nazýva sa ľubovoľný súbor dvoch alebo viacerých lineárnych nerovností obsahujúcich rovnakú neznámu veličinu
Tu sú príklady takýchto systémov:
Naším riešením je priesečníkový interval dvoch lúčov. Preto je riešením tejto nerovnosti všetko X nachádza medzi dvoma a ôsmimi.
odpoveď: X
Aplikácia tohto typu mapovania riešenia sústavy nerovníc je niekedy tzv strešná metóda.
Definícia: Priesečník dvoch množín ALE A IN sa nazýva taká tretia množina, ktorá zahŕňa všetky prvky zahrnuté v a v ALE a v IN. To je význam priesečníka množín ľubovoľnej povahy. Teraz podrobne uvažujeme o číselných množinách, preto pri hľadaní lineárnych nerovností sú takýmito množinami lúče - spolusmerované, protismerované atď.
Poďme zistiť reálne príklady hľadanie lineárnych sústav nerovníc, ako určiť priesečník množín riešení k jednotlivým nerovniciam obsiahnutým v sústave.
Vypočítať systém nerovností:
Položme dve siločiary pod seba. Navrch uvádzame tieto hodnoty X, ktoré napĺňajú prvú nerovnosť X>7 , a na dne - ktoré fungujú ako riešenie druhej nerovnosti X>10 Korelujeme výsledky číselných radov, zistíme, že obe nerovnosti budú uspokojené pre X>10.
Odpoveď: (10;+∞).
Robíme to analogicky s prvou vzorkou. Na zadanú číselnú os nakreslite všetky tieto hodnoty X pre ktoré prvý existuje systémová nerovnosť a na druhej číselnej osi umiestnenej pod prvou všetky tieto hodnoty X, pre ktorú je splnená druhá nerovnosť systému. Porovnajme tieto dva výsledky a určme, že obe nerovnosti budú súčasne splnené pre všetky hodnoty X umiestnené medzi 7 a 10, berúc do úvahy znamienka, dostaneme 7<x≤10
Odpoveď: (7; 10].
Nasledujúce sú vyriešené rovnakým spôsobom. systémy nerovností.
Riešenie nerovnosti s dvoma premennými, a ešte viac sústavy nerovností s dvoma premennými, sa zdá byť celkom výzvou. Existuje však jednoduchý algoritmus, ktorý pomáha ľahko a bez námahy riešiť zdanlivo veľmi zložité problémy tohto druhu. Skúsme na to prísť.
Predpokladajme, že máme nerovnosť s dvoma premennými jedného z nasledujúcich typov:
y > f(x); y > f(x); r< f(x); y ≤ f(x).
Ak chcete zobraziť množinu riešení takejto nerovnosti v rovine súradníc, postupujte takto:
1. Zostrojíme graf funkcie y = f(x), ktorý rozdelí rovinu na dve oblasti.
2. Vyberieme si ktorúkoľvek zo získaných oblastí a zvažujeme v nej ľubovoľný bod. Pre tento bod skontrolujeme splniteľnosť pôvodnej nerovnosti. Ak sa v dôsledku kontroly získa správna číselná nerovnosť, potom usúdime, že pôvodná nerovnosť je splnená v celej oblasti, do ktorej patrí vybraný bod. Množina riešení nerovnosti je teda oblasť, do ktorej patrí vybraný bod. Ak sa v dôsledku kontroly získa nesprávna číselná nerovnosť, potom množina riešení nerovnosti bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.
3.
Ak je nerovnosť striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), nie sú zahrnuté v množine riešení a hranica je znázornená bodkovanou čiarou. Ak nerovnosť nie je striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), sú zahrnuté v množine riešení tejto nerovnosti a hranica je v tomto prípade znázornené ako plná čiara.
Teraz sa pozrime na niekoľko problémov na túto tému.
Úloha 1.
Aká množina bodov je daná nerovnicou x · y ≤ 4?
Riešenie.
1) Zostavíme graf rovnice x · y = 4. Aby sme to dosiahli, najprv ho transformujeme. Je zrejmé, že x sa v tomto prípade nezmení na 0, pretože inak by sme mali 0 · y = 4, čo nie je pravda. Takže našu rovnicu môžeme rozdeliť x. Dostaneme: y = 4/x. Graf tejto funkcie je hyperbola. Rozdeľuje celú rovinu na dve oblasti: jednu medzi dvoma vetvami hyperboly a tú mimo nich.
2) Vyberieme ľubovoľný bod z prvej oblasti, nech je to bod (4; 2).
Kontrola nerovnosti: 4 2 ≤ 4 je nepravda.
To znamená, že body tohto regiónu nespĺňajú pôvodnú nerovnosť. Potom môžeme konštatovať, že množina riešení nerovnice bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.
3) Keďže nerovnosť nie je striktná, hraničné body, teda body grafu funkcie y = 4/x, nakreslíme plnou čiarou.
Množinu bodov, ktorá definuje pôvodnú nerovnosť, vyfarbíme žltou farbou (obr. 1).
Úloha 2.
Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
(x2 + y2 ≤ 9.
Riešenie.
Na začiatok vytvoríme grafy nasledujúcich funkcií (obr. 2):
y \u003d x 2 + 2 - parabola,
y + x = 1 - priamka
x 2 + y 2 \u003d 9 je kruh.
1) y > x 2 + 2.
Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 5 > 0 2 + 2 je správne.
Preto všetky body ležiace nad danou parabolou y = x 2 + 2 vyhovujú prvej nerovnici sústavy. Zafarbíme ich na žlto.
2) y + x > 1.
Zoberieme bod (0; 3), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 3 + 0 > 1 je správne.
Preto všetky body ležiace nad priamkou y + x = 1 vyhovujú druhej nerovnici sústavy. Vyfarbíme ich na zeleno.
3) x2 + y2 ≤ 9.
Zoberieme bod (0; -4), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 9.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 je nesprávna.
Preto všetky body ležiace mimo kružnice x 2 + y 2 = 9, 
nespĺňajú tretiu nerovnosť systému. Potom môžeme konštatovať, že všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 9 spĺňajú tretiu nerovnosť systému. Namaľujeme ich fialovým tieňovaním.
Nezabudnite, že ak je nerovnosť prísna, potom by mala byť zodpovedajúca hraničná čiara nakreslená bodkovanou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 3).
(obr. 4).
Úloha 3.
Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom:
(x2 + y2 < 16;
(x > -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.
Riešenie.
Na začiatok vytvoríme grafy nasledujúcich funkcií: 
x 2 + y 2 \u003d 16 - kruh,
x \u003d -y - rovné
x 2 + y 2 \u003d 4 - kruh (obr. 5).
Teraz sa zaoberáme každou nerovnosťou samostatne.
1) x2 + y2 ≤ 16.
Zoberieme bod (0; 0), ktorý leží vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 je správne.
Preto všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16 spĺňajú prvú nerovnosť systému.
Vyfarbíme ich červenou farbou. 
Zoberieme bod (1; 1), ktorý leží nad grafom funkcie.
Skontrolujeme nerovnosť: 1 ≥ -1 - pravda.
Preto všetky body ležiace nad priamkou x = -y spĺňajú druhú nerovnosť sústavy. Vyfarbíme ich na modro.
3) x2 + y2 ≥ 4.
Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 4.
Skontrolujeme nerovnosť: 0 2 + 5 2 ≥ 4 je pravda.
Preto všetky body mimo kružnice x 2 + y 2 = 4 spĺňajú tretiu nerovnosť sústavy. Zafarbíme ich na modro.
V tomto probléme nie sú všetky nerovnosti striktné, čo znamená, že všetky hranice nakreslíme plnou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 6).
Oblasť záujmu je oblasť, kde sa všetky tri farebné oblasti navzájom pretínajú. (obr. 7).
Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť systém nerovností s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
V článku zvážime riešenie nerovností. Hovorme na rovinu ako vybudovať riešenie nerovností s jasnými príkladmi!
Predtým, ako sa budeme zaoberať riešením nerovníc s príkladmi, poďme sa zaoberať základnými pojmami.
Úvod do nerovností
nerovnosť sa nazýva výraz, v ktorom sú funkcie spojené vzťahovými znakmi >, . Nerovnosti môžu byť číselné aj abecedné.
Nerovnice s dvoma vzťahovými znakmi sa nazývajú dvojité, s tromi - trojité atď. Napríklad:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nerovnosti obsahujúce znamienko > alebo alebo nie sú prísne.
Riešenie nerovnosti je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú platí táto nerovnosť.
"Vyriešte nerovnosť“ znamená, že musíte nájsť množinu všetkých jeho riešení. Sú rôzne metódy riešenia nerovností. Pre riešenia nerovností použite číselnú os, ktorá je nekonečná. Napríklad, riešenie nerovnosti x > 3 je interval od 3 do + a číslo 3 nie je zahrnuté v tomto intervale, takže bod na priamke je označený prázdnym kruhom, pretože nerovnosť je prísna. 
+
Odpoveď bude: x (3; +).
Hodnota x=3 nie je zahrnutá v množine riešení, preto je zátvorka okrúhla. Znak nekonečna je vždy uzavretý v zátvorke. Znak znamená "patriaci".
Zvážte, ako vyriešiť nerovnosti pomocou iného príkladu so znamienkom:
x2
-
+
Hodnota x=2 je zahrnutá v množine riešení, takže hranatá zátvorka a bod na priamke sú označené vyplneným kruhom.
Odpoveď bude: x ; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
pozri tiež Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania, Kanonická forma úloh lineárneho programovania
Systém obmedzení pre takýto problém pozostáva z nerovností v dvoch premenných:
a účelová funkcia má tvar F = C 1 X + C 2 r, ktorý sa má maximalizovať.
Odpovedzme na otázku: aké dvojice čísel ( X; r) sú riešenia sústavy nerovností, t.j. vyhovujú každej z nerovností súčasne? Inými slovami, čo to znamená riešiť systém graficky?
Najprv musíte pochopiť, aké je riešenie jednej lineárnej nerovnosti s dvoma neznámymi.
Vyriešiť lineárnu nerovnosť s dvoma neznámymi znamená určiť všetky dvojice hodnôt neznámych, pre ktoré je nerovnosť splnená.
Napríklad nerovnosť 3 X
– 5r≥ 42 uspokojí dvojice ( X , r): (100, 2); (3, –10) atď. Problémom je nájsť všetky takéto dvojice.
Zvážte dve nerovnosti: sekera
+ podľa≤ c, sekera + podľa≥ c. Rovno sekera + podľa = c rozdelí rovinu na dve polroviny tak, aby súradnice bodov jednej z nich vyhovovali nerovnosti sekera + podľa >c a ďalšia nerovnosť sekera + +podľa <c.
Skutočne, vezmite bod so súradnicou X = X 0; potom bod ležiaci na priamke s úsečkou X 0 , má ordinát
Pre istotu a<0, b>0,
c>0. Všetky body s osou x X 0 vyššie P(napr. bodka M), mať yM>r 0 a všetky body pod bodom P, s osou x X 0, mať yN<r 0 Pokiaľ ide o X 0 je ľubovoľný bod, potom budú na jednej strane čiary vždy body, pre ktoré sekera+ podľa > c, tvoriaci polrovinu, a na druhej strane body, pre ktoré sekera + podľa< c.
Obrázok 1
Znamienko nerovnosti v polrovine závisí od čísel a, b , c.
Z toho vyplýva nasledujúca metóda pre grafické riešenie sústav lineárnych nerovníc v dvoch premenných. Na vyriešenie systému potrebujete:
- Pre každú nerovnosť zapíšte rovnicu zodpovedajúcu danej nerovnosti.
- Zostrojte čiary, ktoré sú grafmi funkcií daných rovnicami.
- Pre každú priamku určte polrovinu, ktorá je daná nerovnicou. Aby ste to urobili, vezmite ľubovoľný bod, ktorý neleží na priamke, dosaďte jeho súradnice do nerovnosti. ak je nerovnica pravdivá, potom polrovina obsahujúca zvolený bod je riešením pôvodnej nerovnosti. Ak je nerovnosť nepravdivá, potom polrovina na druhej strane priamky je množinou riešení tejto nerovnosti.
- Na vyriešenie sústavy nerovníc je potrebné nájsť oblasť priesečníka všetkých polrovín, ktoré sú riešením každej nerovnosti v sústave.
Táto oblasť sa môže ukázať ako prázdna, potom systém nerovností nemá riešenia, je nekonzistentný. Inak je vraj systém konzistentný.
Riešením môže byť konečné číslo a nekonečná množina. Oblasť môže byť uzavretý polygón alebo môže byť neobmedzená.
Pozrime sa na tri relevantné príklady.
Príklad 1. Graficky vyriešte sústavu:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2r + 5 ≤ 0.
- uvažujme rovnice x+y–1=0 a –2x–2y+5=0 zodpovedajúce nerovniciam;
- zostrojme priame čiary dané týmito rovnicami.
Obrázok 2
Definujme polroviny dané nerovnicami. Vezmite ľubovoľný bod, nech (0; 0). Zvážte X+ y- 1 0 dosadíme bod (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. teda v polrovine, kde leží bod (0; 0), X + r –
1 ≤ 0, t.j. polrovina ležiaca pod priamkou je riešením prvej nerovnosti. Dosadením tohto bodu (0; 0) do druhého dostaneme: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.j. v polrovine, kde leží bod (0; 0), -2 X – 2r+ 5≥ 0 a dostali sme otázku, kde -2 X
– 2r+ 5 ≤ 0 teda v inej polrovine - v tej nad priamkou.
Nájdite priesečník týchto dvoch polrovín. Čiary sú rovnobežné, teda roviny sa nikde nepretínajú, čiže sústava týchto nerovníc nemá riešenia, je nesúrodá.
Príklad 2. Nájdite graficky riešenia sústavy nerovníc: 
Obrázok 3
1. Napíšte rovnice zodpovedajúce nerovniciam a zostrojte priamky.
X + 2r– 2 = 0
| X | 2 | 0 |
| r | 0 | 1 |
r – X – 1 = 0
| X | 0 | 2 |
| r | 1 | 3 |
r + 2 = 0;
r = –2.
2. Po výbere bodu (0; 0) určíme znamienka nerovností v polrovinách:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.j. X + 2r– 2 ≤ 0 v polrovine pod priamkou;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.j. r –X– 1 ≤ 0 v polrovine pod priamkou;
0 + 2 = 2 ≥ 0, t.j. r+ 2 ≥ 0 v polrovine nad čiarou.
3. Priesečník týchto troch polrovín bude oblasť, ktorá je trojuholníkom. Nie je ťažké nájsť vrcholy oblasti ako priesečníky zodpovedajúcich čiar
Touto cestou, ALE(–3; –2), IN(0; 1), OD(6; –2).
Uvažujme ešte jeden príklad, v ktorom výsledná doména riešenia systému nie je obmedzená.