Štandardné označenia
Trojuholník s vrcholmi A, B a C. označené ako (pozri obr.). Trojuholník má tri strany:
Dĺžky strán trojuholníka sú označené malými latinskými písmenami (a, b, c):
Trojuholník má nasledujúce uhly:
Uhly v zodpovedajúcich vrcholoch sa tradične označujú gréckymi písmenami (α, β, γ).
Testy rovnosti pre trojuholníky
Trojuholník na euklidovskej rovine môže byť jednoznačne určený (až do zhody) pomocou nasledujúcich trojíc základných prvkov:
- a, b, γ (rovnosť na dvoch stranách a uhol medzi nimi);
- a, β, γ (rovnosť strany a dvoch susedných uhlov);
- a, b, c (rovnosť na troch stranách).
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:
- pozdĺž nohy a hypotenzie;
- na dvoch nohách;
- pozdĺž nohy a ostrého rohu;
- preponou a ostrým uhlom.
Niektoré body v trojuholníku sú „spárované“. Napríklad existujú dva body, z ktorých sú všetky strany viditeľné buď pod uhlom 60 ° alebo 120 °. Volajú sa Torricelliho body... Existujú aj dva body, ktorých priemety do strán ležia vo vrcholoch pravidelného trojuholníka. to - Apollonius body... Body a pod Brocard body.
Priamy
V každom trojuholníku ležia ťažisko, ortocentrum a stred kružnice opísanej na jednej priamke, tzv. Eulerova priamka.
Nazýva sa priama čiara prechádzajúca stredom opísanej kružnice a bodom Lemoine Brocardova os... Ležia na nej Apollóniove body. Bod Torricelli a bod Lemoine tiež ležia na jednej priamke. Základny vonkajších osi uhlov trojuholníka ležia na jednej priamke, tzv os vonkajších osi... Priesečníky priamok obsahujúcich strany pravouhlého trojuholníka s priamkami obsahujúcimi strany trojuholníka tiež ležia na jednej priamke. Táto linka je tzv ortocentrická os, je kolmá na Eulerovu priamku.
Ak vezmeme bod na kružnici opísanej trojuholníku, potom jeho priemet na strany trojuholníka bude ležať na jednej priamke, tzv. Simson je rovný tento bod. Simsonove čiary diametrálne opačných bodov sú kolmé.
Trojuholníky
- Trojuholník s vrcholmi na základni chevian pretiahnutý cez daný bod sa nazýva chevovský trojuholník tento bod.
- Trojuholník s vrcholmi v priemetoch daného bodu na stranách sa nazýva tajne alebo pedálový trojuholník tento bod.
- Trojuholník vo vrcholoch v druhých priesečníkoch priamych čiar vedených cez vrcholy a tento bod s kružnicou opísanou sa nazýva kruhový chevovský trojuholník... Obvodovo-chevický trojuholník je podobný poddernému.
Kruhy
- Vpísaný kruh- kružnica dotýkajúca sa všetkých troch strán trojuholníka. Ona je jediná. Stred vpísanej kružnice je tzv incentrum.
- Opísaný kruh- kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka. Jedinečný je aj opísaný kruh.
- Excircle- kruh dotýkajúci sa jednej strany trojuholníka a pokračovanie ďalších dvoch strán. V trojuholníku sú tri takéto kruhy. Ich radikálnym stredom je stred vpísanej kružnice stredového trojuholníka, tzv Spikerova pointa.
Stredy troch strán trojuholníka, základne jeho troch výšok a stredy troch segmentov spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom, ležia na jednej kružnici, tzv. kruh deviatich bodov alebo Eulerov kruh... Stred kruhu deviatich bodov leží na Eulerovej priamke. Kruh deviatich bodov sa dotýka kruhu a troch bývalých bodov. Dotykový bod vpísanej kružnice a deväťbodovej kružnice sa nazýva Feuerbachov bod... Ak z každého vrcholu rozložíme vonkajšiu stranu trojuholníka na rovné čiary obsahujúce strany, ortézy majú rovnakú dĺžku ako protiľahlé strany, potom výsledných šesť bodov leží na jednom kruhu - Conwayov kruh... V ľubovoľnom trojuholníku môžete vpísať tri kruhy tak, že sa každý z nich dotýka dvoch strán trojuholníka a dvoch ďalších kruhov. Takéto kruhy sa nazývajú kruhy Malfatti... Stredy opísaných kružníc šiestich trojuholníkov, na ktoré je trojuholník rozdelený strednicami, ležia na jednej kružnici, ktorá je tzv. Lamunov kruh.
Trojuholník má tri kruhy, ktoré sa dotýkajú dvoch strán trojuholníka a kružnice opísanej. Takéto kruhy sa nazývajú napoly napísané alebo Verrierove kruhy... Úsečky spájajúce dotykové body Verrierových kružníc s kružnicou opísanou sa pretínajú v jednom bode, tzv. Verrierov bod... Slúži ako stred homothety, ktorý premieňa opísaný kruh na vpísaný kruh. Dotykové body Verrièrových kružníc so stranami ležia na priamke, ktorá prechádza stredom vpísanej kružnice.
Úsečky spájajúce dotykové body vpísanej kružnice s vrcholmi sa pretínajú v jednom bode, tzv. bod Gergonne, a segmenty spájajúce vrcholy s bodmi dotyku excircles sú in bod Nagel.
Elipsy, paraboly a hyperboly
Vpísaná kužeľosečka (elipsa) a jej perspektíva
Do trojuholníka je možné vpísať nekonečný počet kužeľov (elipsy, paraboly alebo hyperboly). Ak do trojuholníka vpíšete ľubovoľnú kužeľosečku a spojíte dotykové body s opačnými vrcholmi, potom sa výsledné priamky pretínajú v jednom bode, tzv. perspektíva kužeľosečky. Pre každý bod roviny, ktorý neleží na boku alebo na jeho predĺžení, existuje vpísaný kužeľ s perspektívou v tomto bode.
Opísaná elipsa Steinera a chevian prechádzajúcich jeho ohniskami
Do trojuholníka, ktorý sa dotýka strán v strede, možno vpísať elipsu. Takáto elipsa sa nazýva vpísaná Steinerova elipsa(jeho perspektívou bude ťažisko trojuholníka). Opísaná elipsa, ktorá sa dotýka priamok prechádzajúcich vrcholmi rovnobežnými so stranami, sa nazýva opísaná Steinerovou elipsou... Ak sa afinnou transformáciou („zošikmením“) trojuholník premení na pravidelný, potom jeho vpísaná a opísaná Steinerova elipsa prejde do vpísanej a opísanej kružnice. Cheviány prekreslené cez ohniská opísanej Steinerovej elipsy (Skutinove body) sú rovnaké (Skutinova veta). Zo všetkých opísaných elips má opísaná Steinerova elipsa najmenšiu plochu a zo všetkých vpísaných elips má najväčšiu plochu vpísaná Steinerova elipsa.
Brocardova elipsa a jej perspektíva – bod Lemoine
Nazýva sa elipsa s ohniskami v bodoch Brocard Brocardova elipsa... Bod Lemoine slúži ako jeho perspektíva.
Vlastnosti vpísanej paraboly
Parabola Kipert
Perspektívy vpísaných parabol ležia na opísanej Steinerovej elipse. Ťažisko zapísanej paraboly leží na cirkruhu a priamka prechádza ortocentrom. Nazýva sa parabola zapísaná do trojuholníka s Eulerovou čiarou ako priamkou Kipertova parabola... Jej perspektíva je štvrtým priesečníkom kružnice opísanej a opísanej Steinerovej elipsy, tzv. Steinerov bod.
Hyperbola Kiperta
Ak opísaná hyperbola prechádza priesečníkom výšok, potom je rovnostranná (to znamená, že jej asymptoty sú kolmé). Priesečník asymptot rovnostrannej hyperboly leží na kružnici deviatich bodov.
Premeny
Ak sa priamky prechádzajúce vrcholmi a niektorým bodom neležiacim po stranách a ich predĺženia odrážajú vzhľadom na príslušné osi, potom sa ich obrazy tiež pretnú v jednom bode, ktorý je tzv. izogonálne konjugát pôvodný (ak bod ležal na ohraničenej kružnici, potom budú výsledné čiary rovnobežné). Mnohé dvojice pozoruhodných bodov sú izogonálne konjugované: stred opísanej kružnice a ortocentra, ťažisko a Lemoineov bod, Brocardove body. Apolloniove body sú izogonálne konjugované s Torricelliho bodmi a stred vpísaného kruhu je izogonálne konjugovaný sám so sebou. Pri pôsobení izogonálnej konjugácie prechádzajú priame čiary do opísaných kužeľosečiek a opísané kužeľe do priamych línií. Takže Kipertova hyperbola a Brocardova os, Enzhabekova hyperbola a Eulerova čiara, Feuerbachova hyperbola a čiara stredov vpísaných okolo opísaných kružníc sú izogonálne konjugované. Opísané kružnice podderných trojuholníkov izogonálne konjugovaných bodov sa zhodujú. Ohniská vpísaných elipsy sú izogonálne konjugované.
Ak namiesto symetrického cheviana vezmeme chevianu, ktorej základňa je odstránená zo stredu strany rovnakým spôsobom ako základňa originálu, potom sa takéto cheviany tiež pretínajú v jednom bode. Výsledná transformácia je tzv izotomická konjugácia... Rovné čiary tiež premieňa na opísané kužeľosečky. Gergonne a Nagelove body sú izotomicky konjugované. Pri afinitných transformáciách sa izotomicky konjugované body transformujú na izotomicky konjugované body. Pri izotomickej konjugácii prejde Steinerova elipsa do nekonečne vzdialenej čiary.
Ak do segmentov odrezaných stranami trojuholníka od opísanej kružnice, vpíšeme kružnice dotýkajúce sa strán v základni chevian pretiahnutých určitým bodom a potom spojíme dotykové body týchto kružníc s opísanou kružnicou. s opačnými vrcholmi, potom sa takéto priame čiary pretnú v jednom bode. Transformácia roviny, ktorá zodpovedá výslednému bodu pôvodnému bodu, sa nazýva izo-kruhová transformácia... Izogonálna a izotomická konjugačná kompozícia je izokruhová transformačná kompozícia sama so sebou. Táto kompozícia je projektívnou transformáciou, ktorá ponecháva strany trojuholníka na mieste a prevádza os vonkajších osi do nekonečne vzdialenej priamky.
Ak budeme pokračovať v stranách chevianskeho trojuholníka nejakého bodu a vezmeme ich priesečníky so zodpovedajúcimi stranami, potom získané priesečníky budú ležať na jednej priamke, tzv. trilineárne polárneštartovací bod. Ortocentrická os - trilineárna polárna ortocentra; os vonkajších osi slúži ako trilineárna polárna stredu vpísanej kružnice. Trilineárne poláre bodov ležiacich na opísanej kužeľosečke sa pretínajú v jednom bode (pre opísanú kružnicu je to Lemoineov bod, pre opísanú Steinerovu elipsu - ťažisko). Zloženie izogonálneho (alebo izotomického) konjugátu a trilineárneho poláru je transformáciou duality (ak bod izogonálne (izotomicky) konjugátu k bodu leží na trilineárnom poláre bodu, potom trilineárny polár bodu izogonálne (izotomicky) ) do konjugovaného bodu leží na trilineárnej poláre bodu).
Kocky
Vzťahy v trojuholníku
Poznámka: v tejto časti sú dĺžky troch strán trojuholníka a uhly ležiace proti týmto trom stranám (opačné uhly).
Nerovnosť trojuholníka
V nedegenerovanom trojuholníku je súčet dĺžok jeho dvoch strán väčší ako dĺžka tretej strany, v zdegenerovanom trojuholníku sa rovná. Inými slovami, dĺžky strán trojuholníka súvisia s nasledujúcimi nerovnosťami:
Nerovnosť trojuholníka je jednou z axióm metriky.
Súčet uhlov trojuholníka
Sínusová veta
,kde R je polomer kružnice opísanej trojuholníku. Z vety vyplýva, že ak a< b < c, то α < β < γ.
Kosínusová veta
Tangentová veta
Iné pomery
Metrické pomery v trojuholníku sú uvedené pre:
Riešenie trojuholníkov
Výpočet neznámych strán a uhlov trojuholníka, na základe známych, dostal historicky názov „riešenie trojuholníkov“. V tomto prípade sa používajú vyššie uvedené všeobecné trigonometrické vety.
Oblasť trojuholníka
Špeciálne prípady OznačeniaPre oblasť platia nasledujúce nerovnosti:
Výpočet plochy trojuholníka v priestore pomocou vektorov
Nech sú vrcholy trojuholníka v bodoch,,.
Predstavme si plošný vektor. Dĺžka tohto vektora sa rovná ploche trojuholníka a smeruje pozdĺž normály k rovine trojuholníka:
Dali sme, kde ,, - priemet trojuholníka na súradnicové roviny. Kde
a podobne
Plocha trojuholníka je.
Alternatívou je výpočet dĺžok strán (podľa Pytagorovej vety) a následne podľa Heronovho vzorca.
Trojuholníkové vety
| Táto časť je neúplná. |
Dnes sa vydáme do krajiny geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov.
Zvážte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „nadbytočné“ (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
Vidíme, že čísla 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).
Ryža. 2. Štvoruholníky
To znamená, že „extra“ figúrka je trojuholník (obr. 3).
Ryža. 3. Napríklad ilustrácia
Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a troch segmentov, ktoré tieto body spájajú v pároch.
Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - to strany... Formujú sa strany trojuholníka vo vrcholoch trojuholníka sú tri rohy.
Hlavné znaky trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Pokiaľ ide o uhol, trojuholníky sú ostrý, pravouhlý a tupouhlý.
Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky tri rohy ostré, to znamená menej ako 90° (obr. 4).
Ryža. 4. Trojuholník s ostrým uhlom
Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak jeden z jeho uhlov je 90° (obr. 5).
Ryža. 5. Pravouhlý trojuholník
Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho rohov tupý, to znamená viac ako 90° (obr. 6).
Ryža. 6. Tupý trojuholník
Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, mnohostranné.
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké (obr. 7).
Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník
Tieto večierky sa nazývajú bočné, Tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.
Rovnoramenné trojuholníky sú ostrý a tupý(obr. 8) .
Ryža. 8. Akútne a tupé rovnoramenné trojuholníky
Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).
Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník
V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky vždy ostrý uhlový.
Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).
Ryža. 10. Všestranný trojuholník
Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obrázok 11).
Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe
Najprv rozdeľujeme podľa uhlov.
Ostré trojuholníky: č.1, č.3.
Obdĺžnikové trojuholníky: č. 2, č. 6.
Tupé trojuholníky: č.4, č.5.
Rovnaké trojuholníky rozdelíme do skupín podľa počtu rovnakých strán.
Všestranné trojuholníky: č.4, č.6.
Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.
Rovnostranný trojuholník: č.1.
Zvážte výkresy.
Zamyslite sa nad tým, z akého kusu drôtu bol vyrobený každý trojuholník (obrázok 12).
Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe
Môžete uvažovať takto.
Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho možno vytvoriť rovnostranný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako tretí.
Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže z neho môžete vytvoriť všestranný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.
Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti majú rovnakú dĺžku, čiže z neho možno vyrobiť rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako druhý.
Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.
Bibliografia
- M.I. Moreau, M.A. Bantová a i.. Matematika: Učebnica. Stupeň 3: v 2 častiach, časť 1. - M.: „Vzdelávanie“, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Vzdelávanie", 2012.
- M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M .: Vzdelávanie, 2012.
- Normatívny právny dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Vzdelávanie", 2011.
- "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Vzdelávanie", 2011.
- S.I. Volkovej. Matematika: Overovacia práca. 3. ročník - M .: Vzdelávanie, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: „Skúška“, 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domáca úloha
1. Doplňte frázy.
a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z..., neleží na jednej priamke a..., spája tieto body do párov.
b) Body sa nazývajú … , segmenty - to … ... Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….
c) Z hľadiska uhla sú trojuholníky ..., ..., ....
d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky…,…,….
2. Nakreslite
a) pravouhlý trojuholník;
b) trojuholník s ostrým uhlom;
c) tupý trojuholník;
d) rovnostranný trojuholník;
e) všestranný trojuholník;
f) rovnoramenný trojuholník.
3. Urobte zadanie na tému hodiny pre svojich rovesníkov.
Aj deti predškolského veku vedia, ako vyzerá trojuholník. Ale s tým, čo sú, si chalani už v škole začínajú rozumieť. Jedným z typov je tupý trojuholník. Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť, čo to je, je, ak uvidíte obrázok s jeho obrázkom. A teoreticky je to takzvaný "najjednoduchší polygón" s tromi stranami a vrcholmi, z ktorých jeden je
Pochopenie pojmov
V geometrii sa rozlišujú tieto typy obrazcov s tromi stranami: trojuholníky s ostrým uhlom, pravouhlé a tupé. Navyše, vlastnosti týchto najjednoduchších polygónov sú rovnaké pre všetky. Takže pre všetky uvedené druhy bude takáto nerovnosť pozorovaná. Súčet dĺžok akýchkoľvek dvoch strán bude nevyhnutne väčší ako dĺžka tretej strany.
Aby sme si však boli istí, že hovoríme o kompletnom obrazci, a nie o súbore jednotlivých vrcholov, je potrebné skontrolovať, či je splnená hlavná podmienka: súčet uhlov tupého trojuholníka je 180 stupňov. To isté platí pre ostatné typy tvarov s tromi stranami. Je pravda, že v tupom trojuholníku bude jeden z uhlov dokonca väčší ako 90 ° a dva zostávajúce budú nevyhnutne ostré. V tomto prípade je to najväčší uhol, ktorý bude oproti najdlhšej strane. Pravda, to zďaleka nie sú všetky vlastnosti tupého trojuholníka. Ale aj keď vedia iba tieto vlastnosti, môžu školáci vyriešiť veľa problémov v geometrii.
Pre každý mnohouholník s tromi vrcholmi tiež platí, že pokračovaním niektorej zo strán dostaneme uhol, ktorého veľkosť sa bude rovnať súčtu dvoch nesusediacich vnútorných vrcholov. Obvod tupého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom ako pri iných tvaroch. Rovná sa súčtu dĺžok všetkých jeho strán. Na definíciu matematici odvodili rôzne vzorce v závislosti od toho, aké údaje sú pôvodne k dispozícii.
Správny typ
Jednou z najdôležitejších podmienok riešenia úloh geometrie je správne kreslenie. Učitelia matematiky často hovoria, že pomôže nielen vizualizovať to, čo je dané a čo sa od vás vyžaduje, ale o 80% bližšie k správnej odpovedi. Preto je dôležité vedieť, ako postaviť tupý trojuholník. Ak chcete len hypotetický tvar, môžete nakresliť akýkoľvek mnohouholník s tromi stranami tak, aby jeden z rohov bol väčší ako 90 stupňov.
Ak sú uvedené určité hodnoty dĺžok strán alebo stupňov uhlov, potom je potrebné podľa nich nakresliť tupý trojuholník. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa čo najpresnejšie zobraziť uhly, vypočítať ich pomocou uhlomeru a úmerne k podmienkam uvedeným v úlohe zobraziť strany.
Hlavné línie
Školákom často nestačí vedieť len to, ako majú niektoré postavy vyzerať. Nemožno ich obmedziť len na informácie o tom, ktorý trojuholník je tupý a ktorý pravouhlý. Kurz matematiky stanovuje, že ich znalosti o hlavných črtách obrázkov by mali byť úplnejšie.
Každý študent by teda mal pochopiť definíciu úsečky, mediánu, kolmice a výšky. Okrem toho musí poznať ich základné vlastnosti.
Bisectors teda rozdeľuje uhol na polovicu a opačnú stranu - na segmenty, ktoré sú úmerné susedným stranám.
Medián rozdeľuje akýkoľvek trojuholník na dva rovnaké v ploche. V bode, v ktorom sa pretínajú, je každý z nich rozdelený na 2 segmenty v pomere 2: 1 pri pohľade z vrcholu, z ktorého vychádzal. V tomto prípade je veľký medián vždy nakreslený na najmenšiu stranu.
Nie menej pozornosti sa venuje výške. Je kolmá na opačnú stranu od rohu. Výška tupého trojuholníka má svoje vlastné charakteristiky. Ak je nakreslený z ostrého vrcholu, potom nespadá na stranu tohto najjednoduchšieho mnohouholníka, ale na jeho pokračovanie.
Stred je úsečka, ktorá sa rozprestiera od stredu plochy trojuholníka. Navyše je k nej umiestnený v pravom uhle.
Práca s kruhmi
Na začiatku štúdia geometrie stačí, aby deti pochopili, ako nakresliť tupý trojuholník, naučiť sa ho odlíšiť od iných typov a zapamätať si jeho hlavné vlastnosti. Stredoškolákom ale tieto vedomosti nestačia. Napríklad na skúške sú často otázky týkajúce sa opísaných a vpísaných kruhov. Prvý z nich sa dotýka všetkých troch vrcholov trojuholníka a druhý má jeden spoločný bod so všetkými stranami.
Zostaviť vpísaný alebo popísaný tupý trojuholník je už oveľa ťažšie, pretože na to najskôr musíte zistiť, kde by mal byť stred kruhu a jeho polomer. Mimochodom, v tomto prípade sa nielen ceruzka s pravítkom, ale aj kompas stane nevyhnutným nástrojom.
Rovnaké ťažkosti vznikajú pri konštrukcii vpísaných polygónov s tromi stranami. Matematici odvodili rôzne vzorce, ktoré umožňujú čo najpresnejšie určiť ich polohu.
Napísané trojuholníky
Ako už bolo spomenuté, ak kruh prechádza cez všetky tri vrcholy, potom sa to nazýva kruh opísaný. Jeho hlavnou vlastnosťou je, že je jediný. Ak chcete zistiť, ako by mala byť umiestnená opísaná kružnica tupého trojuholníka, je potrebné pamätať na to, že jej stred je v priesečníku troch stredných kolmíc, ktoré idú do strán obrázku. Ak v mnohouholníku s ostrým uhlom s tromi vrcholmi bude tento bod v ňom, potom v mnohouholníku s tupým uhlom - mimo neho.
Keď napríklad viete, že jedna zo strán tupého trojuholníka sa rovná jeho polomeru, môžete nájsť uhol, ktorý leží oproti známej ploche. Jeho sínus sa bude rovnať výsledku delenia dĺžky známej strany číslom 2R (kde R je polomer kruhu). To znamená, že sin uhla sa bude rovnať ½. To znamená, že uhol sa bude rovnať 150 °.
Ak potrebujete nájsť polomer opísanej kružnice tupého trojuholníka, budete potrebovať informácie o dĺžke jeho strán (c, v, b) a jeho ploche S. Polomer sa koniec koncov vypočíta takto: ( cxvxb): 4 x S. Mimochodom, nezáleží na tom, akú postavu máte: všestranný tupý trojuholník, rovnoramenný, obdĺžnikový alebo s ostrým uhlom. V každej situácii, vďaka vyššie uvedenému vzorcu, môžete zistiť plochu daného polygónu s tromi stranami.
Popísané trojuholníky
Tiež dosť často musíte pracovať s vpísanými kruhmi. Podľa jedného zo vzorcov bude polomer takého obrázku vynásobený polovicou obvodu rovnaký ako obsah trojuholníka. Je pravda, že na to, aby ste na to prišli, potrebujete poznať strany tupého trojuholníka. Na určenie ½ obvodu je skutočne potrebné pridať ich dĺžky a vydeliť 2.
Aby sme pochopili, kde by sa mal nachádzať stred kruhu vpísaného do tupého trojuholníka, je potrebné nakresliť tri osi. Toto sú čiary, ktoré pretínajú rohy. V ich priesečníku bude stred kruhu. Navyše bude z každej strany rovnako vzdialená.
Polomer takejto kružnice vpísanej do tupého trojuholníka sa rovná podielu (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Okrem toho p je polobvod trojuholníka, c, v, b sú jeho strany.
Trojuholník - definícia a všeobecné pojmy
Trojuholník je jednoduchý mnohouholník s tromi stranami a rovnakým počtom uhlov. Jeho roviny sú ohraničené 3 bodmi a 3 úsečkami spájajúcimi tieto body v pároch.
Všetky vrcholy akéhokoľvek trojuholníka, bez ohľadu na jeho typ, sú označené veľkými latinskými písmenami a jeho strany sú znázornené zodpovedajúcimi označeniami protiľahlých vrcholov, nielen veľkými písmenami, ale malými. Napríklad trojuholník s vrcholmi označenými písmenami A, B a C má strany a, b, c.
Ak vezmeme do úvahy trojuholník v euklidovskom priestore, potom je to taký geometrický útvar, ktorý bol vytvorený pomocou troch segmentov spájajúcich tri body, ktoré neležia na jednej priamke.
Pozrite sa pozorne na obrázok vyššie. Body A, B a C sú vrcholmi tohto trojuholníka a jeho segmenty sa nazývajú strany trojuholníka. Každý vrchol tohto mnohouholníka tvorí jeho rohy vo vnútri.
Druhy trojuholníkov
Podľa veľkosti, uhlov trojuholníkov sú rozdelené na také odrody ako: Obdĺžnikové;
Ostrý uhol;
Tupo.
Obdĺžnikové trojuholníky sú tie, ktoré majú jeden pravý uhol a ďalšie dva majú ostré uhly.
Akútne trojuholníky sú tie, v ktorých sú všetky jeho rohy ostré.
A ak má trojuholník jeden tupý uhol a ďalšie dva uhly sú ostré, potom takýto trojuholník patrí k tupým uhlom.
Každý z vás veľmi dobre chápe, že nie všetky trojuholníky majú rovnaké strany. A podľa toho, ako dlho majú jeho strany, možno trojuholníky rozdeliť na:
Rovnoramenné;
Rovnostranný;
Všestranný.
Úloha: Nakreslite rôzne typy trojuholníkov. Dajte im definíciu. Aký medzi nimi vidíš rozdiel?
Základné vlastnosti trojuholníkov
Aj keď sa tieto jednoduché mnohouholníky môžu navzájom líšiť veľkosťou uhlov alebo strán, každý trojuholník má základné vlastnosti, ktoré sú pre tento obrázok charakteristické.
V akomkoľvek trojuholníku:
Celkový súčet všetkých jeho uhlov je 180º.
Ak patrí k rovnostrannému, potom každý z jeho uhlov je 60º.
Rovnostranný trojuholník má navzájom rovnaké a párne uhly.
Čím menšia je strana mnohouholníka, tým menší je uhol oproti nemu a naopak, oproti väčšej strane je väčší uhol.
Ak sú strany rovnaké, potom sú oproti nim umiestnené rovnaké uhly a naopak.
Ak vezmeme trojuholník a predĺžime jeho stranu, skončíme s vonkajším rohom. Rovná sa súčtu vnútorných uhlov.
V každom trojuholníku bude jeho strana, bez ohľadu na to, ktorú si vyberiete, stále menšia ako súčet ostatných 2 strán, ale väčšia ako ich rozdiel:
1.a< b + c, a >b - c;
2.b< a + c, b >a - c;
3.c< a + b, c >a - b.
Cvičenie
V tabuľke sú uvedené už známe dva uhly trojuholníka. Keď poznáte celkový súčet všetkých uhlov, nájdite, čomu sa rovná tretí uhol trojuholníka, a zadajte ho do tabuľky:
1. Koľko stupňov má tretí uhol?
2. K akému druhu trojuholníkov patrí?
Znaky rovnosti trojuholníkov
podpisujem
znak II
Znamienko III
Výška, stred a stred trojuholníka
Výška trojuholníka - kolmica nakreslená z hornej časti obrázku na jeho opačnú stranu sa nazýva výška trojuholníka. Všetky výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Priesečníkom všetkých 3 výšok trojuholníka je jeho ortocentrum.
Segment vytiahnutý z tohto vrcholu a spájajúci ho v strede protiľahlej strany je medián. Strednice, ako aj výšky trojuholníka majú jeden spoločný priesečník, takzvané ťažisko trojuholníka alebo ťažisko.
Osa trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol uhla a bod na opačnej strane a tiež deliaca tento uhol na polovicu. Všetky úsečky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva stred kruhu zapísaného do trojuholníka.
Segment, ktorý spája stredy 2 strán trojuholníka, sa nazýva stredová čiara.
Historický odkaz
Postava ako trojuholník je známa už od staroveku. Tento údaj a jeho vlastnosti boli spomenuté na egyptských papyrusoch pred štyrmi tisíckami rokov. O niečo neskôr, vďaka Pytagorovej vete a Heronovmu vzorcu, sa štúdium vlastností trojuholníka posunulo na vyššiu úroveň, no predsa sa to stalo pred viac ako dvetisíc rokmi.
V XV-XVI storočiach sa začali vykonávať mnohé štúdie o vlastnostiach trojuholníka a v dôsledku toho vznikla taká veda, ako je planimetria, ktorá sa nazývala „Nová geometria trojuholníka“.
Vedec z Ruska N.I. Lobačevskij výrazne prispel k poznaniu vlastností trojuholníkov. Jeho diela neskôr našli uplatnenie ako v matematike, tak aj vo fyzike a kybernetike.
Vďaka znalostiam o vlastnostiach trojuholníkov vznikla taká veda ako trigonometria. Ukázalo sa, že je to potrebné pre človeka v jeho praktických potrebách, pretože jeho aplikácia je jednoducho potrebná pri zostavovaní máp, meraní oblastí a pri navrhovaní rôznych mechanizmov.
Aký najznámejší trojuholník poznáte? Toto je samozrejme Bermudský trojuholník! Tento názov dostal v 50. rokoch kvôli geografickej polohe bodov (vrcholov trojuholníka), v rámci ktorých podľa doterajšej teórie vznikli anomálie s ním spojené. Vrcholy Bermudského trojuholníka sú Bermudy, Florida a Portoriko.
Zadanie: Aké teórie ste už počuli o Bermudskom trojuholníku?
Vedeli ste, že v Lobačevského teórii platí, že pri sčítaní uhlov trojuholníka má ich súčet vždy výsledok menší ako 180 °. V Riemannovej geometrii je súčet všetkých uhlov trojuholníka väčší ako 180 stupňov a v Euklidových spisoch sa rovná 180 stupňom.
Domáca úloha
Vylúštiť krížovku na danú tému
Otázky do krížovky:
1. Ako sa nazýva kolmica, ktorá bola nakreslená z vrcholu trojuholníka na priamku umiestnenú na opačnej strane?
2. Ako sa dá jedným slovom nazvať súčet dĺžok strán trojuholníka?
3. Čo je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké?
4. Ako sa volá trojuholník, ktorý má uhol 90°?
5. Ako sa volá veľká strana trojuholníka?
6. Názov strany rovnoramenného trojuholníka?
7. V ľubovoľnom trojuholníku sú vždy tri.
8. Ako sa nazýva trojuholník, v ktorom jeden z uhlov presahuje 90°?
9. Názov úsečky spájajúcej vrchol nášho útvaru so stredom protiľahlej strany?
10. V jednoduchom mnohouholníku ABC je veľké písmeno A ...?
11. Ako sa volá úsečka deliaca uhol trojuholníka na polovicu.
Otázky týkajúce sa trojuholníkov:
1. Uveďte definíciu.
2. Koľko má výšok?
3. Koľko osi má trojuholník?
4. Aký je súčet jeho uhlov?
5. Aké typy tohto jednoduchého mnohouholníka poznáte?
6. Pomenujte body trojuholníkov, ktoré sa nazývajú úžasné.
7. Aké zariadenie možno použiť na meranie uhla?
8. Ak ručičky hodín ukazujú 21 hodín. Aký je uhol hodinových ručičiek?
9. Pod akým uhlom sa človek otočí, ak dostane povel „doľava“, „okolo“?
10. Aké ďalšie definície poznáte, ktoré sa spájajú s postavou s tromi rohmi a tromi stranami?