अपने अच्छे काम को नॉलेज बेस में भेजें सरल है। नीचे दिए गए फॉर्म का प्रयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान के आधार का उपयोग करते हैं, वे आपके बहुत आभारी रहेंगे।

http://www.allbest.ru/ पर पोस्ट किया गया

परिचय

वैज्ञानिक अनुसंधान में मॉडलिंग प्राचीन काल में लागू होने लगी और धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान के नए क्षेत्रों पर कब्जा कर लिया: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। 20वीं सदी की मॉडलिंग पद्धति ने आधुनिक विज्ञान की लगभग सभी शाखाओं में बड़ी सफलता और पहचान दिलाई। हालांकि, मॉडलिंग पद्धति लंबे समय से अलग-अलग विज्ञानों द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली, एकीकृत शब्दावली नहीं थी। केवल धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान की एक सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका का एहसास होने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है और इसके कई अर्थ अर्थ होते हैं। आइए हम केवल उन "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के लिए उपकरण हैं।

एक मॉडल एक ऐसी सामग्री या मानसिक रूप से कल्पित वस्तु है जो शोध की प्रक्रिया में मूल वस्तु को बदल देती है ताकि उसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान दे।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडल बनाने, सीखने और लागू करने की प्रक्रिया से है। यह अमूर्त, सादृश्य, परिकल्पना, आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्त का निर्माण, और सादृश्य द्वारा अनुमान, और वैज्ञानिक परिकल्पना का निर्माण शामिल है।

मॉडलिंग की मुख्य विशेषता यह है कि यह स्थानापन्न वस्तुओं का उपयोग करके अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल एक प्रकार के संज्ञानात्मक उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं, अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुओं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याओं) की सीधे जांच की जा सकती है या पूरी तरह से असंभव है, या इस शोध के लिए बहुत समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया में तीन तत्व शामिल हैं: 1) एक विषय (शोधकर्ता), 2) अनुसंधान की एक वस्तु, 3) एक मॉडल जो संज्ञानात्मक विषय और संज्ञानात्मक वस्तु के बीच संबंधों की मध्यस्थता करता है।

होने दें या कुछ वस्तु बनाने के लिए आवश्यक है ए। हम वास्तविक दुनिया में (भौतिक या मानसिक रूप से) निर्माण करते हैं या वास्तविक दुनिया में एक और वस्तु बी पाते हैं - वस्तु ए का मॉडल। एक मॉडल के निर्माण का चरण कुछ ज्ञान की उपस्थिति को मानता है मूल वस्तु। मॉडल की संज्ञानात्मक क्षमताएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि मॉडल मूल वस्तु की किसी भी आवश्यक विशेषता को दर्शाता है। मूल और मॉडल के बीच आवश्यकता और पर्याप्त समानता के प्रश्न के लिए एक विशिष्ट विश्लेषण की आवश्यकता होती है। जाहिर है, मॉडल मूल के साथ पहचान के मामले में अपना अर्थ खो देता है (तब यह मूल होना बंद हो जाता है), और सभी आवश्यक मामलों में मूल से अत्यधिक अंतर के मामले में।

इस प्रकार, प्रतिरूपित वस्तु के कुछ पक्षों का अध्ययन अन्य पक्षों को प्रतिबिंबित करने से इनकार करने की कीमत पर किया जाता है। इसलिए, कोई भी मॉडल मूल को सख्ती से सीमित अर्थों में ही बदल देता है। इससे यह इस प्रकार है कि एक वस्तु के लिए, कई "विशिष्ट" मॉडल बनाए जा सकते हैं जो अध्ययन के तहत वस्तु के कुछ पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं या वस्तु को विस्तार की अलग-अलग डिग्री के साथ चित्रित करते हैं।

मॉडलिंग प्रक्रिया के दूसरे चरण में, मॉडल अनुसंधान की एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में कार्य करता है। इस तरह के शोध के रूपों में से एक "मॉडल" प्रयोगों का संचालन है, जिसमें मॉडल के कामकाज की शर्तों को जानबूझकर बदल दिया जाता है और इसके "व्यवहार" पर डेटा व्यवस्थित किया जाता है। इस चरण का अंतिम परिणाम आर मॉडल के बारे में ज्ञान का खजाना है।

तीसरे चरण में, ज्ञान को मॉडल से मूल में स्थानांतरित किया जाता है - वस्तु के बारे में ज्ञान एस के एक सेट का गठन। ज्ञान के हस्तांतरण की यह प्रक्रिया कुछ नियमों के अनुसार की जाती है। मॉडल के बारे में ज्ञान को मूल वस्तु के उन गुणों को ध्यान में रखते हुए समायोजित किया जाना चाहिए जो मॉडल के निर्माण के दौरान प्रतिबिंबित या परिवर्तित नहीं हुए थे। हम किसी भी परिणाम को मॉडल से मूल में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त कारण के साथ कर सकते हैं, यदि यह परिणाम आवश्यक रूप से मूल और मॉडल के बीच समानता के संकेतों से जुड़ा हो। यदि किसी मॉडल अध्ययन का एक निश्चित परिणाम मॉडल और मूल के बीच के अंतर से जुड़ा है, तो इस परिणाम को स्थानांतरित नहीं किया जा सकता है।

चौथा चरण मॉडल की मदद से प्राप्त ज्ञान का व्यावहारिक सत्यापन और किसी वस्तु के सामान्यीकरण सिद्धांत, उसके परिवर्तन या नियंत्रण के निर्माण के लिए उनका उपयोग है।

मॉडलिंग के सार को समझने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि इस तथ्य पर ध्यान न दिया जाए कि मॉडलिंग किसी वस्तु के बारे में ज्ञान का एकमात्र स्रोत नहीं है। मॉडलिंग प्रक्रिया एक अधिक सामान्य अनुभूति प्रक्रिया में "डूबे" है। इस परिस्थिति को न केवल एक मॉडल के निर्माण के चरण में, बल्कि अंतिम चरण में भी ध्यान में रखा जाता है, जब अनुभूति के विविध साधनों के आधार पर प्राप्त शोध परिणामों का संयोजन और सामान्यीकरण होता है।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है। इसका मतलब है कि पहले चार चरण के चक्र के बाद दूसरा, तीसरा, आदि किया जा सकता है। इसी समय, अध्ययन की जा रही वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और मूल मॉडल में धीरे-धीरे सुधार होता है। मॉडलिंग के पहले चक्र के बाद खोजे गए नुकसान, वस्तु के कम ज्ञान और मॉडल के निर्माण में त्रुटियों के कारण, बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इस प्रकार, मॉडलिंग पद्धति में आत्म-विकास के लिए महान अवसर हैं।

1. गणितीय विधि के अनुप्रयोग की विशेषताएंअर्थशास्त्र में मॉडलिंग

अर्थशास्त्र में गणित का प्रवेश महत्वपूर्ण कठिनाइयों पर काबू पाने से जुड़ा है। यह आंशिक रूप से गणित की "गलती" थी, जो कई शताब्दियों में विकसित हुई, मुख्यतः भौतिकी और प्रौद्योगिकी की जरूरतों के संबंध में। लेकिन मुख्य कारण अभी भी आर्थिक प्रक्रियाओं की प्रकृति में, आर्थिक विज्ञान की बारीकियों में निहित हैं।

आर्थिक विज्ञान द्वारा अध्ययन की जाने वाली अधिकांश वस्तुओं को एक जटिल प्रणाली की साइबरनेटिक अवधारणा की विशेषता हो सकती है।

तत्वों के एक समूह के रूप में एक प्रणाली की सबसे आम समझ जो किसी प्रकार की अखंडता, एकता के साथ बातचीत और निर्माण करती है। किसी भी प्रणाली का एक महत्वपूर्ण गुण उद्भव है - ऐसे गुणों की उपस्थिति जो सिस्टम में शामिल किसी भी तत्व में निहित नहीं हैं। इसलिए, सिस्टम का अध्ययन करते समय, इन तत्वों के अलग-अलग अध्ययन के साथ उन्हें तत्वों में विभाजित करने की विधि का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। आर्थिक अनुसंधान की कठिनाइयों में से एक यह है कि लगभग ऐसी कोई आर्थिक वस्तु नहीं है जिसे अलग (गैर-प्रणालीगत) तत्व माना जा सके।

एक प्रणाली की जटिलता इसमें शामिल तत्वों की संख्या, इन तत्वों के बीच संबंध, साथ ही सिस्टम और पर्यावरण के बीच संबंध से निर्धारित होती है। देश की अर्थव्यवस्था में एक बहुत ही जटिल प्रणाली की सभी विशेषताएं हैं। यह बड़ी संख्या में तत्वों को एकजुट करता है, विभिन्न प्रकार के आंतरिक कनेक्शन और अन्य प्रणालियों (प्राकृतिक वातावरण, अन्य देशों की अर्थव्यवस्थाओं, आदि) के साथ कनेक्शन द्वारा प्रतिष्ठित है। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में प्राकृतिक, तकनीकी, सामाजिक प्रक्रियाएं, उद्देश्य और व्यक्तिपरक कारक परस्पर क्रिया करते हैं।

अर्थशास्त्र की जटिलता को कभी-कभी इसे मॉडलिंग, गणित के माध्यम से इसका अध्ययन करने की असंभवता के औचित्य के रूप में देखा जाता था। लेकिन सिद्धांत रूप में यह दृष्टिकोण गलत है। आप किसी भी प्रकृति और किसी भी जटिलता की वस्तु को मॉडल कर सकते हैं। और यह ठीक जटिल वस्तुएं हैं जो मॉडलिंग के लिए सबसे बड़ी रुचि रखती हैं; यह वह जगह है जहां मॉडलिंग से ऐसे परिणाम मिल सकते हैं जो अन्य शोध विधियों द्वारा प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।

किसी भी आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की क्षमता का मतलब निश्चित रूप से, आर्थिक और गणितीय ज्ञान के एक निश्चित स्तर पर इसकी सफल व्यवहार्यता, उपलब्ध विशिष्ट जानकारी और कंप्यूटिंग तकनीक नहीं है। और यद्यपि आर्थिक समस्याओं की गणितीय औपचारिकता की पूर्ण सीमाओं को इंगित करना असंभव है, फिर भी हमेशा अनौपचारिक समस्याएं होंगी, साथ ही ऐसी स्थितियां भी होंगी जहां गणितीय मॉडलिंग पर्याप्त प्रभावी नहीं है।

2. वर्गीकरण ईआर्थिक-गणितीय मॉडल

आर्थिक प्रक्रियाओं और परिघटनाओं के गणितीय मॉडल को संक्षेप में आर्थिक और गणितीय मॉडल कहा जा सकता है। इन मॉडलों को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न आधारों का उपयोग किया जाता है।

अपने इच्छित उद्देश्य के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक लोगों में विभाजित किया जाता है, जिनका उपयोग सामान्य गुणों और आर्थिक प्रक्रियाओं के पैटर्न के अध्ययन में किया जाता है, और विशिष्ट आर्थिक समस्याओं (आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान, प्रबंधन के मॉडल) को हल करने में उपयोग किए जाने वाले लागू होते हैं। .

आर्थिक और गणितीय मॉडल राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विभिन्न पहलुओं (विशेष रूप से, इसके उत्पादन और तकनीकी, सामाजिक, क्षेत्रीय संरचनाओं) और इसके अलग-अलग हिस्सों का अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किए जा सकते हैं। अध्ययन की गई आर्थिक प्रक्रियाओं और वास्तविक समस्याओं के अनुसार मॉडल को वर्गीकृत करते समय, कोई भी राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के मॉडल को समग्र रूप से और उसके उप-प्रणालियों - उद्योगों, क्षेत्रों, आदि, उत्पादन, खपत, आय के गठन और वितरण के मॉडल के परिसरों को अलग कर सकता है। श्रम संसाधन, मूल्य निर्धारण, वित्तीय संबंध, आदि। डी।

आइए हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के ऐसे वर्गों की विशेषताओं पर अधिक विस्तार से ध्यान दें, जो कार्यप्रणाली और मॉडलिंग तकनीकों की सबसे बड़ी विशेषताओं से जुड़े हैं।

गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण के अनुसार, उन्हें कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया गया है, और इसमें मध्यवर्ती रूप (संरचनात्मक और कार्यात्मक) भी शामिल हैं। राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर अध्ययन में, संरचनात्मक मॉडल का अधिक बार उपयोग किया जाता है, क्योंकि योजना और प्रबंधन के लिए उप-प्रणालियों के अंतर्संबंधों का बहुत महत्व है। विशिष्ट संरचनात्मक मॉडल इंटरसेक्टोरल लिंकेज मॉडल हैं। कार्यात्मक मॉडल व्यापक रूप से आर्थिक विनियमन में उपयोग किए जाते हैं, जब किसी वस्तु ("आउटपुट") का व्यवहार "इनपुट" को बदलने से प्रभावित होता है। एक उदाहरण कमोडिटी-मनी संबंधों के संदर्भ में उपभोक्ता व्यवहार का मॉडल है। एक और एक ही वस्तु को एक संरचना और एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा एक साथ वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक संरचनात्मक मॉडल का उपयोग एक अलग क्षेत्रीय प्रणाली की योजना के लिए किया जाता है, और राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर, प्रत्येक क्षेत्र को एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है।

वर्णनात्मक और मानक मॉडल के बीच अंतर पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है। वर्णनात्मक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसे होता है? या यह सबसे आगे कैसे विकसित हो सकता है? वे केवल देखे गए तथ्यों की व्याख्या करते हैं या एक संभावित पूर्वानुमान देते हैं। मानक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसा होना चाहिए? उद्देश्यपूर्ण गतिविधि का संकेत दें। आदर्श मॉडल का एक विशिष्ट उदाहरण इष्टतम योजना के मॉडल हैं, जो किसी न किसी तरह से आर्थिक विकास, अवसरों और उन्हें प्राप्त करने के साधनों के लक्ष्यों को औपचारिक रूप देते हैं।

अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण के उपयोग को अनुभवजन्य रूप से अर्थव्यवस्था में विभिन्न निर्भरता की पहचान करने, सामाजिक समूहों के आर्थिक व्यवहार के सांख्यिकीय पैटर्न स्थापित करने, अपरिवर्तनीय परिस्थितियों में या बिना होने वाली किसी भी प्रक्रिया के विकास के संभावित रास्तों का अध्ययन करने की आवश्यकता से समझाया गया है। बाहरी प्रभाव। वर्णनात्मक मॉडल के उदाहरण सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग के आधार पर निर्मित उत्पादन कार्य और ग्राहक मांग कार्य हैं।

एक आर्थिक-गणितीय मॉडल वर्णनात्मक है या मानकात्मक है, यह न केवल इसकी गणितीय संरचना पर निर्भर करता है, बल्कि इस मॉडल के उपयोग की प्रकृति पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, इनपुट-आउटपुट मॉडल वर्णनात्मक है यदि इसका उपयोग अतीत के अनुपात का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। लेकिन वही गणितीय मॉडल मानक बन जाता है जब इसका उपयोग राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विकास के लिए संतुलित विकल्पों की गणना करने के लिए किया जाता है जो नियोजित उत्पादन लागत पर समाज की अंतिम जरूरतों को पूरा करते हैं।

कई आर्थिक और गणितीय मॉडल वर्णनात्मक और मानक मॉडल की विशेषताओं को जोड़ते हैं। एक विशिष्ट स्थिति तब होती है जब एक जटिल संरचना का एक मानक मॉडल अलग-अलग ब्लॉकों को जोड़ता है, जो निजी वर्णनात्मक मॉडल हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रॉस-इंडस्ट्री मॉडल में ग्राहक मांग कार्य शामिल हो सकते हैं जो आय में परिवर्तन होने पर उपभोक्ता व्यवहार का वर्णन करते हैं। इस तरह के उदाहरण आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए वर्णनात्मक और मानक दृष्टिकोणों के प्रभावी संयोजन की प्रवृत्ति को दर्शाते हैं। सिमुलेशन मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कारण संबंधों के प्रतिबिंब की प्रकृति से, कठोर नियतात्मक मॉडल और मॉडल हैं जो यादृच्छिकता और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हैं। संभाव्य कानूनों द्वारा वर्णित अनिश्चितता और अनिश्चितता के बीच अंतर करना आवश्यक है, जिसके लिए संभाव्यता सिद्धांत के नियम लागू नहीं होते हैं। दूसरे प्रकार की अनिश्चितता को मॉडल करना कहीं अधिक कठिन है।

समय कारक को प्रतिबिंबित करने के तरीकों के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को स्थिर और गतिशील में विभाजित किया गया है। स्थिर मॉडल में, सभी निर्भरताएँ एक क्षण या समय अवधि को संदर्भित करती हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ आर्थिक प्रक्रियाओं में बदलाव की विशेषता बताते हैं। समय की अवधि के अनुसार, अल्पकालिक (एक वर्ष तक), मध्यम अवधि (5 वर्ष तक), दीर्घकालिक (10-15 और अधिक वर्ष) पूर्वानुमान और योजना के मॉडल भिन्न होते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल में समय ही लगातार या अलग-अलग बदल सकता है।

गणितीय निर्भरता के रूप में आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल अत्यंत विविध हैं। रैखिक मॉडल के वर्ग को अलग करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जो विश्लेषण और गणना के लिए सबसे सुविधाजनक हैं और परिणामस्वरूप व्यापक हो गए हैं। रैखिक और गैर-रेखीय मॉडल के बीच अंतर न केवल गणितीय दृष्टिकोण से, बल्कि सैद्धांतिक और आर्थिक दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि अर्थव्यवस्था में कई निर्भरताएं मौलिक रूप से गैर-रैखिक हैं: उत्पादन में वृद्धि के साथ संसाधन उपयोग की दक्षता, उत्पादन में वृद्धि के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में परिवर्तन, मांग में परिवर्तन और आय में वृद्धि के साथ जनसंख्या की खपत आदि। "रैखिक अर्थशास्त्र" का सिद्धांत "गैर-रेखीय अर्थशास्त्र" के सिद्धांत से काफी भिन्न है। केंद्रीकृत योजना और आर्थिक उप-प्रणालियों की आर्थिक स्वतंत्रता के संयोजन की संभावना के बारे में निष्कर्ष काफी हद तक इस बात पर निर्भर करते हैं कि उप-प्रणालियों (उद्योगों, उद्यमों) की उत्पादन क्षमताओं के सेट को उत्तल या गैर-उत्तल माना जाता है।

मॉडल में शामिल बहिर्जात और अंतर्जात चर के अनुपात के अनुसार, उन्हें खुले और बंद में विभाजित किया जा सकता है। पूरी तरह से खुले मॉडल नहीं हैं; मॉडल में कम से कम एक अंतर्जात चर होना चाहिए। पूरी तरह से बंद आर्थिक और गणितीय मॉडल, यानी। बहिर्जात चर शामिल नहीं हैं अत्यंत दुर्लभ हैं; उनके निर्माण के लिए "पर्यावरण" से पूर्ण अमूर्तता की आवश्यकता होती है, अर्थात। वास्तविक आर्थिक प्रणालियों का गंभीर रूप से मोटा होना, जिनके हमेशा बाहरी संबंध होते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल का भारी बहुमत एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेता है और खुलेपन (निकटता) की डिग्री में भिन्न होता है।

राष्ट्रीय आर्थिक स्तर के मॉडल के लिए, समग्र और विस्तृत में विभाजित करना महत्वपूर्ण है।

इस पर निर्भर करते हुए कि राष्ट्रीय आर्थिक मॉडल में स्थानिक कारक और स्थितियां शामिल हैं या नहीं, स्थानिक और बिंदु मॉडल प्रतिष्ठित हैं।

इस प्रकार, आर्थिक और गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण में दस से अधिक मुख्य विशेषताएं शामिल हैं। आर्थिक और गणितीय अनुसंधान के विकास के साथ, लागू मॉडलों को वर्गीकृत करने की समस्या और अधिक जटिल हो जाती है। नए प्रकार के मॉडल (विशेष रूप से मिश्रित प्रकार) के उद्भव और उनके वर्गीकरण के नए संकेतों के साथ, विभिन्न प्रकार के मॉडल को अधिक जटिल मॉडल निर्माण में एकीकृत करने की प्रक्रिया की जा रही है।

3 . अर्थव्यवस्थाओं के चरणओ-गणितीय मॉडलिंग

मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों पर पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है। अर्थव्यवस्था सहित ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में, वे अपनी विशिष्ट विशेषताओं को प्राप्त करते हैं। आइए आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के अनुक्रम और सामग्री का विश्लेषण करें।

1. आर्थिक समस्या का विवरण और उसका गुणात्मक विश्लेषण। यहां मुख्य बात यह है कि समस्या के सार को स्पष्ट रूप से तैयार किया जाए, जो धारणाएं बनाई गई हैं और जिन सवालों के जवाब देने की जरूरत है। इस चरण में मॉडलिंग की गई वस्तु की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों का चयन और द्वितीयक से अमूर्तता शामिल है; वस्तु की संरचना और उसके तत्वों को जोड़ने वाली मुख्य निर्भरता का अध्ययन करना; वस्तु के व्यवहार और विकास की व्याख्या करते हुए परिकल्पनाओं का निर्माण (कम से कम प्रारंभिक)।

2. गणितीय मॉडल बनाना। यह एक आर्थिक समस्या को औपचारिक रूप देने, इसे विशिष्ट गणितीय निर्भरता और संबंधों (कार्यों, समीकरणों, असमानताओं, आदि) के रूप में व्यक्त करने का चरण है। आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मूल निर्माण (प्रकार) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, लिंक का रूप)। इस प्रकार, एक मॉडल का निर्माण कई चरणों में विभाजित है।

यह मान लेना गलत है कि एक मॉडल जितने अधिक तथ्यों को ध्यान में रखता है, उतना ही बेहतर "काम" करता है और बेहतर परिणाम देता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है जैसे गणितीय निर्भरता के रूप (रैखिक और अरेखीय), संयोग और अनिश्चितता के कारकों के लिए लेखांकन, आदि। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (मॉडल की जटिलता में वृद्धि के साथ, लागत में वृद्धि से अधिक हो सकती है) प्रभाव)।

गणितीय मॉडलों की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करने की क्षमता है। इसलिए, जब एक नई आर्थिक चुनौती का सामना करना पड़ता है, तब भी एक मॉडल का "आविष्कार" करने का प्रयास करने की कोई आवश्यकता नहीं है; सबसे पहले इस समस्या को हल करने के लिए पहले से ही ज्ञात मॉडलों को लागू करने का प्रयास करना आवश्यक है।

एक मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक ज्ञान की दो प्रणालियों - आर्थिक और गणितीय - की तुलना की जाती है। गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना स्वाभाविक है। यह अक्सर मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट की आवश्यक विशेषताओं को विकृत किए बिना मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं को कुछ हद तक सरल बनाकर किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसी स्थिति तब भी संभव है जब किसी आर्थिक समस्या का औपचारिककरण पहले से अज्ञात गणितीय संरचना की ओर ले जाता है। बीसवीं सदी के मध्य में आर्थिक विज्ञान और अभ्यास की जरूरतें। गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, कार्यात्मक विश्लेषण, कम्प्यूटेशनल गणित के विकास में योगदान दिया। यह संभावना है कि भविष्य में अर्थशास्त्र का विकास गणित की नई शाखाओं के निर्माण के लिए एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन बन जाएगा।

3. मॉडल का गणितीय विश्लेषण। इस चरण का उद्देश्य मॉडल के सामान्य गुणों को स्पष्ट करना है। विशुद्ध रूप से विशुद्ध रूप से गणितीय शोध विधियों का उपयोग यहाँ किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल (अस्तित्व प्रमेय) में समाधान के अस्तित्व का प्रमाण है। यदि यह साबित करना संभव है कि गणितीय समस्या का कोई हल नहीं है, तो मॉडल के मूल संस्करण पर और काम करने की कोई आवश्यकता नहीं है; या तो आर्थिक समस्या के सूत्रीकरण को ठीक करना आवश्यक है, या इसके गणितीय औपचारिकरण के तरीकों को। मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन में, उदाहरण के लिए, एकमात्र समाधान जैसे प्रश्नों को स्पष्ट किया जाता है, समाधान में कौन से चर (अज्ञात) शामिल किए जा सकते हैं, उनके बीच क्या संबंध होंगे, किस सीमा के भीतर और प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर वे बदलते हैं, उनके परिवर्तन की प्रवृत्तियां क्या हैं और आदि। अनुभवजन्य (संख्यात्मक) की तुलना में मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन का यह फायदा है कि प्राप्त निष्कर्ष मॉडल के बाहरी और आंतरिक मापदंडों के विभिन्न विशिष्ट मूल्यों के लिए मान्य रहते हैं।

एक मॉडल के सामान्य गुणों का ज्ञान इतना महत्वपूर्ण है, अक्सर ऐसे गुणों को साबित करने के लिए, शोधकर्ता जानबूझकर मूल मॉडल के आदर्शीकरण के लिए जाते हैं। और फिर भी, जटिल आर्थिक वस्तुओं के मॉडल का विश्लेषणात्मक रूप से विश्लेषण करना बहुत कठिन है। ऐसे मामलों में जहां विश्लेषणात्मक तरीके मॉडल के सामान्य गुणों का पता लगाने में विफल होते हैं, और मॉडल के सरलीकरण से अस्वीकार्य परिणाम मिलते हैं, वे अनुसंधान के संख्यात्मक तरीकों पर स्विच करते हैं।

4. पृष्ठभूमि की जानकारी तैयार करना। मॉडलिंग सूचना प्रणाली पर कठोर आवश्यकताओं को लागू करता है। इसी समय, सूचना प्राप्त करने की वास्तविक संभावनाएं व्यावहारिक उपयोग के लिए इच्छित मॉडलों की पसंद को सीमित करती हैं। यह न केवल सूचना तैयार करने की मौलिक संभावना (एक निश्चित समय सीमा के भीतर) को ध्यान में रखता है, बल्कि संबंधित सूचना सरणियों को तैयार करने की लागत को भी ध्यान में रखता है। ये लागतें अतिरिक्त जानकारी के उपयोग के प्रभाव से अधिक नहीं होनी चाहिए।

सूचना तैयार करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता सिद्धांत, सैद्धांतिक और गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रणालीगत आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में, कुछ मॉडलों में उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी अन्य मॉडलों के कामकाज का परिणाम होती है।

5. संख्यात्मक समाधान। इस चरण में समस्या के संख्यात्मक समाधान के लिए एल्गोरिदम का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और प्रत्यक्ष गणना शामिल है। इस चरण की कठिनाइयाँ मुख्य रूप से आर्थिक समस्याओं के बड़े आयाम, महत्वपूर्ण मात्रा में सूचनाओं को संसाधित करने की आवश्यकता के कारण हैं।

आमतौर पर, आर्थिक और गणितीय मॉडल पर आधारित गणना बहुभिन्नरूपी होती है। आधुनिक कंप्यूटरों की उच्च गति के कारण, कुछ स्थितियों में विभिन्न परिवर्तनों के तहत मॉडल के "व्यवहार" का अध्ययन करते हुए, कई "मॉडल" प्रयोग करना संभव है। संख्यात्मक विधियों द्वारा किया गया अनुसंधान विश्लेषणात्मक अनुसंधान के परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक कर सकता है, और कई मॉडलों के लिए यह एकमात्र संभव है। आर्थिक समस्याओं का वर्ग जिन्हें संख्यात्मक विधियों द्वारा हल किया जा सकता है, विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए उपलब्ध समस्याओं के वर्ग की तुलना में बहुत व्यापक है।

6. संख्यात्मक परिणामों का विश्लेषण और उनका अनुप्रयोग। चक्र के इस अंतिम चरण में, सिमुलेशन परिणामों की शुद्धता और पूर्णता के बारे में सवाल उठता है, बाद के व्यावहारिक प्रयोज्यता की डिग्री के बारे में।

गणितीय सत्यापन विधियां गलत मॉडल निर्माण प्रकट कर सकती हैं और इस प्रकार संभावित रूप से सही मॉडल के वर्ग को कम कर सकती हैं। मॉडल के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक निष्कर्षों और संख्यात्मक परिणामों का एक अनौपचारिक विश्लेषण, उन्हें उपलब्ध ज्ञान और वास्तविकता के तथ्यों के साथ तुलना करना भी आर्थिक समस्या के निर्माण, निर्मित गणितीय मॉडल, इसकी जानकारी और की कमियों को प्रकट करना संभव बनाता है। गणितीय समर्थन।

चरणों का अंतर्संबंध। आइए इस तथ्य के कारण उत्पन्न होने वाले चरणों की प्रतिक्रियाओं पर ध्यान दें कि अनुसंधान की प्रक्रिया में मॉडलिंग के पिछले चरणों की कमियों का पता चलता है।

पहले से ही एक मॉडल के निर्माण के चरण में, यह स्पष्ट हो सकता है कि समस्या का निरूपण विरोधाभासी है या अत्यधिक जटिल गणितीय मॉडल की ओर ले जाता है। इसके अनुसार, समस्या के मूल सूत्रीकरण को ठीक किया जाता है। इसके अलावा, मॉडल का गणितीय विश्लेषण (चरण 3) दिखा सकता है कि समस्या के विवरण में थोड़ा सा संशोधन या इसकी औपचारिकता एक दिलचस्प विश्लेषणात्मक परिणाम देती है।

सबसे अधिक बार, प्रारंभिक जानकारी (चरण 4) तैयार करते समय मॉडलिंग के पिछले चरणों में लौटने की आवश्यकता होती है। आप पाएंगे कि आवश्यक जानकारी गायब है या इसे तैयार करने की लागत बहुत अधिक है। फिर आपको समस्या के निरूपण और उसकी औपचारिकता पर वापस लौटना होगा, उन्हें बदलना होगा ताकि उपलब्ध जानकारी के अनुकूल हो सके।

चूंकि आर्थिक और गणितीय समस्याएं उनकी संरचना में जटिल हो सकती हैं, एक बड़ा आयाम हो सकता है, अक्सर ऐसा होता है कि ज्ञात एल्गोरिदम और कंप्यूटर प्रोग्राम समस्या को उसके मूल रूप में हल करने की अनुमति नहीं देते हैं। यदि थोड़े समय में नए एल्गोरिदम और कार्यक्रमों को विकसित करना असंभव है, तो समस्या और मॉडल के मूल सूत्रीकरण को सरल बनाया जाता है: शर्तों को हटा दिया जाता है और संयुक्त किया जाता है, कारकों की संख्या कम हो जाती है, गैर-रैखिक संबंधों को रैखिक वाले द्वारा बदल दिया जाता है, नियतत्ववाद मॉडल को मजबूत किया जाता है, आदि।

मॉडलिंग के मध्यवर्ती चरणों में जिन नुकसानों को ठीक नहीं किया जा सकता है, उन्हें बाद के चक्रों में समाप्त कर दिया जाता है। लेकिन प्रत्येक चक्र के परिणामों का एक पूरी तरह से स्वतंत्र अर्थ भी होता है। एक साधारण मॉडल के निर्माण के साथ अपना शोध शुरू करते हुए, आप जल्दी से उपयोगी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और फिर एक अधिक उन्नत मॉडल बनाने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें परिष्कृत गणितीय संबंध शामिल हैं।

जैसे-जैसे आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग विकसित होती है और अधिक जटिल होती जाती है, इसके व्यक्तिगत चरणों को अनुसंधान के विशेष क्षेत्रों में अलग किया जाता है, सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक और अनुप्रयुक्त मॉडल के बीच अंतर बढ़ता है, मॉडल को अमूर्तता और आदर्शीकरण के स्तर के अनुसार विभेदित किया जाता है।

आर्थिक मॉडल के गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत आधुनिक गणित - गणितीय अर्थशास्त्र की एक विशेष शाखा में विकसित हुआ है। गणितीय अर्थशास्त्र के ढांचे के भीतर अध्ययन किए गए मॉडल आर्थिक वास्तविकता के साथ अपना सीधा संबंध खो देते हैं; वे अत्यंत आदर्शीकृत आर्थिक वस्तुओं और स्थितियों से निपटते हैं। ऐसे मॉडलों का निर्माण करते समय, मुख्य सिद्धांत वास्तविकता का इतना अधिक सन्निकटन नहीं है, बल्कि गणितीय प्रमाणों के माध्यम से विश्लेषणात्मक परिणामों की अधिकतम संभव संख्या प्राप्त करना है। आर्थिक सिद्धांत और व्यवहार के लिए इन मॉडलों का मूल्य इस तथ्य में निहित है कि वे लागू-प्रकार के मॉडल के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

आर्थिक जानकारी की तैयारी और प्रसंस्करण और आर्थिक समस्याओं के लिए गणितीय समर्थन का विकास (डेटाबेस और सूचना बैंकों का निर्माण, अर्थशास्त्रियों-उपयोगकर्ताओं के लिए मॉडल और सॉफ्टवेयर सेवाओं के स्वचालित निर्माण के लिए कार्यक्रम) अनुसंधान के काफी स्वतंत्र क्षेत्र बन रहे हैं। मॉडल के व्यावहारिक उपयोग के चरण में, विशेषज्ञों द्वारा आर्थिक विश्लेषण, योजना और प्रबंधन के प्रासंगिक क्षेत्र में अग्रणी भूमिका निभाई जानी चाहिए। अर्थशास्त्रियों-गणितज्ञों के काम का मुख्य क्षेत्र आर्थिक समस्याओं का सूत्रीकरण और औपचारिकता और आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का संश्लेषण है।

आर्थिक गणितीय मॉडलिंग

प्रयुक्त साहित्य की सूची

1. फेडोसेव, आर्थिक तरीके

2. आईएल अकुलिच, उदाहरणों और समस्याओं में गणितीय प्रोग्रामिंग, मॉस्को, "हायर स्कूल", 1986;

3. एसए अब्रामोव, गणितीय निर्माण और प्रोग्रामिंग, मॉस्को, "नौका", 1978;

4. जे लिटिलवुड, गणितीय मिश्रण, मॉस्को, "नौका", 1978;

5. विज्ञान अकादमी के समाचार। सिद्धांत और नियंत्रण प्रणाली, 1999, नंबर 5, पीपी। 127-134।

7.http: //exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Allbest.ru . पर पोस्ट किया गया

इसी तरह के दस्तावेज

गणितीय मॉडलिंग विधियों की खोज और ऐतिहासिक विकास, आधुनिक अर्थशास्त्र में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग। सूचना प्रौद्योगिकी की शुरूआत के रूप में प्रबंधन के सभी स्तरों पर आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग का उपयोग।

परीक्षण, जोड़ा गया 06/10/2009


बुनियादी अवधारणाएं और मॉडल के प्रकार, उनका वर्गीकरण और निर्माण का उद्देश्य। लागू आर्थिक और गणितीय तरीकों की विशेषताएं। आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरणों की सामान्य विशेषताएं। अर्थशास्त्र में स्टोकेस्टिक मॉडल का अनुप्रयोग।

सार 05/16/2012 को जोड़ा गया


मॉडल की अवधारणा और प्रकार। गणितीय मॉडल के निर्माण के चरण। आर्थिक चर के संबंध के गणितीय मॉडलिंग के मूल तत्व। एक रेखीय एकतरफा प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का निर्धारण। अर्थशास्त्र में गणित के अनुकूलन के तरीके।

सार, जोड़ा गया 02/11/2011


मात्रात्मक आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग का उपयोग करके विशिष्ट उत्पादन, आर्थिक और प्रबंधन समस्याओं को हल करने के लिए अनुकूलन विधियों का अनुप्रयोग। एक्सेल के माध्यम से अध्ययन की गई वस्तु के गणितीय मॉडल का समाधान।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 07/29/2013


आर्थिक और गणितीय विधियों के विकास का इतिहास। गणितीय सांख्यिकी अध्ययनित परिघटनाओं के नमूने के आधार पर अनुप्रयुक्त गणित की एक शाखा है। आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के चरणों का विश्लेषण। मॉडलिंग का मौखिक सूचनात्मक विवरण।

व्याख्यान पाठ्यक्रम, जोड़ा गया 01/12/2009


आर्थिक समस्याओं को हल करने में गणितीय विधियों का अनुप्रयोग। उत्पादन फलन की अवधारणा, आइसोक्वांट्स, संसाधन विनिमेयता। कम लोचदार, मध्यम लोचदार और अत्यधिक लोचदार उत्पादों की परिभाषा। इष्टतम सूची प्रबंधन सिद्धांत।

परीक्षण, 03/13/2010 जोड़ा गया


आर्थिक और गणितीय मॉडल का वर्गीकरण। कृषि-औद्योगिक परिसर में आर्थिक समस्याओं के निर्माण में क्रमिक सन्निकटन एल्गोरिथ्म का उपयोग। एक कृषि उद्यम के विकास के लिए कार्यक्रम के मॉडलिंग के तरीके। विकास कार्यक्रम का औचित्य।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 01/05/2011


मॉडलिंग का दो मुख्य वर्गों में विभाजन - सामग्री और आदर्श। सभी आर्थिक प्रणालियों में आर्थिक प्रक्रियाओं के दो मुख्य स्तर होते हैं। अर्थशास्त्र में आदर्श गणितीय मॉडल, अनुकूलन और अनुकरण विधियों का अनुप्रयोग।

सार, जोड़ा गया 06/11/2010


गणितीय मॉडल की बुनियादी अवधारणाएं और अर्थशास्त्र में उनका अनुप्रयोग। मॉडलिंग की वस्तु के रूप में अर्थव्यवस्था के तत्वों की सामान्य विशेषताएं। बाजार और उसके प्रकार। लियोन्टीफ और कीन्स का गतिशील मॉडल। असतत और निरंतर समय के साथ सोलो मॉडल।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 04/30/2012


आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के विकास के चरण का निर्धारण और मॉडलिंग के परिणाम प्राप्त करने की विधि की पुष्टि। खेल सिद्धांत और अनिश्चितता के तहत निर्णय लेना। अनिश्चित वातावरण में एक व्यावसायिक रणनीति का विश्लेषण।

आर्थिक मॉडल का निर्माण करते समय, महत्वपूर्ण कारकों की पहचान की जाती है और समस्या को हल करने के लिए महत्वहीन विवरण को छोड़ दिया जाता है।

आर्थिक मॉडल में मॉडल शामिल हो सकते हैं:

• आर्थिक विकास
• उपभोक्ता की पसंद
• वित्तीय और कमोडिटी बाजारों और कई अन्य में संतुलन।

आदर्शघटकों और कार्यों का एक तार्किक या गणितीय विवरण है जो एक प्रतिरूपित वस्तु या प्रक्रिया के आवश्यक गुणों को दर्शाता है।

मॉडल का उपयोग किसी वस्तु या प्रक्रिया के अध्ययन को सरल बनाने के लिए डिज़ाइन की गई एक सशर्त छवि के रूप में किया जाता है।

मॉडल की प्रकृति भिन्न हो सकती है। मॉडल में विभाजित हैं: सामग्री, संकेत, मौखिक और सारणीबद्ध विवरण, आदि।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

व्यावसायिक प्रक्रियाओं के प्रबंधन में, सबसे महत्वपूर्ण मुख्य रूप से हैं आर्थिक और गणितीय मॉडल, अक्सर मॉडल सिस्टम में संयुक्त।

आर्थिक और गणितीय मॉडल(ईएमएम) एक आर्थिक वस्तु या प्रक्रिया का गणितीय विवरण है जो शोध और प्रबंधन के उद्देश्य से है। यह हल की जा रही आर्थिक समस्या का गणितीय रिकॉर्ड है।

बुनियादी प्रकार के मॉडल

• एक्सट्रपलेशन मॉडल
• कारक अर्थमितीय मॉडल
• अनुकूलन मॉडल
• बैलेंस मॉडल, इंटरसेक्टोरल बैलेंस मॉडल (MOB)
• विशेषज्ञ आकलन
• खेल का सिद्धांत
• नेटवर्क मॉडल
• कतारबद्ध सिस्टम मॉडल

आर्थिक और गणितीय मॉडल और आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त तरीके

आर ए = सीपी / वीए + ओए,

एक सामान्यीकृत रूप में, मिश्रित मॉडल को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

तो, सबसे पहले, आपको एक आर्थिक और गणितीय मॉडल बनाना चाहिए जो संगठन के सामान्यीकरण आर्थिक प्रदर्शन पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव का वर्णन करता है। प्राप्त आर्थिक गतिविधियों के विश्लेषण में व्यापक बहुभिन्नरूपी गुणक मॉडल, चूंकि वे आपको संकेतकों के सामान्यीकरण पर महत्वपूर्ण संख्या में कारकों के प्रभाव का अध्ययन करने की अनुमति देते हैं और इस तरह विश्लेषण की अधिक गहराई और सटीकता प्राप्त करते हैं।

उसके बाद, आपको इस मॉडल को हल करने का एक तरीका चुनना होगा। पारंपरिक तरीके: श्रृंखला प्रतिस्थापन की विधि, निरपेक्ष और सापेक्ष अंतर के तरीके, संतुलन विधि, सूचकांक विधि, साथ ही सहसंबंध-प्रतिगमन, क्लस्टर, विचरण का विश्लेषण, आदि के तरीके। इन विधियों और विधियों के साथ, विशिष्ट गणितीय विधियों और विधियों का उपयोग किया जाता है आर्थिक विश्लेषण में।

आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि

ऐसी विधियों (विधियों) में से एक अभिन्न है। यह गुणक, बहु, और मिश्रित (बहु-योज्य) मॉडल का उपयोग करके व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव को निर्धारित करने में आवेदन पाता है।

अभिन्न विधि का उपयोग करने की शर्तों के तहत, श्रृंखला प्रतिस्थापन और इसके वेरिएंट की विधि का उपयोग करने की तुलना में व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के अधिक प्रमाणित परिणाम प्राप्त करना संभव है। श्रृंखला प्रतिस्थापन की विधि और इसके वेरिएंट, साथ ही साथ सूचकांक विधि में महत्वपूर्ण कमियां हैं: 1) कारकों के प्रभाव की गणना के परिणाम व्यक्तिगत कारकों के मूल मूल्यों को वास्तविक लोगों के साथ बदलने के अपनाए गए अनुक्रम पर निर्भर करते हैं; 2) कारकों की परस्पर क्रिया के कारण सामान्यीकरण संकेतक में एक अतिरिक्त वृद्धि, एक अपरिवर्तनीय अवशेष के रूप में, अंतिम कारक के प्रभाव के योग में जोड़ा जाता है। अभिन्न विधि का उपयोग करते समय, यह लाभ सभी कारकों में समान रूप से विभाजित होता है।

अभिन्न विधि विभिन्न प्रकार के मॉडल को हल करने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण स्थापित करती है, और किसी दिए गए मॉडल में शामिल तत्वों की संख्या की परवाह किए बिना, साथ ही इन तत्वों के बीच संचार के रूप की परवाह किए बिना।

फैक्टोरियल आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि एक आंशिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के योग पर आधारित है, जो कि असीम रूप से छोटे अंतराल पर तर्क की वृद्धि से गुणा किया जाता है।

अभिन्न विधि को लागू करने की प्रक्रिया में, कई शर्तों को पूरा करना होगा। सबसे पहले, फ़ंक्शन की निरंतर भिन्नता की शर्त को पूरा किया जाना चाहिए, जहां एक आर्थिक संकेतक को तर्क के रूप में लिया जाता है। दूसरा, प्रारंभिक अवधि के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के बीच का कार्य एक सीधी रेखा में बदलना चाहिए पुनः... अंत में, तीसरा, कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की दरों के अनुपात की स्थिरता होनी चाहिए

डी वाई / डी एक्स = कास्ट

इंटीग्रल विधि का उपयोग करते समय, किसी दिए गए इंटीग्रैंड और दिए गए इंटीग्रेशन अंतराल पर एक निश्चित इंटीग्रल की गणना आधुनिक कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके उपलब्ध मानक प्रोग्राम के अनुसार की जाती है।

यदि हम गुणक मॉडल का समाधान करते हैं, तो आर्थिक संकेतक के सामान्यीकरण पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:

Z (x) = y 0 * Δ एक्स + 1/2Δ एक्स *Δ आप

जेड (वाई) =एक्स 0 * Δ आप +1/2 Δ एक्स* Δ आप

कारकों के प्रभाव की गणना के लिए एक बहु मॉडल को हल करते समय, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करेंगे:

जेड = एक्स / वाई;

Δ जेड (एक्स)= Δ एक्स/Δ वाई एलएनईy1 / y0

Δ जेड (वाई) =Δ जेड- Δ जेड (एक्स)

अभिन्न विधि का उपयोग करके हल की जाने वाली दो मुख्य प्रकार की समस्याएं हैं: स्थिर और गतिशील। पहले प्रकार में दी गई अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में कोई जानकारी नहीं है। ऐसे कार्यों के उदाहरण पिछली अवधि की तुलना में व्यावसायिक योजनाओं के कार्यान्वयन का विश्लेषण या आर्थिक संकेतकों में परिवर्तन का विश्लेषण हैं। एक निश्चित अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में जानकारी की उपस्थिति में गतिशील प्रकार के कार्य होते हैं। इस प्रकार की समस्या में आर्थिक संकेतकों की समय श्रृंखला के अध्ययन से संबंधित गणना शामिल है।

ये तथ्यात्मक आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न पद्धति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं।

लघुगणक विधि

इस पद्धति के अलावा, विश्लेषण में लघुगणक की विधि (विधि) का भी उपयोग किया जाता है। गुणक मॉडल को हल करते समय इसका उपयोग कारक विश्लेषण में किया जाता है। विचाराधीन विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि इसका उपयोग करते समय, बाद वाले के बीच कारकों की संयुक्त कार्रवाई के परिमाण का एक लघुगणकीय आनुपातिक वितरण होता है, अर्थात यह मान कारकों के अनुपात में वितरित किया जाता है। सारांश संकेतक के योग पर प्रत्येक व्यक्तिगत कारक के प्रभाव का हिस्सा। समाकलन विधि के साथ, उल्लिखित मान को समान सीमा तक कारकों के बीच वितरित किया जाता है। इसलिए, लॉगरिदम विधि अभिन्न विधि की तुलना में कारकों के प्रभाव की गणना को अधिक उचित बनाती है।

लॉगरिदम लेने की प्रक्रिया में, आर्थिक संकेतकों के विकास के पूर्ण मूल्यों का उपयोग नहीं किया जाता है, जैसा कि अभिन्न विधि के मामले में होता है, लेकिन सापेक्ष, यानी इन संकेतकों में परिवर्तन के सूचकांक। उदाहरण के लिए, एक सामान्यीकरण आर्थिक संकेतक तीन कारकों के उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाता है - कारक एफ = एक्स वाई जेड.

आइए आर्थिक संकेतक के सामान्यीकरण पर इन कारकों में से प्रत्येक के प्रभाव का पता लगाएं। तो, पहले कारक का प्रभाव निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

f x = f लॉग (x 1 / x 0) / लॉग (f 1 / f 0)

निम्नलिखित कारक का प्रभाव क्या था? इसका प्रभाव ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं:

f y = f लॉग (y 1 / y 0) / लॉग (f 1 / f 0)

अंत में, तीसरे कारक के प्रभाव की गणना करने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:

f z = f लॉग (z 1 / z 0) / लॉग (f 1 / f 0)

इस प्रकार, सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन की कुल मात्रा को अलग-अलग कारकों के बीच विभाजित किया जाता है, जो कि सामान्यीकरण संकेतक के लघुगणक के लिए अलग-अलग भाज्य सूचकांकों के लघुगणक के अनुपात के अनुपात के अनुसार होता है।

विचाराधीन विधि को लागू करते समय, किसी भी प्रकार के लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है - प्राकृतिक और दशमलव दोनों।

विभेदक कलन विधि

कारक विश्लेषण करते समय, विभेदक कलन की विधि का भी उपयोग किया जाता है। उत्तरार्द्ध मानता है कि फ़ंक्शन में कुल परिवर्तन, जो कि सामान्यीकरण संकेतक है, को अलग-अलग शब्दों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के मूल्य की गणना एक निश्चित आंशिक व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में की जाती है, जिसके द्वारा यह व्युत्पन्न चर की वृद्धि से होता है। निर्धारित किया जाता है। आइए हम सामान्यीकरण संकेतक पर अलग-अलग कारकों के प्रभाव को निर्धारित करें, उदाहरण के तौर पर दो चर के एक फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए।

फ़ंक्शन सेट है जेड = एफ (एक्स, वाई)... यदि यह फलन अवकलनीय है, तो इसके परिवर्तन को निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

आइए हम इस सूत्र के अलग-अलग तत्वों की व्याख्या करें:

Z = (Z 1 - Z 0)- समारोह में परिवर्तन की भयावहता;

x = (एक्स 1 - एक्स 0)- एक कारक में परिवर्तन का परिमाण;

Δ वाई = (वाई 1 - वाई 0)- किसी अन्य कारक में परिवर्तन का परिमाण;

- की तुलना में एक उच्च क्रम की एक असीम रूप से छोटी मात्रा

इस उदाहरण में, व्यक्तिगत कारकों का प्रभाव एक्सतथा आपसमारोह को बदलने के लिए जेड(सारांश संकेतक) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

Z x = Z / δx Δx; Z y = Z / δy Δy।

इन दोनों कारकों के प्रभाव का योग इस कारक की वृद्धि के संबंध में मुख्य, रैखिक है, विभेदक कार्य की वृद्धि का हिस्सा है, अर्थात सामान्यीकरण संकेतक।

इक्विटी पद्धति

योगात्मक, साथ ही बहु-योगात्मक मॉडल को हल करने के संदर्भ में, सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए इक्विटी भागीदारी की विधि का भी उपयोग किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे पहले उनके परिवर्तनों की कुल मात्रा में प्रत्येक कारक का हिस्सा निर्धारित किया जाता है। फिर इस शेयर को सारांश संकेतक में परिवर्तन के कुल मूल्य से गुणा किया जाता है।

मान लीजिए कि हम तीन कारकों का प्रभाव निर्धारित करते हैं - ए,बीतथा साथसारांश संकेतक पर आप... फिर कारक के लिए, और सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन के कुल मूल्य से इसके हिस्से और इसके गुणन का निर्धारण निम्न सूत्र के अनुसार किया जा सकता है:

y a = a / a + b + c * y

कारक в के लिए, माना सूत्र का निम्न रूप होगा:

y b = b / a + b + c * y

अंत में, कारक c के लिए हमारे पास है:

y c = c / a + b + c * y

यह कारक विश्लेषण उद्देश्यों के लिए उपयोग की जाने वाली इक्विटी पद्धति का सार है।

रैखिक प्रोग्रामिंग विधि

आगे देखें:

कतार सिद्धांत

आगे देखें:

खेल का सिद्धांत

गेम थ्योरी भी लागू की जा रही है। क्यूइंग थ्योरी की तरह, गेम थ्योरी अनुप्रयुक्त गणित की शाखाओं में से एक है। गेम थ्योरी उन इष्टतम समाधानों का अध्ययन करती है जो एक खेल प्रकृति की स्थितियों में संभव हैं। इसमें ऐसी परिस्थितियाँ शामिल हैं जो इष्टतम प्रबंधन निर्णयों के चुनाव से जुड़ी हैं, अन्य संगठनों के साथ संबंधों के लिए सबसे उपयुक्त विकल्पों के चुनाव के साथ, आदि।

गेम थ्योरी में ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, बीजगणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है, जो रैखिक समीकरणों और असमानताओं की एक प्रणाली पर आधारित होते हैं, साथ ही साथ अंतर समीकरणों की एक विशिष्ट प्रणाली के लिए किसी समस्या को कम करने के तरीके भी होते हैं।

संगठनों की आर्थिक गतिविधियों के विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली आर्थिक और गणितीय विधियों में से एक तथाकथित संवेदनशीलता विश्लेषण है। इस पद्धति का उपयोग अक्सर निवेश परियोजनाओं के विश्लेषण की प्रक्रिया में किया जाता है, साथ ही किसी दिए गए संगठन के निपटान में शेष लाभ की मात्रा की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है।

संगठन की गतिविधियों की बेहतर योजना बनाने और भविष्यवाणी करने के लिए, उन परिवर्तनों को अग्रिम रूप से देखना आवश्यक है जो भविष्य में विश्लेषण किए गए आर्थिक संकेतकों के साथ हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, उन कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की अग्रिम भविष्यवाणी करना आवश्यक है जो लाभ की मात्रा को प्रभावित करते हैं: खरीदे गए भौतिक संसाधनों के लिए खरीद मूल्य का स्तर, किसी दिए गए संगठन के उत्पादों के लिए बिक्री मूल्य का स्तर, इन उत्पादों के लिए ग्राहकों की मांग में परिवर्तन।

संवेदनशीलता विश्लेषण में एक सामान्यीकरण आर्थिक संकेतक के भविष्य के मूल्य का निर्धारण करना शामिल है, बशर्ते कि इस सूचक को प्रभावित करने वाले एक या अधिक कारकों का मूल्य बदल जाए।

इसलिए, उदाहरण के लिए, वे यह स्थापित करते हैं कि भविष्य में लाभ किस राशि से बदलेगा, बशर्ते कि प्रति यूनिट बेचे जाने वाले उत्पादों की मात्रा में परिवर्तन हो। ऐसा करने से, हम इसे प्रभावित करने वाले कारकों में से एक में परिवर्तन के लिए शुद्ध लाभ की संवेदनशीलता का विश्लेषण करते हैं, यानी इस मामले में, बिक्री का कारक। लाभ की मात्रा को प्रभावित करने वाले शेष कारक उसी समय अपरिवर्तित रहते हैं। कई कारकों के भविष्य के प्रभाव में एक साथ परिवर्तन के साथ भी लाभ की मात्रा निर्धारित करना संभव है। इस प्रकार, संवेदनशीलता विश्लेषण इस सूचक को प्रभावित करने वाले व्यक्तिगत कारकों में परिवर्तन के लिए एक सामान्यीकृत आर्थिक संकेतक की प्रतिक्रिया की ताकत स्थापित करना संभव बनाता है।

मैट्रिक्स विधि

उपरोक्त आर्थिक और गणितीय विधियों के साथ, वे आर्थिक गतिविधि के विश्लेषण में भी आवेदन पाते हैं। ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं।

नेटवर्क योजना विधि

आगे देखें:

एक्सट्रपलेशन विश्लेषण

माना विधियों के अलावा, एक्सट्रपलेशन विश्लेषण का भी उपयोग किया जाता है। इसमें विश्लेषित प्रणाली की स्थिति में परिवर्तन और एक्सट्रपलेशन, यानी भविष्य की अवधि के लिए इस प्रणाली की मौजूदा विशेषताओं का विस्तार शामिल है। इस प्रकार के विश्लेषण को लागू करने की प्रक्रिया में, निम्नलिखित मुख्य चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: प्राथमिक प्रसंस्करण और उपलब्ध डेटा की प्रारंभिक श्रृंखला का परिवर्तन; अनुभवजन्य कार्यों के प्रकार की पसंद; इन कार्यों के मुख्य मापदंडों का निर्धारण; एक्सट्रपलेशन; विश्लेषण की विश्वसनीयता की डिग्री स्थापित करना।

आर्थिक विश्लेषण भी प्रमुख घटक विश्लेषण का उपयोग करता है। उनका उपयोग व्यक्तिगत घटकों के तुलनात्मक विश्लेषण के उद्देश्य से किया जाता है, अर्थात संगठन की गतिविधियों के विश्लेषण के पैरामीटर। मुख्य घटक घटक भागों के रैखिक संयोजनों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्थात्, किए गए विश्लेषण के पैरामीटर, जिनमें सबसे महत्वपूर्ण विचरण मान हैं, अर्थात्, माध्य मानों से सबसे बड़ा निरपेक्ष विचलन।

अपने अच्छे काम को नॉलेज बेस में भेजें सरल है। नीचे दिए गए फॉर्म का प्रयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान के आधार का उपयोग करते हैं, वे आपके बहुत आभारी रहेंगे।

http://www.allbest.ru . पर पोस्ट किया गया

• विषय
• परिचय
• 1. गणितीय मॉडल
• 1.1 आर्थिक और गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण
• 2. अनुकूलन मॉडलिंग
• 2.1 रैखिक प्रोग्रामिंग
• 2.1.1 अर्थव्यवस्था के गणितीय मॉडलिंग के लिए एक उपकरण के रूप में रैखिक प्रोग्रामिंग
• 2.1.2 रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल के उदाहरण
• 2.2.3 इष्टतम संसाधन आवंटन
• निष्कर्ष

परिचय

आधुनिक गणित को अन्य विज्ञानों में गहन प्रवेश की विशेषता है, कई मायनों में यह प्रक्रिया गणित के कई स्वतंत्र क्षेत्रों में विभाजन के कारण होती है। ज्ञान की कई शाखाओं के लिए, गणित न केवल मात्रात्मक गणना का एक उपकरण बन गया है, बल्कि सटीक शोध का एक तरीका और अवधारणाओं और समस्याओं के अत्यंत स्पष्ट सूत्रीकरण का साधन भी बन गया है। अपने विकसित तार्किक और कंप्यूटिंग तंत्र के साथ आधुनिक गणित के बिना, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में प्रगति संभव नहीं होती। आर्थिक गणितीय रैखिक मॉडलिंग

समाज के कामकाज और विकास के उद्देश्य कारणों के बारे में एक विज्ञान के रूप में अर्थशास्त्र विभिन्न मात्रात्मक विशेषताओं का उपयोग करता है, और इसलिए बड़ी संख्या में गणितीय विधियों को अवशोषित करता है।

इस विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि आधुनिक अर्थव्यवस्था अनुकूलन विधियों का उपयोग करती है जो गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, नेटवर्क प्लानिंग, क्यूइंग थ्योरी और अन्य अनुप्रयुक्त विज्ञानों का आधार बनती हैं।

गणितीय विषयों के आर्थिक अनुप्रयोगों का अध्ययन जो वर्तमान आर्थिक गणित का आधार बनता है, आपको आर्थिक समस्याओं को हल करने और इस क्षेत्र में ज्ञान का विस्तार करने में कुछ कौशल हासिल करने की अनुमति देता है।

इस कार्य का उद्देश्य आर्थिक समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाने वाली कुछ अनुकूलन विधियों का अध्ययन करना है।

1. गणितीय मॉडल

अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल। आर्थिक विश्लेषण में सुधार के लिए गणितीय मॉडल का व्यापक उपयोग एक महत्वपूर्ण दिशा है। डेटा निर्दिष्ट करना या उन्हें गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करना कम से कम समय लेने वाला समाधान चुनने में मदद करता है, और विश्लेषण की दक्षता को बढ़ाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके हल की गई सभी आर्थिक समस्याएं वैकल्पिक समाधानों और कुछ सीमित स्थितियों में भिन्न होती हैं। ऐसी समस्या को हल करने का अर्थ है सभी स्वीकार्य (वैकल्पिक) विकल्पों में से सबसे अच्छा, इष्टतम चुनना। अर्थशास्त्र में रैखिक प्रोग्रामिंग पद्धति का उपयोग करने का महत्व और मूल्य इस तथ्य में निहित है कि वैकल्पिक विकल्पों की पर्याप्त संख्या में से इष्टतम विकल्प का चयन किया जाता है।

गणितीय मॉडल के रूप में आर्थिक समस्याओं के निर्माण और समाधान में सबसे आवश्यक बिंदु हैं:

वास्तविकता के आर्थिक और गणितीय मॉडल की पर्याप्तता;

· इस प्रक्रिया के अनुरूप पैटर्न का विश्लेषण;

· उन तरीकों का निर्धारण जिनसे आप समस्या का समाधान कर सकते हैं;

· प्राप्त या सारांशित परिणामों का विश्लेषण।

आर्थिक विश्लेषण को मुख्य रूप से कारक विश्लेषण के रूप में समझा जाता है।

मान लीजिए y = f (x i) कोई ऐसा फलन है जो किसी सूचक या प्रक्रिया में परिवर्तन को दर्शाता है; x 1, x 2,…, x n - वे कारक जिन पर फलन y = f (x i) निर्भर करता है। कारकों के एक सेट के साथ संकेतक y का एक कार्यात्मक नियतात्मक संबंध दिया गया है। माना संकेतक y विश्लेषण की गई अवधि में बदल गया है। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि फ़ंक्शन y = f (x 1, x 2,…, x n) की संख्यात्मक वृद्धि का कौन सा भाग प्रत्येक कारक की वृद्धि के कारण है।

आर्थिक विश्लेषण में प्रतिष्ठित किया जा सकता है - श्रम उत्पादकता के प्रभाव का विश्लेषण और उत्पादित उत्पादों की मात्रा पर काम करने वाले लोगों की संख्या; लाभप्रदता के स्तर पर अचल संपत्तियों और सामान्यीकृत कार्यशील पूंजी के लाभ मूल्य के प्रभाव का विश्लेषण; उद्यम की चपलता और स्वतंत्रता आदि पर उधार ली गई धनराशि के प्रभाव का विश्लेषण।

आर्थिक विश्लेषण में, उन कार्यों के अलावा जो इसे अपने घटक भागों में तोड़ने के लिए आते हैं, ऐसे कार्यों का एक समूह होता है जहां कई आर्थिक विशेषताओं को कार्यात्मक रूप से जोड़ने की आवश्यकता होती है, अर्थात। एक ऐसे फ़ंक्शन का निर्माण करें जिसमें सभी माने जाने वाले आर्थिक संकेतकों की मुख्य गुणवत्ता हो।

इस मामले में, एक व्युत्क्रम समस्या उत्पन्न होती है - तथाकथित व्युत्क्रम तथ्यात्मक विश्लेषण समस्या।

मान लीजिए कि कुछ आर्थिक प्रक्रिया F को दर्शाने वाले संकेतक x 1, x 2,…, x n का एक सेट है। प्रत्येक संकेतक इस प्रक्रिया की विशेषता है। सभी संकेतकों x 1, x 2, ..., x n की मुख्य विशेषताओं वाले F प्रक्रिया में परिवर्तनों के एक फ़ंक्शन f (x i) का निर्माण करना आवश्यक है।

आर्थिक विश्लेषण में मुख्य बिंदु एक मानदंड की परिभाषा है जिसके द्वारा विभिन्न समाधानों की तुलना की जाएगी।

प्रबंधन में गणितीय मॉडल। मानव गतिविधि के सभी क्षेत्रों में निर्णय लेना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। निर्णय लेने की समस्या तैयार करने के लिए, दो शर्तों को पूरा करना होगा:

· पसंद की उपलब्धता;

एक निश्चित सिद्धांत के अनुसार विकल्प का चुनाव।

समाधान चुनने के लिए दो ज्ञात सिद्धांत हैं: स्वैच्छिक और मानदंड।

सशर्त विकल्प, जिसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, का उपयोग औपचारिक मॉडल की अनुपस्थिति में एकमात्र संभव के रूप में किया जाता है।

मानदंड पसंद में एक निश्चित मानदंड को स्वीकार करना और इस मानदंड के अनुसार संभावित विकल्पों की तुलना करना शामिल है। जिस विकल्प के लिए अपनाया गया मानदंड सबसे अच्छा निर्णय लेता है उसे इष्टतम कहा जाता है, और सबसे अच्छा निर्णय लेने की समस्या को अनुकूलन समस्या कहा जाता है।

अनुकूलन मानदंड को उद्देश्य फ़ंक्शन कहा जाता है।

कोई भी समस्या, जिसका समाधान वस्तुनिष्ठ फलन के अधिकतम या न्यूनतम ज्ञात करने तक सीमित कर दिया जाता है, चरम समस्या कहलाती है।

प्रबंधन कार्य इसके चर पर लगाए गए ज्ञात बाधाओं के तहत उद्देश्य फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने से जुड़े हैं।

विभिन्न अनुकूलन समस्याओं को हल करते समय, वस्तुनिष्ठ कार्य को उत्पादों की मात्रा या लागत, उत्पादन लागत, लाभ की मात्रा आदि के रूप में लिया जाता है। सीमाएं आमतौर पर मानव सामग्री, वित्तीय संसाधनों से संबंधित होती हैं।

अनुकूलन प्रबंधन कार्य, सामग्री में भिन्न और मानक सॉफ़्टवेयर उत्पादों का उपयोग करके कार्यान्वित, आर्थिक और गणितीय मॉडल के एक या दूसरे वर्ग के अनुरूप हैं।

उत्पादन में प्रबंधन द्वारा कार्यान्वित कुछ मुख्य अनुकूलन समस्याओं के वर्गीकरण पर विचार करें।

नियंत्रण कार्य द्वारा अनुकूलन समस्याओं का वर्गीकरण:

नियंत्रण समारोह	अनुकूलन कार्य	आर्थिक और गणितीय मॉडल का वर्ग
उत्पादन की तकनीकी और संगठनात्मक तैयारी	उत्पादों की संरचना मॉडलिंग; ग्रेड, चार्ज, मिश्रण की संरचना का अनुकूलन; शीट सामग्री, लुढ़का उत्पादों को काटने का अनुकूलन; कार्य पैकेजों के नेटवर्क मॉडल में संसाधन आवंटन का अनुकूलन; उद्यमों, उद्योगों और उपकरणों के लेआउट का अनुकूलन; उत्पादों के निर्माण के लिए मार्ग का अनुकूलन; प्रौद्योगिकियों और तकनीकी मोड का अनुकूलन।	ग्राफ सिद्धांत असतत प्रोग्रामिंग रैखिक प्रोग्रामिंग नेटवर्क योजना और प्रबंधन सिमुलेशन मॉडलिंग गतिशील प्रोग्रामिंग गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग
तकनीकी और आर्थिक योजना	एक समेकित योजना का निर्माण और उद्यम विकास के पूर्वानुमान संकेतक; ऑर्डर पोर्टफोलियो और उत्पादन कार्यक्रम का अनुकूलन; योजना अवधि के लिए उत्पादन कार्यक्रम के वितरण का अनुकूलन।	मैट्रिक्स बैलेंस मॉडल "इनपुट-आउटपुट" सह - संबंध- प्रतिगमन विश्लेषण प्रवृत्तियों का विस्तार रैखिक प्रोग्रामिंग
मुख्य उत्पादन का परिचालन प्रबंधन	शेड्यूलिंग मानकों का अनुकूलन; कैलेंडर कार्य; मानक योजनाओं का अनुकूलन; अल्पकालिक उत्पादन योजनाओं का अनुकूलन।	गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग सिमुलेशन मॉडलिंग रैखिक प्रोग्रामिंग पूर्णांक प्रोग्रामिंग

तालिका एक।

मॉडल के विभिन्न तत्वों का संयोजन अनुकूलन समस्याओं के विभिन्न वर्गों की ओर जाता है:

तालिका 2।

1.1 आर्थिक और गणितीय मॉडल का वर्गीकरण

आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं के प्रबंधन में उपयोग के लिए आवश्यक प्रकार, प्रकार के आर्थिक और गणितीय मॉडल की एक महत्वपूर्ण विविधता है। आर्थिक और गणितीय मॉडल में विभाजित हैं: मैक्रोइकॉनॉमिक और माइक्रोइकॉनॉमिक, नकली नियंत्रण वस्तु के स्तर के आधार पर, गतिशील, जो समय के साथ नियंत्रण वस्तु में परिवर्तन की विशेषता है, और स्थिर, जो विभिन्न मापदंडों के बीच संबंध का वर्णन करता है, वस्तु के संकेतक उस समय। असतत मॉडल समय में अलग, निश्चित बिंदुओं पर नियंत्रण वस्तु की स्थिति प्रदर्शित करते हैं। सिमुलेशन आर्थिक और गणितीय मॉडल को संदर्भित करता है जिसका उपयोग सूचना और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके नियंत्रित आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है। मॉडलों में उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण के प्रकार से, आर्थिक और सांख्यिकीय, रैखिक और गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल, मैट्रिक्स मॉडल, नेटवर्क मॉडल हैं।

कारक मॉडल। आर्थिक और गणितीय कारक मॉडल के समूह में ऐसे मॉडल शामिल होते हैं, जिनमें एक ओर, आर्थिक कारक शामिल होते हैं, जिस पर नियंत्रित आर्थिक वस्तु की स्थिति निर्भर करती है, और दूसरी ओर, इन कारकों पर निर्भर वस्तु की स्थिति के पैरामीटर। यदि कारक ज्ञात हैं, तो मॉडल आपको वांछित पैरामीटर निर्धारित करने की अनुमति देता है। कारक मॉडल अक्सर गणितीय रूप से सरल रैखिक या स्थिर कार्यों द्वारा प्रदान किए जाते हैं जो कारकों और उन पर निर्भर एक आर्थिक वस्तु के मापदंडों के बीच संबंध की विशेषता रखते हैं।

संतुलन मॉडल। बैलेंस मॉडल, सांख्यिकीय और गतिशील दोनों, आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। इन मॉडलों का निर्माण संतुलन विधि पर आधारित है - सामग्री, श्रम और वित्तीय संसाधनों और उनके लिए जरूरतों की पारस्परिक तुलना की विधि। आर्थिक प्रणाली को समग्र रूप से वर्णित करते हुए, इसके संतुलन मॉडल को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत आर्थिक वस्तुओं द्वारा निर्मित उत्पादों की मात्रा और इन उत्पादों की कुल मांग के बीच संतुलन की आवश्यकता को व्यक्त करता है। इस दृष्टिकोण के साथ, आर्थिक प्रणाली में आर्थिक संस्थाएं होती हैं, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित उत्पाद का उत्पादन करती है। यदि "उत्पाद" की अवधारणा के बजाय हम "संसाधन" की अवधारणा को पेश करते हैं, तो संतुलन मॉडल को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में समझा जाना चाहिए जो एक निश्चित संसाधन और उसके उपयोग के बीच आवश्यकताओं को पूरा करता है।

संतुलन मॉडल के सबसे महत्वपूर्ण प्रकार हैं:

संपूर्ण अर्थव्यवस्था और उसके व्यक्तिगत क्षेत्रों के लिए सामग्री, श्रम और वित्तीय संतुलन;

· अंतर-उद्योग संतुलन;

उद्यमों और फर्मों का मैट्रिक्स बैलेंस।

अनुकूलन मॉडल। अनुकूलन मॉडल द्वारा आर्थिक और गणितीय मॉडल का एक बड़ा वर्ग बनता है जो आपको सभी समाधानों में से सबसे अच्छा इष्टतम विकल्प चुनने की अनुमति देता है। गणितीय सामग्री में, इष्टतमता को इष्टतमता मानदंड के चरम पर पहुंचने के रूप में समझा जाता है, जिसे उद्देश्य फ़ंक्शन भी कहा जाता है। अनुकूलन मॉडल का उपयोग अक्सर आर्थिक संसाधनों का उपयोग करने का सबसे अच्छा तरीका खोजने के कार्यों में किया जाता है, जो आपको अधिकतम लक्ष्य प्रभाव प्राप्त करने की अनुमति देता है। गणितीय प्रोग्रामिंग का गठन प्लाईवुड शीट्स के इष्टतम काटने की समस्या को हल करने के आधार पर किया गया था, जो सामग्री का सबसे पूर्ण उपयोग सुनिश्चित करता है। इस तरह की समस्या को स्थापित करने के बाद, प्रसिद्ध रूसी गणितज्ञ और अर्थशास्त्री, शिक्षाविद एल.वी. कांटोरोविच को अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार के योग्य माना गया।

2. अनुकूलन मॉडलिंग

2.1 रैखिक प्रोग्रामिंग

2.1.1 अर्थव्यवस्था के गणितीय मॉडलिंग के लिए एक उपकरण के रूप में रैखिक प्रोग्रामिंग

रेखीय असमानताओं की सामान्य प्रणाली के गुणों का अध्ययन 19वीं शताब्दी के बाद से किया गया है, और रैखिक उद्देश्य समारोह और रैखिक बाधाओं के साथ पहली अनुकूलन समस्या 20वीं शताब्दी के 30 के दशक में तैयार की गई थी। रैखिक प्रोग्रामिंग की नींव रखने वाले पहले विदेशी वैज्ञानिकों में से एक, प्रसिद्ध गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी जॉन वॉन न्यूमैन थे, जिन्होंने मैट्रिक्स गेम पर मुख्य प्रमेय साबित किया था। रूसी वैज्ञानिकों के बीच, रैखिक अनुकूलन के सिद्धांत में एक महान योगदान नोबेल पुरस्कार विजेता एल.वी. कांटोरोविच, एन.एन. मोइसेव, ई.जी. होल्स्टीन, डी.बी. युदिन और कई अन्य।

रैखिक प्रोग्रामिंग को पारंपरिक रूप से संचालन अनुसंधान की शाखाओं में से एक माना जाता है, जो कई चर के कार्यों के सशर्त चरम को खोजने के तरीकों का अध्ययन करता है।

शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण में, सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या के सामान्य सूत्रीकरण की जांच की जाती है, हालांकि, औद्योगिक उत्पादन, परिवहन, कृषि-औद्योगिक परिसर और बैंकिंग क्षेत्र के विकास के कारण, गणितीय विश्लेषण के पारंपरिक परिणाम बदल गए हैं। अपर्याप्त होना। अभ्यास की जरूरतों और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास ने जटिल आर्थिक प्रणालियों के विश्लेषण में इष्टतम समाधान निर्धारित करने की आवश्यकता को जन्म दिया है। ऐसी समस्याओं को हल करने का मुख्य उपकरण गणितीय मॉडलिंग है, अर्थात। एक गणितीय उपकरण का उपयोग करके अध्ययन और उसके अध्ययन के तहत प्रक्रिया का औपचारिक विवरण।

गणितीय मॉडलिंग की कला यथासंभव सरल संबंधों का उपयोग करते हुए, किसी वस्तु के व्यवहार को प्रभावित करने वाले कारकों की व्यापक संभव सीमा को ध्यान में रखना है। यह इस संबंध में है कि मॉडलिंग प्रक्रिया अक्सर प्रकृति में बहु-चरणीय होती है। सबसे पहले, एक अपेक्षाकृत सरल मॉडल बनाया जाता है, फिर उसका अध्ययन किया जाता है, जिससे यह समझना संभव हो जाता है कि इस औपचारिक योजना द्वारा वस्तु के कौन से एकीकृत गुणों पर कब्जा नहीं किया जाता है, जिसके बाद, मॉडल की जटिलता के कारण, इसकी वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्तता सुनिश्चित की जाती है। इसके अलावा, कई मामलों में, वास्तविकता का पहला सन्निकटन एक ऐसा मॉडल है जिसमें वस्तु की स्थिति को दर्शाने वाले चर के बीच सभी संबंध रैखिक होते हैं। अभ्यास से पता चलता है कि एक महत्वपूर्ण संख्या में आर्थिक प्रक्रियाओं को रैखिक मॉडल द्वारा पर्याप्त रूप से पूरी तरह से वर्णित किया गया है, और इसलिए, रैखिक प्रोग्रामिंग एक उपकरण के रूप में है जो रैखिक समीकरणों और असमानताओं द्वारा दिए गए सेट पर एक सशर्त चरम को खोजने की अनुमति देता है, विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इन प्रक्रियाओं।

2.1.2 रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल के उदाहरण

नीचे हम कई स्थितियों पर विचार करेंगे, जिनका अध्ययन रैखिक प्रोग्रामिंग टूल का उपयोग करके संभव है। चूंकि इन स्थितियों में मुख्य संकेतक आर्थिक - लागत है, इसलिए संबंधित मॉडल आर्थिक और गणितीय हैं।

सामग्री काटने की समस्या। एक नमूने की सामग्री d इकाइयों की मात्रा में प्रसंस्करण के लिए प्राप्त होती है। इसके विभिन्न घटकों को संख्या a 1, ..., a k के समानुपाती मात्रा में बनाना आवश्यक है। सामग्री की प्रत्येक इकाई को i-th विधि (i = 1, . .., n) b ij देता है, j-वें उत्पाद की इकाइयाँ (j = 1, ..., k)।

एक काटने की योजना खोजने की आवश्यकता है जो सेट की अधिकतम संख्या प्रदान करे।

इस समस्या का आर्थिक और गणितीय मॉडल निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। आइए x i - सामग्री की इकाइयों की संख्या, i-th विधि द्वारा कटौती, और x - उत्पादों के निर्मित सेटों की संख्या को नामित करें।

यह देखते हुए कि सामग्री की कुल मात्रा इसकी इकाइयों के योग के बराबर है, विभिन्न तरीकों से काटी जाती है, हम प्राप्त करते हैं:

पूर्णता की स्थिति समीकरणों द्वारा व्यक्त की जाती है:

जाहिर सी बात है

x i 0 (i = 1, ..., n) (3)

लक्ष्य ऐसे समाधान X = (x 1, ..., x n) को निर्धारित करना है जो बाधाओं (1) - (3) को संतुष्ट करता है, जिस पर फ़ंक्शन F = x अपना अधिकतम मान लेता है। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ विचार की गई समस्या का वर्णन करें। 1.5 मीटर, 3 मीटर और 5 मीटर की लंबाई वाले बीम के निर्माण के लिए 2: 1: 3 के अनुपात में, 6 मीटर की लंबाई वाले 200 लॉग काटने के लिए काटे जाते हैं। कटिंग प्लान निर्धारित करें जो सेट की अधिकतम संख्या प्रदान करता है। रैखिक प्रोग्रामिंग की संबंधित अनुकूलन समस्या को तैयार करने के लिए, आइए हम लॉग को काटने के सभी संभावित तरीकों को परिभाषित करें, जो इस मामले में प्राप्त बीमों की संख्या को दर्शाता है (तालिका 1)।

तालिका एक

आइए x i द्वारा निरूपित करें - i-th विधि द्वारा देखे गए लॉग की संख्या (i = 1.2, 3, 4); x बार के सेट की संख्या है।

यह ध्यान में रखते हुए कि सभी लॉग को देखा जाना चाहिए, और प्रत्येक आकार के बीम की संख्या पूर्णता की स्थिति को पूरा करना चाहिए, अनुकूलन आर्थिक और गणितीय मॉडल निम्न रूप x> अधिकतम बाधाओं के तहत लेगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 = 200

एक्स मैं 0 (मैं = 1,2,3,4)

उद्यम का इष्टतम उत्पादन कार्यक्रम चुनने की समस्या। उद्यम को विभिन्न प्रकार के उत्पादों का निर्माण करने में सक्षम होने दें। इस प्रकार के उत्पादों के उत्पादन के लिए, उद्यम एम प्रकार के भौतिक संसाधनों और एन प्रकार के उपकरणों का उपयोग करता है। उद्यम के सकल लाभ को अधिकतम करने के लिए दिए गए नियोजन अंतराल पर उद्यम के उत्पादन की मात्रा (अर्थात इसका उत्पादन कार्यक्रम) निर्धारित करना आवश्यक है।

जहां a i प्रकार के उत्पादों का विक्रय मूल्य है;

b i - प्रकार i के आउटपुट की एक इकाई की रिहाई के लिए परिवर्तनीय लागत;

Zp - सशर्त रूप से निश्चित लागत, जिसे वेक्टर x = (x 1, ..., x n) से स्वतंत्र माना जाएगा।

उसी समय, उपयोग की जाने वाली सामग्री और कच्चे माल की मात्रा और अंतराल में उपकरण के उपयोग के समय पर प्रतिबंध को पूरा किया जाना चाहिए।

आइए हम एलजे (जे = एल, ..., एम) द्वारा फॉर्म जे के भौतिक संसाधनों के स्टॉक की मात्रा, और एफके (के = 1, ..., एन) द्वारा निरूपित करें - वह समय जिसके दौरान उपकरण के उपकरण फार्म के. i प्रकार के उत्पाद की एक इकाई के उत्पादन के लिए j प्रकार के भौतिक संसाधनों की खपत ज्ञात है, जिसे हम l ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., M) द्वारा निरूपित करते हैं। यह भी जाना जाता है t ik - प्रकार i (i = 1, ..., n; k = 1, ..., N) के उत्पादन की एक इकाई के निर्माण के लिए प्रकार k के उपकरण के एक टुकड़े का लोडिंग समय। . m k से हम k (k = l, ..., N) के रूप में उपकरणों के टुकड़ों की संख्या को निरूपित करते हैं।

शुरू किए गए पदनामों के साथ, उपभोग की गई सामग्री और कच्चे माल की मात्रा पर प्रतिबंध निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

उत्पादन क्षमता पर बाधाएं निम्नलिखित असमानताओं द्वारा दी गई हैं:

इसके अलावा, चर

एक्स मैं? 0 मैं = 1, ..., एन (7)

इस प्रकार, लाभ को अधिकतम करने वाले उत्पादन कार्यक्रम को चुनने की समस्या में ऐसा योजना आउटपुट x = (x 1 ..., x n) चुनना शामिल है जो बाधाओं (5) - (7) को संतुष्ट करेगा और फ़ंक्शन (4) को अधिकतम करेगा।

कुछ मामलों में, उद्यम को अन्य आर्थिक संस्थाओं को उत्पादन वीटी के पहले से सहमत संस्करणों की आपूर्ति करनी चाहिए, और फिर विचाराधीन मॉडल में, प्रतिबंध (1.7) के बजाय, फॉर्म के प्रतिबंध को शामिल किया जा सकता है:

एक्स टी> वीटी मैं = 1, ..., एन।

आहार की समस्या। एक न्यूनतम लागत प्रति दिन के आहार को संकलित करने की समस्या पर विचार करें जिसमें आवश्यक मात्रा में कुछ पोषक तत्व हों। हम मान लेंगे कि n नामों (रोटी, चीनी, मक्खन, दूध, मांस, आदि) के उत्पादों की एक ज्ञात सूची है, जिसे हम F 1, ..., F n अक्षरों से निरूपित करेंगे। इसके अलावा, प्रोटीन, वसा, विटामिन, खनिज और अन्य जैसे खाद्य पदार्थों (पोषक तत्वों) की विशेषताओं पर विचार किया जाता है। आइए इन घटकों को N 1, ..., N m अक्षरों से निरूपित करें। मान लीजिए कि प्रत्येक उत्पाद F के लिए यह ज्ञात है (i = 1, ..., n) उपरोक्त घटकों के उत्पाद की एक इकाई में मात्रात्मक सामग्री। इस मामले में, आप उत्पादों की विशेषताओं वाली एक तालिका बना सकते हैं:

एफ 1, एफ 2,… एफ जे… एफ एन

एन 1 ए 11 ए 12… ए 1जे… ए 1एन

एन 2 ए 21 ए 22… ए 2जे… ए 2एन

एन आई ए आई1 ए आई2… ए आईजे… ए आईएन

एन एम ए एम1 ए एम2… ए एमजे… ए एमएन

इस तालिका के तत्व m पंक्तियों और n स्तंभों के साथ एक मैट्रिक्स बनाते हैं। आइए हम इसे A से निरूपित करते हैं और इसे पोषण मैट्रिक्स कहते हैं। मान लीजिए कि हमने एक निश्चित अवधि (उदाहरण के लिए, एक महीने) के लिए राशन x = (x 1, x 2, ..., x n) बनाया है। दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक व्यक्ति को एक महीने x, उत्पाद F की इकाइयों (किलोग्राम), उत्पाद F 2 की x 2 इकाइयों, आदि की योजना बनाते हैं। इस अवधि के दौरान एक व्यक्ति को कितने विटामिन, वसा, प्रोटीन और अन्य पोषक तत्व प्राप्त होंगे, इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, इस आहार में घटक एन 1 मात्रा में मौजूद है

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n

चूंकि उत्पाद की एक्स 1 इकाइयों में स्थिति के अनुसार पोषण मैट्रिक्स के अनुसार एफ 1 में घटक एन 1 की 11 x 1 इकाइयां होती हैं; इस राशि में उत्पाद F 2, आदि की x 2 इकाइयों से पदार्थ N 1 का एक भाग 12 x 2 जोड़ा जाता है। इसी तरह, आप तैयार आहार (x 1, ..., x n) में अन्य सभी पदार्थों N i की मात्रा निर्धारित कर सकते हैं।

आइए मान लें कि नियोजित अवधि में N i (i / = 1, ..., N) में पोषक तत्वों की आवश्यक मात्रा के संबंध में कुछ शारीरिक आवश्यकताएं हैं। इन आवश्यकताओं को वेक्टर b = (b 1 ..., b n) द्वारा दिया जाता है, जिसका i-th घटक b i आहार में घटक N i की न्यूनतम आवश्यक सामग्री को इंगित करता है। इसका मतलब यह है कि वेक्टर x के गुणांक x i को बाधाओं की निम्नलिखित प्रणाली को पूरा करना चाहिए:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n? b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2n x n? b 2 (8)

ए एम1 एक्स 1 + ए एम2 एक्स 2 +… + ए एमएन एक्स एन? बी एम

इसके अलावा, समस्या के सार्थक अर्थ से, यह स्पष्ट है कि सभी चर x 1, ..., x n गैर-ऋणात्मक हैं और इसलिए असमानताओं को बाधाओं (8) में जोड़ा जाता है।

एक्स 1? 0; एक्स 2? 0; ... एक्स एन? 0; (नौ)

यह ध्यान में रखते हुए कि ज्यादातर मामलों में प्रतिबंध (8) और (9) असीम रूप से कई राशन से संतुष्ट हैं, हम न्यूनतम लागत वाले एक को चुनेंगे।

मान लीजिए उत्पादों F 1, ..., F n की कीमतें क्रमशः 1, ..., c n . के बराबर हैं

अतः संपूर्ण आहार की लागत x = (x 1 ..., x n) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 +… + सी एन एक्स एन> मिनट (10)

आहार समस्या का अंतिम सूत्रीकरण यह है कि सभी वैक्टर x = (x 1, ..., x n) संतोषजनक बाधाओं (8) और (9) में से एक को चुनें, जिसके लिए उद्देश्य फ़ंक्शन (10) न्यूनतम मान लेता है।

परिवहन समस्या। एक सजातीय उत्पाद (कोयला, सीमेंट, तेल, आदि) के उत्पादन के लिए एम अंक एस 1, ..., एस एम हैं, जबकि बिंदु एस पर उत्पादन की मात्रा आई इकाइयों के बराबर है। उत्पादित उत्पाद का उपभोग बिंदु Q 1 ... Q n पर किया जाता है और बिंदु Q j पर इसकी मांग k j इकाई (j = 1, ..., n) है। उत्पाद bj की जरूरतों को पूरा करने के लिए बिंदु S i (i = 1, ..., m) से बिंदु Q j (j = 1, ..., n) तक परिवहन योजना तैयार करना आवश्यक है। परिवहन लागत को कम करना।

मान लीजिए उत्पाद की एक इकाई को बिंदु S i से बिंदु Q i तक ले जाने की लागत c ij के बराबर है। हम आगे यह मानेंगे कि किसी उत्पाद की x ij इकाइयों को S i से Q j तक ले जाने पर, परिवहन लागत c ij x ij के बराबर होती है।

चलो एक परिवहन योजना को संख्याओं का एक समूह कहते हैं x ij c i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, बाधाओं को संतुष्ट करना:

x ij? 0, मैं = 1,2, ..., मी; जे = 1,…, एन (11)

परिवहन योजना (x ij) के साथ, परिवहन लागत की राशि होगी

परिवहन समस्या का अंतिम रूप इस प्रकार है: संख्याओं के सभी सेटों (х ij) संतोषजनक बाधाओं (11) के बीच, एक ऐसा सेट खोजें जो कम से कम (12) हो।

2.1.3 इष्टतम संसाधन आवंटन

इस अध्याय में चर्चा की गई समस्याओं के वर्ग में कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

सामान्य शब्दों में, इन कार्यों को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। संसाधनों की एक निश्चित मात्रा होती है, जिसे मौद्रिक निधि, भौतिक संसाधन (उदाहरण के लिए, कच्चे माल, अर्ध-तैयार उत्पाद, श्रम संसाधन, विभिन्न प्रकार के उपकरण, आदि) के रूप में समझा जा सकता है। इन संसाधनों को उनके उपयोग की विभिन्न वस्तुओं के बीच नियोजन अवधि के अलग-अलग अंतराल पर या अलग-अलग वस्तुओं के लिए अलग-अलग अंतराल पर वितरित किया जाना चाहिए ताकि चुनी हुई वितरण पद्धति से अधिकतम कुल दक्षता प्राप्त हो सके। दक्षता का एक संकेतक हो सकता है, उदाहरण के लिए, लाभ, कमोडिटी आउटपुट, परिसंपत्तियों पर वापसी (अधिकतमकरण कार्य) या कुल लागत, प्रमुख लागत, किसी दिए गए कार्य का निष्पादन समय, आदि। (न्यूनतम कार्य)।

सामान्यतया, गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं का भारी बहुमत इष्टतम संसाधन आवंटन की समस्या के सामान्य निरूपण में फिट बैठता है। स्वाभाविक रूप से, डीपी विधि द्वारा ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए मॉडल और कम्प्यूटेशनल योजनाओं पर विचार करते समय, संसाधन आवंटन समस्या के सामान्य रूप को ठोस बनाना आवश्यक है।

इस प्रकार, हम मान लेंगे कि डीपी मॉडल के निर्माण के लिए आवश्यक शर्तें समस्या में संतुष्ट हैं। आइए सामान्य शब्दों में एक विशिष्ट संसाधन आवंटन समस्या का वर्णन करें।

समस्या 1. एक प्रारंभिक राशि है जिसे उद्यमों के बीच n वर्षों में वितरित किया जाना चाहिए। फंड (k = 1, 2,…, n; i = 1,…, s) kवें वर्ष में i-वें उद्यम को आवंटित राशि में आय लाते हैं और वर्ष के अंत तक मात्रा में वापस कर दिए जाते हैं। आय के बाद के वितरण में या तो भाग ले सकते हैं (आंशिक रूप से या पूरी तरह से), या भाग नहीं ले सकते।

संसाधन आवंटन की ऐसी विधि (प्रत्येक नियोजन वर्ष में प्रत्येक उद्यम को आवंटित धन की राशि) को निर्धारित करना आवश्यक है ताकि n वर्षों के लिए उद्यमों से कुल आय अधिकतम हो।

नतीजतन, उद्यमों से प्राप्त कुल आय को n वर्षों के लिए संसाधन आवंटन प्रक्रिया की दक्षता के संकेतक के रूप में लिया जाता है:

kवें वर्ष की शुरुआत में संसाधनों की संख्या मूल्य (राज्य पैरामीटर) द्वारा विशेषता होगी। k-वें चरण में प्रबंधन में i-वें कंपनी को k-वें वर्ष में आवंटित संसाधनों को दर्शाने वाले चरों का चुनाव होता है।

यदि हम यह मान लें कि आय आगे के वितरण में भाग नहीं लेती है, तो प्रक्रिया की स्थिति के समीकरण का रूप है

यदि आय का कुछ हिस्सा किसी भी वर्ष में आगे वितरण में भाग लेता है, तो संबंधित मूल्य समानता (4.2) के दाहिने हाथ में जोड़ा जाता है।

एनएस गैर-ऋणात्मक चर संतोषजनक स्थितियों (4.2) और अधिकतम कार्य (4.1) को निर्धारित करना आवश्यक है।

कम्प्यूटेशनल डीपी प्रक्रिया n - k + 1 वर्ष में प्राप्त आय को दर्शाने वाले फ़ंक्शन की शुरूआत के साथ शुरू होती है, kth वर्ष से शुरू होकर विचाराधीन अवधि के अंत तक, उद्यमों के बीच धन के इष्टतम वितरण के साथ, यदि धन थे kth वर्ष में वितरित किया गया। k = 1, 2, ... n-1 के फलन कार्यात्मक समीकरण (2.2) को संतुष्ट करते हैं, जिन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है:

k = n के लिए, (2.2) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

अगला, सभी संभव (k = n - 1, n - 2, 1) के लिए समीकरणों (4.4) और (4.3) को क्रमिक रूप से हल करना आवश्यक है। इनमें से प्रत्येक समीकरण एक फ़ंक्शन के लिए एक अनुकूलन समस्या है जो s चर पर निर्भर करता है। इस प्रकार, ns चर के साथ एक समस्या n समस्याओं के अनुक्रम में कम हो जाती है, जिनमें से प्रत्येक में s चर होते हैं। इस सामान्य सेटिंग में, समस्या अभी भी कठिन है (इसकी बहुआयामीता के कारण), और इस मामले में इसे एनएस-चरण समस्या के रूप में मानते हुए इसे सरल बनाना असंभव है। वास्तव में, आइए इसे करने का प्रयास करें। आइए पहले वर्ष में उद्यमों की संख्या के आधार पर चरणों की संख्या दें, फिर दूसरे वर्ष में, आदि:

और हम धन के संतुलन को चिह्नित करने के लिए एक पैरामीटर का उपयोग करेंगे।

kth वर्ष के दौरान, राज्य "किसी भी चरण s (k-1) _ + i (i = 1,2,…, s) की शुरुआत से एक साधारण समीकरण का उपयोग करके पिछले राज्य द्वारा निर्धारित किया जाएगा। हालांकि, एक के बाद वर्ष, अर्थात्, अगले वर्ष की शुरुआत तक, नकदी में धन जोड़ना आवश्यक होगा और इसलिए, (केएस + 1) वें चरण की शुरुआत में राज्य न केवल पिछले केएस पर निर्भर करेगा- राज्य, लेकिन पिछले वर्ष के लिए सभी राज्यों और नियंत्रणों पर भी। परिणामस्वरूप, हमें परिणाम के साथ एक प्रक्रिया मिलती है। परिणाम को बाहर करने के लिए, हमें राज्यों के कई मानकों को पेश करना होगा, प्रत्येक चरण में समस्या अभी भी जटिल है क्योंकि बहुआयामीता।

समस्या 2। दो उद्यमों (एस = 2) की गतिविधि की योजना n वर्षों के लिए है। प्रारंभिक निधि हैं। फंड x उद्यम में निवेश किया I वर्ष के अंत तक आय f 1 (x) लाता है और राशि में उसी तरह वापसी करता है, उद्यम II में निवेश किए गए फंड x आय f 2 (x) देते हैं और राशि में वापसी करते हैं। वर्ष के अंत में, सभी शेष धनराशि को उद्यमों I और II के बीच फिर से पुनर्वितरित किया जाता है, नए धन प्राप्त नहीं होते हैं और आय उत्पादन में निवेश नहीं की जाती है।

उपलब्ध धन के वितरण का इष्टतम तरीका खोजना आवश्यक है।

हम एक एन-स्टेप प्रक्रिया के रूप में धन आवंटित करने की प्रक्रिया पर विचार करेंगे, जिसमें चरण संख्या वर्ष संख्या से मेल खाती है। प्रबंधित प्रणाली - दो उद्यम जिनमें धन का निवेश किया गया है। सिस्टम को एक राज्य पैरामीटर की विशेषता है - धन की राशि जिसे k-वें वर्ष की शुरुआत में पुनर्वितरित किया जाना चाहिए। प्रत्येक चरण में दो नियंत्रण चर होते हैं: - उद्यम I और II को क्रमशः आवंटित धन की राशि। चूंकि फंड पूरी तरह से सालाना पुनर्वितरित होते हैं, तब)। प्रत्येक चरण के लिए, समस्या एक आयामी हो जाती है। हम तब से निरूपित करते हैं

k-वें चरण का दक्षता सूचक है। यह k-वें वर्ष के दौरान दो उद्यमों से प्राप्त आय है।

कार्य की प्रभावशीलता का सूचक - n वर्षों के दौरान दो उद्यमों से प्राप्त आय - is

राज्य का समीकरण k-वें चरण के बाद धन के संतुलन को व्यक्त करता है और इसका रूप है

दो उद्यमों के बीच n - k + 1 वर्ष के लिए धन के वितरण से प्राप्त सशर्त इष्टतम आय होने दें, kth वर्ष से शुरू होकर विचाराधीन अवधि के अंत तक। आइए इन कार्यों के लिए पुनरावर्तन संबंध लिखें:

जहां - राज्य के समीकरण (4.6) से निर्धारित होता है।

संसाधनों के असतत निवेश के साथ, नियंत्रण चर को बदलने में चरण Dx के चुनाव के बारे में सवाल उठ सकता है। गणना की आवश्यक सटीकता और मूल डेटा की सटीकता के आधार पर इस चरण को निर्दिष्ट या निर्धारित किया जा सकता है। सामान्य स्थिति में, यह कार्य कठिन होता है, इसके लिए गणना के पिछले चरणों में तालिकाओं के अनुसार प्रक्षेप की आवश्यकता होती है। कभी-कभी राज्य के समीकरण का प्रारंभिक विश्लेषण आपको उपयुक्त चरण Dx चुनने की अनुमति देता है, साथ ही उस सीमा मान को भी निर्धारित करता है जिसके लिए आपको प्रत्येक चरण में सारणीबद्ध करने की आवश्यकता होती है।

पिछले एक के समान दो-आयामी समस्या पर विचार करें, जिसमें संसाधन आवंटन प्रक्रिया के डीपी का एक असतत मॉडल बनाया गया है।

कार्य 3. निम्नलिखित शर्तों के तहत तीन साल की योजना अवधि के दौरान दो उद्यमों के बीच धन के वार्षिक वितरण के लिए एक इष्टतम योजना तैयार करें:

1) प्रारंभिक राशि 400 है;

2) x की राशि में निवेशित धन उद्यम I आय f 1 (x) में लाता है और 60% x की राशि में लौटाता है, और उद्यम II में - क्रमशः f2 (x) और 20%;

3) लौटाई गई धनराशि से प्राप्त सभी नकद वार्षिक रूप से वितरित किए जाते हैं:

4) फलन f1 (x) और f2 (x) तालिका में दिए गए हैं। 1:

इस कार्य का गतिशील प्रोग्रामिंग मॉडल कार्य 1 में संकलित मॉडल के समान है।

प्रबंधन प्रक्रिया तीन-चरणीय है। पैरामीटर - kवें वर्ष में वितरित की जाने वाली धनराशि (k = l, 2, 3)। नियंत्रण चर kवें वर्ष में उद्यम I में निवेश किया गया धन है। के-वें वर्ष में उद्यम II में निवेश किए गए फंड नतीजतन, के-वें चरण में प्रबंधन प्रक्रिया एक पैरामीटर (एक-आयामी मॉडल) पर निर्भर करती है। राज्य का समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है

और रूप में कार्यात्मक समीकरण

आइए अधिकतम संभव मान निर्धारित करने का प्रयास करें जिसके लिए kth चरण (k = l, 2, 3) पर सारणीबद्ध करना आवश्यक है। पर = 400 समीकरण (4.8) से हम अधिकतम संभव मूल्य निर्धारित करते हैं, हमारे पास = 0.6 * 400 = 2400 (सभी फंड उद्यम I में निवेश किए जाते हैं)। इसी तरह, हम सीमित मान 0.6 * 240 = 144 प्राप्त करते हैं। मान लें कि परिवर्तन अंतराल सारणीबद्ध एक के साथ मेल खाता है, यानी डीएक्स = 50। आइए इस चरण में कुल लाभ की एक तालिका बनाएं:

इससे आगे की गणना में आसानी होगी। चूँकि तालिका के विकर्ण पर स्थित कोशिकाएँ तालिका की पहली पंक्ति (पहले कॉलम में) में दर्शाए गए समान मान के अनुरूप होती हैं। 2. तालिका की दूसरी पंक्ति में, f 1 (x) के मान दर्ज किए जाते हैं, और दूसरे कॉलम में - तालिका से लिए गए f 2 (y) के मान दर्ज किए जाते हैं। 1. तालिका की शेष कोशिकाओं में मान दूसरी पंक्ति में f 1 (x) और f 2 (y) को जोड़कर और दूसरे कॉलम में और के चौराहे पर कॉलम और पंक्ति के अनुरूप प्राप्त किया जाता है जिसमें यह सेल स्थित है। उदाहरण के लिए, = 150 के लिए हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है: 20 - x = 0 के लिए, y = 150; 18 - x = 50 के लिए, y = 100; 18 - x - 100 के लिए, y = 50; 15 - x = 150, y = 0 के लिए।

आइए सामान्य योजना के अनुसार सशर्त अनुकूलन करें। तीसरा चरण। मूल समीकरण (4.9)

जैसा की ऊपर कहा गया है,। आइए = 0 के संगत विकर्णों की संख्याओं को देखें; 50; 100; 150 और प्रत्येक विकर्ण पर सबसे बड़ा चुनें। यह ठीक है। पहली पंक्ति में, हम संबंधित सशर्त इष्टतम नियंत्रण पाते हैं। हम अनुकूलन डेटा को मुख्य तालिका (तालिका 4) में तीसरे चरण में रखेंगे। इसने कॉलम डीएक्स की शुरुआत की, जिसे आगे इंटरपोलेशन के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे चरण का अनुकूलन तालिका में किया गया है। 5 फॉर्म के समीकरण के अनुसार (4.10):

इस मामले में, अधिकतम आय प्राप्त की जा सकती है, Zmax = 99, l के बराबर। तालिका के अनुसार आय की प्रत्यक्ष गणना। 2 पाया गया इष्टतम नियंत्रण के लिए 97.2 देता है। परिणामों में 1.9 (लगभग 2%) की विसंगति को रैखिक प्रक्षेप की त्रुटि द्वारा समझाया गया है।

हमने इष्टतम संसाधन आवंटन की समस्या के लिए कई विकल्पों पर विचार किया है। इस कार्य के अन्य रूप भी हैं, जिनकी विशेषताओं को संबंधित गतिशील मॉडल द्वारा ध्यान में रखा जाता है।

निष्कर्ष

यह पाठ्यक्रम कार्य अर्थशास्त्र और प्रबंधन में उपयोग किए जाने वाले गणितीय मॉडल के प्रकारों के साथ-साथ उनके वर्गीकरण की जांच करता है।

कोर्स वर्क में ऑप्टिमाइजेशन मॉडलिंग पर विशेष ध्यान दिया जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल के निर्माण के सिद्धांत का अध्ययन किया जाता है, निम्नलिखित कार्यों के मॉडल भी दिए गए हैं:

· सामग्री काटने का कार्य;

· उद्यम के इष्टतम उत्पादन कार्यक्रम को चुनने का कार्य;

· आहार की समस्या;

· परिवहन समस्या।

पेपर असतत प्रोग्रामिंग समस्याओं की सामान्य विशेषताओं को प्रस्तुत करता है, इष्टतमता के सिद्धांत और बेलमैन के समीकरण का वर्णन करता है, मॉडलिंग प्रक्रिया का एक सामान्य विवरण प्रदान करता है।

मॉडल बनाने के लिए तीन कार्यों को चुना गया:

· इष्टतम संसाधन आवंटन की समस्या;

· इष्टतम सूची प्रबंधन की समस्या;

· प्रतिस्थापन समस्या।

बदले में, प्रत्येक कार्य के लिए, विभिन्न गतिशील प्रोग्रामिंग मॉडल बनाए गए हैं। व्यक्तिगत कार्यों के लिए, निर्मित मॉडल के अनुसार संख्यात्मक गणना दी जाती है।

ग्रन्थसूची:

1. वाविलोव वी.ए., ज़मीव ओ.ए., ज़मीवा ई.ई. संचालन अनुसंधान ई-मैनुअल

2. कलिखमन आई.एल., वोइटेंको एम.ए. "उदाहरणों और समस्याओं में गतिशील प्रोग्रामिंग", 1979

3. कोसोरुकोव ओ.ए., मिशचेंको ए.वी. संचालन अनुसंधान, 2003

4. इंटरनेट से सामग्री।

Allbest.ru . पर पोस्ट किया गया

इसी तरह के दस्तावेज

आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय विषयों के आर्थिक अनुप्रयोगों का अध्ययन: अर्थशास्त्र और प्रबंधन में गणितीय मॉडल का उपयोग। अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग के लिए एक उपकरण के रूप में रैखिक और गतिशील प्रोग्रामिंग मॉडल के उदाहरण।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 12/21/2010


बुनियादी अवधारणाएं और मॉडल के प्रकार, उनका वर्गीकरण और निर्माण का उद्देश्य। लागू आर्थिक और गणितीय तरीकों की विशेषताएं। आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरणों की सामान्य विशेषताएं। अर्थशास्त्र में स्टोकेस्टिक मॉडल का अनुप्रयोग।

सार 05/16/2012 को जोड़ा गया


रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का चित्रमय समाधान। सिंप्लेक्स पद्धति का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करना। आर्थिक समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रोग्रामिंग और आर्थिक और गणितीय विधियों के व्यावहारिक उपयोग की संभावनाएं।

टर्म पेपर 10/02/2014 को जोड़ा गया


मॉडलिंग आर्थिक प्रणाली: बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं। गणितीय मॉडल और उनकी गणना के तरीके। गणित से कुछ जानकारी। रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के उदाहरण। रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के तरीके।

व्याख्यान 06/15/2004 को जोड़ा गया


मिश्रण की आर्थिक और गणितीय समस्याओं की सैद्धांतिक नींव। आर्थिक और गणितीय मॉडल की एक एकीकृत प्रणाली के निर्माण और संरचना के सिद्धांत। एसईसी "रोडिना" के काम की संगठनात्मक और आर्थिक विशेषताओं और तकनीकी और आर्थिक संकेतक।

टर्म पेपर 04/01/2011 को जोड़ा गया


आर्थिक और गणितीय विधियों की सैद्धांतिक नींव। निर्णय लेने के चरण। अनुकूलन समस्याओं का वर्गीकरण। रैखिक, अरेखीय, उत्तल, द्विघात, पूर्णांक, पैरामीट्रिक, गतिशील और स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग की समस्याएं।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 05/07/2013


मॉडल की अवधारणा और प्रकार। गणितीय मॉडल के निर्माण के चरण। आर्थिक चर के संबंध के गणितीय मॉडलिंग के मूल तत्व। एक रेखीय एकतरफा प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का निर्धारण। अर्थशास्त्र में गणित के अनुकूलन के तरीके।

सार, जोड़ा गया 02/11/2011


विशिष्ट प्रबंधन मॉडल: आर्थिक और गणितीय मॉडल और उनके व्यावहारिक उपयोग के उदाहरण। विभिन्न प्रकार के मॉडलों को अधिक जटिल मॉडल डिजाइनों में एकीकृत करने की प्रक्रिया। प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के लिए इष्टतम उत्पादन योजना का निर्धारण।

परीक्षण, जोड़ा गया 01/14/2015


आर्थिक और गणितीय समस्याओं के संकलन, समाधान और विश्लेषण की मूल बातें। पशुधन उत्पादों की दी गई मात्रा के लिए चारा फसलों की संरचना के मॉडलिंग के लिए राज्य, समाधान, आर्थिक और गणितीय समस्याओं का विश्लेषण। दिशानिर्देश।

मैनुअल, जोड़ा गया 01/12/2009


मॉडलिंग की बुनियादी अवधारणाएँ। सामान्य अवधारणाएं और मॉडल की परिभाषा। अनुकूलन समस्याओं का विवरण। रैखिक प्रोग्रामिंग के तरीके। रैखिक प्रोग्रामिंग में सामान्य और विशिष्ट कार्य। रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए सरल विधि।

1. वैज्ञानिक ज्ञान की एक विधि के रूप में मॉडलिंग।

वैज्ञानिक अनुसंधान में मॉडलिंग प्राचीन काल में लागू होने लगी और धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान के नए क्षेत्रों पर कब्जा कर लिया: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। 20वीं सदी की मॉडलिंग पद्धति ने आधुनिक विज्ञान की लगभग सभी शाखाओं में बड़ी सफलता और पहचान दिलाई। हालांकि, मॉडलिंग पद्धति लंबे समय से अलग-अलग विज्ञानों द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली, एकीकृत शब्दावली नहीं थी। केवल धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान की एक सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका का एहसास होने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है और इसके कई अर्थ अर्थ होते हैं। आइए हम केवल उन "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के लिए उपकरण हैं।

एक मॉडल एक ऐसी सामग्री या मानसिक रूप से कल्पना की गई वस्तु है, जो शोध की प्रक्रिया में मूल वस्तु को बदल देती है ताकि उसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान दे सके।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडल बनाने, सीखने और लागू करने की प्रक्रिया से है। यह अमूर्त, सादृश्य, परिकल्पना, आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्त का निर्माण, और सादृश्य द्वारा अनुमान, और वैज्ञानिक परिकल्पना का निर्माण शामिल है।

मॉडलिंग की मुख्य विशेषता यह है कि यह स्थानापन्न वस्तुओं का उपयोग करके अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल एक प्रकार के संज्ञानात्मक उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं, अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुओं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याओं) की सीधे जांच की जा सकती है या पूरी तरह से असंभव है, या इस शोध के लिए बहुत समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया में तीन तत्व शामिल हैं: 1) एक विषय (शोधकर्ता), 2) अनुसंधान की एक वस्तु, 3) एक मॉडल जो संज्ञानात्मक विषय और संज्ञानात्मक वस्तु के बीच संबंधों की मध्यस्थता करता है।

होने दें या कुछ वस्तु बनाने के लिए आवश्यक है ए। हम वास्तविक दुनिया में (भौतिक या मानसिक रूप से) निर्माण करते हैं या वास्तविक दुनिया में एक और वस्तु बी पाते हैं - वस्तु ए का मॉडल। एक मॉडल के निर्माण का चरण कुछ ज्ञान की उपस्थिति को मानता है मूल वस्तु। मॉडल की संज्ञानात्मक क्षमताएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि मॉडल मूल वस्तु की किसी भी आवश्यक विशेषता को दर्शाता है। मूल और मॉडल के बीच आवश्यकता और पर्याप्त समानता के प्रश्न के लिए एक विशिष्ट विश्लेषण की आवश्यकता होती है। जाहिर है, मॉडल मूल के साथ पहचान के मामले में अपना अर्थ खो देता है (तब यह मूल होना बंद हो जाता है), और सभी आवश्यक मामलों में मूल से अत्यधिक अंतर के मामले में।

इस प्रकार, प्रतिरूपित वस्तु के कुछ पक्षों का अध्ययन अन्य पक्षों को प्रतिबिंबित करने से इनकार करने की कीमत पर किया जाता है। इसलिए, कोई भी मॉडल मूल को सख्ती से सीमित अर्थों में ही बदल देता है। इससे यह इस प्रकार है कि एक वस्तु के लिए, कई "विशिष्ट" मॉडल बनाए जा सकते हैं जो अध्ययन के तहत वस्तु के कुछ पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं या वस्तु को विस्तार की अलग-अलग डिग्री के साथ चित्रित करते हैं।

मॉडलिंग प्रक्रिया के दूसरे चरण में, मॉडल अनुसंधान की एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में कार्य करता है। इस तरह के शोध के रूपों में से एक "मॉडल" प्रयोगों का संचालन है, जिसमें मॉडल के कामकाज की शर्तों को जानबूझकर बदल दिया जाता है और इसके "व्यवहार" पर डेटा व्यवस्थित किया जाता है। इस चरण का अंतिम परिणाम आर मॉडल के बारे में ज्ञान का खजाना है।

तीसरे चरण में, ज्ञान को मॉडल से मूल में स्थानांतरित किया जाता है - वस्तु के बारे में ज्ञान एस के एक सेट का गठन। ज्ञान के हस्तांतरण की यह प्रक्रिया कुछ नियमों के अनुसार की जाती है। मॉडल के बारे में ज्ञान को मूल वस्तु के उन गुणों को ध्यान में रखते हुए समायोजित किया जाना चाहिए जो मॉडल के निर्माण के दौरान प्रतिबिंबित या परिवर्तित नहीं हुए थे। हम किसी भी परिणाम को मॉडल से मूल में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त कारण के साथ कर सकते हैं, यदि यह परिणाम आवश्यक रूप से मूल और मॉडल के बीच समानता के संकेतों से जुड़ा हो। यदि किसी मॉडल अध्ययन का एक निश्चित परिणाम मॉडल और मूल के बीच के अंतर से जुड़ा है, तो इस परिणाम को स्थानांतरित नहीं किया जा सकता है।

चौथा चरण मॉडल की मदद से प्राप्त ज्ञान का व्यावहारिक सत्यापन और किसी वस्तु के सामान्यीकरण सिद्धांत, उसके परिवर्तन या नियंत्रण के निर्माण के लिए उनका उपयोग है।

मॉडलिंग के सार को समझने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि इस तथ्य पर ध्यान न दिया जाए कि मॉडलिंग किसी वस्तु के बारे में ज्ञान का एकमात्र स्रोत नहीं है। मॉडलिंग प्रक्रिया एक अधिक सामान्य अनुभूति प्रक्रिया में "डूबे" है। इस परिस्थिति को न केवल एक मॉडल के निर्माण के चरण में, बल्कि अंतिम चरण में भी ध्यान में रखा जाता है, जब अनुभूति के विविध साधनों के आधार पर प्राप्त शोध परिणामों का संयोजन और सामान्यीकरण होता है।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है। इसका मतलब है कि पहले चार चरण के चक्र के बाद दूसरा, तीसरा, आदि किया जा सकता है। इसी समय, अध्ययन की जा रही वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और मूल मॉडल में धीरे-धीरे सुधार होता है। मॉडलिंग के पहले चक्र के बाद खोजे गए नुकसान, वस्तु के कम ज्ञान और मॉडल के निर्माण में त्रुटियों के कारण, बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इस प्रकार, मॉडलिंग पद्धति में आत्म-विकास के लिए महान अवसर हैं।

2. अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग की पद्धति के अनुप्रयोग की विशेषताएं।

अर्थशास्त्र में गणित का प्रवेश महत्वपूर्ण कठिनाइयों पर काबू पाने से जुड़ा है। यह आंशिक रूप से गणित की "गलती" थी, जो कई शताब्दियों में विकसित हुई, मुख्यतः भौतिकी और प्रौद्योगिकी की जरूरतों के संबंध में। लेकिन मुख्य कारण अभी भी आर्थिक प्रक्रियाओं की प्रकृति में, आर्थिक विज्ञान की बारीकियों में निहित हैं।

आर्थिक विज्ञान द्वारा अध्ययन की जाने वाली अधिकांश वस्तुओं को एक जटिल प्रणाली की साइबरनेटिक अवधारणा की विशेषता हो सकती है।

तत्वों के एक समूह के रूप में एक प्रणाली की सबसे आम समझ जो किसी प्रकार की अखंडता, एकता के साथ बातचीत और निर्माण करती है। किसी भी प्रणाली का एक महत्वपूर्ण गुण उद्भव है - ऐसे गुणों की उपस्थिति जो सिस्टम में शामिल किसी भी तत्व में निहित नहीं हैं। इसलिए, सिस्टम का अध्ययन करते समय, इन तत्वों के अलग-अलग अध्ययन के साथ उन्हें तत्वों में विभाजित करने की विधि का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। आर्थिक अनुसंधान की कठिनाइयों में से एक यह है कि लगभग ऐसी कोई आर्थिक वस्तु नहीं है जिसे अलग (गैर-प्रणालीगत) तत्व माना जा सके।

एक प्रणाली की जटिलता इसमें शामिल तत्वों की संख्या, इन तत्वों के बीच संबंध, साथ ही सिस्टम और पर्यावरण के बीच संबंध से निर्धारित होती है। देश की अर्थव्यवस्था में एक बहुत ही जटिल प्रणाली की सभी विशेषताएं हैं। यह बड़ी संख्या में तत्वों को एकजुट करता है, विभिन्न प्रकार के आंतरिक कनेक्शन और अन्य प्रणालियों (प्राकृतिक वातावरण, अन्य देशों की अर्थव्यवस्थाओं, आदि) के साथ कनेक्शन द्वारा प्रतिष्ठित है। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में प्राकृतिक, तकनीकी, सामाजिक प्रक्रियाएं, उद्देश्य और व्यक्तिपरक कारक परस्पर क्रिया करते हैं।

अर्थशास्त्र की जटिलता को कभी-कभी इसे मॉडलिंग, गणित के माध्यम से इसका अध्ययन करने की असंभवता के औचित्य के रूप में देखा जाता था। लेकिन सिद्धांत रूप में यह दृष्टिकोण गलत है। आप किसी भी प्रकृति और किसी भी जटिलता की वस्तु को मॉडल कर सकते हैं। और यह ठीक जटिल वस्तुएं हैं जो मॉडलिंग के लिए सबसे बड़ी रुचि रखती हैं; यह वह जगह है जहां मॉडलिंग से ऐसे परिणाम मिल सकते हैं जो अन्य शोध विधियों द्वारा प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।

किसी भी आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की क्षमता का मतलब निश्चित रूप से, आर्थिक और गणितीय ज्ञान के एक निश्चित स्तर पर इसकी सफल व्यवहार्यता, उपलब्ध विशिष्ट जानकारी और कंप्यूटिंग तकनीक नहीं है। और यद्यपि आर्थिक समस्याओं की गणितीय औपचारिकता की पूर्ण सीमाओं को इंगित करना असंभव है, फिर भी हमेशा अनौपचारिक समस्याएं होंगी, साथ ही ऐसी स्थितियां भी होंगी जहां गणितीय मॉडलिंग पर्याप्त प्रभावी नहीं है।

3. आर्थिक अवलोकन और माप की विशेषताएं।

लंबे समय से, अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग के व्यावहारिक अनुप्रयोग में मुख्य बाधा विकसित मॉडलों को विशिष्ट और उच्च गुणवत्ता वाली जानकारी से भरना है। प्राथमिक जानकारी की सटीकता और पूर्णता, इसके संग्रह और प्रसंस्करण की वास्तविक संभावनाएं काफी हद तक लागू मॉडलों के प्रकारों की पसंद निर्धारित करती हैं। दूसरी ओर, आर्थिक मॉडलिंग पर शोध सूचना प्रणाली के लिए नई आवश्यकताओं को सामने रखता है।

नकली वस्तुओं और मॉडलों के उद्देश्य के आधार पर, उनमें उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी की प्रकृति और उत्पत्ति काफी भिन्न होती है। इसे दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: पिछले विकास और वस्तुओं की वर्तमान स्थिति (आर्थिक अवलोकन और उनके प्रसंस्करण) और वस्तुओं के भविष्य के विकास के बारे में, जिसमें उनके आंतरिक मापदंडों और बाहरी स्थितियों (पूर्वानुमान) में अपेक्षित परिवर्तनों पर डेटा शामिल है। सूचना की दूसरी श्रेणी स्वतंत्र शोध का परिणाम है, जिसे मॉडलिंग के माध्यम से भी किया जा सकता है।

आर्थिक अवलोकन के तरीके और इन अवलोकनों के परिणामों का उपयोग आर्थिक आंकड़ों द्वारा विकसित किया जाता है। इसलिए, यह केवल आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग से जुड़ी आर्थिक टिप्पणियों की विशिष्ट समस्याओं को ध्यान देने योग्य है।

अर्थशास्त्र में, कई प्रक्रियाएं बड़े पैमाने पर होती हैं; वे प्रतिरूपों की विशेषता रखते हैं जो केवल एक या कुछ टिप्पणियों के आधार पर नहीं पाए जाते हैं। इसलिए, अर्थशास्त्र में मॉडलिंग बड़े पैमाने पर टिप्पणियों पर आधारित होना चाहिए।

एक और समस्या आर्थिक प्रक्रियाओं की गतिशीलता, उनके मापदंडों की परिवर्तनशीलता और संरचनात्मक संबंधों से उत्पन्न होती है। नतीजतन, आर्थिक प्रक्रियाओं की लगातार निगरानी की जानी चाहिए, नए डेटा की एक स्थिर धारा होना आवश्यक है। चूंकि आर्थिक प्रक्रियाओं का अवलोकन और अनुभवजन्य डेटा को संसाधित करने में आमतौर पर बहुत समय लगता है, अर्थव्यवस्था के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, प्रारंभिक जानकारी को इसके अंतराल को ध्यान में रखते हुए सही करना आवश्यक है।

आर्थिक प्रक्रियाओं और घटनाओं के मात्रात्मक संबंधों का ज्ञान आर्थिक आयामों पर आधारित है। माप की सटीकता भी बड़े पैमाने पर मॉडलिंग के माध्यम से मात्रात्मक विश्लेषण के अंतिम परिणामों की सटीकता को निर्धारित करती है। इसलिए, गणितीय मॉडलिंग के प्रभावी उपयोग के लिए एक आवश्यक शर्त आर्थिक संकेतकों में सुधार है। गणितीय मॉडलिंग के उपयोग ने सामाजिक-आर्थिक विकास के विभिन्न पहलुओं और घटनाओं की माप और मात्रात्मक तुलना, प्राप्त आंकड़ों की विश्वसनीयता और पूर्णता, और जानबूझकर और तकनीकी विकृतियों से उनकी सुरक्षा की समस्या को तेज कर दिया है।

मॉडलिंग की प्रक्रिया में, "प्राथमिक" और "माध्यमिक" आर्थिक संकेतकों की बातचीत उत्पन्न होती है। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था का कोई भी मॉडल आर्थिक उपायों (उत्पादों, संसाधनों, तत्वों, आदि) की एक निश्चित प्रणाली पर आधारित होता है। इसी समय, राष्ट्रीय आर्थिक मॉडलिंग के महत्वपूर्ण परिणामों में से एक नए (माध्यमिक) आर्थिक संकेतकों की प्राप्ति है - विभिन्न उद्योगों के उत्पादों के लिए आर्थिक रूप से उचित मूल्य, विभिन्न गुणवत्ता वाले प्राकृतिक संसाधनों की प्रभावशीलता का अनुमान, सामाजिक उपयोगिता के संकेतक उत्पादों की। हालांकि, ये मीटर अपर्याप्त रूप से प्रमाणित प्राथमिक मीटर से प्रभावित हो सकते हैं, जिससे व्यावसायिक मॉडल के लिए प्राथमिक मीटर को समायोजित करने के लिए एक विशेष पद्धति विकसित करना आवश्यक हो जाता है।

अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग के "हितों" के दृष्टिकोण से, आर्थिक संकेतकों में सुधार की सबसे अधिक दबाव वाली समस्याएं हैं: बौद्धिक गतिविधि के परिणामों का आकलन (विशेषकर वैज्ञानिक और तकनीकी विकास, सूचना विज्ञान उद्योग के क्षेत्र में), सामान्यीकरण का निर्माण फीडबैक के प्रभाव को मापने वाले सामाजिक-आर्थिक विकास के संकेतक (उत्पादन दक्षता पर आर्थिक और सामाजिक तंत्र को प्रभावित करते हैं)।

4. आर्थिक विकास में यादृच्छिकता और अनिश्चितता।

अर्थव्यवस्था की योजना बनाने की पद्धति के लिए, आर्थिक विकास की अनिश्चितता की अवधारणा का बहुत महत्व है। आर्थिक पूर्वानुमान और योजना पर अध्ययन में, दो प्रकार की अनिश्चितता को प्रतिष्ठित किया जाता है: "सत्य", आर्थिक प्रक्रियाओं के गुणों के कारण, और "सूचनात्मक", इन प्रक्रियाओं के बारे में उपलब्ध जानकारी की अपूर्णता और अशुद्धि से जुड़ा हुआ है। वास्तविक अनिश्चितता को आर्थिक विकास के लिए विभिन्न विकल्पों के वस्तुपरक अस्तित्व और उनमें से प्रभावी विकल्पों के एक सचेत विकल्प की संभावना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। हम एकमात्र (इष्टतम) विकल्प के सटीक विकल्प की मौलिक असंभवता के बारे में बात कर रहे हैं।

अर्थव्यवस्था के विकास में अनिश्चितता दो मुख्य कारणों से होती है। सबसे पहले, नियोजित और नियंत्रित प्रक्रियाओं के पाठ्यक्रम के साथ-साथ इन प्रक्रियाओं पर बाहरी प्रभाव, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई और हर पल सीमित मानवीय अनुभूति के कारण सटीक अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। यह वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति, समाज की जरूरतों और आर्थिक व्यवहार की भविष्यवाणी के लिए विशेष रूप से सच है। दूसरे, सामान्य सरकारी योजना और प्रबंधन न केवल सर्वव्यापी है, बल्कि सर्वशक्तिमान भी नहीं है, और विशेष हितों के साथ कई स्वतंत्र आर्थिक संस्थाओं की उपस्थिति हमें उनकी बातचीत के परिणामों की सटीक भविष्यवाणी करने की अनुमति नहीं देती है। वस्तुनिष्ठ प्रक्रियाओं और आर्थिक व्यवहार के बारे में अधूरी और गलत जानकारी सच्ची अनिश्चितता को पुष्ट करती है।

अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग पर अनुसंधान के पहले चरणों में, मुख्य रूप से नियतात्मक मॉडल का उपयोग किया गया था। इन मॉडलों में, सभी मापदंडों को बिल्कुल ज्ञात माना जाता है। हालांकि, नियतात्मक मॉडल को यंत्रवत् रूप से गलत समझा जाता है और उन मॉडलों के साथ पहचाना जाता है जो सभी "पसंद की डिग्री" (पसंद की संभावनाएं) से रहित होते हैं और एक एकल व्यवहार्य समाधान होता है। कठोर नियतात्मक मॉडल का शास्त्रीय प्रतिनिधि राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था का अनुकूलन मॉडल है, जिसका उपयोग कई स्वीकार्य विकल्पों में से आर्थिक विकास के लिए सबसे अच्छा विकल्प निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

कठोर नियतात्मक मॉडल का उपयोग करने में अनुभव के संचय के परिणामस्वरूप, आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए अधिक उन्नत कार्यप्रणाली के सफल अनुप्रयोग के लिए वास्तविक अवसर पैदा हुए हैं, स्टोकेस्टिक्स और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हुए। यहां शोध की दो मुख्य लाइनें हैं। सबसे पहले, कठोर नियतात्मक मॉडल का उपयोग करने की तकनीक में सुधार किया जा रहा है: मॉडल डिजाइन और उसके प्रारंभिक डेटा में भिन्नता के साथ बहुभिन्नरूपी गणना और मॉडल प्रयोग करना; प्राप्त समाधानों की स्थिरता और विश्वसनीयता का अध्ययन करना, अनिश्चितता के क्षेत्र की पहचान करना; मॉडल में भंडार का समावेश, तकनीकों का उपयोग जो संभावित और अप्रत्याशित स्थितियों के लिए आर्थिक निर्णयों की अनुकूलन क्षमता को बढ़ाता है। दूसरे, मॉडल फैल रहे हैं जो सीधे स्टोकेस्टिक्स और आर्थिक प्रक्रियाओं की अनिश्चितता को दर्शाते हैं और उपयुक्त गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं: संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़े, खेल सिद्धांत और सांख्यिकीय निर्णय, कतार सिद्धांत, स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग, और यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत।

5. मॉडलों की पर्याप्तता की जाँच करना।

आर्थिक प्रक्रियाओं और घटनाओं की जटिलता और ऊपर उल्लिखित आर्थिक प्रणालियों की अन्य विशेषताएं न केवल गणितीय मॉडल के निर्माण को जटिल बनाती हैं, बल्कि उनकी पर्याप्तता, प्राप्त परिणामों की सच्चाई का सत्यापन भी करती हैं।

प्राकृतिक विज्ञान में, मॉडलिंग और किसी भी अन्य प्रकार के ज्ञान के परिणामों की सच्चाई के लिए पर्याप्त शर्त शोध के परिणामों का अवलोकन तथ्यों के साथ संयोग है। यहां "अभ्यास" श्रेणी "वास्तविकता" श्रेणी के साथ मेल खाती है। अर्थशास्त्र और अन्य सामाजिक विज्ञानों में, इस तरह से समझा जाने वाला "अभ्यास - सत्य की कसौटी" का सिद्धांत निष्क्रिय वर्णन और वास्तविकता की व्याख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले सरल वर्णनात्मक मॉडल पर अधिक लागू होता है (पिछले विकास का विश्लेषण, अनियंत्रित आर्थिक प्रक्रियाओं का अल्पकालिक पूर्वानुमान , आदि।)।

हालांकि, अर्थशास्त्र का मुख्य कार्य रचनात्मक है: अर्थव्यवस्था की योजना और प्रबंधन के लिए वैज्ञानिक तरीकों का विकास। इसलिए, अर्थशास्त्र के एक सामान्य प्रकार के गणितीय मॉडल नियंत्रित और विनियमित आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल हैं जिनका उपयोग आर्थिक वास्तविकता को बदलने के लिए किया जाता है। ऐसे मॉडलों को नियामक कहा जाता है। यदि मानक मॉडल केवल वास्तविकता की पुष्टि की ओर उन्मुख होते हैं, तो वे गुणात्मक रूप से नई सामाजिक-आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए एक उपकरण के रूप में काम नहीं कर पाएंगे।

अर्थव्यवस्था के मानक मॉडल के सत्यापन की विशिष्टता यह है कि वे, एक नियम के रूप में, योजना और प्रबंधन के अन्य तरीकों के साथ "प्रतिस्पर्धा" करते हैं जो पहले से ही व्यावहारिक अनुप्रयोग प्राप्त कर चुके हैं। इसी समय, नकली वस्तु पर अन्य नियंत्रण क्रियाओं के प्रभाव को समाप्त करते हुए, मॉडल को सत्यापित करने के लिए एक शुद्ध प्रयोग करना हमेशा संभव नहीं होता है।

स्थिति और भी जटिल हो जाती है जब दीर्घकालिक पूर्वानुमान और नियोजन मॉडल (वर्णनात्मक और मानक दोनों) के सत्यापन का प्रश्न उठाया जाता है। आखिरकार, मॉडल की मान्यताओं की शुद्धता की जांच करने के लिए घटनाओं की घटना के लिए 10-15 साल या उससे अधिक निष्क्रिय रूप से इंतजार नहीं किया जा सकता है।

विख्यात जटिल परिस्थितियों के बावजूद, वास्तविक आर्थिक जीवन में तथ्यों और प्रवृत्तियों के लिए मॉडल की अनुरूपता सबसे महत्वपूर्ण मानदंड बनी हुई है जो मॉडल में सुधार की दिशा निर्धारित करती है। वास्तविकता और मॉडल के बीच प्रकट विसंगतियों का एक व्यापक विश्लेषण, अन्य तरीकों से प्राप्त परिणामों के साथ मॉडल के परिणामों की तुलना, मॉडल को सही करने के तरीकों को विकसित करने में मदद करता है।

गणितीय मॉडलिंग के माध्यम से तार्किक विश्लेषण, मॉडलों की जाँच में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मॉडल सत्यापन के इस तरह के औपचारिक तरीके एक मॉडल में एक समाधान के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में, एक मॉडल के मापदंडों और चर के बीच संबंधों के बारे में सांख्यिकीय परिकल्पना की सच्चाई का परीक्षण, मात्रा के आयामों की तुलना करना, आदि, संभावित वर्ग को कम करने की अनुमति देते हैं " सही" मॉडल।

मॉडल की मान्यताओं की आंतरिक स्थिरता को एक दूसरे के साथ इसकी मदद से प्राप्त परिणामों के साथ-साथ "प्रतिस्पर्धी" मॉडल के परिणामों की तुलना करके भी जांचा जाता है।

अर्थव्यवस्था के लिए गणितीय मॉडल की पर्याप्तता की समस्या की वर्तमान स्थिति का मूल्यांकन करते हुए, यह माना जाना चाहिए कि नकली वस्तुओं की उद्देश्य विशेषताओं और उनके संज्ञान की ख़ासियत दोनों को ध्यान में रखते हुए मॉडल को सत्यापित करने के लिए एक रचनात्मक व्यापक पद्धति का निर्माण , अभी भी आर्थिक और गणितीय अनुसंधान की सबसे जरूरी समस्याओं में से एक है।

6. आर्थिक और गणितीय मॉडल का वर्गीकरण।

आर्थिक प्रक्रियाओं और परिघटनाओं के गणितीय मॉडल को संक्षेप में आर्थिक और गणितीय मॉडल कहा जा सकता है। इन मॉडलों को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न आधारों का उपयोग किया जाता है।

अपने इच्छित उद्देश्य के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक लोगों में विभाजित किया जाता है, जिनका उपयोग सामान्य गुणों और आर्थिक प्रक्रियाओं के पैटर्न के अध्ययन में किया जाता है, और विशिष्ट आर्थिक समस्याओं (आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान, प्रबंधन के मॉडल) को हल करने में उपयोग किए जाने वाले लागू होते हैं। .

आर्थिक और गणितीय मॉडल राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विभिन्न पहलुओं (विशेष रूप से, इसके उत्पादन और तकनीकी, सामाजिक, क्षेत्रीय संरचनाओं) और इसके अलग-अलग हिस्सों का अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किए जा सकते हैं। अध्ययन की गई आर्थिक प्रक्रियाओं और वास्तविक समस्याओं के अनुसार मॉडल को वर्गीकृत करते समय, कोई भी राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के मॉडल को समग्र रूप से और उसके उप-प्रणालियों - उद्योगों, क्षेत्रों, आदि, उत्पादन, खपत, आय के गठन और वितरण के मॉडल के परिसरों को अलग कर सकता है। श्रम संसाधन, मूल्य निर्धारण, वित्तीय संबंध, आदि। डी।

आइए हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के ऐसे वर्गों की विशेषताओं पर अधिक विस्तार से ध्यान दें, जो कार्यप्रणाली और मॉडलिंग तकनीकों की सबसे बड़ी विशेषताओं से जुड़े हैं।

गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण के अनुसार, उन्हें कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया गया है, और इसमें मध्यवर्ती रूप (संरचनात्मक और कार्यात्मक) भी शामिल हैं। राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर अध्ययन में, संरचनात्मक मॉडल का अधिक बार उपयोग किया जाता है, क्योंकि योजना और प्रबंधन के लिए उप-प्रणालियों के अंतर्संबंधों का बहुत महत्व है। विशिष्ट संरचनात्मक मॉडल इंटरसेक्टोरल लिंकेज मॉडल हैं। कार्यात्मक मॉडल व्यापक रूप से आर्थिक विनियमन में उपयोग किए जाते हैं, जब किसी वस्तु ("आउटपुट") का व्यवहार "इनपुट" को बदलने से प्रभावित होता है। एक उदाहरण कमोडिटी-मनी संबंधों के संदर्भ में उपभोक्ता व्यवहार का मॉडल है। एक और एक ही वस्तु को एक संरचना और एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा एक साथ वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक संरचनात्मक मॉडल का उपयोग एक अलग क्षेत्रीय प्रणाली की योजना के लिए किया जाता है, और राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर, प्रत्येक क्षेत्र को एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है।

वर्णनात्मक और मानक मॉडल के बीच अंतर पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है। वर्णनात्मक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसे होता है? या यह सबसे आगे कैसे विकसित हो सकता है? वे केवल देखे गए तथ्यों की व्याख्या करते हैं या एक संभावित पूर्वानुमान देते हैं। मानक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसा होना चाहिए? उद्देश्यपूर्ण गतिविधि का संकेत दें। आदर्श मॉडल का एक विशिष्ट उदाहरण इष्टतम योजना के मॉडल हैं, जो किसी न किसी तरह से आर्थिक विकास, अवसरों और उन्हें प्राप्त करने के साधनों के लक्ष्यों को औपचारिक रूप देते हैं।

अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण के उपयोग को अनुभवजन्य रूप से अर्थव्यवस्था में विभिन्न निर्भरता की पहचान करने, सामाजिक समूहों के आर्थिक व्यवहार के सांख्यिकीय पैटर्न स्थापित करने, अपरिवर्तनीय परिस्थितियों में या बिना होने वाली किसी भी प्रक्रिया के विकास के संभावित रास्तों का अध्ययन करने की आवश्यकता से समझाया गया है। बाहरी प्रभाव। वर्णनात्मक मॉडल के उदाहरण सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग के आधार पर निर्मित उत्पादन कार्य और ग्राहक मांग कार्य हैं।

एक आर्थिक-गणितीय मॉडल वर्णनात्मक है या मानकात्मक है, यह न केवल इसकी गणितीय संरचना पर निर्भर करता है, बल्कि इस मॉडल के उपयोग की प्रकृति पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, इनपुट-आउटपुट मॉडल वर्णनात्मक है यदि इसका उपयोग अतीत के अनुपात का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। लेकिन वही गणितीय मॉडल मानक बन जाता है जब इसका उपयोग राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विकास के लिए संतुलित विकल्पों की गणना करने के लिए किया जाता है जो नियोजित उत्पादन लागत पर समाज की अंतिम जरूरतों को पूरा करते हैं।

कई आर्थिक और गणितीय मॉडल वर्णनात्मक और मानक मॉडल की विशेषताओं को जोड़ते हैं। एक विशिष्ट स्थिति तब होती है जब एक जटिल संरचना का एक मानक मॉडल अलग-अलग ब्लॉकों को जोड़ता है, जो निजी वर्णनात्मक मॉडल हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रॉस-इंडस्ट्री मॉडल में ग्राहक मांग कार्य शामिल हो सकते हैं जो आय में परिवर्तन होने पर उपभोक्ता व्यवहार का वर्णन करते हैं। इस तरह के उदाहरण आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए वर्णनात्मक और मानक दृष्टिकोणों के प्रभावी संयोजन की प्रवृत्ति को दर्शाते हैं। सिमुलेशन मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कारण संबंधों के प्रतिबिंब की प्रकृति से, कठोर नियतात्मक मॉडल और मॉडल हैं जो यादृच्छिकता और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हैं। संभाव्य कानूनों द्वारा वर्णित अनिश्चितता और अनिश्चितता के बीच अंतर करना आवश्यक है, जिसके लिए संभाव्यता सिद्धांत के नियम लागू नहीं होते हैं। दूसरे प्रकार की अनिश्चितता को मॉडल करना कहीं अधिक कठिन है।

समय कारक को प्रतिबिंबित करने के तरीकों के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को स्थिर और गतिशील में विभाजित किया गया है। स्थिर मॉडल में, सभी निर्भरताएँ एक क्षण या समय अवधि को संदर्भित करती हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ आर्थिक प्रक्रियाओं में बदलाव की विशेषता बताते हैं। समय की अवधि के अनुसार, अल्पकालिक (एक वर्ष तक), मध्यम अवधि (5 वर्ष तक), दीर्घकालिक (10-15 और अधिक वर्ष) पूर्वानुमान और योजना के मॉडल भिन्न होते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल में समय ही लगातार या अलग-अलग बदल सकता है।

गणितीय निर्भरता के रूप में आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल अत्यंत विविध हैं। रैखिक मॉडल के वर्ग को अलग करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जो विश्लेषण और गणना के लिए सबसे सुविधाजनक हैं और परिणामस्वरूप व्यापक हो गए हैं। रैखिक और गैर-रेखीय मॉडल के बीच अंतर न केवल गणितीय दृष्टिकोण से, बल्कि सैद्धांतिक और आर्थिक दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि अर्थव्यवस्था में कई निर्भरताएं मौलिक रूप से गैर-रैखिक हैं: उत्पादन में वृद्धि के साथ संसाधन उपयोग की दक्षता, उत्पादन में वृद्धि के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में परिवर्तन, मांग में परिवर्तन और आय में वृद्धि के साथ जनसंख्या की खपत आदि। "रैखिक अर्थशास्त्र" का सिद्धांत "गैर-रेखीय अर्थशास्त्र" के सिद्धांत से काफी भिन्न है। केंद्रीकृत योजना और आर्थिक उप-प्रणालियों की आर्थिक स्वतंत्रता के संयोजन की संभावना के बारे में निष्कर्ष काफी हद तक इस बात पर निर्भर करते हैं कि उप-प्रणालियों (उद्योगों, उद्यमों) की उत्पादन क्षमताओं के सेट को उत्तल या गैर-उत्तल माना जाता है।

मॉडल में शामिल बहिर्जात और अंतर्जात चर के अनुपात के अनुसार, उन्हें खुले और बंद में विभाजित किया जा सकता है। पूरी तरह से खुले मॉडल नहीं हैं; मॉडल में कम से कम एक अंतर्जात चर होना चाहिए। पूरी तरह से बंद आर्थिक और गणितीय मॉडल, यानी। बहिर्जात चर शामिल नहीं हैं अत्यंत दुर्लभ हैं; उनके निर्माण के लिए "पर्यावरण" से पूर्ण अमूर्तता की आवश्यकता होती है, अर्थात। वास्तविक आर्थिक प्रणालियों का गंभीर रूप से मोटा होना, जिनके हमेशा बाहरी संबंध होते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल का भारी बहुमत एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेता है और खुलेपन (निकटता) की डिग्री में भिन्न होता है।

राष्ट्रीय आर्थिक स्तर के मॉडल के लिए, समग्र और विस्तृत में विभाजित करना महत्वपूर्ण है।

इस पर निर्भर करते हुए कि राष्ट्रीय आर्थिक मॉडल में स्थानिक कारक और स्थितियां शामिल हैं या नहीं, स्थानिक और बिंदु मॉडल प्रतिष्ठित हैं।

इस प्रकार, आर्थिक और गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण में दस से अधिक मुख्य विशेषताएं शामिल हैं। आर्थिक और गणितीय अनुसंधान के विकास के साथ, लागू मॉडलों को वर्गीकृत करने की समस्या और अधिक जटिल हो जाती है। नए प्रकार के मॉडल (विशेष रूप से मिश्रित प्रकार) के उद्भव और उनके वर्गीकरण के नए संकेतों के साथ, विभिन्न प्रकार के मॉडल को अधिक जटिल मॉडल निर्माण में एकीकृत करने की प्रक्रिया की जा रही है।

7. आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के चरण।

मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों पर पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है। अर्थव्यवस्था सहित ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में, वे अपनी विशिष्ट विशेषताओं को प्राप्त करते हैं। आइए आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के अनुक्रम और सामग्री का विश्लेषण करें।

1. आर्थिक समस्या का विवरण और उसका गुणात्मक विश्लेषण। यहां मुख्य बात यह है कि समस्या के सार को स्पष्ट रूप से तैयार किया जाए, जो धारणाएं बनाई गई हैं और जिन सवालों के जवाब देने की जरूरत है। इस चरण में मॉडलिंग की गई वस्तु की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों का चयन और द्वितीयक से अमूर्तता शामिल है; वस्तु की संरचना और उसके तत्वों को जोड़ने वाली मुख्य निर्भरता का अध्ययन करना; वस्तु के व्यवहार और विकास की व्याख्या करते हुए परिकल्पनाओं का निर्माण (कम से कम प्रारंभिक)।

2. गणितीय मॉडल बनाना। यह एक आर्थिक समस्या को औपचारिक रूप देने, इसे विशिष्ट गणितीय निर्भरता और संबंधों (कार्यों, समीकरणों, असमानताओं, आदि) के रूप में व्यक्त करने का चरण है। आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मूल निर्माण (प्रकार) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, लिंक का रूप)। इस प्रकार, एक मॉडल का निर्माण कई चरणों में विभाजित है।

यह मान लेना गलत है कि एक मॉडल जितने अधिक तथ्यों को ध्यान में रखता है, उतना ही बेहतर "काम" करता है और बेहतर परिणाम देता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है जैसे गणितीय निर्भरता के रूप (रैखिक और अरेखीय), संयोग और अनिश्चितता के कारकों के लिए लेखांकन, आदि। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (मॉडल की जटिलता में वृद्धि के साथ, लागत में वृद्धि से अधिक हो सकती है) प्रभाव)।

गणितीय मॉडलों की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करने की क्षमता है। इसलिए, जब एक नई आर्थिक चुनौती का सामना करना पड़ता है, तब भी एक मॉडल का "आविष्कार" करने का प्रयास करने की कोई आवश्यकता नहीं है; सबसे पहले इस समस्या को हल करने के लिए पहले से ही ज्ञात मॉडलों को लागू करने का प्रयास करना आवश्यक है।

एक मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक ज्ञान की दो प्रणालियों - आर्थिक और गणितीय - की तुलना की जाती है। गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना स्वाभाविक है। यह अक्सर मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट की आवश्यक विशेषताओं को विकृत किए बिना मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं को कुछ हद तक सरल बनाकर किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसी स्थिति तब भी संभव है जब किसी आर्थिक समस्या का औपचारिककरण पहले से अज्ञात गणितीय संरचना की ओर ले जाता है। बीसवीं सदी के मध्य में आर्थिक विज्ञान और अभ्यास की जरूरतें। गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, कार्यात्मक विश्लेषण, कम्प्यूटेशनल गणित के विकास में योगदान दिया। यह संभावना है कि भविष्य में अर्थशास्त्र का विकास गणित की नई शाखाओं के निर्माण के लिए एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन बन जाएगा।

3. मॉडल का गणितीय विश्लेषण। इस चरण का उद्देश्य मॉडल के सामान्य गुणों को स्पष्ट करना है। विशुद्ध रूप से विशुद्ध रूप से गणितीय शोध विधियों का उपयोग यहाँ किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल (अस्तित्व प्रमेय) में समाधान के अस्तित्व का प्रमाण है। यदि यह साबित करना संभव है कि गणितीय समस्या का कोई हल नहीं है, तो मॉडल के मूल संस्करण पर और काम करने की कोई आवश्यकता नहीं है; या तो आर्थिक समस्या के सूत्रीकरण को ठीक करना आवश्यक है, या इसके गणितीय औपचारिकरण के तरीकों को। मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन में, उदाहरण के लिए, एकमात्र समाधान जैसे प्रश्नों को स्पष्ट किया जाता है, समाधान में कौन से चर (अज्ञात) शामिल किए जा सकते हैं, उनके बीच क्या संबंध होंगे, किस सीमा के भीतर और प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर वे बदलते हैं, उनके परिवर्तन की प्रवृत्तियां क्या हैं और आदि। अनुभवजन्य (संख्यात्मक) की तुलना में मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन का यह फायदा है कि प्राप्त निष्कर्ष मॉडल के बाहरी और आंतरिक मापदंडों के विभिन्न विशिष्ट मूल्यों के लिए मान्य रहते हैं।

एक मॉडल के सामान्य गुणों का ज्ञान इतना महत्वपूर्ण है, अक्सर ऐसे गुणों को साबित करने के लिए, शोधकर्ता जानबूझकर मूल मॉडल के आदर्शीकरण के लिए जाते हैं। और फिर भी, जटिल आर्थिक वस्तुओं के मॉडल का विश्लेषणात्मक रूप से विश्लेषण करना बहुत कठिन है। ऐसे मामलों में जहां विश्लेषणात्मक तरीके मॉडल के सामान्य गुणों का पता लगाने में विफल होते हैं, और मॉडल के सरलीकरण से अस्वीकार्य परिणाम मिलते हैं, वे अनुसंधान के संख्यात्मक तरीकों पर स्विच करते हैं।

4. पृष्ठभूमि की जानकारी तैयार करना। मॉडलिंग सूचना प्रणाली पर कठोर आवश्यकताओं को लागू करता है। इसी समय, सूचना प्राप्त करने की वास्तविक संभावनाएं व्यावहारिक उपयोग के लिए इच्छित मॉडलों की पसंद को सीमित करती हैं। यह न केवल सूचना तैयार करने की मौलिक संभावना (एक निश्चित समय सीमा के भीतर) को ध्यान में रखता है, बल्कि संबंधित सूचना सरणियों को तैयार करने की लागत को भी ध्यान में रखता है। ये लागतें अतिरिक्त जानकारी के उपयोग के प्रभाव से अधिक नहीं होनी चाहिए।

सूचना तैयार करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता सिद्धांत, सैद्धांतिक और गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रणालीगत आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में, कुछ मॉडलों में उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी अन्य मॉडलों के कामकाज का परिणाम होती है।

5. संख्यात्मक समाधान। इस चरण में समस्या के संख्यात्मक समाधान के लिए एल्गोरिदम का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और प्रत्यक्ष गणना शामिल है। इस चरण की कठिनाइयाँ मुख्य रूप से आर्थिक समस्याओं के बड़े आयाम, महत्वपूर्ण मात्रा में सूचनाओं को संसाधित करने की आवश्यकता के कारण हैं।

आमतौर पर, आर्थिक और गणितीय मॉडल पर आधारित गणना बहुभिन्नरूपी होती है। आधुनिक कंप्यूटरों की उच्च गति के कारण, कुछ स्थितियों में विभिन्न परिवर्तनों के तहत मॉडल के "व्यवहार" का अध्ययन करते हुए, कई "मॉडल" प्रयोग करना संभव है। संख्यात्मक विधियों द्वारा किया गया अनुसंधान विश्लेषणात्मक अनुसंधान के परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक कर सकता है, और कई मॉडलों के लिए यह एकमात्र संभव है। आर्थिक समस्याओं का वर्ग जिन्हें संख्यात्मक विधियों द्वारा हल किया जा सकता है, विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए उपलब्ध समस्याओं के वर्ग की तुलना में बहुत व्यापक है।

6. संख्यात्मक परिणामों का विश्लेषण और उनका अनुप्रयोग। चक्र के इस अंतिम चरण में, सिमुलेशन परिणामों की शुद्धता और पूर्णता के बारे में सवाल उठता है, बाद के व्यावहारिक प्रयोज्यता की डिग्री के बारे में।

गणितीय सत्यापन विधियां गलत मॉडल निर्माण प्रकट कर सकती हैं और इस प्रकार संभावित रूप से सही मॉडल के वर्ग को कम कर सकती हैं। मॉडल के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक निष्कर्षों और संख्यात्मक परिणामों का एक अनौपचारिक विश्लेषण, उन्हें उपलब्ध ज्ञान और वास्तविकता के तथ्यों के साथ तुलना करना भी आर्थिक समस्या के निर्माण, निर्मित गणितीय मॉडल, इसकी जानकारी और की कमियों को प्रकट करना संभव बनाता है। गणितीय समर्थन।

चरणों का अंतर्संबंध। चित्र 1 आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के बीच संबंधों को दर्शाता है।

आइए इस तथ्य के कारण उत्पन्न होने वाले चरणों की प्रतिक्रियाओं पर ध्यान दें कि अनुसंधान की प्रक्रिया में मॉडलिंग के पिछले चरणों की कमियों का पता चलता है।

पहले से ही एक मॉडल के निर्माण के चरण में, यह स्पष्ट हो सकता है कि समस्या का निरूपण विरोधाभासी है या अत्यधिक जटिल गणितीय मॉडल की ओर ले जाता है। इसके अनुसार, समस्या के मूल सूत्रीकरण को ठीक किया जाता है। इसके अलावा, मॉडल का गणितीय विश्लेषण (चरण 3) दिखा सकता है कि समस्या के विवरण में थोड़ा सा संशोधन या इसकी औपचारिकता एक दिलचस्प विश्लेषणात्मक परिणाम देती है।

सबसे अधिक बार, प्रारंभिक जानकारी (चरण 4) तैयार करते समय मॉडलिंग के पिछले चरणों में लौटने की आवश्यकता होती है। आप पाएंगे कि आवश्यक जानकारी गायब है या इसे तैयार करने की लागत बहुत अधिक है। फिर आपको समस्या के निरूपण और उसकी औपचारिकता पर वापस लौटना होगा, उन्हें बदलना होगा ताकि उपलब्ध जानकारी के अनुकूल हो सके।

चूंकि आर्थिक और गणितीय समस्याएं उनकी संरचना में जटिल हो सकती हैं, एक बड़ा आयाम हो सकता है, अक्सर ऐसा होता है कि ज्ञात एल्गोरिदम और कंप्यूटर प्रोग्राम समस्या को उसके मूल रूप में हल करने की अनुमति नहीं देते हैं। यदि थोड़े समय में नए एल्गोरिदम और कार्यक्रमों को विकसित करना असंभव है, तो समस्या और मॉडल के मूल सूत्रीकरण को सरल बनाया जाता है: शर्तों को हटा दिया जाता है और संयुक्त किया जाता है, कारकों की संख्या कम हो जाती है, गैर-रैखिक संबंधों को रैखिक वाले द्वारा बदल दिया जाता है, नियतत्ववाद मॉडल को मजबूत किया जाता है, आदि।

मॉडलिंग के मध्यवर्ती चरणों में जिन नुकसानों को ठीक नहीं किया जा सकता है, उन्हें बाद के चक्रों में समाप्त कर दिया जाता है। लेकिन प्रत्येक चक्र के परिणामों का एक पूरी तरह से स्वतंत्र अर्थ भी होता है। एक साधारण मॉडल के निर्माण के साथ अपना शोध शुरू करते हुए, आप जल्दी से उपयोगी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और फिर एक अधिक उन्नत मॉडल बनाने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें परिष्कृत गणितीय संबंध शामिल हैं।

जैसे-जैसे आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग विकसित होती है और अधिक जटिल होती जाती है, इसके व्यक्तिगत चरणों को अनुसंधान के विशेष क्षेत्रों में अलग किया जाता है, सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक और अनुप्रयुक्त मॉडल के बीच अंतर बढ़ता है, मॉडल को अमूर्तता और आदर्शीकरण के स्तर के अनुसार विभेदित किया जाता है।

आर्थिक मॉडल के गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत आधुनिक गणित - गणितीय अर्थशास्त्र की एक विशेष शाखा में विकसित हुआ है। गणितीय अर्थशास्त्र के ढांचे के भीतर अध्ययन किए गए मॉडल आर्थिक वास्तविकता के साथ अपना सीधा संबंध खो देते हैं; वे अत्यंत आदर्शीकृत आर्थिक वस्तुओं और स्थितियों से निपटते हैं। ऐसे मॉडलों का निर्माण करते समय, मुख्य सिद्धांत वास्तविकता का इतना अधिक सन्निकटन नहीं है, बल्कि गणितीय प्रमाणों के माध्यम से विश्लेषणात्मक परिणामों की अधिकतम संभव संख्या प्राप्त करना है। आर्थिक सिद्धांत और व्यवहार के लिए इन मॉडलों का मूल्य इस तथ्य में निहित है कि वे लागू-प्रकार के मॉडल के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

आर्थिक जानकारी की तैयारी और प्रसंस्करण और आर्थिक समस्याओं के लिए गणितीय समर्थन का विकास (डेटाबेस और सूचना बैंकों का निर्माण, अर्थशास्त्रियों-उपयोगकर्ताओं के लिए मॉडल और सॉफ्टवेयर सेवाओं के स्वचालित निर्माण के लिए कार्यक्रम) अनुसंधान के काफी स्वतंत्र क्षेत्र बन रहे हैं। मॉडल के व्यावहारिक उपयोग के चरण में, विशेषज्ञों द्वारा आर्थिक विश्लेषण, योजना और प्रबंधन के प्रासंगिक क्षेत्र में अग्रणी भूमिका निभाई जानी चाहिए। अर्थशास्त्रियों-गणितज्ञों के काम का मुख्य क्षेत्र आर्थिक समस्याओं का सूत्रीकरण और औपचारिकता और आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का संश्लेषण है।

8. अनुप्रयुक्त आर्थिक और गणितीय अनुसंधान की भूमिका।

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में गणितीय विधियों के अनुप्रयोग के कम से कम चार पहलू हैं।

1. आर्थिक सूचना प्रणाली में सुधार। गणितीय तरीके आपको आर्थिक जानकारी की प्रणाली को सुव्यवस्थित करने, उपलब्ध जानकारी में अंतराल की पहचान करने और नई जानकारी तैयार करने या इसके सुधार के लिए आवश्यकताओं को विकसित करने की अनुमति देते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल का विकास और अनुप्रयोग योजना और प्रबंधन समस्याओं की एक निश्चित प्रणाली को हल करने पर केंद्रित आर्थिक जानकारी में सुधार के तरीकों को इंगित करता है। योजना और प्रबंधन के लिए सूचना समर्थन में प्रगति सूचना विज्ञान के तेजी से विकसित हो रहे तकनीकी और सॉफ्टवेयर साधनों पर आधारित है।

2. आर्थिक गणना की सटीकता की तीव्रता और सुधार। आर्थिक समस्याओं का औपचारिककरण और कंप्यूटर का उपयोग मानक, बड़े पैमाने पर गणना में तेजी लाता है, सटीकता बढ़ाता है और श्रम तीव्रता को कम करता है, और जटिल उपायों के लिए बहुभिन्नरूपी आर्थिक औचित्य को पूरा करना संभव बनाता है जो "मैनुअल" तकनीक के प्रभुत्व के तहत दुर्गम हैं। .

3. आर्थिक समस्याओं के मात्रात्मक विश्लेषण को गहरा करना। मॉडलिंग पद्धति के आवेदन के माध्यम से, विशिष्ट मात्रात्मक विश्लेषण की संभावनाएं काफी बढ़ जाती हैं; आर्थिक प्रक्रियाओं को प्रभावित करने वाले कई कारकों का अध्ययन, आर्थिक वस्तुओं के विकास के लिए परिस्थितियों में परिवर्तन के परिणामों का मात्रात्मक मूल्यांकन आदि।

4. मौलिक रूप से नई आर्थिक समस्याओं का समाधान। गणितीय मॉडलिंग के माध्यम से, अन्य तरीकों से हल करने के लिए व्यावहारिक रूप से असंभव आर्थिक समस्याओं को हल करना संभव है, उदाहरण के लिए: राष्ट्रीय आर्थिक योजना का इष्टतम संस्करण खोजना, राष्ट्रीय आर्थिक उपायों की नकल, जटिल के कामकाज पर नियंत्रण का स्वचालन आर्थिक वस्तुएं।

मॉडलिंग पद्धति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का दायरा आर्थिक समस्याओं और स्थितियों को औपचारिक रूप देने की संभावनाओं और दक्षता के साथ-साथ उपयोग किए गए मॉडलों की सूचना, गणितीय और तकनीकी सहायता की स्थिति से सीमित है। गणितीय मॉडल को हर कीमत पर लागू करने की इच्छा कम से कम कुछ आवश्यक शर्तों की कमी के कारण अच्छे परिणाम नहीं दे सकती है।

आधुनिक वैज्ञानिक अवधारणाओं के अनुसार, आर्थिक निर्णय लेने और विकसित करने की प्रणालियों को औपचारिक और अनौपचारिक तरीकों को जोड़ना चाहिए, पारस्परिक रूप से मजबूत और एक दूसरे के पूरक। औपचारिक विधियाँ मुख्य रूप से प्रबंधन प्रक्रियाओं में मानवीय क्रियाओं के लिए वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित सामग्री तैयार करने का एक साधन हैं। यह आपको किसी व्यक्ति के अनुभव और अंतर्ज्ञान, खराब औपचारिक समस्याओं को हल करने की उसकी क्षमता का उत्पादक रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है।