Povrchová plocha kužeľa (alebo jednoducho povrch kužeľa) sa rovná súčtu základnej plochy a bočného povrchu.
Oblasť bočného povrchu kužeľa sa vypočíta vzorcom: S \u003d πR l.kde R je polomer základne kužeľa, a l. - tvoriaci kužeľ.
Vzhľadom k tomu, oblasť základne kužeľa je rovná πR 2 (ako oblasť kruhu), potom sa oblasť úplného povrchu kužeľa rovná: πR 2 + πR l. \u003d πr (R + l.).
Získanie vzorec bočného povrchu kužeľa môže byť vysvetlené takýmito argumentmi. Predpokladajme, že bočný povrch kužeľa je znázornený na výkrese. Rozdeľujeme AV ARC na možnosť väčšieho počtu rovnakých častí a všetkých bodov rozdelenia s centrom oblúka a susedné je s každým ostatným akordy.
Získame niekoľko rovnakých trojuholníkov. Oblasť každého trojuholníka je rovná ah. / 2, kde ale - dĺžka základne trojuholníka, a h. - jeho vysoká.
Množstvo oblasti všetkých trojuholníkov bude: ah. / 2 n. = anh. / 2, kde n. - počet trojuholníkov.
S veľkým počtom divízií sa množstvo oblasti trojuholníkov stáva veľmi blízko k plotovacej oblasti, t.j. plochy bočného povrchu kužeľa. Súčet základov trojuholníkov, t.j. a., stáva sa veľmi blízko k dĺžke ARC AV, t.j. na dĺžku obvodu základne kužeľa. Výška každého trojuholníka sa stáva veľmi blízko k polomeru oblúka, t.j. na tvarovaciu kužeľ.
Zanedbávanie menších rozdielov vo veľkostiach týchto hodnôt, získavame vzorec bočného povrchu kužeľa (y):
S \u003d C. l. / 2, kde C je obvod základne kužeľa, l. - tvoriaci kužeľ.
Vedieť, že C \u003d 2πR, kde R je polomer obvodu základne kužeľa, získavame: s \u003d πr l..
Poznámka. Vo vzorci s \u003d c l. / 2 Dajte znamenie presnej, nie približnej rovnosti, hoci na základe argumentu by sme mohli byť považované za aproximované. Ale na stredných školách sa preukáže, že rovnosť
S \u003d C. l. / 2 presné, nie približné.
Teorem. Bočný povrch kužeľa je rovný produktu obvodu základne základne na polovicu tvarovania.
Vstúpime do kužeľa (obr.) Niektoré správne pyramídy a označujeme písmenami ročník a l. Čísla exprimujúce dĺžky obvodu základne a apoféma tejto pyramídy.
Potom bude bočný povrch vyjadrený prácou 1/2 ročník l. .
Predpokladajme, že počet strán zapísaných v základni mnohouholníka sa zvyšuje neurčito. Potom obvod ročník sa bude usilovať o limit pre dĺžku od základného obvodu a apofem l. bude mať limit vytvorenie kužeľa (pretože ΔSAK vyplýva, že sa - SK
1 / 2 ročník l.sa bude snažiť obmedziť 1/2
L. Tento limit je prijatý pre veľkosť bočného povrchu kužeľa. Naznačujú sa bočným povrchom kužeľového listu s, môžeme napísať:
S \u003d 1/2 s L \u003d S. 1/2 l
Následkov.
1) Od c \u003d 2 π
R, potom bočný povrch kužeľa vyjadruje vzorec:
S \u003d 1/2 2π R. L \u003d. π Rl
2) Dostaneme celý povrch kužeľa, ak bočný povrch leží so základnou oblasťou; Preto s uvedením úplného povrchu cez t, budeme mať:
T \u003d. π RL +. π R 2 \u003d. π R (l + r)
Teorem. Bočný povrch skráteného kužeľa je rovný práci trvania základov základov na tvarovaní.
Nosíme do skráteného kužeľa (obr.) Niektoré správne skrátené pyramídy a označili písmenami r, R. 1 I. l. Čísla exprimujúce v rovnakých lineárnych jednotkách dĺžky obvodov spodných a horných báz a úsporu tejto pyramídy.
Potom je bočný povrch vpísanej pyramídy 1/2 ( p + R. 1) l.
S neobmedzeným zvýšením počtu bočných plôch vpísanej perimetrovej pyramídy ročník a ročník 1 Snažte sa o limity prevedené pre dĺžky s 1 základnými obvodmi a apopemom l. Má limit, ktorý tvorí L skrátený kužeľ. V dôsledku toho sa rozsah bočného povrchu napísanej pyramídy má tendenciu blížiť sa na limit rovnú (C + Ci) L. Tento limit sa odoberá veľkosť bočného povrchu skráteného kužeľa. Rozpoznanie bočného povrchu skráteného kužeľového listu S, budeme mať:
S \u003d 1/2 (C + C 1) L
Následkov.
1) Ak R a R1 znamená polomery kruhov spodnej a hornej bázy, potom bočný povrch skráteného kužeľa bude:
S \u003d 1/2 (2 π R + 2. π R 1) L \u003d π (R + R 1) L.
2) Ak sa v lichobežníkovi 1 A 1 A (obr.), Z rotácie, z ktorého sa dosiahne skrátený kužeľ, budeme vykonávať priemernú čiaru slnka, dostaneme:
SUN \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R1),
R + R 1 \u003d 2VS.
Teda,
S \u003d 2. π Bc l,
t.j. bočný povrch skráteného kužeľa sa rovná produktu dĺžky kruhu strednej časti na tvarovanie.
3) Celkový povrch skráteného kužeľa bude vyjadrený ako:
T \u003d. π (R2 + R1 2 + RL + R1L)
Vpred
Pozor! Prezentácia sa používa výlučne na informačné účely a nesmie poskytnúť nápady o všetkých možnostiach prezentácie. Ak máte záujem o túto prácu, stiahnite si plnú verziu.
Typ lekcie: Lekcia pre štúdium nového materiálu pomocou prvkov spôsobu vzdelávania.
Ciele Lekcia:
- poznávacie:
- zoznámenie s novou matematickou koncepciou;
- tvorba novej Zun;
- problémy s praktickými problémami.
- rozvoj:
- rozvoj nezávislého myslenia študentov;
- rozvoj zručností správneho prejavu žiakov.
- vzdelávacie:
- vzdelávacie zručnosti práce v tíme.
Výpis na vybavenie:magnetická doska, počítač, obrazovka, multimediálny projektor, kužeľový model, prezentácia na lekciu, distribučný materiál.
Úlohy Lekcia (pre študentov):
- zoznámte sa s novým geometrickým konceptom;
- výstup vzorku pre výpočet plochy povrchu kužeľa;
- naučte sa uplatňovať poznatky získané pri riešení praktických úloh.
Počas tried
Etapa I. Organizačné.
Dodávka notebookov s overovacím prácou na tému.
Študenti sa pozvajú, aby sa naučili tému nadchádzajúcej lekcie, riešenie rebru (Slide 1):
Obrázok 1.
Oznámenie o témach študentov a úloh (Slide 2).
Etapa II. Vysvetlenie nového materiálu.
1) Prednáška učiteľa.
Na doske - tabuľka s obrazom kužeľa. Nový materiál je vysvetlený sprevádzaný programovým materiálom "stereometria". Na obrazovke sa zobrazí trojrozmerný obraz kužeľa. Učiteľ dáva definíciu kužeľa, hovorí o svojich prvkoch. (Slide 3). Hovorí sa, že kužeľ je telo vytvorené otáčaním pravouhlého trojuholníka vo vzťahu k kategórii. (Snímky 4, 5). Zobrazí sa obraz expandácie bočného povrchu kužeľa. (Slide 6)
2) Praktická práca.
Aktualizácia referenčných znalostí: Opakujte vzorec na výpočet oblasti kruhu, sektorovej plochy, dĺžky kruhu, dĺžka oblúka kruhu. (snímky 7-10)
Trieda je rozdelená do skupín. Každá skupina sa vyrezáva z papiera s bočným povrchom kužeľa (sektor kruhu s priradeným číslom). Študenti vykonávajú potrebné merania a vypočítajú oblasť získanú sektoru. Pokyny pre výkon práce, otázky - Nastavenie problémov - zobrazí sa na obrazovke (snímky 11-14). Výsledky výpočtu zástupcu každej skupiny píše k tabuľke pripravenej na tabuli. Účastníci každej skupiny lepia na kužeľový model z ich existujúcich. (Snímka 15)
3) Nastavenie a riešenie problému.
Ako vypočítať krájač bočného povrchu kužeľa, ak je známy len polomer základne a dĺžka vytvorenia kužeľa? (Slide 16)
Každá skupina robí potrebné merania a snaží sa zobraziť vzorec pre výpočet požadovanej oblasti pomocou dostupných údajov. Pri vykonávaní tejto práce by sa školáci mali všimnúť, že obvod základne kužeľa je rovný dĺžke odvetvia oblúka - bočný povrch tohto kužeľa. (snímky 17-21) Použitím potrebných vzorcov je požadovaný vzorec odvodený. Argumenty študentov by mali vyzerať takto:
Sektorový polomer - beží rovno l, Titulová miera oblúka je φ. Sektorová oblasť je vypočítaná vzorcom oblúkovej dĺžky obmedzujúcej toto odvetvie, rovná polomeru základne kužeľa R. Dĺžka kruhu ležiaceho na báze kužeľa je C \u003d 2πR. Všimnite si, že keďže plocha bočného povrchu kužeľa je rovná ploche rozširovania bočného povrchu,
Takže bočná plocha kužeľa je vypočítaná vzorcom S bpk \u003d πrl.
Po výpočte bočného povrchu modelu kužeľa bol predstaviteľka každej skupiny zobrazený nezávisle píše výsledok výpočtov na tabuľku na doske v súlade s číslami modelov. Výsledky výpočtov v každom riadku musia byť rovnaké. Na tomto základe učiteľ určuje správnosť záverov každej skupiny. Tabuľka výsledkov by mala vyzerať:
|
Číslo modelu |
Mám úlohu |
II |
(125/3) ~ ~ 41,67 π |
||
(425/9) ~ 47,22 π |
||
(539/9) ~ 59,89 π |
Parametre modelu:
- l \u003d 12 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 150°
- l \u003d 15 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 170°
- l \u003d 14 cm, φ \u003d 110°
Aplikácia výpočtov je spojené s chybami merania.
Po skontrolovaní výsledkov sa na obrazovke objaví výstup vzorcov boku a úplných povrchov kužeľa (Snímky 22-26)Študenti sú zaznamenané v notebookoch.
III. Upínanie študovaného materiálu.
1) Študenti sú ponúkaní Úlohy pre orálne riešenie na hotových výkresoch.
Nájsť oblasti plných povrchov kužeľov zobrazených na výkresoch (Snímky 27-32).
2) Otázka: Existujú oblasti kužeľov tvorených otáčaním jedného pravouhlého trojuholníka v porovnaní s rôznymi katétrami? Študenti tlačia hypotézu a skontrolujte ho. Kontrola hypotézy sa vykonáva riešením problémov a zaznamenáva študent na palube.
Dané: Δ abc, ∠c \u003d 90 °, ab \u003d c, Ac \u003d B, slnko \u003d A;
VAA ", ABB" - telá otáčania.
Nájsť:S PPK 1, S PPK 2.
Obrázok 5. (Slide 33)
Rozhodnutie:
1) R \u003d Slnko \u003d A.; \\ T S ppk 1 \u003d s bod 1 + s OSN 1 \u003d π A C + π A 2 \u003d π A (A + C).
2) R \u003d AC \u003d B.; \\ T S PPK 2 \u003d S BSK 2 + S OSN 2 \u003d π B C + π B2 \u003d π B (B + c).
Ak s ppk 1 \u003d s ppk 2, potom a2 + AC \u003d B2 + Bc, 2 - B2 + AC - BC \u003d 0, (A-B) (A + B + C) \u003d 0.Pretože a, B, C -kladné čísla (dĺžka strán trojuholníka), melanchiness je pravdivá len vtedy, ak A \u003d.b.
Výkon:Povrchové oblasti oboch kužeľov sú rovnaké len v prípade rovnosti trojuholníkových katéstie. (Snímka 34)
3) Riešenie úlohy z učebnice: č. 565.
Iv. Zhrnúť lekciu.
Domáca úloha: P.55, 56; № 548, № 561. (Slide 35)
Oznámenie sadzieb.
Závery pozdĺž lekcie, opakovanie základných informácií získaných v lekcii.
Literatúra (Snímka 36)
- Geometria 10-11 Triedy - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. KADOMTSEV a kol., M., "Osvietenie", 2008.
- "Matematické pády a charavs" - N.V. Udaltsova, knižnica "1. septembra", "matematika" séria, vydanie 35, M., čisté rybníky, 2010.
Orgány rotácie študovali v škole sú valcom, kužeľom a loptou.
Ak je v úlohe skúšky v matematike, musíte vypočítať objem kužeľa alebo oblasti gule - zvážte, čo má šťastie.
Použite objem vzorcov a povrchovú plochu valca, kužeľa a gule. Všetky sú v našom stole. Učiť srdcom. Znalosť stereometrie sa preto začínajú.
Niekedy nie je zlé nakresliť pohľad zhora. Alebo ako v tejto úlohe, - zdola.
2. Koľkokrát objem kužeľa opísal v blízkosti správneho kvadrangeulárneho pyramídy, viac ako objem kužeľa, napísaný v tejto pyramíde?
Všetko je jednoduché - nakreslite pohľad zdola. Vidíme, že polomer väčšieho kruhu je viac ako menší polomer. Výška oboch kužeľov sú rovnaké. V dôsledku toho bude objem väčšieho kužeľa viac ako raz.
Ďalší dôležitý bod. Pamätáme si, že v úlohách časti v EEM opcie v matematike je odpoveď napísaná vo forme celého čísla alebo konečnej desatinnej frakcie. Preto nie by nemala byť žiadna alebo vo vašej odpovedi. Nie je potrebné nahradiť približnú hodnotu čísla! Musí sa znížiť!. Na tento účel, v niektorých úlohách je úloha formulovaná napríklad nasledovne: "Nájdite si bočný povrch valca rozdeleného".
Ale kde sú objemové vzorce a povrchová plocha rotácie? Samozrejme, v úlohe C2 (16). Budeme tiež povedať o ňom.
Vieme, čo je kužeľ, skúsme nájsť oblasť jeho povrchu. Prečo potrebujete vyriešiť takúto úlohu? Napríklad, musíte pochopiť, koľko testu pôjde na výrobu vaflového rohu? Alebo koľko tehál je potrebné zložiť tehlovú strechu hradu?
Zmerajte oblasť bočného povrchu kužeľa je jednoducho tak, že to nebude fungovať. Ale predstavte si všetky tie isté rohy zabalené handričkou. Ak chcete nájsť oblasť kusu tkaniny, musíte rezať a rozložiť ho na stôl. Ukazuje sa na plochú postavu, nájdeme svoju oblasť.
Obr. 1. Rezaný kužeľ tým, že tvarovaním
Urobíme to isté s kužeľom. "Budeme rezať" jeho bočný povrch pozdĺž akéhokoľvek tvarovania, napríklad (pozri obr. 1).
Teraz "otočte" bočný povrch do roviny. Dostávame sektor. Centrum tohto sektora je vrchol kužeľa, polomer odvetvia sa rovná tvarovaniu kužeľa a dĺžka jej oblúka sa zhoduje s obvodom koncesovej základne. Takýto sektor sa nazýva skenovanie bočného povrchu kužeľa (pozri obr. 2).
Obr. 2. Skenovanie bočného povrchu
Obr. 3. Meranie uhla v radiánoch
Pokúsme sa nájsť sektorové námestie podľa dostupných údajov. Spočiatku zavádzame označenie: Nechajte uhol v hornej časti sektora v radiánoch (pozri obr. 3).
S uhlom v hornej časti mesta sa často často stretávame s problémami. Medzitým sa poďme odpovedať na otázku: A ak tento roh môže ukázať viac ako 360 stupňov? To znamená, že nebude možné, že skenovanie bude uložiť sama? Samozrejme, že nie. Dokážeme to matematicky. Nechajte zametať "uložené" samotné. To znamená, že dĺžka skenovacieho oblúka je väčšia ako dĺžka kruhu polomeru. Ako už bolo uvedené, dĺžka skenovacieho oblúka je dĺžka kruhu polomeru. A polomer základne kužeľa, samozrejme, menej formovanie, napríklad preto, že valček obdĺžnikového trojuholníka je menší ako hypotenuse
Potom si pripomeňte dve vzorce z ihriska Playimetry: dĺžka oblúka. Sektorový námestie :.
V našom prípade sa zohráva úloha , a dĺžka oblúka sa rovná dĺžke obvodu základne kužeľa, to znamená. Máme:
Nakoniec sa dostanete :.
Spolu s bočným povrchom nájdete úplnú plochu. Na tento účel musí byť základná plocha pridaná do bočnej plochy. Ale základ je kruh okruhu, ktorého oblasť podľa vzorca je rovnaká.
Nakoniec máme: , kde je polomer základne valca, - tvarovanie.
Rozhodujeme o pár úloh k vyššie uvedeným vzorcom.
Obr. 4. Požadovaný roh
Príklad 1.. Sideline bočného povrchu kužeľa je sektor s uhlom na vrchole. Zistite tento uhol, ak je výška kužeľa 4 cm a polomer základne je 3 cm (pozri obr. 4).
Obr. 5. Obdĺžnikový trojuholník tvoriaci kužeľ
Prvá akcia Pythagore teorem, nájdeme tvarovanie: 5 cm (pozri obr. 5). Ďalej vieme .
Príklad 2.. Oblasť axiálneho prierezu kužeľa je rovnaká, výška je rovnaká. Nájdite plnú plochu (pozri obr. 6).
