Standardne oznake
Trikotnik z točkami A, B in C označeno kot (glej sliko). Trikotnik ima tri strani:
Dolžine stranic trikotnika so označene z malimi latinskimi črkami (a, b, c):
Trikotnik ima naslednje kote:
Koti na ustreznih ogliščih so tradicionalno označeni z grškimi črkami (α, β, γ).
Testi enakosti za trikotnike
Trikotnik na evklidski ravnini je mogoče enolično določiti (do skladnosti) z naslednjimi trojkami osnovnih elementov:
- a, b, γ (enakost na dveh straneh in kot, ki leži med njima);
- a, β, γ (enakost v stranskem in dveh sosednjih kotih);
- a, b, c (enakost na treh straneh).
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- vzdolž noge in hipotenuze;
- na dveh nogah;
- vzdolž noge in ostrega vogala;
- po hipotenuzi in ostrem kotu.
Nekatere točke v trikotniku so "seznanjene". Na primer, obstajata dve točki, s katerih so vse strani vidne pri 60 ° ali 120 °. Kličejo se Torricellijeve točke... Obstajata tudi dve točki, katerih projekcije na stranice ležijo na ogliščih pravilnega trikotnika. To - Apolonijeve točke... Točke in podobno se imenujejo Brocard točke.
Neposredno
V vsakem trikotniku ležijo težišče, ortocenter in središče opisanega kroga na eni ravni črti, imenovani Eulerjeva ravna črta.
Ravna črta, ki poteka skozi središče opisanega kroga in točko Lemoine, se imenuje Brokardna os... Točke Apolonija ležijo na njem. Tudi točka Torricelli in točka Lemoine ležita na eni ravni črti. Temelji zunanjih simetralov kotov trikotnika ležijo na eni ravni črti, imenovani os zunanjih simetral... Presečišča črt, ki vsebujejo stranice pravokotnika, s črtami, ki vsebujejo stranice trikotnika, prav tako ležijo na eni ravni črti. Ta vrstica se imenuje ortocentrična os, je pravokotna na Eulerjevo črto.
Če vzamemo točko na opisanem krogu trikotnika, bodo njene projekcije na stranice trikotnika ležale na eni ravni črti, imenovani Simson je naravnost ta točka. Simsonove črte diametralno nasprotnih točk so pravokotne.
Trikotniki
- Trikotnik z oglišči na dnu čevijev, potegnjenih skozi dano točko, se imenuje chevijski trikotnik ta točka.
- Trikotnik z oglišči v projekcijah dane točke na straneh se imenuje pod roko ali pedalni trikotnik ta točka.
- Trikotnik na ogliščih na drugi točki presečišča ravnih črt, potegnjenih skozi oglišča, in se ta točka z omejenim krogom imenuje krožni chevijski trikotnik... Obkrožno-chevijski trikotnik je podoben poddernemu.
Krogi
- Vpisan krog- krog, ki se dotika vseh treh strani trikotnika. Ona je edina. Središče vpisanega kroga se imenuje incentrum.
- Obkrožen krog- krog, ki poteka skozi vse tri točke trikotnika. Edinstven je tudi omejen krog.
- Obkroži- krog, ki se dotika ene strani trikotnika in nadaljevanje drugih dveh strani. V trikotniku so trije takšni krogi. Njihovo radikalno središče je središče vpisanega kroga srednjega trikotnika, imenovano Spikerjeva točka.
Središča treh strani trikotnika, osnove njegovih treh višin in sredine treh segmentov, ki povezujejo njegove točke z ortocentrom, ležijo na enem krogu, imenovanem krog devetih točk ali Eulerjev krog... Središče kroga devetih točk leži na Eulerjevi premici. Krog devetih točk se dotakne kroga in treh ex-točk. Kličemo tangentno točko vpisanega kroga in devettočkovnega kroga Feuerbachova točka... Če iz vsakega oglišča postavimo zunanjo stran trikotnika na ravne črte, ki vsebujejo stranice, ortoze enake dolžine na nasprotne stranice, potem nastalih šest točk leži na enem krogu - Conwayjev krog... V kateri koli trikotnik lahko vpišete tri kroge tako, da se vsak od njih dotakne dveh strani trikotnika in dveh drugih krogov. Takšni krogi se imenujejo krogi Malfatti... Središča opisanih krogov šestih trikotnikov, na katere je trikotnik razdeljen s sredinami, ležijo na enem krogu, ki se imenuje Lamunov krog.
Trikotnik ima tri kroge, ki se dotikajo dveh strani trikotnika in opisanega kroga. Takšni krogi se imenujejo napol napisano ali Verrierjevi krogi... Odseki, ki povezujejo tangentne točke Verrierejevih krogov s opisanim krogom, se na eni točki sekajo, imenovano Verrierjeva točka... Služi kot središče homotetije, ki preoblikuje opisani krog v vpisan krog. Dotične točke Verrièrovih krogov s stranicami ležijo na ravni črti, ki poteka skozi središče vpisanega kroga.
Odseki, ki povezujejo dotične točke vpisanega kroga z oglišči, se na eni točki sekajo, imenovani točka Gergonne, in segmenti, ki povezujejo oglišča z dotičnimi točkami krogov, so v točka Nagel.
Elipse, parabole in hiperbole
Vpisana konika (elipsa) in njena perspektiva
V trikotnik je mogoče vpisati neskončno število stožcev (elipse, parabole ali hiperbole). Če vnesete poljubno stožnico v trikotnik in dotične točke povežete z nasprotnimi točkami, se nastale ravne črte sekajo v eni točki, imenovani perspektivo stožci. Za vsako točko ravnine, ki ne leži na strani ali na njenem podaljšku, obstaja vpisana stožnica s perspektivo na tej točki.
Opisana elipsa Steinerja in čevijanov, ki gredo skozi njegova žarišča
Elipso lahko vpišemo v trikotnik, ki se na sredini dotika strani. Takšna elipsa se imenuje vpisana Steinerjeva elipsa(njegova perspektiva bo središče trikotnika). Opisana elipsa, ki se dotika črt, ki potekajo skozi oglišča vzporedno s stranicami, se imenuje opisuje Steinerjeva elipsa... Če se z afinsko transformacijo ("poševno") trikotnik spremeni v pravilen, potem bo njegova vpisana in opisana Steinerjeva elipsa šla v vpisani in opisani krog. Čevijci, potegnjeni skozi žarišča opisane Steinerjeve elipse (Skutinove točke), so enaki (Skutinov izrek). Od vseh opisanih elipse ima opisana Steinerjeva elipsa najmanjšo površino, od vseh vpisanih elipsov pa ima največja Steinerjeva elipsa.
Brocardova elipsa in njena perspektiva - Lemoineova točka
Elipsa s fokusi na Brocardovih točkah se imenuje Brocardova elipsa... Njena perspektiva je točka Lemoine.
Vpisane lastnosti parabole
Parabola Kipert
Perspektive vpisanih parabolov ležijo na opisani Steinerjevi elipsi. Fokus vpisane parabole leži na opisanem krogu, directrix pa gre skozi ortocenter. Imenuje se parabola, vpisana v trikotnik, ki ima Eulerjevo črto kot direktriko Kipertova parabola... Njegova perspektiva je četrto presečišče opisanega kroga in opisane Steinerjeve elipse, imenovano Steinerjeva točka.
Kipertova hiperbola
Če opisana hiperbola prehaja skozi presečišče višin, potem je enakostranična (to pomeni, da so njene asimptote pravokotne). Presečišče asimptot enakostranične hiperbole leži na krogu devetih točk.
Transformacije
Če se ravne črte, ki potekajo skozi oglišča in nekaj točk, ki ne ležijo na straneh, in njihove razširitve odbijejo glede na ustrezne simetrale, se bodo tudi njihove slike sekale v eni točki, ki se imenuje izogonalno konjugirano izvirnik (če točka leži na opisanem krogu, bodo nastale črte vzporedne). Veliko parov izjemnih točk je izogonalno konjugiranih: središče omejenega kroga in ortocentar, središče in Lemoinova točka, Brocardove točke. Apolonijeve točke so izogonalno konjugirane s Torricellijevimi točkami, središče vpisanega kroga pa izogonalno konjugirano samo s seboj. Pod delovanjem izogonalne konjugacije ravne črte preidejo v opisane stožce, opisane konike pa v ravne črte. Tako sta Kipertova hiperbola in Brocardova os, Enzhabekova hiperbola in Eulerjeva črta, Feuerbachova hiperbola in črta središč vpisanih okoli opisanih krogov izogonalno konjugirana. Okroženi krogi poddernih trikotnikov izogonalno konjugiranih točk sovpadajo. Fokusi vpisanih elips so izogonalno konjugirani.
Če namesto simetrične cheviane vzamemo cheviano, katere osnovo odstranimo s sredine stranice na enak način kot osnovo prvotne, se bodo takšni chevi na eni točki tudi sekali. Nastala transformacija se imenuje izotomska konjugacija... Prav tako pretvori ravne črte v opisane stožce. Točki Gergonne in Nagel sta izotomsko konjugirani. Pri afinih transformacijah se izotomično konjugirane točke pretvorijo v izotomično konjugirane točke. Pod izotomsko konjugacijo bo opisana Steinerjeva elipsa šla v neskončno oddaljeno črto.
Če v odseke, odrezane s stranicami trikotnika iz opisanega kroga, vpišemo kroge, ki so tangentni na stranice na osnovah chevians, vlečenih skozi določeno točko, in nato točke dotika teh krogov povežemo z omejenim krogom z nasprotnimi točkami, se bodo take ravne črte sekale v eni točki. Preoblikovanje ravnine, ki se ujema z nastalo točko v prvotno točko, se imenuje izokrožna transformacija... Izogonalna in izotomska sestava konjugacije je izocirkularna transformacijska sestava sama s seboj. Ta kompozicija je projektivna transformacija, ki pusti stranice trikotnika na mestu in os zunanjih simetral prevede v neskončno oddaljeno ravno črto.
Če nadaljujemo stranice chevijevega trikotnika neke točke in vzamemo njihova presečišča z ustreznimi stranicami, bodo dobljene presečne točke ležale na eni ravni črti, imenovani trilinearni polar Izhodišče. Ortocentrična os - trilinearna polarnost ortocentara; os zunanjih simetral služi kot trilinearni polar vpisanega središča kroga. Trilinearni polari točk, ki ležijo na opisani stožnici, se v eni točki sekajo (za opisani krog je to Lemoinova točka, za opisano Steinerjevo elipso - središče). Sestava izogonalnega (ali izotomskega) konjugata in trilinearnega polarja je transformacija dvojnosti (če točka, ki je izogonalno (izotomično) konjugirana s točko, leži na trilinearnem polarju točke, potem trilinearni polar točke izogonalno (izotomično) ) na konjugirano točko leži na trilinearnem polarju točke).
Kocke
Odnosi v trikotniku
Opomba: v tem odseku ,, so dolžine treh strani trikotnika in ,, so koti, ki ležita nasproti teh treh strani (nasprotni koti).
Trikotna neenakost
V nedegeneriranem trikotniku je vsota dolžin njegovih dveh strani večja od dolžine tretje strani; v degeneriranem trikotniku je enaka. Z drugimi besedami, dolžine stranic trikotnika so povezane z naslednjimi neenakostmi:
Neenakost trikotnika je eden od aksiomov metrike.
Vsota kotov trikotnika
Sinusni izrek
,kjer je R polmer kroga, opisanega okoli trikotnika. Iz izreka izhaja, da če je a< b < c, то α < β < γ.
Kosinusni izrek
Tangentni izrek
Druga razmerja
Metrična razmerja v trikotniku so podana za:
Reševanje trikotnikov
Izračun neznanih strani in kotov trikotnika, ki temelji na znanih, je v preteklosti dobil ime "rešitev trikotnikov". V tem primeru se uporabljajo zgornji splošni trigonometrični izreki.
Površina trikotnika
Posebni primeri OznakeZa območje veljajo naslednje neenakosti:
Izračun površine trikotnika v vesolju z uporabo vektorjev
Naj bodo oglišča trikotnika v točkah ,,.
Predstavimo vektor območja. Dolžina tega vektorja je enaka površini trikotnika in je usmerjena vzdolž normale na ravnino trikotnika:
Naj bodo, kjer ,, projekcije trikotnika na koordinatne ravnine. Pri tem
in podobno
Površina trikotnika je.
Druga možnost je izračunati dolžine stranic (po Pitagorinem izreku) in nato po Heronovi formuli.
Izreki o trikotniku
| Ta razdelek je nepopoln. |
Danes se odpravljamo v deželo geometrije, kjer se bomo seznanili z različnimi vrstami trikotnikov.
Razmislite o geometrijskih oblikah in med njimi poiščite "odveč" (slika 1).
Riž. 1. Ilustracija na primer
Vidimo, da so številke 1, 2, 3, 5 štirikotniki. Vsak od njih ima svoje ime (slika 2).
Riž. 2. Štirikotniki
To pomeni, da je "dodatna" slika trikotnik (slika 3).
Riž. 3. Ilustracija na primer
Trikotnik je figura, ki je sestavljena iz treh točk, ki ne ležijo na eni ravni črti, in treh segmentov, ki te točke povezujejo v parih.
Točke se imenujejo oglišča trikotnika, segmenti - to zabave... Strani trikotnika se tvorijo na ogliščih trikotnika so trije vogali.
Glavni znaki trikotnika so tri strani in tri vogale. V smislu kota so trikotniki ostro oglati, pravokotni in tupokoti.
Trikotnik se imenuje ostrokoten, če so vsi trije koti ostri, to je manj kot 90 ° (slika 4).
Riž. 4. Trikotnik z ostrim kotom
Trikotnik se imenuje pravokoten, če je eden od njegovih kotov 90 ° (slika 5).
Riž. 5. Pravokotni trikotnik
Trikotnik se imenuje tup, če je eden od njegovih vogalov tup, to je več kot 90 ° (slika 6).
Riž. 6. Tupi trikotnik
Glede na število enakih strani so trikotniki enakostranični, enakokraki, vsestranski.
Enakokraki trikotnik je trikotnik, katerega dve strani sta enaki (slika 7).
Riž. 7. enakokraki trikotnik
Te stranke se imenujejo bočna, Tretja stran - osnove. V enakokrakem trikotniku so koti na dnu enaki.
Enakokraki trikotniki so ostro in tupo oglato(slika 8) .
Riž. 8. Akutni in tupi enakokraki trikotniki
Enakostranski trikotnik je trikotnik, v katerem so vse tri stranice enake (slika 9).
Riž. 9. Enakostranski trikotnik
V enakostraničnem trikotniku vsi koti so enaki. Enakostranski trikotniki nenehno ostro oglati.
Trikotnik se imenuje vsestranski, pri katerem imajo vse tri strani različne dolžine (slika 10).
Riž. 10. Vsestranski trikotnik
Dokončajte nalogo. Te trikotnike razdelite v tri skupine (slika 11).
Riž. 11. Ilustracija za nalogo
Najprej razdelimo po kotih.
Akutni trikotniki: št. 1, št. 3.
Pravokotni trikotniki: št. 2, št. 6.
Tupi trikotniki: št. 4, št. 5.
Iste trikotnike bomo razdelili v skupine glede na število enakih strani.
Vsestranski trikotniki: št. 4, št. 6.
Ravnokraki trikotniki: št. 2, št. 3, št. 5.
Enakostranski trikotnik: št. 1.
Razmislite o risbah.
Pomislite, kateri kos žice ste naredili za vsak trikotnik (slika 12).
Riž. 12. Ilustracija za nalogo
Lahko razmišljate tako.
Prvi kos žice je razdeljen na tri enake dele, zato je iz njega mogoče narediti enakostranični trikotnik. Na sliki je prikazan kot tretji.
Drugi kos žice je razdeljen na tri različne dele, tako da lahko iz njega naredite vsestranski trikotnik. Najprej je prikazan na sliki.
Tretji kos žice je razdeljen na tri dele, kjer sta oba dela enake dolžine, kar pomeni, da je iz njega mogoče narediti enakokraki trikotnik. Na sliki je prikazan kot drugi.
Danes smo se pri lekciji seznanili z različnimi vrstami trikotnikov.
Bibliografija
- M.I. Moreau, M.A. Bantova in drugi.Matematika: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 1. del - M.: "Izobraževanje", 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova in drugi.Matematika: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 2. del - M.: "Izobraževanje", 2012.
- M.I. Moreau. Pouk matematike: Smernice za učitelje. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
- Normativni pravni dokument. Spremljanje in vrednotenje učnih rezultatov. - M.: "Izobraževanje", 2011.
- "Šola Rusije": programi za osnovno šolo. - M.: "Izobraževanje", 2011.
- S.I. Volkova. Matematika: Preveritveno delo. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Preizkusi. - M.: "Izpit", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domača naloga
1. Dokončaj stavke.
a) Trikotnik je figura, ki je sestavljena iz ..., ki ne leži na eni ravni črti, in ..., ki povezuje te točke v parih.
b) Točke se kličejo … , segmenti - to … ... Strani trikotnika se tvorijo na ogliščih trikotnika ….
c) Trikotniki so glede na kot…,…,….
d) Trikotniki so po številu enakih strani…,…,….
2. Žrebanje
a) pravokotni trikotnik;
b) trikotnik z ostrim kotom;
c) tup trikotnik;
d) enakostranični trikotnik;
e) vsestranski trikotnik;
f) enakokraki trikotnik.
3. Naredite temo lekcije za svoje vrstnike.
Tudi predšolski otroci vedo, kako izgleda trikotnik. Toda s tem, kar so, so fantje že začeli razumeti v šoli. Ena od vrst je tup trikotnik. Najlažje boste razumeli, kaj je to, če vidite sliko z njegovo podobo. Teoretično se imenuje "najpreprostejši mnogokotnik" s tremi stranicami in točkami, od katerih je eden
Razumevanje konceptov
V geometriji se te vrste likov razlikujejo s tremi stranmi: ostrokotnimi, pravokotnimi in tupimi trikotniki. Poleg tega so lastnosti teh najpreprostejših poligonov za vse enake. Torej bo pri vseh navedenih vrstah opažena takšna neenakost. Vsota dolžin obeh strani bo nujno večja od dolžine tretje strani.
Toda, da bi bili prepričani, da govorimo o popolni sliki in ne o nizu posameznih točk, je treba preveriti, ali je izpolnjen glavni pogoj: vsota kotov tupega trikotnika je 180 stopinj. Enako velja za druge oblike oblik s tremi stranicami. Res je, da bo v tupem trikotniku eden od kotov celo večji od 90 °, preostala dva pa bosta nujno ostra. V tem primeru je to največji kot, ki bo nasproti najdaljše stranice. Res je, to še zdaleč niso vse lastnosti tupega trikotnika. Toda tudi če poznajo le te lastnosti, lahko šolarji rešijo številne težave v geometriji.
Za vsak mnogokotnik s tremi točkami velja tudi, da s podaljšanjem katere koli stranice dobimo kot, katerega velikost bo enaka vsoti dveh nesosednjih notranjih vozlišč. Obod tupega trikotnika se izračuna na enak način kot pri drugih oblikah. Enaka je vsoti dolžin vseh njegovih strani. Za definicijo so matematiki izpeljali različne formule, odvisno od tega, kateri podatki so prvotno prisotni.
Pravilen tip
Eden najpomembnejših pogojev za reševanje geometrijskih problemov je pravilna risba. Učitelji matematike pogosto pravijo, da bo pomagal ne le vizualizirati, kaj je dano in kaj se od vas zahteva, ampak tudi 80% bližje pravilnemu odgovoru. Zato je pomembno vedeti, kako zgraditi tup trikotnik. Če želite samo hipotetično obliko, lahko narišete kateri koli poligon s tremi stranicami, tako da je eden od vogalov večji od 90 stopinj.
Če so podane določene vrednosti dolžin stranic ali stopinj kotov, je treba v skladu z njimi narisati tup trikotnik. V tem primeru je treba poskušati prikazati kote čim natančneje, jih izračunati s kotomerom in prikazati stranice sorazmerno s pogoji, navedenimi v nalogi.
Glavne črte
Pogosto ni dovolj, da šolarji vedo le, kako naj bodo videti določene figure. Ne morejo se omejiti le na informacije o tem, kateri trikotnik je tup in kateri pravokoten. Tečaj matematike določa, da mora biti njihovo poznavanje glavnih značilnosti figur popolnejše.
Torej bi moral vsak učenec razumeti definicijo simetrale, mediane, pravokotnika in višine. Poleg tega mora poznati njihove osnovne lastnosti.
Torej, simetrale delijo kot na polovico in nasprotno stran - na odseke, ki so sorazmerni s sosednjima stranicama.
Mediana razdeli vsak trikotnik na dva enaka po površini. Na točki, na kateri se sekata, je vsak razdeljen na 2 segmenta v razmerju 2: 1, gledano z oglišča, iz katerega je prišel. V tem primeru je velika sredina vedno potegnjena na najmanjšo stran.
Nič manj pozornosti ni namenjeno višini. Pravokotno je na nasprotno stran od vogala. Višina tupega trikotnika ima svoje značilnosti. Če je potegnjen iz ostrega oglišča, potem ne pade na stran tega najpreprostejšega poligona, ampak na njegovo nadaljevanje.
Sredina je odsek črte, ki se razteza od središča trikotnika. Poleg tega se nahaja pravokotno nanj.
Delo s krogi
Na začetku študija geometrije je dovolj, da otroci razumejo, kako narisati tup trikotnik, se ga naučijo razlikovati od drugih vrst in se spomniti njegovih glavnih lastnosti. A to znanje srednješolcem ni dovolj. Na primer, na izpitu se pogosto pojavljajo vprašanja o omejenih in vpisanih krogih. Prvi od njih se dotika vseh treh točk trikotnika, drugi pa ima eno skupno točko z vsemi stranicami.
Sestavljanje vpisanega ali opisanega tupega trikotnika je že veliko težje, saj morate za to najprej ugotoviti, kje naj bo središče kroga in njegov polmer. Mimogrede, v tem primeru ne bo samo svinčnik z ravnilom, ampak tudi kompas postal potrebno orodje.
Enake težave nastanejo pri konstruiranju vpisanih poligonov s tremi stranicami. Matematiki so izpeljali različne formule, ki omogočajo čim natančnejšo določitev njihove lokacije.
Vpisani trikotniki
Kot smo že omenili, če krog prehaja skozi vsa tri oglišča, se temu reče opisan krog. Njegova glavna lastnost je, da je edini. Če želite izvedeti, kako naj se nahaja opisani krog tupokotega trikotnika, se moramo spomniti, da je njegovo središče na presečišču treh srednjih pravokotnikov, ki gredo na stranice figure. Če bo v ostrokotnem poligonu s tremi točkami ta točka v njem, potem v tupu pod kotom-zunaj njega.
Če na primer veste, da je ena od strani tupega trikotnika enaka njegovemu polmeru, lahko najdete kot, ki leži nasproti znane ploskve. Njegov sinus bo enak rezultatu deljenja dolžine znane strani z 2R (kjer je R polmer kroga). To pomeni, da bo greh kota enak ½. To pomeni, da bo kot enak 150 °.
Če morate najti polmer opisanega kroga tupega trikotnika, boste potrebovali podatke o dolžini njegovih stranic (c, v, b) in njegovi površini S. Konec koncev se polmer izračuna na naslednji način: ( cxvxb): 4 x S. Mimogrede, vseeno je, kakšno postavo imate: vsestranski tup trikotnik, enakokraki, pravokoten ali ostrokoten. V vsakem primeru lahko po zgornji formuli ugotovite območje danega poligona s tremi stranicami.
Opisani trikotniki
Prav tako morate pogosto delati z vpisanimi krogi. Po eni od formul bo polmer take figure, pomnožen s ½ oboda, enak površini trikotnika. Če pa želite to ugotoviti, morate poznati stranice tupega trikotnika. Dejansko je za določitev ½ oboda potrebno dodati njihove dolžine in deliti z 2.
Če želite razumeti, kje naj se nahaja središče kroga, vpisanega v tup trikotnik, je potrebno narisati tri simetrale. To so črte, ki prepolovijo vogale. Na njihovem presečišču bo središče kroga. Poleg tega bo enako oddaljen od vsake strani.
Polmer takega kroga, vpisanega v tup trikotnik, je enak iz količnika (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Poleg tega je p polperimeter trikotnika, c, v, b njegove stranice.
Trikotnik - definicija in splošni pojmi
Trikotnik je preprost mnogokotnik s tremi stranicami in enakim številom kotov. Njegove ravnine so omejene s 3 točkami in 3 odseki črt, ki te točke povezujejo v parih.
Vse točke katerega koli trikotnika, ne glede na njegovo vrsto, so označene z velikimi latiničnimi črkami, njegove stranice pa so prikazane z ustreznimi oznakami nasprotnih točk, le ne z velikimi črkami, ampak z majhnimi. Tako ima na primer trikotnik z oglišči, označenimi s črkami A, B in C, stranice a, b, c.
Če upoštevamo trikotnik v evklidskem prostoru, potem je to takšna geometrijska figura, ki je nastala s pomočjo treh segmentov, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti.
Pozorno poglejte zgornjo sliko. Na njem so točke A, B in C oglišča tega trikotnika, njegovi odseki pa se imenujejo stranice trikotnika. Vsako oglišče tega poligona tvori svoje vogale znotraj.
Vrste trikotnikov
Glede na velikost, kote trikotnikov jih delimo na takšne sorte, kot so: Pravokotne;
Akutno pod kotom;
Tupo.
Pravokotni trikotniki so tisti, ki imajo en pravi kot, druga dva pa ostra.
Akutni trikotniki so tisti, pri katerih so vsi vogali ostri.
In če ima trikotnik en tup kot, druga dva kota pa ostra, potem tak trikotnik spada med tupe kote.
Vsak od vas odlično razume, da nimajo vsi trikotniki enakih strani. Glede na to, kako dolge so njegove stranice, lahko trikotnike razdelimo na:
Isosceles;
Enakostransko;
Vsestranski.
Naloga: Narišite različne vrste trikotnikov. Dajte jim definicijo. Kakšno razliko vidite med njima?
Osnovne lastnosti trikotnikov
Čeprav se lahko ti preprosti poligoni med seboj razlikujejo po velikosti kotov ali stranic, ima vsak trikotnik osnovne lastnosti, značilne za to sliko.
V katerem koli trikotniku:
Skupna vsota vseh njegovih kotov je 180 °.
Če pripada enakostranični strani, ima vsak njen kot 60 °.
Enakostranski trikotnik ima enake in enakomerne kote drug do drugega.
Manjša kot je stranica poligona, manjši je kot nasproti njega in obratno, nasproti večje strani je večji kot.
Če so stranice enake, se enaki koti nahajajo nasproti njih in obratno.
Če vzamemo trikotnik in podaljšamo njegovo stran, potem končamo z zunanjim vogalom. Enaka je vsoti notranjih kotov.
V vsakem trikotniku bo njegova stran, ne glede na to, katero izberete, še vedno manjša od vsote drugih dveh strani, vendar večja od njune razlike:
1.a< b + c, a >b - c;
2.b< a + c, b >a - c;
3.c< a + b, c >a - b.
Vaja
Tabela prikazuje že znana dva kota trikotnika. Če poznate skupno vsoto vseh kotov, poiščite, kakšen je tretji kot trikotnika, in vnesite v tabelo:
1. Koliko stopinj ima tretji kot?
2. Kakšnim trikotnikom pripada?
Znaki enakosti trikotnikov
Se podpišem
Znak II
Znak III
Višina, simetrala in mediana trikotnika
Višina trikotnika - pravokotnik, potegnjen z vrha figure na njegovo nasprotno stran, se imenuje višina trikotnika. Vse višine trikotnika se sekajo na eni točki. Presečišče vseh treh višin trikotnika je njegov ortocenter.
Odsek, potegnjen iz tega oglišča in ga povezuje sredi nasprotne strani, je mediana. Mediane in višine trikotnika imajo eno skupno presečišče, tako imenovano težišče trikotnika ali središča.
Simetrala trikotnika je segment, ki povezuje točko kota in točko na nasprotni strani ter ta kot tudi deli na polovico. Vse simetrale trikotnika se sekajo v eni točki, ki se imenuje središče kroga, vpisanega v trikotnik.
Odsek, ki povezuje sredine dveh strani trikotnika, se imenuje srednja črta.
Zgodovinska referenca
Podoba, kot je trikotnik, je znana že od antičnih časov. Ta številka in njene lastnosti so bile omenjene na egiptovskih papirusih pred štirimi tisoč leti. Malo kasneje se je zahvaljujoč Pitagorinemu izreku in Heronovi formuli študija lastnosti trikotnika premaknila na višjo raven, a kljub temu se je to zgodilo pred več kot dva tisoč leti.
V XV-XVI stoletju so se začele izvajati številne študije o lastnostih trikotnika, zato je nastala takšna znanost, kot je planimetrija, ki se je imenovala "Nova geometrija trikotnika".
Znanstvenik iz Rusije N. I. Lobačevski je ogromno prispeval k poznavanju lastnosti trikotnikov. Njegova dela so kasneje našla uporabo tako v matematiki kot fiziki in kibernetiki.
Zahvaljujoč poznavanju lastnosti trikotnikov je nastala znanost, kot je trigonometrija. Izkazalo se je, da je za človeka potreben v njegovih praktičnih potrebah, saj je njegova uporaba preprosto potrebna pri pripravi zemljevidov, merjenju površin in oblikovanju različnih mehanizmov.
Kateri je najbolj znan trikotnik, ki ga poznate? To je seveda Bermudski trikotnik! To ime je prejel v 50. letih zaradi geografske lege točk (ogljišča trikotnika), znotraj katerih so po obstoječi teoriji nastale z njim povezane anomalije. Vrhovi Bermudskega trikotnika so Bermudi, Florida in Portoriko.
Naloga: Kakšne teorije ste slišali o Bermudskem trikotniku?
Ali ste vedeli, da ima v teoriji Lobačevskega pri seštevanju kotov trikotnika njihova vsota vedno rezultat manjši od 180 °. V Riemannovi geometriji je vsota vseh kotov trikotnika večja od 180 stopinj, v Euklidovih zapisih pa 180 stopinj.
Domača naloga
Rešite križanko na določeno temo
Vprašanja za križanko:
1. Kako se imenuje pravokotnik, ki je bil potegnjen od vrha trikotnika do ravne črte na nasprotni strani?
2. Kako lahko z eno besedo pokličete vsoto dolžin stranic trikotnika?
3. Kaj je trikotnik, katerega dve strani sta enaki?
4. Kako se imenuje trikotnik, ki ima kot 90 °?
5. Kako se imenuje velika stran trikotnika?
6. Ime strani enakokrakega trikotnika?
7. V vsakem trikotniku so vedno trije.
8. Kako se imenuje trikotnik, pri katerem eden od kotov presega 90 °?
9. Ime odseka črte, ki povezuje vrh naše oblike s sredino nasprotne strani?
10. V preprostem poligonu ABC je veliko A ...?
11. Kako se imenuje segment, ki kot trikotnika deli na polovico.
Vprašanja o trikotnikih:
1. Podajte definicijo.
2. Koliko višin ima?
3. Koliko simetra ima trikotnik?
4. Koliko je vsota njegovih kotov?
5. Katere vrste tega preprostega poligona poznate?
6. Poimenujte točke trikotnikov, ki jih imenujemo čudovite.
7. S katero napravo lahko merite kot?
8. Če kazalci ure pokažejo 21. uro. Kakšen je kot urnih kazalcev?
9. Pod kakšnim kotom se oseba obrne, če dobi ukaz "levo", "okoli"?
10. Katere druge definicije poznate in so povezane s figuro s tremi vogali in tremi stranicami?