Polje realnih števil ima lastnost urejanja (str. 6, str. 35): za vsa števila a, b obstaja ena in samo ena od treh razmerij: ali. V tem primeru zapis a> b pomeni, da je razlika pozitivna, zapis za razliko pa negativen. Za razliko od polja realnih števil, polje kompleksnih števil ni urejeno: za kompleksna števila pojma "več" in "manj" nista definirana; zato to poglavje obravnava le realna števila.
Razmerja imenujemo neenakosti, števila a in b sta člana (ali dela) neenakosti, znake> (večje od) in neenakosti a> b in c> d imenujemo neenakosti istega (ali istega) pomena; neenakosti a> b in c Iz definicije neenakosti takoj izhaja, da
1) katero koli pozitivno število je večje od nič;
2) katero koli negativno število je manjše od nič;
3) katero koli pozitivno število je večje od katerega koli negativnega števila;
4) od dveh negativnih števil je večje tisto, katerega absolutna vrednost je manjša.
Vse te trditve je mogoče enostavno geometrijsko razlagati. Naj bo pozitivna smer številske osi desno od izhodišča; potem, ne glede na znake števil, večje od njih predstavlja točka, ki leži desno od točke, ki predstavlja manjše število.
Neenakosti imajo naslednje osnovne lastnosti.
1. Asimetrija (nepovratnost): če, potem in obratno.
Če je razlika pozitivna, potem je razlika negativna. Pravijo, da je treba pri preurejanju pogojev neenakosti pomen neenakosti spremeniti v nasprotno.
2. Prehodnost: če, potem. Dejansko pozitivnost razlik pomeni pozitivnost
Poleg znakov neenakosti se uporabljajo tudi znaki neenakosti, ki so opredeljeni na naslednji način: zapis pomeni, da lahko na primer pišete bodisi ali Zato lahko na primer tudi zapišete. Običajno se neenakosti, zapisane z znaki, imenujejo stroge neenakosti, tiste, ki so napisane z znaki, pa se imenujejo nestroge neenakosti. V skladu s tem se sami znaki imenujejo znaki stroge ali nestroge neenakosti. Zgoraj omenjeni lastnosti 1 in 2 veljata tudi za neomejene neenakosti.
Zdaj pa razmislimo o dejanjih, ki jih je mogoče izvesti pri eni ali več neenakostih.
3. Če enakemu številu dodamo izraze neenakosti, se pomen neenakosti ne spremeni.
Dokaz. Naj bo podana neenakost in poljubno število. Po definiciji je razlika pozitivna. Tej številki dodajte dve nasprotni številki, od katerih se ne bo spremenila, t.j.
To enakost lahko prepišemo na naslednji način:
Iz tega sledi, da je razlika pozitivna, torej da
in to je bilo treba dokazati.
To je podlaga za možnost preusmeritve katerega koli izraza neenakosti iz enega dela v drugega z nasprotnim predznakom. Na primer iz neenakosti
sledi temu
4. Ko se izrazi neenakosti pomnožijo z istim pozitivnim številom, se pomen neenakosti ne spremeni; ko se izrazi neenakosti pomnožijo z istim negativnim številom, se pomen neenakosti obrne.
Dokaz. Naj bo potem Če je torej, ker je produkt pozitivnih števil pozitiven. Če razširimo oklepaje na levi strani zadnje neenakosti, dobimo, tj. Primer se obravnava na podoben način.
Popolnoma enak zaključek lahko naredimo glede deljenja delov neenakosti na neko ničelno število, saj je deljenje s številom enakovredno množenju s številom in imajo številke enake predznake.
5. Naj bodo izrazi neenakosti pozitivni. Ko se njeni pogoji dvignejo na enako pozitivno moč, se pomen neenakosti ne spremeni.
Dokaz. Naj v tem primeru po lastnosti prehodnosti in. Potem imamo zaradi monotonega povečanja močne funkcije za in pozitivno
Še posebej, če je kje naravno število, dobimo
se pravi, ko se koren izvleče z obeh strani neenakosti s pozitivnimi izrazi, se pomen neenakosti ne spremeni.
Naj bodo izrazi neenakosti negativni. Potem je enostavno dokazati, da se pomen neenakosti, ko se njeni pogoji dvignejo na nenavadno naravno moč, ne spremeni, in ko se dvigne na enako naravno moč, se bo spremenil v nasprotno. Iz neenakosti z negativnimi členi je mogoče izvleči tudi lih koren.
Nadalje, naj imajo izrazi neenakosti različne znake. Potem, ko se dvigne na liho moč, se pomen neenakosti ne bo spremenil, in ko se dvigne na enako moč, v splošnem primeru ni mogoče reči nič določenega o pomenu nastale neenakosti. Ko se število dvigne na liho stopnjo, se znak številke ohrani, zato se pomen neenakosti ne spremeni. Ko se neenakost dvigne na enako moč, nastane neenakost s pozitivnimi izrazi, njen pomen pa bo odvisen od absolutnih vrednosti izrazov prvotne neenakosti, neenakosti istega pomena kot prvotne, neenakosti nasprotnega pomena in celo enakost je mogoče doseči!
Koristno je, da z naslednjim primerom preverite vse, kar je bilo povedano o dvigu neenakosti na pooblastila.
Primer 1. Dvignite naslednje neenakosti na podano moč in po potrebi spremenite znak neenakosti v nasprotni ali enak znak.
a) 3> 2 na moč 4; b) na moč 3;
c) na moč 3; d) na moč 2;
e) na moč 5; f) na moč 4;
g) 2> -3 na moč 2; h) na moč 2,
6. Iz neenakosti lahko preidete na neenakost med, če sta izraza neenakosti pozitivna ali oba negativna, potem med njunima vzajemnima vrednostma obstaja neenakost nasprotnega pomena:
Dokaz. Če sta a in b istega predznaka, je njihov produkt pozitiven. Delimo po neenakosti
to je tisto, kar je bilo treba pridobiti.
Če imajo izrazi neenakosti nasprotne znake, potem ima neenakost med njunimi vzajemnimi količinami enak pomen, saj so znaki vzajemnih količin enaki kot znaki samih količin.
Primer 2. Preverite zadnjo lastnost 6 pri naslednjih neenakostih:
7. Logaritem neenakosti je mogoče izvesti le v primeru, ko so izrazi neenakosti pozitivni (negativna števila in ničelni logaritmi nimajo).
Naj bo. Potem po volji
in po volji
Pravilnost teh trditev temelji na monotonosti logaritemske funkcije, ki se poveča, če se osnova in zmanjša kot
Torej, ko vzamemo logaritem neenakosti, ki jo sestavljajo pozitivni členi z osnovo večjo od ena, nastane neenakost istega pomena, kot je podana, in ko vzamemo logaritem za pozitivno osnovo, manjšo od enega, pride do neenakosti nastane nasprotni pomen.
8. Če, potem če, ampak, potem.
To takoj izhaja iz lastnosti monotonosti eksponentne funkcije (oddelek 42), ki se v primeru poveča in zmanjša, če
S terminskim dodajanjem neenakosti istega pomena nastane neenakost istega pomena kot podatki.
Dokaz. Dokazimo to trditev za dve neenakosti, čeprav velja za poljubno število dodanih neenakosti. Naj bodo neenakosti
Številke bodo po definiciji pozitivne; potem je tudi njihova vsota pozitivna, t.j.
Če razvrstimo izraze drugače, dobimo
in zato
in to je bilo treba dokazati.
O pomenu neenakosti, ki je posledica seštevanja dveh ali več neenakosti različnih pomenov, v splošnem primeru ni mogoče reči nič dokončnega.
10. Če od enega izraza neenakosti odštejemo drugo neenakost nasprotnega pomena, potem nastane neenakost istega pomena kot prvi.
Dokaz. Naj podamo dve neenakosti različnih pomenov. Drugo od njih je po lastnosti nepreklicnosti mogoče prepisati na naslednji način: d> c. Zdaj dodamo dve neenakosti istega pomena in dobimo neenakost
isti pomen. Iz slednjega najdemo
in to je bilo treba dokazati.
V splošnem primeru o pomenu neenakosti, ki je posledica odštevanja ene neenakosti druge neenakosti istega pomena, ni mogoče reči nič dokončnega.
Sistem neenakosti je običajno imenovati zapis več neenakosti pod znakom kodraste oklepaje (v tem primeru sta lahko število in vrsta neenakosti, vključenih v sistem, poljubna).
Za rešitev sistema je potrebno najti presečišče rešitev vseh neenakosti, ki so v njem vključene. Rešitev neenakosti v matematiki je vsaka vrednost spremembe, za katero je podana neenakost resnična. Z drugimi besedami, treba je najti nabor vseh njegovih rešitev - imenovan bo odgovor. Kot primer se poskusimo naučiti reševati sistem neenakosti z uporabo intervalne metode.
Lastnosti neenakosti
Za rešitev tega problema je pomembno poznati osnovne lastnosti neenakosti, ki jih lahko formuliramo na naslednji način:
- Obema stranema neenakosti je mogoče dodati eno in isto funkcijo, opredeljeno v območju dovoljenih vrednosti (ADV) te neenakosti;
- Če je f (x)> g (x) in h (x) katera koli funkcija, opredeljena v neenakosti ODZ, potem f (x) + h (x)> g (x) + h (x);
- Če obe strani neenakosti pomnožimo s pozitivno funkcijo, opredeljeno v ODZ te neenakosti (ali s pozitivnim številom), potem dobimo neenakost, ki je enakovredna prvotni;
- Če obe strani neenakosti pomnožimo z negativno funkcijo, opredeljeno v GDZ te neenakosti (ali z negativnim številom) in se znak neenakosti spremeni v nasprotno, potem je nastala neenakost enakovredna tej neenakosti;
- Neenakosti istega pomena lahko dodamo izraz za izrazom, neenakosti nasprotnega pomena pa odštejemo izraz za izrazom;
- Neenakosti istega pomena s pozitivnimi deli se lahko pomnožijo pojemno, neenakosti, ki jih tvorijo negativne funkcije, pa se lahko povečajo po terminu na pozitivno moč.
Če želite rešiti sistem neenakosti, morate vsako neenakost rešiti posebej in jih nato primerjati. Rezultat bo pozitiven ali negativen odgovor, kar pomeni, ali ima sistem rešitev ali ne.
Metoda razmika
Pri reševanju sistema neenakosti se matematiki pogosto zatekajo k metodi intervalov, kot eni najučinkovitejših. Omogoča nam, da rešitev zmanjšamo na neenakost f (x)> 0 (<, <, >) k rešitvi enačbe f (x) = 0.
Bistvo metode je naslednje:
- Poiščite obseg sprejemljivih vrednosti neenakosti;
- Neenakost reduciraj v obliko f (x)> 0 (<, <, >), torej premaknite desno stran na levo in poenostavite;
- Reši enačbo f (x) = 0;
- Narišite funkcijo na diagramu številske črte. Vse točke, označene na ODZ in ga omejujejo, razdelijo ta niz v tako imenovane intervale stalnosti. Na vsakem takem intervalu se določi predznak funkcije f (x);
- Odgovor zapišite v obliki zveze ločenih množic, na katerih ima f (x) ustrezen predznak. Mejne točke LDZ so vključene (ali niso vključene) v odgovor po dodatnem preverjanju.
Neenakosti v matematiki igrajo pomembno vlogo. V šoli se ukvarjamo predvsem z numerične neenakosti, z opredelitvijo katere bomo začeli ta članek. In potem bomo našteli in utemeljili lastnosti numeričnih neenakosti, na katerem temeljijo vsa načela dela z neenakostmi.
Takoj ugotavljamo, da so številne lastnosti numeričnih neenakosti podobne. Zato bomo gradivo predstavili po isti shemi: formuliramo lastnost, podamo njeno utemeljitev in primere, nato pa preidemo na naslednjo lastnost.
Krmarjenje po straneh.
Numerične neenakosti: definicija, primeri
Ko smo predstavili pojem neenakosti, smo opazili, da so neenakosti pogosto opredeljene z načinom njihovega zapisa. Neenakosti smo torej imenovali smiselni algebrski izrazi, ki vsebujejo znake, ki niso enaki ≠, manjši<, больше >, manjši ali enak ≤ ali večji ali enak ≥. Na podlagi zgornje definicije je priročno podati definicijo numerične neenakosti:
Do srečanja s številskimi neenakostmi pride pri pouku matematike v prvem razredu takoj po srečanju prvih naravnih števil od 1 do 9 in spoznavanju primerjalne operacije. Res je, tam se preprosto imenujejo neenakosti, pri čemer opustijo definicijo "numerične". Zaradi jasnosti ne škodi navesti nekaj primerov najpreprostejših numeričnih neenakosti s te stopnje študija: 1<2 , 5+2>3 .
Poleg naravnih števil se znanje razširja na druge vrste števil (cela števila, racionalna, realna števila), preučujejo se pravila za njihovo primerjavo, kar bistveno razširja raznolikost vrst numeričnih neenakosti: −5> −72, 3> −0,275 (7−5, 6) ,.
Lastnosti numeričnih neenakosti
V praksi delo z neenakostmi omogoča niz lastnosti numeričnih neenakosti... Izhajajo iz pojma neenakosti, ki smo ga uvedli. V zvezi s števili je ta pojem opredeljen z naslednjo trditvijo, ki jo lahko štejemo za definicijo razmerja "manj" in "več" na množici števil (pogosto se imenuje tudi definicija razlike neenakosti):
Opredelitev.
- številko a je večje od b, če in samo, če je razlika a - b pozitivno število;
- število a je manjše od števila b, če in samo, če je razlika a - b negativno število;
- število a je enako številki b, če in samo, če je razlika a - b enaka nič.
To definicijo lahko prepišemo v definicijo razmerja "manjše ali enako" in "večje ali enako". Tukaj je njeno besedilo:
Opredelitev.
- številko a je večje ali enako b, če in samo, če je a - b negativno število;
- število a je manjše ali enako številki b, če in samo, če je a - b negativno število.
Te definicije bomo uporabili pri dokazovanju lastnosti numeričnih neenakosti, ki jih bomo zdaj pregledali.
Osnovne lastnosti
Raziskavo začnemo s tremi glavnimi lastnostmi neenakosti. Zakaj so bistvene? Ker so odraz lastnosti neenakosti v najobsežnejšem pomenu in ne le v zvezi s številčnimi neenakostmi.
Številčne neenakosti, zapisane z znaki< и >, običajno:
Kar zadeva numerične neenakosti, zapisane z znaki nestrogih neenakosti ≤ in ≥, imajo lastnost refleksivnosti (in ne antirefleksivnosti), saj neenakosti a≤a in a≥a vključujeta primer enakosti a = a . Zanje sta značilni tudi antisimetrija in prehodnost.
Tako imajo numerične neenakosti, zapisane z znaki ≤ in ≥, naslednje lastnosti:
- refleksivnost a≥a in a≤a sta resnični neenakosti;
- antisimetrija, če je a≤b, potem b≥a, in če je a≥b, potem b≤a.
- prehodnost, če a≤b in b≤c, potem a≤c, in tudi, če a≥b in b≥c, potem a≥c.
Njihovi dokazi so zelo podobni tistim, ki so bili že podani, zato se ne bomo zadržali na njih, ampak bomo prešli na druge pomembne lastnosti numeričnih neenakosti.
Druge pomembne lastnosti numeričnih neenakosti
Dopolnimo osnovne lastnosti numeričnih neenakosti z vrsto rezultatov, ki so zelo praktičnega pomena. Na njih temeljijo metode vrednotenja vrednosti izrazov, na njih temeljijo načela rešitve neenakosti itd. Zato je priporočljivo dobro ravnati z njimi.
V tem pododdelku bodo lastnosti neenakosti oblikovane le za en znak stroge neenakosti, vendar je treba upoštevati, da bodo podobne lastnosti veljale za nasprotni znak, pa tudi za znake nestrogih neenakosti. Razložimo to s primerom. Spodaj navajamo in dokazujemo naslednjo lastnost neenakosti: če je a
Za udobje bomo predstavili lastnosti numeričnih neenakosti v obliki seznama, v tem primeru podali ustrezno izjavo, jo formalno zapisali s črkami, podali dokaz in nato pokazali primere uporabe. Na koncu članka bomo vse lastnosti numeričnih neenakosti povzeli v tabelo. Pojdi!
Posledica. Pomnožno povečanje istih resničnih neenakosti oblike a
Če na obeh straneh veljavne številske neenakosti seštejemo (ali odštejemo) poljubno število, nastane veljavna številčna neenakost. Z drugimi besedami, če sta številki a in b takšni, da je a
Za dokaz sestavimo razliko med levo in desno stranjo zadnje numerične neenakosti in pokažemo, da je pod pogojem a negativna (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b... Ker je pod pogojem a
Ne dotikamo se dokazov te lastnosti številskih neenakosti za odštevanje števila c, saj lahko odštevanje na nizu realnih števil nadomestimo z seštevanjem −c.
Na primer, če na obe strani pravilne številčne neenakosti 7> 3 dodate 15, dobite pravilno numerično neenakost 7 + 15> 3 + 15, kar je isto, 22> 18.
Če obe strani prave numerične neenakosti pomnožite (ali delite) z istim pozitivnim številom c, potem dobite pravilno numerično neenakost. Če obe strani neenakosti pomnožimo (ali razdelimo) z negativnim številom c in znak neenakosti obrnemo, potem dobimo pravilno neenakost. V dobesedni obliki: če je za števila a in b neenakost a b c.
Dokaz. Začnimo s primerom, ko je c> 0. Sestavimo razliko med levo in desno stranjo dokazane numerične neenakosti: a c - b c = (a - b) c. Ker je pod pogojem a 0, potem bo zmnožek (a - b) · c negativno število kot produkt negativnega števila a - b in pozitivnega števila c (kar sledi iz). Zato a c - b c<0
, откуда a·c Ne dotikamo se dokazov obravnavane lastnosti za deljenje obeh strani resnične numerične neenakosti z istim številom c, saj lahko deljenje vedno nadomestimo z množenjem za 1 / c. Pokažimo primer uporabe analizirane lastnosti za konkretne številke. Na primer, lahko obe strani prave numerične neenakosti 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Iz pravkar pregledane lastnosti izhajata dva praktično dragocena rezultata o množenju obeh strani številske enakosti s številom. Zato jih bomo oblikovali v obliki posledic. Vse zgoraj obravnavane lastnosti v tem pododdelku združuje dejstvo, da je najprej podana pravilna numerična neenakost, iz nje pa z nekaterimi manipulacijami z deli neenakosti in znakom dobimo še eno pravilno numerično neenakost. Zdaj bomo podali blok lastnosti, v katerem so sprva podane ne ena, ampak več pravilnih numeričnih neenakosti, novi rezultat pa dobimo iz njihove skupne uporabe po seštevanju ali množenju njihovih delov. Če števila a, b, c in d izpolnjujejo neenakosti a
Dokažimo, da je (a + c) - (b + d) negativno število, to bo dokazalo, da je a + c Z indukcijo se ta lastnost razteza na seštevanje treh, štirih in na splošno poljubnega številskih neenakosti. Torej, če števila a 1, a 2,…, a n in b 1, b 2,…, b n izpolnjujejo neenakosti a 1 a 1 + a 2 +… + a n . Na primer, imamo tri pravilne numerične neenakosti istega znaka −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Numerične neenakosti istega znaka lahko pomnožite po terminih, obe strani pa sta predstavljeni s pozitivnimi številkami. Zlasti za dve neenakosti a
Za dokaz lahko pomnožimo obe strani neenakosti a
Ta lastnost velja tudi za množenje poljubnega končnega števila resničnih numeričnih neenakosti s pozitivnimi deli. Se pravi, če so a 1, a 2, ..., a n in b 1, b 2, ..., b n pozitivna števila in a 1 a 1 · a 2 ·… · a n . Ločeno je treba omeniti, da če zapis numeričnih neenakosti vsebuje pozitivna števila, potem njihovo pomnoževanje po terminih lahko privede do napačnih numeričnih neenakosti. Na primer, numerične neenakosti 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Na koncu članka, kot smo obljubili, bomo zbrali vse preučene lastnosti v tabela lastnosti numerične neenakosti:
Bibliografija.
- Moro M.I.... Matematika. Učbenik. za 1 cl. zgodaj shk Ob 2. uri, 1. del (prva polovica leta) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. izd. - M.: Izobraževanje, 2006.- 112 str: ilustr. + App. (2 ločeni l. Ill.). -ISBN 5-09-014951-8.
- Matematika: učbenik. za 5 cl. Splošna izobrazba. ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., Izbrisano. - M.: Mnemozina, 2007.- 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra:študij. za 8 cl. Splošna izobrazba. ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008.- 271 str. : bolan. -ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., Izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009.- 215 str .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
1 ... Če a> b, potem b< a ; nasprotno, če a< b , potem b> a.
Primer... Če 5x - 1> 2x + 1, potem 2x +1< 5x — 1 .
2 ... Če a> b in b> c, potem a> c... Podobno, a< b in b< с , potem a< с .
Primer... Zaradi neenakosti x> 2y, 2y> 10 sledi temu x> 10.
3
... Če a> b, potem a + c> b + c in a - c> b - c... Če a< b
, potem a + c
Primer 1... Neenakost x + 8> 3... Odštejemo 8 od obeh strani neenakosti x> - 5.
Primer 2. Neenakost x - 6< — 2 ... Če k obema deloma dodamo 6, ugotovimo NS< 4 .
4 ... Če a> b in c> d, potem a + c> b + d; popolnoma enako, če a< b in z< d , potem a + c< b + d , to je dve neenakosti istega pomena) lahko dodamo izraz po izraz. To velja tudi za poljubno število neenakosti, na primer, če a1> b1, a2> b2, a3> b3, potem a1 + a2 + a3> b1 + b2 + b3.
Primer 1. Neenakosti — 8 > — 10 in 5 > 2 so pravilne. Če jih dodamo izraz za izrazom, ugotovimo pravilno neenakost — 3 > — 8 .
Primer 2. Podan je sistem neenakosti ( 1/2) x + (1/2) y< 18 ; (1/2) x - (1/2) y< 4 ... Če jih dodamo izraz za izrazom, najdemo x< 22 .
Komentiraj. Dveh neenakosti istega pomena ni mogoče med seboj odšteti, saj je rezultat lahko resničen, lahko pa tudi napačen. Na primer, če iz neenakosti 10 > 8 2 > 1 , potem dobimo pravilno neenakost 8 > 7 če pa iz iste neenakosti 10 > 8 odštejte izrazno neenakost 6 > 1 , potem dobimo absurd. Primerjaj naslednjo postavko.
5 ... Če a> b in c< d , potem a - c> b - d; če a< b in c - d, potem a - c< b — d , to pomeni, da lahko eno neenakost nasprotnega pomena odštejemo po eno od ene neenakosti), pri čemer ostane znak neenakosti, iz katere je bila odšteta druga.
Primer 1... Neenakosti 12 < 20 in 15 > 7 so pravilne. Če od izraza odštejemo drugega in iz prvega pustimo znak, dobimo pravilno neenakost — 3 < 13 ... Od prvega od drugega odštejemo po izrazu in pustimo znak drugega, ugotovimo pravilno neenakost 3 > — 13 .
Primer 2... Predstavljen je sistem neenakosti (1/2) x + (1/2) y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 ... Če od prve neenakosti odštejemo drugo, ugotovimo y< 10 .
6 ... Če a> b in m je torej pozitivno število ma> mb in a / n> b / n, torej lahko obe strani neenakosti delimo ali pomnožimo z istim pozitivnim številom (znak neenakosti ostane enak). a> b in n Torej je to negativno število na< nb in a / n< b/n , to pomeni, da lahko obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, vendar je treba znak neenakosti obrniti.
Primer 1... Delitev obeh strani prave neenakosti 25 > 20 naprej 5 , dobimo pravilno neenakost 5 > 4 ... Če razdelimo obe strani neenakosti 25 > 20 naprej — 5 , potem morate spremeniti znak > naprej < , nato pa dobimo pravilno neenakost — 5 < — 4 .
Primer 2... Zaradi neenakosti 2x< 12 sledi temu NS< 6 .
Primer 3... Zaradi neenakosti - (1/3) x - (1/3) x> 4 sledi temu x< — 12 .
Primer 4... Neenakost x / k> y / l; iz tega sledi, da lx> kyče so predznaki številk l in k sta ista in kaj lx< ky če so predznaki številk l in k sta nasprotna.
Neenakost je zapis, v katerem so številke, spremenljivke ali izrazi povezani z znakom<, >, oz. To pomeni, da lahko neenakost imenujemo primerjava števil, spremenljivk ali izrazov. Znaki < , > , ⩽ in ⩾ se imenujejo znaki neenakosti.
Vrste neenakosti in njihovo branje:
Kot lahko vidite iz primerov, so vse neenakosti sestavljene iz dveh delov: leve in desne, povezane z enim od znakov neenakosti. Glede na znak, ki povezuje dele neenakosti, jih delimo na stroge in nestroge.
Stroge neenakosti- neenakosti, pri katerih so deli povezani z znakom< или >. Slabe neenakosti- neenakosti, pri katerih so deli povezani z znakom oz.
Razmislimo o osnovnih pravilih primerjave v algebri:
- Vsako pozitivno število je večje od nič.
- Vsako negativno število je manjše od nič.
- Od dveh negativnih števil je večje tisto z nižjo absolutno vrednostjo. Na primer -1> -7.
- a in b pozitivno:
a - b > 0,
To a več b (a > b).
- Če je razlika med dvema neenako številkama a in b negativno:
a - b < 0,
To a manjši b (a < b).
- Če je število večje od nič, je pozitivno:
a> 0, torej a je pozitivno število.
- Če je število manjše od nič, je negativno:
a < 0, значит a- negativno število.
Enakovredne neenakosti- neenakosti, ki so posledica drugih neenakosti. Na primer, če a manjši b, potem b več a:
a < b in b > a- enakovredne neenakosti
Lastnosti neenakosti
- Če obema stranema neenakosti dodamo isto število ali od obeh strani odštejemo isto število, dobimo enakovredno neenakost, tj.
če a > b, potem a + c > b + c in a - c > b - c
Iz tega sledi, da je mogoče izraze neenakosti prenesti iz enega dela v drugega z nasprotnim predznakom. Na primer, dodajanje obeh strani neenakosti a - b > c - d naprej d, dobimo:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom, dobimo enakovredno neenakost, to je
- Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, potem je neenakost nasprotna dani, torej je treba pri množenju ali deljenju obeh strani neenakosti z negativnim številom spremeniti znak neenakosti v nasprotju.
S to lastnostjo lahko spremenite predznak vseh članov neenakosti tako, da obe strani pomnožite z -1 in obrnete znak neenakosti:
-a + b > -c
(-a + b) · -1< (-c) · -1
a - b < c
Neenakost -a + b > -c enako neenakosti a - b < c