Opredelitev. Funkcijo F (x) imenujemo antiodpeljava za funkcijo f (x) na danem intervalu, če je za kateri koli x iz danega intervala F"(x) = f (x).
Glavna lastnost antiizpeljank.
Če je F (x) protiodvod funkcije f (x), potem je tudi funkcija F (x)+ C, kjer je C poljubna konstanta, tudi antiodvod funkcije f (x) (tj. vsi protiodvodi funkcije funkcijo f(x) zapišemo v obliki F(x) + C).
Geometrijska interpretacija.
Grafe vseh antiizvodov dane funkcije f (x) dobimo iz grafa katerega koli antiizvoda z vzporednimi translacijami vzdolž osi Oy.
Tabela protiizpeljank.
Pravila iskanja antiizpeljank .
Naj sta F(x) in G(x) antiodpeljava funkcij f(x) oziroma g(x). Nato:
1. F ( x) ± G ( x) – protiizpeljanka za f(x) ± g(x);
2. A F ( x) – protiizpeljanka za Af(x);
3. – protiizpeljanka za Af(kx +b).
Naloge in testi na temo "Antiderivoid"
- Protiizpeljanka
Lekcije: 1 Naloge: 11 Testi: 1
- Izpeljanka in antiizpeljanka - Priprava na enotni državni izpit iz matematike Enotni državni izpit iz matematike
Naloge: 3
- Integral - Protiizpeljava in integral 11. ocena
Lekcije: 4 Naloge: 13 Testi: 1
- Računanje ploščin z integrali - Protiizpeljava in integral 11. ocena
Lekcije: 1 Naloge: 10 Testi: 1
Ko ste preučevali to temo, bi morali vedeti, kaj se imenuje antiderivativa, njegova glavna lastnost, geometrijska interpretacija, pravila za iskanje antiderivatov; znati poiskati vse praodvode funkcij s pomočjo tabele in pravil za iskanje praodvodov ter praodvod, ki poteka skozi dano točko. Oglejmo si reševanje problemov na to temo na primerih. Bodite pozorni na oblikovanje sklepov.
Primeri.
1. Ugotovite, ali je funkcija F ( x) = X 3 – 3X+ 1 antiderivat za funkcijo f(x) = 3(X 2 – 1).
rešitev: F"( x) = (X 3 – 3X+ 1)′ = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = f(x), tj. F"( x) = f(x), zato je F(x) protiodpeljava funkcije f(x).
2. Poiščite vse antiizpeljane funkcije f(x) :
A) f(x) = X 4 + 3X 2 + 5
rešitev: Z uporabo tabele in pravil za iskanje antiderivatov dobimo:
odgovor:
b) f(x) = sin(3 x – 2)
rešitev:
Na tej strani boste našli:
1. Pravzaprav tabela protiizpeljank - lahko jo prenesete v formatu PDF in natisnete;
2. Video o uporabi te tabele;
3. Kup primerov računanja praodvoda iz različnih učbenikov in testov.
V samem videu bomo analizirali številne probleme, kjer morate izračunati antiodvode funkcij, ki so pogosto precej zapleteni, a kar je najpomembneje, niso potenčne funkcije. Vse funkcije, povzete v zgornji predlagani tabeli, je treba poznati na pamet, tako kot derivate. Brez njih je nadaljnji študij integralov in njihova uporaba pri reševanju praktičnih problemov nemogoča.
Danes nadaljujemo s preučevanjem primitivov in prehajamo na nekoliko bolj zapleteno temo. Če smo zadnjič gledali samo na praodvode potenčnih funkcij in nekoliko bolj zapletene konstrukcije, si bomo danes ogledali trigonometrijo in še marsikaj.
Kot sem rekel v zadnji lekciji, protiizpeljank, za razliko od izpeljank, nikoli ne rešimo "takoj" z uporabo standardnih pravil. Poleg tega je slaba novica ta, da za razliko od derivata antiderivat morda sploh ne bo upoštevan. Če napišemo povsem naključno funkcijo in poskušamo najti njen odvod, potem nam bo to z zelo veliko verjetnostjo uspelo, vendar protiodvod v tem primeru skoraj nikoli ne bo izračunan. Vendar obstaja dobra novica: obstaja dokaj velik razred funkcij, imenovanih elementarne funkcije, katerih protiodvode je zelo enostavno izračunati. In vse druge bolj zapletene strukture, ki so podane na vseh vrstah testov, neodvisnih testov in izpitov, so pravzaprav sestavljene iz teh elementarnih funkcij s seštevanjem, odštevanjem in drugimi preprostimi dejanji. Prototipi takšnih funkcij so že dolgo izračunani in sestavljeni v posebne tabele. Danes bomo delali s temi funkcijami in tabelami.
Začeli pa bomo, kot vedno, s ponovitvijo: spomnimo se, kaj je antiderivat, zakaj jih je neskončno veliko in kako določiti njihov splošni videz. Da bi to naredil, sem izbral dva preprosta problema.
Reševanje enostavnih primerov
Primer #1
Takoj opozorimo na $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ in na splošno prisotnost $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nam takoj namigne, da je zahtevani antiodvod funkcije povezan s trigonometrijo. In res, če pogledamo tabelo, bomo ugotovili, da $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ni nič drugega kot $\text(arctg)x$. Torej zapišimo:
Če želite najti, morate zapisati naslednje:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Primer št. 2
Tukaj govorimo tudi o trigonometričnih funkcijah. Če pogledamo tabelo, potem se res zgodi tole:
Med celotnim naborom protiizpeljank moramo najti tistega, ki gre skozi označeno točko:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Naj končno zapišemo:
Tako preprosto je. Edina težava je, da se morate za izračun protiodvodov preprostih funkcij naučiti tabele protiodvodov. Vendar, potem ko sem preučil tabelo izpeljank za vas, mislim, da to ne bo problem.
Reševanje nalog, ki vsebujejo eksponentno funkcijo
Za začetek napišimo naslednje formule:
\[((e)^(x))\do ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Poglejmo, kako vse to deluje v praksi.
Primer #1
Če pogledamo vsebino oklepajev, opazimo, da v tabeli protiodpeljav ni takega izraza, da bi bil $((e)^(x))$ v kvadratu, zato je treba ta kvadrat razširiti. Za to uporabimo skrajšane formule za množenje:
Poiščimo protiizpeljavo za vsakega izmed izrazov:
\[((e)^(2x))=((\levo(((e)^(2)) \desno))^(x))\to \frac(((\levo(((e)^ (2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\levo(((e)^(-2)) \desno))^(x))\to \frac(((\levo(((e )^(-2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Zdaj pa zberimo vse izraze v en sam izraz in dobimo splošno antiizpeljavo:
Primer št. 2
Tokrat je stopnja večja, zato bo formula za skrajšano množenje precej zapletena. Pa odprimo oklepaje:
Zdaj pa poskusimo vzeti protiizpeljavo naše formule iz te konstrukcije:
Kot lahko vidite, v protiizpeljavah eksponentne funkcije ni nič zapletenega ali nadnaravnega. Vsi so izračunani s pomočjo tabel, vendar bodo pozorni učenci verjetno opazili, da je protiizpeljanka $((e)^(2x))$ veliko bližje preprosto $((e)^(x))$ kot $((a )^(x ))$. Torej, morda obstaja kakšno bolj posebno pravilo, ki omogoča, da ob poznavanju antiizpeljave $((e)^(x))$ najdemo $((e)^(2x))$? Da, tako pravilo obstaja. In poleg tega je sestavni del dela s tabelo antiizpeljank. Zdaj ga bomo analizirali z uporabo istih izrazov, s katerimi smo pravkar delali kot primer.
Pravila za delo s tabelo antiizpeljank
Ponovno napišimo našo funkcijo:
V prejšnjem primeru smo za rešitev uporabili naslednjo formulo:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Zdaj pa naredimo malo drugače: spomnimo se, na kakšni osnovi $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kot sem že rekel, ker izpeljanka $((e)^(x))$ ni nič drugega kot $((e)^(x))$, bo zato njena antiizpeljanka enaka istemu $((e) ^ (x))$. Toda težava je v tem, da imamo $((e)^(2x))$ in $((e)^(-2x))$. Zdaj pa poskusimo najti izpeljanko $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \desno))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Ponovno napišimo našo konstrukcijo:
\[((\levo(((e)^(2x)) \desno))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\levo(\frac(((e)^(2x)))(2) \desno))^(\prime ))\]
To pomeni, da ko najdemo antiizpeljavo $((e)^(2x))$, dobimo naslednje:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Kot lahko vidite, smo dobili enak rezultat kot prej, vendar nismo uporabili formule za iskanje $((a)^(x))$. Zdaj se to morda zdi neumno: zakaj bi komplicirali izračune, če obstaja standardna formula? Vendar pa boste pri nekoliko bolj zapletenih izrazih ugotovili, da je ta tehnika zelo učinkovita, tj. uporaba izpeljank za iskanje antiizpeljank.
Za ogrevanje poiščimo protiizpeljavo $((e)^(2x))$ na podoben način:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \desno))^(\prime ))\]
Pri izračunu bo naša konstrukcija zapisana takole:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Dobili smo popolnoma enak rezultat, a ubrali drugačno pot. Prav ta pot, ki se nam zdaj zdi malo bolj zapletena, se bo v prihodnosti izkazala za učinkovitejšo za računanje zahtevnejših protiodvodov in uporabo tabel.
Opomba! To je zelo pomembna točka: protiizpeljanke, tako kot izpeljanke, je mogoče šteti na veliko različnih načinov. Če pa so vsi izračuni in izračuni enaki, bo odgovor enak. To smo pravkar videli na primeru $((e)^(-2x))$ - na eni strani smo to protiizpeljavo izračunali "natančno" z uporabo definicije in jo izračunali z uporabo transformacij, na drugi strani pa spomnili smo se, da je $ ((e)^(-2x))$ mogoče predstaviti kot $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ in šele nato smo uporabili protiodpeljava za funkcijo $( (a)^(x))$. Vendar je bil po vseh preobrazbah rezultat pričakovano enak.
In zdaj, ko vse to razumemo, je čas, da preidemo na nekaj pomembnejšega. Zdaj bomo analizirali dve preprosti konstrukciji, vendar je tehnika, ki jo bomo uporabili pri reševanju, močnejše in uporabnejše orodje kot preprosto "tekanje" med sosednjimi protiizpeljankami iz tabele.
Reševanje nalog: iskanje antiodvoda funkcije
Primer #1
Znesek, ki je v števcih, razdelimo na tri ločene frakcije:
To je dokaj naraven in razumljiv prehod – večina študentov s tem nima težav. Prepišimo naš izraz na naslednji način:
Zdaj pa si zapomnimo to formulo:
V našem primeru bomo dobili naslednje:
Da se znebite vseh teh trinadstropnih frakcij, predlagam, da naredite naslednje:
Primer št. 2
Za razliko od prejšnjega ulomka imenovalec ni produkt, ampak vsota. V tem primeru svojega ulomka ne moremo več razdeliti na vsoto več enostavnih ulomkov, ampak se moramo nekako potruditi, da je v števcu približno enak izraz kot v imenovalcu. V tem primeru je to zelo enostavno narediti:
Ta zapis, ki se v matematičnem jeziku imenuje "dodajanje ničle", nam bo omogočil, da ponovno razdelimo ulomek na dva dela:
Zdaj pa poiščimo, kar smo iskali:
To so vsi izračuni. Kljub navidezni večji kompleksnosti kot pri prejšnjem problemu se je izkazalo, da je količina izračunov še manjša.
Nianse rešitve
In prav v tem je glavna težava pri delu s tabelarnimi protiizpeljavami, to je še posebej opazno pri drugi nalogi. Dejstvo je, da moramo za izbiro nekaterih elementov, ki jih je enostavno izračunati skozi tabelo, vedeti, kaj točno iščemo, in v iskanju teh elementov je celoten izračun protiizpeljank.
Z drugimi besedami, ni dovolj samo, da si zapomnite tabelo antiizpeljank - morate biti sposobni videti nekaj, kar še ne obstaja, ampak kaj sta mislila avtor in prevajalec tega problema. Zato se mnogi matematiki, učitelji in profesorji nenehno prepirajo: "Kaj je jemanje protiizpeljav ali integracije - je to le orodje ali je prava umetnost?" Pravzaprav po mojem osebnem mnenju integracija sploh ni umetnost – v njej ni nič vzvišenega, je le vaja in še vaja. In za vajo rešimo še tri resnejše primere.
Integracijo usposabljamo v praksi
Naloga št. 1
Zapišimo naslednje formule:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Zapišimo naslednje:
Problem št. 2
Prepišimo ga takole:
Celotni antiderivat bo enak:
Problem št. 3
Težavnost te naloge je v tem, da za razliko od prejšnjih funkcij zgoraj sploh ni spremenljivke $x$, tj. ni nam jasno, kaj dodati ali odvzeti, da bi dobili vsaj nekaj podobnega temu, kar je spodaj. Vendar se v resnici ta izraz šteje za celo enostavnejšega od katerega koli od prejšnjih izrazov, ker je to funkcijo mogoče prepisati na naslednji način:
Zdaj se lahko vprašate: zakaj sta ti funkciji enaki? Preverimo:
Napišimo še enkrat:
Malo spremenimo naš izraz:
In ko vse to razlagam svojim študentom, se pojavi skoraj vedno isti problem: s prvo funkcijo je vse bolj ali manj jasno, z drugo lahko tudi s srečo ali prakso ugotoviš, kakšno alternativno zavest pa imaš potrebujete za rešitev tretjega primera? Pravzaprav, ne bodi prestrašen. Tehnika, ki smo jo uporabili pri izračunu zadnjega antiderivata, se imenuje "razgradnja funkcije na njeno najpreprostejšo", in to je zelo resna tehnika, ki ji bo posvečena ločena video lekcija.
Medtem predlagam, da se vrnemo k temu, kar smo pravkar preučevali, namreč k eksponentnim funkcijam in nekoliko zapletemo težave z njihovo vsebino.
Kompleksnejši problemi za reševanje antiderivacijskih eksponentnih funkcij
Naloga št. 1
Opozorimo na naslednje:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\levo(2\cdot 5 \desno))^(x))=((10)^(x) )\]
Če želite najti antiizpeljavo tega izraza, preprosto uporabite standardno formulo - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
V našem primeru bo protiizpeljanka takšna:
Seveda je v primerjavi z zasnovo, ki smo jo pravkar rešili, ta videti preprostejša.
Problem št. 2
Spet lahko vidimo, da je to funkcijo mogoče preprosto razdeliti na dva ločena člena - dva ločena ulomka. Prepišimo:
Še vedno je treba najti protiizpeljavo vsakega od teh izrazov z uporabo zgoraj opisane formule:
Kljub navidezni večji zapletenosti eksponentnih funkcij v primerjavi s potenčnimi funkcijami se je celoten obseg izračunov in izračunov izkazal za veliko enostavnejšega.
Seveda se lahko za dobro obveščene študente to, o čemer smo pravkar razpravljali (zlasti v ozadju tega, kar smo razpravljali prej), zdi kot elementarni izrazi. Ko sem izbral ta dva problema za današnjo video lekcijo, si nisem zadal cilja, da vam povem še eno zapleteno in prefinjeno tehniko – vse, kar sem vam želel pokazati, je, da se ne bi smeli bati uporabljati standardnih algebrskih tehnik za transformacijo izvirnih funkcij .
Uporaba "skrivne" tehnike
Za zaključek bi se rad osredotočil na še eno zanimivo tehniko, ki po eni strani presega tisto, o čemer smo danes večinoma razpravljali, po drugi strani pa, prvič, sploh ni zapletena, tj. Obvladajo ga lahko celo študenti začetniki, in drugič, pogosto ga najdemo v vseh vrstah testov in samostojnega dela, tj. poznavanje le-te bo zelo koristno poleg poznavanja tabele antiizpeljank.
Naloga št. 1
Očitno imamo nekaj zelo podobnega funkciji moči. Kaj storiti v tem primeru? Pomislimo: $x-5$ se ne razlikuje toliko od $x$ – pravkar so dodali $-5$. Zapišimo takole:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Poskusimo najti izpeljanko $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \desno)) ^(4))\cdot ((\levo(x-5 \desno))^(\prime ))=5\cdot ((\levo(x-5 \desno))^(4))\]
To pomeni:
\[((\levo(x-5 \desno))^(4))=((\levo(\frac(((\levo(x-5 \desno))^(5)))(5) \ desno))^(\prime ))\]
V tabeli ni takšne vrednosti, zato smo zdaj to formulo izpeljali sami z uporabo standardne formule protiizpeljave za potenčno funkcijo. Zapišimo odgovor takole:
Problem št. 2
Mnogi učenci, ki pogledajo prvo rešitev, morda mislijo, da je vse zelo preprosto: samo zamenjajte $x$ v potenčni funkciji z linearnim izrazom in vse bo postalo na svoje mesto. Na žalost vse ni tako preprosto in zdaj bomo to videli.
Po analogiji s prvim izrazom zapišemo naslednje:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \desno))^(10)) \desno))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \desno)) ^(9))\cdot ((\levo(4-3x \desno))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \desno))^(9))\cdot \left(-3 \desno)=-30\cdot ((\left(4-3x \desno)) ^(9))\]
Če se vrnemo k naši izpeljanki, lahko zapišemo:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \desno) )^(9))\]
\[((\levo(4-3x \desno))^(9))=((\levo(\frac(((\levo(4-3x \desno))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
To takoj sledi:
Nianse rešitve
Upoštevajte: če se zadnjič nič bistveno ni spremenilo, se je v drugem primeru namesto -10$ pojavilo -30$. Kakšna je razlika med -10$ in -30$? Očitno s faktorjem $-3$. Vprašanje: od kod prihaja? Če natančno pogledate, lahko vidite, da je bil vzet kot rezultat izračuna odvoda kompleksne funkcije - koeficient, ki je znašal $x$, se pojavi v spodnjem protiodvodu. To je zelo pomembno pravilo, o katerem sprva sploh nisem nameraval razpravljati v današnji video lekciji, a brez njega bi bila predstavitev tabelarnih protiodvodov nepopolna.
Torej ponovimo. Naj bo naša glavna funkcija moči:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Zdaj namesto $x$ zamenjajmo izraz $kx+b$. Kaj se bo potem zgodilo? Najti moramo naslednje:
\[((\levo(kx+b \desno))^(n))\to \frac(((\levo(kx+b \desno))^(n+1)))(\levo(n+ 1 \desno)\cdot k)\]
Na podlagi česa to trdimo? Zelo preprosto. Poiščimo izpeljanko zgoraj zapisane konstrukcije:
\[((\levo(\frac(((\left(kx+b \desno))^(n+1)))(\levo(n+1 \desno)\cdot k) \desno))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \desno)\cdot k)\cdot \left(n+1 \desno)\cdot ((\left(kx+b \desno))^ (n))\cdot k=((\levo(kx+b \desno))^(n))\]
To je isti izraz, ki je prvotno obstajal. Tako je tudi ta formula pravilna in jo lahko uporabimo za dopolnitev tabele protiizpeljank ali pa si je bolje, da si celotno tabelo preprosto zapomnimo.
Zaključki iz "skrivnosti: tehnike:
- Obe funkciji, ki smo ju pravkar pogledali, je mogoče z razširitvijo stopenj pravzaprav reducirati na protiizpeljanke, navedene v tabeli, toda če se lahko bolj ali manj nekako spopademo s četrto stopnjo, potem devete stopnje ne bi naredil pri vsi upali razkriti.
- Če bi razširili stopnje, bi dobili tako količino izračunov, da bi nam preprosta naloga vzela neprimerno veliko časa.
- Zato takšnih problemov, ki vsebujejo linearne izraze, ni treba reševati brezglavo. Takoj, ko naletite na antiizpeljavo, ki se od tiste v tabeli razlikuje samo po prisotnosti izraza $kx+b$ v notranjosti, se takoj spomnite zgoraj napisane formule, jo nadomestite v svojo tabelo in vse se bo izkazalo hitreje in lažje.
Seveda se bomo zaradi zapletenosti in resnosti te tehnike večkrat vrnili k njeni obravnavi v prihodnjih video lekcijah, a to je vse za danes. Upam, da bo ta lekcija res pomagala študentom, ki želijo razumeti antiizpeljave in integracijo.
Reševanje integralov je lahka naloga, vendar le za nekaj izbranih. Ta članek je namenjen tistim, ki se želijo naučiti razumeti integrale, a o njih ne vedo nič ali skoraj nič. Integral ... Zakaj je potreben? Kako to izračunati? Kaj so določeni in nedoločeni integrali? Če je edina uporaba, ki jo poznate za integral, uporaba kvačke v obliki ikone integrala, da iz težko dostopnih mest potegnete nekaj uporabnega, potem dobrodošli! Ugotovite, kako rešujete integrale in zakaj brez tega ne gre.
Preučujemo koncept "integrala"
Integracijo so poznali že v starem Egiptu. Seveda ne v sodobni obliki, a vseeno. Od takrat so matematiki napisali veliko knjig na to temo. Še posebej so se odlikovali Newton in Leibniz , vendar se bistvo stvari ni spremenilo. Kako razumeti integrale iz nič? Ni šans! Za razumevanje te teme boste še vedno potrebovali osnovno znanje o osnovah matematične analize. Informacije o , potrebne za razumevanje integralov, že imamo na našem blogu.
Nedoločen integral
Naj imamo kakšno funkcijo f(x) .
Funkcija nedoločenega integrala f(x) ta funkcija se imenuje F(x) , katerega odvod je enak funkciji f(x) .
Z drugimi besedami, integral je obratna izpeljava ali antiizpeljava. Mimogrede, preberite o tem, kako v našem članku.
Protiodpeljava obstaja za vse zvezne funkcije. Prav tako se antiizpeljavi pogosto doda konstantni predznak, saj odvodi funkcij, ki se razlikujejo po konstanti, sovpadajo. Postopek iskanja integrala imenujemo integracija.
Preprost primer:
Da ne bi nenehno izračunavali antiderivatov elementarnih funkcij, jih je priročno postaviti v tabelo in uporabiti že pripravljene vrednosti.
Popolna tabela integralov za študente
Določen integral
Ko imamo opravka s konceptom integrala, imamo opravka z neskončno majhnimi količinami. Integral bo pomagal izračunati površino figure, maso neenakomernega telesa, prevoženo razdaljo med neenakomernim gibanjem in še veliko več. Ne smemo pozabiti, da je integral vsota neskončno velikega števila neskončno majhnih členov.
Kot primer si predstavljajte graf neke funkcije. Kako najti območje figure, omejeno z grafom funkcije?
Uporaba integrala! Krivočrtni trapez, omejen s koordinatnimi osemi in grafom funkcije, razdelimo na infinitezimalne segmente. Tako bo slika razdeljena na tanke stolpce. Vsota površin stolpcev bo površina trapeza. Vendar ne pozabite, da bo tak izračun dal približen rezultat. Manjši in ožji ko so segmenti, bolj natančen bo izračun. Če jih zmanjšamo do te mere, da se dolžina nagiba k nič, potem se vsota površin segmentov nagiba k površini figure. To je določen integral, ki je zapisan takole:
Točki a in b pravimo limiti integracije.
Bari Alibasov in skupina "Integral" Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust na
Pravila za izračun integralov za lutke
Lastnosti nedoločenega integrala
Kako rešiti nedoločen integral? Tukaj si bomo ogledali lastnosti nedoločenega integrala, kar nam bo koristilo pri reševanju primerov.
- Odvod integrala je enak integrandu:
- Konstanto lahko vzamemo izpod integralnega znaka:
- Integral vsote je enak vsoti integralov. To velja tudi za razliko:
Lastnosti določenega integrala
- Linearnost:
- Predznak integrala se spremeni, če zamenjamo limiti integracije:
- pri kaj točke a, b in z:
Ugotovili smo že, da je določen integral limita vsote. Toda kako pri reševanju primera dobiti določeno vrednost? Za to obstaja Newton-Leibnizova formula:
Primeri reševanja integralov
Spodaj bomo obravnavali več primerov iskanja nedoločenih integralov. Predlagamo, da sami ugotovite zapletenost rešitve, in če nekaj ni jasno, postavite vprašanja v komentarjih.
Za utrjevanje snovi si oglej video, kako se integrali rešujejo v praksi. Ne obupajte, če integral ni podan takoj. Obrnite se na strokovno službo za študente in kakršen koli trojni ali ukrivljeni integral na zaprti površini bo v vaši moči.
Prej smo glede na dano funkcijo, vodeni z različnimi formulami in pravili, našli njen derivat. Izpeljanka ima številne uporabe: je hitrost gibanja (ali, bolj splošno, hitrost katerega koli procesa); kotni koeficient tangente na graf funkcije; z uporabo odvoda lahko preverite monotonost in ekstreme funkcije; pomaga pri reševanju težav z optimizacijo.
Toda poleg problema iskanja hitrosti po znanem zakonu gibanja obstaja tudi obratni problem - problem obnovitve zakona gibanja po znani hitrosti. Razmislimo o eni od teh težav.
Primer 1. Materialna točka se giblje premočrtno, njena hitrost v času t je podana s formulo v=gt. Poiščite zakon gibanja.
rešitev. Naj bo s = s(t) želeni zakon gibanja. Znano je, da je s"(t) = v(t). To pomeni, da morate za rešitev problema izbrati funkcijo s = s(t), katere odvod je enak gt. Ni težko uganiti da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Pravzaprav
\(s"(t) = \levo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Naj takoj opozorimo, da je primer rešen pravilno, vendar nepopolno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Pravzaprav ima problem neskončno veliko rešitev: katera koli funkcija oblike \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kjer je C poljubna konstanta, lahko služi kot zakon gibanje, saj \(\levo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bi bil problem bolj specifičen, smo morali popraviti začetno situacijo: navesti koordinato premikajoče se točke v neki časovni točki, na primer pri t = 0. Če je, recimo, s(0) = s 0, potem iz enakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobimo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Zdaj je zakon gibanja enolično definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
V matematiki se medsebojno inverznim operacijam dajejo različna imena, izumljeni so posebni zapisi, na primer: kvadriranje (x 2) in kvadratni koren (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) in arksinus (arcsin x) in itd. Postopek iskanja odvoda dane funkcije se imenuje diferenciacija, obratna operacija, tj. postopek iskanja funkcije iz danega odvoda, pa je integracija.
Sam izraz "derivacija" je lahko upravičen "v vsakdanjem smislu": funkcija y = f(x) "rodi" novo funkcijo y" = f"(x). Funkcija y = f(x) deluje kot »starš«, vendar je matematiki seveda ne imenujejo »starš« ali »proizvajalec«; pravijo, da je v zvezi s funkcijo y" = f"( x), primarna slika ali primitiv.
Opredelitev. Funkcijo y = F(x) imenujemo antiizpeljava za funkcijo y = f(x) na intervalu X, če velja enakost F"(x) = f(x) za \(x \in X\)
V praksi interval X običajno ni specificiran, je pa impliciran (kot naravna domena definicije funkcije).
Navedimo primere.
1) Funkcija y = x 2 je antiizvedena za funkcijo y = 2x, saj za vsak x velja enakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiizpeljana za funkcijo y = 3x 2, saj za vsak x velja enakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je protiizpeljana za funkcijo y = cos(x), saj za vsak x velja enakost (sin(x))" = cos(x).
Pri iskanju antiizpeljank, pa tudi izpeljank, se ne uporabljajo samo formule, ampak tudi nekatera pravila. Neposredno so povezani z ustreznimi pravili za izračun izvedenih finančnih instrumentov.
Vemo, da je odvod vsote enak vsoti njegovih odvodov. To pravilo generira ustrezno pravilo za iskanje antiizpeljank.
1. pravilo Protiodvod vsote je enak vsoti protiodvodov.
Vemo, da lahko konstantni faktor vzamemo iz predznaka odvoda. To pravilo generira ustrezno pravilo za iskanje antiizpeljank.
2. pravilo.Če je F(x) antiderivacija za f(x), potem je kF(x) antiderivacija za kf(x).
1. izrek.Če je y = F(x) protiodvod za funkcijo y = f(x), potem je protiodvod za funkcijo y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
2. izrek.Če je y = F(x) protiodvod za funkcijo y = f(x) na intervalu X, potem ima funkcija y = f(x) neskončno veliko protiodvodov in vsi imajo obliko y = F(x) + C.
Metode integracije
Metoda zamenjave spremenljivke (metoda zamenjave)
Metoda integracije s substitucijo vključuje uvedbo nove integracijske spremenljivke (to je substitucija). V tem primeru se dani integral reducira na nov integral, ki je tabelarni ali nanj reducibilen. Splošnih metod za izbiro nadomestkov ni. Sposobnost pravilnega določanja zamenjave pridobimo s prakso.
Naj bo treba izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Naredimo zamenjavo \(x= \varphi(t) \), kjer je \(\varphi(t) \) funkcija, ki ima zvezen odvod.
Nato \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) in na podlagi lastnosti invariantnosti integracijske formule za nedoločen integral dobimo integracijsko formulo s substitucijo:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izrazov v obliki \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Če je m liho, m > 0, potem je primerneje narediti zamenjavo sin x = t.
Če je n liho, n > 0, je primerneje narediti zamenjavo cos x = t.
Če sta n in m soda, potem je primerneje narediti zamenjavo tg x = t.
Integracija po delih
Integracija po delih - uporaba naslednje formule za integracijo:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ali:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)