Linearna funkcija je funkcija oblike y=kx+b, kjer je x neodvisna spremenljivka, k in b pa poljubni števili.
Graf linearne funkcije je ravna črta.
1. Če želite narisati funkcijski graf, potrebujemo koordinate dveh točk, ki pripadata grafu funkcije. Če jih želite najti, morate vzeti dve vrednosti x, ju nadomestiti v enačbo funkcije in iz njiju izračunati ustrezne vrednosti y.
Na primer, če želite narisati funkcijo y= x+2, je priročno vzeti x=0 in x=3, potem bodo ordinate teh točk enake y=2 in y=3. Dobimo točki A(0;2) in B(3;3). Povežimo jih in dobimo graf funkcije y= x+2:
2.
V formuli y=kx+b se število k imenuje faktor sorazmernosti:
če k>0, potem funkcija y=kx+b narašča
če k
Koeficient b prikazuje premik grafa funkcije vzdolž osi OY:
če je b>0, dobimo graf funkcije y=kx+b iz grafa funkcije y=kx s premikom b enot navzgor vzdolž osi OY
če b
Spodnja slika prikazuje grafe funkcij y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3
Upoštevajte, da je v vseh teh funkcijah koeficient k Nad ničlo, in funkcije so povečevanje. Poleg tega večja kot je vrednost k, večji je kot naklona ravne črte v pozitivno smer osi OX.
V vseh funkcijah b=3 - in vidimo, da vsi grafi sekajo os OY v točki (0;3)
Sedaj si oglejmo grafe funkcij y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
Tokrat je pri vseh funkcijah koeficient k manj kot nič in funkcije zmanjšanje. Koeficient b=3, grafa pa tako kot v prejšnjem primeru prečkata os OY v točki (0;3)
Oglejmo si grafe funkcij y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Zdaj so v vseh enačbah funkcij koeficienti k enaki 2. In dobili smo tri vzporedne premice.
Toda koeficienti b so različni in ti grafi sekajo os OY na različnih točkah:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) seka os OY v točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) seka os OY v točki (0;0) - izhodišču.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) seka os OY v točki (0;-3)
Torej, če poznamo predznake koeficientov k in b, potem si lahko takoj predstavljamo, kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
če k 0
če k>0 in b>0, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:
če k>0 in b, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:
če k, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:
če k=0, potem se funkcija y=kx+b spremeni v funkcijo y=b in njen graf izgleda takole:
Ordinate vseh točk grafa funkcije y=b so enake b Če b=0, potem gre graf funkcije y=kx (direktna sorazmernost) skozi izhodišče:
3. Ločeno opazimo graf enačbe x=a. Graf te enačbe je premica, vzporedna z osjo OY, katere vse točke imajo absciso x=a.
Na primer, graf enačbe x=3 izgleda takole:
Pozor! Enačba x=a ni funkcija, saj ena vrednost argumenta ustreza različnim vrednostim funkcije, kar pa ne ustreza definiciji funkcije.
4. Pogoj za vzporednost dveh premic:
Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je vzporeden z grafom funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 =k 2
5. Pogoj, da sta dve ravni črti pravokotni:
Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je pravokoten na graf funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 *k 2 =-1 ali k 1 =-1/k 2
6. Presečišča grafa funkcije y=kx+b s koordinatnimi osemi.
z osjo OY. Abscisa katere koli točke, ki pripada osi OY, je enaka nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OY, morate v enačbi funkcije zamenjati nič namesto x. Dobimo y=b. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OY koordinate (0;b).
Z osjo x: Ordinata katere koli točke, ki pripada osi x, je nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OX, morate v enačbi funkcije zamenjati nič namesto y. Dobimo 0=kx+b. Zato je x=-b/k. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OX koordinate (-b / k; 0):
Video tečaj "Get an A" vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljanje izpita iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profila USE v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovne USE iz matematike. Če želite opraviti izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!
Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in naloge 13 (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s sto točkami niti humanist.
Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so vse relevantne naloge 1. dela iz nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.
Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.
Na stotine izpitnih nalog. Besedilni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti algoritmi za reševanje problemov, ki si jih je lahko zapomniti. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, koristne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga kompleksnih pojmov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.
Elementarne funkcije in njihovi grafi
Naravnost sorazmernost. Linearna funkcija.
Obratno sorazmerje. Hiperbola.
kvadratna funkcija. Kvadratna parabola.
Funkcija moči. Eksponentna funkcija.
logaritemska funkcija. trigonometrične funkcije.
Inverzne trigonometrične funkcije.
|
1. |
proporcionalne vrednosti. Če spremenljivke l in x neposredno sorazmerno, potem je funkcionalna odvisnost med njima izražena z enačbo: l = k x, Kje k- konstantna vrednost ( faktor sorazmernosti). Urnik naravnost sorazmernost- premica, ki poteka skozi izhodišče in se tvori z osjo X kot, katerega tangenta je k:tan= k(slika 8). Zato se imenuje tudi koeficient sorazmernosti faktor naklona. Slika 8 prikazuje tri grafe za k = 1/3, k= 1 in k = 3 .
|
|
2. |
Linearna funkcija. Če spremenljivke l in x povezana z enačbo 1. stopnje: Sekira + By = C , kjer je vsaj ena od številk A oz B ni enaka nič, potem je graf te funkcionalne odvisnosti ravna črta. če C= 0, potem gre skozi izvor, drugače pa ne. Grafi linearne funkcije za različne kombinacije A,B,C so prikazani na sliki 9.
|
|
3. |
Vzvratno sorazmernost. Če spremenljivke l in x nazaj sorazmerno, potem je funkcionalna odvisnost med njima izražena z enačbo: l = k / x, Kje k- konstantna vrednost. Inverzno sorazmerni izris - hiperbola (Slika 10). Ta krivulja ima dve veji. Hiperbole dobimo, ko krožni stožec presekamo z ravnino (za stožce glej poglavje "Stožec" v poglavju "Stereometrija"). Kot je prikazano na sliki 10, je produkt koordinat točk hiperbole konstantna vrednost, v našem primeru enaka 1. V splošnem primeru je ta vrednost enaka k, kar izhaja iz enačbe hiperbole: xy = k.
Glavne značilnosti in lastnosti hiperbole: Obseg funkcije: x 0, obseg: l 0 ; Funkcija je monotona (padajoča) pri x< 0 in pri x > 0, vendar ne na splošno monotono zaradi prelomne točke x= 0 (pomislite zakaj?); Neomejena funkcija, diskontinuirana v točki x= 0, liho, neperiodično; - Funkcija nima ničel. |
|
4. |
Kvadratna funkcija. To je funkcija: l = sekira 2 + bx + c, Kje a, b, c- trajno, a 0. V najpreprostejšem primeru imamo: b=c= 0 in l = sekira 2. Graf te funkcije kvadratna parabola - krivulja, ki poteka skozi izhodišče (slika 11). Vsaka parabola ima simetrijsko os ojoj, ki se imenuje os parabole. Pika O imenujemo presečišče parabole z njeno osjo vrh parabole.
Funkcijski graf l = sekira 2 + bx + c je tudi kvadratna parabola iste vrste kot l = sekira 2 , vendar njegovo oglišče ne leži v izhodišču, temveč v točki s koordinatami: Oblika in lokacija kvadratne parabole v koordinatnem sistemu je v celoti odvisna od dveh parametrov: koeficienta a pri x 2 in diskriminator D:D = b 2 – 4ac. Te lastnosti izhajajo iz analize korenin kvadratne enačbe (glej ustrezen razdelek v poglavju Algebra). Vsi možni različni primeri za kvadratno parabolo so prikazani na sliki 12. |
Narišite kvadratno parabolo za ohišje a > 0, D > 0 .
Glavne značilnosti in lastnosti kvadratne parabole:
Obseg funkcije: < x+ (tj. x R ), in območje
vrednote: … (Prosim, odgovorite na to vprašanje sami!);
Funkcija kot celota ni monotona, ampak desno ali levo od vrha
obnaša se kot monoton;
Funkcija je neomejena, povsod zvezna, tudi za b = c = 0,
in neperiodične;
- pri D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .
|
5. |
Funkcija moči. To je funkcija: y=ax n, Kje a, n- trajno. pri n= 1 dobimo premo sorazmernost: l=sekira; pri n = 2 - kvadratna parabola; pri n = 1 - obratno sorazmernost oz hiperbola. Tako so te funkcije posebni primeri potenčne funkcije. Vemo, da je ničelna potenca katerega koli števila, ki ni nič, enaka 1, torej, ko n= 0 funkcija moči postane konstanta: l= a, tj. njegov graf je ravna črta, vzporedna z osjo X, razen izvora koordinat (prosimo, pojasnite, zakaj?). Vsi ti primeri (z a= 1) so prikazani na sliki 13 ( n 0) in sl.14 ( n < 0). Отрицательные значения x tukaj niso upoštevane, ker potem nekatere funkcije:
če n– celotne, močnostne funkcije so smiselne tudi takrat, ko x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n sodo ali liho število. Slika 15 prikazuje dve takšni funkciji moči: za n= 2 in n = 3.
pri n= 2 funkcija je soda in njen graf je simetričen glede na os Y. pri n= 3 je funkcija liha in njen graf je simetričen glede na izhodišče. funkcija l = x 3 klical kubična parabola. Slika 16 prikazuje funkcijo. Ta funkcija je obratna funkcija kvadratne parabole l = x 2 , njen graf dobimo z vrtenjem grafa kvadratne parabole okoli simetrale 1. koordinatnega kotaTako dobimo graf poljubne inverzne funkcije iz grafa njene prvotne funkcije. Iz grafa vidimo, da gre za dvovredno funkcijo (to označuje tudi znak pred kvadratnim korenom). Takšne funkcije se v osnovni matematiki ne preučujejo, zato kot funkcijo običajno obravnavamo eno od njenih vej: zgornjo ali spodnjo. |
|
6. |
Demonstracija funkcijo. funkcija l = a x, Kje a je pozitivno konstantno število, imenovano eksponentna funkcija. Prepir x sprejme vse veljavne vrednosti; kot vrednosti funkcij se upoštevajo samo pozitivne številke, ker sicer imamo funkcijo z več vrednostmi. Ja, funkcija l = 81 x ima pri x= 1/4 štiri različne vrednosti: l = 3, l = 3, l = 3 jaz in l = 3 jaz(Preverite, prosim!). Vendar upoštevamo samo vrednost funkcije l= 3. Grafi eksponentne funkcije za a= 2 in a= 1/2 so prikazani na sliki 17. Gredo skozi točko (0, 1). pri a= 1 imamo graf premice, vzporedne z osjo X, tj. funkcija se spremeni v konstantno vrednost, ki je enaka 1. Ko a> 1, eksponentna funkcija narašča, pri 0 pa< a < 1 – убывает.
Glavne značilnosti in lastnosti eksponentne funkcije: < x+ (tj. x R ); obseg: l> 0 ; Funkcija je monotona: narašča z a> 1 in pada pri 0< a < 1; - Funkcija nima ničel. |
|
7. |
Logaritemska funkcija. funkcija l= dnevnik a x, Kje a je konstantno pozitivno število, ni enako 1 se imenuje logaritemski. Ta funkcija je inverzna eksponentni funkciji; njen graf (slika 18) lahko dobimo z vrtenjem grafa eksponentne funkcije okoli simetrale 1. koordinatnega kota.
Glavne značilnosti in lastnosti logaritemske funkcije: Obseg funkcije: x> 0, in obseg vrednosti: < l+ (tj. l R ); To je monotona funkcija: narašča kot a> 1 in pada pri 0< a < 1; Funkcija je neomejena, povsod zvezna, neperiodična; Funkcija ima eno ničlo: x = 1. |
|
8. |
trigonometrične funkcije. Pri konstruiranju trigonometričnih funkcij uporabljamo radian merilo kotov. Nato funkcija l= greh x predstavljen z grafom (slika 19). Ta krivulja se imenuje sinusoida.
Funkcijski graf l= cos x prikazano na sliki 20; je tudi sinusni val, ki je posledica premikanja grafa l= greh x vzdolž osi X levo za 2
Iz teh grafov so značilnosti in lastnosti teh funkcij očitne: Domena: < x+ razpon: -1 l +1; Te funkcije so periodične: njihova perioda je 2; Omejene funkcije (| l| , povsod neprekinjeno, ne monotono, ampak ki imajo tako imenovani intervalih monotonost, znotraj katerega sta se obnašajo kot monotone funkcije (glej grafa na sliki 19 in sliki 20); Funkcije imajo neskončno število ničel (za več podrobnosti glejte razdelek "Trigonometrične enačbe"). Funkcijski grafi l= porjavelost x in l= posteljica x prikazano na sl. 21 in sl. 22
Iz grafov je razvidno, da so te funkcije: periodične (njihova perioda , neomejeni, na splošno niso monotoni, vendar imajo intervale monotonosti (kaj?), diskontinuirano (katere prelomne točke imajo te funkcije?). Regija definicije in obseg teh funkcij: |
|
9. |
Inverzne trigonometrične funkcije. Definicije inverzov trigonometrične funkcije in podane so njihove glavne lastnosti razdelek z istim imenom v poglavju "Trigonometrija". Zato se tukaj omejujemo prejeli le kratke pripombe glede svojih grafov z vrtenjem grafov trigonometričnih funkcij okoli simetrale 1 koordinatni kot.
|
Funkcije l= Arcsin x(slika 23) in l= Arccos x(slika 24) mnogovrednost, neomejeno; njihova definicijska domena oziroma obseg vrednosti: 1 x+1 in < l+ . Ker so te funkcije večvrednostne,
v osnovni matematiki se njihove glavne vrednosti obravnavajo kot inverzne trigonometrične funkcije: l= arcsin x in l= arccos x; njihovi grafi so označeni na sl. 23 in sl. 24 s krepkimi črtami.
Funkcije l= arcsin x in l= arccos x imajo naslednje značilnosti in lastnosti:
Obe funkciji imata isto domeno definicije: -1 x +1 ;
njihovi razponi so: /2 l/2 za l= arcsin x in 0 l Za l= arccos x;
(l= arcsin x je naraščajoča funkcija; l= arccos x- zmanjševanje);
Vsaka funkcija ima eno ničlo ( x= 0 za funkcijo l= arcsin x in
x= 1 za funkcijo l= arccos x).
Funkcije l= Arctan x(slika 25) in l= Arccot x (slika 26) - večvrednostne, neomejene funkcije; njihova definicijska domena: x+ . Njihov glavni pomen l= arktan x in l= arccot x obravnavajo kot inverzne trigonometrične funkcije; njihovi grafi so označeni na sl. 25 in sl. 26 s krepkimi vejami.
Funkcije l= arktan x in l= arccot x imajo naslednje značilnosti in lastnosti:
Obe funkciji imata enak obseg: x + ;
njihovi razponi so: /2 <l < /2 для l= arktan x in 0< l < для l= arccos x;
Funkcije so omejene, neperiodične, zvezne in monotone
(l= arktan x je naraščajoča funkcija; l= arccot x- zmanjševanje);
Samo funkcija l= arktan x ima eno samo ničlo ( x = 0);
funkcijo l = arccot x nima ničel.
Zgradite funkcijo
Predstavljamo vam storitev risanja funkcijskih grafov na spletu, katere vse pravice pripadajo podjetju Desmos. Uporabite levi stolpec za vnos funkcij. Vnesete lahko ročno ali z virtualno tipkovnico na dnu okna. Če želite povečati okno grafikona, lahko skrijete levi stolpec in navidezno tipkovnico.
Prednosti spletnega grafikona
- Vizualni prikaz uvedenih funkcij
- Grajenje zelo kompleksnih grafov
- Risanje implicitno definiranih grafov (npr. elipse x^2/9+y^2/16=1)
- Možnost shranjevanja grafikonov in pridobitve povezave do njih, ki postane na voljo vsem na internetu
- Nadzor merila, barva črte
- Sposobnost risanja grafov po točkah, uporaba konstant
- Izdelava več grafov funkcij hkrati
- Risanje v polarnih koordinatah (uporabite r in θ(\theta))
Z nami je preprosto sestaviti grafe različnih zahtevnosti na spletu. Gradnja je narejena takoj. Storitev je potrebna za iskanje presečišč funkcij, za prikaz grafov za njihov nadaljnji prenos v dokument Word kot ilustracije za reševanje problemov, za analizo vedenjskih značilnosti funkcijskih grafov. Najboljši brskalnik za delo z grafikoni na tej strani spletnega mesta je Google Chrome. Pri uporabi drugih brskalnikov pravilno delovanje ni zagotovljeno.