Kvadratne enačbe se pogosto pojavljajo pri reševanju različnih problemov v fiziki in matematiki. V tem članku bomo pogledali, kako na enak način "skozi diskriminator" rešiti te enakosti. V članku so navedeni tudi primeri uporabe pridobljenega znanja.

O katerih enačbah govorimo?

Spodnja slika prikazuje formulo, v kateri je x neznana spremenljivka, latinski simboli a, b, c pa nekatera znana števila.

Vsak od teh simbolov se imenuje koeficient. Kot lahko vidite, je število "a" pred kvadratno spremenljivko x. To je največja moč predstavljenega izraza, zato se imenuje kvadratna enačba. Njegovo drugo ime se pogosto uporablja: enačba drugega reda. Sama vrednost a je kvadratni koeficient (stoji na spremenljivki na kvadrat), b je linearni koeficient (je poleg spremenljivke, dvignjene na prvo stopnjo), na koncu pa je število c prosti izraz.

Upoštevajte, da je oblika enačbe, prikazane na zgornji sliki, običajen klasičen kvadratni izraz. Poleg nje obstajajo še enačbe drugega reda, v katerih so lahko koeficienti b, c nič.

Ko se problem reši za obravnavano enakost, to pomeni, da je treba poiskati take vrednosti spremenljivke x, ki bi jo zadovoljile. Tukaj si najprej zapomnite naslednje: ker je največja stopnja x 2, ta vrsta izraza ne more imeti več kot 2 rešitvi. To pomeni, da če bi pri reševanju enačbe ugotovili 2 vrednosti x, ki bi jo zadovoljili, potem ste lahko prepričani, da ne obstaja tretja številka, ki bi jo nadomestila namesto x, bi veljala tudi enakost. Rešitve enačbe v matematiki imenujemo korenine.

Metode reševanja enačb drugega reda

Za reševanje tovrstnih enačb je potrebno poznati nekaj teorije o njih. Pri tečaju šolske algebre so obravnavane 4 različne metode reševanja. Naštejmo jih:

• z uporabo faktorizacije;
• z uporabo formule za polni kvadrat;
• z uporabo grafa ustrezne kvadratne funkcije;
• z uporabo diskriminatorne enačbe.

Prednost prve metode je v njeni preprostosti, vendar je ni mogoče uporabiti za vse enačbe. Druga metoda je univerzalna, a nekoliko okorna. Tretja metoda je znana po svoji jasnosti, vendar ni vedno priročna in uporabna. In končno, uporaba diskriminatorne enačbe je univerzalen in dokaj preprost način za iskanje korenin absolutno katere koli enačbe drugega reda. Zato ga bomo v članku obravnavali le.

Formula za pridobivanje korenin enačbe

Obrnimo se na splošno obliko kvadratne enačbe. Zapišimo: a * x² + b * x + c = 0. Pred uporabo metode reševanja "prek diskriminatorja" je treba enakost vedno zmanjšati na pisno obliko. To pomeni, da mora biti sestavljen iz treh izrazov (ali manj, če je b ali c 0).

Če na primer obstaja izraz: x² -9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², morate najprej vse njegove izraze premakniti na eno stran enakosti in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x, dodati v enaka pooblastila.

V tem primeru bo ta operacija privedla do naslednjega izraza: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, kar je enakovredno enačbi 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (tukaj smo pomnožili levo in desne strani enakosti za -1) ...

V zgornjem primeru je a = 6, b = 4, c = -8. Upoštevajte, da se vsi obravnavani izrazi enakosti vedno seštevajo med seboj, zato če se pojavi znak "-", to pomeni, da je ustrezen koeficient negativen, tako kot številka c v tem primeru.

Ko smo preučili to točko, se zdaj obračamo na samo formulo, ki omogoča pridobivanje korenin kvadratne enačbe. Ima obliko, prikazano na spodnji fotografiji.

Kot lahko vidite iz tega izraza, vam omogoča, da dobite dve korenini (bodite pozorni na znak "±"). Če želite to narediti, je dovolj, da vanj nadomestite koeficiente b, c in a.

Diskriminacijski koncept

V prejšnjem odstavku je bila podana formula, ki vam omogoča, da hitro rešite katero koli enačbo drugega reda. V njem se radikalni izraz imenuje diskriminator, to je D = b²-4 * a * c.

Zakaj je ta del formule poudarjen in ima celo svoje ime? Dejstvo je, da diskriminator povezuje vse tri koeficiente enačbe v en sam izraz. Slednje dejstvo pomeni, da v celoti vsebuje informacije o koreninah, ki jih lahko izrazimo na naslednjem seznamu:

1. D> 0: enakost ima 2 različni rešitvi, obe sta realni številki.
2. D = 0: Enačba ima samo en koren in je realno število.

Naloga ugotavljanja diskriminatorja

Navedimo preprost primer, kako najti diskriminator. Naj bo podana naslednja enakost: 2 * x²-4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Pripeljemo ga v standardni obrazec in dobimo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (-4-7) = 0, od koder prihajamo do enakosti : -2 * x² + 2 * x -11 = 0. Tu je a = -2, b = 2, c = -11.

Zdaj lahko uporabite imenovano formulo za diskriminator: D = 2² - 4 * ( - 2) * ( - 11) = -84. Dobljena številka je odgovor na nalogo. Ker je diskriminator v primeru manjši od nič, lahko rečemo, da ta kvadratna enačba nima pravih korenin. Njegova rešitev bodo le kompleksna števila.

Primer neenakosti skozi diskriminator

Rešimo naloge nekoliko drugačnega tipa: glede na enakost -3 * x² -6 * x + c = 0. Treba je najti take vrednosti c, za katere je D> 0.

V tem primeru sta znana le 2 od 3 koeficientov, zato ne bo mogoče izračunati natančne vrednosti diskriminante, je pa znano, da je pozitivna. Zadnje dejstvo uporabimo pri sestavljanju neenakosti: D = (-6) ²-4 * (-3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Rešitev pridobljene neenakosti vodi do rezultata: c> -3.

Preverimo prejeto številko. Če želite to narediti, izračunajte D za 2 primera: c = -2 in c = -4. Število -2 ustreza dobljenemu rezultatu (-2> -3), ustrezni diskriminator bo imel vrednost: D = 12> 0. Število -4 pa ne izpolnjuje neenakosti (-4 Tako bodo vsa števila c, ki so večja od -3, izpolnila pogoj.

Primer reševanja enačbe

Predstavimo problem, ki ni sestavljen samo iz iskanja diskriminata, ampak tudi iz reševanja enačbe. Morate najti korenine za enakost -2 * x² + 7-9 * x = 0.

V tem primeru je diskriminator enak naslednji vrednosti: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Nato so korenine enačbe definirane na naslednji način: x = (9 ± √137) / (- 4). To so natančne vrednosti korenin, če izračunate približen koren, potem dobite številke: x = -5,176 in x = 0,676.

Geometrijski problem

Rešimo problem, ki ne bo zahteval le sposobnosti izračuna diskriminatorja, ampak tudi uporabo veščin abstraktnega mišljenja in znanja, kako narediti kvadratne enačbe.

Bob je imel odejo 5 x 4 metre. Fant je hotel po obodu sešiti neprekinjen trak lepe tkanine. Kako debel bo ta trak, če je znano, da ima Bob 10 m² tkanine.

Naj ima trak debelino xm, potem bo površina tkanine vzdolž dolge strani odeje (5 + 2 * x) * x, in ker sta 2 dolgi strani, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratki strani bo površina prišitih tkanin 4 * x, saj sta 2 strani, dobimo vrednost 8 * x. Upoštevajte, da je 2 * x dodan dolgi strani, saj se je dolžina odeje povečala za to število. Skupna površina tkanine, prišivene na odejo, je 10 m². Tako dobimo enakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

V tem primeru je diskriminator: D = 18²-4 * 4 * (-10) = 484. Njegov koren je 22. S formulo poiščemo zahtevane korenine: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Očitno je, da je od obeh korenin le številka 0,5 primerna za izjavo problema.

Tako bo trak tkanine, ki ga bo Bob prišil na svojo odejo, širok 50 cm.

Kvadratne enačbe. Diskriminatorno. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatne
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi nujno mora biti x na kvadrat. Poleg njega je enačba lahko (ali pa tudi ne!) Samo x (v prvi stopnji) in samo število (brezplačni član). In ne bi smelo biti x -jev za stopnjo, večjo od dveh.

Matematično gledano je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- popolnoma vse, ampak a- nič drugega kot nič. Na primer:

Tukaj a =1; b = 3; c = -4

Tukaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj a =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš idejo ...

V teh kvadratnih enačbah na levi je polni setčlani. X na kvadrat s koeficientom a, x na prvo stopnjo s koeficientom b in prost termin z.

Takšne kvadratne enačbe imenujemo poln.

Kaj če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izginil v prvi stopnji. To se zgodi zaradi množenja z ničlo.) Izkaže se, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

Itd. In če oba koeficienta, b in c enaki nič, je še vedno preprostejše:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

Takšne enačbe, kjer nekaj manjka, se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj a ne more biti nič? In zamenjaš a nič.) X v kvadratu bo izginil iz nas! Enačba postane linearna. In odločeno je na popolnoma drugačen način ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolno in nepopolno.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasnih, preprostih pravilih. Na prvi stopnji je treba dano enačbo spraviti v standardno obliko, tj. pogledati:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba narediti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, a, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda tako:

Imenuje se izraz pod korenskim znakom diskriminator... Toda o njem - spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c. Tisti. koeficiente iz kvadratne enačbe. Previdno zamenjajte vrednosti a, b in c v to formulo in štejte. Nadomestni s svojimi znaki! Na primer v enačbi:

a =1; b = 3; c= -4. Zato zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj se vam zdi nemogoče zmotiti? No ja, kako ...

Najpogostejše napake so zmeda s pomenskimi znaki. a, b in c... Namesto tega ne z njihovimi znaki (kje se zmotiti?), Ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formuli za izračun korenin. Tu shrani podroben zapis formule s posebnimi številkami. Če obstajajo računske težave, naredi tako!

Recimo, da morate rešiti ta primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da prvič le redko dobite odgovore.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice bo potrebnih 30 sekund in število napak se bo močno zmanjšal... Zato podrobno zapišemo z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se neverjetno težko slikati tako previdno. Ampak samo zdi se, da je tako. Poskusi. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno? Poleg tega vas bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba tako previdno barvati. To se bo izkazalo samo od sebe. Še posebej, če uporabljate spodaj opisane praktične tehnike. Ta zlobni primer s kopico pomanjkljivosti je mogoče rešiti enostavno in brez napak!

Pogosto pa so kvadratne enačbe videti nekoliko drugače. Na primer, takole:

Ste izvedeli?) Da! to nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Rešimo jih lahko tudi s splošno formulo. Le pravilno morate ugotoviti, čemu so enaki a, b in c.

Ste to ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; a c? Sploh ga ni! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c = 0 ! To je vse. Namesto formule zamenjajte nič c, in uspelo nam bo. Enako je z drugim primerom. Tu nimamo samo nič z, a b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnih koli formul. Razmislite o prvi nepopolni enačbi. Kaj lahko storite tam na levi strani? X lahko postavite iz oklepajev! Vzemimo ga ven.

In kaj od tega? In dejstvo, da je zmnožek enak nič, če in samo, če je kateri od faktorjev enak nič! Ne verjamete mi? No, potem pomislite na dve številki, ki ni nič, ki bosta, če pomnožite, dali nič!
Ne deluje? To je to ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oboje ustreza. Ko nadomestimo katerega od njih v prvotno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko enostavnejša od uporabe splošne formule. Mimogrede bom opozoril, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - popolnoma ravnodušen. Primerno je zapisati po vrstnem redu, x 1- kaj je manj, in x 2- kaj je več.

Drugo enačbo je mogoče rešiti tudi preprosto. Premaknite 9 na desno stran. Dobimo:

Ostaja še izvleči koren iz 9 in to je to. Izkazalo se bo:

Tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Ali tako, da postavite x v oklepaje, ali pa preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste v prvem primeru morali izvleči koren iz x, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa iz oklepajev ni ničesar ...

Diskriminatorno. Diskriminatorna formula.

Čarobna beseda diskriminator ! Redki dijak te besede ni slišal! Izraz »odločanje prek diskriminatorja« je pomirjujoč in pomirjujoč. Ker ni treba čakati na umazane trike diskriminatorja! Je preprosta in brez težav za uporabo.) Spomnim se najbolj splošne formule za reševanje kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminator. Običajno je diskriminator označen s črko D... Diskriminatorna formula:

D = b 2-4ac

In kaj je pri tem izrazu tako izjemnega? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminatorja? Konec koncev -b, ali 2a v tej formuli ne imenujejo posebej ... Črke in črke.

Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe po tej formuli je možno samo trije primeri.

1. Diskriminator je pozitiven. To pomeni, da lahko iz njega izvlečete korenino. Dober koren se izvleče ali slab - drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma pridobi. Potem ima vaša kvadratna enačba dve korenini. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminator je nič. Potem imaš eno rešitev. Ker seštevanje in odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni en koren, ampak dva enaka... Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o ena rešitev.

3. Diskriminator je negativen. Iz negativnega števila ni izvlečen kvadratni koren. No, v redu. To pomeni, da rešitev ni.

Iskreno, s preprosto rešitvijo kvadratnih enačb koncept diskriminata ni posebej potreben. V formulo nadomestimo vrednosti koeficientov, vendar štejemo. Vse se izkaže samo od sebe in obstajata dve korenini in ena in ne ena. Pri reševanju zahtevnejših nalog pa brez znanja pomen in diskriminatorne formule ne dovolj. Še posebej - v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika na državnem izpitu in enotnem državnem izpitu!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminator, ki ste se ga spomnili. Ali pa se naučili, kar prav tako ni slabo.) Znate se pravilno identificirati a, b in c... Veš kako pozorno jih nadomesti v korenski formuli in pozorno preberite rezultat. Imate idejo, da je tukaj ključna beseda pozorno?

Zaenkrat upoštevajte najboljše prakse, ki bodo drastično zmanjšale napake. Prav tisti, ki so posledica nepazljivosti ... Za katere potem boli in žali ...

Prvi sprejem ... Ne bodite leni, da ga pripeljete v standardni obrazec, preden rešite kvadratno enačbo. Kaj to pomeni?
Recimo, da ste po nekaj transformacijah dobili naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo boste pomešali kvote. a, b in c. Primer zgradite pravilno. Najprej je X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti izraz. Všečkaj to:

In spet, ne hitite! Minus pred x na kvadratu vas lahko resnično razžalosti. To je enostavno pozabiti ... Znebite se minusa. Kako? Ja, kot je bilo poučeno v prejšnji temi! Celotno enačbo morate pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminator in dokončate primer. Naredi sam. Imeti morate korenine 2 in -1.

Sprejem drugega. Preverite korenine! Po Vietinem izreku. Ne skrbite, vse bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačbo. Tisti. tista, s katero smo zapisali formulo za korenine. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, preverjanje korenin je enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Morali bi dobiti brezplačnega člana, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! Brezplačni član z mojim znakom ... Če ni delovalo, potem je že nekje zajebano. Poiščite hrošča.

Če uspe, morate zložiti korenine. Zadnji in zadnji pregled. Moral bi dobiti koeficient b z nasprotno znan. V našem primeru je -1 + 2 = +1. In koeficient b ki je pred x je -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto le za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Toda vsaj v takih enačbah preverite! Napak bo manj.

Tretji sprejem ... Če ima vaša enačba ulomke, se znebite ulomov! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalom, kot je opisano v poglavju Kako rešiti enačbe? Enake transformacije. Pri delu z ulomki se iz nekega razloga pojavijo napake ...

Mimogrede, obljubil sem poenostaviti zlobni primer s kopico slabosti. Prosim! Tukaj je.

Da se ne zmedemo v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Veselje se je odločiti!

Torej, če povzamem temo.

Praktični nasveti:

1. Pred reševanjem kvadratno enačbo pripeljemo v standardno obliko, jo sestavimo prav.

2. Če je pred kvadratom negativen koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti delni, ulomke odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, je koeficient enak ena, rešitev je mogoče enostavno preveriti z Vietinim izrekom. Naredi!

Zdaj se lahko odločite.)

Rešite enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

nobenih rešitev

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ali se vse ujema skupaj? V redu! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v enakih transformacijah enačb. Pojdite na povezavo, v pomoč je.

Se ne izide prav? Ali pa sploh ne deluje? Potem vam bo v pomoč oddelek 555. Tam so vsi ti primeri razvrščeni na koščke. Prikazano glavni napake v rešitvi. Seveda govori tudi o uporabi enakih transformacij pri reševanju različnih enačb. Veliko pomaga!

Če vam je to mesto všeč ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Takojšnje preverjanje veljavnosti. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je absolutno bistvena.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila in a ≠ 0.

Preden preučimo posebne metode reševanja, ugotavljamo, da lahko vse kvadratne enačbe pogojno razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imeti točno en koren;
3. Imajo dve ločeni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotovite, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminatorno

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminator samo število D = b 2 - 4ac.

To formulo morate poznati na pamet. Od kod prihaja - zdaj ni pomembno. Pomembna je še ena stvar: po znaku diskriminatorja lahko ugotovite, koliko korenin ima kvadratna enačba. In sicer:

1. Če je D.< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja točno en koren;
3. Če je D> 0, bosta dve koreni.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in sploh ne njihovih znakov, kot menijo iz nekega razloga mnogi. Oglejte si primere - in sami boste vse razumeli:

Naloga. Koliko korenin imajo kvadratne enačbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficiente za prvo enačbo in poiščimo diskriminator:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Torej je diskriminator pozitiven, zato ima enačba dve različni korenini. Drugo enačbo analiziramo na podoben način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Diskriminator je negativen, korenin ni. Zadnja enačba ostaja:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminator je nič - en koren bo.

Upoštevajte, da so za vsako enačbo zapisani koeficienti. Ja, dolgo je, ja, dolgočasno je - vendar ne boste mešali koeficientov in ne delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če "napolnite roko", vam čez nekaj časa ne bo treba več zapisovati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v glavi. Večina ljudi to počne nekje po reševanju 50-70 enačb - na splošno ne toliko.

Kvadratne korenine

Zdaj pa pojdimo k rešitvi. Če je diskriminator D> 0, lahko korenine najdemo po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite enako število, kar bo odgovor. Nazadnje, če je D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ enačba ima dva korena. Najdemo jih:

Druga enačba:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ enačba ima spet dve korenini. Najdemo jih

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ levo (-1 \ desno)) = 3. \\ \ end (poravnaj) \]

Končno tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabite lahko katero koli formulo. Na primer prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in zmorete šteti, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak pri zamenjavi negativnih koeficientov v formuli. Tu bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, opišite vsak korak - in zelo kmalu se boste znebili napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Dogaja se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je podana v definiciji. Na primer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Preprosto je videti, da v teh enačbah manjka eden od izrazov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: sploh jim ni treba izračunati diskriminata. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačba ax 2 + bx + c = 0 se imenuje nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient pri spremenljivki x ali prostem elementu je enak nič.

Seveda je možen zelo težak primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b = c = 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 = 0. Očitno ima takšna enačba en sam koren: x = 0.

Poglejmo preostale primere. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c = 0. Malo jo preoblikujmo:

Ker aritmetični kvadratni koren obstaja le iz negativnega števila, je zadnja enakost smiselna le za (−c / a) ≥ 0. Zaključek:

1. Če neenakost (−c / a) ≥ 0 velja v nepopolni kvadratni enačbi oblike ax 2 + c = 0, bosta dve koreni. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminator ni bil potreben - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si sploh ni treba zapomniti neenakosti (−c / a) ≥ 0. Dovolj je, da izrazimo vrednost x 2 in vidimo, kaj stoji na drugi strani znaka enakosti. Če je pozitivno število, bosta dve korenini. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa se lotimo enačb oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tu je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je, da izločimo polinom:

Okrogli skupni dejavnik

Produkt je nič, če je vsaj eden od faktorjev nič. Od tu so korenine. Na koncu bomo analizirali več takšnih enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Korenin ni, tk. kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Na primer, za trinom \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) bo diskriminator \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). In za trinom \ (x ^ 2-5x + 11 \) bo \ ((-5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminator je označen s črko \ (D \) in se pogosto uporablja pri reševanju. Prav tako lahko po vrednosti diskriminatorja razumete, kako približno izgleda graf (glejte spodaj).

Diskriminator in korenine enačbe

Diskriminatorna vrednost prikazuje količino kvadratne enačbe:
- če je \ (D \) pozitivno - bo enačba imela dve korenini;
- če je \ (D \) enako nič - samo en koren;
- če je \ (D \) negativno, ni korenin.

Tega se ni treba naučiti, do takega zaključka je enostavno priti, samo če vemo, kaj iz diskriminante (to je \ (\ sqrt (D) \) vnese formulo za izračun korenin enačbe: \ ( x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) in \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) Oglejmo si podrobneje vsak primer ...

Če je diskriminator pozitiven

V tem primeru je njegov koren neko pozitivno število, kar pomeni, da bosta \ (x_ (1) \) in \ (x_ (2) \) različna pomena, ker v prvi formuli \ (\ sqrt (D) \) se doda, v drugem pa odšteje. In imamo dve različni korenini.

Primer : Poiščite korenine enačbe \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Rešitev :

Odgovor : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Če je diskriminator nič

In koliko korenin bo, če je diskriminator nič? Premislimo.

Korenske formule izgledajo tako: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) in \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). In če je diskriminator nič, potem je tudi njegov koren nič. Potem se izkaže:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

To pomeni, da bodo vrednosti korenin enačbe enake, saj seštevanje ali odštevanje nič nič ne spremeni.

Primer : Poiščite korenine enačbe \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Rešitev :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Koeficiente zapišemo:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Izračunajte diskriminator po formuli \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Poiščite korenine enačbe
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4)- \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Dobili smo dve enaki korenini, zato ju nima smisla pisati ločeno - zapišemo jih kot eno.

Odgovor : \ (x = 2 \)

Diskriminator, tako kot kvadratne enačbe, se začne preučevati pri algebri v 8. razredu. Kvadratno enačbo lahko rešite s pomočjo diskriminata in z uporabo Vietinega izreka. Metoda preučevanja kvadratnih enačb je, tako kot diskriminatorne formule, precej neuspešno uveljavljena v šolarjih, tako kot v resničnem izobraževanju. Zato šolska leta minevajo, izobraževanje v 9-11 razredih nadomešča "visokošolsko" in vsi znova iščejo - "Kako rešiti kvadratno enačbo?", "Kako najti korenine enačbe?", "Kako najti diskriminator?" in ...

Diskriminatorna formula

Diskriminator D kvadratne enačbe a * x ^ 2 + bx + c = 0 je enak D = b ^ 2–4 * a * c.
Korenine (rešitve) kvadratne enačbe so odvisne od znaka diskriminante (D):
D> 0 - enačba ima 2 različni realni korenini;
D = 0 - enačba ima 1 koren (2 ujemajoča se korena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminatorja je precej preprosta, zato številna spletna mesta ponujajo spletni diskriminatorni kalkulator. Tovrstnih skriptov še nismo ugotovili, zato kdo ve, kako to implementirati, prosim pišite na pošto Ta e -poštni naslov je zaščiten proti smetenju. Če ga želite videti, omogočite Javascript. .

Splošna formula za iskanje korenin kvadratne enačbe:

Korenine enačbe najdemo po formuli
Če je koeficient spremenljivke na kvadrat seznanjen, je priporočljivo izračunati ne diskriminator, ampak njegov četrti del
V takih primerih korenine enačbe najdemo po formuli

Drugi način iskanja korenin je Vietin izrek.

Izrek je oblikovan ne le za kvadratne enačbe, ampak tudi za polinome. To lahko preberete na Wikipediji ali drugih elektronskih virih. Zaradi poenostavitve pa bomo upoštevali tisti del, ki se nanaša na reducirane kvadratne enačbe, to je enačbe oblike (a = 1)
Bistvo Vietinih formul je, da je vsota korenin enačbe enaka koeficientu spremenljivke, vzetem z nasprotnim predznakom. Produkt korenin enačbe je enak prostemu izrazu. Vietin izrek je zapisan v formulah.
Izpeljava Vietove formule je precej preprosta. Zapišimo kvadratno enačbo v smislu osnovnih faktorjev
Kot lahko vidite, je vse genialno preprosto hkrati. Učinkovito je uporabiti formulo Vieta, ko je razlika v absolutni vrednosti korenin ali razlika v absolutnih vrednostih korenin enaka 1, 2. Na primer, naslednje enačbe po izreku Vieta imajo korenine




Do 4 enačbe bi morala biti analiza videti tako. Produkt korenin enačbe je 6, zato so lahko korenine vrednosti (1, 6) in (2, 3) ali pari z nasprotnim predznakom. Vsota korenin je 7 (koeficient spremenljivke z nasprotnim predznakom). Zato sklepamo, da so rešitve kvadratne enačbe enake x = 2; x = 3.
Korenine enačbe je lažje izbrati med delitelji prostega izraza in popraviti njihov znak, da bi izpolnili formule Vieta. Na začetku se zdi težko izvedljivo, vendar bo s prakso na številnih kvadratnih enačbah takšna tehnika učinkovitejša od izračuna diskriminata in iskanja korenin kvadratne enačbe na klasičen način.
Kot lahko vidite, je šolska teorija preučevanja diskriminante in načinov iskanja rešitev enačbe brez praktičnega pomena - "Zakaj šolarji potrebujejo kvadratno enačbo?", "Kakšen je fizični pomen diskriminatorja?"

Poskusimo ugotoviti kaj opisuje diskriminator?

Tečaj algebre uči funkcije, diagrame proučevanja funkcij in grafikone funkcij. Od vseh funkcij pomembno mesto zaseda parabola, katere enačbo lahko zapišemo v obliki
Fizični pomen kvadratne enačbe so torej ničle parabole, to je presečišča grafa funkcije z osjo abscese Ox
Prosim vas, da se spomnite lastnosti parabole, ki so opisane spodaj. Prišel bo čas za opravljanje izpitov, testov ali sprejemnih izpitov in hvaležni boste za referenčno gradivo. Znak pri spremenljivki v kvadratu ustreza temu, ali se veje parabole na grafu dvignejo (a> 0),

ali parabola z vejami navzdol (a<0) .

Temelj parabole leži na sredini med koreninami

Fizični pomen diskriminatorja:

Če je diskriminator večji od nič (D> 0), ima parabola dve presečišči z osjo Ox.
Če je diskriminator nič (D = 0), se parabola na točki dotakne osi abscise.
In zadnji primer, ko je diskriminator manjši od nič (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepopolne kvadratne enačbe