विमान पर सीधे के साथ सरल कार्य। प्रत्यक्ष का पारस्परिक स्थान

गणित में परीक्षा की तैयारी कर रहे प्रत्येक स्कूलबॉय विषय को "सीधे के बीच कोण ढूंढने" के विषय को दोहराने में मदद करेगा। जैसा कि आंकड़े दिखाते हैं, जब प्रमाणन परीक्षण पारित किया जाता है, तो स्टीरियोमेट्री के इस खंड के अनुसार कार्य बड़ी संख्या में छात्रों में कठिनाइयों का कारण बनता है। साथ ही, प्रत्यक्ष के बीच कोण को खोजने की आवश्यकता वाले कार्यों को परीक्षा में मूल और प्रोफाइल स्तर के रूप में पाया जाता है। इसका मतलब है कि हर किसी को फैसला करने में सक्षम होना चाहिए।

हाइलाइट

अंतरिक्ष में, 4 प्रकार के पारस्परिक स्थान प्रत्यक्ष हैं। वे मेल खाता है, अंतराल, समानांतर या पार कर सकते हैं। उनके बीच कोण तेज या सीधे हो सकता है।

उपयोग में प्रत्यक्ष के बीच कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, हल करने में, मॉस्को और अन्य शहरों के स्कूली बच्चों को स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप क्लासिक इमारतों द्वारा कार्य कर सकते हैं। इसके लिए यह मुख्य सिद्धांतों और स्टीरियोमेट्री के प्रमेय सीखने के लायक है। स्कूली लोगों को तर्कसंगत रूप से तर्क बनाने और कार्य को योजना बनाने के लिए चित्र बनाने में सक्षम होना चाहिए।

आप एक वेक्टर-समन्वय विधि का भी उपयोग कर सकते हैं, सरल सूत्र, नियम और एल्गोरिदम लागू कर सकते हैं। इस मामले में मुख्य बात यह है कि सभी गणनाओं को सही ढंग से पूरा करना है। स्टीरियोमेट्री और स्कूल साहस के अन्य वर्गों पर समस्याओं को हल करने के लिए आधा उनके कौशल आपको शैक्षिक परियोजना "shkolkovo" की मदद करेंगे।

परिभाषा।यदि दो सीधे y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 दिए जाते हैं, तो इन के बीच तेज कोण के रूप में निर्धारित किया जाएगा

दो सीधे समानांतर, यदि के 1 \u003d के 2। दो सीधी रेखाएं लंबवत यदि के 1 \u003d -1 / के 2।

प्रमेय।सीधे आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0 और 1 वाई + सी 1 \u003d 0 में 1 x + समानांतर है, जब गुणांक 1 \u003d λA 1 \u003d λ के आनुपातिक होते हैं। यदि 1 \u003d λС के साथ भी, तो सीधे मेल खाता है। दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक इन प्रत्यक्ष के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में हैं।

इस बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण

इस प्रत्यक्ष के लिए लंबवत

परिभाषा।प्रत्यक्ष, बिंदु एम 1 (x 1, 1 में) के माध्यम से गुजर रहा है और सीधी रेखा के लिए लंबवत वाई \u003d केएक्स + बी समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से सीधे दूरी तक

प्रमेय।यदि बिंदु एम (x 0, y 0) निर्दिष्ट है, तो एक सीधी रेखा की दूरी आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0 के रूप में परिभाषित किया गया है

.

साक्ष्य।बिंदु एम 1 (x 1, 1 में) को लंबवत के आधार पर रखें, प्रति प्रत्यक्ष बिंदु मीटर से कम हो गया। फिर अंक एम और एम 1 के बीच की दूरी:

(1)

निर्देशांक x 1 और 1 में समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण निर्दिष्ट प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष के लिए एक दिए गए बिंदु एम 0 लंबवत के माध्यम से प्रत्यक्ष पासिंग का समीकरण है। यदि आप पहले सिस्टम समीकरण को दिमाग में परिवर्तित करते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + कुल्हाड़ी 0 + 0 + सी \u003d 0,

वह, हल, हमें मिलता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना, हम पाते हैं:

प्रमेय साबित हुआ है।

उदाहरण। सीधे के बीच कोण निर्धारित करें: y \u003d -3 x + 7; Y \u003d 2 x + 1।

के 1 \u003d -3; के 2 \u003d 2; Tgφ \u003d। ; φ \u003d पी / 4।

उदाहरण। यह दिखाएं कि सीधे 3x - 5y + 7 \u003d 0 और 10x + 6u - 3 \u003d 0 लंबवत।

फेसला। हम पाते हैं: के 1 \u003d 3/5, के 2 \u003d -5/3, के 1 * के 2 \u003d -1, इसलिए, प्रत्यक्ष लंबवत।

उदाहरण। त्रिकोण के शिखर (0; 1), बी (6; 5), सी (12; -1) दिया जाता है। एस के शीर्ष से आयोजित ऊंचाई समीकरण खोजें।

फेसला। एवी के हिस्से का हिस्सा खोजें: ; 4 x \u003d 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 \u003d 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + द्वारा + c \u003d 0 या y \u003d kx + b। के \u003d। फिर y \u003d। इसलिये ऊंचाई बिंदु सी के माध्यम से गुजरती है, फिर इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां बी \u003d 17. कुल :.

उत्तर: 3 x + 2 y - 34 \u003d 0।

समीकरण इस दिशा में इस बिंदु से सीधे गुजर रहा है। समीकरण दो बिंदुओं के डेटा के माध्यम से सीधे गुजर रहा है। दो सीधे के बीच कोण। समानांतरता और दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति। दो प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदु को निर्धारित करना

1. इस बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण ए।(एक्स। 1 , वाई 1) इस दिशा में कोणीय गुणांक द्वारा निर्धारित क।,

वाई - वाई 1 = क।(एक्स। - एक्स। 1). (1)

यह समीकरण बिंदु के माध्यम से सीधे गुजरने की बीम निर्धारित करता है ए।(एक्स। 1 , वाई 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं में सीधे गुजरने का समीकरण: ए।(एक्स। 1 , वाई 1) I. बी(एक्स। 2 , वाई 2), इस तरह लिखते हैं:

बिंदु के दो बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजरने का कोणीय गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधे के बीच कोण ए। तथा बी जिसे कोण कहा जाता है जिसे आपको पहले सीधे चालू करने की आवश्यकता होती है ए। जब तक यह दूसरे प्रत्यक्ष के साथ मेल नहीं खाता तब तक दक्षिणावर्त के आंदोलन के खिलाफ इनका चौराहे के बिंदु के आसपास बी। यदि एक कोणीय गुणांक के समान समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएं दी जाती हैं

वाई = क। 1 एक्स। + बी 1 ,

वाई = क। 2 एक्स। + बी 2 , (4)

फिर उनके बीच कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह इस तथ्य के लिए भुगतान किया जाना चाहिए कि दूसरे सीधे के कोणीय गुणांक से अंश के अंकों में, पहली सीधी रेखा के कोणीय गुणांक घटाए जाते हैं।

यदि समीकरण सीधे सामान्य रूप में सेट होते हैं

ए। 1 एक्स। + बी 1 वाई + सी। 1 = 0,

ए। 2 एक्स। + बी 2 वाई + सी। 2 = 0, (6)

उनके बीच कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो सीधी रेखाओं के समानांतरता की शर्तें:

ए) यदि प्रत्यक्ष कोणीय गुणांक के साथ समीकरण (4) द्वारा दिया जाता है, तो उनके समानांतरता की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति उनके कोणीय गुणांक की समानता में होती है:

क। 1 = क। 2 . (8)

बी) मामले के लिए जब प्रत्यक्ष रूप सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा दिया जाता है, तो उनके समानांतरता की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, यानी

5. दो सीधी रेखाओं की स्थिति लंबवतता:

ए) इस मामले में जब प्रत्यक्ष रूप से समीकरणों (4) द्वारा एक कोणीय गुणांक के साथ दिया जाता है, तो उनके लंबवतता की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि उनके कोणीय गुणांक हस्ताक्षर के अनुसार और विपरीत रूप से विपरीत हैं, यानी

इस स्थिति को भी रिकॉर्ड किया जा सकता है

क। 1 क। 2 = -1. (11)

बी) यदि समीकरण सीधे सामान्य रूप (6) में दिए जाते हैं, तो उनके लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की स्थिति समानता को पूरा करना है

ए। 1 ए। 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली को हल करके (6) को हल करके पाए जाते हैं। सीधे (6) उस मामले में और केवल इस मामले में

1. बिंदु मीटर के माध्यम से सीधे गुजरने के समीकरण लिखें, जिनमें से एक समानांतर है, और दूसरा निर्दिष्ट प्रत्यक्ष एल के लिए लंबवत है।

ओह-ओह-ओह-ओह ... अच्छी तरह से, टिन, जैसे कि आप इसे स्वयं पढ़ते हैं \u003d) हालांकि, तो विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने उपयुक्त सामान खरीदे। इसलिए, मैं पहले खंड में आगे बढ़ूंगा, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं आत्मा की जोरदार व्यवस्था को संरक्षित करता हूं।

दो सीधी रेखाओं का पारस्परिक स्थान

मामला जब हॉल गाना बजाता है। दो सीधी रेखाएँ कर सकते हैं:

1) संयोग;

2) समानांतर रहें :;

3) या एक बिंदु में छेड़छाड़ :.

चायदानी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय संकेत को याद रखें, यह अक्सर मिल जाएगा। प्रविष्टि बताती है कि प्रत्यक्ष बिंदु पर सीधे एक सीधे बिंदु के साथ छेड़छाड़ करता है।

दो सीधी रेखाओं के पारस्परिक स्थान को कैसे निर्धारित करें?

आइए पहली बार शुरू करें:

दो सीधी रेखा, तब और केवल अगर उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक होते हैं, यानी, ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है, जो समानता का प्रदर्शन किया जाता है

प्रत्यक्ष पर विचार करें और संबंधित गुणांक से तीन समीकरण बनाएं :. यह प्रत्येक समीकरण से होता है, इसलिए, प्रत्यक्ष डेटा संयोग होता है।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 को गुणा करें (अंक बदलें), और सभी समीकरण गुणांक 2 कम करें, फिर एक ही समीकरण प्राप्त किया जाएगा :.

दूसरा मामला तब होता है जब सीधे समानांतर:

तब दो सीधे समानांतर और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के समान होते हैं: , लेकिन अ.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधे विचार करें। चर के साथ संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करें:

हालांकि, यह काफी स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब सीधी रेखा छेड़छाड़ करती है:

दो सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तब और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के प्रति आनुपातिक नहीं होते हैं, यानी, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई अर्थ समान नहीं किया जा सकता है

तो, सीधे एक सिस्टम बनाने के लिए:

पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है, और दूसरे समीकरण से: इसका मतलब है सिस्टम अधूरा है (कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर के साथ गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सीधे छेड़छाड़

व्यावहारिक कार्यों में, आप केवल समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वह, वैसे, क्लिनेरिटी के लिए वैक्टरों की जांच के लिए एल्गोरिदम को याद दिलाती है, जिसे हमने सबक में माना था रैखिक (NO) वैक्टर निर्भरता की अवधारणा। आधार वैक्टर। लेकिन अधिक सभ्य पैकेजिंग है:

उदाहरण 1।

प्रत्यक्ष के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं:

फेसला प्रत्यक्ष वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से प्रत्यक्ष वैक्टर मिलेगा: .

तो, वैक्टर कॉललाइनर और सीधे छेड़छाड़ नहीं हैं।

बस मामले में, चौराहे के साथ एक पत्थर डालें:

बाकी पत्थर कूदते हैं और अगले, सीधे अमर की आलस्य के लिए अनुसरण करते हैं \u003d)

बी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाएंगे:

सीधे एक ही गाइड वेक्टर है, इसका मतलब है कि वे या तो समानांतर या मेल खाते हैं। यहां और निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक इसके साथ आनुपातिक हैं।

हम यह पता लगाते हैं कि समानता सत्य है या नहीं:

इस प्रकार,

सी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाते हैं:

वैक्टर के डेटा निर्देशांक से संकलित निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, गाइड वैक्टर कॉललाइनर। प्रत्यक्ष या तो समानांतर या मेल खाता है।

"लैम्ब्डा" की आनुपातिकता का अनुपात सीधे कॉललाइनर वैक्टर के अनुपात से देखना मुश्किल नहीं है। हालांकि, यह समीकरणों के गुणांक के माध्यम से पाया जा सकता है: .

अब पता लगाएं कि समानता सत्य है या नहीं। दोनों मुफ्त सदस्य शून्य, तो:

प्राप्त मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (यह सामान्य रूप से किसी भी संख्या को पूरा करता है)।

इस प्रकार, प्रत्यक्ष संयोग।

उत्तर:

जल्द ही आप सीखेंगे (या पहले से ही सीखा जा चुके हैं) मौखिक रूप से सचमुच सेकंड में। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र निर्णय के लिए कुछ भी पेश करने का कोई कारण नहीं दिखता है, एक ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट लॉन्च करना बेहतर है:

इसके लिए सीधे समानांतर कैसे बनाया जाए?

इस सबसे सरल समस्या की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल-डाकू गंभीर रूप से दंडनीय है।

उदाहरण 2।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। समानांतर प्रत्यक्ष के समीकरण को, जो बिंदु के माध्यम से गुजरता है।

फेसला: एक अज्ञात प्रत्यक्ष पत्र द्वारा निरूपित करें। उसके बारे में क्या कहा जाता है? प्रत्यक्ष बिंदु के माध्यम से गुजरता है। और यदि सीधे समानांतर, यह स्पष्ट है कि प्रत्यक्ष "सीई" गाइड वेक्टर एक सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

समीकरण से गाइड वेक्टर खींचें:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति असहज दिखता है:

विश्लेषणात्मक चेक में निम्न चरणों में शामिल हैं:

1) हम जांचते हैं कि एक ही गाइड वेक्टर (यदि प्रत्यक्ष समीकरण ठीक से सरलीकृत नहीं है, तो वैक्टर कॉललाइनर होंगे)।

2) हम जांचते हैं कि बिंदु प्राप्त समीकरण संतुष्ट है या नहीं।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक जांच मौखिक रूप से प्रदर्शन करना आसान है। दो समीकरणों को देखें, और आप में से कई किसी भी ड्राइंग के बिना सीधे समानांतरता निर्धारित करेंगे।

आज एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यागा लेना है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार के रहस्यों का प्रेमी।

उदाहरण 3।

लाइन के समानांतर बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण बनाएं यदि

एक तर्कसंगत है और बहुत तर्कसंगत समाधान नहीं है। सबसे छोटा रास्ता पाठ के अंत में है।

समानांतर सीधे के साथ, उन्होंने थोड़ा काम किया और उनके पास वापस आ गया। सीधी रेखाओं को संयोग करने का मामला अधिक दिलचस्प है, इसलिए स्कूल कार्यक्रम से आपको परिचित कार्य पर विचार करें:

दो सीधी रेखाओं के चौराहे बिंदु को कैसे ढूंढें?

अगर सीधे बिंदु पर छेड़छाड़, इसके निर्देशांक एक निर्णय हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

प्रत्यक्ष के चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें? सिस्टम को हल करें।

मैं यहां हूं दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ - ये विमान पर सीधे दो प्रतिच्छेदन (अक्सर) हैं।

उदाहरण 4।

प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु खोजें

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिक और विश्लेषणात्मक।

ग्राफिक विधि केवल डेटा को सीधे खींचना और सीधे ड्राइंग से चौराहे बिंदु सीखना है:

यहां हमारा मुद्दा है :. जांचने के लिए, प्रत्येक समीकरण प्रत्यक्ष में अपने निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, उन्हें वहां और वहां आना चाहिए। दूसरे शब्दों में, बिंदु के निर्देशांक सिस्टम का समाधान हैं। वास्तव में, हमने एक ग्राफिकल समाधान की समीक्षा की रैखिक समीकरणों की प्रणाली दो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

ग्राफिक विधि, ज़ाहिर है, बुरा नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य विपक्ष हैं। नहीं, ऐसा नहीं है कि सातवें ग्रेडर तय करते हैं कि तथ्य यह है कि सही और सटीक ड्राइंग में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ प्रत्यक्ष निर्माण इतना आसान नहीं है, और चौराहे बिंदु ही एयरटाल शीट के बाहर तीसरा राज्य में कहीं भी हो सकता है।

इसलिए, अंतरंग का बिंदु एक विश्लेषणात्मक विधि की तलाश करने के लिए अधिक उपयुक्त है। सिस्टम को हल करना:

सिस्टम को हल करने के लिए, समीकरणों के पुनर्मूल्यांकन की विधि का उपयोग किया जाता है। उपयुक्त कौशल को काम करने के लिए, सबक पर जाएं समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

तुच्छ जांचें - चौराहे बिंदु के निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं।

उदाहरण 5।

अगर वे छेड़छाड़ करते हैं तो चौराहे के बिंदु को निर्देशित करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य कई चरणों में तोड़ने के लिए सुविधाजनक है। इस स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) समीकरण प्रत्यक्ष बनाओ।
2) एक प्रत्यक्ष समीकरण बनाओ।
3) सीधे लाइनों के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं।
4) यदि प्रत्यक्ष छेड़छाड़ हो, तो चौराहे बिंदु खोजें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय कार्यों के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पूरा समाधान और पाठ के अंत में उत्तर:

Stoptan और जूते की जोड़ी, जैसा कि हमें दूसरे पाठ अनुभाग में मिला:

लंबवत सीधी रेखाएं। बिंदु से सीधे दूरी तक।
सीधे के बीच कोण

आइए एक ठेठ और बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य के साथ शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि एक सीधी रेखा कैसे बनाएं, इसके समानांतर, और अब उत्सुक पैर पर झोपड़ी 90 डिग्री सामने आएगी:

इसके लिए एक सीधा, लंबवत कैसे बनाया जाए?

उदाहरण 6।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। बिंदु के माध्यम से पारित प्रत्यक्ष पास के लिए समीकरण लंबवत बनाओ।

फेसला: इस शर्त के तहत यह ज्ञात है। गाइड वेक्टर को सीधे ढूंढना अच्छा लगेगा। सीधे लंबवत के बाद से, फोकस सरल है:

समीकरण से "हटाएं" सामान्य के वेक्टर को हटा दें: जो सीधी रेखा होगी।

समीकरण बिंदु पर होने के लिए प्रत्यक्ष है और मार्गदर्शिका वेक्टर:

उत्तर:

हम एक ज्यामितीय etude लॉन्च करेंगे:

एम-हां ... ऑरेंज स्काई, ऑरेंज सागर, ऑरेंज ऊंट।

विश्लेषणात्मक समाधान जांचें:

1) समीकरणों से गाइड वैक्टर बाहर खींचें और मदद के साथ स्केलर उत्पाद वैक्टर हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखाएं वास्तव में लंबवत हैं :.

वैसे, आप सामान्य वैक्टरों का उपयोग कर सकते हैं, यह भी आसान है।

2) यह जांचना कि प्राप्त समीकरण का बिंदु संतुष्ट है या नहीं .

चेक, फिर से, आसानी से मौखिक रूप से प्रदर्शन करते हैं।

उदाहरण 7।

यदि समीकरण ज्ञात है, तो चौराहे बिंदु लंबवत प्रत्यक्ष खोजें और बिंदु।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं, इसलिए समाधान बिंदुओं पर रखने के लिए सुविधाजनक है।

हमारी आकर्षक यात्रा जारी है:

बिंदु से सीधे दूरी तक

हमारे पास नदी की सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत पर आगे बढ़ेगा। यही है, बिंदु से रेखा तक की दूरी लंबवत खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा इंगित करती है, उदाहरण के लिए: - बिंदु से दूरी "ईएम" से सीधे "डी" तक।

बिंदु से सीधे दूरी तक सूत्र व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8।

बिंदु से सीधे दूरी का पता लगाएं

फेसला: आपको बस इतना ही चाहिए, यह धीरे-धीरे सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर रहा है और गणना कर रहा है:

उत्तर:

एक ड्राइंग करें:

बिंदु से लाइन तक की दूरी लाल खंड की लंबाई बिल्कुल लंबाई है। यदि आप 1 इकाई पर चेकर्ड पेपर पर ड्राइंग करते हैं। \u003d 1 सेमी (2 कोशिकाएं), फिर दूरी को एक साधारण शासक द्वारा मापा जा सकता है।

एक ही ड्राइंग पर एक और कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना है जो प्रत्यक्ष बिंदु के बारे में सममित है । मैं स्वयं क्रियाओं को करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम को दर्शाता हूं:

1) सीधे खोजें, जो सीधी रेखा के लंबवत है।

2) डायरेक्ट के चौराहे बिंदु का पता लगाएं: .

दोनों कार्यों को इस पाठ के ढांचे के भीतर विस्तार से अलग कर दिया गया है।

3) बिंदु खंड का एक मध्य है। हम बीच के समन्वय और एक सिरों को जानते हैं। द्वारा मिड-सेगमेंट समन्वय सूत्र ढूंढें।

यह सत्यापित करने के लिए अनिवार्य नहीं होगा कि दूरी 2.2 इकाइयां भी है।

यहां की कठिनाइयों की गणना में उत्पन्न हो सकती है, लेकिन माइक्रोकॉल्यूलेटर टावर में मदद करता है, जो हमें सामान्य अंशों पर विचार करने की अनुमति देता है। बार-बार सलाह दी, सलाह और फिर से।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी कैसे खोजें?

उदाहरण 9।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी का पता लगाएं

यह एक स्वतंत्र निर्णय के लिए एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा बताऊंगा: हल करने के असीम तरीके हैं। पाठ के अंत में उड़ानों को आधा करना, लेकिन बेहतर अनुमान लगाने की कोशिश की, मुझे लगता है कि आपका स्मेल्टर अच्छी तरह से फैल गया।

दो सीधे के बीच कोण

कुछ भी नहीं, तो जाम्ब:


ज्यामिति में, दो प्रत्यक्ष के बीच कोण के लिए एक छोटा कोण स्वीकार किया जाता है, जिसमें से यह स्वचालित रूप से होता है कि यह ब्लंट नहीं हो सकता है। तस्वीर में, लाल चाप के साथ चिह्नित कोण को सीधे छेड़छाड़ के बीच कोण नहीं माना जाता है। और इसे ऐसा "हरा" पड़ोसी माना जाता है या विरोधी ओरिएंटेड "रास्पबेरी" कोण।

यदि प्रत्यक्ष लंबवत है, तो उनके बीच कोण से आप 4 कोनों में से कोई भी ले सकते हैं।

कोणों के बीच क्या अंतर है? अभिविन्यास। सबसे पहले, यह मौलिक रूप से "स्क्रॉलिंग" कोण की दिशा के लिए महत्वपूर्ण है। दूसरा, एक नकारात्मक उन्मुख कोण एक शून्य चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने इसे क्यों बताया? ऐसा करना संभव है और कोण की सामान्य अवधारणा। तथ्य यह है कि सूत्रों में जिसके लिए हम कोनों को पाएंगे, यह आसानी से नकारात्मक परिणाम हो सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए। "माइनस" चिह्न के साथ कोण कोई बदतर नहीं है, और इसमें पूरी तरह से ठोस ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) के तीर को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

दो सीधे के बीच कोण कैसे खोजें? दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10।

सीधे के बीच कोने का पता लगाएं

फेसला तथा पहले फैशन

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधे लंबवत नहींटी उन्मुख उनके बीच कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

निकटतम ध्यान संप्रदाय को दिया जाता है - यह बिल्कुल ठीक है अदिश उत्पाद प्रत्यक्ष वैक्टर प्रत्यक्ष:

यदि, सूत्र का संप्रदाय शून्य तक खींचा गया है, और वैक्टर ऑर्थोगोनल और प्रत्यक्ष लंबवत होंगे। यही कारण है कि एक आरक्षण सीधे शब्द में प्रत्यक्ष की अपरिपक्वता के बारे में किया जाता है।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान दो चरणों की व्यवस्था करने के लिए सुविधाजनक है:

1) प्रत्यक्ष के प्रत्यक्ष वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करें:
तो सीधे लंबवत नहीं है।

2) डायरेक्ट के बीच कोण फॉर्मूला द्वारा मिलेगा:

रिवर्स फ़ंक्शन का उपयोग करके, इसे कोण को ढूंढना आसान है। उसी समय, हम आर्कटेनेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें) प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुण):

उत्तर:

प्रतिक्रिया में, कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री, और रेडियंस में) निर्दिष्ट करें।

खैर, माइनस, इतना शून्य, कुछ भी भयानक नहीं है। यहां एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास साबित हुआ, क्योंकि कार्य के संदर्भ में, पहला नंबर सीधे चला जाता है और कोण के "कायाकल्प" इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको प्रत्यक्ष स्थानों को बदलने की जरूरत है, यानी गुणांक दूसरे समीकरण से लेते हैं , और गुणांक पहले समीकरण से लेते हैं। संक्षेप में, आपको सीधे से शुरू करने की आवश्यकता है .

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो सीधे के बीच कोण उनके गाइड वैक्टर के बीच कोने के बराबर है। इस प्रकार, यदि आप गाइड वैक्टर के निर्देशांक को ढूंढते हैं तो \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2), तो आप एक कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र द्वारा कोने की कोसाइन:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

एक कार्य। क्यूबा एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में, अंक ई और एफ क्रमशः 1 बी 1 और बी 1 सी 1 पसलियों के बीच हैं। सीधे एई और बीएफ के बीच कोण खोजें।

चूंकि क्यूब के किनारे निर्दिष्ट नहीं है, हमने एबी \u003d 1. हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: बिंदु ए, एक्स, वाई अक्ष पर प्रारंभ करें, क्रमशः एबी, विज्ञापन और एए 1 के साथ भेजें। एक एकल सेगमेंट एबी \u003d 1. अब हम अपनी सीधी रेखाओं के लिए गाइड वैक्टर के निर्देशांक पाते हैं।

हम एई वेक्टर के निर्देशांक पाएंगे। इसके लिए, हमें अंक की आवश्यकता होगी \u003d (0; 0; 0) और e \u003d (0.5; 0; 1)। चूंकि बिंदु ई सेगमेंट के बीच में 1 बी 1 है, इसके निर्देशांक अंत के औसत अंकगणितीय निर्देशांक के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर एई की शुरुआत निर्देशांक की शुरुआत के साथ मेल खाती है, इसलिए एई \u003d (0.5; 0; 1)।

अब हम बीएफ वेक्टर से निपटेंगे। इसी तरह, हम अंक b \u003d (1; 0; 0) और f \u003d (1; 0.5; 1) को अलग करते हैं, क्योंकि एफ - सेगमेंट के बीच बी 1 सी 1। हमारे पास है:
Bf \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1)।

तो, गाइड वैक्टर तैयार हैं। सीधे के बीच कोण का कोसाइन गाइड वैक्टर के बीच कोण का कोसाइन है, इसलिए हमारे पास है:

एक कार्य। एबीसीए 1 बी 1 सी 1 के सही ट्रिकोरल प्रिज्म में, जिनमें से सभी पसलियां 1 हैं, अंक डी और ई क्रमशः 1 बी 1 और बी 1 सी 1 पसलियों के बीच को चिह्नित करते हैं। सीधे विज्ञापन और होने के बीच कोण का पता लगाएं।

हम मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: बिंदु ए पर मूल, एक्स अक्ष एए 1 के साथ एबी, जेड के साथ निर्देशित करेगा। वाई अक्ष भेजेगा ताकि ऑक्सी विमान एबीसी विमान के साथ मेल खाता हो। एक एकल सेगमेंट एबी \u003d 1. वांछित प्रत्यक्ष के लिए गाइड वैक्टर के निर्देशांक का पता लगाएं।

शुरू करने के लिए, हम विज्ञापन वेक्टर के निर्देशांक पाएंगे। अंक पर विचार करें: ए \u003d (0; 0; 0) और डी \u003d (0.5; 0; 1), क्योंकि D सेगमेंट के बीच में 1 बी 1 है। चूंकि विज्ञापन वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, इसलिए हम विज्ञापन \u003d (0.5; 0; 1) प्राप्त करते हैं।

अब हमें वेक्टर के निर्देशांक मिलते हैं। बिंदु बी \u003d (1; 0; 0) इसे आसान माना जाता है। बिंदु ई के साथ - सेगमेंट के बीच सी 1 बी 1 - थोड़ा और जटिल। हमारे पास है:

यह एक कोसाइन कोण खोजने के लिए बनी हुई है:

एक कार्य। सही हेक्सागोन पुरस्कार में abcdefa 1 बी 1 डी 1 डी 1 ई 1 एफ 1, जिनके सभी किनारों 1 हैं, अंक k और l क्रमशः 1 बी 1 और बी 1 सी 1 पसलियों के बीच हैं। सीधे एके और बीएल के बीच कोण खोजें।

हम प्रिज्म के लिए मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: निर्देशांक की शुरुआत निचले आधार के केंद्र में रखी जाएगी, एक्स अक्ष एफसी के साथ निर्देशित करेगी, एक्सिस वाई - एबी और डी के सेगमेंट के बीच के माध्यम से, और जेड अक्ष लंबवत है। एक भी कट फिर से एबी \u003d 1 के बराबर है: हम रुचि के निर्देशांक को लिखेंगे:

अंक k और l क्रमशः 1 बी 1 और बी 1 सी 1 सेगमेंट के बीच हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय औसत के माध्यम से हैं। जानने के अंक, हम गाइड वैक्टर के निर्देशांक एके और बीएल:

अब हम कोने की कोसाइन पाते हैं:

एक कार्य। सही चतुर्भुज sabcd पिरामिड में, जिनमें से सभी पसलियों 1 हैं, अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी के किनारे हैं। सीधे एई और बीएफ के बीच कोण खोजें।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: बिंदु ए पर प्रारंभ करें, x और y अक्ष क्रमशः एबी और एडी के साथ भेजे जाएंगे, और जेड अक्ष लंबवत रूप से निर्देशित होंगे। एक एकल खंड ab \u003d 1 है।

अंक ई और एफ - एसबी और एससी सेगमेंट की माडिंग्स क्रमशः, इसलिए उनके निर्देशांक अंत के अंकगणितीय औसत के रूप में स्थित हैं। हम अपने लिए ब्याज के निर्देशांक लिखते हैं:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

अंक जानकर, हम मार्गदर्शिका वैक्टर एई और बीएफ के निर्देशांक पाएंगे:

एई वेक्टर के निर्देशांक बिंदु ई के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु ए निर्देशांक की शुरुआत है। यह एक कोसाइन कोण खोजने के लिए बनी हुई है: