Štandardné označenia
Trojuholník s vrcholmi A, B a C. označené ako (pozri obr.). Trojuholník má tri strany:
Dĺžky strán trojuholníka sú označené malými latinskými písmenami (a, b, c):
Trojuholník má nasledujúce uhly:
Uhly na zodpovedajúcich vrcholoch sú tradične označené gréckymi písmenami (α, β, γ).
Testy rovnosti pre trojuholníky
Trojuholník v euklidovskej rovine je možné jedinečne určiť (až do zhody) pomocou nasledujúcich trojíc základných prvkov:
- a, b, γ (rovnosť na dvoch stranách a uhol medzi nimi);
- a, β, γ (rovnosť v bočných a dvoch susedných uhloch);
- a, b, c (rovnosť na troch stranách).
Známky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:
- pozdĺž nohy a prepony;
- na dvoch nohách;
- pozdĺž nohy a ostrého rohu;
- preponou a ostrým uhlom.
Niektoré body v trojuholníku sú „spárované“. Existujú napríklad dva body, z ktorých sú viditeľné všetky strany buď pri 60 °, alebo 120 °. Volajú sa Torricelli body... Existujú aj dva body, ktorých priemety do strán ležia na vrcholoch pravidelného trojuholníka. Toto je - Apollonius ukazuje... Body a podobne, ako sa nazývajú Brocardove body.
Priamy
V každom trojuholníku ležia ťažisko, ortocentrum a stred ohraničenej kružnice na jednej priamke, tzv. Eulerova rovná čiara.
Nazýva sa priama čiara prechádzajúca stredom opísanej kružnice a bodom Lemoine Brocardova os... Ležia na ňom body Apollónia. Bod Torricelli a bod Lemoine tiež ležia na jednej priamke. Základne vonkajších úsečníkov uhlov trojuholníka ležia na jednej priamke, tzv os vonkajších polovíc... Priesečníky čiar obsahujúcich strany pravouholníka s čiarami obsahujúcimi strany trojuholníka tiež ležia na jednej priamke. Tento riadok sa nazýva ortocentrická os, je kolmá na Eulerovu čiaru.
Ak vezmeme bod na opísanej kružnici trojuholníka, potom jeho priemety na strany trojuholníka budú ležať na jednej priamke, tzv. Simson má pravdu tento bod. Simsonove čiary diametrálne protichodných bodov sú kolmé.
Trojuholníky
- Nazýva sa trojuholník s vrcholmi na spodnej časti chevian nakreslených daným bodom cheviansky trojuholník tento bod.
- Nazýva sa trojuholník s vrcholmi v priemetoch daného bodu na stranách pod rukami alebo pedálový trojuholník tento bod.
- Trojuholník vo vrcholoch v druhých priesečníkoch čiar nakreslených cez vrcholy a tento bod s ohraničenou kružnicou sa nazýva kruhový cheviansky trojuholník... Obvodovo-cheviánsky trojuholník je podobný poddernému.
Kruhy
- Vpísaný kruh- kruh dotýkajúci sa všetkých troch strán trojuholníka. Ona je jediná. Stred vpísaného kruhu sa nazýva incentrum.
- Okrúhly kruh- kruh prechádzajúci všetkými tromi vrcholmi trojuholníka. Unikátny je aj ohraničený kruh.
- Excircle- kruh dotýkajúci sa jednej strany trojuholníka a pokračovanie ďalších dvoch strán. V trojuholníku sú tri také kruhy. Ich radikálnym stredom je stred vpísanej kružnice stredného trojuholníka, tzv Spikerova pointa.
Stredy troch strán trojuholníka, základy jeho troch výšok a stredy troch segmentov spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom ležia na jednom kruhu, tzv. kruh s deviatimi bodmi alebo Eulerov kruh... Stred kruhu deviatich bodov leží na Eulerovej čiare. Kruh deviatich bodov sa dotýka kruhu a troch ex-bodov. Tangens zapísaného kruhu a deväťbodového kruhu sa nazýva Feuerbachov bod... Ak z každého vrcholu rozložíme vonkajšiu stranu trojuholníka na rovné čiary obsahujúce strany, ortézy majú rovnakú dĺžku ako protiľahlé strany, potom výsledných šesť bodov leží na jednom kruhu - Conwayov kruh... Do akéhokoľvek trojuholníka môžete zapísať tri kruhy tak, aby sa každý z nich dotýkal dvoch strán trojuholníka a dvoch ďalších kruhov. Takéto kruhy sa nazývajú kruhy Malfatti... Stredy ohraničených kruhov šiestich trojuholníkov, do ktorých je trojuholník rozdelený mediánmi, ležia na jednom kruhu, ktorý sa nazýva Lamunov kruh.
Trojuholník má tri kruhy, ktoré sa dotýkajú dvoch strán trojuholníka a kruhu. Takéto kruhy sa nazývajú napoly napísané alebo Verrierove kruhy... Segmenty spájajúce body dotyku Verriereho kruhov s opísanou kružnicou sa pretínajú v jednom bode, tzv. Verrierov bod... Slúži ako stred homothety, ktorý transformuje circumcircle na zapísaný kruh. Body dotyku Verrièrových kruhov so stranami ležia na priamke, ktorá prechádza stredom vpísanej kružnice.
Segmenty spájajúce body dotyku vpísanej kružnice s vrcholmi sa pretínajú v jednom bode, tzv bod Gergonne, a segmenty spájajúce vrcholy s bodmi dotyku excircles sú in bod Nagel.
Elipsy, paraboly a hyperboly
Vpisovaný kužeľ (elipsa) a jeho perspektíva
Do trojuholníka je možné vpísať nekonečné množstvo kužeľov (elipsy, paraboly alebo hyperboly). Ak vpíšete ľubovoľný kužeľ do trojuholníka a spojíte body dotyku s protiľahlými vrcholmi, potom sa výsledné rovné čiary pretnú v jednom bode, tzv. perspektíva kužeľovité. Pre každý bod roviny, ktorý neleží na boku alebo na jeho predĺžení, existuje vpísaný kužeľ s perspektívou v tomto bode.
Popisovaná elipsa Steinera a chevian prechádzajúcich jeho ohniskami
Elipsu je možné vpísať do trojuholníka, ktorý sa v strede dotýka strán. Takáto elipsa sa nazýva vpísaná Steinerova elipsa(jeho perspektívou bude ťažisko trojuholníka). Popísaná elipsa, ktorá sa dotýka čiar prechádzajúcich vrcholmi rovnobežnými so stranami, sa nazýva popísaná Steinerovou elipsou... Ak sa pomocou afinnej transformácie („zošikmenia“) transformuje trojuholník na pravidelný, potom jeho vpísaná a ohraničená Steinerova elipsa prejde do vpísanej a ohraničenej kružnice. Cheviáni nakreslení ohniskami opísanej Steinerovej elipsy (Skutinove body) sú si rovní (Skutinova veta). Zo všetkých opísaných elipsy má opísaná Steinerova elipsa najmenšiu plochu a zo všetkých zapísaných elipsy má najväčšiu plochu zapísaná Steinerova elipsa.
Brocardova elipsa a jej perspektíva - bod Lemoine
Nazýva sa elipsa so zameraním na Brocardove body Brocardova elipsa... Bod Lemoine slúži ako jeho perspektíva.
Zapísané vlastnosti paraboly
Parabola Kipert
Perspektívy zapísaných paraboiel ležia na opísanej Steinerovej elipse. Ťažisko zapísanej paraboly leží na cirkruhu a priamka prechádza ortocentrom. Nazýva sa parabola vpísaná do trojuholníka s Eulerovou čiarou ako priamkou Kipertova parabola... Jeho perspektíva je štvrtým priesečníkom ohraničenej kružnice a ohraničenej Steinerovej elipsy, tzv. Steinerov bod.
Hyperbola Kipertova
Ak opísaná hyperbola prechádza priesečníkom výšok, potom je rovnostranná (to znamená, že jej asymptoty sú kolmé). Priesečník asymptot rovnostrannej hyperboly leží na kruhu deviatich bodov.
Premeny
Ak sa rovné čiary prechádzajúce vrcholmi a niektorým bodom, ktorý neleží na stranách, a ich predĺženia odrážajú vzhľadom na zodpovedajúce úsečky, ich obrázky sa tiež pretnú v jednom bode, ktorý sa nazýva izogonálne konjugát pôvodný (ak bod ležal na ohraničenej kružnici, potom budú výsledné čiary rovnobežné). Mnoho párov pozoruhodných bodov je izogonálne spojených: stred ohraničeného kruhu a ortocentra, ťažisko a Lemoineov bod, Brocardove body. Body Apollonius sú izogonálne spojené s bodmi Torricelli a stred vpísanej kružnice je k sebe izogonálne konjugovaný. Pôsobením izogonálnej konjugácie sa rovné čiary transformujú na popísané kužely a popísané kužeľovité tvary - na rovné čiary. Takže Kipertova hyperbola a Brocardova os, Enzhabekova hyperbola a Eulerova čiara, Feuerbachova hyperbola a línia stredov zapísaných okolo ohraničených kruhov sú izogonálne konjugované. Opsané kruhy hypodermických trojuholníkov izogonálne konjugovaných bodov sa zhodujú. Ohniská vpísaných elipsy sú izogonálne konjugované.
Ak namiesto symetrickej cheviany vezmeme cheviana, ktorej základňa je odobratá zo stredu strany rovnakým spôsobom ako základňa originálu, potom sa také cheviány tiež pretnú v jednom bode. Výsledná transformácia sa nazýva izotomická konjugácia... Transformuje tiež rovné čiary do popísaných kužeľov. Body Gergonne a Nagel sú izotomicky konjugované. Pri afinitných transformáciách sa izotomicky konjugované body transformujú na izotomicky konjugované body. S izotomickou konjugáciou prejde opísaná Steinerova elipsa do nekonečne vzdialenej čiary.
Ak do segmentov odrezaných stranami trojuholníka z opísanej kružnice vpíšeme kruhy dotýkajúce sa strán v spodnej časti chevian nakreslených cez určitý bod, a potom spojíme body dotyku týchto kruhov s ohraničenou kružnicou. s opačnými vrcholmi, potom sa takéto priame čiary pretnú v jednom bode. Nazýva sa transformácia roviny, ktorá zodpovedá výslednému bodu s pôvodným bodom izokruhová transformácia... Izogonálna a izotomická konjugačná kompozícia je sama o sebe izocirkulárnou transformačnou kompozíciou. Táto kompozícia je projektívna transformácia, ktorá ponecháva strany trojuholníka na mieste a prenáša os vonkajších úsečníkov na priamku v nekonečne.
Ak budeme pokračovať po stranách chevianskeho trojuholníka nejakého bodu a vezmeme ich priesečníky so zodpovedajúcimi stranami, potom získané priesečníky budú ležať na jednej priamke, tzv. trilineárne polárneštartovací bod. Ortocentrická os - trilineárny polárny ortocenter; os vonkajších úsečníkov slúži ako trilineárny polárny stred vpísanej kružnice. Trilineárne polárne body ležiace na ohraničenom kužele sa pretínajú v jednom bode (pre ohraničený kruh je to lememický bod, pre ohraničenú Steinerovu elipsu - ťažisko). Zloženie izogonálneho (alebo izotomického) konjugátu a trilineárneho poláru je transformáciou duality (ak bod izogonálne (izotomicky) konjugátu k bodu leží na trilineárnom poláre bodu, potom trilineárny polár bodu izogonálne (izotomicky) ) do konjugovaného bodu leží na trilineárnej polarite bodu).
Kocky
Vzťahy v trojuholníku
Poznámka: v tejto časti sú dĺžky troch strán trojuholníka a uhly ležiace oproti týmto trom stranám (opačné uhly).
Nerovnosť trojuholníka
V nedegenerovanom trojuholníku je súčet dĺžok jeho dvoch strán väčší ako dĺžka tretej strany, v zdegenerovanom trojuholníku sa rovná. Inými slovami, dĺžky strán trojuholníka súvisia s nasledujúcimi nerovnosťami:
Nerovnosť trojuholníka je jednou z axióm metriky.
Súčetná veta o uhloch trojuholníka
Sínusová veta
,kde R je polomer kruhu opísaného okolo trojuholníka. Z vety vyplýva, že ak a< b < c, то α < β < γ.
Kosínova veta
Tangensova veta
Iné pomery
Metrické pomery v trojuholníku sú uvedené pre:
Riešenie trojuholníkov
Výpočet neznámych strán a uhlov trojuholníka, založený na známych, dostal v minulosti názov „riešenie trojuholníkov“. V tomto prípade sa používajú vyššie uvedené všeobecné trigonometrické vety.
Plocha trojuholníka
Špeciálne prípady OznačeniaPre oblasť platia nasledujúce nerovnosti:
Výpočet plochy trojuholníka v priestore pomocou vektorov
Nech sú vrcholy trojuholníka v bodoch ,,.
Predstavme vektor oblasti. Dĺžka tohto vektora sa rovná ploche trojuholníka a je vedená pozdĺž kolmice na rovinu trojuholníka:
Dali sme, kde ,, - priemet trojuholníka na súradnicové roviny. Kde
a podobne
Plocha trojuholníka je.
Alternatívou je vypočítať dĺžky strán (podľa Pytagorovej vety) a potom podľa Heronovho vzorca.
Trojuholníkové vety
| Táto časť je neúplná. |
Dnes sa chystáme do krajiny Geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi druhmi trojuholníkov.
Zvážte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „nadbytočné“ (obr. 1).
Ryža. 1. Príklad ilustrácie
Vidíme, že obrázky č. 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoje vlastné meno (obr. 2).
Ryža. 2. Štvoruholníky
To znamená, že „extra“ figúrka je trojuholník (obr. 3).
Ryža. 3. Ilustrácia napr
Trojuholník je útvar, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a troch segmentov, ktoré tieto body spájajú v pároch.
Body sa nazývajú vrcholy trojuholníka, segmenty - to večierky... Strany trojuholníka tvoria na vrcholoch trojuholníka sú tri rohy.
Hlavné znaky trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Pokiaľ ide o uhol, trojuholníky sú ostrý, pravouhlý a tupý.
Trojuholník sa nazýva ostrý uhol, ak sú všetky tri rohy ostré, to znamená menej ako 90 ° (obr. 4).
Ryža. 4. Trojuholník s ostrým uhlom
Trojuholník sa nazýva obdĺžnik, ak má jeden z uhlov 90 ° (obr. 5).
Ryža. 5. Pravouhlý trojuholník
Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho rohov tupý, to znamená viac ako 90 ° (obr. 6).
Ryža. 6. Tupý trojuholník
Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, mnohostranné.
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké (obr. 7).
Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník
Tieto večierky sa nazývajú bočné, Tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.
Rovnomerné trojuholníky sú ostrý a tupý(obr. 8) .
Ryža. 8. Akútne a tupé rovnoramenné trojuholníky
Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).
Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník
V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky vždy ostrým uhlom.
Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).
Ryža. 10. Všestranný trojuholník
Dokončite úlohu. Tieto trojuholníky rozdeľte do troch skupín (obrázok 11).
Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe
Najprv distribuujeme podľa veľkosti uhlov.
Akútne trojuholníky: č. 1, č. 3.
Obdĺžnikové trojuholníky: č. 2, č. 6.
Tupé trojuholníky: č. 4, č. 5.
Rovnaké trojuholníky rozdelíme do skupín podľa počtu rovnakých strán.
Všestranné trojuholníky: č. 4, č. 6.
Rovnomerné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.
Rovnostranný trojuholník: č. 1.
Zvážte výkresy.
Zamyslite sa nad tým, z ktorého kusa drôtu ste vytvorili každý trojuholník (obr. 12).
Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe
Môžete uvažovať takto.
Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho možno vytvoriť rovnostranný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako tretí.
Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže z neho môžete vytvoriť všestranný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.
Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom dve časti majú rovnakú dĺžku, čo znamená, že z neho možno vytvoriť rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako druhý.
Dnes v lekcii sme sa zoznámili s rôznymi druhmi trojuholníkov.
Bibliografia
- M.I. Moreau, M.A. Bantova a ďalší.Matematika: učebnica. Stupeň 3: v 2 častiach, časť 1. - M.: „Vzdelávanie“, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova a ďalší.Matematika: učebnica. Stupeň 3: v 2 častiach, časť 2. - M.: „Vzdelávanie“, 2012.
- M.I. Moreau. Lekcie matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. stupeň - M.: Vzdelávanie, 2012.
- Normatívny právny dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: „Vzdelávanie“, 2011.
- „Ruská škola“: Programy pre základné školy. - M.: „Vzdelávanie“, 2011.
- S.I. Volkova. Matematika: Overovacie práce. 3. stupeň - M.: Vzdelávanie, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Skúšky. - M.: „Skúška“, 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domáca úloha
1. Doplňte frázy.
a) Trojuholník je útvar, ktorý pozostáva z ..., ktoré neleží na jednej priamke, a ... zo spájajúcich tieto body vo dvojiciach.
b) Body sa volajú … , segmenty - to … ... Strany trojuholníka sa tvoria na vrcholoch trojuholníka ….
c) Z hľadiska uhla sú trojuholníky ..., ..., ....
d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky ..., ..., ....
2. Nakreslite
a) pravouhlý trojuholník;
b) trojuholník s ostrým uhlom;
c) tupý trojuholník;
d) rovnostranný trojuholník;
e) všestranný trojuholník;
f) rovnoramenný trojuholník.
3. Vytvorte zadanie na tému hodiny pre svojich rovesníkov.
Aj deti v predškolskom veku vedia, ako vyzerá trojuholník. Ale tým, čím sú, už chlapi v škole začínajú rozumieť. Jedným z typov je tupý trojuholník. Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť, čo to je, je vidieť obrázok s jeho obrázkom. A teoreticky sa to nazýva „najjednoduchší mnohouholník“ s tromi stranami a vrcholmi, z ktorých jeden je
Pochopenie pojmov
V geometrii sa rozlišujú tieto typy postáv s tromi stranami: trojuholníky s ostrým uhlom, obdĺžnikové a tupé uhly. Navyše vlastnosti týchto najjednoduchších polygónov sú pre všetkých rovnaké. Takže pri všetkých uvedených druhoch bude takáto nerovnosť pozorovaná. Súčet dĺžok akýchkoľvek dvoch strán bude nevyhnutne väčší ako dĺžka tretej strany.
Aby sme si však boli istí, že hovoríme o úplnom obrázku, a nie o súbore jednotlivých vrcholov, je potrebné skontrolovať, či je splnená hlavná podmienka: súčet uhlov tupého trojuholníka je 180 stupňov. To isté platí pre ostatné typy tvarov s tromi stranami. Je pravda, že v tupom trojuholníku bude jeden z uhlov dokonca viac ako 90 ° a dva zostávajúce budú nevyhnutne ostré. V tomto prípade ide o najväčší uhol, ktorý bude protiľahlý k najdlhšej strane. Je pravda, že to nie sú ani zďaleka všetky vlastnosti tupého trojuholníka. Ale aj keď poznajú iba tieto vlastnosti, môžu školáci vyriešiť mnohé problémy s geometriou.
Pre každý mnohouholník s tromi vrcholmi tiež platí, že predĺžením ktorejkoľvek zo strán získame uhol, ktorého veľkosť sa bude rovnať súčtu dvoch nesusediacich vnútorných vrcholov. Obvod tupého trojuholníka sa vypočíta rovnako ako pre ostatné tvary. Rovná sa súčtu dĺžok všetkých jeho strán. Na definíciu matematici odvodili rôzne vzorce v závislosti od toho, aké údaje sú pôvodne k dispozícii.
Správny typ
Jednou z najdôležitejších podmienok riešenia problémov s geometriou je správne kreslenie. Učitelia matematiky často hovoria, že pomôže nielen vizualizovať, čo sa od vás požaduje a požaduje, ale o 80% bližšie k správnej odpovedi. Preto je dôležité vedieť, ako postaviť tupý trojuholník. Ak chcete iba hypotetický tvar, môžete nakresliť ľubovoľný mnohouholník s tromi stranami tak, aby jeden z rohov bol väčší ako 90 stupňov.
Ak sú uvedené určité hodnoty dĺžok strán alebo stupňov uhlov, potom je potrebné v súlade s nimi nakresliť tupý trojuholník. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa vykresliť uhly čo najpresnejšie, vypočítať ich pomocou uhlomeru a zobraziť strany v pomere k podmienkam uvedeným v úlohe.
Hlavné trate
Školákom často nestačí vedieť iba to, ako by niektoré figúrky mali vyzerať. Nemôžu sa obmedzovať iba na informácie o tom, ktorý trojuholník je tupý a ktorý obdĺžnikový. Kurz matematiky stanovuje, že ich znalosti o hlavných črtách obrázkov by mali byť úplnejšie.
Každý študent by teda mal pochopiť definíciu úsečky, mediánu, kolmice a výšky. Okrem toho musí poznať ich základné vlastnosti.
Polomky teda delia uhol na polovicu a opačnú stranu - na segmenty, ktoré sú úmerné susedným stranám.
Medián rozdeľuje akýkoľvek trojuholník na dva rovnaké oblasti. V mieste, kde sa pretínajú, je každý z nich rozdelený na 2 segmenty v pomere 2: 1, pri pohľade z vrcholu, z ktorého vyšiel. V tomto prípade je veľký medián vždy ťahaný na svoju najmenšiu stranu.
Nemenej pozornosti sa venuje výške. Z rohu je kolmá na opačnú stranu. Výška tupého trojuholníka má svoje vlastné charakteristiky. Ak je nakreslený z ostrého vrcholu, potom nespadá na stranu tohto najjednoduchšieho mnohouholníka, ale na jeho pokračovanie.
Stredný bod je úsečka, ktorá sa rozprestiera od stredu plochy trojuholníka. Navyše je umiestnený v pravom uhle k nemu.
Práca s kruhmi
Na začiatku štúdia geometrie stačí, aby deti pochopili, ako nakresliť tupý trojuholník, naučili sa ho rozlišovať od ostatných typov a pamätali si jeho hlavné vlastnosti. Ale tieto znalosti študentom stredných škôl nestačia. Napríklad na skúške sú často otázky o ohraničených a vpísaných kruhoch. Prvý z nich sa dotýka všetkých troch vrcholov trojuholníka a druhý má jeden spoločný bod so všetkými stranami.
Zostaviť vpísaný alebo popísaný tupý trojuholník je už oveľa ťažšie, pretože na to najskôr musíte zistiť, kde by mal byť stred kruhu a jeho polomer. Mimochodom, v tomto prípade sa nielen ceruzka s pravítkom, ale aj kompas stane potrebným nástrojom.
Rovnaké ťažkosti vznikajú pri konštrukcii vpísaných polygónov s tromi stranami. Matematici odvodili rôzne vzorce, ktoré umožňujú určiť ich polohu čo najpresnejšie.
Opísané trojuholníky
Ako už bolo spomenuté, ak kruh prechádza všetkými tromi vrcholmi, nazýva sa to kruh. Jeho hlavnou vlastnosťou je, že je jediný. Aby sme zistili, ako by mal byť opísaný kruh trojuholníka s tupým uhlom umiestnený, je potrebné pamätať na to, že jeho stred je priesečníkom troch stredných kolmíc, ktoré idú do strán obrázku. Ak v polygóne s ostrými uhlami s tromi vrcholmi bude tento bod vo vnútri, potom v polygóne s tupým uhlom-mimo neho.
Napríklad, keď viete, že jedna zo strán tupého trojuholníka sa rovná jeho polomeru, môžete nájsť uhol, ktorý leží oproti známej tvári. Jeho sínus sa bude rovnať výsledku delenia dĺžky známej strany 2R (kde R je polomer kruhu). To znamená, že hriech uhla sa bude rovnať ½. To znamená, že uhol sa bude rovnať 150 °.
Ak potrebujete nájsť polomer opísanej kružnice tupého trojuholníka, budete potrebovať informácie o dĺžke jeho strán (c, v, b) a jeho ploche S. Polomer sa napokon vypočíta takto: ( cxvxb): 4 x S. Mimochodom, nezáleží na tom, akú postavu máte: všestranný tupý trojuholník, rovnoramenný, obdĺžnikový alebo ostrý uhol. V akejkoľvek situácii môžete vďaka vyššie uvedenému vzorcu zistiť plochu daného mnohouholníka s tromi stranami.
Popísané trojuholníky
Tiež dosť často musíte pracovať s vpísanými kruhmi. Podľa jedného zo vzorcov bude polomer takéhoto obrázku vynásobený polovicou obvodu rovnaký ako obsah trojuholníka. Aby ste to však pochopili, musíte poznať strany tupého trojuholníka. Na určenie ½ obvodu je skutočne potrebné spočítať ich dĺžky a vydeliť 2.
Aby sme pochopili, kde by sa mal nachádzať stred kruhu zapísaného do tupého trojuholníka, je potrebné nakresliť tri úsečky. Toto sú čiary, ktoré delia rohy. V ich priesečníku bude stred kruhu. Navyše bude z každej strany rovnako vzdialený.
Polomer takého kruhu vpísaného do tupého trojuholníka je rovný kvocientu (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Navyše p je semiperimeter trojuholníka, c, v, b sú jeho strany.
Trojuholník - definícia a všeobecné pojmy
Trojuholník je jednoduchý mnohouholník s tromi stranami a rovnakým počtom uhlov. Jeho roviny sú obmedzené 3 bodmi a 3 úsečkami spájajúcimi tieto body v pároch.
Všetky vrcholy akéhokoľvek trojuholníka, bez ohľadu na jeho typ, sú označené veľkými latinskými písmenami a jeho strany sú označené zodpovedajúcimi označeniami protiľahlých vrcholov, nielen veľkými písmenami, ale malými. Napríklad trojuholník s vrcholmi označenými písmenami A, B a C má strany a, b, c.
Ak vezmeme do úvahy trojuholník v euklidovskom priestore, potom je to taký geometrický útvar, ktorý bol vytvorený pomocou troch segmentov spájajúcich tri body, ktoré neležia na jednej priamke.
Pozrite sa pozorne na obrázok vyššie. Body A, B a C sú vrcholmi tohto trojuholníka a jeho segmenty sa nazývajú strany trojuholníka. Každý vrchol tohto mnohouholníka tvorí jeho rohy vo vnútri.
Druhy trojuholníkov
Podľa veľkosti, uhlov trojuholníkov sú rozdelené na také odrody ako: Obdĺžnikové;
Ostrý;
Tupo.
Obdĺžnikové trojuholníky sú tie, ktoré majú jeden pravý uhol a ostatné dva majú ostrý uhol.
Akútne trojuholníky sú tie, v ktorých sú všetky jeho rohy ostré.
A ak má trojuholník jeden tupý uhol a ostatné dva uhly sú ostré, potom takýto trojuholník patrí k tupým uhlom.
Každý z vás úplne dobre chápe, že nie všetky trojuholníky majú rovnaké strany. A podľa toho, ako dlhé sú jeho strany, možno trojuholníky rozdeliť na:
Rovnoramenné;
Rovnostranný;
Všestranný.
Úloha: Nakreslite rôzne druhy trojuholníkov. Uveďte ich definíciu. Aky rozdiel medzi nimi vidis?
Základné vlastnosti trojuholníkov
Aj keď sa tieto jednoduché mnohouholníky môžu navzájom líšiť veľkosťou uhlov alebo strán, každý trojuholník má základné vlastnosti, ktoré sú pre tento obrázok charakteristické.
V ľubovoľnom trojuholníku:
Celkový súčet všetkých jeho uhlov je 180 °.
Ak patrí k rovnostrannému, potom má každý z jeho uhlov 60 °.
Rovnostranný trojuholník má navzájom rovnaké a rovnomerné uhly.
Čím menšia je strana mnohouholníka, tým menší je uhol oproti nej a naopak, oproti väčšej strane je väčší uhol.
Ak sú strany rovnaké, potom sú proti nim umiestnené rovnaké uhly a naopak.
Ak vezmeme trojuholník a predĺžime jeho stranu, skončíme s vonkajším rohom. Rovná sa súčtu vnútorných uhlov.
V každom trojuholníku bude jeho strana, bez ohľadu na to, ktorú si vyberiete, stále menšia ako súčet ostatných 2 strán, ale bude väčšia ako ich rozdiel:
1.a< b + c, a >b - c;
2.b< a + c, b >a - c;
3.c< a + b, c >a - b.
Úloha
Tabuľka ukazuje už známe dva uhly trojuholníka. Keď poznáte celkový súčet všetkých uhlov, zistite, čomu je tretí uhol trojuholníka rovný, a zadajte do tabuľky:
1. Koľko stupňov má tretí uhol?
2. Do akého trojuholníka patrí?
Známky rovnosti trojuholníkov
Podpisujem
II znak
Znamienko III
Výška, osa a stred trojuholníka
Výška trojuholníka - kolmica nakreslená z vrcholu obrázku na jeho opačnú stranu sa nazýva výška trojuholníka. Všetky výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Priesečníkom všetkých 3 výšok trojuholníka je jeho ortocentrum.
Segment ťahaný z tohto vrcholu a spájajúci ho v strede opačnej strany je medián. Mediány, ako aj výšky trojuholníka, majú jeden spoločný priesečník, takzvané ťažisko trojuholníka alebo ťažisko.
Bisector of the triangle je segment spájajúci vrchol uhla a bodu na opačnej strane a tiež rozdeľujúci tento uhol na polovicu. Všetky úsečky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva stred kruhu zapísaného do trojuholníka.
Segment, ktorý spája stredy dvoch strán trojuholníka, sa nazýva stredová čiara.
Historický odkaz
Postava ako trojuholník je známa už od staroveku. Tento údaj a jeho vlastnosti boli spomenuté na egyptských papyrusoch pred štyrmi tisíckami rokov. O niečo neskôr, vďaka Pytagorovej vete a Herónovmu vzorcu, sa štúdium vlastností trojuholníka posunulo na vyššiu úroveň, ale napriek tomu sa to stalo pred viac ako dvetisíc rokmi.
V storočiach XV-XVI sa začalo vykonávať mnoho štúdií o vlastnostiach trojuholníka a v dôsledku toho vznikla taká veda ako planimetria, ktorá sa nazývala „nová geometria trojuholníka“.
Vedec z Ruska N. I. Lobačevskij významne prispel k poznaniu vlastností trojuholníkov. Jeho práce neskôr našli uplatnenie v matematike, fyzike a kybernetike.
Vďaka znalosti vlastností trojuholníkov vznikla taká veda ako trigonometria. Ukázalo sa, že je to nevyhnutné pre človeka v jeho praktických potrebách, pretože jeho aplikácia je jednoducho potrebná pri zostavovaní máp, meraní oblastí a pri navrhovaní rôznych mechanizmov.
Aký je najznámejší trojuholník, ktorý poznáte? Toto je samozrejme Bermudský trojuholník! Tento názov dostal v 50. rokoch kvôli geografickej polohe bodov (vrcholov trojuholníka), v rámci ktorých podľa existujúcej teórie vznikli anomálie s ním spojené. Vrcholmi Bermudského trojuholníka sú Bermudy, Florida a Portoriko.
Úloha: Aké teórie ste počuli o Bermudskom trojuholníku?
Vedeli ste, že v Lobačevského teórii platí, že pri sčítaní uhlov trojuholníka má ich súčet vždy výsledok menší ako 180 °. V Riemannovej geometrii je súčet všetkých uhlov trojuholníka väčší ako 180 stupňov a v Euklidových spisoch je to 180 stupňov.
Domáca úloha
Vyriešte krížovku na danú tému
Otázky do krížovky:
1. Ako sa volá kolmica, ktorá bola nakreslená od vrcholu trojuholníka k priamke umiestnenej na opačnej strane?
2. Ako jedným slovom môžete nazvať súčet dĺžok strán trojuholníka?
3. Čo je to trojuholník, ktorého dve strany sú si rovné?
4. Ako sa nazýva trojuholník, ktorý má uhol 90 °?
5. Ako sa volá veľká strana trojuholníka?
6. Názov strany rovnoramenného trojuholníka?
7. V ľubovoľnom trojuholníku sú vždy traja.
8. Ako sa nazýva trojuholník, v ktorom jeden z uhlov presahuje 90 °?
9. Názov úsečky spájajúcej vrchol nášho tvaru so stredom opačnej strany?
10. V jednoduchom mnohouholníku ABC je veľké písmeno A ...?
11. Ako sa volá segment deliaci uhol trojuholníka na polovicu.
Otázky k trojuholníkom:
1. Uveďte definíciu.
2. Koľko to má výšok?
3. Koľko úsečiek má trojuholník?
4. Aký je súčet jeho uhlov?
5. Aké typy tohto jednoduchého mnohouholníka poznáte?
6. Pomenujte body trojuholníkov, ktoré sa nazývajú nádherné.
7. Aké zariadenie je možné použiť na meranie uhla?
8. Ak ručičky hodín ukazujú 21. hodinu. Aký je uhol hodinových ručičiek?
9. Pod akým uhlom sa človek otočí, ak dostane príkaz „doľava“, „dookola“?
10. Aké ďalšie definície poznáte, ktoré sú spojené s figúrkou s tromi rohmi a tromi stranami?