कोणीय गति क्या है? कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

किसी भौतिक बिंदु का संवेगबिंदु O के सापेक्ष वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है
, जहां बिंदु O से खींचा गया त्रिज्या वेक्टर भौतिक बिंदु का संवेग है।
एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग, इस अक्ष के एक मनमाने बिंदु O के सापेक्ष परिभाषित कोणीय संवेग वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर होता है। कोणीय संवेग का मान अक्ष पर बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है जेड.

एक कठोर पिंड का संवेगअक्ष के सापेक्ष शरीर को बनाने वाले व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग का योग है। उस पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है
.

यदि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर पर कार्य करने वाले बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर है, तो कोणीय गति संरक्षित है ( कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम):
.

समय के संबंध में एक कठोर पिंड के कोणीय संवेग का व्युत्पन्न शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों के योग के बराबर है:
.

किसी भौतिक बिंदु की त्रिज्या वेक्टर और उसके संवेग का वेक्टर उत्पाद: बिंदु O के सापेक्ष इस बिंदु का कोणीय संवेग कहलाता है (चित्र 5.4)

एक सदिश को कभी-कभी किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग भी कहा जाता है। यह सदिशों के माध्यम से खींचे गए समतल के लंबवत घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है और उनके साथ सदिशों का दाहिना हाथ त्रिक बनाता है (जब सदिश के शीर्ष से देखा जाता है, तो यह स्पष्ट होता है कि k से सबसे कम दूरी पर घूर्णन वामावर्त होता है)।

सिस्टम के सभी भौतिक बिंदुओं के कोणीय संवेग के वेक्टर योग को बिंदु O के सापेक्ष सिस्टम का कोणीय संवेग (गति का संवेग) कहा जाता है:

सदिश और परस्पर लंबवत होते हैं और पिंड के घूर्णन अक्ष के लंबवत तल में स्थित होते हैं। इसीलिए । रैखिक और कोणीय मात्राओं के बीच संबंध को ध्यान में रखते हुए

और वेक्टर के समान दिशा में शरीर के घूर्णन अक्ष के साथ निर्देशित होता है।

इस प्रकार।

घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड का संवेग

(5.9)

नतीजतन, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और इस अक्ष के चारों ओर पिंड के घूर्णन के कोणीय वेग के उत्पाद के बराबर होता है।

प्रश्न क्रमांक 16

पिंडों की गति के तीन बुनियादी नियम:

पहला कानून. प्रत्येक शरीर अपनी आराम या एकसमान अवस्था को बनाए रखता है

जब तक लागू बल इसे मजबूर नहीं करते तब तक सीधी रेखा गति

इस स्थिति को बदलो. इस नियम को जड़त्व का नियम कहा जाता है। यदि m द्रव्यमान है

शरीर, और v इसकी गति है, तो जड़त्व के नियम को गणितीय रूप से दर्शाया जा सकता है

निम्नलिखित रूप में:

यदि v = 0, तो शरीर आराम की स्थिति में है; यदि v = स्थिरांक, तो शरीर गति करता है

समान रूप से और सीधा. उत्पाद mv को पिंड का संवेग कहा जाता है।

किसी पिंड की गति में परिवर्तन केवल इसके परिणामस्वरूप ही हो सकता है

अन्य निकायों के साथ अंतःक्रिया, अर्थात्। बल के प्रभाव में.

दूसरा कानून. संवेग में परिवर्तन लागू प्रेरक बल के समानुपाती होता है

बल और उस सीधी रेखा की दिशा में घटित होता है जिसके अनुदिश यह बल कार्य करता है।

दूसरा नियम गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा गया है: F = ma

अर्थात्, पिंड के द्रव्यमान m और उसके त्वरण a का गुणनफल कार्यकारी बल F के बराबर है।

समीकरण (2.14) किसी भौतिक बिंदु की गतिशीलता का मूलभूत नियम कहलाता है।

तीसरा नियम. कोई भी क्रिया हमेशा बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया का कारण बनती है।

दूसरे शब्दों में, दो निकायों का एक-दूसरे पर प्रभाव हमेशा समान और निर्देशित होता है

विपरीत दिशाएं।

यदि m1 द्रव्यमान वाला कोई पिंड m2 द्रव्यमान वाले किसी अन्य पिंड के साथ परस्पर क्रिया करता है,

तब पहला पिंड दूसरे पिंड की गति m2v2, नहीं और स्वयं को बदल देता है

इससे इसके संवेग m1v1 में समान परिवर्तन होता है, लेकिन

केवल उलटा निर्देशित, अर्थात्।

न्यूटन का पहला नियम

ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ हैं, जिन्हें जड़त्वीय कहा जाता है, जिनके सापेक्ष निकाय अपनी गति अपरिवर्तित बनाए रखते हैं यदि उन पर अन्य निकायों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है या अन्य बलों की कार्रवाई की भरपाई नहीं की जाती है।

न्यूटन का द्वितीय नियम

किसी पिंड का त्वरण उस पर लागू परिणामी बलों के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

न्यूटन का तृतीय नियम

जिन बलों के साथ दो पिंड एक दूसरे पर कार्य करते हैं वे परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।

प्रश्न संख्या 17

संवेग परिवर्तन प्रमेय - एक निश्चित अवधि में किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन, उसी अवधि में प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के आवेगों के योग के बराबर होता है।

द्रव्यमान केन्द्र की गति का प्रमेय

सिस्टम में संगत द्रव्यमान वाले n बिंदु होते हैं .

आइए प्रत्येक बिंदु के लिए गतिकी के मूल नियम को लिखें

सिस्टम की गति के विभेदक समीकरणों की यह प्रणाली, सिस्टम के किसी भी बिंदु k के लिए

समीकरणों (16.1.1) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करने से हमें 3एन समीकरण प्राप्त होते हैं, जिन्हें सामान्य स्थिति में एकीकृत करना मुश्किल होता है,

इसलिए, गतिकी के सामान्य प्रमेय आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं जिनके लिए समीकरण (16.1.1) प्रारंभिक होते हैं।

किसी निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय: विभेदक रूप में: dT = , , - बाहरी और आंतरिक बलों के एक बिंदु पर कार्य करने वाले प्रारंभिक कार्य, अंतिम रूप में:

टी 2 – टी 1 = . एक अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए और टी 2 - टी 1 =, यानी। एक निश्चित विस्थापन पर किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस विस्थापन पर पिंड पर कार्य करने वाले बाहरी बलों द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होता है। यदि निकाय के किसी भी संभावित विस्थापन पर बंधों की प्रतिक्रियाओं द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य के बराबर हो, तो ऐसे बंध आदर्श कहलाते हैं। दक्षता कारक (दक्षता):< 1, А пол.сопр. – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А затр = А пол.сопр. + А вр.сопр. – затраченная работа, А вр.сопр. -– работа вредных сил сопротивления (силы трения, сопротивления воздуха и т.п.).

एच = एन मैश /एन डीवी, एन मैश मशीन की उपयोगी शक्ति है, एन डीवी इंजन की शक्ति है जो इसे गति में सेट करती है।

प्रश्न #18

गैलीलियन परिवर्तन शून्यता में और अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में प्रकाश की गति की तुलना में छोटे वेगों के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का एक सीमित (विशेष) मामला है। सौर मंडल में ग्रहों के वेगों के क्रम तक (और इससे भी अधिक) वेगों के लिए, गैलीलियो के परिवर्तन बहुत उच्च सटीकता के साथ लगभग सही हैं।

यदि आईएसओ (जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली) एसआईएसओ के सापेक्ष चलता है एस"अक्ष के अनुदिश एक स्थिर गति के साथ, और दोनों प्रणालियों में समय के प्रारंभिक क्षण में उत्पत्ति मेल खाती है, तो गैलीलियन परिवर्तनों का रूप होता है:

या, वेक्टर संकेतन का उपयोग करते हुए,

(अंतिम सूत्र निर्देशांक अक्षों की किसी भी दिशा के लिए सत्य रहता है)।

§ जैसा कि हम देखते हैं, ये मूल के बदलाव के लिए केवल सूत्र हैं, जो रैखिक रूप से समय पर निर्भर करता है (सभी संदर्भ प्रणालियों के लिए समान माना जाता है)।

इन परिवर्तनों से दोनों संदर्भ प्रणालियों में बिंदु के वेग और उसके त्वरण के बीच संबंधों का पता चलता है:

§ गैलीलियन परिवर्तन कम गति (प्रकाश की गति से बहुत कम) के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का एक सीमित (विशेष) मामला है।

वैश्विक प्रसारण

सौ साल से भी पहले, एक बिल्कुल गतिहीन अंतरिक्ष - विश्व ईथर - की परिकल्पना सामने आई थी। ईथर को एक निश्चित सजातीय माध्यम के रूप में परिभाषित किया गया था जो सभी पदार्थों और निर्वात को पूरी तरह से भर देता है। इसके लिए इसे "विश्व ईथर" कहा गया। यह पदार्थ क्या है और इसके गुण क्या हैं यह एक रहस्य है, लेकिन यह ज्ञात था कि प्रकाश आकाश में उसी प्रकार गति करता है जिस प्रकार हवा में ध्वनि गति करती है। यानी तरंग के रूप में. प्रकाश को विश्व आकाश का कंपन माना जाता था। यह भी घोषित किया गया था कि पदार्थ ईथर को परेशान किए बिना उसके माध्यम से चलता है, जैसे बड़ी कोशिकाओं वाला एक पतला जाल पानी के अंदर चलता है। इस प्रकार, पदार्थ और ईथर को सख्ती से अलग किया गया।

माइकलसन का अनुभव

माइकलसन का अनुभव,प्रकाश की गति पर पृथ्वी की गति के प्रभाव को मापने के उद्देश्य से पहली बार 1881 में ए. माइकलसन द्वारा किया गया एक प्रयोग। नकारात्मक परिणाम एम.ओ. मुख्य प्रायोगिक तथ्यों में से एक था जिसने सापेक्षता सिद्धांत का आधार बनाया।

19वीं सदी के उत्तरार्ध की भौतिकी में, यह माना गया था कि प्रकाश किसी सार्वभौमिक विश्व माध्यम - ईथर में फैलता है। उसी समय, कई घटनाओं (प्रकाश विपथन, फ़िज़ौ का प्रयोग) से यह निष्कर्ष निकला कि ईथर गतिहीन है या जब वे चलते हैं तो पिंडों द्वारा आंशिक रूप से दूर ले जाया जाता है। स्थिर ईथर की परिकल्पना के अनुसार, जब पृथ्वी ईथर के माध्यम से चलती है तो कोई "ईथर हवा" का निरीक्षण कर सकता है और पृथ्वी के संबंध में प्रकाश की गति उसकी गति की दिशा के सापेक्ष प्रकाश किरण की दिशा पर निर्भर होनी चाहिए। ईथर में.

एम. ओ. माइकलसन इक्वल-आर्म इंटरफेरोमीटर का उपयोग करके किया गया था; एक कंधा पृथ्वी की गति के अनुरूप निर्देशित था, दूसरा - उसके लंबवत। जब पूरे उपकरण को 90° घुमाया जाता है, तो किरणों के पथ में अंतर का संकेत बदल जाना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप हस्तक्षेप पैटर्न बदल जाना चाहिए। गणना से पता चलता है कि ऐसा विस्थापन, हस्तक्षेप फ्रिंज चौड़ाई के अंशों में व्यक्त, D = ( 2एल/ एल)(वी 2 / सी 2), कहां एल - इंटरफेरोमीटर बांह की लंबाई, एल - प्रयुक्त प्रकाश की तरंग दैर्ध्य (पीली रेखा Na), साथ - आकाश में प्रकाश की गति, वी - पृथ्वी की कक्षीय गति. मान के बाद से पृथ्वी की कक्षीय गति के लिए v/c 10 -4 के क्रम का है, तो अपेक्षित विस्थापन बहुत छोटा है और पहले एमए में है। केवल 0.04 था. फिर भी, पहले से ही इस अनुभव के आधार पर, माइकलसन इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्थिर ईथर की परिकल्पना गलत थी।

इसके बाद, एम.ओ. कई बार दोहराया गया. माइकलसन और ई.डब्ल्यू. मॉर्ले (1885-87) के प्रयोगों में, इंटरफेरोमीटर को पारे में तैरती एक विशाल प्लेट पर (सुचारू घूर्णन के लिए) लगाया गया था। दर्पणों से एकाधिक प्रतिबिंबों का उपयोग करके ऑप्टिकल पथ की लंबाई 11 तक बढ़ा दी गई थी एम।इस मामले में, अपेक्षित बदलाव डी "0.4। मापन ने एमओ के नकारात्मक परिणाम की पुष्टि की। 1958 में, कोलंबिया विश्वविद्यालय (यूएसए) में, एक स्थिर ईथर की अनुपस्थिति को एक बार फिर प्रदर्शित किया गया। दो समान क्वांटम माइक्रोवेव जनरेटर से विकिरण किरणें ( मासर्स) को विपरीत दिशाओं में निर्देशित किया गया - पृथ्वी की गति के साथ और गति के विपरीत - और उनकी आवृत्तियों की तुलना की गई। बड़ी सटीकता (~ 10 -9%) के साथ यह स्थापित किया गया कि आवृत्तियाँ समान रहती हैं, जबकि "ईथर हवा" इससे इन आवृत्तियों में माप सटीकता से लगभग 500 गुना अधिक अंतर आ जाएगा।

शास्त्रीय भौतिकी में, एम.ओ. का नकारात्मक परिणाम। गतिमान मीडिया के इलेक्ट्रोडायनामिक्स की अन्य घटनाओं को समझा और सहमत नहीं किया जा सका। सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ़्रेमों के लिए प्रकाश की गति की स्थिरता को एक अभिधारणा के रूप में स्वीकार किया जाता है, जिसकी पुष्टि प्रयोगों के एक बड़े सेट द्वारा की जाती है।

सापेक्षता के सिद्धांत की अभिधारणाएँ

1) प्रकृति के सभी नियम जड़त्वीय संदर्भ तंत्र में समान हैं

2) निर्वात में प्रकाश की गति सभी जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों में समान होती है

लोरेंत्ज़ परिवर्तन, सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में - एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली से दूसरे में संक्रमण के दौरान किसी भी घटना के निर्देशांक और समय का परिवर्तन। 1904 में एच. ए. लोरेंत्ज़ द्वारा परिवर्तनों के रूप में प्राप्त किया गया जिसके संबंध में शास्त्रीय सूक्ष्म इलेक्ट्रोडायनामिक्स (लोरेंत्ज़-मैक्सवेल समीकरण) के समीकरण अपना स्वरूप बनाए रखते हैं। 1905 में, ए. आइंस्टीन ने उन्हें दो अभिधारणाओं के आधार पर प्राप्त किया, जो सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का आधार बने: सभी जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों की समानता और प्रकाश स्रोत की गति से निर्वात में प्रकाश प्रसार की गति की स्वतंत्रता।

आइए दो जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों å और å' के विशेष मामले पर विचार करें, जिनकी अक्ष x और x' एक ही सीधी रेखा पर हैं और तदनुसार अन्य अक्षों (y और y', z और z') के समानांतर हैं। यदि सिस्टम å' x अक्ष की दिशा में निरंतर गति u के साथ å के सापेक्ष चलता है, तो å से å' तक संक्रमण के दौरान रैखिक परिवर्तनों का रूप होता है:

,

कहाँ साथ- निर्वात में प्रकाश की गति (छायांकित निर्देशांक å' प्रणाली को संदर्भित करते हैं, अछायांकित निर्देशांक - å को)।

एल.पी. कई महत्वपूर्ण परिणामों को जन्म देता है, जिसमें चुने गए संदर्भ प्रणाली पर पिंडों के रैखिक आयामों और समय अंतरालों की निर्भरता, सापेक्षता के सिद्धांत में वेगों को जोड़ने का नियम आदि शामिल हैं। गति की तुलना में गति की गति छोटी होती है प्रकाश का (यू<<सी), एलपी गैलीलियन परिवर्तनों में बदल जाता है (गैलीलियो के सापेक्षता के सिद्धांत को देखें) , शास्त्रीय न्यूटोनियन यांत्रिकी में मान्य

सम्बंधित जानकारी।

एनिश्चित बिंदु 0 के सापेक्ष वेक्टर उत्पाद के बराबर एक भौतिक मात्रा है

कहाँ - बिंदु 0 से बिंदु a तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर,
- किसी भौतिक बिंदु का संवेग।

सदिश दिशा जब यह घूमता है तो यह दाएँ पेंच की ट्रांसलेशनल गति की दिशा से मेल खाता है को . कोणीय संवेग वेक्टर का मापांक

कहाँ - सदिशों के बीच का कोण और ,- वेक्टर कंधा बिंदु 0 के सापेक्ष। एक निश्चित बिंदु 0 के सापेक्ष भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का कोणीय संवेग उसी बिंदु 0 के सापेक्ष प्रणाली के सभी भौतिक बिंदुओं के कोणीय संवेग का वेक्टर योग है।

(22)

7. स्थिर अक्ष z के सापेक्ष संवेग।

किसी भौतिक बिंदु का संवेग एकिसी निश्चित अक्ष z के सापेक्ष को अदिश राशि कहते हैं , इस अक्ष के एक मनमाना बिंदु 0 के सापेक्ष परिभाषित कोणीय गति वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर। कोणीय संवेग का मान z अक्ष पर बिंदु 0 की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

आइए एक निश्चित अक्ष z(О-О 1) के चारों ओर एक कठोर पिंड के घूमने पर विचार करें। किसी ठोस पिंड का प्रत्येक बिंदु त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त का वर्णन करता है गति के साथ . रफ़्तार .और गति
इस त्रिज्या के लंबवत हैं, इसलिए त्रिज्या वेक्टर की एक भुजा है
(कोना =90 0). किसी कठोर पिंड के प्रत्येक बिंदु का कोणीय संवेग अक्ष के सापेक्ष होता है

(23)

और अक्ष के अनुदिश सही पेंच नियम द्वारा निर्धारित दिशा में निर्देशित होता है। कठोर पिंड के सभी बिंदुओं का कोणीय संवेग सह-दिशात्मक होगा, इसलिए अक्ष के सापेक्ष कठोर पिंड का कोणीय संवेग व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग का योग है

अर्थात किसी कठोर पिंड के सभी बिंदु समान कोणीय वेग से घूमते हैं, तो योग चिह्न से w निकाला जा सकता है

,

.
.

घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड के जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है।

व्याख्यान 6. घूर्णी गति की गतिशीलता के समीकरण।

1. कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम.

आइए कोणीय गति को अलग करें समय तक

परिमाण किसी भौतिक बिंदु की गति उसके संवेग से संबंध द्वारा संबंधित है
. इसलिए पहला पद
संरेख सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य के बराबर है और
, (
) दूसरे पद को न्यूटन के समीकरण का उपयोग करके रूपांतरित किया जा सकता है

.

. (1)

यह एक निश्चित बिंदु के बारे में क्षणों का समीकरण है। किसी भौतिक बिंदु (एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष) के कोणीय संवेग का समय व्युत्पन्न उसी बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के बराबर होता है।

भौतिक बिंदुओं की एक मनमानी प्रणाली के मामले में क्षण समीकरण (1) को सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि सिस्टम में केंद्र 0 के चारों ओर घूमने वाले n भौतिक बिंदु शामिल हैं।

…………………….

कहाँ
- आंतरिक बलों का क्षण,
- बाहरी ताकतों का क्षण.

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार
= 0, चूंकि आंतरिक बल जोड़े में प्रवेश करते हैं, वह बल जिसके साथ एक शरीर दूसरे पर कार्य करता है वह उस बल के बराबर और विपरीत दिशा में निर्देशित होता है जिसके साथ दूसरा शरीर पहले पर कार्य करता है। इन बलों का कुल क्षण शून्य है (चित्र देखें)

इसके आधार पर समीकरण बनता है

,

कहाँ
- भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का कोणीय संवेग।

=
- भौतिक बिंदुओं की प्रणाली पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों का क्षण।

(2)

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के लिए घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम। एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के कोणीय संवेग का समय व्युत्पन्न इस बिंदु के सापेक्ष सभी बाहरी बलों के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

यदि किसी निश्चित बिंदु के सापेक्ष सभी बाह्य बलों का क्षण शून्य है, तो उसी निश्चित बिंदु के सापेक्ष प्रणाली का कोणीय संवेग समय में स्थिर रहता है।

और
या(3)

अभिव्यक्ति (3) कोणीय गति के संरक्षण के नियम का गणितीय प्रतिनिधित्व है। यदि हम समय में निश्चित अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति को अलग करते हैं, तो हमें निश्चित अक्ष के सापेक्ष क्षणों का समीकरण प्राप्त होता है

(4)

जैसा कि पहले दिखाया गया था, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग बराबर होता है

.

यदि जड़ता का क्षण तब, घूर्णन के दौरान स्थिर रहता है

,

कहाँ
- कोणीय त्वरण। तब

(5).

घूर्णन अक्ष और कोणीय त्वरण के सापेक्ष एक कठोर पिंड की जड़ता के क्षण का गुणनफल उसी अक्ष के सापेक्ष बाहरी बलों के क्षण के बराबर होता है।

समीकरण (5) एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण है। यह अनुवादात्मक गति के लिए न्यूटन के समीकरण जैसा दिखता है।

द्रव्यमान m की भूमिका जड़त्व आघूर्ण J द्वारा निभाई जाती है, वेग v की भूमिका कोणीय वेग w द्वारा निभाई जाती है, गाद F की भूमिका बल M के आघूर्ण द्वारा निभाई जाती है, संवेग p की भूमिका कोणीय संवेग L द्वारा निभाई जाती है। कोणीय गति L को अक्सर सिस्टम का घूर्णी आवेग कहा जाता है।

यदि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बाह्य बलों Mz का आघूर्ण शून्य है, तो घूर्णी संवेग संरक्षित रहता है:

(6)

गति के संरक्षण के नियम को ज़ुकोवस्की बेंच का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। ज़ुकोवस्की बेंच एक कुर्सी है जिसकी सीट एक डिस्क के आकार की है। डिस्क बॉल बेयरिंग पर एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकती है।

एक व्यक्ति अपने पैर से फर्श को धक्का देता है, जिससे बेंच घूम जाती है। बेंच के साथ-साथ वह खुद भी घूमेंगे. घूर्णन के दौरान, बेंच प्लस व्यक्ति प्रणाली का कोणीय संवेग स्थिर रहेगा, चाहे प्रणाली में कोई भी आंतरिक हलचल क्यों न हो।

यदि कोई व्यक्ति अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, तो वह सिस्टम J की जड़ता के क्षण को बढ़ा देगा, और इसलिए घूर्णन w का कोणीय वेग कम होना चाहिए ताकि घूर्णी आवेग L = Jw अपरिवर्तित रहे (चित्र 1a और 1b देखें)

चित्र.1ए. L=J 1 w 1 चित्र.1bL=J 2 w 2

जे 1 डब्ल्यू 1 =जे 2 डब्ल्यू 2 (जे 2 >जे 1, डब्ल्यू 2

यदि कोई व्यक्ति, एक स्थिर ज़ुकोवस्की बेंच पर खड़ा होकर, अपने सिर के ऊपर शंक्वाकार हरकत करना शुरू कर देता है, तो बेंच दूसरी दिशा में घूमना शुरू कर देती है (चित्र 2)।

प्रणाली का कुल कोणीय संवेग शून्य रहता है।

जब जहाज का प्रोपेलर घूमना शुरू करता है, तो सिस्टम के कोणीय गति के संरक्षण के नियम के अनुसार, जहाज का पतवार विपरीत दिशा में घूमना चाहिए। सामान्य परिस्थितियों में यह खतरनाक नहीं है, लेकिन गंभीर परिस्थितियों (मजबूत पार्श्व तरंगें, हल्का जहाज) में यह जहाज के पलटने का कारण बन सकता है। यही स्थिति हमेशा हेलीकाप्टरों के लिए होती है. ऐसा होने से रोकने के लिए, घुमाव को कम करने के लिए पूंछ पर एक और पेंच लगाया जाता है।

अंत में, आइए उन मूल मात्राओं और समीकरणों की तुलना करें जो किसी पिंड के घूर्णन और उसकी स्थानान्तरणीय गति को निर्धारित करते हैं।

आगे बढ़ना	घूर्णी गति
वज़नएम रफ़्तारवी = डॉ./ डीटी त्वरणए = डीवी/ डीटी बलएफ नाड़ीपी = एमवी गतिकी का मूल समीकरणएफ = एमए एफ = डी पी/ डीटी कामदा = एफ डी एस गतिज ऊर्जाएमवी 2 /2	निष्क्रियता के पलजे कोणीय वेगडब्ल्यू = dφ/ डीटी कोणीय त्वरण ε =dw/ डीटी शक्ति का क्षणएम = फादर गतिएल = जेडब्ल्यू गतिकी का मूल समीकरणएम = जेε एम = डेली/ डीटी घूर्णन कार्यदा = एमडीφ घूर्णन की गतिज ऊर्जाजेडब्ल्यू 2 /2

एक कठोर पिंड को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने दें जेडकोणीय वेग के साथ. किसी पिंड का कोणीय संवेग ज्ञात करने के लिए, हम इसे भौतिक बिंदुओं की एक यांत्रिक प्रणाली के रूप में मानते हैं। आइए मानसिक रूप से शरीर को द्रव्यमान डी के साथ प्राथमिक भागों में विभाजित करें एम मैं, जिसे भौतिक बिंदुओं के रूप में लिया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि किसी अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष शरीर के अलग-अलग प्राथमिक भागों के वेक्टर योग के बराबर होता है। जब कोई पिंड घूमता है, तो उसके सभी बिंदु अलग-अलग त्रिज्या के वृत्तों में घूमते हैं आर मैं, जिसके तल घूर्णन अक्ष के लंबवत हैं। इसलिए, शरीर के सभी प्राथमिक भागों का कोणीय संवेग, दाएं पेंच के नियम के अनुसार, घूर्णन की धुरी के साथ एक दिशा में निर्देशित होता है। फिर सदिश जोड़ को एक अदिश जोड़ से बदल दिया जाता है, यानी।

सूत्र (7) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: जहां ¾ रैखिक गति मॉड्यूल मैं-वाँ भाग. लेकिन तुम मैं= डब्ल्यू आर मैं. इसीलिए , और अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए (9) चूँकि शरीर के सभी बिंदुओं का कोणीय वेग w समान है, हम इसे योग चिह्न से निकालते हैं: क्योंकि ¾ शरीर की जड़ता का क्षण, फिर एलजेड =मैंजेड डब्ल्यू आइए इस अभिव्यक्ति को वेक्टर रूप में लिखें:

इसलिए, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग के बराबर होती है एक ही अक्ष और उसके कोणीय वेग के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के क्षण का उत्पाद. दिशा, दिशा की तरह, सही पेंच नियम का उपयोग करके पाई जाती है।

घूर्णी और अग्रगामी गति के बीच सादृश्य

अनुवादात्मक और घूर्णी आंदोलनों पर विचार करने के बाद, हम उनके बीच एक सादृश्य स्थापित कर सकते हैं। अनुवादात्मक गति की गतिकी एक पथ का उपयोग करती है एस, रफ़्तार यूऔर त्वरण ए. घूर्णी गति में उनकी भूमिका घूर्णन कोण j, कोणीय वेग w और कोणीय त्वरण ε द्वारा निभाई जाती है। स्थानांतरीय गति की गतिशीलता में, बल और द्रव्यमान की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है टीऔर गति घूर्णी गति में, बल की भूमिका बल के क्षण द्वारा निभाई जाती है, द्रव्यमान की भूमिका जड़ता के क्षण द्वारा निभाई जाती है मैं z और संवेग की भूमिका - कोणीय संवेग अनुवादात्मक गति के सूत्रों को जानने से, घूर्णी गति के सूत्रों को लिखना आसान है। उदाहरण के लिए, अनुवादकीय गति में किसी पिंड की गति और त्वरण की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है और फिर घूर्णी गति में कोणीय वेग और कोणीय त्वरण सूत्रों द्वारा पाया जाता है और अनुवादकीय गति में शरीर की गति बराबर होती है इसलिए, घूर्णी गति में कोणीय गति बराबर है इस सादृश्य को आगे भी जारी रखा जा सकता है।

एक कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता का बुनियादी नियम

एक शरीर को जड़ता के एक क्षण के साथ रहने दें मैं z अक्ष के चारों ओर घूमता है जेडबल के परिणामी क्षण की कार्रवाई के तहत। आइए हम न्यूटन के दूसरे नियम को लिखें, जो अनुवादात्मक गति की गतिशीलता का मूल नियम है: और यहां और टी- पिंड का त्वरण और द्रव्यमान, - पिंड का संवेग और - पिंड पर लगाए गए बलों का परिणाम। फिर, अनुवादात्मक और घूर्णी गति के बीच सादृश्य का उपयोग करके, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम के दो रिकॉर्ड प्राप्त करते हैं:

(11) (12)

उनके शब्द: किसी पिंड द्वारा अर्जित कोणीय त्वरण घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उस पर लागू बाहरी बलों के क्षण के समानुपाती होता है, और उसी अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का क्षण उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड के कोणीय संवेग के समय व्युत्पन्न के बराबर होता है। संबंध (12) किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम का अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है, क्योंकि यह उन पिंडों के लिए भी मान्य होता है जिनमें पिंड की जड़ता का क्षण एक स्थिर मान नहीं है।

आइए हम संरक्षण कानून की व्युत्पत्ति की ओर आगे बढ़ें, जिसका उद्भव अंतरिक्ष की आइसोट्रॉपी से जुड़ा है।

इस आइसोट्रॉपी का मतलब है कि एक बंद प्रणाली के यांत्रिक गुण अंतरिक्ष में संपूर्ण प्रणाली के किसी भी घूर्णन के साथ नहीं बदलते हैं। इसके अनुसार, हम सिस्टम के एक अतिसूक्ष्म घूर्णन पर विचार करते हैं और मांग करते हैं कि इसका लैग्रेंज फ़ंक्शन न बदले।

आइए हम अनंतिम घूर्णन के एक वेक्टर का परिचय दें, जिसका पूर्ण मान घूर्णन के कोण के बराबर है, और दिशा घूर्णन की धुरी के साथ मेल खाती है (और इस तरह से कि घूर्णन की दिशा पेंच के नियम से मेल खाती है) दिशा का सम्मान)

आइए, सबसे पहले, यह पता लगाएं कि ऐसे घूर्णन के दौरान घूर्णन प्रणाली के किसी भी भौतिक बिंदु पर निर्देशांक की सामान्य उत्पत्ति (रोटेशन की धुरी पर स्थित) से खींची गई त्रिज्या वेक्टर की वृद्धि क्या है।

त्रिज्या वेक्टर के अंत की रैखिक गति संबंध द्वारा कोण से संबंधित है

(चित्र 5)। वेक्टर की दिशा गुजरने वाले विमान के लंबवत है, इसलिए, यह स्पष्ट है कि

जब सिस्टम घूमता है, तो न केवल त्रिज्या सदिशों की दिशा बदलती है, बल्कि सभी कणों के वेग भी बदलते हैं, और सभी सदिश एक ही नियम के अनुसार परिवर्तित हो जाते हैं। इसलिए, निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गति में वृद्धि

इन अभिव्यक्तियों को इस शर्त में प्रतिस्थापित करना कि लैग्रेंज फ़ंक्शन रोटेशन के दौरान अपरिवर्तनीय है

डेरिवेटिव बदलें

या, कारकों की चक्रीय पुनर्व्यवस्था करना और चिह्न से योग निकालना:

अपनी मनमानी के कारण यह उसी का अनुसरण करता है

यानी हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि जब एक बंद प्रणाली चलती है, तो वेक्टर मात्रा संरक्षित रहती है

प्रणाली का कोणीय संवेग (या केवल कोणीय संवेग) कहा जाता है।

इस मात्रा की संवेदनशीलता स्पष्ट है, और, गति की तरह, यह कणों के बीच परस्पर क्रिया की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर नहीं करती है।

इससे गति के योगात्मक अभिन्न अंग समाप्त हो जाते हैं। इस प्रकार, किसी भी बंद प्रणाली में केवल सात ऐसे अभिन्न अंग होते हैं: ऊर्जा और गति और टोक़ वैक्टर के तीन घटक।

चूंकि क्षण की परिभाषा में कणों के त्रिज्या वैक्टर शामिल हैं, इसका मूल्य, आम तौर पर बोलना, निर्देशांक की उत्पत्ति की पसंद पर निर्भर करता है। वेक्टर ए द्वारा स्थानांतरित निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में एक ही बिंदु के त्रिज्या वेक्टर और टीए, संबंध ए से संबंधित हैं। इसलिए हमारे पास है:

इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि केवल उस स्थिति में जब सिस्टम पूरी तरह से आराम पर है (यानी, इसका क्षण निर्देशांक की उत्पत्ति की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इसके मूल्य की यह अनिश्चितता, निश्चित रूप से प्रभावित नहीं करती है) क्षण के संरक्षण का नियम, चूँकि एक बंद प्रणाली में संवेग भी बचाया जाता है।

हम दो अलग-अलग जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों K और K" में कोणीय गति के मूल्यों को जोड़ने वाला एक सूत्र भी प्राप्त करेंगे, जिनमें से दूसरा गति V के साथ पहले के सापेक्ष चलता है। हम मान लेंगे कि सिस्टम K में निर्देशांक की उत्पत्ति और K एक निश्चित समय पर संपाती होते हैं। तब दोनों प्रणालियों में त्रिज्या सदिश कण समान होते हैं, लेकिन वेग संबंधित होते हैं... इसलिए, हमारे पास है:

समानता के दाईं ओर पहला योग प्रणाली में क्षण एम है। (8.3) के अनुसार जड़ता के केंद्र के त्रिज्या वेक्टर को दूसरे योग में पेश करके, हम प्राप्त करते हैं:

यह सूत्र एक संदर्भ प्रणाली से दूसरे में जाने पर कोणीय गति के परिवर्तन का नियम निर्धारित करता है, जैसे गति और ऊर्जा के लिए समान नियम सूत्र (8.1) और (8.5) द्वारा दिए जाते हैं।

यदि संदर्भ फ्रेम K वह है जिसमें दी गई यांत्रिक प्रणाली पूरी तरह से आराम पर है, तो V बाद के जड़ता केंद्र का वेग है, और इसका कुल आवेग P (K के सापेक्ष) है।

दूसरे शब्दों में, एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति एम में संदर्भ के फ्रेम के सापेक्ष इसका "उचित क्षण" शामिल होता है जिसमें यह आराम पर होता है, और समग्र रूप से इसकी गति से जुड़ा क्षण होता है।

यद्यपि क्षण के सभी तीन घटकों (एक मनमानी उत्पत्ति के सापेक्ष) के संरक्षण का कानून केवल एक बंद प्रणाली के लिए होता है, अधिक सीमित रूप में यह कानून बाहरी क्षेत्र में स्थित प्रणालियों के लिए भी हो सकता है। उपरोक्त निष्कर्ष से यह स्पष्ट है कि उस अक्ष पर क्षण का प्रक्षेपण जिसके सापेक्ष दिया गया क्षेत्र सममित है, हमेशा संरक्षित रहता है, और इसलिए सिस्टम के यांत्रिक गुण इस अक्ष के चारों ओर किसी भी घूर्णन के साथ नहीं बदलते हैं; इस मामले में, निश्चित रूप से, क्षण को उसी अक्ष पर स्थित किसी बिंदु (मूल) के सापेक्ष निर्धारित किया जाना चाहिए।

इस तरह का सबसे महत्वपूर्ण मामला केंद्रीय समरूपता वाला एक क्षेत्र है, यानी एक ऐसा क्षेत्र जिसमें संभावित ऊर्जा केवल अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु (केंद्र) की दूरी पर निर्भर करती है। यह स्पष्ट है कि ऐसे क्षेत्र में चलते समय, केंद्र से गुजरने वाली किसी भी धुरी पर क्षण का प्रक्षेपण संरक्षित रहता है। दूसरे शब्दों में, क्षण का वेक्टर एम संरक्षित है, लेकिन इसे अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष नहीं, बल्कि क्षेत्र के केंद्र के सापेक्ष परिभाषित किया गया है।

एक अन्य उदाहरण: z अक्ष के साथ एक समान क्षेत्र, जिसमें क्षण का प्रक्षेपण संरक्षित है, और निर्देशांक की उत्पत्ति को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

ध्यान दें कि किसी भी अक्ष पर क्षण का प्रक्षेपण (आइए इसे कॉल करें) सूत्र के अनुसार लैग्रेंज फ़ंक्शन को अलग करके पाया जा सकता है

जहां निर्देशांक z अक्ष के चारों ओर घूमने का कोण है। यह संवेग संरक्षण के नियम की उपरोक्त व्युत्पत्ति की प्रकृति से पहले से ही स्पष्ट है, लेकिन इसे प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। बेलनाकार निर्देशांक में हमारे पास (प्रतिस्थापन) है

दूसरी ओर, इन वेरिएबल्स में लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप होता है

और (9.7) में इसका प्रतिस्थापन उसी अभिव्यक्ति (9.8) की ओर ले जाता है।

कार्य

1. बेलनाकार निर्देशांक में कार्टेशियन घटकों और कण के कोणीय गति के पूर्ण मूल्य के लिए अभिव्यक्ति खोजें।

गति

परिभाषा

एक निश्चित अक्ष $z$ के सापेक्ष कोणीय गति एक अदिश राशि $L_(z) $ है जो इस अक्ष के एक मनमाना बिंदु 0 के सापेक्ष परिभाषित कोणीय गति वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है।

कोणीय गति $L_(z) $ का मान $z$ अक्ष पर बिंदु 0 की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। जब एक बिल्कुल कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो शरीर का प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु एक निश्चित गति $v_(i) $ के साथ स्थिर त्रिज्या $r_(i) $ के एक वृत्त के साथ चलता है। वेग $v_(i) $ और संवेग $m_(i) v_(i) $ इस त्रिज्या के लंबवत हैं, अर्थात। त्रिज्या वेक्टर $m_(i) v_(i) $ की भुजा है। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $z$ अक्ष के सापेक्ष एक व्यक्तिगत बिंदु का कोणीय संवेग बराबर है:

अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग उसके व्यक्तिगत बिंदुओं के कोणीय संवेग का योग है:

रैखिक और कोणीय वेग ($v_(i) =\omega r_(i) $) के बीच संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड के कोणीय गति के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

$L_(z) =\sum _(i=1)^(n)m_(i) r_(i)^(2) \omega =\omega \sum \limits _(i=1)^(n)m_ (i) r_(i)^(2) =J_(z) \omega $, (1)

वे। किसी अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड के जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है। समय के संबंध में अभिव्यक्ति (1) को विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\frac(dL_(z) )(dt) =J_(z) \frac(d\omega )(dt) =M_(z) $ (2)

यह एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण का दूसरा रूप है: घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड के कोणीय गति में परिवर्तन की दर इसके सापेक्ष परिणामी क्षण के बराबर होती है शरीर पर कार्य करने वाली सभी बाह्य शक्तियों की धुरी।

संवेग संरक्षण का नियम

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम एक निश्चित बिंदु पर स्थिर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण से अनुसरण करता है, और इसमें निम्नलिखित शामिल हैं: यदि एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष बाहरी बलों का परिणामी क्षण समान रूप से बराबर है शून्य, तो इस बिंदु के सापेक्ष पिंड का कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता है।

मान्य यदि:

$M=0$, फिर $\frac(dL)(dt) =0$,

कहां से: $\overline(L)=const$. (3)

दूसरे शब्दों में, किसी बंद प्रणाली का कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता है।

एक निश्चित अक्ष $z$ (समीकरण 2) के चारों ओर घूमने वाले शरीर की गतिशीलता के मूल नियम से, अक्ष के सापेक्ष शरीर के कोणीय गति के संरक्षण का नियम इस प्रकार है: यदि स्थिर अक्ष के सापेक्ष बाहरी बलों का क्षण शरीर का घूर्णन शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष के सापेक्ष शरीर का कोणीय संवेग गति की प्रक्रिया में नहीं बदलता है, अर्थात। यदि $M_(z) =0$, तो $\frac(dL_(z) )(dt) =0$, जहां से $\overline(L)_(z) =const,$ या $J_(z) \omega =const$.(4)

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम प्रकृति का मूलभूत नियम है। इस कानून की वैधता अंतरिक्ष की समरूपता की संपत्ति - इसकी आइसोट्रॉपी, यानी द्वारा निर्धारित की जाती है। संदर्भ प्रणाली के समन्वय अक्षों की दिशा की पसंद के संबंध में भौतिक कानूनों की अपरिवर्तनीयता के साथ।

निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ मान्य हैं:

• घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण एक भौतिक मात्रा है जो पिंड के n भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर है जो कि प्रश्न में अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग द्वारा होता है:
\
• किसी पिंड के घूर्णन के किसी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व का क्षण $J_(z) $, पिंड के द्रव्यमान C के केंद्र से गुजरने वाली समानांतर धुरी के सापेक्ष उसके जड़त्व के क्षण $J_(c) $ के बराबर होता है। अक्षों के बीच की दूरी a के वर्ग द्वारा पिंड के द्रव्यमान m के गुणनफल के लिए: $J_( z) =J_(c) +ma^(2) $;
• जब एक बिल्कुल कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष $z$ के चारों ओर घूमता है, तो इसकी गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष जड़ता के क्षण और कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है:
\
• सूत्रों की तुलना से $E_(k_(2@) ) =\frac(J_(z) \omega ^(2) )(2) $ और $E_(k) =\frac(mv^(2) ) (2) इसका तात्पर्य यह है कि जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप है;
• एक निश्चित अक्ष z (न्यूटन के दूसरे नियम का एक एनालॉग) के सापेक्ष एक कठोर शरीर की घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण का रूप है: $M_(z) =J_(z) \varepsilon =\frac(dL_(z) ) )(डीटी) $.

उदाहरण

0.8 किलोग्राम वजन का भार फर्श से 3 मीटर की ऊंचाई पर एक पतले भारहीन धागे पर लटकाया गया है। धागा 30 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस सजातीय बेलनाकार शाफ्ट पर 0.15 kg*m2 जड़त्व आघूर्ण के साथ लपेटा गया है। घूमते हुए, शाफ्ट भार को फर्श पर कम कर देता है। निर्धारित करें: भार को फर्श पर कम करने का समय, धागे का तनाव बल, भार की गतिज ऊर्जा जिस समय भार फर्श को छूता है।

$r$= 15 सेमी=0.15 मी

$J_(x) $= 0.18 किग्रा*m2

खोजें: $t,N,E_(k) $-?

इसलिए, धागे का तनाव बल: $N=\frac(J_(x) \varepsilon )(r) =\frac(0.18\cdot 4)(0.15) =4.8H$.

फर्श से टकराते समय भार की गतिज ऊर्जा:

उत्तर: $t=3.2A$, $N=4.8H$, $E_(k) =0.9J.$