न्यूनकोण त्रिभुज की परिभाषा दीजिए। अधिक त्रिभुज: भुजाओं की लंबाई, कोणों का योग

मानक पदनाम

शीर्षों वाला त्रिभुज ए, बीतथा सीके रूप में दर्शाया गया है (अंजीर देखें।) त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं:

त्रिभुज के किनारों की लंबाई लोअरकेस लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) द्वारा इंगित की जाती है:

त्रिभुज में निम्नलिखित कोण होते हैं:

संबंधित शीर्षों पर कोणों को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षरों (α, β, γ) द्वारा निरूपित किया जाता है।

त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

यूक्लिडियन तल पर एक त्रिभुज को मूल तत्वों के निम्नलिखित त्रिगुणों द्वारा विशिष्ट रूप से (सर्वांगसमता तक) निर्धारित किया जा सकता है:

1. ए, बी, (दो पक्षों पर समानता और उनके बीच स्थित कोण);
2. ए, β, (पक्ष और दो आसन्न कोणों में समानता);
3. ए, बी, सी (तीन तरफ समानता)।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

1. पैर और कर्ण के साथ;
2. दो पैरों पर;
3. पैर और तेज कोने के साथ;
4. कर्ण और न्यून कोण से।

त्रिभुज में कुछ बिंदु "युग्मित" हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदु हैं जिनसे सभी पक्ष या तो 60 ° या 120 ° पर दिखाई देते हैं। उन्हें कहा जाता है टोरिसेली अंक... दो बिंदु भी हैं, जिनके अनुमान एक नियमित त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। ये है - अपोलोनियस अंक... अंक और जैसे कहलाते हैं ब्रोकार्ड अंक.

सीधे

किसी भी त्रिभुज में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, लंबकेन्द्र और परिबद्ध वृत्त का केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होता है, जिसे कहा जाता है यूलर की सीधी रेखा.

परिवृत्त के केंद्र और लेमोइन बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है ब्रोकार्ड अक्ष... अपोलोनियस के बिंदु इस पर स्थित हैं। साथ ही, Torricelli बिंदु और Lemoine बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। किसी त्रिभुज के कोणों के बाह्य समद्विभाजक के आधार एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बाहरी द्विभाजक की धुरी... त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के साथ समकोण त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु भी एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। इस लाइन को कहा जाता है ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष, यह यूलर रेखा के लंबवत है।

यदि हम किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त पर एक बिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज की भुजाओं पर उसका प्रक्षेपण एक सीधी रेखा पर होगा, जिसे कहा जाता है सिमसन का सीधाइस बिंदु। सममित रूप से विपरीत बिंदुओं वाली सिमसन की रेखाएं लंबवत हैं।

त्रिभुज

• किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से खींचे गए चीवियों के आधार पर शिखर वाले त्रिभुज को कहा जाता है चीवियन त्रिकोणइस बिंदु।
• एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं पर दिए गए बिंदु के प्रक्षेपणों में शीर्ष होते हैं, कहलाते हैं चालाकीपूर्णया पेडल त्रिकोणइस बिंदु।
• शीर्षों के माध्यम से खींची गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदुओं पर शीर्षों पर त्रिभुज और यह बिंदु, परिबद्ध वृत्त के साथ, कहलाता है गोलाकार चेवियन त्रिभुज... परिधि-चेवियन त्रिभुज पॉडडर्नी के समान है।

मंडलियां

• अंकित वृत्त- त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर स्पर्शरेखा वाला वृत्त। वह अकेली है। उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र को कहते हैं इन्सेंट्रम.
• परिचालित वृत्त- त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाला एक वृत्त। परिचालित वृत्त भी अद्वितीय है।
• बहिवृत्त- त्रिभुज की एक भुजा की स्पर्श रेखा और अन्य दो भुजाओं की निरंतरता। एक त्रिभुज में ऐसे तीन वृत्त होते हैं। इनका मूल केंद्र माध्यिका त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है, जिसे कहा जाता है स्पाइकर की बात.

त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदु, इसकी तीन ऊँचाइयों के आधार और इसके शीर्षों को लंबकेन्द्र से जोड़ने वाले तीन खंडों के मध्यबिंदु, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है नौ बिंदुओं का एक चक्रया यूलर का चक्र... नौ बिंदुओं वाले वृत्त का केंद्र यूलर रेखा पर स्थित होता है। नौ बिंदुओं का वृत्त अंतःवृत्त और तीन पूर्व-बिंदुओं को स्पर्श करता है। खुदा हुआ वृत्त और नौ-बिंदु वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है फ़्यूअरबैक पॉइंट... यदि, प्रत्येक शीर्ष से, हम भुजाओं वाली सीधी रेखाओं पर त्रिभुज को अलग रखते हैं, लंबाई में विपरीत भुजाओं के बराबर ऑर्थोसिस, तो परिणामी छह बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं - कॉनवे का चक्र... किसी भी त्रिभुज में, आप तीन वृत्तों को इस प्रकार अंकित कर सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों को स्पर्श करे। ऐसे वृत्त कहलाते हैं मंडलियां मालफट्टी... छह त्रिभुजों के परिबद्ध वृत्तों के केंद्र, जिनमें त्रिभुज को माध्यिकाओं द्वारा विभाजित किया जाता है, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसे कहते हैं लामुन का चक्र.

एक त्रिभुज में तीन वृत्त होते हैं जो त्रिभुज की दो भुजाओं और परिवृत्त को स्पर्श करते हैं। ऐसे वृत्त कहलाते हैं आधा लिखाया वेरियर की मंडलियां... वेरिएर सर्कल के स्पर्शरेखा बिंदुओं को परिचालित वृत्त से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं वेरियर पॉइंट... यह समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो परिवृत्त को एक उत्कीर्ण वृत्त में बदल देता है। वेरिएर सर्कल के पक्षों के साथ स्पर्शरेखा बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो खुदा हुआ सर्कल के केंद्र से होकर गुजरता है।

उत्कीर्ण वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदुओं को शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं प्वाइंट गेर्गोन, और वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदुओं के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले खंड में हैं बिंदु नागेल.

दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय

खुदा हुआ शंकु (दीर्घवृत्त) और उसका दृष्टिकोण

एक त्रिभुज में अनंत संख्या में शंकु (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) अंकित किए जा सकते हैं। यदि आप एक मनमाना शंकु को एक त्रिभुज में अंकित करते हैं और स्पर्शरेखा के बिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे कहा जाता है परिप्रेक्ष्यशंकु समतल के किसी भी बिंदु के लिए जो किनारे पर या उसके विस्तार पर नहीं है, इस बिंदु पर एक परिप्रेक्ष्य के साथ एक खुदा हुआ शंकु है।

स्टीनर और शेवियनों का वर्णित दीर्घवृत्त उनके फोकस से गुजर रहा है

एक दीर्घवृत्त को एक त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है जो बीच में भुजाओं को स्पर्श करता है। ऐसे दीर्घवृत्त को कहते हैं खुदा स्टीनर दीर्घवृत्त(इसका परिप्रेक्ष्य त्रिभुज केन्द्रक होगा)। वर्णित दीर्घवृत्त, जो भुजाओं के समांतर शीर्षों से गुजरने वाली रेखाओं को स्पर्श करता है, कहलाता है स्टीनर दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित... यदि एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन ("स्क्यू") द्वारा त्रिभुज को एक नियमित रूप में बदल दिया जाता है, तो इसका खुदा हुआ और परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त खुदा हुआ और परिबद्ध सर्कल में चला जाएगा। वर्णित स्टीनर अंडाकार (स्कुटिन अंक) के फॉसी के माध्यम से तैयार किए गए चेवियन बराबर हैं (स्कुटिन के प्रमेय)। सभी वर्णित दीर्घवृत्तों में, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे छोटा है, और सभी उत्कीर्ण दीर्घवृत्तों में, उत्कीर्ण स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।

ब्रोकार्ड का दीर्घवृत्त और उसका दृष्टिकोण - लेमोइन बिंदु

ब्रोकार्ड बिंदुओं पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त कहलाता है ब्रोकार्ड का दीर्घवृत्त... लेमोइन बिंदु इसके परिप्रेक्ष्य के रूप में कार्य करता है।

अंकित परवलय गुण

परबोला किपर्ट

उत्कीर्ण परवलयों के दृष्टिकोण वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त पर स्थित हैं। खुदा हुआ परवलय का फोकस परिवृत्त पर होता है, और डायरेक्ट्रिक्स ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है। एक त्रिभुज में अंकित एक परवलय जिसमें यूलर की रेखा एक डायरेक्ट्रिक्स के रूप में होती है, कहलाती है कीपर्ट परवलय... इसका परिप्रेक्ष्य परिचालित वृत्त और परिबद्ध स्टेनर दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन का चौथा बिंदु है, जिसे कहा जाता है स्टेनर पॉइंट.

किपर्ट का अतिशयोक्ति

यदि वर्णित हाइपरबोला ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु से गुजरता है, तो यह समबाहु है (अर्थात इसके स्पर्शोन्मुख लंबवत हैं)। समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ बिंदुओं के वृत्त पर स्थित होता है।

परिवर्तनों

यदि शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएं और कुछ बिंदु जो भुजाओं पर न हों और उनके विस्तार संबंधित समद्विभाजक के सापेक्ष परावर्तित हों, तो उनके प्रतिबिम्ब भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे, जिसे कहते हैं समकोणीय रूप से संयुग्मितमूल (यदि बिंदु परिचालित वृत्त पर स्थित है, तो परिणामी रेखाएँ समानांतर होंगी)। उल्लेखनीय बिंदुओं के कई जोड़े समकोणीय रूप से संयुग्मित होते हैं: परिबद्ध वृत्त का केंद्र और ऑर्थोसेंटर, सेंट्रोइड और लेमोइन का बिंदु, ब्रोकार्ड के बिंदु। अपोलोनियस अंक समकोणिक रूप से टोरिसेली बिंदुओं के साथ संयुग्मित होते हैं, और खुदा हुआ चक्र का केंद्र समस्थानिक रूप से अपने आप में संयुग्मित होता है। आइसोगोनल संयुग्मन की कार्रवाई के तहत, सीधी रेखाएं वर्णित शंकुओं में गुजरती हैं, और वर्णित शंकु - सीधी रेखाओं में। तो, किपर्ट हाइपरबोला और ब्रोकार्ड अक्ष, एनज़बेक हाइपरबोला और यूलर लाइन, फ़्यूअरबैक हाइपरबोला और परिचालित सर्कल के बारे में खुदा के केंद्रों की रेखा आइसोगोनली संयुग्मित हैं। समद्विबाहु संयुग्म बिंदुओं के पॉडडर्नी त्रिभुजों के परिचालित वृत्त संपाती होते हैं। उत्कीर्ण दीर्घवृत्त के फोकस समकोणीय रूप से संयुग्मित होते हैं।

यदि, एक सममित चेवियाना के बजाय, हम एक चेवियाना लेते हैं, जिसका आधार मूल के आधार के समान ही पक्ष के बीच से हटा दिया जाता है, तो ऐसे चीवियन भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। परिणामी परिवर्तन कहा जाता है समस्थानिक संयुग्मन... यह सीधी रेखाओं को भी वर्णित शांकवों में बदल देता है। Gergonne और Nagel अंक समस्थानिक रूप से संयुग्मित होते हैं। एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन के तहत, आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट पॉइंट्स को आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट पॉइंट्स में बदल दिया जाता है। समस्थानिक संयुग्मन के तहत, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त असीम रूप से दूर की रेखा पर जाएगा।

यदि परिचालित वृत्त से त्रिभुज की भुजाओं द्वारा काटे गए खंडों में, हम एक निश्चित बिंदु के माध्यम से खींचे गए चीवियों के आधार पर पक्षों के स्पर्शरेखा के वृत्तों को अंकित करते हैं, और फिर इन वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदुओं को परिबद्ध वृत्त से जोड़ते हैं विपरीत शीर्षों के साथ, तो ऐसी सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। परिणामी बिंदु से मूल बिंदु से मेल खाने वाले समतल का परिवर्तन कहलाता है आइसो-सर्कुलर ट्रांसफॉर्मेशन... आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मन रचना स्वयं के साथ आइसोकिरकुलर परिवर्तन संरचना है। यह रचना एक प्रक्षेपी परिवर्तन है, जो त्रिभुज के किनारों को जगह में छोड़ देता है, और बाहरी द्विभाजक की धुरी को अनंत पर रेखा में स्थानांतरित करता है।

यदि हम किसी बिंदु के चेवियन त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को संगत भुजाओं के साथ लेते हैं, तो प्राप्त प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जिसे कहा जाता है त्रिरेखीय ध्रुवीयप्रस्थान बिंदू। ऑर्थोसेन्ट्रिक अक्ष - ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुवीय; बाहरी द्विभाजक की धुरी उत्कीर्ण वृत्त केंद्र के त्रिरेखीय ध्रुवीय के रूप में कार्य करती है। एक बिंदु पर परिचालित शंकु प्रतिच्छेद पर स्थित बिंदुओं के त्रिरेखीय ध्रुव (परिक्रमित वृत्त के लिए यह लेमोइन बिंदु है, परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त के लिए - केन्द्रक)। एक आइसोगोनल (या आइसोटोमिक) संयुग्म और एक त्रिरेखीय ध्रुवीय की संरचना द्वैत का परिवर्तन है (यदि एक बिंदु समस्थानिक (आइसोटोमिक रूप से) एक बिंदु के लिए एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है, तो एक बिंदु का एक त्रिरेखीय ध्रुवीय आइसोगोनली (आइसोटोमिक रूप से) ) एक संयुग्म बिंदु के लिए एक बिंदु के एक त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है)।

क्यूब्स

त्रिकोण में संबंध

ध्यान दें:इस खंड में, त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, और, इन तीनों भुजाओं (विपरीत कोणों) के विपरीत क्रमशः कोण हैं।

असमानित त्रिकोण

एक गैर-पतित त्रिभुज में, इसकी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है, एक पतित त्रिभुज में, यह बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ निम्नलिखित असमानताओं से संबंधित हैं:

त्रिभुज असमानता मीट्रिक के स्वयंसिद्धों में से एक है।

त्रिभुज के कोणों का योग प्रमेय

ज्या प्रमेय

,

जहाँ R त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है। यह प्रमेय से इस प्रकार है कि यदि a< b < c, то α < β < γ.

कोसाइन प्रमेय

स्पर्शरेखा प्रमेय

अन्य अनुपात

एक त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात निम्न के लिए दिए गए हैं:

त्रिभुजों को हल करना

ज्ञात पक्षों के आधार पर अज्ञात पक्षों और त्रिभुज के कोणों की गणना को ऐतिहासिक रूप से "त्रिभुजों का समाधान" नाम मिला है। इस मामले में, उपरोक्त सामान्य त्रिकोणमितीय प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

विशेष मामले पदनाम

निम्नलिखित असमानताएँ क्षेत्र के लिए मान्य हैं:

सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

माना त्रिभुज के शीर्ष बिन्दुओं पर हैं,,।

आइए क्षेत्र वेक्टर का परिचय दें। इस सदिश की लंबाई त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और इसे त्रिभुज के तल की ओर सामान्य दिशा में निर्देशित किया जाता है:

मान लीजिए, कहाँ, निर्देशांक तलों पर त्रिभुज के प्रक्षेप हैं। जिसमें

और इसी तरह

त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

एक विकल्प यह है कि भुजाओं की लंबाई की गणना करें (पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार) और फिर हेरॉन के सूत्र के अनुसार।

त्रिभुज प्रमेय

यह खंड अधूरा है।

आज हम ज्यामिति के देश में जा रहे हैं, जहाँ हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अनावश्यक" (चित्र 1) खोजें।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ # 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका अर्थ है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

अंक कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - आईटी दलों... त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोने हैं।

त्रिभुज के मुख्य लक्षण हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के संदर्भ में, त्रिभुज हैं न्यूनकोण, आयताकार और अधिक कोण वाला।

त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि तीनों कोने न्यूनकोण हों, यानी 90 ° से कम (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोना 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि इसका एक कोना अधिक हो, अर्थात 90 ° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, बहुउपयोगी होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पार्टियों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र कोण और अधिक कोण वाला(अंजीर। 8) .

चावल। 8. न्यून और अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा तीव्र कोण वाला।

एक त्रिभुज बहुमुखी कहलाता है, जिसमें तीनों भुजाओं की अलग-अलग लंबाई होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. बहुमुखी त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, हम कोणों के परिमाण द्वारा वितरित करते हैं।

तीव्र त्रिभुज: संख्या 1, संख्या 3।

आयताकार त्रिकोण: नंबर 2, नंबर 6।

अधिक त्रिभुज: संख्या 4, संख्या 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

बहुमुखी त्रिकोण: नंबर 4, नंबर 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5।

समबाहु त्रिभुज: संख्या १।

रेखाचित्रों पर विचार करें।

इस बारे में सोचें कि आपने प्रत्येक त्रिभुज को किस तार के टुकड़े से बनाया है (अंजीर। 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप इस तरह तर्क कर सकते हैं।

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में बांटा गया है, इसलिए इससे एक समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। चित्र में, उसे तीसरे के रूप में दिखाया गया है।

तार का दूसरा टुकड़ा तीन अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक बहुमुखी त्रिकोण बना सकें। उसे पहले चित्र में दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया जाता है, जहाँ दो भाग समान लंबाई के होते हैं, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। चित्र में, उसे दूसरे के रूप में दिखाया गया है।

आज के पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।

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होम वर्क

1. वाक्यांशों को पूरा करें।

a) त्रिभुज एक ऐसी आकृति है, जिसमें…, एक सीधी रेखा पर न पड़े हुए, और…, इन बिंदुओं को जोड़ियों में जोड़ते हैं।

b) पॉइंट्स कहलाते हैं … , खंड - आईटी … ... त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के संदर्भ में, त्रिभुज…,…,… हैं।

d) समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज…,…,… हैं।

2. ड्रा

ए) एक समकोण त्रिभुज;

बी) न्यूनकोण त्रिभुज;

ग) अधिक त्रिभुज;

घ) एक समबाहु त्रिभुज;

ई) बहुमुखी त्रिकोण;

च) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक नियत कार्य करें।

यहां तक ​​​​कि पूर्वस्कूली बच्चे भी जानते हैं कि त्रिकोण कैसा दिखता है। लेकिन वे क्या हैं, लोग पहले से ही स्कूल में समझने लगे हैं। प्रकारों में से एक अधिक त्रिभुज है। यह समझने का सबसे आसान तरीका है कि अगर आप उसकी छवि के साथ एक तस्वीर देखते हैं। और सिद्धांत रूप में इसे तीन भुजाओं और शीर्षों के साथ "सबसे सरल बहुभुज" कहा जाता है, जिनमें से एक है

अवधारणाओं को समझना

ज्यामिति में, तीन भुजाओं वाली इस प्रकार की आकृतियों को प्रतिष्ठित किया जाता है: न्यूनकोण, आयताकार और अधिक त्रिभुज। इसके अलावा, इन सरल बहुभुजों के गुण सभी के लिए समान हैं। तो, सभी सूचीबद्ध प्रजातियों के लिए, ऐसी असमानता देखी जाएगी। किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग अनिवार्य रूप से तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होगा।

लेकिन यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम एक पूर्ण आकृति के बारे में बात कर रहे हैं, न कि व्यक्तिगत शिखरों के एक सेट के बारे में, यह जांचना आवश्यक है कि मुख्य शर्त पूरी हो गई है: एक अधिक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री है। तीन भुजाओं वाली अन्य प्रकार की आकृतियों के लिए भी यही सच है। सच है, एक अधिक त्रिभुज में, कोनों में से एक 90 ° से भी अधिक होगा, और अन्य दो निश्चित रूप से तेज होंगे। इस मामले में, यह सबसे बड़ा कोण है जो सबसे लंबी भुजा के विपरीत होगा। सच है, ये एक अधिक त्रिभुज के सभी गुणों से दूर हैं। लेकिन केवल इन विशेषताओं को जानकर भी स्कूली बच्चे ज्यामिति की कई समस्याओं को हल कर सकते हैं।

तीन शीर्षों वाले प्रत्येक बहुभुज के लिए, यह भी सत्य है कि किसी भी भुजा को जारी रखते हुए, हमें एक कोण मिलता है, जिसका आकार दो गैर-आसन्न आंतरिक शीर्षों के योग के बराबर होगा। एक अधिक त्रिभुज के परिमाप की गणना उसी तरह की जाती है जैसे अन्य आकृतियों के लिए की जाती है। यह इसकी सभी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होता है। परिभाषा के लिए, गणितज्ञों ने विभिन्न सूत्र प्राप्त किए हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि प्रारंभ में कौन से डेटा मौजूद हैं।

सही प्रकार

ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्तों में से एक सही ड्राइंग है। अक्सर गणित के शिक्षक कहते हैं कि वह न केवल यह देखने में मदद करेगा कि आपको क्या दिया गया है और आपको क्या चाहिए, बल्कि 80% सही उत्तर के करीब है। इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक अधिक त्रिभुज का निर्माण कैसे किया जाता है। यदि आप केवल एक काल्पनिक आकार चाहते हैं, तो आप तीन भुजाओं वाला कोई भी बहुभुज बना सकते हैं ताकि एक कोना 90 डिग्री से अधिक हो।

यदि भुजाओं की लंबाई या कोणों की डिग्री के कुछ मान दिए गए हैं, तो उनके अनुसार एक अधिक त्रिभुज बनाना आवश्यक है। इस मामले में, कोणों को यथासंभव सटीक रूप से चित्रित करने का प्रयास करना आवश्यक है, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके उनकी गणना करना और कार्य में दी गई शर्तों के अनुपात में पक्षों को प्रदर्शित करना।

मुख्य पंक्तियाँ

अक्सर स्कूली बच्चों के लिए केवल यह जानना पर्याप्त नहीं होता है कि कुछ आंकड़े कैसे दिखने चाहिए। उन्हें केवल इस जानकारी तक सीमित नहीं किया जा सकता है कि कौन सा त्रिभुज अधिक है और कौन सा आयताकार है। गणित पाठ्यक्रम यह प्रदान करता है कि आंकड़ों की मुख्य विशेषताओं के बारे में उनका ज्ञान अधिक पूर्ण होना चाहिए।

इसलिए, प्रत्येक छात्र को द्विभाजक, माध्यिका, लंबवत और ऊंचाई की परिभाषा को समझना चाहिए। इसके अलावा, उसे उनके मूल गुणों को जानना चाहिए।

तो, द्विभाजक कोण को आधे में विभाजित करते हैं, और विपरीत पक्ष - उन खंडों में जो आसन्न पक्षों के समानुपाती होते हैं।

माध्यिका किसी भी त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल में विभाजित करती है। जिस बिंदु पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, उनमें से प्रत्येक को 2 खंडों में 2: 1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जब इसे उस शीर्ष से देखा जाता है जहां से यह निकला था। इस मामले में, बड़ी माध्यिका हमेशा अपने सबसे छोटे पक्ष की ओर खींची जाती है।

ऊंचाई पर भी कम ध्यान नहीं दिया जाता है। यह कोने से विपरीत दिशा में लंबवत है। एक अधिक त्रिभुज की ऊँचाई की अपनी विशेषताएँ होती हैं। यदि इसे एक नुकीले शीर्ष से खींचा जाता है, तो यह इस सरल बहुभुज की तरफ नहीं, बल्कि इसके जारी रहने पर पड़ता है।

मध्यबिंदु एक रेखाखंड है जो त्रिभुज के फलक के केंद्र से फैला होता है। इसके अलावा, यह इसके समकोण पर स्थित है।

मंडलियों के साथ काम करना

ज्यामिति के अध्ययन की शुरुआत में, बच्चों के लिए यह समझने के लिए पर्याप्त है कि एक अधिक त्रिभुज कैसे बनाया जाए, इसे अन्य प्रकारों से अलग करना सीखें और इसके मुख्य गुणों को याद रखें। लेकिन हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह ज्ञान पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए, परीक्षा में, परिचालित और खुदे हुए हलकों के बारे में अक्सर प्रश्न होते हैं। उनमें से पहला त्रिभुज के तीनों शीर्षों को स्पर्श करता है, और दूसरे में सभी भुजाओं वाला एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

एक उत्कीर्ण या वर्णित अधिक त्रिभुज का निर्माण करना पहले से ही अधिक कठिन है, क्योंकि इसके लिए पहले यह पता लगाना आवश्यक है कि वृत्त का केंद्र और उसकी त्रिज्या कहाँ होनी चाहिए। वैसे, इस मामले में न केवल एक शासक के साथ एक पेंसिल, बल्कि एक कम्पास भी एक आवश्यक उपकरण बन जाएगा।

तीन भुजाओं वाले उत्कीर्ण बहुभुजों का निर्माण करते समय समान कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। गणितज्ञों द्वारा विभिन्न सूत्र व्युत्पन्न किए गए हैं जो उनके स्थान को यथासंभव सटीक रूप से निर्धारित करना संभव बनाते हैं।

उत्कीर्ण त्रिभुज

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यदि एक वृत्त तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है, तो इसे परिवृत्त कहा जाता है। इसकी मुख्य संपत्ति यह है कि यह केवल एक ही है। यह पता लगाने के लिए कि एक अधिक कोण वाले त्रिभुज का परिबद्ध वृत्त कैसे स्थित होना चाहिए, यह याद रखना चाहिए कि इसका केंद्र तीन मध्य-लंबवतों के चौराहे पर है जो आकृति के किनारों पर जाते हैं। यदि तीन शीर्षों वाले न्यूनकोण बहुभुज में यह बिंदु इसके अंदर होगा, तो अधिक कोण वाले बहुभुज में - इसके बाहर।

उदाहरण के लिए, यह जानते हुए कि एक अधिक त्रिभुज की एक भुजा उसकी त्रिज्या के बराबर है, आप ज्ञात फलक के विपरीत कोण ज्ञात कर सकते हैं। इसकी ज्या ज्ञात भुजा की लंबाई को 2R (जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है) से भाग देने के परिणाम के बराबर होगी। यानी कोण का पाप ½ के बराबर होगा। इसका मतलब है कि कोण 150 ° के बराबर होगा।

यदि आपको एक अधिक त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको इसकी भुजाओं की लंबाई (c, v, b) और इसके क्षेत्रफल S के बारे में जानकारी की आवश्यकता होगी। आखिरकार, त्रिज्या की गणना इस प्रकार की जाती है: ( सीएक्सवीएक्सबी): 4 एक्स एस। वैसे, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपके पास किस प्रकार का आंकड़ा है: एक बहुमुखी अधिक त्रिभुज, समद्विबाहु, आयताकार या न्यून-कोण। किसी भी स्थिति में, उपरोक्त सूत्र के लिए धन्यवाद, आप तीन भुजाओं वाले दिए गए बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

वर्णित त्रिकोण

इसके अलावा, अक्सर आपको खुदी हुई मंडलियों के साथ काम करना पड़ता है। एक सूत्र के अनुसार, ऐसी आकृति की त्रिज्या, परिधि के ½ से गुणा करने पर, त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होगी। हालांकि, इसका पता लगाने के लिए, आपको एक अधिक त्रिभुज की भुजाओं को जानना होगा। वास्तव में, परिधि के ½ को निर्धारित करने के लिए, उनकी लंबाई को जोड़ना और 2 से विभाजित करना आवश्यक है।

यह समझने के लिए कि एक अधिक त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहाँ स्थित होना चाहिए, तीन समद्विभाजक खींचना आवश्यक है। ये वे रेखाएँ हैं जो कोनों को समद्विभाजित करती हैं। यह उनके चौराहे पर है कि सर्कल का केंद्र स्थित होगा। इसके अलावा, यह दोनों तरफ से समान दूरी पर होगा।

एक अधिक त्रिभुज में अंकित ऐसे वृत्त की त्रिज्या भागफल (p-c) x (p-v) x (p-b): p के बराबर होती है। इसके अलावा, p त्रिभुज का अर्धपरिधि है, c, v, b इसकी भुजाएँ हैं।

त्रिभुज - परिभाषा और सामान्य अवधारणाएँ

त्रिभुज एक साधारण बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और कोणों की संख्या समान होती है। इसके तल इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले 3 बिंदुओं और 3 रेखा खंडों द्वारा सीमित हैं।

किसी भी त्रिभुज के सभी कोने, उसके प्रकार की परवाह किए बिना, बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं, और इसके पक्षों को विपरीत शीर्षों के संबंधित पदनामों द्वारा दर्शाया जाता है, न केवल बड़े अक्षरों में, बल्कि छोटे अक्षरों में। तो, उदाहरण के लिए, ए, बी और सी अक्षरों द्वारा नामित शिखर वाले त्रिभुज में ए, बी, सी पक्ष होते हैं।

यदि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिकोण पर विचार करते हैं, तो यह एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों की मदद से बनाई गई है जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।

ऊपर की तस्वीर को ध्यान से देखिए। इस पर बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के शीर्ष हैं और इसके खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। इस बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष इसके अंदर के कोने बनाता है।

त्रिभुजों के प्रकार

आकार के अनुसार, त्रिभुजों के कोण, उन्हें इस प्रकार की किस्मों में विभाजित किया जाता है: आयताकार;
तीव्र-कोण;
मोटे।

आयताकार त्रिभुज वे होते हैं जिनमें एक समकोण होता है, और अन्य दो में न्यून कोण होते हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज वे होते हैं जिनमें इसके सभी कोने नुकीले होते हैं।

और यदि किसी त्रिभुज में एक अधिक कोण है, और अन्य दो कोण न्यून हैं, तो ऐसा त्रिभुज अधिक कोणों का होता है।

आप में से प्रत्येक यह भली-भांति समझता है कि सभी त्रिभुजों की भुजाएँ समान नहीं होती हैं। और इसकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार त्रिभुजों को विभाजित किया जा सकता है:

समद्विबाहु;
समबाहु;
बहुमुखी।

कार्य: विभिन्न प्रकार के त्रिभुज बनाएं। उन्हें एक परिभाषा दें। आप उनमें क्या अंतर देखते हैं?

त्रिभुजों के मूल गुण

यद्यपि ये साधारण बहुभुज कोणों या भुजाओं के परिमाण में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं, प्रत्येक त्रिभुज में मूल गुण होते हैं जो इस आकृति की विशेषता होते हैं।

किसी भी त्रिभुज में:

इसके सभी कोणों का योग 180º है।
यदि यह समबाहु का है, तो इसका प्रत्येक कोण 60º है।
एक समबाहु त्रिभुज में एक दूसरे के समान और सम कोण होते हैं।
बहुभुज की भुजा जितनी छोटी होगी, उसके विपरीत कोण उतना ही छोटा होगा, और इसके विपरीत, बड़ी भुजा के विपरीत बड़ा कोण होगा।
यदि भुजाएँ समान हैं, तो समान कोण उनके विपरीत स्थित हैं, और इसके विपरीत।
यदि हम एक त्रिभुज लेते हैं और उसकी भुजा बढ़ाते हैं, तो हम एक बाहरी कोने के साथ समाप्त होते हैं। यह आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
किसी भी त्रिभुज में, इसकी भुजा, चाहे आप किसी भी एक को चुनें, फिर भी अन्य 2 भुजाओं के योग से कम होगी, लेकिन उनके अंतर से अधिक होगी:

1.ए< b + c, a >बी - सी;
2.बी< a + c, b >एसी;
3.सी< a + b, c >ए - बी।

काम

तालिका त्रिभुज के पहले से ज्ञात दो कोणों को दर्शाती है। सभी कोणों का कुल योग जानने के बाद, त्रिभुज का तीसरा कोण किसके बराबर है और तालिका में दर्ज करें:

1. तीसरे कोण के कितने अंश होते हैं?
2. यह किस प्रकार के त्रिभुजों से संबंधित है?

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

मैं हस्ताक्षर करता हूँ

द्वितीय संकेत

तृतीय संकेत

त्रिभुज की ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका

त्रिभुज की ऊँचाई - आकृति के शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज की सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। त्रिभुज की सभी 3 ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसका लंबकेन्द्र है।

इस शीर्ष से खींचा गया खंड और इसे विपरीत दिशा के बीच में जोड़ने वाला खंड माध्यिका है। माध्यिकाएँ, साथ ही त्रिभुज की ऊँचाइयों में प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है, त्रिभुज या केन्द्रक का तथाकथित गुरुत्वाकर्षण केंद्र।

त्रिभुज का द्विभाजक एक कोण के शीर्ष और विपरीत दिशा में एक बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड है, और इस कोण को आधा में विभाजित भी करता है। त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहते हैं।

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को मध्य रेखा कहते हैं।

ऐतिहासिक संदर्भ

त्रिभुज जैसी आकृति को प्राचीन काल से जाना जाता है। चार हजार साल पहले मिस्र के पपीरी पर इस आकृति और इसके गुणों का उल्लेख किया गया था। थोड़ी देर बाद, पाइथागोरस प्रमेय और हेरॉन के सूत्र के लिए धन्यवाद, त्रिभुज के गुणों का अध्ययन उच्च स्तर पर चला गया, लेकिन फिर भी, यह दो हजार साल पहले हुआ था।

XV-XVI सदियों में, त्रिभुज के गुणों पर कई अध्ययन किए जाने लगे, और परिणामस्वरूप, प्लैनिमेट्री जैसा विज्ञान उत्पन्न हुआ, जिसे "त्रिकोण की नई ज्यामिति" कहा गया।

रूस के एक वैज्ञानिक एन.आई. लोबचेव्स्की ने त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनके कार्यों को बाद में गणित और भौतिकी और साइबरनेटिक्स दोनों में आवेदन मिला।

त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, त्रिकोणमिति जैसे विज्ञान का उदय हुआ। यह किसी व्यक्ति के लिए उसकी व्यावहारिक आवश्यकताओं के लिए आवश्यक हो गया, क्योंकि इसका उपयोग केवल मानचित्र बनाने, क्षेत्रों को मापने और विभिन्न तंत्रों के डिजाइन में आवश्यक है।

आप सबसे प्रसिद्ध त्रिकोण क्या जानते हैं? यह निश्चित रूप से बरमूडा ट्रायंगल है! इसे 50 के दशक में बिंदुओं की भौगोलिक स्थिति (त्रिकोण के कोने) के कारण प्राप्त हुआ, जिसके भीतर, मौजूदा सिद्धांत के अनुसार, इससे जुड़ी विसंगतियाँ उत्पन्न हुईं। बरमूडा त्रिभुज की चोटियाँ बरमूडा, फ्लोरिडा और प्यूर्टो रिको हैं।

असाइनमेंट: बरमूडा ट्रायंगल के बारे में आपने कौन से सिद्धांत सुने हैं?

और क्या आप जानते हैं कि लोबचेवस्की के सिद्धांत में, त्रिभुज के कोणों को जोड़ने पर, उनके योग का परिणाम हमेशा 180º से कम होता है। रीमैन की ज्यामिति में, एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है, और यूक्लिड के लेखन में, यह 180 डिग्री के बराबर होता है।

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पहेली पहेली के लिए प्रश्न:

1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में स्थित सीधी रेखा पर खींचे गए लंब का क्या नाम है?
2. एक शब्द में, आप एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के योग को कैसे कह सकते हैं?
3. एक त्रिभुज क्या है जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं?
4. उस त्रिभुज का नाम क्या है जिसका कोण 90° है?
5. त्रिभुज की बड़ी भुजा का नाम क्या है?
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा का नाम?
7. किसी भी त्रिभुज में हमेशा तीन होते हैं।
8. उस त्रिभुज का क्या नाम है जिसमें एक कोण 90° से अधिक है?
9. हमारे आकार के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाले रेखाखंड का नाम?
10. साधारण बहुभुज ABC में, पूंजी A है...?
11. त्रिभुज के कोण को आधे में विभाजित करने वाले खंड का नाम क्या है।

त्रिकोण के बारे में प्रश्न:

1. परिभाषा दीजिए।
2. इसकी कितनी ऊँचाई है?
3. त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
4. इसके कोणों का योग क्या है?
5. आप किस प्रकार के इस साधारण बहुभुज को जानते हैं?
6. त्रिभुजों के उन बिन्दुओं के नाम लिखिए जिन्हें अद्भुत कहा जाता है।
7. कोण को मापने के लिए किस उपकरण का उपयोग किया जा सकता है?
8. अगर घड़ी की सूइयां 21 बजे दिखाती हैं। घंटे के हाथों का कोण क्या है?
9. यदि व्यक्ति को "बाईं ओर", "चारों ओर" आदेश दिया जाता है, तो व्यक्ति किस कोण पर मुड़ता है?
10. आप कौन सी अन्य परिभाषाएँ जानते हैं जो तीन कोनों और तीन भुजाओं वाली आकृति से जुड़ी हैं?

विषय> गणित> ग्रेड 7 गणित