सबसे छोटी संचयी संख्या। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

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सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) और कम से कम सामान्य गुणक (एलसीएम) की अवधारणाओं के साथ, हाई स्कूल के छात्र छठी कक्षा में पाए जाते हैं। इस विषय को समझना हमेशा कठिन होता है। बच्चे अक्सर इन अवधारणाओं को भ्रमित करते हैं, समझ में नहीं आता कि उन्हें अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है। हाल ही में, लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में, व्यक्तिगत कथन हैं कि इस सामग्री को स्कूली पाठ्यक्रम से बाहर रखा जाना चाहिए। मुझे लगता है कि यह पूरी तरह से सच नहीं है, और इसका अध्ययन करना आवश्यक है, यदि कक्षा में नहीं, तो स्कूल के घटक की कक्षा में पाठ्येतर घंटों के दौरान, यह अनिवार्य है, क्योंकि यह तार्किक सोच के विकास में योगदान देता है। स्कूली बच्चों, कम्प्यूटेशनल संचालन की गति में वृद्धि, और सुंदर तरीकों से समस्याओं को हल करने की क्षमता।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने में, हम बच्चों को सिखाते हैं कि दो या दो से अधिक संख्याओं के सामान्य भाजक को कैसे खोजना है। उदाहरण के लिए, भिन्नों को 1/3 और 1/5 जोड़ें। विद्यार्थी आसानी से एक ऐसी संख्या ज्ञात कर सकते हैं जो बिना किसी शेषफल के 3 और 5 से विभाज्य हो। यह संख्या 15 है। वास्तव में, यदि संख्याएँ छोटी हैं, तो गुणन तालिका को अच्छी तरह से जानते हुए, उनके सामान्य हर को खोजना आसान है। कुछ बच्चों ने देखा कि यह संख्या 3 और 5 का गुणनफल है। बच्चों की राय है कि इस तरह आप संख्याओं के लिए हमेशा एक सामान्य भाजक पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 7/18 और 5/24 घटाएं। संख्या 18 और 24 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। यह 432 के बराबर है। हमें पहले से ही एक बड़ी संख्या प्राप्त हुई है, और यदि आगे कुछ गणना करना आवश्यक है (विशेषकर सभी कार्यों के लिए उदाहरण के लिए), तो त्रुटि की संभावना बढ़ जाती है। लेकिन पाया गया कम से कम सामान्य गुणक (LCM), जो इस मामले में कम से कम सामान्य भाजक (LCM) के बराबर है - संख्या 72 - गणना को बहुत सुविधाजनक बनाएगा और उदाहरण के लिए एक तेज़ समाधान की ओर ले जाएगा, और इस तरह बचत करेगा कार्य के लिए आवंटित समय, जो विशेष रूप से अंतिम प्रमाणीकरण के दौरान अंतिम परीक्षण, नियंत्रण कार्य के प्रदर्शन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

"अंशों को कम करना" विषय का अध्ययन करते समय, आप क्रमिक रूप से भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृतिक संख्या से विभाजित कर सकते हैं, संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों का उपयोग करके, अंततः एक अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप अंश 128/344 को रद्द करना चाहते हैं। पहले भिन्न के अंश और हर को संख्या 2 से भाग देने पर भिन्न 64/172 प्राप्त होता है। एक बार फिर, परिणामी भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित करने पर, हमें भिन्न 32/86 प्राप्त होता है। भिन्न के अंश और हर को फिर से 2 से विभाजित करने पर हमें अपरिमेय भिन्न 16/43 प्राप्त होता है। लेकिन भिन्न को घटाना बहुत आसान हो सकता है यदि हम संख्याओं 128 और 344 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पाते हैं। GCD (128, 344) = 8. भिन्न के अंश और हर को इस संख्या से विभाजित करने पर, हमें तुरंत एक मिलता है अपरिवर्तनीय अंश।

आपको बच्चों को संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) और सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) खोजने के विभिन्न तरीके दिखाने होंगे। साधारण मामलों में, साधारण गणना द्वारा संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) और सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) खोजना सुविधाजनक होता है। जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं, आप अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग कर सकते हैं। छठी कक्षा की पाठ्यपुस्तक (N.Ya. Vilenkin द्वारा) संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) खोजने के लिए निम्नलिखित विधि दिखाती है। आइए संख्याओं को प्रमुख कारकों में विभाजित करें:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

फिर, इनमें से किसी एक संख्या के अपघटन में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं। शेष गुणनखंडों का गुणनफल इन संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक होगा। इस मामले में, यह संख्या 8 है। अपने स्वयं के अनुभव से, मुझे विश्वास था कि यह बच्चों के लिए अधिक समझ में आता है यदि हम संख्याओं के विस्तार में समान कारकों को रेखांकित करते हैं, और फिर विस्तार में से एक में हम का उत्पाद पाते हैं रेखांकित कारक। यह इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। छठी कक्षा में बच्चे सक्रिय और जिज्ञासु होते हैं। आप उन्हें निम्नलिखित समस्या सेट कर सकते हैं: वर्णित तरीके से संख्याओं 343 और 287 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का प्रयास करें। आप तुरंत यह नहीं देख सकते कि उन्हें प्रमुख कारकों में कैसे विघटित किया जाए। और यहां आप उन्हें प्राचीन यूनानियों द्वारा आविष्कृत एक अद्भुत विधि के बारे में बता सकते हैं, जो आपको अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान में रखे बिना सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीडी) खोजने की अनुमति देता है। सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की इस पद्धति का वर्णन सबसे पहले यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग्स" में किया गया था। इसे यूक्लिड का एल्गोरिथम कहा जाता है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं: सबसे पहले, बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें। यदि शेषफल प्राप्त हो, तो छोटी संख्या को शेषफल से भाग दें। यदि फिर से शेषफल प्राप्त होता है, तो पहले शेष को दूसरे से भाग दें। यह तब तक विभाजित होता रहता है जब तक कि शेष शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) है।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं और स्पष्टता के लिए तालिका के रूप में समाधान लिखें।

तो, जीसीडी (344.287) = 7

आप समान संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) कैसे ज्ञात करते हैं? क्या इसके लिए भी कोई रास्ता नहीं है, जिसके लिए इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में प्रारंभिक अपघटन की आवश्यकता नहीं है? यह पता चला है कि, और, इसके अलावा, बहुत आसान है। आपको इन संख्याओं को गुणा करना होगा और गुणनफल को सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक (जीसीडी) से विभाजित करना होगा जो हमने पाया था। इस उदाहरण में, संख्याओं का गुणनफल 98441 है। संख्या 14063 प्राप्त करने के लिए इसे 7 से विभाजित करें। LCM (343.287) = 14063।

गणित में कठिन विषयों में से एक शब्द समस्या समाधान है। छात्रों को यह दिखाना आवश्यक है कि कैसे "सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)" और "कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)" की अवधारणाएं उन समस्याओं को हल कर सकती हैं जिन्हें कभी-कभी सामान्य तरीके से हल करना मुश्किल होता है। यहाँ पर विद्यार्थियों के साथ विद्यालय की पाठ्यपुस्तक के लेखकों द्वारा प्रस्तावित कार्यों के साथ-साथ पुराने एवं मनोरंजक कार्यों पर विचार करना उचित है जो बच्चों की जिज्ञासा को विकसित करते हैं और इस विषय के अध्ययन में रुचि बढ़ाते हैं। इन अवधारणाओं का कुशल ज्ञान छात्रों को एक गैर-मानक समस्या का एक सुंदर समाधान देखने की अनुमति देता है। और अगर किसी अच्छी समस्या को हल करने के बाद बच्चे का मूड अच्छा होता है, तो यह सफल काम का संकेत है।

इस प्रकार, संख्याओं के "महानतम सामान्य भाजक (GCD)" और "कम से कम सामान्य गुणक (LCM)" जैसी अवधारणाओं के स्कूल में अध्ययन

आपको काम पर खर्च किए गए समय को बचाने की अनुमति देता है, जिससे पूर्ण किए गए कार्यों की मात्रा में उल्लेखनीय वृद्धि होती है;

अंकगणितीय संचालन करने की गति और सटीकता को बढ़ाता है, जिससे अनुमत कम्प्यूटेशनल त्रुटियों की संख्या में उल्लेखनीय कमी आती है;

आपको गैर-मानक शब्द समस्याओं को हल करने के सुंदर तरीके खोजने की अनुमति देता है;

छात्रों की जिज्ञासा विकसित करता है, उनके क्षितिज को विस्तृत करता है;

एक बहुमुखी रचनात्मक व्यक्तित्व की शिक्षा के लिए आवश्यक शर्तें बनाता है।

जीसीडी सबसे बड़ा आम भाजक है।

कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, आपको चाहिए:

• दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए;
• सामान्य कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

जीसीडी खोजने का एक उदाहरण:

संख्या 315 और 245 की GCD ज्ञात कीजिए।

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. आइए हम दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को लिखें:

3. सामान्य कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

जीसीडी (315; 245) = 5 * 7 = 35।

उत्तर: जीसीडी (315; 245) = 35।

एनओसी . का पता लगाना

LCM कम से कम सामान्य गुणक है।

अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

• संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;
• किसी एक संख्या के अपघटन में शामिल कारकों को लिख सकेंगे;
• उनके साथ दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

एलसीएम खोजने का एक उदाहरण:

संख्या 236 और 328 का LCM ज्ञात कीजिए:

1. आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. आइए हम किसी एक संख्या के अपघटन में शामिल कारकों को लिखें और उनमें दूसरी संख्या के अपघटन से छूटे हुए गुणनखंडों को जोड़ें:

2; 2; 59; 2; 41.

3. परिणामी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

एलसीएम (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352।

उत्तर: एलसीएम (236; 328) = 19352।

दो संख्याओं का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) खोजने के लिए, आपको चाहिए:

2. परिणामी प्रसारों में सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए (रेखांकित कीजिए)।

3. उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

दो संख्याओं का LCM (कम से कम सामान्य गुणक) खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कीजिए।

2. उनमें से एक के विस्तार को दूसरी संख्या के विस्तार के उन कारकों के साथ पूरक किया जाना चाहिए, जो पहली संख्या के विस्तार में नहीं हैं।

3. प्राप्त कारकों के उत्पाद की गणना करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलसीएम खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• यदि आप गलत वर्ण दर्ज करते हैं, तो इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• "जीसीडी और एलसीएम खोजें" बटन पर क्लिक करें

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को स्थान, अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं के GCD और LCM को खोजना मुश्किल नहीं होगा

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकबहु संख्याएँ - यह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य कारक संक्षिप्त है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तकबहु संख्या वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं के कुछ विभाज्यता गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों में विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता की कसौटी
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 - तो संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करनी होगी और यह जांचना होगा कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को फिर से दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27.27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह विशेषता तीन से विभाज्यता के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27.27 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का gcd और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं की gcd कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और सबसे बड़ा भाजक चुनना है।

आइए जीसीडी (28, 36) को खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. दोनों संख्याओं का गुणनखंड करें: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के गुणनफल की गणना करते हैं: 1 · 2 · 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए केवल इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. जीसीडी (28, 36), जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, 4 . के बराबर है
3. एलसीएम (28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए GCD और LCM ढूँढना

केवल दो ही नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड पाया जा सकता है। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य कारक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

एक समान संबंध कम से कम सामान्य गुणकों के लिए मान्य है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3 3।
2. आइए सामान्य कारक खोजें: 1, 2 और 2.
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1 2 2 = 4
4. आइए अब एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम (12, 32): 12 · 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों नंबरों का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीडी)ये नंबर।

24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 होंगे और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर सरल.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर सरलयदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंड करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के अपघटन में शामिल कारकों में से, जो दूसरी संख्या (अर्थात दो दो) के अपघटन में शामिल नहीं हैं, उन्हें हटा दें।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 की संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महानतम सामान्य कारक

2) इनमें से किसी एक संख्या के अपघटन में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को हटा दें जो अन्य संख्याओं के अपघटन में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि ये सभी संख्याएँ इनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महानतम सामान्य कारकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि अन्य सभी संख्याएँ इससे विभाज्य हैं: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या कहलाती हैं, जो a और b दोनों का गुणज है। संख्या 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं: 75 = 3 * 5 * 5, और 60 = 2 * 2 * 3 * 5।
आइए हम इनमें से पहली संख्या के अपघटन में शामिल कारकों को लिखें, और उनमें दूसरी संख्या के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ें (अर्थात, कारकों को मिलाएं)।
हमें पांच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिसका गुणनफल 300 है। यह संख्या 75 और 60 का सबसे छोटा समापवर्तक है।

तीन या अधिक संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

प्रति कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के अपघटन में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का लघुत्तम समापवर्तक 60 है क्योंकि यह इन सभी संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्न का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे एक पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33 550 336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में मिला था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की एक श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही कम होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या कोई अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित कर दिया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे और भी बड़ी अभाज्य संख्या है। .
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याएँ लिख दीं, और फिर एक ऐसी इकाई को काट दिया जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं को काट देता है (2 से विभाज्य संख्याएँ, अर्थात 4, 6, 8, आदि। ।) 2 के बाद पहली बची हुई संख्या 3 थी। फिर 3 के बाद की सभी संख्याएँ (ऐसी संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, यानी 6, 9, 12, आदि) को दो के बाद काट दिया गया। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही अनुप्रस्थ रह गईं।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "मल्टीपल" शब्द का अर्थ तय करना होगा।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो A से शेषफल के बिना विभाज्य है। इसलिए, 5 के गुणजों को 15, 20, 25, इत्यादि माना जा सकता है।

एक विशिष्ट संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के उनके द्वारा विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन, या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है।

एलसीएम खोजने के कई तरीके हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से कोई एक उभयनिष्ठ न हो। गुणकों को एक बड़े अक्षर K के साथ प्रविष्टि में नामित किया गया है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के (4) = (8.12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्तक 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम (4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, आपको प्रस्तावित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के अपघटन में भिन्न भिन्न संख्या में कारक उपस्थित हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

एक छोटी संख्या के विस्तार में, आपको उन कारकों पर जोर देना चाहिए जो पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में अनुपस्थित हैं, और फिर उन्हें इसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक दो गायब है।

अब आप 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

तो, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल और दूसरी संख्या के गुणनखंड जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, 16, 24, 36 का सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इसलिए, बड़ी संख्या के गुणनखंडों में सोलह के गुणनखंड से केवल दो दो शामिल नहीं थे (एक चौबीस के गुणनखंड में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि संख्याओं में से एक को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस का एलसीएम चौबीस होगा।

यदि आपको ऐसे सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (10, 11) = 110।