मिश्रित अंश को नियमित संख्या से कैसे गुणा करें। समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "अंशों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन क्रियाओं में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को एक समान भाजक में लाना था।

अब गुणा और भाग का पता लगाने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव की तुलना में करना और भी आसान है। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें जब एक समर्पित पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक अंश हों।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नई भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

पद:

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि भिन्नों का विभाजन गुणा करने के लिए कम हो जाता है। एक अंश को "फ्लिप" करने के लिए, अंश और हर की स्थिति को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणा के परिणामस्वरूप, एक रद्द करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - यह, निश्चित रूप से, रद्द किया जाना चाहिए। यदि, सभी संकुचनों के बाद, अंश गलत हो जाता है, तो इसमें पूरे भाग का चयन किया जाना चाहिए। लेकिन जो निश्चित रूप से गुणन के साथ नहीं होगा वह एक सामान्य भाजक में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधि नहीं, सबसे बड़ा कारक और कम से कम सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

पूर्ण भिन्नों और ऋणात्मक भिन्नों का गुणन

यदि भिन्नों में एक पूर्णांक भाग है, तो उन्हें गलत में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन की सीमा से बाहर निकाला जा सकता है या हटाया भी जा सकता है:

प्लस और माइनस माइनस देता है;
दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, इन नियमों का सामना केवल नकारात्मक अंशों को जोड़ने और घटाने पर ही होता था, जब पूरे भाग से छुटकारा पाने की आवश्यकता होती थी। उत्पादन के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जला" करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते, तब तक जोड़े में माइनस को पार करें। एक चरम मामले में, एक माइनस जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई जोड़ा नहीं था;
यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है, क्योंकि उसे एक जोड़ा नहीं मिला है, तो हम इसे गुणन सीमा से बाहर ले जाते हैं। आपको एक ऋणात्मक अंश मिलता है।

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी अंशों को गलत में अनुवाद करते हैं, और फिर गुणन की सीमा से घटावों को हटा देते हैं। जो बचा है, हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ एक अंश के सामने खड़ा माइनस विशेष रूप से संपूर्ण अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

इसके अलावा, नकारात्मक संख्याओं पर ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। यह गुणन चिह्नों से कमियों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही समय लेने वाला ऑपरेशन है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले... दरअसल, संक्षेप में, अंशों के अंश और हर सामान्य कारक हैं, और इसलिए, उन्हें एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करके रद्द किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो उनमें से बची हैं उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणकों को पूरी तरह से कम कर दिया गया है। उनके स्थान पर, केवल कुछ ही हैं, जिन्हें सामान्यतया, छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी प्राप्त करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा में अभी भी कमी आई है।

हालाँकि, किसी भी परिस्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग नहीं करते हैं! हां, कभी-कभी वहां समान संख्याएं होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, एक नज़र डालें:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि जोड़ते समय, अंश के अंश में योग दिखाई देता है, न कि संख्याओं का उत्पाद। इसलिए, एक अंश की मूल संपत्ति को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह संपत्ति संख्याओं के गुणन से सटीक रूप से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस तरह दिखता है:

सही निर्णय:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।

मध्य और उच्च विद्यालय के पाठ्यक्रम में, छात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई तुलना में बहुत व्यापक है। आज, एक अंश की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, अंशों का गुणन।

एक अंश क्या है?

ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई दीं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई, एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ में से यह एक भाग भिन्न कहलाता है।

किसी भी मान के ½ के बराबर भिन्न को आधा कहा जाता है; - तीसरा; - एक चौथाई। 5/8, 4/5, 2/4 के रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य अंश को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्नात्मक रेखा या भिन्नात्मक रेखा होती है। एक स्लैश को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। इस मामले में, यह विभाजन के संकेत को दर्शाता है।

भाजक यह दर्शाता है कि मूल्य कितने बराबर है, वस्तु विभाजित है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए। अंश रेखा के ऊपर अंश लिखा होता है, उसके नीचे हर।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक होता है। यदि आप एक इकाई खंड को 4 बराबर शेयरों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक शेयर को लैटिन अक्षर से नामित करते हैं, तो परिणामस्वरूप आप एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता प्राप्त कर सकते हैं। तो, बिंदु ए पूरे इकाई खंड के 1/4 के बराबर एक अंश दिखाता है, और बिंदु बी इस खंड के 2/8 अंक दिखाता है।

भिन्नों की किस्में

भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, अंशों को सही और गलत में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

एक सही भिन्न को उस संख्या के रूप में समझा जाता है जिसका अंश हर से कम होता है। तदनुसार, एक अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरे प्रकार को आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस तरह के व्यंजक में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½। 1 - पूरा भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको व्यंजक (विभाजन या गुणा, उनकी कमी या परिवर्तन) के साथ कोई जोड़-तोड़ करने की आवश्यकता है, तो मिश्रित संख्या का एक अनुचित अंश में अनुवाद किया जाता है।

एक सही भिन्नात्मक व्यंजक हमेशा एक से छोटा होता है, और एक गलत व्यंजक हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है।

उसके लिए, इस अभिव्यक्ति का अर्थ एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो दशमलव अंकन में पूरा भाग शून्य होगा।

एक दशमलव भिन्न लिखने के लिए, आपको पहले पूरे भाग को लिखना होगा, इसे भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक व्यंजक लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद, अंश में उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि हर में शून्य होते हैं।

उदाहरण... भिन्न 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में प्रस्तुत करें।

एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए एल्गोरिदम और इसके विपरीत

प्रश्न के उत्तर में गलत अंश लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए:

अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
एक विशिष्ट उदाहरण में, अपूर्ण भागफल पूर्ण है;
और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, और हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण... अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5।

समाधान... 47: 5. अधूरा भागफल 9 के बराबर है, शेष = 2 है। इसलिए, 47/5 = 9 2/5।

कभी-कभी आप मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करना चाहते हैं। फिर आपको निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक व्यंजक के हर से गुणा किया जाता है;
परिणामी उत्पाद अंश में जोड़ा जाता है;
परिणाम अंश में लिखा जाता है, भाजक अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण... एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रदान करें: 9 8/10।

समाधान... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - अंश।

उत्तर: 98 / 10.

साधारण भिन्नों का गुणन

साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजीय संक्रियाएं की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्न हर वाले भिन्नों का गुणन समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको भिन्न को रद्द करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। बेशक, कोई यह नहीं कह सकता कि उत्तर में गलत अंश एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।

उदाहरण... दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, काम खोजने के बाद, आपको एक संक्षिप्त भिन्नात्मक अंकन मिलता है। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया गया है, और उत्तर 5/9 है।

दशमलव भिन्नों का गुणन

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में सामान्य अंशों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों का गुणन इस प्रकार है:

दो दशमलव अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक दूसरे के नीचे हों;
आपको अल्पविराम के बावजूद, जो कि प्राकृतिक है, लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या गिनें;
गुणा के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों में योग में निहित दाईं ओर से कई डिजिटल प्रतीकों की गणना करने और एक अलग चिह्न लगाने की आवश्यकता है;
यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस राशि को कवर करने के लिए उनके सामने इतने सारे शून्य लिखने होंगे, एक अल्पविराम लगाएं और पूरे भाग को शून्य के बराबर असाइन करें।

उदाहरण... दो दशमलव भिन्नों, 2.25 और 3.6 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों का गुणन

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
अंशों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
हर के उत्पाद का पता लगाएं;
परिणामी परिणाम लिखिए;
अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं।

उदाहरण... 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को संख्या से)

दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं के गुणनफल को खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

इसलिए, एक दशमलव भिन्न और एक प्राकृत संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

भिन्न के नीचे की संख्या इस प्रकार लिखिए कि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
अल्पविराम के बावजूद एक काम खोजें;
परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, जो अंश में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर से अंकों की संख्या की गणना करता है।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यदि उत्तर में रद्दीकरण अंश है, तो इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण... 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को छोटा करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

साथ ही, भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक कारक खोजने पर भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूर्णांक भाग को एक संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण... उत्पाद 9 5/6 और 9 खोजें।

समाधान... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9)/6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2।

उत्तर: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001

निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दायीं ओर उतने अंकों से ले जाना होगा जितने कि गुणक में एक के बाद एक शून्य होते हैं।

उदाहरण 1... 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

उत्तर: 65.

उदाहरण 2... 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

उत्तर: 3900.

यदि आपको एक प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना चाहिए, जितने अंकों में एक तक शून्य हो। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या के आगे पर्याप्त शून्य लिख दिया जाता है।

उदाहरण 1... 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2... 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

उत्तर: 0,004.

इसलिए, विभिन्न भिन्नों के गुणनफल को खोजने में शायद परिणाम की गणना के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप बस एक कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते।

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:

उदाहरण के लिए:

इससे पहले कि आप अंशों और हरों को गुणा करना शुरू करें, आपको अंश को कम करने की संभावना की जांच करने की आवश्यकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।

साधारण भिन्न का भिन्न में विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या की भागीदारी के साथ अंशों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में होता है, एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करें जिसमें हर में एक हो। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

मिश्रित भिन्नों को अनियमित अंशों में बदलना;
भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
हम अंश को कम करते हैं;
यदि आपको गलत भिन्न मिला है, तो गलत भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलें।

ध्यान दें!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों के गुणन के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

ध्यान दें!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जब अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुमंजिला अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

ध्यान दें!भिन्नों के विभाजन में, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है। सभी गणनाओं को ध्यान से और सटीक रूप से, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के रूप में जाएँ।

3. सभी भिन्नों को तब तक कम करें जब तक कि घटाना असंभव न हो जाए।

4. बहु-मंजिला भिन्नात्मक व्यंजकों को 2 बिंदुओं से विभाजित करके साधारण व्यंजकों में परिवर्तित किया जाता है।

5. इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

एक अन्य क्रिया जो आप भिन्नों के साथ कर सकते हैं, वह है गुणन। हम समस्याओं को हल करने के लिए इसके बुनियादी नियमों को समझाने की कोशिश करेंगे, यह दिखाएंगे कि कैसे एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है और तीन साधारण भिन्नों को सही ढंग से कैसे गुणा किया जाता है।

आइए पहले मूल नियम लिखें:

परिभाषा 1

यदि हम एक सामान्य भिन्न को गुणा करते हैं, तो परिणामी भिन्न का अंश मूल भिन्न के अंशों के गुणनफल के बराबर होगा, और हर - उनके हर के गुणनफल के बराबर होगा। शाब्दिक रूप में, दो भिन्नों a / b और c / d के लिए, इसे a b c d = a c b d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

आइए एक उदाहरण देखें कि इस नियम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए। मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग है जिसकी भुजा एक संख्यात्मक इकाई के बराबर है। तब आकृति का क्षेत्रफल 1 वर्गमीटर होगा। इकाई। यदि हम एक संख्यात्मक इकाई के 1 4 और 1 8 के बराबर भुजाओं वाले वर्ग को समान आयतों में विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसमें अब 32 आयतें हैं (क्योंकि 8 4 = 32)। तदनुसार, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल के 1 32 के बराबर होगा, अर्थात। 1 32 वर्ग। इकाइयाँ।

हमें 5 8 संख्यात्मक इकाइयों और 3 4 संख्यात्मक इकाइयों के बराबर पक्षों के साथ एक छायांकित टुकड़ा मिला है। तदनुसार, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको पहले अंश को दूसरे से गुणा करना होगा। यह 5 8 · 3 4 वर्गमीटर के बराबर होगा। इकाइयाँ। लेकिन हम केवल यह गिन सकते हैं कि टुकड़े में कितने आयत शामिल हैं: उनमें से 15 हैं, जिसका अर्थ है कि कुल क्षेत्रफल 15 32 वर्ग इकाई है।

चूँकि 5 3 = 15 और 8 4 = 32, हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

यह उस नियम की पुष्टि है जिसे हमने साधारण भिन्नों के गुणन के लिए तैयार किया है, जिसे a b c d = a c b d के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह नियमित और अनियमित दोनों भिन्नों के लिए समान कार्य करता है; इसका उपयोग भिन्न और समान हर दोनों से भिन्नों को गुणा करने के लिए किया जा सकता है।

आइए साधारण भिन्नों के लिए कई गुणा समस्याओं के समाधान देखें।

उदाहरण 1

7 11 को 9 8 से गुणा करें।

समाधान

सबसे पहले, आइए संकेतित भिन्नों के अंशों के गुणनफल को 7 से 9 से गुणा करके परिकलित करें। हमें 63 मिले। फिर हम हर के गुणनफल की गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं: 11 8 = 88। आइए उनकी दो संख्याओं का उत्तर बनाते हैं: 63 88।

पूरा समाधान इस तरह लिखा जा सकता है:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

उत्तर: 7 11 9 8 = 63 88.

यदि उत्तर में हमें एक रद्द करने योग्य अंश मिला है, तो हमें गणना को अंत तक लाने और इसे रद्द करने की आवश्यकता है। यदि हमें गलत भिन्न मिलता है, तो हमें उसमें से पूरा भाग चुनना होगा।

उदाहरण 2

भिन्नों के गुणनफल की गणना करें 4 15 और 55 6.

समाधान

ऊपर अध्ययन किए गए नियम के अनुसार, हमें अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होता है। समाधान रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

हमें एक रद्द करने योग्य अंश मिला है, अर्थात। जिसकी 10 से विभाज्यता है।

आइए भिन्न को कम करें: 220 90 जीसीडी (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9। नतीजतन, हमें एक गलत अंश मिला, जिसमें से हम पूरे भाग का चयन करते हैं और एक मिश्रित संख्या प्राप्त करते हैं: 22 9 = 2 4 9।

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9.

गणना की सुविधा के लिए, हम गुणन संक्रिया करने से पहले मूल भिन्नों को भी कम कर सकते हैं, जिसके लिए हमें अंश को a · c b · d के रूप में कम करने की आवश्यकता होती है। आइए हम चर के मूल्यों को प्रमुख कारकों में विघटित करें और समान को कम करें।

आइए हम बताते हैं कि किसी विशिष्ट कार्य के डेटा का उपयोग करके यह कैसा दिखता है।

उदाहरण 3

गुणनफल 4 15 55 6 परिकलित कीजिए।

समाधान

आइए गुणन नियम के आधार पर गणनाएँ लिखें। हमें मिल जाएगा:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

चूँकि 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 और 6 = 2 3, तो 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9.

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसमें साधारण अंशों का गुणन होता है, में विस्थापन गुण होता है, अर्थात यदि आवश्यक हो, तो हम कारकों के क्रम को बदल सकते हैं:

ए बी सी डी = सी डी ए बी = ए सी बी डी

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा कैसे करें

आइए मूल नियम को तुरंत लिख लें, और फिर इसे व्यवहार में समझाने का प्रयास करें।

परिभाषा 2

एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। इस मामले में, अंतिम भिन्न का हर मूल साधारण भिन्न के हर के बराबर होगा। किसी भिन्न a b को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने पर एक सूत्र a b n = a n b के रूप में लिखा जा सकता है।

इस सूत्र को समझना आसान है यदि आपको याद है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका हर एक के बराबर होता है, अर्थात:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ अपने विचार को स्पष्ट करें।

उदाहरण 4

2 27 के गुणनफल को 5 से परिकलित करें।

समाधान

मूल भिन्न के अंश को दूसरे गुणनखंड से गुणा करने पर हमें 10 प्राप्त होता है। उपरोक्त नियम के आधार पर, हमें परिणाम के रूप में 10 27 मिलते हैं। इस पोस्ट में पूरा समाधान दिया गया है:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

उत्तर: 2 27 5 = 10 27

जब हम किसी प्राकृत संख्या को साधारण भिन्न से गुणा करते हैं, तो हमें अक्सर परिणाम को संक्षिप्त करना पड़ता है या उसे मिश्रित संख्या के रूप में प्रस्तुत करना पड़ता है।

उदाहरण 5

शर्त: 8 बटा 5 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

ऊपर दिए गए नियम के अनुसार हम प्राकृत संख्या को अंश से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। अंतिम अंश में 2 से विभाज्यता के संकेत हैं, इसलिए हमें इसे कम करने की आवश्यकता है:

एलसीएम (40, 12) = 4, इसलिए 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

अब हमें केवल पूरे भाग का चयन करना है और समाप्त उत्तर लिखना है: 10 3 = 3 1 3।

इस प्रविष्टि में, आप संपूर्ण समाधान देख सकते हैं: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3।

हम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके भी भिन्न को कम कर सकते हैं, और परिणाम बिल्कुल वैसा ही होगा।

उत्तर: 5 12 8 = 3 1 3.

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसमें एक प्राकृतिक संख्या को एक अंश से गुणा किया जाता है, में भी चलने की संपत्ति होती है, अर्थात, कारकों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है:

ए बी एन = एन ए बी = ए एन बी

तीन या अधिक भिन्नों को कैसे गुणा करें

हम साधारण अंशों को उन्हीं गुणों से गुणा करने की क्रिया का विस्तार कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने की विशेषता हैं। यह इन अवधारणाओं की बहुत परिभाषा से आता है।

संयोजन और विस्थापन गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, तीन या अधिक अंशों को गुणा करना संभव है। अधिक सुविधा के लिए गुणक को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना या कोष्ठकों को व्यवस्थित करना अनुमत है क्योंकि इसे गिनना आसान होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 6

चार भिन्नों 1 20, 12 5, 3 7 और 5 8 को गुणा करें।

समाधान: सबसे पहले, आइए टुकड़े की रिकॉर्डिंग करें। हमें 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 मिलता है। हमें सभी अंशों और हरों को आपस में गुणा करना होगा: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8।

इससे पहले कि हम गुणा करना शुरू करें, हम इसे अपने लिए थोड़ा आसान बना सकते हैं और आगे की कमी के लिए कुछ संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदल सकते हैं। परिणामी अंश को कम करने की तुलना में यह आसान होगा।

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

उत्तर: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9 280।

उदाहरण 7

5 संख्याओं 7 8 12 8 5 36 10 का गुणा करें।

समाधान

सुविधा के लिए, हम अंश 7 8 को संख्या 8 के साथ और संख्या 12 को अंश 5 36 के साथ समूहित कर सकते हैं, क्योंकि भविष्य के संक्षिप्त रूप हमारे लिए स्पष्ट होंगे। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

उत्तर: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

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अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिला दूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। अर्थात्:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है... और कृपया एक सामान्य हर की तलाश न करें! यहां उसकी जरूरत नहीं है ...

भिन्न को भिन्न में विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, अर्थात।

उदाहरण के लिए:

यदि आप पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पाते हैं - तो कोई बात नहीं। जोड़ के साथ, हम एक पूर्णांक में से एक के साथ भिन्न बनाते हैं - और हम चले जाते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस अंश को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? यह बहुत सरल है! दो-बिंदु विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, 4:2, या 2:4, हम भ्रमित नहीं होंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। नोट, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आपको फर्क महसूस होता है? 4 और 1/9!

और विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज सलाखों की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर हम विभाजित-गुणा करते हैं क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

अंश पलट गया है! और ऐसा हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

अंशों के लिए बस इतना ही। बात काफी सरल है, लेकिन यह पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देती है। व्यावहारिक सुझावों पर ध्यान दें, और कम (गलतियाँ) होंगी!

प्रायोगिक उपकरण:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक सख्त जरूरत है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय इसे गड़बड़ाने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएं।

3. सभी भिन्नों को स्टॉप पर घटाया जाता है।

4. बहु-मंजिला भिन्नात्मक व्यंजक दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए, साधारण लोगों के लिए कम हो जाते हैं (विभाजन के क्रम को देखें!)।

5. इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से हल करना चाहिए। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। विचार करें कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार! कोई कैलकुलेटर नहीं! और सही निष्कर्ष निकालें ...

याद रखें - सही उत्तर है दूसरे (सभी अधिक - तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!यह कठोर जीवन है।

इसलिए, हम परीक्षा मोड में हल करते हैं ! वैसे, यह पहले से ही परीक्षा की तैयारी है। हम उदाहरण को हल करते हैं, इसकी जांच करते हैं, अगले को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय किया - पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। केवल फिरउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने इसे हल किया है?

हम उन उत्तरों की तलाश कर रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने जानबूझकर उन्हें एक गड़बड़ी में लिखा, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए ... ये रहे उत्तर, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ ठीक हो गया, तो मुझे आपके लिए खुशी है! भिन्नों के साथ मूल गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो में से एक समस्या है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और / या असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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