सीमा भी शून्य है: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. तो, अंश और हर की सीमाएं एक साथ शून्य के बराबर होती हैं। हालाँकि, संख्या 2 अंश और हर दोनों का मूल है, इसलिए भिन्न को x-2 के अंतर (बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा) से रद्द किया जा सकता है। वास्तव में, x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" -f- 6 r x -3 -1 1 उदाहरण 5. lim xn (पूर्णांक n, धनात्मक) ज्ञात कीजिए। एक्स सी हमारे पास एक्सएन = एक्स * एक्स है। ... X, n बार चूंकि प्रत्येक कारक असीम रूप से बढ़ता है, उत्पाद भी असीम रूप से बढ़ता है, अर्थात lim xn = oo। x oo उदाहरण 6. lim xn ज्ञात कीजिए (n एक पूर्णांक, धनात्मक है)। X -> - CO हमारे पास xn = x x ... x है। चूँकि प्रत्येक कारक निरपेक्ष मान में बढ़ता है, शेष ऋणात्मक, तो एक सम अंश की स्थिति में उत्पाद अनिश्चित काल तक बढ़ेगा, शेष धनात्मक, अर्थात lim * n = + oo (सम n के लिए)। * - * -co विषम अंश की स्थिति में गुणनफल का निरपेक्ष मान बढ़ जाता है, लेकिन ऋणात्मक रहता है, अर्थात् lim xn = - oo (जब n विषम हो)। n - 00 उदाहरण 7. लिम खोजें। x x - * - co * यदि m> ny तो आप लिख सकते हैं: m = n + kt जहाँ k> 0. इसलिए, xm b lim - = - = lim - = - = lim x. yn Yn x -x> A x y उदाहरण 6 पर आया। यदि ty uTL xm I lim lim lim m। X - - * у Л X -> यहाँ अंश स्थिर रहता है, और हर निरपेक्ष मान में बढ़ता है, इसलिए lim -b = 0. X- * oo X * इस उदाहरण के परिणाम को याद रखने की अनुशंसा की जाती है निम्न रूप: तेजी से बड़ा घातांक। $ xv_3xr + 7 उदाहरण 8. lim g L - z - = ज्ञात करें। इस उदाहरण में, x- * ® «J *" Г LX -ox-o और अंश और हर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। अंश और हर दोनों को विभाजित करके उच्चतम घात x, अर्थात xb पर, फिर 3 7_ उदाहरण 9. लीरा ज्ञात कीजिए। रूपांतरण करते हुए, हम लीरा प्राप्त करते हैं। , फिर हर की सीमा rade- *® XX - + - CD X शून्य है, जबकि सीमा अंश का 1 है। नतीजतन, पूरा अंश असीम रूप से बढ़ता है, यानी टी। 7x एचएम एक्स- + ओ उदाहरण 10। लिम खोजें आइए हम हर की सीमा एस की गणना करें, यह याद करते हुए कि cos * -फंक्शन निरंतर है: लीरा (2 + cos x) = 2 + आरामदायक = 2. फिर x -> - S lim (l-fsin *) उदाहरण 15. लिम खोजें *<*-e>2 और lim e "(X" a) \ Pos - X- + ± co X ± CO प्रेस (l: - a) 2 = z; चूँकि (n; -a) 2 हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है और x के साथ असीम रूप से बढ़ता है, तब x - oo नए चर z - * oo के रूप में। इसलिए, हम φm £ . प्राप्त करते हैं<*-«)* = X ->± 00 s = lim er = oo (§5 पर टिप्पणी देखें)। r - * o इसी प्रकार lim e ~ (X-a) 2 = lim e ~ z = Q, क्योंकि x ± oo rm - (x-a) r असीम रूप से घटता है क्योंकि x -> ± oo (§ पर टिप्पणी देखें)

सीमाएं गणित के सभी छात्रों को बहुत परेशानी देती हैं। सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको बहुत सी तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न प्रकार के समाधान विधियों में से एक को चुनना होता है जो एक विशिष्ट उदाहरण के लिए उपयुक्त होता है।

इस लेख में हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी मदद नहीं करेंगे, लेकिन हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कई विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमित अवधारणा

पहला सवाल: यह सीमा क्या है और सीमा क्या है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि यह उनके साथ है कि छात्रों का सबसे अधिक बार सामना होता है। लेकिन पहले, एक सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ चर है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान एक निश्चित संख्या तक असीम रूप से पहुंचता है ए , फिर ए इस मान की सीमा है।

एक निश्चित अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) = वाई ऐसी संख्या को सीमा कहा जाता है ए , जिस पर फ़ंक्शन जाता है एन एस एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए ... बिंदु ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे लिखना बहुत आसान है:

लिम- अंग्रेज़ी से सीमासीमा है।

सीमा की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष की तुलना में व्यावहारिक में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम कहते हैं कि एन एस कुछ मूल्य के लिए जाता है, इसका मतलब है कि चर संख्या का मूल्य नहीं लेता है, लेकिन इसके असीम रूप से करीब है।

आइए एक ठोस उदाहरण दें। चुनौती सीमा खोजने की है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें एक्स = 3 एक समारोह में। हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एन एस किसी भी मूल्य के लिए प्रयास कर सकते हैं। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एन एस अनंत की ओर जाता है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन का मान उतना ही कम होगा। तो, असीमित वृद्धि के साथ एन एस अर्थ 1 / एक्स घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एन एस ... हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। सीमा ढूँढना अक्सर इतना स्पष्ट नहीं होता है। अनिश्चितताएं जैसे 0/0 या अनंत / अनंत ... ऐसे मामलों में क्या करें? चाल का सहारा लेने के लिए!

भीतर अनिश्चितता

अनंत / अनंत के रूप की अनिश्चितता

एक सीमा होने दो:

यदि हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलता है। सामान्य तौर पर, यह कहने योग्य है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदला जा सकता है कि अनिश्चितता गायब हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं एन एस वरिष्ठ डिग्री में। क्या होता है?

ऊपर दिए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पदों की प्रवृत्ति शून्य होगी। फिर सीमा का समाधान है:

अनिश्चितताओं का खुलासा करने के लिए जैसे अनंत / अनंतअंश और हर को विभाजित करें एन एसउच्चतम डिग्री तक।

वैसे! हमारे पाठकों के लिए, अब 10% की छूट है

एक अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, मान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन एक्स = -1 देता है 0 अंश और हर में। थोड़ा और बारीकी से देखें और आप देखेंगे कि अंश में हमारे पास द्विघात समीकरण है। जड़ों को खोजें और लिखें:

आइए छोटा करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं जैसे 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

आपके लिए उदाहरणों को हल करना आसान बनाने के लिए, हम कुछ कार्यों की सीमाओं के साथ एक तालिका देते हैं:

L'Hpital's शासन के भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितताओं को दूर करने की एक और शक्तिशाली तकनीक। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो हम अंश और हर के व्युत्पन्न को तब तक लेते हैं जब तक अनिश्चितता गायब नहीं हो जाती।

L'Hôpital का नियम इस तरह दिखता है:

एक महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा जिसमें अंश और हर के बजाय अंश और हर के व्युत्पन्न हों, मौजूद होना चाहिए।

और अब एक वास्तविक उदाहरण के लिए:

विशिष्ट अनिश्चितता 0/0 ... आइए अंश और हर के डेरिवेटिव लें:

वोइला, अस्पष्टता जल्दी और शान से हल हो जाती है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में उपयोगी रूप से लागू कर सकते हैं और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर ढूंढ सकते हैं। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और "बिल्कुल" शब्द से इस कार्य के लिए कोई समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।