funkcie. Táto transformácia je veľmi dôležitá, pretože ju možno použiť na riešenie mnohých praktických problémov. Fourierove rady používajú nielen matematici, ale aj odborníci z iných vied.

Rozšírenie funkcií do Fourierovho radu je matematická technika, ktorú možno pozorovať v prírode, ak použijete nástroj, ktorý sníma sínusové funkcie.

Tento proces nastáva, keď človek počuje zvuk. Ľudské ucho je konštruované tak, že dokáže pociťovať jednotlivé sínusové kolísanie tlaku vzduchu rôznych frekvencií, čo zase umožňuje človeku rozpoznať reč a počúvať hudbu.

Ľudské ucho nevníma zvuk ako celok, ale prostredníctvom komponentov jeho Fourierovho radu. Struny hudobného nástroja vytvárajú zvuky, ktoré sú sínusovými vibráciami rôznych frekvencií. Realitu rozkladu svetla do Fourierovho radu predstavuje dúha. Ľudský zrak vníma svetlo cez niektoré jeho zložky rôznych frekvencií elektromagnetických kmitov.

Fourierova transformácia je funkcia, ktorá popisuje fázu a amplitúdu sínusoidov určitej frekvencie. Táto transformácia sa používa na riešenie rovníc, ktoré opisujú dynamické procesy, ktoré sa vyskytujú pri pôsobení energie. Fourierove rady riešia problém extrakcie konštantných zložiek v komplexných oscilačných signáloch, čo umožnilo správne interpretovať údaje získané z experimentov, pozorovaní v medicíne, chémii a astronómii.

Objav tejto transformácie patrí francúzskemu matematikovi Jeanovi Baptistovi Josephovi Fourierovi. Na počesť ktorého bol neskôr pomenovaný neďaleko Fouriera. Spočiatku vedec našiel uplatnenie svojej metódy pri štúdiu a vysvetľovaní mechanizmov vedenia tepla. Predpokladalo sa, že počiatočné nepravidelné rozloženie tepla môže byť znázornené vo forme najjednoduchších sínusoidov. Pre každý z nich sa určí teplotné minimum, maximum a fáza. Funkcia popisujúca horný a dolný vrchol krivky, fáza každej harmonickej, sa nazýva Fourierova transformácia vyjadrenia rozloženia teploty. Autor transformácie navrhol metódu rozšírenia komplexnej funkcie ako súčet periodických funkcií kosínus, sínus.

Cieľom práce v kurze je študovať Fourierov rad a význam praktickej aplikácie tejto transformácie.

Na dosiahnutie tohto cieľa boli sformulované nasledujúce úlohy:

1) uveďte koncept trigonometrického Fourierovho radu;

2) určiť podmienky pre rozšírenie funkcie do Fourierovho radu;

3) zvážiť rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií;

4) zvážiť expanziu neperiodickej funkcie vo Fourierovom rade;

5) odhaľujú praktickú aplikáciu Fourierovho radu.

Predmet štúdia: rozšírenie funkcií vo Fourierovom rade.

Predmet štúdia: Fourierove rady.

Metódy výskumu: analýza, syntéza, porovnávanie, axiomatická metóda.

1.5. Fourierove rady pre párne a nepárne funkcie

Uvažujme symetrický integrál

kde je spojité alebo po častiach spojité na. Urobíme zmenu v prvom integráli. My veríme. Potom

Preto, ak párna funkcia, potom (t.j. graf párnej funkcie je symetrický okolo osi a

Ak je nepárna funkcia, potom (t. j. graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok) a

Tie. symetrický integrál párnej funkcie sa rovná dvojnásobku integrálu v polovici intervalu integrácie a symetrický integrál nepárnej funkcie je nula.

Všimnite si nasledujúce dve vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:

1) súčin párnej funkcie s nepárnou funkciou je nepárna funkcia;

2) súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia.

Dovoliť je párna funkcia daná a rozširujúca sa na tento segment do trigonometrického Fourierovho radu. Pomocou výsledkov získaných vyššie dostaneme, že koeficienty tohto radu budú vyzerať takto:

Ak je na segmente daná nepárna funkcia a rozširuje sa na tento segment do trigonometrického Fourierovho radu, potom koeficienty tohto radu budú vyzerať takto:

Preto bude mať tvar trigonometrický Fourierov rad na segmente

pre rovnomernú funkciu:

(16)

pre zvláštnu funkciu:

Rad (16) neobsahuje sínusy viacerých uhlov, to znamená, že Fourierov rad párnej funkcie obsahuje iba párne funkcie a voľný člen. Rad (17) neobsahuje kosínusy viacerých uhlov, to znamená, že Fourierov rad nepárnej funkcie obsahuje iba nepárne funkcie.

Definícia. hodnosti
sú súčasťou kompletnej Fourierovej série a nazývajú sa neúplnétrigonometrické Fourierove rady.

Ak sa funkcia rozšíri na neúplný trigonometrický rad (16) (alebo (17)), potom sa hovorí, žeexpanduje do trigonometrického Fourierovho radu v kosínusoch (alebo sínusoch).

1.6. Fourierov rozvoj neperiodickej funkcie

1.6.1. Fourierov rad rozšírenie funkcií na

Nech je funkcia daná na intervale a splňajme podmienky Dirichletovej vety na tomto intervale. Zmeňme premennú. Necháme kde zvolíme, aby výsledná argumentačná funkcia bola definovaná na. Preto to zvažujeme

Výsledná funkcia môže byť rozšírená do Fourierovho radu:

kde

Urobme opačnú substitúciu⇒ Získajte

kde

(19)

Rad (18) - Fourierov rad v hlavnom goniometrickom systéme funkcií

Dosiahli sme teda, že ak je funkcia daná na segmente a spĺňa podmienky Dirichletovej vety na tomto segmente, potom môže byť rozšírená na trigonometrický Fourierov rad (18) podľa trigonometrickej sústavy funkcií (20) .

Trigonometrický Fourierov rad pre párnu funkciu uvedený na bude mať tvar

kde

pre zvláštnu funkciu

kde

Komentujte! V niektorých problémoch je potrebné rozšíriť funkciu do goniometrického Fourierovho radu v zmysle systému funkcií (20) nie na segmente, ale na segmente. V tomto prípade stačí zmeniť integračné limity vo vzorcoch (19) ((15), ak, teda v tomto prípade

(23)

alebo ak

(24)

Súčet goniometrického Fourierovho radu je periodická funkcia s periódou, ktorá je periodickým pokračovaním danej funkcie. A pre periodickú funkciu platí rovnosť (4).

1.6.2. Fourierov rad rozšírenie funkcií na

Nech je na tomto intervale daná funkcia a spĺňa podmienky Dirichletovej vety. Takáto funkcia môže byť rozšírená aj vo Fourierovom rade. Aby to bolo možné, funkcia musí byť rozšírená na interval a výsledná funkcia rozšírená do Fourierovho radu na segmente. V tomto prípade by sa mal výsledný rad posudzovať iba v segmente, na ktorom je funkcia daná. Pre pohodlie výpočtov rozširujeme definíciu funkcie párnym a nepárnym spôsobom.

1) Vo funkcii pokračujeme k intervalu párnym spôsobom, to znamená, že zostrojíme novú párnu funkciu, ktorá sa zhoduje s funkciou na segmente. Preto je graf tejto funkcie symetrický okolo osi a zhoduje sa s grafom na segmente. Pomocou vzorcov (21) nájdeme koeficienty Fourierovho radu pre funkciu a zapíšeme samotný Fourierov rad. Súčet Fourierovho radu pre je periodická funkcia s bodkou. Bude sa zhodovať so zapnutou funkciou vo všetkých bodoch kontinuity.

2) Funkciu na intervale rozšírime nepárnym spôsobom, to znamená, že zostrojíme novú nepárnu funkciu, ktorá sa zhoduje s funkciou. Graf takejto funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok súradníc a zhoduje sa s grafom na segmente. Pomocou vzorcov (22) nájdeme koeficienty Fourierovho radu pre funkciu a zapíšeme samotný Fourierov rad. Súčet Fourierovho radu pre je periodická funkcia s bodkou. Bude sa zhodovať so zapnutou funkciou vo všetkých bodoch kontinuity.

Poznámky!

1) Podobne môžeme vo Fourierovom rade rozšíriť funkciu definovanú na intervale

2) Keďže expanzia funkcie na segmente znamená jej rozšírenie na segment ľubovoľným spôsobom, potom Fourierov rad pre funkciu nebude jedinečný.

1.6.3. Fourierov rad rozšírenie funkcií na

Nech je funkcia daná na ľubovoľnom segmente dĺžky a splníme na ňom podmienky Dirichletovej vety.

Potom môže byť táto funkcia rozšírená vo Fourierovom rade. Na to je potrebné funkciu periodicky (s bodkou) rozširovať na celú číselnú os a výslednú funkciu rozširovať do Fourierovho radu, ktorý treba brať do úvahy len na segmente. Vďaka vlastnosti (3) periodických funkcií máme

Preto Fourierove koeficienty pre získané pokračovanie funkcie možno nájsť pomocou vzorcov

(25)

2. Praktická aplikácia Fourierových radov

2.1. Úlohy na rozšírenie funkcií vo Fourierovom rade a ich riešenie

V trigonometrickom Fourierovom rade je potrebné rozšíriť funkciu, ktorá je periodickým pokračovaním funkcie danej na segmente. Na to je potrebné použiť algoritmus na rozšírenie periodickej funkcie vo Fourierovom rade.

Algoritmus na rozšírenie periodickej funkcie vo Fourierovom rade:

1) Zostrojte graf danej funkcie a jej periodického pokračovania;

2) Nastavte periódu danej funkcie;

3) Definujte funkciu párneho, nepárneho alebo všeobecného tvaru;

4) Skontrolujte realizovateľnosť podmienok Dirichletovej vety;

5) Urobte formálny záznam Fourierovho radu generovaného touto funkciou;

6) Vypočítajte Fourierove koeficienty;

7) Napíšte Fourierov rad pre danú funkciu pomocou koeficientov Fourierovho radu (bod 4).

Príklad 1 Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade na intervale.

rozhodnutie:

1) Zostavme graf danej funkcie a jej periodického pokračovania.

2) Obdobie expanzie funkcie.

3) Funkcia je nepárna.

4) Funkcia je spojitá a monotónna zapnutá, t.j. funkcia spĺňa Dirichletove podmienky.

5) Vypočítajte koeficienty Fourierovho radu.

6) Fourierov rad zapíšeme dosadením Fourierových koeficientov do vzorca

odpoveď:

Príklad 2 Rozšírime funkciu s ľubovoľnou periódou vo Fourierovom rade.

Riešenie: funkcia je definovaná na polintervale (-3; 3]. Perióda expanzie funkcie, polperióda. Rozšírme funkciu na Fourierov rad

Na začiatku je funkcia nespojitá, takže každý Fourierov koeficient bude reprezentovaný ako súčet dvoch integrálov.

Fourierov rad zapíšeme tak, že nájdené koeficienty Fourierovho radu dosadíme do vzorca.

Príklad 3 Rozbaliť funkciumedzivo Fourierovom rade v kosínusoch. Nakreslite súčet série.

Riešenie: pokračujeme vo funkcii na intervale rovnomerným spôsobom, to znamená, že zostrojíme novú párnu funkciu, ktorá sa zhoduje s funkciou na segmente. Nájdite koeficienty Fourierovho radu pre funkciu a zapíšte Fourierov rad. Súčet Fourierovho radu pre je periodická funkcia s bodkou. Bude sa zhodovať so zapnutou funkciou vo všetkých bodoch kontinuity.

Trigonometrický Fourierov rad pre funkciu bude vyzerať takto

Nájdite koeficienty Fourierovho radu

Keď sa teda nájdu koeficienty, môžeme napísať Fourierovu sériu

Nakreslíme súčet série

Príklad 4 Daná funkcia definovaná na segmente . Zistite, či je možné funkciu rozšíriť do Fourierovho radu. Napíšte rozšírenie funkcie vo Fourierovom rade.

rozhodnutie:

1) nakreslite funkčný graf na .

2) funkcia je spojitá a monotónna na , to znamená, že podľa Dirichletovej vety expanduje do trigonometrického Fourierovho radu.

3) vypočítajte Fourierove koeficienty pomocou vzorcov (1.19).

4) napíšte Fourierov rad pomocou nájdených koeficientov.

2.2. Príklady aplikácie Fourierových radov v rôznych oblastiach ľudskej činnosti

Matematika je jednou z vied, ktorá má široké uplatnenie v praxi. Akýkoľvek výrobný a technologický proces je založený na matematických zákonitostiach. Použitie rôznych nástrojov matematického aparátu umožňuje navrhovať zariadenia a automatizované jednotky schopné vykonávať operácie, zložité výpočty a výpočty pri projektovaní budov a stavieb.

Fourierove rady používajú matematici v geometrii nariešenie problémov v sférickej geometrii; v mmatematická fyzika pririešenie problémov malých kmitov elastických médií. Okrem matematiky však Fourierove rady našli uplatnenie aj v iných oblastiach vedy.

Ľudia používajú každý deň rôzne zariadenia. A často tieto zariadenia nefungujú správne. Napríklad zvuk je ťažké rozlíšiť kvôli vysokému šumu alebo faxovaný obraz nie je čistý. Osoba môže určiť príčinu poruchy podľa zvuku. Počítač dokáže diagnostikovať aj poškodenie zariadenia. Nadmerný šum je možné odstrániť pomocou počítačového spracovania signálu. Signál je reprezentovaný ako postupnosť digitálnych hodnôt, ktoré sú potom zadané do počítača. Po vykonaní určitých výpočtov sa získajú koeficienty Fourierovho radu.

Zmena spektra signálu umožňuje vyčistiť nahrávku od šumu, kompenzovať skreslenie signálu rôznymi zariadeniami na záznam zvuku, zmeniť tóny nástrojov a zamerať pozornosť poslucháčov na jednotlivé časti.

Pri digitálnom spracovaní obrazu umožňuje použitie Fourierovho radu tieto efekty: rozmazanie, vylepšenie okrajov, obnova obrazu, umelecké efekty (reliéf)

Rozšírenie Fourierovho radu sa používa v architektúre pri štúdiu oscilačných procesov. Napríklad pri tvorbe projektu pre rôzne typy konštrukcií sa počíta pevnosť, tuhosť a stabilita konštrukčných prvkov.

V medicíne sa na vykonávanie lekárskeho vyšetrenia pomocou kardiogramov, ultrazvukových prístrojov používa matematický prístroj, ktorý je založený na teórii Fourierových radov.

Objemové výpočtové problémy odhadovania štatistických charakteristík signálov a filtrovania šumu vznikajú počas registrácie a spracovania súvislých údajov o morskom dne. Pri vykonávaní meraní a ich registrácii sú perspektívne holografické metódy využívajúce Fourierove série. To znamená, že Fourierove rady sa používajú aj v takej vede, ako je oceánológia.

Prvky matematiky sa nachádzajú vo výrobe takmer na každom kroku, preto je dôležité, aby špecialisti poznali a brilantne sa orientovali v oblasti aplikácie určitých analytických a výpočtových nástrojov..

Záver

Téma seminárnej práce je venovaná štúdiu Fourierovho radu. Ľubovoľná funkcia sa dá rozložiť na jednoduchšie, to znamená, že sa dá rozložiť na Fourierov rad. Objem práce v kurze neumožňuje podrobne odhaliť všetky aspekty rozšírenia funkcie v sérii. Zo zadaných úloh však bolo možné odhaliť základnú teóriu Fourierových radov.

Termínová práca odhalila koncept trigonometrického Fourierovho radu. Stanovia sa podmienky pre rozšírenie funkcie do Fourierovho radu. Uvažuje sa o rozšíreniach Fourierových radov párnych a nepárnych funkcií; neperiodické funkcie.

V druhej kapitole sú uvedené len niektoré príklady rozšírenia funkcií uvedených na rôznych intervaloch do Fourierovho radu. Sú opísané oblasti vedy, kde sa táto transformácia používa.

Existuje aj zložitá forma znázornenia Fourierovho radu, o ktorej nebolo možné uvažovať, pretože objem práce v kurze to neumožňuje. Zložitá forma radu je algebraicky jednoduchá. Preto sa často používa vo fyzike a aplikovaných výpočtoch.

Dôležitosť témy seminárnej práce je daná tým, že je široko využívaná nielen v matematike, ale aj v iných vedách: fyzike, mechanike, medicíne, chémii a mnohých ďalších.

Bibliografia

1. Bari, N.K. trigonometrický rad. [text] / N.K. Bari. - Moskva, 1961. - 936 s.

2. Bermant, A.F. Krátky kurz matematickej analýzy: učebnica pre univerzity[text]/ A.F. Bermant, I.G. Aramanovič. - 11. vydanie, Sr. - Petrohrad: Vydavateľstvo "Lan", 2005. - 736 s.

3. Bugrov, Ya. S. Vyššia matematika: Učebnica pre univerzity: V 3 zv.[text]/ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2004. -512 s.

4. Vinogradova, I. A. Problémy a cvičenia v matematickej analýze: príručka pre univerzity, ped. Univerzity: O 14. hodine[text]/ I. A. Vinogradová, S. N. Olehnik, V.A. Sadovnichy; vyd. V.A. Sadovnichy. - 3. vydanie, Rev. – M.: Drop, 2001. – 712 s.

5. Gusák, A.A. Vyššia matematika. V 2 zväzkoch T. 2. Učebnica pre vysokoškolákov.[text]/ A. A. Gusák.– 5. vyd. – Minsk: TetraSystems, 2004.

6. Danko, P.E. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách: učebnica pre vysoké školy: 2 hod.[text]/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. Moskva: ONIKS: Svet a vzdelávanie, 2003. - 306 s.

7. Lukin, A. Úvod do číslicového spracovania signálov (matematické základy) [text] / A. Lukin. - M., 2007. - 54 s.

8. Piskunov, N. S. Diferenciálny a integrálny počet pre vysoké školy, v.2: Učebnica pre vysoké školy.[text]/ N. S. Piskunov. - 13. vydanie - M.: Nauka, 1985. - 432 s.

9. Rudin, U. Základy matematickej analýzy.[text]/ W. Rudin. - 2. vydanie, Per. z angličtiny. .- M.: Mir, 1976 .- 206 s.

10. Fikhtengol'ts, G. M. Základy matematickej analýzy. Časť 2.[text]/ G. M. Fikhtengolts. -6. vydanie, ster. - Petrohrad: Vydavateľstvo "Lan", 2005. - 464 s.

Orenburg, 2015

prepis

1 Moskovský inštitút fyziky a technológie (Štátna univerzita) O.V. Besov TRIGONOMETRICKÁ FOURIER SÉRIA Učebná pomôcka Moskva, 004

2 Zostavil O.V.Besov MDT 517. Trigonometrické Fourierove rady. Učebná pomôcka pre žiakov 2. ročníka). MIPT. Pani. V súlade s programom Katedry vyššej matematiky Moskovského fyzikálno-technologického inštitútu sú východiskové informácie o teórii goniometrických Fourierových radov, teorémy o konvergencii a rovnomernej konvergencii Fourierových radov, Weierstrassove vety o aproximácii spojitých radov. funkcie sú prezentované. Dôraz je kladený na rovnomernú konvergenciu Fourierovho radu. Na rozdiel od mnohých kurzov matematickej analýzy je rovnomerná konvergencia Fourierovho radu spojitej a po častiach hladkej funkcie dokázaná s nezlepšiteľným odhadom rýchlosti konvergencie Fourierovho radu. Spolu s presnými odhadmi je tiež stanovená závislosť rýchlosti konvergencie Fourierovho radu funkcie od jej hladkosti. c Moskovský inštitút fyziky a technológie, 004 c O.V. Besov, 004

3 Obsah 3 1. Definícia Fourierovho radu a princíp lokalizácie Konvergencia Fourierovho radu Rovnomerná konvergencia Fourierovho radu Aproximácia spojitých funkcií polynómami Termínová diferenciácia goniometrických radov. Miera, pri ktorej majú koeficienty a zvyšok Fourierovho radu tendenciu k nule Záverečné poznámky

4 TRIGONOMETRICKÝ FOURIEROVÝ RAD 1. Definícia Fourierovho radu a princíp lokalizácie Definícia 1.1. Rad v tvare a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) sa nazýva trigonometrický rad. Súbor funkcií 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... sa nazýva goniometrický systém. Funkcia goniometrickej sústavy je ortogonálny systém v tom zmysle, že tiež cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Lema 1.1. Nech sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1,1)

5 1. Definícia Fourierovho radu a princíp lokalizácie. 5 a tento rad rovnomerne konverguje na R. Potom a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Dôkaz a t e l s t v o. Funkcia f je spojitá na [, π] ako súčet rovnomerne konvergentných radov spojitých funkcií. Rovnosť 1.1) člen po člene vynásobíme cos nx alebo sin nx n N). Výsledné rady budú tiež konvergovať rovnomerne a ich integrácia po členoch pomocou vlastnosti ortogonality systémových funkcií dáva vzorce od 1.). Prvý zo vzorcov 1.) sa získa integráciou po členoch radu 1.1). Všimnite si, že členy goniometrického radu sú π-periodické funkcie definované na reálnej osi. Preto súčet goniometrického radu, ak tento rad konverguje) je tiež π-periodická funkcia. Definícia 1. Nech f je π-periodická funkcia absolútne integrovateľná na intervale [, π]. Goniometrický rad s koeficientmi a k, b k definovaný vzorcami 1.) sa nazýva trigonometrický) Fourierov rad funkcie f a koeficienty a k, b k sú koeficienty Fourierovho radu funkcie f.

6 6 O. V. Bešov. Trigonometrický Fourierov rad V tomto prípade píšeme fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) teda takýmto zápisom znamená, že funkcia f je spojená s jej Fourierovým radom. Lemu 1.1 možno preformulovať nasledovne: rovnomerne konvergentný trigonometrický rad je Fourierovým radom svojho súčtu. Cvičenie 1.1. Ukážte, že trigonometrický rad sin kx k 1+ε, ε > 0, je Fourierov rad. Všimnite si, že ak je π-periodická funkcia f absolútne integrovateľná na nejakom segmente dĺžky π, potom bude absolútne integrovateľná na akomkoľvek posunutom segmente a navyše b + π a + π fx) dx = fx) dx. b Túto vlastnosť, ktorá je zrejmá z geometrického hľadiska, možno ľahko dokázať aj analyticky. Najmä Fourierove koeficienty π-periodickej funkcie f možno vypočítať nahradením integrálu cez interval [, π] vo vzorcoch 1.) integrálom cez ľubovoľný interval . Na druhej strane, každú danú absolútne integrovateľnú funkciu možno v prípade potreby rozšíriť zmenou jej hodnoty v bode a π alebo v bode a + π, prípadne v oboch bodoch) na π-periodickú funkciu definovanú na celej osi. . Zmenou jeho hodnoty v jednom alebo dvoch bodoch sa zároveň nezmenia Fourierove koeficienty jeho π-periodického rozšírenia 1.), a teda Fourierov rad 1.3). Preto možno konvergenciu a ďalšie vlastnosti Fourierovho radu študovať za predpokladu, že funkcia f je definovaná iba na segmente dĺžky π, napríklad na [, π]. a

7 1. Definícia Fourierovho radu a princíp lokalizácie. 7 Budeme študovať predovšetkým problematiku konvergencie Fourierovho radu v danom bode, na úsečke, rovnomernej konvergencie na celej reálnej osi atď. Najzaujímavejší je prípad, keď Fourierov rad funkcie f konverguje v jednom alebo druhom zmysle k funkcii f. V tomto prípade sa hovorí, že funkcia f je rozšírená vo Fourierovom rade. Riemannova veta o oscilácii 1.1). Nech je funkcia f absolútne integrovateľná na konečnom alebo nekonečnom intervale a, b). Potom lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Dôkaz. Bez straty všeobecnosti predpokladáme, že a, b) =, +) ak tomu tak nie je, potom funkcia f môže byť rozšírená o nulu na, +) \ a, b)). Je známe, že každá absolútne integrovateľná funkcia f je spojitá so strednou transformáciou, t.j. + fx + h) fx) dx 0 pre h) Túto vlastnosť možno dokázať aproximáciou f v priemere pomocou spojitej konečnej funkcie. Nahradením premennej x za x + π λ dostaneme ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Pre integrál + fx) sin λx dx je dôkaz podobný.

8 8 O. V. Bešov. Trigonometrický Fourierov rad Dôsledok 1. Fourierove koeficienty 1.) absolútne integrovateľnej funkcie na intervale [, π] majú tendenciu k nule ako k. Nech je π-periodická funkcia f absolútne integrovateľná na [, π]. Čiastočný súčet Fourierovho radu S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx sa nazýva súčet Fourierovho radu rádu n N 0 funkcie f. Zredukujme ho do kompaktnej podoby vhodnej pre ďalší výskum. Dirichletovmu jadru nazývame funkciu D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Posledná rovnosť (pravá časť sa chápe pre x = mπ, m Z ako hranica kvocientu pre x mπ) je stanovená nasledovne. Pre x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Dirichletovo jadro 1,5 ) je zjavne π-periodická, párna, spojitá funkcia, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Definícia Fourierovho radu a princíp lokalizácie. 9 Transformujme Fourierovu sumu S n x; f) dosadením ich výrazov 1.) namiesto Fourierových koeficientov. Dostaneme S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sinkt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Nahradením premennej t za t + x v poslednom integráli (nazývanom Dirichletov integrál) a posunutím integračného intervalu dostaneme S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Pre ľubovoľné δ je 0< δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ >0, takže samotný zlomok je absolútne integrovateľný ako funkcia t. Preto má druhý integrál tendenciu k nule pri n podľa Riemannovej vety o oscilácii. Dostávame sa tak k nasledujúcemu tvrdeniu.

10 10 O. V. Bešov. Trigonometrický Fourierov rad Veta 1. princíp lokalizácie). Nech je π-periodická funkcia f absolútne integrovateľná na intervale [, π], x 0 R, 0< δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

jedenásť . Konvergencia Fourierovho radu. 11 najmä bod f, ak f je spojitá v bode x 0), potom Fourierov rad v bode x 0 konverguje k fx 0). Dôkaz. Nech x 0 je takmer pravidelný bod funkcie f. Zo vzorca 1.8) pomocou 1.6) získame S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] ​​​​t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Zlomok t sin t rozšírený o jednotku v čase t = 0 je na funkcii spojitý. Zlomok fx 0 + t) fx 0 + 0) t je na funkcii absolútne integrovateľný, keďže jej čitateľ je taký a pre t 0+0 má konečnú limitu. To isté platí pre druhý zlomok v hranatých zátvorkách. V dôsledku toho je faktor pri sin n + 1)) t v integrande posledného integrálu absolútne integrovateľnou funkciou. Podľa Riemannovej oscilačnej vety posledný integrál inklinuje k nule ako n, t.j. Snx0; f) fx 0 0) fx 0 + 0) pre n. Poznámky.1. Požiadavka na existenciu f + +x 0), f x 0) v podmienke vety môže byť, ako vidno z príp.

12 1 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady sú nahradené slabšou požiadavkou, že nerovnosti fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),. 1) pre niektoré α 0, 1], δ > 0, M > 0. Podmienky.1) sa nazývajú jednostranné) Hölderove podmienky stupňa α, a pre α = 1 aj jednostranné) Lipschitzove podmienky. Dôsledok 1. Nech je π-periodická funkcia f absolútne integrovateľná na intervale [, π] a existuje f x 0). Potom Fourierov rad funkcie f konverguje v bode x 0 až fx 0). Poznámka: Spojitosť na R π-periodickej funkcie nie je dostatočnou podmienkou pre konvergenciu jej Fourierovho radu v danom bode x 0. Existujú príklady π-periodických spojitých funkcií na R, ktorých Fourierove rady sa rozchádzajú v každom racionálnom bode. Veta.1, Poznámka.1 a Dôsledok dávajú dostatočné podmienky pre konvergenciu Fourierovho radu v danom bode. Na takúto konvergenciu existujú aj oveľa všeobecnejšie dostatočné podmienky. Poznámka.3. Nech je funkcia f daná a absolútne integrovateľná na segmente dĺžky π, napríklad na [, π]. Aby sme zistili konvergenciu jeho Fourierovho radu na koncoch intervalu, môžeme použiť vetu 1 rozšírením funkcie f, zmenou jej hodnôt na jednom alebo oboch koncoch, ak je to potrebné) na π-periodickú funkciu. Po takomto pokračovaní bude bod x = takmer pravidelný práve vtedy, ak f +), f π). V tomto prípade Fourierov rad funkcie f f + 0) + fπ 0) konverguje v bode x 0 = k. Podobne je riešená aj otázka konvergencie Fourierovho radu v bode x 0 = π. Príklad 1 Nájdite Fourierov rad funkcie fx) = π x, x .

13 3. Rovnomerná konvergencia Fourierovho radu. 13 Nech f: R R je π-periodická funkcia, fx) = fx) pre 0< x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 O. V. Bešov. Trigonometrický Fourierov rad Veta 3.1. Nech f je π-periodická spojitá a po častiach spojito diferencovateľná funkcia. Potom Fourierov rad f konverguje k f rovnomerne na R a sup S n x; f) fx) Cinn pre n, x Rn, kde C je nezávislé od n. Dôkaz. Nech M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. Pomocou Lagrangeovej vety o konečných prírastkoch dostaneme to pre 0< t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Preto 3. Rovnomerná konvergencia Fourierovho radu. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Nastavenie δ = δ n = n 1, získame, že pre n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n, kde C je nezávislé od n. Posledná nerovnosť implikuje tvrdenie vety. Zdôrazňujeme, že veta 3.1 nielenže stanovuje rovnomernú konvergenciu Fourierovho radu, ale poskytuje aj odhad rýchlosti, pri ktorej má zvyšok tohto radu tendenciu k nule. Rovnomerná konvergencia Fourierovho radu periodickej funkcie môže byť stanovená aj za podmienok všeobecnejších ako vo vete 3.1, napríklad pre funkcie spĺňajúce Hölderovu podmienku. Definícia. O funkcii f: R sa hovorí, že spĺňa Hölderovu podmienku stupňa α, 0< α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α >0: fx) fy) M α x y α x, y . Všimnite si, že funkcie spĺňajúce Hölderovu podmienku sú spojité a že trieda funkcií spĺňajúca Hölderovu podmienku stupňa α sa zužuje so zvyšujúcim sa α. Ak je funkcia f spojitá a po častiach spojitá diferencovateľná na , potom spĺňa Lipschitzovu podmienku. Nasledujúca veta zovšeobecňuje vetu 3.1. Veta 3. Nech π-periodická funkcia f spĺňa Hölderovu podmienku stupňa α, 0< α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady, kde C α nezávisí od n. Dôkaz. Použime vzorec.1) v tvare S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Nech fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Rovnako ako pri dôkaze Riemannovej oscilačnej vety dostaneme S n x; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ, n x) + J δ, n x). 3.1) δ δ Pripomeňme, že π t< sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t >δ, potom h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 tak, že 3. Rovnomerná konvergencia Fourierovho radu. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ, n x) δ C M α λ t C1 Mα dt l 5. C M α t λ α, nastavením δ = n 8 a zberom odhadov dospejeme k tvrdeniu vety. Časť vety 3.1, ktorá sa týka len faktu rovnomernej konvergencie, pripúšťa nasledujúce zovšeobecnenie. Veta 3.3. Nech je π-periodická funkcia f absolútne integrovateľná na [, π]. Nech f je spojité na nejakom intervale a, b) af po častiach spojité. Potom Fourierov rad f konverguje rovnomerne k f na ľubovoľnom intervale a, b). Dôkaz. Nech n 8 δ< δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε >0. Potom existuje dostatočne malé δ = δε) > 0 také, že sup I δ,n< ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady Potom z 3.1) a získaných odhadov vyplýva, že sup S n x; f) fx) 0 pre n x a veta je ustálená. Všimnite si, že veta 3.3 rozširuje princíp lokalizácie formulovaný skôr tým, že ukazuje, že na uplatnenie rovnomernej konvergencie Fourierovho radu na intervale stačí poznať správanie sa tejto funkcie len v okolí a ε, b + ε) tohto intervalu pre ľubovoľne malé ε > 0. Z vety 3.3 napríklad vyplýva, že rad sin kx k na ľubovoľnom intervale [ε, π ε], ε > 0 rovnomerne konverguje k funkcii fx) = π x. Veta 3.3 sa dá zovšeobecniť nahradením podmienky po častiach spojitej diferencovateľnosti Hölderovou podmienkou stupňa α > 0 pomocou . 4. Aproximácia spojitých funkcií polynómami Definícia 4.1. Funkcia tvaru A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) sa nazýva trigonometrický polynóm) stupňa n. Weierstrassova veta 4.1). Nech f je π-periodická spojitá funkcia. Potom pre každé ε >< ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε >0. Nech τ = (x j ) J j=0, x j = + j π J, delenie úsečky [, π]. Zostrojíme prerušovanú čiaru vpísanú do grafu funkcie f) spojenú úsečkami

19 4. Aproximácia spojitých funkcií polynómami. 19 postupne bodov x j, fx j)) grafu f. Označme Λ J: R R π-periodická spojitá funkcia, ktorej graf sa zhoduje na [, π] so zostrojenou lomenou čiarou. Je zrejmé, že Λ J je po častiach lineárna funkcia na [, π], a teda po častiach spojito diferencovateľná, t.j. Λ J je po častiach spojitý). Spojitá funkcia f je rovnomerne spojitá. Preto fx) fx)< ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε >0 existuje trigonometrický polynóm T taký, že max fx) T x)< ε. x π

20 0 O. V. Bešov. Trigonometrické cvičenie Fourierovho radu 4.1. Ukážte, že posledná veta prestáva platiť, ak podmienka f) = fπ) odpadne. Všimnite si, že vo vete 4.1 je vo všeobecnosti nemožné brať S n x ako trigonometrický polynóm; f) čiastočný súčet Fourierovho radu funkcie f), keďže Fourierov rad spojitej funkcie nemusí konvergovať rovnomerne (nevyžaduje sa ani bodová konvergácia) k funkcii f. Avšak ako T môžeme vziať σ n x; f) Fejérov súčet funkcie f) pre dostatočne veľké n, kde σ n x; f) = Sox; f) + S,x; f) ++ Snx; f) n + 1 je aritmetický priemer Fourierových súčtov, ako vyplýva z Fejérovej vety: Veta 4. Fejér). Nech f je π-periodická spojitá funkcia. Potom σ n x; f) fx) pre n. R Túto vetu nebudeme dokazovať. Fakt konvergencie postupnosti Fejérových súčtov vo Fejérovej vete je vyjadrený aj takto: Fourierov rad π-periodickej spojitej funkcie f je sčítateľný s fx) metódou aritmetických priemerov. Metóda sčítania radu aritmetickými prostriedkami postupnosti jeho čiastočných súčtov) umožňuje pre niektoré divergentné rady definovať pojem ich súčtu ako limitu postupnosti týchto aritmetických priemerov. Pre konvergentný rad sa tento pojem zhoduje s pojmom súčtu radu. Príklad 4.1. Divergentný rad je možné sčítať metódou aritmetických priemerov k číslu 1. Pomocou Weierstrassovej vety 4.1 dokážeme aj s ľubovoľnou presnosťou aproximovať funkciu spojitú na intervale vhodným algebraickým polynómom P.

21 4. Aproximácia spojitých funkcií polynómami. 1 Weierstrassova veta 4.3). Nech je funkcia f spojitá na intervale . Potom pre každé ε > 0 existuje algebraický polynóm P taký, že max fx) P x)< ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε >0 existuje trigonometrický polynóm T taký, že max f t) T t) max f t) T t)< ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady Akákoľvek spojitá funkcia na intervale je jednotnou limitou nejakej postupnosti algebraických polynómov. 5. Diferenciácia trigonometrických radov po členoch. Rýchlosť konvergencie k nule koeficientov a zvyšok Fourierovho radu Veta 5.1. Nech je π-periodická funkcia f spojitá a po častiach spojito diferencovateľná a nech fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx je jej Fourierova expanzia. Potom f x) ka k sin kx + kb k cos kx, t.j. Fourierov rad derivácie sa získa z Fourierovho radu funkcie diferenciáciou člen po členoch. Dôkaz. Nech f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Potom integrovaním po častiach dostaneme = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Diferenciácia po členoch Fourierových radov. 3 Lema 5.1. Nech π-periodická funkcia f má spojité derivácie do rádu m 1 vrátane a po častiach spojitú deriváciu rádu m N. Potom sú odhady pre Fourierove koeficienty f 1 a k + b k = o k m pre k. 5.1) Dôkaz. Nech m 1 a f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Aplikovaním vety 5,1 m krát dostaneme, že α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Keďže α k, β k 0 k) lemou o Fourierových koeficientoch inklinujúcich k nule, z poslednej rovnosti dostaneme 5.1). Lema 5.1 ukazuje, že Fourierove koeficienty funkcie f majú tendenciu k nule, čím rýchlejšie sú diferenciálne vlastnosti funkcie f lepšie. Tvrdenie Lemy 5.1 možno trochu posilniť použitím Besselových nerovností pre po častiach spojité π-periodické funkcie: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Táto nerovnosť bude stanovená nižšie. Aplikovaním 5.) na deriváciu f m) dostaneme, že za podmienok Lemy 5,1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx<. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 O. V. Bešov. Trigonometrický Fourierov rad s Fourierovým radom π-periodickej spojitej a po častiach spojito diferencovateľnej funkcie f, t.j. riadok Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) kde a k, b k sú Fourierove koeficienty funkcie f. Konjugované Dirichletovo jadro je D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Posledná rovnosť je stanovená rovnakým spôsobom ako 1.5). rovnako ako 1.8) je stanovené, že čiastkový súčet n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx zo série 5.3) možno znázorniť ako S n x; f) = kde 0. Takže D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Lema 5. Nech je π-periodická funkcia f spojitá a po častiach spojito diferencovateľná, a k, b k jej Fourierove koeficienty. Potom pre niektoré C > 0 a n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5,4) xR n+1

25 5. Diferenciácia Fourierových radov po členoch. 5 Dôkaz. Nech M 1 max R f. Pomocou Lagrangeovej vety o konečných prírastkoch dostaneme fx + t) fx t) M 1 t, 0< t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 O. V. Bešov. Trigonometrický dôkaz Fourierovej série. Prípad m = 1 sa zhoduje s vetou 3.1. Nech ϕ f m 1) a α k, β k sú Fourierove koeficienty funkcie ϕ. Podľa vety 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Nech a k, b k sú Fourierove koeficienty funkcie f. Najprv nech je m 1 párne. Potom, na základe vety 5.1 aplikovanej m 1-krát, pre x R máme r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Aplikujme Abelovu transformáciu na posledný rad, berúc do úvahy konvergenciu radu α ​​k cos kx + β k sin kx a odhad stanovený v prípade m = 1 tejto vety) sup α k cos kx + β k hriech kx C ln n n. Dostaneme r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n a 5.5) je v tomto prípade stanovená. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Diferenciácia po členoch Fourierových radov. 7 Teraz nech je m 1 nepárne. Potom r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Rad α k sin kx β k cos kx konverguje podľa Lemy 5. Aplikovaním Abelovej transformácie a odhadu 5.5) dostaneme, že r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, a veta je dokázaná. Veta 5 ukazuje, že čím viac derivácií má funkcia f, tým rýchlejšie konverguje jej Fourierov rad. Poznámka: Lemu 5.1 a vetu 5 je možné preformulovať pre funkciu f definovanú iba na segmente [, π] pridaním podmienok na koncové body segmentu, ktoré zaručujú, že jeho π-periodické rozšírenie spĺňa podmienky Lemy 5.1 a vety 5 Konkrétne pre funkciu f: [, π] R by sa mali považovať za splnené tieto dodatočné podmienky na jednostranných deriváciách: f j)) = f j) π) pre j = 0, 1,..., m 1. Podľa vhodnej reformulácie Veta 3.1 a Veta 5.1 pre funkciu f: [, π] R musíme predpokladať, že f) = fπ). Spolu s vetou 5. zavádzame ďalšiu vetu 5., aj keď je menej silná, ale tiež naznačuje súvislosť medzi diferenciálom

28 8 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady diferenciálnymi vlastnosťami π-periodickej funkcie a rýchlosťou konvergencie jej Fourierovho radu. Dôkaz vety 5., na rozdiel od vety 5., nie je založený na analýze konvergencie radu konjugovaného k Fourierovmu radu, ale na Besselovej nerovnosti 5.), ktorá bude stanovená vopred. Čitateľ sa môže podľa vlastného uváženia obmedziť na štúdium jednej z týchto dvoch teorém. Lema 5.3. Nech f je π-periodická a po častiach spojitá funkcia, a k, b k jej Fourierove koeficienty. Potom platí Besselova nerovnosť 5.). Dôkaz. Najprv nech f je π-periodická spojitá a po častiach spojito diferencovateľná funkcia. Podľa vety 5. expanduje do rovnomerne konvergentného Fourierovho radu: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Rovnosť 5.6) člen po člene vynásobíme fx) a výsledný rad (aj rovnomerne konvergentný) člen po člene integrujeme. Na základe vzorcov 1.) pre Fourierove koeficienty získame rovnosť a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7), čo je dôsledkom.) Parsevalovej rovnosti 5.7) a Besselovej nerovnosti 5.) budú neskôr rozšíriť na funkcie f s podstatne všeobecnejšími vlastnosťami. Nech teraz funkcia f spĺňa podmienky lemy a Λ J: R R π-periodická spojitá funkcia, po častiach lineárna na [, π], zostrojená v dôkaze Weierstrassovej vety 4.1, graf Λ J je vpísaný do

29 5. Diferenciácia po členoch Fourierových radov. 9 graf f prerušovaná čiara). Označme a k f), b k f) Fourierove koeficienty funkcie f. Z 5.) vyplýva, že a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Nech je n N pevné a J. Potom, ako je ľahké vidieť , a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Prejdením na limitu v nerovnosti 5.5) dostaneme, že a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Prechodom na limitu ako n v poslednej nerovnosti sa dostávame k tvrdeniu lemy. Veta 5. Nech pre m N má π-periodická funkcia f spojité derivácie do rádu m 1 vrátane a po častiach spojitú deriváciu f m). Potom Fourierov rad funkcie f k nej rovnomerne konverguje na R a) 1 max fx) S nx; f) = o pre n. 5,9) x R n m 1 Dôkaz. Rovnomerná konvergencia k funkcii f jej Fourierovho radu bola stanovená vo vete 3.1. Odhadnime zvyšok jeho Fourierovho radu. rnx; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 O. V. Bešov. Trigonometrické Fourierove rady, kde α k, β k sú Fourierove koeficienty funkcie f m) a posledná nerovnosť sa získa aplikáciou 5,1 m-násobnej vety. V dôsledku Cauchy-Schwarzovej nerovnosti N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Prechod na limitu v poslednej nerovnosti pre N ukazuje, že platí, ak sa v nej N nahradí. Pomocou neho dostaneme, že r n x; f) αk + β k) 1 k m = ε n 1, 5,10) km kde ε n 0 n) v dôsledku konvergencie radu αk + βk), ktorá vyplýva z Besselovej nerovnosti pre funkciu f m) pozri Lemu 5.3). Všimnite si, že 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Z tohto a 5.10) vyplýva 5.9). Záverečné poznámky Tento tutoriál sa nezaoberá integráciou Fourierových radov po členoch, Fourierových radov l-periodických funkcií a komplexnej formy Fourierových radov. Štandardnú prezentáciu týchto otázok možno nájsť v mnohých učebniciach. Nedotkli sme sa ani otázok konvergencie Fourierových radov v zmysle stredného štvorca, v ktorom

PREDNÁŠKA N 7 .Sila

Modul Téma Funkčné postupnosti a rady Vlastnosti rovnomernej konvergencie postupností a radov Mocninové rady Prednáška Definície funkčných postupností a radov Jednotne

TEÓRIA RADOV Teória radov je najdôležitejšou zložkou matematickej analýzy a nachádza teoretické aj početné praktické aplikácie. Rozlišujte medzi číselným a funkčným radom.

METODICKÉ POKYNY PRE VÝPOČTOVÉ ÚLOHY PRE KURZ VYŠŠEJ MATEMATIKY "OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE RAD DVOJINTÉ INTEGRÁLY" ČASŤ III TEMATICKÝ SÉRIA Obsah Séria Číselné rady Konvergencia a divergencia

RIADKY. Číselné rady. Základné definície Nech je daný nekonečný rad čísel Výraz (nekonečný súčet) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= sa nazýva a číselný rad. čísla

BIELORUSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA FAKULTA Aplikovanej matematiky a informatiky Katedra vyššej matematiky Učebná pomôcka pre študentov Fakulty aplikovanej matematiky a informatiky

Prednáška 4. Harmonická analýza. Fourierov rad Periodické funkcie. Harmonická analýza Vo vede a technike sa často musíme zaoberať periodickými javmi, t.j. tými, ktoré sa opakujú

Rad Číselný rad Všeobecné pojmy Def Ak je každému prirodzenému číslu priradené určité číslo podľa určitého zákona, potom sa množina číslovaných čísel nazýva číselná postupnosť,

Funkčný rad Funkčný rad jeho súčet a obsah funkcionálu o Nech je daná postupnosť funkcií k (k 1) v oblasti Δ reálnych alebo komplexných čísel

Federálna agentúra pre vzdelávanie Archangelská štátna technická univerzita Stavebná fakulta SÉRIA Usmernenia na plnenie úloh pre samostatnú prácu Archangelsk

O sumačných a interpolačných vzorcoch A V Ustinov UDC 51117 1 Úvod Je známe, že Bernoulliho čísla B n a Bernoulliho polynómy B n x) vznikajú v rôznych problémoch teórie čísel a približnej analýzy

Matematická analýza Časť 3. Číselné a funkčné rady. Viacnásobné integrály. Teória poľa. učebnica N.D.Vysk MATI-RGTU im. K.E. Ciolkovskij Katedra vyššej matematiky MATEMATICKÁ ANALÝZA

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 5 Funkčné sekvencie a série. Rovnomerná konvergencia, možnosť permutácie limitných prechodov, integrácia a diferenciácia radov a postupností.

E povolanie. Taylor riadky. Súčet mocninových radov Mat. analýza, app. Matematika, 3. semester Nájdite rozšírenie funkcie do mocninného radu, vypočítajte polomer konvergencie mocninového radu: A f()

6 Fourierov rad 6 Ortogonálne systémy funkcií Fourierove rady z hľadiska ortogonálneho systému funkcií Funkcie ϕ () a ψ (), definované a integrovateľné na segmente [, ], sa nazývajú ortogonálne na tomto segmente, ak

35 7 Goniometrický Fourierov rad Fourierov rad pre periodické funkcie s periódou T. Nech f(x) je po častiach spojitá periodická funkcia s periódou T. Uvažujme základný goniometrický systém

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie VA Volkov SÉRIA ŠTVRTÉHO INTEGRÁLU Vzdelávacie elektronické textové vydanie Pre študentov odborov 4865 Elektronika a automatizácia fyzických inštalácií;

PREDNÁŠKA N37. Séria analytických funkcií. Dekompozícia analytickej funkcie v mocninnom rade. Taylorova séria. Laurentov rad..Rozšírenie analytickej funkcie v mocninnom rade.....Taylorov rad.... 3.Rozšírenie analytickej

MOSKVA ŠTÁTNA UNIVERZITA ich. M.V. Lomonosov FYZIKÁLNA FAKULTA KATEDRA MATEMATIKA V.F. Butuzov FUNKČNÉ SÉRIE A FUNKČNÉ SÉRIE ČÍSELNÝ Cvičenie Moskva 05 Predslov

~ ~ Rad Číselný rad a jeho súčet. Definícia: Číselný rad je súčet členov nekonečnej číselnej postupnosti. Definícia: Spoločný člen radu je taký pojem, pre ktorý

8. lekcia. Rovnomerná konvergencia funkčných radov. Weierstrassov test Mat. analýza, app. Matematika, 3. semester Preskúmajte nasledujúce rady pre rovnomernú konvergenciu pomocou definície: D 767

Téma 6. Limity postupností a funkcií, ich vlastnosti a aplikácie Matematická analýza Séria Stručné poznámky k prednáške Zostavil V.A. vied, docent katedry vyššej matematiky

"Séria" Testy na samokontrolu Potrebné kritérium pre konvergenciu radu Veta Potrebné kritérium pre konvergenciu Ak rad konverguje, potom lim + Dôsledok je dostatočná podmienka na divergovanie radu Ak lim, potom sa rad diverguje

Numerické metódy Téma 2 Interpolácia V I Velikodny 2011 2012 akademický rok 1 Pojem interpolácia Interpolácia je metóda približného alebo presného zistenia akejkoľvek hodnoty zo známych individuálnych hodnôt

Univerzita priateľstva národov Ruska Marčenko V.V., Sorokina M.V.

PREDNÁŠKA 3A Typy konvergencie. Lebesgueov integrál. Lebesgueove priestory 1. Typy konvergencie funkčných postupností V prednáške 3 sme si všimli, že existujú nasledujúce typy konvergencie funkčných postupností:

Následná sekvencia. Definícia. Ak je každému prirodzenému číslu (N) priradené číslo ( ) podľa nejakého zákona, tak toto určuje číselnú postupnosť,... (alebo len postupnosť).

Kapitola 28 VŠEOBECNÉ FUNKCIE 28.1. Priestory D, D základných a zovšeobecnených funkcií Pojem zovšeobecnená funkcia zovšeobecňuje klasický pojem funkcie a umožňuje vyjadriť v matematickej forme napr.

Fourierove rady Ortogonálne systémy funkcií Z hľadiska algebry rovnosť, kde sú funkcie danej triedy a sú koeficienty z R alebo C, jednoducho znamená, že vektor je lineárnou kombináciou vektorov B

Základy teórie špeciálnych funkcií Potreba štúdia špeciálnych funkcií matematickej fyziky je spojená s dvoma hlavnými okolnosťami. Po prvé, pri vývoji matematického modelu fyziky

Prednášky 89 Kapitola 5 Spojitosť funkcie 5 Spojitosť funkcie v bode Pojem spojitosti funkcie je jedným zo základných pojmov vyššej matematiky Je zrejmé, že graf spojitej funkcie je

Laurentove rady Všeobecnejším typom mocninných radov sú rady obsahujúce kladné aj záporné mocniny z z 0. Podobne ako Taylorove rady zohrávajú dôležitú úlohu v teórii analytických funkcií.

PRVKY TEÓRIE FUNKCIÍ KOMPLEXNÉHO PREMENNÉHO OPERAČNÉHO kalkulu

Spojitosť funkcií Spojitosť funkcie v bode Jednostranné limity Definícia Číslo A sa nazýva ľavá limita funkcie f(x), keďže x smeruje k a, ak takéto číslo pre ľubovoľné číslo existuje.

Kapitola VARIÁČNY POČET Prednáška 9 Úvod

~ ~ FCF Derivácia funkcie komplexnej premennej FCF Cauchy-Riemannovej podmienky Pojem pravidelnosti FCF Zobrazenie a tvar komplexného čísla Forma FCF: kde reálna funkcia dvoch premenných je reálna

Časť 2 Teória limít Téma Numerické postupnosti Definícia číselnej postupnosti 2 Ohraničené a neobmedzené postupnosti 3 Monotónne postupnosti 4 Nekonečne malé a

Kapitola 4. Integrál 1. Neurčitý integrál 1 0. Primitívny a neurčitý integrál Definícia Funkcia F (x) sa nazýva primitívna funkcia pre funkciu f (x) na intervale X, ak x X: F "(x) \u003d f (x). Príklad

Ministerstvo školstva Ruskej federácie Jaroslavľská štátna univerzita pomenovaná po PG Demidov Oddelenie diskrétnej analýzy Pokyny pre matematickú analýzu Jaroslavľ Zostavil: MV Anufrienko

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE Federálna štátna autonómna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „JUŽNÁ FEDERÁLNA UNIVERZITA“ T. I. Korshikova,

Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania Štátna technická univerzita v Ukhte (USTU) Limitné usmernenia

FOURIER SÉRIA M I ​​VISHIK Diskutuje sa o reprezentácii akejkoľvek periodickej funkcie ako súčtu zodpovedajúceho trigoometrického radu, teda ako o jeho expasio Fourierovho radu. Parsevalova rovnica je prednastavená: itegrál druhej mocniny

Posledná aktualizácia: 16. marca 2008 Zoznam definícií: 1.1 Neprekrývajúce sa segmenty .................................. ............. 2 1.2 Systém neprekrývajúcich sa segmentov .................................. ...............

NEURČITÝ INTEGRÁL. Primitívny a neurčitý integrál Hlavnou úlohou diferenciálneho počtu je nájsť deriváciu (alebo diferenciál) danej funkcie. Integrálny počet

Prednáška 5 Integrál Cauchyho typu 5.1 Integrál Cauchyho typu Nech C je orientovaná po častiach hladká krivka, f spojitá funkcia definovaná na krivke. Pre ľubovoľný bod z C \ je funkcia t f(t) z v premennej spojitá

Trieda. Stupeň s ľubovoľným reálnym exponentom, jeho vlastnosti. Mocninná funkcia, jej vlastnosti, grafika.. Vybavte si vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom. a a a a a pre prirodzené časy

Far Eastern Mathematical Journal. 214. Zväzok 14. 2. S. 231 241 MDT 517,95 MSC21 35J5 c A. A. Illarionov, L. V. Illarionova 1 Analytické riešenia extrémnych úloh pre Laplaceovu rovnicu

PREMENNÉ A KONŠTANTY V dôsledku merania fyzikálnych veličín (čas, plocha, objem, hmotnosť, rýchlosť atď.) sa určujú ich číselné hodnoty. Matematika sa zaoberá množstvom, rozptýlená

PREDNÁŠKA N38. Správanie sa analytickej funkcie v nekonečne. špeciálne body. Funkčné zvyšky..okolie bodu v nekonečne.....Laurentova expanzia v okolí bodu v nekonečne.... 3. Správanie

LABORATÓRNE PRÁCE 7 VŠEOBECNÉ FUNKCIE I. ZÁKLADNÉ POJMY A TEÓMY Označme D množinu všetkých nekonečne diferencovateľných konečných funkcií reálnej premennej. Toto je

DERIVÁT RASTÚCEJ FUNKCIE Prof. Dr. Avyt ASANOV Kirgizsko-turecká univerzita „Manas“ Klasické koncepty derivácie a diferenciálu funkcie sú prezentované v mnohých prácach.

009 M. S. Semchenok, E. N. Begun, V. A. Vlas’eva, V. G. Galkina Matematika Poznámky k prednáške Tretia časť Poznámky viedli A. Diment SPbGUKiT, FAVT, gr. 7 KAPITOLA 0. ČÍSELNÝ RAD 0.. KONCEPCIA KONVERGENCIE ČÍSEL

FOND HODNOTIACÍCH NÁSTROJOV PRE PRIEBEŽNÚ CERTIFIKÁCIU ŽIAKOV V ODBORU (MODUL). Všeobecné informácie 1. Katedra informatiky, počítačového inžinierstva a informačnej bezpečnosti 2. Smer

Posledná aktualizácia: 29. marca 2008 Zoznam definícií: 1.1 Neprekrývajúce sa segmenty .................................. ................ 2 1.2 Systém neprekrývajúcich sa segmentov .................. .................

FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE VZDELÁVANIE Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "UFA STATE OIL TECHNICAL UNIVERSITY" (UGNTU) Katedra matematiky

Prednáška 6 Séria analytických funkcií 6.1 Postupnosti funkcií Nech D C a f n: D C. Postupnosť funkcií (f n ) bodovo konverguje k funkcii f: D C, ak pre každú

kapitola. PORIADKOVÉ VZŤAHY A ASYMPTOTICKÉ SPRÁVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ.Porovnanie správania funkcií. O-symboly V tejto úvodnej kapitole budeme diskutovať o porovnávacom správaní funkcií, ako aj o asymptotickom

Polomer konvergencie Definícia. Mocninný rad je funkčný rad v tvare c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () kde c 0, c, c 2,.. ., c, ... C sa nazývajú koeficienty mocniny

Integrovateľnosť funkcie (podľa Riemanna) a určitého integrálu Základné pojmy a vety 1. Integrálne súčty a určitý integrál. Nech je funkcia f(x) definovaná na intervale (kde a< b). Произвольное

Fourierove rady a ich využitie v komunikačnej technike

Názov parametra	Význam
Predmet článku:	Fourierove rady a ich využitie v komunikačnej technike
Rubrika (tematická kategória)	Vzdelávanie

Rozklad spojitého signálu na ortogonálny rad

Prednáška 6. Spojitý kanál

Kritériá kvality obnovy.

Existujú nasledujúce kritériá:

1) Kritérium najväčšej odchýlky

kde: prípustná chyba obnovy, - maximálna hodnota - chyba aproximácie prúdu.

Zároveň existuje istota, že sa zaznamenajú akékoľvek zmeny pôvodného signálu, vrátane krátkodobých špičiek.

2) Kritérium efektívnej hodnoty. kde: - dodatočná chyba aproximácie SC, - chyba aproximácie SC.

3) Integrálne kritérium

Max je určený priemernou hodnotou za periódu vzorkovania.

4) Pravdepodobnostné kritérium

Je nastavená prípustná úroveň, hodnota Р je pravdepodobnosť, že aktuálna chyba aproximácie nezávisí od nejakej konkrétnej hodnoty.

Účel prednášky: úvod do súvislého kanála

a) rozklad spojitého signálu na ortogonálny rad;

b) Fourierove rady a ich uplatnenie v komunikačnej technike;

c) Kotelnikovova veta (Shannonova základná veta);

d) priepustnosť súvislého kanála;

e) model NKS.

V teórii komunikácie sa na reprezentáciu signálov široko používajú dva špeciálne prípady rozšírenia funkcií do ortogonálnych radov: expanzia v goniometrických funkciách a expanzia vo funkciách tvaru. hriech x/x. V prvom prípade získame spektrálne znázornenie signálu vo forme konvenčného Fourierovho radu a v druhom prípade časové znázornenie vo forme radu V.A. Kotelnikov.

Z praktického hľadiska je najjednoduchšou formou vyjadrenia signálu lineárna kombinácia niektorých elementárnych funkcií

Vo všeobecnom prípade je signál komplexnou osciláciou, v súvislosti s tým je mimoriadne dôležité reprezentovať komplexnú funkciu s(t), definovanie signálu pomocou jednoduchých funkcií.

Pri štúdiu lineárnych systémov je takéto znázornenie signálu veľmi výhodné. Umožňuje vám rozdeliť riešenie mnohých problémov na časti pomocou princípu superpozície. Napríklad na určenie signálu na výstupe lineárneho systému sa vypočíta odozva systému na každú elementárnu akciu ψ k (t) a potom sa výsledky vynásobené zodpovedajúcimi koeficientmi ak ľahko vypočítajú a nezávisia od počet termínov v súčte. Tieto požiadavky najviac spĺňa množina ortogonálnych funkcií.

Funkcie ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Dané na intervale sa nazývajú ortogonálne,

ak pri. (6.3)

Základom spektrálnej analýzy signálov je znázornenie časových funkcií vo forme sériového alebo Fourierovho integrálu. Každý periodický signál s(t), ktorý spĺňa Dirichletovu podmienku, musí byť reprezentovaný ako séria z hľadiska goniometrických funkcií.

Hodnota a 0, ktorá vyjadruje priemernú hodnotu signálu za periódu, sa bežne nazýva konštantná zložka. Vypočítava sa podľa vzorca

Veľmi výhodná je zložitá forma zápisu Fourierovho radu

Hodnota Ak je komplexná amplitúda, nájdeme ju podľa vzorca

Vzťahy (6.8) a (6.9) tvoria pár diskrétnych Fourierových transformácií. Treba poznamenať, že Fourierov rad môže predstavovať nielen periodický signál, ale aj akýkoľvek signál s konečnou dobou trvania. V druhom prípade signál S(t) sa považuje za periodické pokračovanie na celej časovej osi. V tomto prípade rovnosť (6.4) alebo (6.8) predstavuje signál len na intervale jeho trvania (- T/2, T/2). Náhodný signál (alebo rušenie) daný intervalom (- T/2, T/2), musí byť tiež reprezentovaný Fourierovým radom

kde a k a b k sú náhodné veličiny (pre fluktuačný šum - nezávislá náhodná s normálnym rozdelením).

Fourierove rady a ich využitie v komunikačnej technike - pojem a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Fourierove série a ich aplikácia v komunikačnej technike" 2017, 2018.

Ktoré sú už dosť presýtené. A mám pocit, že nastala chvíľa, keď je čas vyťažiť zo strategických zásob teórie nové konzervy. Je možné rozšíriť funkciu do série nejakým iným spôsobom? Napríklad na vyjadrenie úsečky v podobe sínusov a kosínusov? Zdá sa to neuveriteľné, ale takéto zdanlivo vzdialené funkcie sa hodia
„opätovné stretnutie“. Okrem známych titulov v teórii a praxi existujú aj iné prístupy k rozšíreniu funkcie do série.

V tejto lekcii sa zoznámime s trigonometrickým Fourierovým radom, dotkneme sa problematiky jeho konvergencie a súčtu a, samozrejme, rozoberieme množstvo príkladov na rozšírenie funkcií do Fourierovho radu. Úprimne som chcel tento článok nazvať „Fourier Series for Dummies“, ale bolo by to prefíkané, pretože riešenie problémov si bude vyžadovať znalosť iných častí matematickej analýzy a určité praktické skúsenosti. Preto bude preambula pripomínať výcvik astronautov =)

Po prvé, k štúdiu materiálov stránky by sa malo pristupovať vo vynikajúcom stave. Ospalý, oddýchnutý a triezvy. Bez silných emócií o zlomenej labke škrečka a vtieravých myšlienok o útrapách života akváriových rybičiek. Fourierova séria nie je náročná z hľadiska pochopenia, praktické úlohy si však jednoducho vyžadujú zvýšenú koncentráciu pozornosti – ideálne je úplne opustiť vonkajšie podnety. Situáciu zhoršuje skutočnosť, že neexistuje jednoduchý spôsob, ako skontrolovať riešenie a odpoveď. Ak je teda vaše zdravie podpriemerné, je lepšie urobiť niečo jednoduchšie. Pravda.

Po druhé, pred letom do vesmíru je potrebné preštudovať prístrojovú dosku kozmickej lode. Začnime s hodnotami funkcií, na ktoré treba kliknúť na stroji:

Pre akúkoľvek prírodnú hodnotu:

jeden) . A v skutočnosti sínusoida „bliká“ osou x cez každé „pí“:
. V prípade záporných hodnôt argumentu bude výsledok samozrejme rovnaký: .

2). Ale nie každý to vedel. Kosínus „pi en“ je ekvivalentom „blikajúceho svetla“:

Negatívny argument nezmení prípad: .

Možno dosť.

A po tretie, drahý kozmonautský zbor, musíte byť schopní ... integrovať.
Najmä určite priniesť funkciu pod diferenciálne znamienko, integrovať po častiach a byť v dobrom vzťahu Newtonov-Leibnizov vzorec. Začnime s dôležitými predletovými cvičeniami. Dôrazne neodporúčam to preskočiť, aby ste sa neskôr nesploštili v nulovej gravitácii:

Príklad 1

Vypočítajte určité integrály

kde berie prírodné hodnoty.

rozhodnutie: integrácia sa vykonáva nad premennou "x" av tomto štádiu sa diskrétna premenná "en" považuje za konštantu. Vo všetkých integráloch uveďte funkciu pod znamienko diferenciálu:

Krátka verzia riešenia, z ktorej by bolo dobré strieľať, vyzerá takto:

Zvykať si na:

Zvyšné štyri body sú samy o sebe. Pokúste sa pristupovať k úlohe svedomito a usporiadajte integrály v krátkosti. Vzorové riešenia na konci lekcie.

Po KVALITNOM cvičení si obliekame skafandre
a pripravte sa na štart!

Rozšírenie funkcie vo Fourierovom rade na intervale

Zoberme si funkciu, ktorá definované aspoň na intervale (a prípadne na väčšom intervale). Ak je táto funkcia integrovateľná do segmentu , potom sa môže rozšíriť na trigonometrické Fourierov rad:
, kde sú tzv Fourierove koeficienty.

V tomto prípade sa volá číslo obdobie rozkladu, a číslo je polčas rozpadu.

Je zrejmé, že vo všeobecnom prípade Fourierova séria pozostáva zo sínusov a kosínusov:

Naozaj, napíšme to podrobne:

Nultý člen série sa zvyčajne píše ako .

Fourierove koeficienty sa vypočítajú pomocou nasledujúcich vzorcov:

Veľmi dobre chápem, že nové výrazy sú pre začiatočníkov pri štúdiu témy stále nejasné: obdobie rozkladu, polovičný cyklus, Fourierove koeficienty a ďalšie.Neprepadajte panike, nedá sa to porovnať so vzrušením pred výstupom do vesmíru. Poďme si všetko vyjasniť v najbližšom príklade, pred vykonaním ktorého je logické klásť naliehavé praktické otázky:

Čo musíte urobiť v nasledujúcich úlohách?

Rozšírte funkciu do Fourierovho radu. Okrem toho sa často vyžaduje nakresliť graf funkcie, graf súčtu radu, čiastočného súčtu a v prípade sofistikovaných profesorských fantázií urobiť niečo iné.

Ako rozšíriť funkciu do Fourierovho radu?

V podstate musíte nájsť Fourierove koeficienty, teda zložiť a spočítať tri určité integrály.

Skopírujte si prosím všeobecnú formu Fourierovho radu a tri pracovné vzorce do svojho poznámkového bloku. Som veľmi rád, že niektorí návštevníci stránky majú detský sen stať sa astronautom, ktorý sa mi plní priamo pred očami =)

Príklad 2

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale . Zostavte graf, graf súčtu radu a čiastočného súčtu.

rozhodnutie: prvou časťou úlohy je rozšírenie funkcie do Fourierovho radu.

Začiatok je štandardný, nezabudnite si zapísať, že:

V tomto probléme , obdobie expanzie , polovičné obdobie .

Rozšírime funkciu vo Fourierovom rade na intervale:

Pomocou vhodných vzorcov nájdeme Fourierove koeficienty. Teraz musíme zložiť a vypočítať tri určité integrály. Pre pohodlie očíslujem body:

1) Prvý integrál je najjednoduchší, ale už vyžaduje oko a oko:

2) Používame druhý vzorec:

Tento integrál je dobre známy a berie to po kúskoch:

Pri nájdení použité spôsob uvedenia funkcie pod diferenciálne znamienko.

V posudzovanej úlohe je vhodnejšie okamžite použiť vzorec na integráciu po častiach do určitého integrálu :

Pár technických poznámok. Najprv po aplikácii vzorca celý výraz musí byť uzavretý vo veľkých zátvorkách, keďže pred pôvodným integrálom je konštanta. Nestrácajme to! Zátvorky sa dajú otvárať pri akomkoľvek ďalšom kroku, ja som to urobil pri poslednej zákrute. V prvom "kúsku" ukazujeme extrémnu presnosť v substitúcii, ako môžete vidieť, konštanta je mimo prevádzky a limity integrácie sú nahradené do produktu. Táto akcia je označená hranatými zátvorkami. No a integrál druhého "kúsku" formule je vám dobre známy z tréningovej úlohy ;-)

A čo je najdôležitejšie - maximálna koncentrácia pozornosti!

3) Hľadáme tretí Fourierov koeficient:

Získa sa relatívna hodnota predchádzajúceho integrálu, čo je tiež integrované po častiach:

Tento prípad je trochu komplikovanejší, ďalšie kroky vysvetlím krok za krokom:

(1) Celý výraz je uzavretý vo veľkých zátvorkách.. Nechcel som vyzerať ako nudný, príliš často strácajú konštantu.

(2) V tomto prípade som tie veľké zátvorky okamžite rozšíril. Osobitná pozornosť venujeme prvému „kúsku“: konštanta fajčí na vedľajšej koľaji a nepodieľa sa na nahrádzaní hraníc integrácie (a) do produktu. Vzhľadom na neprehľadnosť záznamu je opäť vhodné tento úkon zvýrazniť v hranatých zátvorkách. S druhým "kúskom" všetko je jednoduchšie: tu sa zlomok objavil po otvorení veľkých zátvoriek a konštanta - ako výsledok integrácie známeho integrálu ;-)

(3) V hranatých zátvorkách vykonávame transformácie a do pravého integrálu dosadzujeme limity integrácie.

(4) Vyberieme „blikačku“ z hranatých zátvoriek: , potom otvoríme vnútorné zátvorky: .

(5) V zátvorke rušíme 1 a -1, robíme konečné zjednodušenia.

Nakoniec sme našli všetky tri Fourierove koeficienty:

Dosaďte ich do vzorca :

Nezabudnite rozdeliť na polovicu. V poslednom kroku sa zo súčtu vyberie konštanta ("mínus dva"), ktorá nezávisí od "en".

Takto sme získali rozšírenie funkcie vo Fourierovom rade na intervale:

Pozrime sa na otázku konvergencie Fourierovho radu. Vysvetlím najmä teóriu Dirichletova veta, doslova „na prstoch“, takže ak potrebujete prísne formulácie, pozrite si učebnicu počtu (napr. 2. diel Bohana; alebo 3. diel Fichtenholtza, ale v ňom je to ťažšie).

V druhej časti úlohy je potrebné nakresliť graf, graf sérií súčtu a graf čiastočného súčtu.

Graf funkcie je obvyklý priamka na rovine, ktorý je nakreslený čiernou bodkovanou čiarou:

Zaoberáme sa súčtom série. Ako viete, funkčné rady konvergujú k funkciám. V našom prípade skonštruovaný Fourierov rad pre akúkoľvek hodnotu "x" konverguje k funkcii zobrazenej červenou farbou. Táto funkcia podlieha prestávky 1. druhu v bodoch, ale aj v nich definované (červené bodky na výkrese)

takto: . Je ľahké vidieť, že sa výrazne líši od pôvodnej funkcie, preto v zápise namiesto znamienka rovnosti sa používa vlnovka.

Preštudujme si algoritmus, pomocou ktorého je vhodné zostrojiť súčet radu.

Na centrálnom intervale Fourierov rad konverguje k samotnej funkcii (stredný červený segment sa zhoduje s čiernou bodkovanou čiarou lineárnej funkcie).

Teraz si povedzme trochu o povahe uvažovaného trigonometrického rozšírenia. Fourierov rad zahŕňa iba periodické funkcie (konštanta, sínus a kosínus), teda súčet radu je tiež periodická funkcia.

Čo to znamená v našom konkrétnom príklade? A to znamená, že súčet série –nevyhnutne periodické a červený segment intervalu sa musí nekonečne opakovať vľavo a vpravo.

Myslím, že teraz sa konečne vyjasnil význam slovného spojenia „obdobie rozkladu“. Jednoducho povedané, zakaždým, keď sa situácia znova a znova opakuje.

V praxi zvyčajne stačí znázorniť tri obdobia rozkladu, ako je to na výkrese. Nuž a ešte „pahýly“ susedných období – aby bolo jasné, že graf pokračuje.

Zvlášť zaujímavé sú body diskontinuity 1. druhu. V takýchto bodoch Fourierov rad konverguje k izolovaným hodnotám, ktoré sa nachádzajú presne v strede "skoku" diskontinuity (červené bodky na výkrese). Ako nájsť súradnicu týchto bodov? Najprv nájdime ordinátu „horného poschodia“: na tento účel vypočítame hodnotu funkcie v najpravejšom bode obdobia centrálnej expanzie: . Ak chcete vypočítať súradnicu „dolného poschodia“, najjednoduchším spôsobom je vziať hodnotu úplne vľavo za rovnaké obdobie: . Ordináta strednej hodnoty je aritmetický priemer súčtu „hornej a dolnej časti“: . Príjemné je, že pri stavbe výkresu hneď uvidíte, či je stred vypočítaný správne alebo nesprávne.

Zostrojme čiastkový súčet radu a zároveň zopakujme význam pojmu „konvergencia“. Motív je známy z lekcie o súčet číselného radu. Opíšme si naše bohatstvo podrobne:

Ak chcete urobiť čiastočný súčet, musíte si zapísať nulu + ďalšie dva členy série. t.j.

Na nákrese je graf funkcie znázornený zelenou farbou a ako vidíte, celkom tesne sa točí okolo celkového súčtu. Ak vezmeme do úvahy čiastočný súčet piatich členov radu, potom graf tejto funkcie ešte presnejšie aproximuje červené čiary, ak existuje sto členov, potom „zelený had“ skutočne úplne splynie s červenými segmentmi, atď. Fourierov rad teda konverguje k svojmu súčtu.

Je zaujímavé poznamenať, že akýkoľvek čiastočný súčet je nepretržitá funkcia, ale celkový súčet série je stále nesúvislý.

V praxi nie je nezvyčajné zostaviť graf čiastočného súčtu. Ako to spraviť? V našom prípade je potrebné zvážiť funkciu na segmente, vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v medziľahlých bodoch (čím viac bodov zohľadníte, tým presnejší bude graf). Potom by ste mali označiť tieto body na výkrese a starostlivo nakresliť graf na obdobie , a potom ho „replikovať“ do susedných intervalov. Ako inak? Aproximácia je predsa tiež periodická funkcia ... ... jej graf mi akosi pripomína rovnomerný srdcový rytmus na displeji lekárskeho prístroja.

Samozrejme, nie je veľmi vhodné vykonávať konštrukciu, pretože musíte byť veľmi opatrní a udržiavať presnosť nie menšiu ako pol milimetra. Poteším však čitateľov, ktorí sú s kresbou v rozpore - v "reálnej" úlohe nie je ani zďaleka vždy potrebné vykonávať kresbu, niekde v 50% prípadov je potrebné funkciu rozšíriť do Fourierovho radu a to to.

Po dokončení výkresu dokončíme úlohu:

Odpoveď:

Pri mnohých úlohách funkcia trpí prietrž 1. druhu priamo v období rozkladu:

Príklad 3

Rozšírte vo Fourierovom rade funkciu danú na intervale. Nakreslite graf funkcie a celkového súčtu radu.

Navrhovaná funkcia je uvedená po častiach (a pozor, iba v segmente) a vydržať prietrž 1. druhu v bode . Je možné vypočítať Fourierove koeficienty? Žiaden problém. Ľavá aj pravá časť funkcie sú integrovateľné na svojich intervaloch, takže integrály v každom z troch vzorcov by mali byť reprezentované ako súčet dvoch integrálov. Pozrime sa napríklad, ako sa to robí pre nulový koeficient:

Druhý integrál sa ukázal byť rovný nule, čo znížilo prácu, ale nie vždy to tak je.

Podobne sú zapísané ďalšie dva Fourierove koeficienty.

Ako zobraziť súčet série? Na ľavom intervale nakreslíme priamku a na intervale priamku (označte časť osi tučným písmom). To znamená, že na intervale rozšírenia sa súčet radu zhoduje s funkciou všade, okrem troch „zlých“ bodov. V bode diskontinuity funkcie Fourierov rad konverguje k izolovanej hodnote, ktorá sa nachádza presne v strede „skoku“ diskontinuity. Nie je ťažké to vidieť orálne: ľavá hranica:, pravá hranica: a samozrejme, ordináta stredu je 0,5.

Vzhľadom na periodicitu súčtu je potrebné obrázok „vynásobiť“ do susedných období, najmä znázorniť to isté na intervaloch a . V tomto prípade v bodoch Fourierov rad konverguje k hodnotám mediánu.

V skutočnosti tu nie je nič nové.

Skúste tento problém vyriešiť svojpomocne. Približná ukážka jemného dizajnu a kresby na konci hodiny.

Rozšírenie funkcie vo Fourierovom rade na ľubovoľnej perióde

Pre ľubovoľné obdobie expanzie, kde "el" je akékoľvek kladné číslo, sa vzorce pre Fourierov rad a Fourierove koeficienty líšia v mierne komplikovanom sínusovom a kosínusovom argumente:

Ak , potom dostaneme vzorce pre interval, s ktorým sme začali.

Algoritmus a princípy riešenia problému sú úplne zachované, ale zvyšuje sa technická zložitosť výpočtov:

Príklad 4

Rozšírte funkciu na Fourierov rad a vykreslite súčet.

rozhodnutie: v skutočnosti analóg príkladu č. 3 s prietrž 1. druhu v bode . V tomto probléme , obdobie expanzie , polovičné obdobie . Funkcia je definovaná len na polovičnom intervale, ale to nič nemení - dôležité je, aby boli obe časti funkcie integrovateľné.

Rozšírme funkciu na Fourierov rad:

Keďže funkcia je na začiatku nespojitá, každý Fourierov koeficient by sa mal samozrejme zapísať ako súčet dvoch integrálov:

1) Prvý integrál napíšem čo najpodrobnejšie:

2) Opatrne nahliadnite na povrch Mesiaca:

Druhý integrál brať po častiach:

Na čo si dať dobrý pozor, keď pokračovanie riešenia otvoríme hviezdičkou?

Po prvé, nestratíme prvý integrál , kde okamžite vykonáme uvedenie pod znamenie diferenciálu. Po druhé, nezabudnite na nešťastnú konštantu pred veľkými zátvorkami a nenechajte sa zmiasť znakmi pri použití vzorca . Veľké zátvorky je predsa pohodlnejšie hneď v ďalšom kroku otvárať.

Ostatné je vecou techniky, ťažkosti môžu spôsobiť len nedostatočné skúsenosti s riešením integrálov.

Áno, nie nadarmo boli významní kolegovia francúzskeho matematika Fouriera rozhorčení - ako sa odvážil rozložiť funkcie na trigonometrické rady?! =) Mimochodom, asi každého zaujíma praktický význam predmetnej úlohy. Fourier sám pracoval na matematickom modeli vedenia tepla a následne sa po ňom pomenovaná séria začala využívať na štúdium mnohých periodických procesov, ktoré sú vo vonkajšom svete zrejme neviditeľné. Teraz, mimochodom, som sa pristihla pri myšlienke, že to nebola náhoda, že som porovnala graf druhého príkladu s periodickým srdcovým rytmom. Záujemcovia sa môžu zoznámiť s praktickou aplikáciou Fourierove transformácie zo zdrojov tretích strán. ... Aj keď je lepšie nie - bude si to pamätať ako Prvá láska =)

3) Vzhľadom na opakovane spomínané slabé články sa zaoberáme tretím koeficientom:

Integrácia podľa častí:

Nájdené Fourierove koeficienty dosadíme do vzorca , nezabudnite rozdeliť nulový koeficient na polovicu:

Nakreslíme súčet série. Stručne zopakujme postup: na intervale postavíme čiaru a na intervale - čiaru. S nulovou hodnotou "x" umiestnime bod do stredu "skoku" medzery a "replikujeme" graf pre susedné obdobia:


Na "križovatkách" období sa súčet bude rovnať aj stredom "skoku" medzery.

Pripravený. Pripomínam, že samotná funkcia je podmienene definovaná iba na polovičnom intervale a samozrejme sa zhoduje so súčtom radov na intervaloch

Odpoveď:

Niekedy je aj po častiach daná funkcia spojitá počas obdobia expanzie. Najjednoduchší príklad: . rozhodnutie (Pozri Bohan, zväzok 2) je rovnaký ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch: napriek kontinuita funkcie v bode je každý Fourierov koeficient vyjadrený ako súčet dvoch integrálov.

V intervale rozpadu body diskontinuity 1. druhu a/alebo „spojnicových“ bodov grafu môže byť viac (dva, tri a vo všeobecnosti ľubovoľné konečné suma). Ak je funkcia integrovateľná do každej časti, potom je tiež rozšíriteľná vo Fourierovom rade. Ale z praktických skúseností si takú plechovku nepamätám. Napriek tomu existujú ťažšie úlohy, ako sa len uvažuje, a na konci článku pre všetkých sú odkazy na Fourierove série so zvýšenou zložitosťou.

Medzitým si oddýchnime, oprieme sa v stoličkách a rozjímame nad nekonečnými plochami hviezd:

Príklad 5

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale a vykreslite súčet radu.

V tejto úlohe je funkcia nepretržitý na polintervale rozkladu, čo zjednodušuje riešenie. Všetko je veľmi podobné príkladu #2. Z vesmírnej lode sa nedá ujsť - budete sa musieť rozhodnúť =) Ukážka dizajnu na konci hodiny, rozvrh je v prílohe.

Rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií

Pri párnych a nepárnych funkciách je proces riešenia problému výrazne zjednodušený. A preto. Vráťme sa k rozšíreniu funkcie vo Fourierovom rade na perióde „dva pí“ a ľubovoľné obdobie "dva piva" .

Predpokladajme, že naša funkcia je párna. Ako vidíte, všeobecný pojem série obsahuje párne kosínusy a nepárne sínusy. A ak rozložíme PÁNU funkciu, načo potom potrebujeme nepárne sínusy?! Vynulujme zbytočný koeficient: .

teda párna funkcia sa rozšíri do Fourierovho radu iba v kosínoch:

Pokiaľ ide o integrály párnych funkcií v segmente integrácie symetrický vzhľadom na nulu možno zdvojnásobiť, potom sa zjednoduší aj zvyšok Fourierových koeficientov.

Pre rozpätie:

Pre ľubovoľný interval:

Učebnicové príklady, ktoré možno nájsť v takmer každej učebnici počtu, zahŕňajú rozšírenia párnych funkcií . Okrem toho sa opakovane stretli v mojej osobnej praxi:

Príklad 6

Daná funkcia. Požadovaný:

1) rozšírte funkciu na Fourierov rad s bodkou , kde je ľubovoľné kladné číslo;

2) zapíšte si expanziu na intervale, zostavte funkciu a nakreslite graf celkového súčtu radu.

rozhodnutie: v prvom odseku sa navrhuje vyriešiť problém všeobecným spôsobom, čo je veľmi výhodné! Bude to potrebné - stačí nahradiť svoju hodnotu.

1) V tomto probléme obdobie expanzie , polovičné obdobie . V priebehu ďalších činností, najmä počas integrácie, sa "el" považuje za konštantu

Funkcia je párna, čo znamená, že sa rozširuje do Fourierovho radu iba v kosínoch: .

Fourierove koeficienty sa hľadajú pomocou vzorcov . Venujte pozornosť ich absolútnym výhodám. Po prvé, integrácia sa vykonáva cez pozitívny segment rozšírenia, čo znamená, že sa modulu bezpečne zbavíme , berúc do úvahy iba "x" z dvoch kusov. A po druhé, integrácia je výrazne zjednodušená.

Dva:

Integrácia podľa častí:

takto:
, pričom konštanta , ktorá nezávisí od "en", je zo súčtu vyňatá.

Odpoveď:

2) Napíšeme expanziu na intervale, na to dosadíme požadovanú hodnotu polperiódy do všeobecného vzorca:

V mnohých prípadoch je úloha získania (výpočtu) spektra signálu nasledovná. Existuje ADC, ktorý so vzorkovacou frekvenciou Fd konvertuje spojitý signál prichádzajúci na jeho vstup v čase T na digitálne hodnoty - N kusov. Ďalej sa pole načítaných hodnôt privádza do určitého programu, ktorý poskytuje N / 2 niektorých číselných hodnôt (programátor, ktorý stiahnuté z internetu napísal program, tvrdí, že vykonáva Fourierovu transformáciu).

Aby sme skontrolovali, či program funguje správne, vytvoríme pole hodnôt ako súčet dvoch sínusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme ho do program. Program nakreslil nasledovné:

obr.1 Graf časovej funkcie signálu

obr.2 Graf spektra signálu

Na grafe spektra sú dve paličky (harmonické) 5 Hz s amplitúdou 0,5 V a 10 Hz - s amplitúdou 1 V, všetko ako vo vzorci pôvodného signálu. Všetko je v poriadku, dobrý programátor! Program funguje správne.

To znamená, že ak na vstup ADC privedieme reálny signál zo zmesi dvoch sínusoidov, potom dostaneme podobné spektrum pozostávajúce z dvoch harmonických.

Celkom, náš reálny meraný signál, trvanie 5 sek, digitalizované ADC, teda zastúpené diskrétne počíta, má diskrétne neperiodické rozsah.

Z matematického hľadiska - koľko chýb je v tejto fráze? Teraz úrady rozhodli, že sme sa rozhodli, že 5 sekúnd je príliš veľa, zmerajte signál za 0,5 sekundy.
obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre dobu merania 0,5 sek.

obr.4 Funkčné spektrum

Niečo nie je v poriadku! 10 Hz harmonická sa kreslí normálne, no namiesto 5 Hz paličky sa objavilo niekoľko nepochopiteľných harmonických. Pozeráme na internete, čo a ako ...

Hovorí sa, že na koniec vzorky treba pridať nuly a spektrum sa vykreslí normálne.

obr.5 Hotové nuly do 5 sekúnd

obr.6 Získali sme spektrum

Stále to nie je to, čo bolo za 5 sekúnd. Musíte sa vyrovnať s teóriou. Poďme do Wikipedia- zdroj poznania.

2. Spojitá funkcia a jej znázornenie Fourierovým radom

Matematicky je náš signál s trvaním T sekúnd určitou funkciou f(x) danou na intervale (0, T) (X je v tomto prípade čas). Takáto funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako súčet harmonických funkcií (sínus alebo kosínus) tvaru:

(1), kde:

k - trigonometrické číslo funkcie (počet harmonickej zložky, harmonické číslo) T - segment, kde je funkcia definovaná (trvanie signálu) Ak - amplitúda k-tej harmonickej zložky, θk - počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky

Čo znamená „reprezentovať funkciu ako súčet radu“? To znamená, že sčítaním hodnôt harmonických zložiek Fourierovho radu v každom bode dostaneme hodnotu našej funkcie v tomto bode.

(Presnejšie, štandardná odchýlka radu od funkcie f(x) bude mať tendenciu k nule, ale napriek štandardnej konvergencii sa od Fourierovho radu funkcie vo všeobecnosti nevyžaduje, aby k nemu bodovo konvergovala. Pozri https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Táto séria môže byť tiež napísaná ako:

(2), kde , k-tá komplexná amplitúda.

Vzťah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadrený nasledujúcimi vzorcami:

Všimnite si, že všetky tieto tri reprezentácie Fourierovho radu sú úplne ekvivalentné. Niekedy je pri práci s Fourierovými radmi vhodnejšie použiť exponenty imaginárneho argumentu namiesto sínusov a kosínusov, teda použiť Fourierovu transformáciu v komplexnej forme. Pre nás je však vhodné použiť vzorec (1), kde Fourierov rad je reprezentovaný ako súčet kosínusových vĺn s príslušnými amplitúdami a fázami. V každom prípade je nesprávne tvrdiť, že výsledkom Fourierovej transformácie reálneho signálu budú komplexné amplitúdy harmonických. Ako správne uvádza wiki, "Fourierova transformácia (ℱ) je operácia, ktorá mapuje jednu funkciu reálnej premennej na inú funkciu, tiež reálnej premennej."

Celkom: Matematickým základom spektrálnej analýzy signálov je Fourierova transformácia.

Fourierova transformácia nám umožňuje reprezentovať spojitú funkciu f(x) (signál) definovanú na segmente (0, T) ako súčet nekonečného počtu (nekonečného radu) goniometrických funkcií (sínus a/alebo kosínus) s určitými amplitúdami. a fázy, uvažované aj na segmente (0, T). Takáto séria sa nazýva Fourierova séria.

Zaznamenali sme niekoľko ďalších bodov, ktorých pochopenie je potrebné pre správnu aplikáciu Fourierovej transformácie na analýzu signálu. Ak vezmeme do úvahy Fourierov rad (súčet sínusoidov) na celej osi X, potom môžeme vidieť, že mimo segmentu (0, T) bude funkcia reprezentovaná Fourierovým radom periodicky opakovať našu funkciu.

Napríklad v grafe na obr. 7 je pôvodná funkcia definovaná na segmente (-T \ 2, + T \ 2) a Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu definovanú na celej osi x.

Je to preto, že samotné sínusoidy sú periodické funkcie a ich súčet bude periodickou funkciou.

obr.7 Znázornenie neperiodickej pôvodnej funkcie Fourierovým radom

takto:

Naša počiatočná funkcia je spojitá, neperiodická, definovaná na určitom segmente dĺžky T. Spektrum tejto funkcie je diskrétne, to znamená, že je prezentované ako nekonečný rad harmonických zložiek - Fourierov rad. V skutočnosti je určitá periodická funkcia definovaná Fourierovým radom, ktorý sa zhoduje s našou na segmente (0, T), ale táto periodicita nie je pre nás podstatná.

Periódy harmonických zložiek sú násobky segmentu (0, T), na ktorom je definovaná pôvodná funkcia f(x). Inými slovami, harmonické periódy sú násobky trvania merania signálu. Napríklad perióda prvej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T, na ktorom je definovaná funkcia f(x). Perióda druhej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T/2. A tak ďalej (pozri obr. 8).

obr.8 Periódy (frekvencie) harmonických zložiek Fourierovho radu (tu T=2π)

V súlade s tým sú frekvencie harmonických zložiek násobky 1/T. To znamená, že frekvencie harmonických zložiek Fk sa rovnajú Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do ∞, napríklad k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri nulovej frekvencii - konštantná zložka).

Nech je našou pôvodnou funkciou signál zaznamenaný pre T=1 sek. Potom sa perióda prvej harmonickej bude rovnať trvaniu nášho signálu T1=T=1 sec a frekvencia harmonickej je 1 Hz. Perióda druhej harmonickej sa bude rovnať trvaniu signálu vydelenému 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvencia je 2 Hz. Pre tretiu harmonickú T3=T/3s a frekvencia je 3Hz. Atď.

Krok medzi harmonickými je v tomto prípade 1 Hz.

Signál s trvaním 1 sek je teda možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 1 Hz. Na zvýšenie rozlíšenia 2-krát na 0,5 Hz je potrebné predĺžiť trvanie merania 2-krát - až 2 sekundy. Signál s trvaním 10 sekúnd je možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 0,1 Hz. Neexistujú žiadne iné spôsoby, ako zvýšiť frekvenčné rozlíšenie.

Existuje spôsob, ako umelo zvýšiť trvanie signálu pridaním núl do poľa vzoriek. Ale nezvyšuje skutočné frekvenčné rozlíšenie.

3. Diskrétne signály a diskrétna Fourierova transformácia

S rozvojom digitálnej techniky sa zmenili aj spôsoby ukladania nameraných dát (signálov). Ak predtým bolo možné signál zaznamenať na magnetofón a uložiť na pásku v analógovej forme, teraz sú signály digitalizované a uložené v súboroch v pamäti počítača ako súbor čísel (počet).

Obvyklá schéma merania a digitalizácie signálu je nasledovná.

obr.9 Schéma meracieho kanála

Signál z meracieho prevodníka prichádza do ADC počas časového úseku T. Vzorky signálu (vzorky) získané počas času T sú prenesené do počítača a uložené v pamäti.

obr.10 Digitalizovaný signál - N odčítaní prijatých v čase T

Aké sú požiadavky na parametre digitalizácie signálu? Zariadenie, ktoré konvertuje vstupný analógový signál na diskrétny kód (digitálny signál), sa nazýva analógovo-digitálny prevodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Jedným z hlavných parametrov ADC je maximálna vzorkovacia frekvencia (alebo vzorkovacia frekvencia, anglicky sample rate) - frekvencia odoberania vzoriek signálu súvisle v čase pri jeho vzorkovaní. Merané v hertzoch. ((Wiki))

Podľa Kotelnikovovej vety, ak má spojitý signál spektrum obmedzené frekvenciou Fmax, potom ho možno úplne a jednoznačne obnoviť z jeho diskrétnych vzoriek odoberaných v časových intervaloch. , t.j. s frekvenciou Fd ≥ 2*Fmax, kde Fd - vzorkovacia frekvencia; Fmax - maximálna frekvencia spektra signálu. Inými slovami, vzorkovacia frekvencia signálu (vzorkovacia frekvencia ADC) musí byť aspoň 2-násobkom maximálnej frekvencie signálu, ktorý chceme merať.

A čo sa stane, ak budeme čítať s nižšou frekvenciou, ako vyžaduje Kotelnikovova veta?

V tomto prípade nastáva efekt „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), pri ktorom sa vysokofrekvenčný signál po digitalizácii zmení na nízkofrekvenčný signál, ktorý v skutočnosti neexistuje. Na obr. 11 vysokofrekvenčná červená sínusoida je skutočný signál. Modrá sínusová vlna s nižšou frekvenciou je fiktívny signál vyplývajúci zo skutočnosti, že počas vzorkovacieho času uplynie viac ako polovica periódy vysokofrekvenčného signálu.

Ryža. 11. Výskyt falošného nízkofrekvenčného signálu, keď vzorkovacia frekvencia nie je dostatočne vysoká

Aby sa predišlo efektu aliasingu, je pred ADC - LPF (dolnopriepustný filter) umiestnený špeciálny antialiasingový filter, ktorý prepúšťa frekvencie pod polovicou vzorkovacej frekvencie ADC a odrezáva vyššie frekvencie.

Na výpočet spektra signálu z jeho diskrétnych vzoriek sa používa diskrétna Fourierova transformácia (DFT). Ešte raz poznamenávame, že spektrum diskrétneho signálu je "podľa definície" obmedzené frekvenciou Fmax, ktorá je menšia ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Preto môže byť spektrum diskrétneho signálu reprezentované súčtom konečného počtu harmonických, na rozdiel od nekonečného súčtu pre Fourierov rad spojitého signálu, ktorého spektrum môže byť neobmedzené. Podľa Kotelnikovovej vety musí byť maximálna harmonická frekvencia taká, aby mala aspoň dve vzorky, takže počet harmonických sa rovná polovici počtu vzoriek diskrétneho signálu. To znamená, že ak je vo vzorke N vzoriek, potom sa počet harmonických v spektre bude rovnať N/2.

Uvažujme teraz o diskrétnej Fourierovej transformácii (DFT).

Porovnanie s Fourierovým radom

vidíme, že sa zhodujú, až na to, že čas v DFT je diskrétny a počet harmonických je obmedzený na N/2 - polovicu počtu vzoriek.

Vzorce DFT sú zapísané v bezrozmerných celočíselných premenných k, s, kde k sú počty vzoriek signálu, s sú počty spektrálnych zložiek. Hodnota s udáva počet úplných kmitov harmonickej v perióde T (doba trvania merania signálu). Diskrétna Fourierova transformácia sa používa na zistenie amplitúd a fáz harmonických číselne, t.j. "na počítači"

Vráťme sa k výsledkom získaným na začiatku. Ako už bolo spomenuté vyššie, pri rozširovaní neperiodickej funkcie (náš signál) do Fourierovho radu, výsledný Fourierov rad vlastne zodpovedá periodickej funkcii s periódou T. (obr. 12).

obr.12 Periodická funkcia f(x) s periódou Т0, s periódou merania Т>T0

Ako vidno na obr. 12, funkcia f(x) je periodická s periódou Т0. Avšak vzhľadom na skutočnosť, že trvanie meranej vzorky T sa nezhoduje s periódou funkcie T0, funkcia získaná ako Fourierov rad má v bode T diskontinuitu. V dôsledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahujú veľké množstvo vysokofrekvenčných harmonických. Ak by sa trvanie meranej vzorky T zhodovalo s periódou funkcie T0, potom by v spektre získanom po Fourierovej transformácii bola prítomná iba prvá harmonická (sínusoida s periódou rovnou dĺžke trvania vzorky), pretože funkcia f (x) je sínusoida.

Inými slovami, program DFT "nevie", že náš signál je "kúsok sínusoidy", ale snaží sa reprezentovať periodickú funkciu ako sériu, ktorá má medzeru v dôsledku nekonzistentnosti jednotlivých častí sínusoida.

V dôsledku toho sa v spektre objavujú harmonické, ktoré by celkovo mali predstavovať formu funkcie vrátane tejto diskontinuity.

Aby sa teda získalo „správne“ spektrum signálu, ktoré je súčtom niekoľkých sínusoidov s rôznymi periódami, je potrebné, aby sa na periódu merania signálu zmestilo celé číslo periód každej sínusoidy. V praxi je možné túto podmienku splniť počas dostatočne dlhého trvania merania signálu.

Obr.13 Príklad funkcie a spektra signálu kinematickej chyby prevodovky

Pri kratšom trvaní bude obrázok vyzerať „horšie“:

Obr.14 Príklad funkcie a spektra signálu vibrácií rotora

V praxi môže byť ťažké pochopiť, kde sú „skutočné komponenty“ a kde sú „artefakty“ spôsobené nenásobnosťou periód komponentov a trvaním vzorky signálu alebo „skokmi a prerušeniami“ priebeh. Samozrejme, slová „skutočné komponenty“ a „artefakty“ nie sú nadarmo citované. Prítomnosť mnohých harmonických na grafe spektra neznamená, že náš signál z nich skutočne „pozostáva“. Je to ako myslieť si, že číslo 7 "pozostáva" z čísel 3 a 4. Číslo 7 možno znázorniť ako súčet čísel 3 a 4 - to je správne.

Taký je aj náš signál... alebo skôr ani nie „náš signál“, ale periodická funkcia zostavená opakovaním nášho signálu (vzorkovanie) môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických (sínusoidy) s určitými amplitúdami a fázami. Ale v mnohých prípadoch dôležitých pre prax (pozri obrázky vyššie), je skutočne možné dať do súvislosti získané harmonické v spektre so skutočnými procesmi, ktoré sú svojou povahou cyklické a významne prispievajú k tvaru signálu.

Niektoré výsledky

1. Skutočný meraný signál, trvanie T sec, digitalizovaný ADC, tj reprezentovaný súborom diskrétnych vzoriek (N kusov), má diskrétne neperiodické spektrum, reprezentované súborom harmonických (N/2 kusov ).

2. Signál je reprezentovaný množinou reálnych hodnôt a jeho spektrum je reprezentované množinou reálnych hodnôt. Harmonické frekvencie sú kladné. To, že pre matematikov je pohodlnejšie reprezentovať spektrum v komplexnej forme pomocou záporných frekvencií, neznamená, že „je to správne“ a „takto by sa to malo robiť vždy“.

3. Signál meraný v časovom intervale T je určený iba v časovom intervale T. Čo sa stalo predtým, ako sme začali merať signál, a čo sa stane potom - to veda nie je známa. A v našom prípade - to nie je zaujímavé. DFT časovo obmedzeného signálu dáva svoje "skutočné" spektrum v tom zmysle, že za určitých podmienok umožňuje vypočítať amplitúdu a frekvenciu jeho zložiek.

Použité materiály a iné užitočné materiály.

FourierScope je program na konštrukciu rádiových signálov a ich spektrálnu analýzu. Graph je open source program na vytváranie matematických grafov. DISKRÉTNA FOURIEROVÁ TRANSFORMÁCIA – AKO SA TO ROBÍ Diskrétna Fourierova transformácia (DFT)