Inštrukcie

Nájdite rozsah funkcie. Napríklad funkcia sin (x) je definovaná v celom intervale od -∞ do + ∞ a funkcia 1 / x je definovaná od -∞ do + ∞, s výnimkou bodu x = 0.

Definujte oblasti kontinuity a body zlomu. Zvyčajne je funkcia spojitá v tej istej oblasti, kde je definovaná. Ak chcete zistiť diskontinuity, počítajte, keď sa argument približuje k izolovaným bodom v rámci definičnej domény. Napríklad funkcia 1 / x má tendenciu k nekonečnu, keď x → 0 +, a k mínus nekonečnu, keď x → 0-. To znamená, že v bode x = 0 má diskontinuitu druhého druhu.
Ak sú limity v bode diskontinuity konečné, ale nie rovnaké, potom ide o diskontinuitu prvého druhu. Ak sú rovnaké, potom sa funkcia považuje za spojitú, hoci v izolovanom bode nie je definovaná.

Nájdite vertikálne asymptoty, ak nejaké existujú. Tu vám pomôžu výpočty z predchádzajúceho kroku, pretože vertikálna asymptota je takmer vždy v bode diskontinuity druhého druhu. Niekedy však nie sú z definičnej oblasti vylúčené jednotlivé body, ale celé intervaly bodov a na okrajoch týchto intervalov sa potom môžu nachádzať vertikálne asymptoty.

Skontrolujte, či má funkcia špeciálne vlastnosti: paritu, nepárnu paritu a periodicitu.
Funkcia bude párna, ak pre ľubovoľné x v obore f (x) = f (-x). Napríklad cos (x) a x ^ 2 sú párne funkcie.

Periodicita je vlastnosť, ktorá hovorí, že existuje určité číslo T, nazývané perióda, ktoré pre ľubovoľné x f (x) = f (x + T). Napríklad všetky základné goniometrické funkcie (sínus, kosínus, tangens) sú periodické.

Nájdite body. Ak to chcete urobiť, vypočítajte deriváciu danej funkcie a nájdite tie hodnoty x, kde zmizne. Napríklad funkcia f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 má deriváciu g (x) = 3x ^ 2 + 18x, ktorá zaniká pri x = 0 a x = -6.

Ak chcete určiť, ktoré extrémne body sú maximá a ktoré minimá, sledujte zmenu znamienka derivácie v nájdených nulách. g (x) zmení znamienko z plus v bode x = -6 a v bode x = 0 späť z mínus na plus. V dôsledku toho má funkcia f (x) minimum v prvom bode a v druhom bode.

Našli ste teda oblasti monotónnosti: f (x) monotónne narastá na intervale -∞; -6, monotónne klesá o -6; 0 a opäť rastie o 0; + ∞.

Nájdite druhú deriváciu. Jeho korene ukážu, kde bude graf danej funkcie konvexný a kde konkávny. Napríklad druhá derivácia funkcie f (x) bude h (x) = 6x + 18. Zanikne pri x = -3, čím sa znamienko zmení z mínus na plus. Preto bude graf f (x) pred týmto bodom konvexný, za ním konkávny a tento bod bude sám o sebe inflexným bodom.

Funkcia môže mať okrem vertikálnych asymptot aj iné asymptoty, ale iba vtedy, ak je zahrnutá vo svojom definičnom obore. Aby ste ich našli, vypočítajte limit f (x) ako x → ∞ alebo x → -∞. Ak je konečný, potom ste našli horizontálnu asymptotu.

Šikmá asymptota je priamka v tvare kx + b. Ak chcete nájsť k, vypočítajte limit f (x) / x ako x → ∞. Ak chcete nájsť b - limit (f (x) - kx) pre rovnaké x → ∞.

Jednou z najdôležitejších úloh diferenciálneho počtu je vývoj bežné príkladyštúdie správania funkcií.

Ak je funkcia y = f (x) spojitá na intervale a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 na intervale (a, b), potom y = f (x) rastie o (f "(x) 0) Ak je funkcia y = f (x) spojitá na intervale a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a, b), potom y = f (x) klesá o (f "(x) 0 )

Intervaly, v ktorých funkcia neklesá alebo nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Charakter monotónnosti funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zaniká alebo má diskontinuitu, sa nazývajú kritické.

Veta 1 (1. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech je funkcia y = f (x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ> 0 také, že funkcia je spojitá na intervale, diferencovateľná na intervale (x 0 -δ, x 0) u ( x 0, x 0 + δ) a jeho derivácia si zachováva konštantné znamienko na každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ, x 0) a (x 0, x 0 + δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 sa vykoná f "(x)> 0, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko od mínus do plus (napravo od x 0 vykoná f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.

Veta 2 (nevyhnutné kritérium pre lokálny extrém).

Ak má funkcia y = f (x) extrém v prúde x = x 0, potom buď f ’(x 0) = 0, alebo f’ (x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, v ktorých je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého z bodov a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určite súradnice krajných bodov, na tento účel sa do tejto funkcie nahradia hodnoty kritických bodov. Pomocou dostatočných podmienok pre extrém vyvodzujte príslušné závery.

Príklad 18. Preskúmajte extrémnu funkciu y = x 3 -9x 2 + 24x

Riešenie.
1) y" = 3x 2-18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; teda okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne iné kritické body.
3) Znamienko derivácie y "= 3 (x-2) (x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x = 2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode bodom x = 4 - od mínus do plus.
4) V bode x = 2 má funkcia maximum y max = 20 a v bode x = 4 - minimum y min = 16.

Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech f "(x 0) a v bode x 0 je f" "(x 0). Potom ak f" "(x 0)> 0, potom x 0 je minimálny bod a ak f" "(x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmente môže funkcia y = f (x) dosiahnuť najmenšie (y naim) alebo najväčšie (y naib) hodnoty buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a; b), alebo v konce segmentu.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie y = f (x) na segmente:

1) Nájdite f "(x).
2) Nájdite body, v ktorých f "(x) = 0 alebo f" (x) - neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y = f (x) v bodoch získaných v kroku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte najväčší a najmenší z nich: sú najväčšie (y naib) a najmenšie (y naim) hodnoty funkcie v segmente.

Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y = x 3 -3x 2 -45 + 225 na úsečke.

1) Na segmente máme y = 3x 2 -6x-45
2) Derivácia y "existuje pre všetky x. Nájdite body, v ktorých y" = 0; dostaneme:
3x 2-6x-45 = 0
x 2-2x-15 = 0
xi = -3; x 2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0 y = 225, x = 5 y = 50, x = 6 y = 63
Do segmentu patrí iba bod x = 5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže y naib = 225, y naim = 50.

Skúmanie funkcie na konvexnosti

Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je konvexný smerom nahor, druhý - konvexný smerom nadol.

Funkcia y = f (x) je na úsečke spojitá a diferencovateľná v intervale (a; b), na tejto úsečke sa nazýva konvexná nahor (nadol), ak pre axb jej graf neleží nad (nie pod) dotyčnicou. nakreslený v ľubovoľnom bode M 0 (x 0; f (x 0)), kde axb.

Veta 4. Nech funkcia y = f (x) má druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom ak je na intervale (a; b) splnená nerovnosť f "" (x) 0, potom je funkcia na segmente konvexná; ak je splnená nerovnosť f "" (x) 0 na intervale (a; b), potom je funkcia konvexná o.

Veta 5. Ak má funkcia y = f (x) druhú deriváciu na intervale (a; b) a ak pri prechode bodom x 0 mení znamienko, potom M (x 0; f (x 0)) je inflexný bod.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:

1) Nájdite body, v ktorých f "" (x) neexistuje alebo zaniká.
2) Preskúmajte znamienko f "" (x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Urobte záver na základe vety 4.

Príklad 20. Nájdite extrém a inflexné body grafu funkcie y = 3x 4 -8x 3 + 6x 2 +12.

Máme f "(x) = 12x 3 -24x 2 + 12x = 12x (x-1) 2. Je zrejmé, že f" (x) = 0 pre x 1 = 0, x 2 = 1. Derivácia pri prechode bodom x = 0 mení znamienko z mínus na plus a pri prechode bodom x = 1 nemení znamienko. Preto x = 0 je minimálny bod (v min = 12) a v bode x = 1 neexistuje extrém. Ďalej zisťujeme ... Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f "" (x)> 0, na intervale (; 1) máme f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x = je inflexný bod grafu funkcie (prechod z konvexnosti smerom nadol k konvexnosti smerom nahor) a x = 1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti smerom nahor k konvexnosti smerom nadol). Ak x =, potom y =; ak, potom x = 1, y = 13.

Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu

I. Ak y = f (x) ako x → a, potom x = a je vertikálna asymptota.
II. Ak y = f (x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y = A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a rovná sa b, potom y = b je horizontálna asymptota; ak, prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y = kx + b.

Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie

1)
2)
3)
4) Šikmá asymptotná rovnica má tvar

Schéma štúdia funkcie a konštrukcia jej grafu

I. Nájdite definičný obor funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite body možného extrému.
V. Nájdite kritické body.
Vi. Pomocou pomocnej číslice preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti nárastu a poklesu funkcie, nájdite smer konvexnosti grafu, body extrémov a body inflexie.
Vii. Zostavte graf, berúc do úvahy výskum uskutočnený v odsekoch 1-6.

Príklad 22: Nakreslite funkčný graf podľa vyššie uvedenej schémy

Riešenie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x = 1.
II. Takže rovnica x 2 + 1 = 0 nemá žiadne skutočné korene, potom graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0; -1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Preskúmajme správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x = 1. Pretože y → ∞ ako x → -∞, y → + ∞ ako x → 1+, priamka x = 1 je vertikálna asymptota grafu funkcie.
Ak x → + ∞ (x → -∞), potom y → + ∞ (y → -∞); preto graf nemá horizontálnu asymptotu. Ďalej z existencie limitov

Vyriešením rovnice x 2 -2x-1 = 0 dostaneme dva body možného extrému:
x 1 = 1-√2 a x 2 = 1 + √2

V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:

Keďže f "" (x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
Vi. Preskúmajme znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 = 1-√2 a x 2 = 1 + √2, rozdeľte oblasť existencie funkcie na intervaly (-∞; 1-√2), (1-√2; 1 + √2) a (1 + √2; + ∞).

V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie bude napísaná takto: +, -, +.
Vidíme, že funkcia rastie na (-∞; 1-√2), klesá na (1-√2; 1 + √2) a opäť rastie na (1 + √2; + ∞). Extrémne body: maximum pri x = 1-√2 a f (1-√2) = 2-2√2 minimum pri x = 1 + √2 a f (1 + √2) = 2 + 2√2. Na (-∞; 1) je graf konvexný smerom nahor a na (1; + ∞) - nadol.
VII Zostavme si tabuľku zo získaných hodnôt

VIII Na základe získaných údajov zostavíme náčrt funkčného grafu

Štúdium funkcie sa uskutočňuje podľa jasnej schémy a vyžaduje od študenta solídne znalosti základných matematických pojmov, ako je definičný obor a hodnoty, spojitosť funkcie, asymptota, extrémne body, parita, periodicita atď. Žiak musí voľne diferencovať funkcie a riešiť rovnice, ktoré sú niekedy veľmi zložité.

To znamená, že táto úloha testuje významnú vrstvu vedomostí, pričom akákoľvek medzera sa stane prekážkou pri získaní správneho riešenia. Obzvlášť často vznikajú ťažkosti s konštrukciou grafov funkcií. Táto chyba okamžite upúta pozornosť učiteľa a môže vám veľmi pokaziť známku, aj keď všetko ostatné bolo urobené správne. Tu nájdete úlohy výskumu funkcií online: študijné príklady, sťahovanie riešení, objednávanie úloh.

Preskúmajte funkciu a vytvorte graf: príklady a riešenia online

Pripravili sme pre vás množstvo hotových štúdií funkcií, platených v reshebniku aj bezplatných v sekcii Príklady štúdií funkcií. Na základe týchto vyriešených úloh sa môžete podrobne zoznámiť s metodológiou vykonávania takýchto úloh, analogicky vykonať svoj výskum.

Ponúkame hotové príklady kompletného štúdia a vykreslenia funkcie najbežnejších typov: polynómy, zlomkové racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, goniometrické funkcie. Ku každému riešenému problému je pripojený hotový graf so zvýraznenými kľúčovými bodmi, asymptotami, maximami a minimami, riešenie sa vykonáva podľa algoritmu na štúdium funkcie.

Vyriešené príklady vám budú každopádne dobrým pomocníkom, keďže pokrývajú najpopulárnejšie typy funkcií. Ponúkame vám stovky už vyriešených úloh, no ako viete, matematických funkcií je na svete nekonečne veľa a učitelia sú veľkí majstri vo vymýšľaní čoraz záludnejších úloh pre chudobných žiakov. Takže, milí študenti, kvalifikovaná pomoc vám neublíži.

Riešenie úloh pre štúdium funkcie na objednávku

V tomto prípade vám naši partneri ponúknu inú službu – plnohodnotné štúdium online objednať. Úloha bude dokončená za vás v súlade so všetkými požiadavkami na algoritmus na riešenie takýchto problémov, čo vášho učiteľa veľmi poteší.

Urobíme pre vás úplnú štúdiu funkcie: nájdeme doménu a rozsah hodnôt, preskúmame spojitosť a diskontinuitu, nastavíme paritu, skontrolujeme periodicitu vašej funkcie, nájdeme priesečníky so súradnicovými osami. A samozrejme ďalej pomocou diferenciálneho počtu: nájsť asymptoty, vypočítať extrémy, inflexné body, zostaviť samotný graf.

V tomto článku zvážime schému na štúdium funkcie a tiež uvedieme príklady skúmania extrémov, monotónnosti a asymptot tejto funkcie.

Schéma

1. Oblasť existencie (ODZ) funkcie.
2. Priesečník funkcie (ak existuje) so súradnicovými osami, znamienka funkcie, parita, periodicita.
3. Body zlomu (ich druh). Kontinuita. Asymptoty sú vertikálne.
4. Monotónnosť a extrémne body.
5. Inflexné body. Konvexné.
6. Vyšetrovanie funkcie v nekonečne pre asymptoty: horizontálne a šikmé.
7. Zostavenie grafu.

Test monotónnosti

Veta. Ak je funkcia g nepretržite zapnuté diferencované na (a; b) a g ’(x) ≥ 0 (g’ (x) ≤0), xє (a; b), potom g zvýšenie (zníženie) o .

Príklad:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xєR

y = x 2 + 6 x + 5.

Nájdite intervaly konštantných znakov y '... Pokiaľ ide o y ' je elementárna funkcia, potom môže meniť znamienka len v bodoch, kde sa mení na nulu alebo kde neexistuje. Jej ODZ: xєR.

Nájdite body, kde sa derivácia rovná 0 (nule):

y'= 0;

x = -1; -5.

takze r rastie na (-∞; -5] a ďalej [-jeden; + ∞), y klesajúci na .

Výskum extrémov

T. x 0 nazývaný maximálny bod (max) na súprave A funkcie g potom, keď hodnotu v tomto bode prevezme funkcia najväčšia g (x 0) ≥ g (x), xєА.

T. x 0 nazývaný minimálny bod (min) funkcie g na scéne A potom, keď sa v tomto bode zoberie funkcia hodnota najmenšej g (x 0) ≤ g (x), xєА.

Na scéne A maximálne (max) a minimálne (min) body sa nazývajú extrémne body g... Takéto extrémy sa na scéne nazývajú aj absolútne extrémy .

Ak x 0- extrémny bod funkcie g v niektorom z jeho susedstva teda x 0 nazývaný bod lokálneho alebo lokálneho extrému (max alebo min) funkcie g.

Veta (nevyhnutná podmienka). Ak x 0- extrémny bod (lokálnej) funkcie g, potom derivácia neexistuje alebo sa v tomto bode rovná 0 (nule).

Definícia. Body s neexistujúcou alebo nulovou (nulovou) deriváciou sa nazývajú kritické. Práve tieto body sú podozrivé z extrému.

Veta (dostatočná podmienka č. 1). Ak je funkcia g súvislé v určitej oblasti, t.j. x 0 a znamienko sa mení cez tento bod, keď derivácia prechádza, potom je tento bod takzvaným extrémom g.

Veta (dostatočná podmienka č. 2). Nech je funkcia v niektorej oblasti bodu diferencovateľná dvakrát a g '= 0 a g' '> 0 (g' '< 0) potom tento bod je bod maxima (max) alebo minima (min) funkcie.

Test vydutia

Funkcia sa nazýva konvexná nadol (alebo konkávna) na intervale (a, b) keď sa graf funkcie nenachádza vyššie ako sečnica v intervale pre ľubovoľné x s (a, b) ktorý prechádza týmito bodmi .

Funkcia bude konvexná striktne smerom nadol o (a, b), ak - graf leží pod sečnicou v intervale.

Funkcia sa nazýva konvexná nahor (konvexná) na intervale (a, b) ak pre nejaký m okuliare S (a, b) graf funkcie na intervale neleží nižšie ako sečna prechádzajúca cez úsečky v týchto bodoch .

Funkcia bude striktne konvexná smerom nahor o (a, b), ak - graf na intervale leží nad sečnicou.

Ak je funkcia v nejakej oblasti bodu nepretržité a cez t. x 0 keď funkcia zmení konvexnosť, tento bod sa nazýva inflexný bod funkcie.

Štúdia na asymptoty

Definícia.Čiara sa nazýva asymptota g (x) ak sa v nekonečnej vzdialenosti od začiatku súradníc k nemu priblíži bod na grafe funkcie: d (M, 1).

Asymptoty môžu byť vertikálne, horizontálne a šikmé.

Vertikálna čiara s rovnicou x = x 0 bude asymptota zvislého grafu funkcie g ak je v bode x 0 nekonečná diskontinuita, to znamená, že aspoň jedna ľavá alebo pravá hranica v tomto bode je nekonečno.

Vyšetrovanie funkcie na segmente pre najmenšiu a najväčšiu hodnotu

Ak je funkcia nepretržite zapnutá , potom podľa Weierstrassovej vety existuje maximálna hodnota a najmenšia hodnota na tomto segmente, to znamená, že existuje m okuliare, ktoré patria také že g (x 1) ≤ g (x)< g(x 2), x 2 є . Z teorémov o monotónnosti a extrémoch získame nasledujúcu schému na štúdium funkcie na segmente pre najmenšiu a najväčšiu hodnotu.

Plán

1. Nájdite derivát g '(x).
2. Hodnota funkcie vyhľadávania g v týchto bodoch a na koncoch úsečky.
3. Porovnajte nájdené hodnoty a vyberte najmenšiu a najväčšiu.

Komentujte. Ak potrebujete študovať funkciu na konečnom intervale (a, b), alebo na nekonečný (-∞; b); (-∞; + ∞) na maximálnych a minimálnych hodnotách, potom v pláne namiesto funkčných hodnôt na koncoch intervalu hľadajú zodpovedajúce jednostranné hranice: namiesto f (a) hľadám f (a +) = limf (x), namiesto f (b) hľadám f (-b)... Takto môžete nájsť funkcie ODZ na intervale, pretože absolútne extrémy v tomto prípade nemusia existovať.

Aplikácia derivácie na riešenie aplikovaných úloh pre extrém niektorých veličín

1. Vyjadrite túto hodnotu pomocou iných hodnôt z problémového príkazu tak, aby bola funkciou iba jednej premennej (ak je to možné).
2. Určte rozsah variácie tejto premennej.
3. Štúdia funkcie sa vykonáva na intervale pre maximálne a minimálne hodnoty.

Úloha. Pri stene je potrebné vybudovať obdĺžnikovú plochu pomocou metrového pletiva tak, aby na jednej strane priliehala k stene a na ostatných troch bola oplotená pletivom. Pri akom pomere strán bude plocha takejto lokality najväčšia?

S = xy je funkciou 2 premenných.

S = x (a - 2x)- 1. premenná funkcia ; x є.

S = ax - 2x 2; S "= a - 4x = 0, xxR, x = a: 4.

S (a:4) = a2:8- najvyššia hodnota;

S(0) = 0.

Nájdite druhú stranu obdĺžnika: pri = a: 2.

Pomer strán: y: x = 2.

Odpoveď. Najväčšia plocha bude 2/8 ak strana, ktorá je rovnobežná so stenou, je 2-krát väčšia ako druhá strana.

Štúdia funkcie. Príklady

Príklad 1

existuje y = x 3: (1-x) 2. Skúmať.

1. ODZ: xє (-∞; 1) U (1; ∞).
2. Vo všeobecnosti funkcia (ani párna, ani nepárna) nie je symetrická vzhľadom na bod 0 (nula).
3. Funkčné znaky. Funkcia je elementárna, preto môže meniť znamienko len v bodoch, kde sa rovná 0 (nule), alebo neexistuje.
4. Funkcia je elementárna, teda spojitá na ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Medzera: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Nespojitosť 2. druhu (nekonečná), preto je v bode 1 vertikálna asymptota;

x = 1- rovnica vertikálnej asymptoty.

5. y'= x 2 (3 - x): (1 - x) 3;

ODZ (y '): x ≠ 1;

x = 1- pointa je kritická.

y'= 0;

0; 3 - body sú kritické.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4;

Kritické t.: 1, 0;

x = 0 - t. Skloňovanie, y (0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- bez horizontálnej asymptoty, ale môže byť šikmá.

k = 1- číslo;

b = 2- číslo.

Preto existuje šikmá asymptota y = x + 2 pri + ∞ a pri - ∞.

Príklad 2

Dané y = (x 2 + 1): (x - 1). Vyrábať a vyšetrovanie. Zostavte graf.

1. Oblasť existencie je celý číselný rad, okrem tzv. x = 1.

2. r krížikov OY (ak je to možné) vrát. (0; g (0))... nachádzame y (0) = -1 - t. križovatka OY .

Priesečníky grafu s VÔL nájdeme riešením rovnice y = 0... Koreňová rovnica nemá žiadne skutočné korene, takže táto funkcia sa nepretína VÔL.

3. Funkcia je neperiodická. Zvážte výraz

g (-x) ≠ g (x) a g (-x) ≠ -g (x)... To znamená, že ide o všeobecnú funkciu (ani párnu, ani nepárnu).

4.T. x = 1 medzera je druhého druhu. Vo všetkých ostatných bodoch je funkcia spojitá.

5. Vyšetrenie funkcie pre extrém:

(X 2 - 2x - 1): (x - 1)2 = y"

a vyriešiť rovnicu y = 0.

takze 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritické body alebo body možného extrému. Tieto body rozdeľujú číselnú os na štyri intervaly. .

V každom intervale má derivácia určité znamienko, ktoré možno určiť metódou intervalov alebo výpočtom hodnôt derivácie v samostatných bodoch. V intervaloch (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , kladná derivácia, čo znamená, že funkcia rastie; ak xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , potom funkcia klesá, pretože derivácia je na týchto intervaloch záporná. Prostredníctvom t. x 1 pri prechode (pohyb nasleduje zľava doprava) sa derivačné znamienko mení z „+“ na „-“, preto v tomto bode existuje lokálne maximum, nájdeme

r max = 2 - 2 √2 .

Pri prechádzaní x 2 zmení derivačné znamienko z „-“ na „+“, preto v tomto bode existuje lokálne minimum a

y mix = 2 + 2√2.

T. x = 1 nie extrémna.

6.4: (x - 1) 3 = y "".

Na (-∞; 1 ) 0 > y "" preto je na tomto intervale krivka konvexná; ak xє (1 ; ∞) - krivka je konkávna. V t bod 1 funkcia nie je definovaná, takže tento bod nie je inflexný bod.

7. Z výsledkov bodu 4 vyplýva, že x = 1 je asymptota zvislej krivky.

Neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

x + 1 = r - asymptota je pre danú krivku šikmá. Neexistujú žiadne iné asymptoty.

8. Berúc do úvahy uskutočnený výskum, zostavíme graf (pozri obrázok vyššie).

Už nejaký čas prestáva korektne fungovať vstavaná databáza certifikátov pre SSL v TheBat (z neznámeho dôvodu).

Pri kontrole príspevkov sa objaví chyba:

Neznámy certifikát CA
Server nepredložil koreňový certifikát v relácii a zodpovedajúci koreňový certifikát sa nenašiel v adresári.
Toto spojenie nemôže byť tajné. Rado sa stalo
kontaktujte svojho správcu servera.

A je tu výber odpovedí - ÁNO / NIE. A tak pri každom preberaní pošty.

Riešenie

V tomto prípade musíte nahradiť implementačný štandard S / MIME a TLS za Microsoft CryptoAPI v TheBat!

Keďže som potreboval spojiť všetky súbory do jedného, ​​najskôr som všetky skonvertoval doc súbory do jedného súboru pdf (pomocou programu Acrobat) a potom prostredníctvom online konvertora skonvertovaného na fb2. Súbory môžete konvertovať aj samostatne. Formáty môžu byť úplne akékoľvek (zdroj) a doc a jpg a dokonca aj archív zip!

Názov stránky zodpovedá podstate :) Online Photoshop.

Aktualizácia z mája 2015

Našiel som ďalšiu skvelú stránku! Je to ešte pohodlnejšie a funkčnejšie na vytvorenie úplne ľubovoľnej koláže! Táto stránka je http://www.fotor.com/en/collage/. Využite to pre svoje zdravie. A sám to použijem.

Tvárou v tvár v mojom živote oprave elektrického sporáka. Veľa som už urobil, veľa sa naučil, ale s obkladmi som mal akosi málo. Bolo potrebné vymeniť kontakty na regulátoroch a horákoch. Vznikla otázka - ako určiť priemer horáka na elektrickom sporáku?

Odpoveď bola jednoduchá. Netreba nič merať, pokojne si určíte, akú veľkosť potrebujete.

Najmenší horák je 145 milimetrov (14,5 centimetra)

Stredná varná doska je 180 milimetrov (18 centimetrov).

A nakoniec najviac veľký horák je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Stačí určiť veľkosť podľa oka a pochopiť, aký priemer potrebujete horák. Keď som to nevedel, lietal som s týmito rozmermi, nevedel som, ako merať, ktorou hranou sa pohybovať atď. Teraz som už múdra :) Dúfam, že som pomohla aj vám!

V živote som stál pred takouto úlohou. Myslím, že nie som jediný.