किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ पढ़ना। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ या किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ पढ़ना

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पाठ मकसद:

शैक्षिक: एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में कार्यों के ग्राफ़ के साथ काम करने में छात्रों के कौशल को मजबूत करना।

विकासात्मक: शैक्षणिक विषयों में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि, व्यवहार में अपने ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना।

शैक्षिक: ध्यान, सटीकता पैदा करें, छात्रों के क्षितिज का विस्तार करें।

उपकरण और सामग्री: कंप्यूटर, स्क्रीन, प्रोजेक्टर, प्रस्तुति “ग्राफ़ पढ़ना। एकीकृत राज्य परीक्षा"

कक्षाओं के दौरान

1. फ्रंटल सर्वेक्षण.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, परिभाषा का क्षेत्र और किसी फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी को क्या कहा जाता है? फ़ंक्शन के मानों की परिभाषा और सीमा का क्षेत्र निर्धारित करें।\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

इन फलनों के ग्राफ़ के गुणों को कौन-सा फलन सम, विषम कहा जाता है?

2. व्यायाम का समाधान

1) <Презентация. Слайд 7>.

आवधिक कार्य. परिभाषा।

समस्या का समाधान करें: एक आवर्त फलन के ग्राफ को देखते हुए, x अंतराल [-2;1] से संबंधित है। f(-4)-f(-6)*f(12), T=3 की गणना करें।

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके असमानताओं को हल करना।

a) असमानता f(x) 0 को हल करें यदि चित्र अंतराल [-7;6] पर दिए गए फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। उत्तर विकल्प: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

बी) यह आंकड़ा खंड [-4;7] पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है।

1. [-0.5;3], 2) [-0.5;3] यू , 3) [-4;0.5] यू +, 4) [-4;0,5]

सी) यह आंकड़ा अंतराल [-3;6] पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन y=f(x), और y=g(x) के ग्राफ़ दिखाता है। X के सभी मानों की सूची बनाएं जिनके लिए असमानता f(x) g(x) है

1. [-1;2], 2) [-2;3], 3)[-3;-2] यू+, 4)[-3;-1] यू

3) <Презентация. Слайд 11>.

बढ़ते और घटते कार्य

आंकड़ों में से एक खंड पर बढ़ते हुए फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है, और दूसरा - खंड [-2;0] पर घटते हुए। कृपया इन चित्रों को इंगित करें.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

घातांकीय और लघुगणकीय कार्य

ए) घातीय और लघुगणकीय कार्यों को बढ़ाने और घटाने के लिए शर्त का नाम बताइए। घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों के ग्राफ़ किस बिंदु से होकर गुजरते हैं, इन कार्यों के ग्राफ़ में क्या गुण होते हैं?

बी) चित्रों में से एक फ़ंक्शन y=2 -x का ग्राफ़ दिखाता है। इस चित्र को इंगित करें .

घातांकीय फलन का ग्राफ बिंदु (0, 1) से होकर गुजरता है क्योंकि घात का आधार 1 से कम है, इसलिए यह फलन घटता हुआ होना चाहिए। (नंबर 3)

सी) आंकड़ों में से एक फ़ंक्शन y=log 5 (x-4) का ग्राफ दिखाता है। इस अनुसूची की संख्या बतायें।

लघुगणक फलन y=log 5 x का ग्राफ बिंदु (1;0) से होकर गुजरता है , फिर, यदि x -4 = 1, तो y = 0, x = 1 + 4, एक्स=5. (5;0) - OX अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु। यदि x -4 = 5 , फिर y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के व्युत्पन्न के ग्राफ़ से स्पर्शरेखाओं की संख्या ज्ञात करना

a) फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल (-6;7) पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। सीधी रेखा y=5-2x के समानांतर (या इसके साथ मेल खाने वाली) सभी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची जाती हैं। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या इंगित करें जिन पर ये स्पर्शरेखाएँ खींची गई हैं।

के = टीजीए = एफ'(एक्स ओ)। शर्त के अनुसार k=-2, इसलिए, f'(x o) =-2. हम एक सीधी रेखा y=-2 खींचते हैं। यह ग्राफ़ को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन की स्पर्श रेखाएँ दो बिंदुओं पर खींची जाती हैं।

बी) फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-7;3] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखाएँ x-अक्ष के समानांतर हैं या इसके साथ मेल खाती हैं।

भुज अक्ष के समानांतर या उससे संपाती सीधी रेखाओं का कोणीय गुणांक शून्य होता है। इसलिए, K=tg a = f `(x o)=0. OX अक्ष इस ग्राफ़ को चार बिंदुओं पर काटता है।

ग) कार्य y=f(x)अंतराल (-6;6) पर परिभाषित। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखाएँ x-अक्ष की सकारात्मक दिशा में 135° के कोण पर झुकी हुई हैं।

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

किसी फलन के अवकलज के ग्राफ से स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करना

a) फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-2;6] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान सबसे छोटा है।

k=tga=f'(x o). फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बिंदु x=2 पर सबसे छोटा मान y=-3 लेता है। इसलिए, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान बिंदु x=2 पर सबसे छोटा है

बी) फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-7;3] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सबसे बड़ी है कोणीय गुणांक.

7) <Презентация. Слайд 20>.

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना

यह चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x o वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। व्युत्पन्न का मान ज्ञात कीजिए f `(x)बिंदु x o पर

f'(x o) =tga. चूँकि आकृति में a एक अधिककोण है, तो tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के ग्राफ़ से उसका न्यूनतम (अधिकतम) ज्ञात करना

बिंदु x=4 पर व्युत्पन्न चिन्ह ऋण से धन में बदल जाता है। इसका मतलब है कि x=4 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है y=f(x)

बिंदु x=1 पर व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है . इसका मतलब है कि x=1 एक बिंदु है अधिकतम functiony=f(x))

3. स्वतंत्र कार्य

<Презентация. Слайд 22>.

1 विकल्प

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें।

2) असमानता f(x) 0 को हल करें

3) फ़ंक्शन के घटने के अंतराल निर्धारित करें।

4) फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें।

5) उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान सबसे बड़ा है।

विकल्प 2

1) फ़ंक्शन के मानों की सीमा ज्ञात करें।

2) असमानता f(x) 0 को हल करें

3) फ़ंक्शन की वृद्धि के अंतराल निर्धारित करें।

फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ y=f(x)

4) फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु ज्ञात करें।

5) उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान सबसे छोटा है।

4. पाठ का सारांश

विषय "एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन का ग्राफ़ पढ़ना"

पाठ का उद्देश्य: किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से व्युत्पन्न के गुणों को निर्धारित करने में कौशल का निर्माण, किसी व्युत्पन्न के ग्राफ़ से किसी फ़ंक्शन के गुण, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके व्युत्पन्न के ग्राफ़ की तुलना करना।

सामग्री और उपकरण: कंप्यूटर प्रस्तुति.

शिक्षण योजना

1. आयोजन का समय.
2. मौखिक गिनती "एक गलती पकड़ो"
3. "आपका अपना समर्थन" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की पुनरावृत्ति
4. कौशल प्रशिक्षण
5. खेल "क्षमता"
6. संक्षेपण।

कक्षाओं के दौरान.

1. आयोजन का समय. "डेरिवेटिव का उपयोग करके कार्यों का अध्ययन" विषय के अध्ययन के दौरान, किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं, व्युत्पन्न को खोजने, इसकी सहायता से फ़ंक्शन के गुणों को निर्धारित करने और उसका ग्राफ बनाने के कौशल विकसित किए गए थे। आज हम इस विषय को एक अलग कोण से देखेंगे: किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के ग्राफ़ के माध्यम से फ़ंक्शन के गुणों को कैसे निर्धारित किया जाए। हमारा कार्य: फ़ंक्शंस और उनके डेरिवेटिव के ग्राफ़ से संबंधित एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों की विविधता को नेविगेट करना सीखना।
2. मौखिक गिनती

(2x 2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; एक्स / =1 एक्स

1. विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की पुनरावृत्ति। (पाठ की शुरुआत में मनोदशा को दर्शाने के लिए अपनी नोटबुक में एक छोटे आदमी का चित्र बनाएं)

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को दोहराएं: वृद्धि और कमी, फ़ंक्शन की चरम सीमा।

बढ़ते (घटते) कार्य का पर्याप्त संकेत। यह पढ़ता है:

1. यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अंतराल X में प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन अंतराल X पर बढ़ता है।
2. यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अंतराल X के प्रत्येक बिंदु पर नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन अंतराल X पर घट जाता है।

चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ:

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=f(x) अंतराल X पर निरंतर है और अंतराल के अंदर एक महत्वपूर्ण बिंदु x 0 है। तब यदि, बिंदु x 0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न है:

a) चिन्ह को "+" से "-" में बदलता है, तो x 0 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है,

बी) फिर चिह्न को "-" से "+" में बदल देता है एक्स 0- फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु,

ग) चिह्न नहीं बदलता, तो बिंदु पर एक्स 0कोई अति नहीं है.

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वयं एक फ़ंक्शन है। इसका मतलब है कि उसका अपना शेड्यूल है।

एक्स(हमारे पास एक खंड है [ ए; बी]) x-अक्ष के ऊपर स्थित है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है।

यदि अंतराल पर व्युत्पन्न का ग्राफ एक्स x-अक्ष के नीचे स्थित है, तो इस अंतराल पर फलन घटता जाता है। इसके अलावा, व्युत्पन्न ग्राफ़ विकल्प भिन्न हो सकते हैं।

इसलिए, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ होने पर, हम फ़ंक्शन के गुणों के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

1. कौशल विकास। आइए समस्या पर विचार करें:
2. खेल "क्षमता"
3. संक्षेपण। (एक नोटबुक में एक छोटे से आदमी का चित्र बनाएं, जो पाठ के अंत में मनोदशा को दर्शाता है) "संक्षेप" की भूमिका (वह कहेगा कि उसने पाठ में क्या सोचा (निष्कर्ष, परिणाम...) उसकी राय में, मुख्य था एक)

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एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन का ग्राफ़ पढ़ना और क्या एकीकृत राज्य परीक्षा के रास्ते पर है

पाठ योजना संगठनात्मक क्षण. मौखिक गणना "एक गलती पकड़ें" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की पुनरावृत्ति, नोट्स "आपका समर्थन" कौशल विकास खेल "क्षमता" सारांश।

मौखिक गिनती "गलती ढूंढें" (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

विषय f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की पुनरावृत्ति 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 किसी फ़ंक्शन की वृद्धि (कमी) का पर्याप्त संकेत: यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अंतराल X के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है X. यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अंतराल X के प्रत्येक बिंदु पर नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन अंतराल X पर घटता है। यदि अंतराल X पर व्युत्पन्न का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर स्थित है, तो फ़ंक्शन बढ़ता है यह अंतराल. यदि एक्स अंतराल पर व्युत्पन्न का ग्राफ एक्स-अक्ष के नीचे स्थित है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है।

एफ(एक्स) एफ / (एक्स) 5 + - वाई = एफ / (एक्स) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 "स्वयं का समर्थन" बढ़ रहा है घट रहा है बढ़ रहा है

f(x) f / (x) 5 + - y = f / (x) y x + 1 E यदि, बिंदु x 0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न: a) चिह्न को "+" से "-" में बदल देता है, तो x 0 फ़ंक्शन का बिंदु अधिकतम है, b) चिह्न को "-" से "+" में बदलता है, फिर x 0 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, c) चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x 0 पर कोई चरम नहीं है . "आपका अपना समर्थन" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की पुनरावृत्ति एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त: यदि फ़ंक्शन y=f (x) के बिंदु x=x0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो बराबर है 0 या अस्तित्व में नहीं है. अधिकतम न्यूनतम

कौशल विकास (खुले एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक से समस्याओं को हल करना) बढ़ते अंतराल: (-5;-1), (2;8),(11;12) उत्तर: 6 1 f(x) f / (x) + + +

कौशल विकास घटते अंतराल: (-1;0), (9;12) उत्तर: 3 2 f(x) f / (x) - - कौशल विकास (खुले एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक से समस्याओं का समाधान)

कौशल विकास उत्तर:-3 3 f(x) f/(x) कौशल विकास (खुले एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक से समस्याओं का समाधान)

कौशल विकास उत्तर:- 3 4 f(x) f/(x) कौशल विकास (खुले एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक से समस्याओं का समाधान)

कौशल विकास 5 एफ(एक्स) एफ / (एक्स) कौशल विकास (खुले एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक से समस्याओं का समाधान)

खेल "क्षमता" प्रतिभागी: दो टीमें - प्रतिस्पर्धी कंपनियां पाठ के विषय पर एक दूसरे के लिए 3 कार्य लेकर आती हैं, कार्यों का आदान-प्रदान करती हैं, उन्हें पूरा करती हैं और बोर्ड पर समाधान दिखाती हैं। यदि प्रतिद्वंद्वी विफल हो जाता है, तो प्रश्न पूछने वाली टीम को स्वयं इसका उत्तर देना होगा। प्रत्येक कंपनी 5-पॉइंट सिस्टम (प्रत्येक कार्य और प्रत्येक उत्तर) का उपयोग करके प्रतिस्पर्धी कंपनी के काम का मूल्यांकन करती है। ज्ञान प्रायोजक: पेट्रोवा गेलेना और सेमेनोवा कुन्नई

सारांश: एक आदमी का चित्रण सारांश: पाठ में मुख्य बात क्या थी? क्या दिलचस्प था? आपने क्या सीखा? मूल्यांकन मानदंड: 28-30 अंक - स्कोर "5" 20-27 अंक - स्कोर "4" 10-19 अंक - स्कोर "3" 10 अंक से नीचे - एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में श्रमसाध्य कार्य के लिए सिफारिश

एकीकृत राज्य परीक्षा में गणितीय विश्लेषण के तत्व मालिनोव्स्काया गैलिना मिखाइलोवना [ईमेल सुरक्षित] बुनियादी कार्यों के व्युत्पन्न की संदर्भ सामग्री तालिका।  विभेदीकरण के नियम (दो कार्यों के योग, उत्पाद, भागफल का व्युत्पन्न)।  एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।  व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ।  व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ.  संदर्भ सामग्री ग्राफ़िक रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम)।  किसी दिए गए अंतराल पर निरंतर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान ज्ञात करना।  प्रकार्य का प्रतिव्युत्पन्न। न्यूटन-लीबनिज सूत्र. एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना।  भौतिक अनुप्रयोग  1.1 एक भौतिक बिंदु नियम के अनुसार सीधी रेखा में चलता है 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, टी सेकंड में समय है, से मापा जाता है आंदोलन की शुरुआत. समय t=3s पर इसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात करें।  1.2 एक भौतिक बिंदु नियम 𝑥 𝑡 = 𝑡 - 3 3𝑡 2 - 5𝑡 + 3 के अनुसार 1 3 सीधी रेखा में चलता है, जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, टी सेकंड में समय है, शुरुआत से मापा जाता है आंदोलन। किस समय (सेकंड में) इसकी गति 2 मीटर/सेकेंड के बराबर थी? समाधान: हम x(t) के अवकलज (समय के संबंध में पथ का कार्य) की तलाश कर रहे हैं।  समस्या 1.1 में, इसके मान को t से प्रतिस्थापित करें और गति की गणना करें (उत्तर: 59)।  समस्या 1.2 में, हम पाए गए व्युत्पन्न को किसी दिए गए नंबर के बराबर करते हैं और चर टी के संबंध में समीकरण को हल करते हैं। (उत्तरः 7).  ज्यामितीय अनुप्रयोग 2.1 रेखा 𝑦 = 7𝑥 − 5 फ़ंक्शन 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 के ग्राफ़ 2 की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें। 2.2 सीधी रेखा 𝑦 = 3𝑥 + 1 फ़ंक्शन के दूसरे ग्राफ़ 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 की स्पर्श रेखा है। लगता है। 2.3 सीधी रेखा 𝑦 = −5𝑥 + 8 फ़ंक्शन 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 के दूसरे ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज 0 से अधिक है। 2.4 रेखा 𝑦 = 3𝑥 + 4 फ़ंक्शन 3𝑥 - 3𝑥 + 𝑐 के ग्राफ 2 की स्पर्शरेखा है। सी खोजें। समाधान: समस्या 2.1 में, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं और इसे सीधी रेखा के ढलान के बराबर करते हैं (उत्तर: 0.5)।  समस्या 2.2-2.4 में हम दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। एक में हम कार्यों को बराबर करते हैं, दूसरे में हम उनके व्युत्पन्नों को बराबर करते हैं। दो अज्ञात (एक चर x और एक पैरामीटर) वाले सिस्टम में, हम एक पैरामीटर की तलाश करते हैं। (उत्तरः 2.2) a=0.125; 2.3) बी=-33; 2.4) सी=7).   2.5 चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ और भुज 𝑥0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु 𝑥0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।  2.6 चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ और भुज 𝑥0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु 𝑥0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।  2.7 चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को भुज 10 वाले बिंदु पर स्पर्श करती है। बिंदु x=10 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। 𝑥0 = 0 समाधान:     किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान इस बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा है। हम समकोण त्रिभुज को "पूरा" करते हैं और संबंधित कोण की स्पर्शरेखा की तलाश करते हैं, जिसे हम सकारात्मक मानते हैं यदि स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है (स्पर्शरेखा "बढ़ती है") और यदि कोण है तो नकारात्मक कुंठित (स्पर्शरेखा घट जाती है)। समस्या 2.7 में, आपको निर्दिष्ट बिंदु और मूल बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा खींचने की आवश्यकता है। उत्तर: 2.5) 0.25; 2.6) -0.25; 2.7)-0.6. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ पढ़ना या किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ पढ़ना  3.1 यह आंकड़ा अंतराल (6;8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है।  3.2 चित्र अंतराल (-5;5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है। समाधान: अवकलज का चिह्न फलन के व्यवहार से संबंधित होता है।  यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के उस हिस्से का चयन करते हैं जहां फ़ंक्शन बढ़ता है। यदि अवकलज ऋणात्मक है तो फलन कहाँ घटता है। हम ऑक्स अक्ष पर इस भाग के अनुरूप अंतराल का चयन करते हैं।  समस्या के प्रश्न के अनुसार, हम या तो दिए गए अंतराल में शामिल पूर्णांकों की संख्या की पुनर्गणना करते हैं या उनका योग ज्ञात करते हैं।  उत्तर: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 चित्र अंतराल (-2;12) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें। सबसे पहले, हम देखते हैं कि चित्र में क्या है: किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ या व्युत्पन्न का ग्राफ़।  यदि यह व्युत्पन्न का ग्राफ है, तो हम केवल व्युत्पन्न के संकेतों और ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज में रुचि रखते हैं।  स्पष्टता के लिए, आप परिणामी अंतरालों और फ़ंक्शन के व्यवहार पर व्युत्पन्न के संकेतों के साथ एक अधिक परिचित चित्र बना सकते हैं।  समस्या में चित्र के अनुसार प्रश्न का उत्तर दें। (उत्तरः 3.3)44).   3.4 चित्र ′ y=𝑓 (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-7;14] पर परिभाषित। फ़ंक्शन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें ) खंड से संबंधित [-6;9]  3.5 यह आंकड़ा y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-11;11) पर परिभाषित किया गया है खंड [-10;10] से संबंधित फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या समाधान: हम ऑक्स अक्ष के साथ व्युत्पन्न ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की तलाश करते हैं, अक्ष के उस हिस्से को उजागर करते हैं जो समस्या में दर्शाया गया है .  हम प्रत्येक परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं (यदि व्युत्पन्न ग्राफ अक्ष के नीचे है, तो "-", यदि ऊपर है, तो "+")।  अधिकतम अंक वे होंगे जहां चिह्न "+" से "-" में बदल गया है, न्यूनतम अंक - "-" से "+" में बदल गया है। दोनों चरम बिंदु हैं.  उत्तर: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 चित्र y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8;3) पर परिभाषित। खंड के किस बिंदु पर [-3;2] फ़ंक्शन f(x) सबसे बड़ा मान लेता है।  3.7 चित्र ′ y=𝑓 (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8;4) पर परिभाषित। खंड के किस बिंदु पर [-7;-3] फ़ंक्शन f(x) सबसे छोटा मान लेता है। समाधान:    यदि व्युत्पन्न विचाराधीन खंड पर संकेत बदलता है, तो समाधान प्रमेय पर आधारित है: यदि किसी खंड पर निरंतर फ़ंक्शन पर एक एकल चरम बिंदु है और यह अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु है, तो इस खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान इस बिंदु पर प्राप्त किया जाता है। यदि किसी खंड पर निरंतर कोई फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, तो यह किसी दिए गए खंड पर उसके सिरों पर अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों तक पहुंच जाता है। उत्तर: 3.6)-3; 3.7)-7.  3.8 चित्र अंतराल (-5;5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सीधी रेखा y=6 के समानांतर या संपाती है।  3.9 चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ़ और भुज अक्ष पर आठ बिंदु दिखाता है: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 । इनमें से कितने बिंदुओं पर f(x) का व्युत्पन्न धनात्मक है?  4.2 यह चित्र y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-5;7) पर परिभाषित। फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें।  4.5 चित्र y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-4;8) पर परिभाषित। खंड [-2;6] से संबंधित फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु खोजें।  4.6 चित्र y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-10;2) पर परिभाषित। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y=-2x-11 के समानांतर या मेल खाती है। समाधान: 4.6 चूँकि चित्र व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है, और स्पर्शरेखा इस रेखा के समानांतर है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न -2 के बराबर है। हम व्युत्पन्न ग्राफ़ पर -2 के बराबर कोटि वाले बिंदुओं की तलाश करते हैं और उनकी संख्या गिनते हैं। हमें 5 मिलते हैं।  उत्तर: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5)4; 4.6) 5.   4.8 चित्र y=𝑓 ′ (𝑥) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न। उस बिंदु का भुज खोजें जिस पर ग्राफ y=f(x) की स्पर्श रेखा भुज अक्ष के समानांतर या संपाती है। समाधान: यदि एक सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है, तो उसका ढलान शून्य है।  स्पर्शरेखा का ढलान शून्य है, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न शून्य है।  हम ऑक्स अक्ष के साथ व्युत्पन्न ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के भुज की तलाश कर रहे हैं।  हमें -3 ​​मिलता है।   4.9 चित्र फ़ंक्शन y=𝑓 ′ (x) फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न और भुज अक्ष पर आठ बिंदुओं का एक ग्राफ दिखाता है: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 । इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन f(x) का अवकलज बढ़ता है? निश्चित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ  5.1 यह चित्र किसी फ़ंक्शन y=f(x) (एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु के साथ दो किरणें) का एक ग्राफ दिखाता है। चित्र का उपयोग करके, F(8)-F(2) की गणना करें, जहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है। समाधान:     एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना एक निश्चित अभिन्न अंग के माध्यम से की जाती है। निश्चित समाकलन की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके प्रतिअवकलन की वृद्धि के रूप में की जाती है। समस्या 5.1 में, हम प्रसिद्ध ज्यामिति पाठ्यक्रम सूत्र का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करते हैं (यह एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि होगी)। समस्या 5.2 और 5.3 में प्रतिअवकलन पहले ही दिया जा चुका है। खंड के अंत में इसके मूल्यों की गणना करना और अंतर की गणना करना आवश्यक है।  5.2 चित्र कुछ फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। फलन 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 - फलन f(x) के 8 प्रतिअवकलजों में से एक है। छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान:     एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना एक निश्चित अभिन्न अंग के माध्यम से की जाती है। निश्चित समाकलन की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके प्रतिअवकलन की वृद्धि के रूप में की जाती है। समस्या 5.1 में, हम प्रसिद्ध ज्यामिति पाठ्यक्रम सूत्र का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करते हैं (यह एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि होगी)। समस्या 5.2 में प्रतिअवकलन पहले से ही दिया गया है। खंड के अंत में इसके मूल्यों की गणना करना और अंतर की गणना करना आवश्यक है। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ 

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सीधी रेखा y=x के बारे में समरूपता

इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ > 1 पर बढ़ते हैं और 0 पर घटते हैं

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आंकड़ों में से एक फ़ंक्शन y=2-x का ग्राफ़ दिखाता है। कृपया इस चित्र को इंगित करें. एक घातांकीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक घातांकीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0, 1) से होकर गुजरता है क्योंकि डिग्री का आधार 1 से कम है, इसलिए यह फ़ंक्शन घटता जाना चाहिए।

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आंकड़ों में से एक फ़ंक्शन y=log5 (x-4) का ग्राफ दिखाता है। इस अनुसूची की संख्या बताएं. लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y=log5x का ग्राफ़ बिंदु (1;0) से होकर गुजरता है, फिर यदि x -4 = 1, तो = 0, x = 1 + 4, x = 5। (5;0) - OX अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु। यदि x -4 = 5, तो y = 1, x = 5 + 4, x = 9, लघुगणक फ़ंक्शन का ग्राफ़ 9 5 1

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फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल (-6;7) पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। सीधी रेखा y = 5-2x (या इसके साथ मेल खाने वाली) के समानांतर सभी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची जाती हैं। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या इंगित करें जिन पर ये स्पर्शरेखाएँ खींची गई हैं। K = tga = f'(xo) शर्त के अनुसार k = -2। इसलिए f'(xo) = -2 हम एक सीधी रेखा y = -2 खींचते हैं। यह ग्राफ़ को दो बिंदुओं पर काटती है, जिसका अर्थ है फ़ंक्शन की स्पर्शरेखा दो बिंदुओं पर खींचे गए हैं। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के व्युत्पन्न के ग्राफ़ से स्पर्शरेखाओं की संख्या ज्ञात करना

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फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-7;3] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखाएँ x-अक्ष के समानांतर हैं या इसके साथ मेल खाती हैं। भुज के समानांतर या उससे संपाती रेखाओं का कोणीय गुणांक शून्य होता है। इसलिए K=tg a = f `(xo)=0 OX अक्ष इस ग्राफ को चार बिंदुओं पर काटता है। किसी फलन के अवकलज के ग्राफ से स्पर्श रेखाओं की संख्या ज्ञात करना

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फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल (-6;6) पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखाएँ x-अक्ष की सकारात्मक दिशा में 135 के कोण पर झुकी हुई हैं। K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 इसलिए f`(xo)=-1 एक सीधी रेखा y=-1 खींचिए यह ग्राफ को तीन बिंदुओं पर काटती है , जिसका अर्थ है तीन बिंदुओं पर किए गए फ़ंक्शन की स्पर्शरेखा। किसी फलन के अवकलज के ग्राफ से स्पर्श रेखाओं की संख्या ज्ञात करना

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फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-2;6] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक सबसे छोटा है k=tg a=f'(xo) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे छोटा मान y=-3 लेता है बिंदु x=2 पर. इसलिए, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान बिंदु x=2 पर सबसे छोटा होता है, फ़ंक्शन -3 2 के अवकलज के ग्राफ़ से स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करना

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फ़ंक्शन y=f(x) को अंतराल [-7;3] पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उस भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का ढलान सबसे बड़ा है। k=tg a=f'(xo) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बिंदु x=-5 पर अपना सबसे बड़ा मान y=3 लेता है। इसलिए, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान बिंदु x = -5 पर सबसे बड़ा है। फ़ंक्शन 3 -5 के व्युत्पन्न के ग्राफ़ से स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करना

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यह चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ़ और भुज xo वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु xo f '(xo) =tg a पर अवकलज f `(x) का मान ज्ञात कीजिए क्योंकि चित्र में a एक अधिक कोण है, तो tan a

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किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के ग्राफ़ से उसका न्यूनतम (अधिकतम) ज्ञात करना

बिंदु x=4 पर, व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। इसका मतलब है कि x = 4 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है y = f (x) 4 बिंदु x = 1 पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से बदल जाता है। माइनसमीनx=1 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है y=f(x))

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स्वतंत्र काम

चित्र.11) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। 2) असमानता f(x) ≥ 0 को हल करें 3) फ़ंक्शन के घटने के अंतराल निर्धारित करें। चित्र 2 - व्युत्पन्न फलन का ग्राफ y=f(x) 4) फलन के न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए। 5) उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का कोण गुणांक सबसे बड़ा है। चित्र.11) फ़ंक्शन के मानों की सीमा ज्ञात करें। 2) असमानता को हल करें f(x)≤ 0 3) फ़ंक्शन की वृद्धि के अंतराल निर्धारित करें। चित्र 2 - व्युत्पन्न फलन का ग्राफ y=f(x) 4) फलन के अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए। 5) उस बिंदु के भुज को इंगित करें जिस पर फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान सबसे छोटा है। 1 विकल्प 2 विकल्प

विषय: गणित पाठ्यक्रम की सामान्य समीक्षा। परीक्षा की तैयारी

पाठ: फ़ंक्शंस का ग्राफ़ पढ़ना। समस्या समाधान B2

हमारे जीवन में, ग्राफ अक्सर पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, एक मौसम पूर्वानुमान, जो कुछ संकेतकों में परिवर्तन के ग्राफ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, उदाहरण के लिए, समय के साथ तापमान या हवा की ताकत। जब हम इस चार्ट को पढ़ते हैं तो हम दो बार नहीं सोचते हैं, भले ही यह हमारे जीवन में पहली बार हो सकता है कि हमने कोई चार्ट पढ़ा हो। आप समय के साथ विनिमय दरों में परिवर्तन के ग्राफ़ और कई अन्य उदाहरणों का उदाहरण भी दे सकते हैं।

तो, पहला चार्ट हम देखेंगे।

चावल। 1. ग्राफ़ 1 का चित्रण

जैसा कि आप देख सकते हैं, ग्राफ़ में 2 अक्ष हैं। दाहिनी ओर (क्षैतिज) इंगित करने वाली धुरी को अक्ष कहा जाता है . ऊपर की ओर (ऊर्ध्वाधर) इंगित करने वाली धुरी को अक्ष कहा जाता है .

सबसे पहले, आइए अक्ष को देखें। इस ग्राफ़ में, एक निश्चित ऑटोमोबाइल इंजन की प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या इस अक्ष के साथ प्लॉट की गई है। यह बराबर हो सकता है, आदि। इस अक्ष पर भी विभाजन होते हैं, उनमें से कुछ को संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है, उनमें से कुछ मध्यवर्ती होते हैं और संकेतित नहीं होते हैं। यह अनुमान लगाना आसान है कि शून्य से पहला भाग है, तीसरा है, आदि।

अब आइए धुरी को देखें। इस ग्राफ पर, इस अक्ष के साथ न्यूटन के संख्यात्मक मान प्रति मीटर (), टॉर्क मान, जो बराबर हैं, आदि अंकित हैं। इस मामले में, विभाजन मूल्य बराबर है।

आइए अब स्वयं फ़ंक्शन की ओर मुड़ें (उस रेखा की ओर जो ग्राफ़ पर प्रस्तुत की गई है)। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह रेखा दर्शाती है कि प्रति मिनट एक विशिष्ट इंजन गति पर प्रति मीटर कितने न्यूटन, यानी कितना टॉर्क होगा। यदि हम मान 1000 आरपीएम लेते हैं। और ग्राफ़ के इस बिंदु से हम बाईं ओर जाते हैं, हम देखेंगे कि रेखा बिंदु 20 से होकर गुजरती है, अर्थात 1000 आरपीएम पर टॉर्क का मान बराबर होगा (चित्र 2.2)।

यदि हम 2000 आरपीएम का मान लें, तो रेखा पहले से ही बिंदु पर गुजर जाएगी (चित्र 2.2)।

चावल। 2. प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या द्वारा टॉर्क का निर्धारण

अब कल्पना करें कि हमारा कार्य इस ग्राफ़ से सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है। हम उच्चतम बिंदु () की तलाश कर रहे हैं, तदनुसार, इस ग्राफ़ में सबसे कम टॉर्क मान 0 माना जाएगा। ग्राफ़ पर फ़ंक्शन का उच्चतम मान खोजने के लिए, आपको उस उच्चतम मान पर विचार करना होगा जो फ़ंक्शन ऊर्ध्वाधर पर पहुंचता है एक्सिस। हम देखते हैं कि कौन सा मान उच्चतम है और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर देखते हैं कि प्राप्त की गई उच्चतम संख्या क्या होगी। यदि हम सबसे छोटे मान के बारे में बात कर रहे हैं, तो इसके विपरीत, हम सबसे निचला बिंदु लेते हैं और ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ उसके मान को देखते हैं।

चावल। 3. ग्राफ़ के अनुसार किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

इस मामले में सबसे बड़ा मान है, और सबसे छोटा मान क्रमशः 0 है। यह महत्वपूर्ण है कि भ्रमित न हों और अधिकतम मान को सही ढंग से इंगित करें, कुछ अधिकतम मान 4000 आरपीएम दर्शाते हैं, यह अधिकतम मान नहीं है, बल्कि बिंदु है जिस पर अधिकतम मान लिया जाता है (बिंदु अधिकतम), सबसे बड़ा मान बिल्कुल होता है।

आपको ऊर्ध्वाधर अक्ष, इसकी माप की इकाइयों पर भी ध्यान देना चाहिए, उदाहरण के लिए, यदि प्रति मीटर न्यूटन () के बजाय सैकड़ों न्यूटन प्रति मीटर () इंगित किए गए थे, तो अधिकतम मूल्य को एक सौ से गुणा करने की आवश्यकता होगी , वगैरह।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से बहुत निकटता से संबंधित होते हैं।

यदि विचाराधीन खंड पर कोई फ़ंक्शन बढ़ता है, तो इस खंड पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर सकारात्मक या शून्य के बराबर होता है, अक्सर यह केवल सकारात्मक होता है। इसी प्रकार, यदि विचाराधीन खंड पर कोई फलन घटता है, तो इस खंड पर फलन का व्युत्पन्न अंकों की एक सीमित संख्या पर ऋणात्मक या शून्य के बराबर होता है। दोनों ही मामलों में इसका विपरीत सत्य है।

निम्नलिखित उदाहरण में क्षैतिज अक्ष बाधा के कारण कुछ कठिनाइयाँ हैं। निर्दिष्ट खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक है।

ग्राफ़ समय के साथ तापमान में परिवर्तन को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष पर हम समय और दिन देखते हैं, और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर हम तापमान देखते हैं। 22 जनवरी को उच्चतम हवा का तापमान निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात हमें पूरे ग्राफ पर नहीं, बल्कि 22 जनवरी से संबंधित भाग पर विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात 22 जनवरी को 00:00 बजे से 23 जनवरी को 00:00 बजे तक।

चावल। 4. तापमान परिवर्तन ग्राफ

ग्राफ़ को सीमित करने से, यह हमारे लिए स्पष्ट हो जाता है कि अधिकतम तापमान बिंदु से मेल खाता है।

तीन दिनों में तापमान परिवर्तन का ग्राफ दिया गया है। बैल अक्ष पर - दिन का समय और महीने का दिन, ओय अक्ष पर - हवा का तापमान डिग्री सेल्सियस में।

हमें पूरे शेड्यूल पर नहीं, बल्कि 13 जुलाई से संबंधित हिस्से पर विचार करने की जरूरत है, यानी 13 जुलाई को 00:00 बजे से 14 जुलाई को 00:00 बजे तक।

चावल। 5. अतिरिक्त उदाहरण के लिए चित्रण

यदि आप ऊपर वर्णित प्रतिबंधों को दर्ज नहीं करते हैं, तो आपको गलत उत्तर मिल सकता है, लेकिन एक निश्चित अंतराल पर अधिकतम मूल्य स्पष्ट है:, और यह 13 जुलाई को 12:00 बजे पहुंच जाता है।

उदाहरण 3: निर्धारित करें कि किस तारीख को पहली बार पांच मिलीमीटर बारिश हुई:

ग्राफ 3 फरवरी से 15 फरवरी 1909 तक कज़ान में दैनिक वर्षा दर्शाता है। महीने के दिन क्षैतिज रूप से प्रदर्शित होते हैं, और मिलीमीटर में वर्षा की मात्रा लंबवत प्रदर्शित होती है।

चावल। 6. दैनिक वर्षा

आइए क्रम से शुरू करें। 3 तारीख को, हम देखते हैं कि 0 से थोड़ा अधिक, लेकिन 1 मिमी से कम गिरा। वर्षा, 4 तारीख को 4 मिमी वर्षा हुई, आदि। संख्या 5 पहली बार 11वें दिन दिखाई देती है। सुविधा के लिए, आप वस्तुतः पाँचों के विपरीत एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, यह पहली बार 11 फरवरी को चार्ट को पार करेगी, यह सही उत्तर है।

उदाहरण 4: निर्धारित करें कि किस तारीख को एक औंस सोने की कीमत सबसे कम थी

ग्राफ 5 मार्च से 28 मार्च 1996 तक प्रत्येक दिन के लिए एक्सचेंज ट्रेडिंग की समाप्ति पर सोने की कीमत दिखाता है। महीने के दिन क्षैतिज, लंबवत, प्रदर्शित होते हैं

तदनुसार, अमेरिकी डॉलर में एक औंस सोने की कीमत।

बिंदुओं के बीच की रेखाएँ केवल स्पष्टता के लिए खींची जाती हैं; जानकारी केवल बिंदुओं द्वारा ही ली जाती है।

चावल। 7. स्टॉक एक्सचेंज पर सोने की कीमत में बदलाव का चार्ट

अतिरिक्त उदाहरण: निर्धारित करें कि खंड के किस बिंदु पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेता है:

एक निश्चित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ग्राफ़ पर दिया गया है।

चावल। 8. अतिरिक्त उदाहरण के लिए चित्रण

व्युत्पन्न को अंतराल पर परिभाषित किया गया है

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है और बाईं सीमा बिंदु पर शून्य के बराबर है। जैसा कि हम जानते हैं, यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है, तो विचाराधीन अंतराल पर फ़ंक्शन कम हो जाता है, इसलिए, हमारा फ़ंक्शन विचाराधीन पूरे अंतराल पर घट जाता है, इस मामले में, यह सबसे बाईं सीमा में सबसे बड़ा मान लेता है। उत्तर: अवधि.

इसलिए, हमने किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अवधारणा को देखा, अध्ययन किया कि ग्राफ़ पर अक्ष क्या हैं, ग्राफ़ से फ़ंक्शन का मान कैसे ढूंढें, सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे ढूंढें।

1. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. - एम.: निमोसिने।
2. मुराविन जी.के., मुराविन ओ.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. - एम.: बस्टर्ड.
3. कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: आत्मज्ञान।

1. एकीकृत राज्य परीक्षा ()।
2. शैक्षणिक विचारों का उत्सव ()।
3. पढ़ाई करना आसान है.आरएफ().

1. आरेख (चित्र 9) 1973 के प्रत्येक महीने के लिए येकातेरिनबर्ग (सेवरडलोव्स्क) में औसत मासिक हवा का तापमान दिखाता है। क्षैतिज अक्ष महीनों को इंगित करता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष डिग्री सेल्सियस में तापमान को इंगित करता है। आरेख से मई से दिसंबर 1973 की अवधि के दौरान न्यूनतम औसत मासिक तापमान निर्धारित करें। अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में दें।

चावल। 9. तापमान चार्ट

1. उसी ग्राफ़ (चित्र 9) का उपयोग करके, 1973 में उच्चतम और निम्नतम औसत मासिक तापमान के बीच अंतर निर्धारित करें। अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में दें।
2. ग्राफ़ (चित्र 10) 15 डिग्री के परिवेश तापमान पर एक आंतरिक दहन इंजन की हीटिंग प्रक्रिया को दर्शाता है। एब्सिस्सा अक्ष इंजन चालू होने के बाद से बीते मिनटों में समय दिखाता है, और y-अक्ष इंजन का तापमान डिग्री सेल्सियस में दिखाता है। जब मोटर का तापमान 45 डिग्री तक पहुंच जाए तो लोड को मोटर से जोड़ा जा सकता है। लोड को मोटर से जोड़ने से पहले न्यूनतम कितने मिनट तक प्रतीक्षा करनी होगी?

चावल। 10. इंजन वार्म-अप शेड्यूल