Trigonometrična oblika kompleksa. Predavanje na temo: "Trigonometrična oblika integrirane številke"

V tem odstavku bo več o trigonometrični obliki integrirane številke. Okvirna oblika v praktičnih nalogah je veliko manj pogosta. Priporočam prenos in kadar je to mogoče. trigonometrične mizeMetodični material lahko najdete na matematičnih formulah in tabele. Brez tabel, ne zapustiti.

Vsako kompleksno število (razen nič) je mogoče napisati v trigonometrični obliki:

Kje je kompleksni modulin - argument kompleksnega števila.

Slike na kompleksni ravni. Za dokončnost in preprostost pojasnil ga bomo postavili v prvo koordinatno četrtletje, tj. Verjamemo, da:

Kompleksni modul Razdalja od začetka koordinat do ustrezne točke kompleksne ravnine se imenuje. Enostavno povedano modul je dolžina Radius vektor, ki je označen v rdeči barvi.

Integrirani številčni modul je standardno označen: ali

Po mnenju Pythagore Therem, je enostavno odstraniti formulo za iskanje kompleksnega številskega modula :. Ta formula je veljavna za vsakogar Vrednote "A" in "Be".

Opomba : Integrirani številčni modul je posplošitev koncepta modul dejanskega številakot razdalje od točke pred začetkom koordinat.

Argument kompleksnega števila imenovan kot med pozitivna polsi Veljavna os in radijsko-vektor, izvedena od začetka koordinat do ustrezne točke. Argument ni določen za edinstveno :.

Načelo obravnavano je dejansko podobno polarnim koordinatam, kjer polarni polmer in polarni kot nedvoumno določata točko.

Argument integrirane številke je standardno označen: ali

Geometrical vidik, je naslednja formula pridobljena za iskanje argumenta:

. Pozor! Ta formula deluje samo v desni polovici letala! Če se kompleksno število ne nahaja v 1. in ne 4. koordinatnih prostorih, bo formula nekoliko drugačna. Te primere bomo analizirali tudi.

Najprej pa upoštevajte najpreprostejše primere, ko se kompleksne številke nahajajo na koordinatnih osi.

Primer 7.

V trigonometrični obliki kompleksne številke :,,,,,,,, Izvedite risbo:

Dejansko je naloga ustno. Zaradi jasnosti ponovno napišite trigonometrično obliko kompleksnega števila:

Spomnimo se, modul - dolžina (ki je vedno ne-negativna), prepir - kot

1) Predstavljajte si številko v trigonometrični obliki. Našli smo njegov modul in argument. Očitno je to. Formalni izračun po formuli: Očitno je, da je število neposredno na dejanski pozitivni polsi). Tako je število v trigonometrični obliki :.

Jasno kot dan, povratni ukrepi:

2) Predstavljajte si številko v trigonometrični obliki. Našli smo njegov modul in argument. Očitno je to. Formalni izračun po formuli: Očitno (ali 90 stopinj). V risbi je kot označen v rdeči barvi. Tako je število v trigonometrični obliki: .

Z uporabo Zlahka nazaj, da dobite algebraično obliko (hkrati po pregledu):

3) Predstavljajte si številko v trigonometrični obliki. Najdemo svoj modul in

prepir. Očitno je to. Formalni izračun po formuli:

Očitno (ali 180 stopinj). V risbi je kot označen z modro. Tako je število v trigonometrični obliki :.

Preverite:

4) in četrti zanimiv primer. Očitno je to. Formalni izračun po formuli:

Argument je mogoče napisati na dva načina: prva metoda: (270 stopinj), in zato: . Preverite:

Vendar pa je naslednje besedilo: \\ t Če je kot več kot 180 stopinj, On je posneti z minus znak in nasprotno orientacijo ("pomikanja") kot: (minus 90 stopinj), v kotu risanja je označen v zeleni. Enostavno dogovor

kaj je enak kot.

Tako je snemanje v obliki:

Pozor! V nobenem primeru ni mogoče uporabiti paritete kosina, čudenosti sinusa in nadaljevati "poenostavitev" evidence:

Mimogrede, je koristno zapomniti videz in lastnosti trigonometričnih in inverznih trigonometričnih funkcij, referenčni materiali se nahajajo na zadnjem odstavku stran grafike in lastnosti glavnih osnovnih funkcij. In kompleksne številke bodo izbrisane izrazito lažje!

Pri oblikovanju najpreprostejših primerov je treba zabeležiti : "Očitno je, da je modul enak ... Očitno je, da je argument enak ...". Res je očitno in enostavno rešiti peroralno.

Obrnite se na obravnavo pogostejših primerov. S problematičnim modulom se ne pojavi, morate vedno uporabljati formulo. Toda formule za iskanje argumenta bodo drugačne, odvisno je od koordinatnega četrtletja je število. V tem primeru so možne tri možnosti (koristno jih je ponovno napisati):

1) Če (1. in 4. koordinatna četrtina ali desna polletna) je treba argument najti s formulo.

2) Če (2 koordinata četrtina), je treba argument najti s formulo .

3) Če (3 koordinatna četrtletje), je treba argument najti s formulo .

Primer 8.

V trigonometrični obliki kompleksne številke :,,,,,,,,

Ker bodo pripravljene formule kmalu kmalu, potem risba ni potrebna. Vendar obstaja ena točka: ko predlagate nalogo, da predstavi številko v trigonometrični obliki, potem risba je boljša v vsakem primeru.. Dejstvo je, da je odločitev brez risbe pogosto nerešene učitelje, pomanjkanje risbe je resna osnova za minus in nenapovedano.

V integrirani obliki števila smo prisotni in, prva in tretja številka bosta neodvisna odločitev.

Predstavljajte si v trigonometrični obliki. Našli smo njegov modul in argument.

Od takrat (primer 2)

- Kaj je potrebno uporabiti točnost Arctgence. Na žalost ni nobene vrednosti v tabeli, zato je v takih primerih argument ostal v okornem: - številke trigonometrične oblike.

Predstavljajte si v trigonometrični obliki. Našli smo njegov modul in argument.

Od (primer 1), nato (minus 60 stopinj).

Tako:

-Un v trigonometrični obliki.

In tukaj, kot je navedeno, slabosti ne dotikaj se.

Poleg smešne grafične metode preverjanja, obstaja analitični test, ki je že izveden v primeru 7. Uporabljamo tabela trigonometričnih funkcijHkrati pa upoštevamo, da je kot točno kot tabel (ali 300 stopinj): - številke začetne algebrske oblike.

Številke so v trigonometrični obliki sami. Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Na koncu odstavka na kratko o okvirni obliki integrirane številke.

Vsako kompleksno število (razen nič) je mogoče napisati v okvirnem obrazcu:

Kje je integrirani številčni modul, integrirana številka argumenta.

Kaj je treba storiti, da bi predstavili celovito številko v okvirni obliki? Skoraj enaka: Izvedite risbo, poiščite modul in argument. In napišite številko v obrazcu.

Na primer, za število prejšnjega primera smo našli modul in argument :,. Nato je ta številka označena kot sledi :. \\ t

Številka v okvirni obliki bo izgledala takole:

Številka - Torej:

Edini nasvet - ne dotikajte se indikatorja Razstavljavci, ni treba preurediti multiplikatorjev, razkriti oklepajev itd. Celovita številka se evidentira v okvirni obliki strogo v obliki.

3.1. Polarne koordinate

Letalo se pogosto uporablja polarni koordinatni sistem . Opredeljen je, če je točka O, imenovana palicain odhajajo iz raka na pol (za nas to je os Ox) - Polarna os. Pozicijska točka M je pritrjena z dvema številkama: polmer (ali polmer-vektor) in kot φ med polarno osi in vektorjem.Kot φ se imenuje polarni kotiček; Meri se v radianih in se šteje iz polarne osi v nasprotni smeri urinega kazalca.

Položaj točke v polarnem koordinatnem sistemu je nastavljen z urejenim par števila (r; φ). Na pole R \u003d 0,a φ ni definiran. Za vse druge točke r\u003e 0, A φ se določi z natančnostjo mandata več 2π. Hkrati pa pari številk (R; φ) in (R1; φ 1) primerjajo isto točko, če.

Za pravokotni koordinatni sistem xoy. Kartezijske koordinate točke se zlahka izrazijo s polarnimi koordinatami, kot sledi:

3.2. Geometrijska interpretacija kompleksnega števila

Upoštevajte na dehartinčnem pravokotnem koordinatnem sistemu xoy..

Vsako integrirano število z \u003d (a, b) je v skladu z letalom s koordinatami ( x, Y.), kje koordinata X \u003d A, i.e. Dejanski del kompleksnega števila in koordinata Y \u003d BI - namišljenega dela.

Letalo, katerega točke so kompleksne številke - kompleksno ravnino.

Na sliki v kompleksnemu številu z \u003d (a, b)ustreza točki M (x, y).

Naloga.Slika kompleksne številke na koordinatni ravnini:

3.3. Trigonometrična oblika kompleksnega števila

Kompleksno število na letalu ima koordinato točk M (x; y). Kjer:

Snemanje integrirane številke - trigonometrična oblika kompleksnega števila.

Številka R se imenuje modul integrirana številka z. in je označen. Modul je ne-negativna realna številka. Za .

Modul je nič, če in samo, ko z \u003d 0, t.e. a \u003d b \u003d 0.

Številka φ se imenuje argument Z. in označuje. Argument Z je dvoumno opredeljen, kot tudi polarni kot v polarnem koordinatnem sistemu, in sicer s točnostjo mandata večkratnega 2π.

Potem sprejmemo:, kje je φ najmanjša vrednost argumenta. Očitno je, da je to

S poglobljeno študijo teme, je uveden pomožni argument φ *, tako da

Primer 1.. Poiščite trigonometrično obliko kompleksnega števila.

Sklep. 1) Menimo, da je modul:;

2) Iščemo φ: ;

3) Trigonometrična oblika:

Primer 2.Poiščite algebrsko obliko kompleksnega števila .

Tukaj je dovolj, da nadomesti vrednosti trigonometričnih funkcij in pretvorite izraz:

Primer 3.Poiščite modul in integrirani argument številke;

1) ;

2); φ - pri 4 četrti:

3.4. Dejanja s kompleksnimi številkami v trigonometrični obliki

· Dodatek in odštevanje Bolj priročno je nastopati s kompleksnimi številkami v algebrski obliki:

· Multiplication. - S preprostimi trigonometričnimi transformacijami lahko to pokažete pri množenju modulov številk se pomnoži, in argumenti so zloženi: ;

Kompleksne številke XI.

§ 256. Trigonometrična oblika kompleksnih številk

Naj kompleksno število a + BI. Ustreza veku OA. \u003e s koordinatami ( a, B. ) (Glej sliko 332).

Označuje dolžino tega vektorja r. in kot, ki ga tvori z osjo h. , čez φ . Po definiciji Sinusa in COSINE:

a. / r. \u003d Cos. φ , b. / r. \u003d Sin. φ .

zato in = r. cos. φ , b. = r. Sin. φ . Toda v tem primeru, kompleksno število a + BI. Lahko napisate v obliki:

a + BI. = r. cos. φ + ir. Sin. φ = r. (CO. φ + jAZ. sin. φ ).

Kot je znano, je kvadrat dolžine vsakega vektorja enak vsoti kvadratov svojih koordinat. zato r. 2 = a. 2 + b. 2, od r. = √a 2 + b. 2

Tako, katero koli kompleksno število. A + BI. lahko predstavljate kot :

a + BI. = r. (CO. φ + jAZ. sin. φ ), (1)

kjer je R. = √a 2 + b. 2 in kot φ Odločena iz pogoja:

Ta oblika snemanja kompleksnih številk se imenuje trigonometrični.

Številka r. V formuli (1) modulin vogal φ - prepirKompleksno število. A + BI. .

Če je kompleksno število A + BI. ni enaka nič, potem je modul pozitiven; če. A + BI. \u003d 0, potem a \u003d B. \u003d 0 in potem r. = 0.

Modul katere koli integrirane številke je vsekakor definiran.

Če je kompleksno število A + BI. Ni enaka nič, potem je argument določena s formulami (2) definitivno do vogala, večkratna 2 π . Če. A + BI. \u003d 0, potem a \u003d B. \u003d 0. V tem primeru r. \u003d 0. S formulo (1) je enostavno razumeti, da kot argument φ V tem primeru lahko izberete kateri koli kot: navsezadnje, s katerim koli φ

0 (CO. φ + jAZ. Sin. φ ) = 0.

Zato ni opredeljen ničelni argument.

Kompleksni modul r. Včasih označite z. | in argument arg z. . Razmislite o več primerih na predstavitvi kompleksnih številk v trigonometrični obliki.

Primer. eno. 1 + jAZ. .

Našli smo modul r. in argument φ tega števila.

r. = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Posledično, sin φ \u003d 1 / √ 2, cos φ \u003d 1 / √ 2, od koder φ = π / 4 + 2n.π .

Tako,

1 + jAZ. = √ 2 ,

kje str - Vsa celo število. Običajno je od neskončnega niza vrednosti argumenta integriranega števila izbrana med 0 in 2 π . V tem primeru je ta vrednost π / Štiri. zato

1 + jAZ. = √ 2 (CO. π / 4 + jAZ. Sin. π / 4)

Primer 2. Snemanje v trigonometrični obliki √ 3 - jAZ. . Imamo:

r. = √ 3 + 1 \u003d 2, cos φ \u003d √ 3/2, greh φ = - 1 / 2

Zato, s točnostjo kota, večkratna 2 π , φ = 11 / 6 π ; Zato,

√ 3 - jAZ. \u003d 2 (COS 11/6 π + jAZ. sin 11/6. π ).

Primer 3. Snemanje v trigonometrični obliki jaz.

Integrirana številka jAZ. Ustreza veku OA. \u003e, ki se konča na točki in osi w. z ordinatom 1 (sl. 333). Dolžina tega vektorja je 1, in kot, ki ga tvori z osi abscisa, je enak π / 2. \\ T zato

jAZ. \u003d Cos. π / 2 + jAZ. Sin. π / 2 .

Primer 4.Snemanje v trigonometrični obliki Complex številka 3.

Integrirana številka 3 ustreza vektorja OA. > h. abscisa 3 (sl. 334).

Dolžina tega vektorja je 3, in kot, ki jo tvori z osi abscisa je 0. Zato

3 \u003d 3 (COS 0 + jAZ. sin 0)

Primer 5. Snemanje v trigonometrični obliki kompleksne številke -5.

Kompleks, število -5 ustreza vektorja OA. \u003e, ki se konča na točki osi h. z abscissa -5 (sl. 335). Dolžina tega vektorja je enaka 5, in kot, ki ga tvori z osi abscisa, je enak π . zato

5 \u003d 5 (cos π + jAZ. Sin. π ).

Vaje

2047. Te integrirane številke so zabeležene v trigonometrični obliki z opredelitvijo modulov in argumentov: \\ t

1) 2 + 2√3 jAZ. , 4) 12jAZ. - 5; 7).3jAZ. ;

2) √3 + jAZ. ; 5) 25; 8) -2jAZ. ;

3) 6 - 6jAZ. ; 6) - 4; 9) 3jAZ. - 4.

2048. Navedeni na ravnini niza točk, ki prikazujejo kompleksne številke, module r in argumente F SES, ki izpolnjujejo pogoje:

1) r. = 1, φ = π / 4 ; 4) r. < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r. =2; 5) 2 < r. <3; 8) 0 < φ < я;

3) r. < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r. < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ali lahko modul integriranega števila istočasno številke r. in - r. ?

2050. Ali je integrirana trditev številk hkrati vogala φ in - φ ?

Te kompleksne številke se predložijo trigonometrični obliki z opredelitvijo modulov in argumentov:

2051 *. 1 + cos. α + jAZ. Sin. α . 2054 *. 2 (COS 20 ° - jAZ. Sin 20 °).

2052 *. Sin. φ + jAZ. cos. φ . 2055 *. 3 (- COS 15 ° - jAZ. sin 15 °).

Predavanje

Trigonometrična oblika kompleksnega števila

Načrt

1.Gometrična podoba kompleksnih številk.

2.trigonometrične snemanje kompleksnih številk.

3. Cilji kompleksne številke v trigonometrični obliki.

Geometrijska slika kompleksnih številk.

a) Integrirani številki prikazujejo točke letala po naslednjem pravilu: a. + bI. = M. ( a. ; b. ) (Sl.1).

Slika 1.

b) Kompleksno število se lahko prikaže z vektorjem, ki ima začetek na točkiPribližno in konec na tej točki (slika 2).

Slika 2.

Primer 7. Zgradite točke, ki prikazujejo kompleksne številke:1; - jAZ. ; - 1 + jAZ. ; 2 – 3 jAZ. (Sl.3).

Slika 3.

Trigonometrično snemanje kompleksnih številk.

Kompleksno število.z. = a. + bI. Določite lahko s polmerom - vektorjem S koordinatami( a. ; b. ) (Sl.4).

Slika 4.

Opredelitev . Dolžino vektorat. prikazuje kompleksno številoz. , se imenuje modul te številke in je označen alir. .

Za vsako integrirano številkoz. Njegov modulr. = | z. | določena enostransko s formulo .

Opredelitev . Velikost kota med pozitivno smerjo dejanske osi in vektorja ki prikazuje kompleksno število, se imenuje argument te integrirane številke in je označenIn rg. z. aliφ .

Argument kompleksnega številaz. = 0 ni določeno. Argument kompleksnega številaz. ≠ 0 - Vrednost je večje cenjena in določena s točnostjo teme2πk. (K \u003d 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg. z. = arg. z. + 2πk. kjearg. z. - Glavna vrednost argumenta, sklenjenega v intervalu(-π; π] , jaz.-π < arg. z. ≤ π (Včasih začetna vrednost argumenta sprejme vrednost, ki pripada vrzeli .

Ta formular. =1 pogosto se sklicujejo na formulo move:

(cos φ + i greh φ) n. \u003d cos (nφ) + i greh (nφ), n  n .

Primer 11. Izračunaj.(1 + jAZ. ) 100 .

Pišemo kompleksno število1 + jAZ. v trigonometrični obliki.

a \u003d 1, B \u003d 1 .

cos φ \u003d. , sin \u003d , φ = .

(1 + i) 100 = [ (CO. + Jaz grem )] 100 = ( ) 100 (CO. · 100 + i greh · 100) \u003d \u003d 2 50 (Cos 25π + i greh 25π) \u003d 2 50 (Cos π + i greh π) \u003d - 2 50 .

4) Ekstrakcija kvadratnega korena iz kompleksnega števila.

Pri odstranjevanju kvadratnega korena iz kompleksnega številaa. + bI. Imamo dva primera:

čeb. \u003e O. T. ;

Ukrepi na kompleksnih številkah, zabeleženih v algebrski obliki

Algebraična oblika kompleksnega števila z \u003d(a., B.). Imena algebrskega videza

z. = a. + bI..

Aritmetične operacije na kompleksnih številkah z. 1 \u003d A. 1 + B. 1 jAZ.in z. 2 \u003d A. 2 + B. 2 jAZ.Evidentirane v algebrski obliki se izvajajo na naslednji način.

1. Znesek (razlika) kompleksnih številk

z. 1 ± Z. 2 = (a. 1 ± A. 2) + (b. 1 ± B. 2)∙ I.,

ti. Dodatek (odštevanje) se izvaja v skladu s pravilom dodatka polinomov s prinaša takšnih članov.

2. Proizvodnja kompleksnih številk

z. 1 ∙ Z. 2 = (a. 1 ∙ A. 2 - B. 1 B. B. 2) + (a. 1 B. B. 2 + A. 2 B. B. 1)∙ I.,

ti. Razmnoževanje je narejeno v skladu z običajnim pravilom množenja polinomov, ob upoštevanju dejstva, da jAZ. 2 = 1.

3. Razdelitev dveh integriranih številk se izvaja v skladu z naslednjim pravilom: \\ t

, (z. 2 ≠ 0),

ti. Oddelek se izvaja tako, da se razdelitev in delilnik pomnoži s številko, ki je povezana z delilnika.

Gradnja kompleksnih številk se določi na naslednji način:

To lahko pokazati

Primeri.

1. Poiščite količino integriranih številk z. 1 = 2 – jAZ.in z. 2 = – 4 + 3jaz.

z. 1 + Z. 2 = (2 + (–1)∙ I.)+ (–4 + 3jAZ.) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) jAZ. = –2+2jaz.

2. Poiščite izdelek kompleksnih številk z. 1 = 2 – 3jAZ. in z. 2 = –4 + 5jaz.

= (2 – 3jAZ.) ∙ (–4 + 5jAZ.) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3jAZ.)+ 2∙5jAZ.– 3i.5i \u003d.7+22jaz.

3. Poiščite zasebno. z. od delitve z. 1 \u003d 3 - 2 z. 2 = 3 – jaz.

z \u003d. .

4. Rešite enačbo: x. in y. Î R..

(2x + y.) + (x + y.)i \u003d.2 + 3jaz.

Na podlagi enakosti kompleksnih številk imamo:

od x \u003d.–1 , y.= 4.

5. Izračunajte: jAZ. 2 , JAZ. 3 , JAZ. 4 , JAZ. 5 , JAZ. 6 , JAZ. -1 , JAZ. -2 .

6. Izračunajte, če.

7. Izračunajte številko nasprotja z.=3-JAZ..

Kompleksne številke v trigonometrični obliki

Kompleksne ravnine Imenuje se letalo s kartezičnimi koordinatami ( x, Y.), če je vsaka točka s koordinatami ( a, B.) postavite v skladu s kompleksno število z \u003d a + bi. V tem primeru se imenuje osi abscisa veljavna osi.in osi naročila - imaginary.. Potem vsako integrirano številko a + BI.geometrično upodobljen na ravnini kot točko A (a, b) ali vektorja.

Zato je položaj točke In (in zato kompleksno število z.) Lahko nastavite dolžino vektorja | | \u003d. r. in kot j.Izobražen vektor | | S pozitivno smerjo veljavne osi. Vektorska dolžina se imenuje kompleksni modulin označuje | z | \u003d rin vogal j.imenovan argument kompleksnega števila In označuje j \u003d arg z.

Jasno | z.| ³ 0 in | z | = 0 Û z \u003d.0.

S sl. 2 To je mogoče videti.

Argument o kompleksnemu številu se ne dvoumno in do 2 pK, K.Î Z..

S sl. 2. Videli je, da če z \u003d a + bi in J \u003d arg z,to

cos. j \u003d.Sin. j \u003d., Tg. j \u003d.

Če zî.R.in z\u003e0, T. Arg z \u003d.0 +2pK.;

če z îR.in z.< 0, T. arg z \u003d p +2pK.;

če z \u003d.0, Arg Z.ni določeno.

Glavna vrednost argumenta je določena na segmentu 0 £ arg z.2 €. p,

ali -P.£ arg z £ p.

Primeri:

1. Poiščite modul integriranega števila z. 1 = 4 – 3jAZ.in z. 2 = –2–2jaz.