Ekonomsko -matematične metode in modeli analize. Matematične metode v ekonomski analizi

Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki pri svojem študiju in delu uporabljajo bazo znanja, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Uvod

Modeliranje v znanstvenih raziskavah se je začelo uporabljati v starih časih in je postopoma zajelo nova področja znanstvenega znanja: tehnično oblikovanje, gradbeništvo in arhitekturo, astronomijo, fiziko, kemijo, biologijo in nazadnje družbene vede. Metoda modeliranja 20. stoletja je prinesla velik uspeh in priznanje v skoraj vseh vejah sodobne znanosti. Vendar so metodologijo modeliranja že dolgo neodvisno razvijale ločene znanosti. Enotnega sistema pojmov, enotne terminologije ni bilo. Šele postopoma se je začelo zavedati vloge modeliranja kot univerzalne metode znanstvenega spoznanja.

Izraz "model" se pogosto uporablja na različnih področjih človekove dejavnosti in ima številne pomenske pomene. Upoštevajmo le tiste "modele", ki so orodja za pridobivanje znanja.

Model je tako materialni ali miselno zamišljen predmet, ki v procesu raziskovanja nadomesti prvotni predmet, tako da njegova neposredna študija daje novo znanje o prvotnem predmetu.

Modeliranje se nanaša na proces oblikovanja, učenja in uporabe modelov. Je tesno povezan s kategorijami, kot so abstrakcija, analogija, hipoteza itd. Postopek modeliranja nujno vključuje konstrukcijo abstrakcij in sklepanja po analogiji ter konstruiranje znanstvenih hipotez.

Glavna značilnost modeliranja je, da gre za metodo posrednega spoznavanja z uporabo nadomestnih predmetov. Model deluje kot nekakšno kognitivno orodje, ki ga raziskovalec postavi med sebe in predmet ter s pomočjo katerega preučuje predmet, ki nas zanima. Ta lastnost metode modeliranja določa posebne oblike uporabe abstrakcij, analogij, hipotez, drugih kategorij in metod spoznavanja.

Potrebo po uporabi metode modeliranja določa dejstvo, da je mogoče veliko objektov (ali težav, povezanih s temi predmeti) neposredno raziskati ali popolnoma onemogočiti ali pa ta raziskava zahteva veliko časa in denarja.

Proces modeliranja vključuje tri elemente: 1) subjekt (raziskovalec), 2) predmet raziskovanja, 3) model, ki posreduje odnos med spoznavajočim subjektom in spoznanim objektom.

Naj bo ali je treba ustvariti kakšen objekt A. Konstruiramo (materialno ali miselno) ali v resničnem svetu najdemo drug predmet B - model predmeta A. Faza izgradnje modela predpostavlja prisotnost določenega znanja o izvirni predmet. Kognitivne sposobnosti modela določa dejstvo, da model odraža vse bistvene značilnosti prvotnega predmeta. Vprašanje nujnosti in zadostne stopnje podobnosti med izvirnikom in modelom zahteva posebno analizo. Očitno model izgubi pomen tako v primeru istovetnosti z izvirnikom (potem preneha biti izvirnik) kot v primeru pretirane razlike od izvirnika v vseh bistvenih pogledih.

Tako se preučevanje nekaterih strani modeliranega predmeta izvaja na račun zavrnitve odražanja drugih strani. Zato vsak model nadomesti izvirnik le v strogo omejenem smislu. Iz tega sledi, da je za en predmet mogoče zgraditi več "specializiranih" modelov, ki se osredotočajo na določene vidike predmeta, ki ga preučujejo, ali pa objekt označujejo z različnimi stopnjami podrobnosti.

Na drugi stopnji procesa modeliranja model deluje kot neodvisen predmet raziskovanja. Ena od oblik tovrstnih raziskav je izvajanje »modelskih« poskusov, pri katerih se namerno spreminjajo pogoji delovanja modela in se sistematizirajo podatki o njegovem »vedenju«. Končni rezultat te faze je bogato znanje o modelu R.

Na tretji stopnji se znanje prenese iz modela v izvirnik - nastanek niza znanja S o objektu. Ta proces prenosa znanja poteka po določenih pravilih. Znanje o modelu je treba prilagoditi ob upoštevanju tistih lastnosti prvotnega predmeta, ki se niso odražale ali so bile spremenjene med izdelavo modela. Z zadostnimi razlogi lahko prenesemo kateri koli rezultat iz modela v izvirnik, če je ta rezultat nujno povezan z znaki podobnosti med izvirnikom in modelom. Če je določen rezultat modelne študije povezan z razliko med modelom in izvirnikom, tega rezultata ni mogoče prenesti.

Četrta faza je praktično preverjanje znanja, pridobljenega s pomočjo modelov, in njihova uporaba za izgradnjo posplošujoče teorije predmeta, njegove transformacije ali nadzora.

Da bi razumeli bistvo modeliranja, je pomembno, da ne pozabimo na dejstvo, da modeliranje ni edini vir znanja o predmetu. Proces modeliranja je "potopljen" v splošnejši proces spoznavanja. Ta okoliščina se upošteva ne le v fazi izgradnje modela, ampak tudi v zadnji fazi, ko pride do kombinacije in posploševanja rezultatov raziskav, pridobljenih na podlagi različnih načinov spoznavanja.

Modeliranje je cikličen proces. To pomeni, da prvemu štiristopenjskemu ciklu lahko sledi drugi, tretji itd. Hkrati se širi in izpopolnjuje znanje o preučenem objektu, izvirni model pa se postopoma izboljšuje. Pomanjkljivosti, odkrite po prvem ciklu modeliranja, ki jih povzročajo pomanjkljivo poznavanje predmeta in napake pri gradnji modela, je mogoče odpraviti v naslednjih ciklih. Tako metodologija modeliranja vsebuje velike možnosti za samorazvoj.

1. Značilnosti uporabe matematične metodemodeliranje v ekonomiji

Prodor matematike v ekonomijo je povezan s premagovanjem pomembnih težav. To je bilo deloma krivo matematiko, ki se je razvijala več stoletij, predvsem v povezavi s potrebami fizike in tehnologije. Toda glavni razlogi še vedno ležijo v naravi gospodarskih procesov, v posebnostih ekonomske znanosti.

Večino predmetov, ki jih proučuje ekonomija, je mogoče označiti s kibernetskim konceptom kompleksnega sistema.

Najpogostejše razumevanje sistema kot niza elementov, ki medsebojno delujejo in tvorijo nekakšno integriteto, enotnost. Pomembna kakovost vsakega sistema je pojav - prisotnost takšnih lastnosti, ki niso lastne nobenemu od elementov, vključenih v sistem. Zato pri preučevanju sistemov ni dovolj uporabiti metode njihove razdelitve na elemente s poznejšo preučitvijo teh elementov ločeno. Ena od težav ekonomskih raziskav je, da skoraj ni gospodarskih objektov, ki bi jih lahko obravnavali kot ločene (nesistemske) elemente.

Kompleksnost sistema je določena s številom elementov, ki so v njem vključeni, povezavami med temi elementi in razmerjem med sistemom in okoljem. Gospodarstvo države ima vse značilnosti zelo zapletenega sistema. Združuje ogromno elementov, odlikujejo ga različne notranje povezave in povezave z drugimi sistemi (naravno okolje, gospodarstva drugih držav itd.). V nacionalnem gospodarstvu medsebojno vplivajo naravni, tehnološki, družbeni procesi, objektivni in subjektivni dejavniki.

Kompleksnost ekonomije so včasih razumeli kot opravičilo za nemožnost njenega modeliranja in proučevanja s pomočjo matematike. Toda to stališče je načeloma napačno. Lahko oblikujete predmet katere koli narave in katere koli kompleksnosti. In ravno kompleksni predmeti so za modeliranje največji interes; tu lahko modeliranje prinese rezultate, ki jih ni mogoče doseči z drugimi raziskovalnimi metodami.

Potencial za matematično modeliranje vseh gospodarskih objektov in procesov seveda ne pomeni njegove uspešne izvedljivosti na določeni ravni ekonomskega in matematičnega znanja, razpoložljivih posebnih informacij in računalniške tehnologije. In čeprav je nemogoče navesti absolutne meje matematične formalizacije ekonomskih problemov, bodo vedno obstajali še neformalizirani problemi, pa tudi situacije, ko matematično modeliranje ni dovolj učinkovito.

2. Razvrstitev eekonomski in matematični modeli

Matematične modele gospodarskih procesov in pojavov lahko na kratko imenujemo ekonomsko -matematični modeli. Za razvrstitev teh modelov se uporabljajo različni razlogi.

Ekonomski in matematični modeli se po predvidenem namenu delijo na teoretične in analitične, ki se uporabljajo pri preučevanju splošnih lastnosti in vzorcev gospodarskih procesov, in na uporabne, ki se uporabljajo pri reševanju posebnih ekonomskih problemov (modeli ekonomske analize, napovedovanja, upravljanja) .

Ekonomsko-matematični modeli so lahko zasnovani za preučevanje različnih vidikov nacionalnega gospodarstva (zlasti njegovih proizvodno-tehnoloških, družbenih, teritorialnih struktur) in njegovih posameznih delov. Pri razvrščanju modelov glede na preučene gospodarske procese in vsebinske težave je mogoče izločiti modele nacionalnega gospodarstva kot celote in njegovih podsistemov - panog, regij itd., Komplekse modelov proizvodnje, potrošnje, oblikovanja in distribucije dohodek, delovna sredstva, cene, finančne vezi itd. .d.

Podrobneje se ustavimo pri značilnostih takšnih razredov ekonomskih in matematičnih modelov, ki so povezani z največjimi značilnostmi metodologije in tehnik modeliranja.

V skladu s splošno klasifikacijo matematičnih modelov jih delimo na funkcionalne in strukturne, vključujejo pa tudi vmesne oblike (strukturne in funkcionalne). V študijah na nacionalni ekonomski ravni se strukturni modeli pogosteje uporabljajo, saj so medsebojne povezanosti podsistemov zelo pomembne za načrtovanje in upravljanje. Tipični strukturni modeli so modeli medsektorskih povezav. Funkcionalni modeli se pogosto uporabljajo v gospodarski ureditvi, ko na vedenje predmeta ("output") vpliva sprememba "input". Primer je model vedenja potrošnikov v smislu odnosov med blagom in denarjem. Strukturo in funkcionalni model lahko istočasno opišeta isti predmet. Na primer, strukturni model se uporablja za načrtovanje ločenega sektorskega sistema, na nacionalni ravni gospodarstva pa je vsak sektor lahko predstavljen s funkcionalnim modelom.

Razlike med opisnimi in normativnimi modeli so bile že prikazane zgoraj. Opisni modeli odgovarjajo na vprašanje: kako se to zgodi? ali kako bi se to najverjetneje lahko nadalje razvijalo? pojasnijo le opažena dejstva ali podajo verjetno napoved. Normativni modeli odgovarjajo na vprašanje: kako bi moralo biti? pomeni namensko dejavnost. Tipičen primer normativnih modelov so modeli optimalnega načrtovanja, ki tako ali drugače formalizirajo cilje gospodarskega razvoja, priložnosti in sredstva za njihovo doseganje.

Uporaba opisnega pristopa pri modeliranju gospodarstva je razložena s potrebo po empiričnem ugotavljanju različnih odvisnosti v gospodarstvu, vzpostavitvi statističnih vzorcev ekonomskega vedenja družbenih skupin, preučevanju verjetnih poti razvoja vseh procesov v nespremenjenih razmerah ali brez zunanjih vplivov. vplivov. Primeri opisnih modelov so proizvodne funkcije in funkcije povpraševanja strank, zgrajene na podlagi statistične obdelave podatkov.

Ali je ekonomsko-matematični model opisen ali normativen, ni odvisno le od njegove matematične strukture, ampak tudi od narave uporabe tega modela. Vhodno-izhodni model je na primer opisen, če se uporablja za analizo deležev preteklosti. Toda ta isti matematični model postane normativen, ko se uporablja za izračun uravnoteženih možnosti za razvoj nacionalnega gospodarstva, ki zadovoljujejo končne potrebe družbe pri načrtovanih proizvodnih stroških.

Številni ekonomski in matematični modeli združujejo značilnosti opisnih in normativnih modelov. Tipična situacija je, ko normativni model kompleksne strukture združuje ločene bloke, ki so zasebni opisni modeli. Na primer, medindustrijski model lahko vključuje funkcije povpraševanja potrošnikov, ki opisujejo vedenje potrošnikov ob spremembi dohodka. Takšni primeri označujejo težnjo po učinkoviti kombinaciji deskriptivnih in normativnih pristopov k modeliranju gospodarskih procesov. Opisni pristop se pogosto uporablja pri simulacijskem modeliranju.

Po naravi odseva vzročnih razmerij obstajajo strogo deterministični modeli in modeli, ki upoštevajo naključnost in negotovost. Treba je razlikovati med negotovostjo, ki jo opisujejo verjetnostni zakoni, in negotovostjo, za katero zakoni teorije verjetnosti ne veljajo. Drugo vrsto negotovosti je veliko težje modelirati.

Ekonomske in matematične modele glede na načine odsevanja časovnega faktorja delimo na statične in dinamične. V statičnih modelih se vse odvisnosti nanašajo na en trenutek ali časovno obdobje. Dinamični modeli označujejo spremembe gospodarskih procesov skozi čas. Glede na trajanje obravnavanega časovnega obdobja se razlikujejo modeli kratkoročnega (do enega leta), srednjeročnega (do 5 let), dolgoročnega (10-15 let in več) napovedovanja in načrtovanja. Čas sam se v ekonomskih in matematičnih modelih lahko spreminja stalno ali diskretno.

Modeli gospodarskih procesov so izredno raznoliki v obliki matematičnih odvisnosti. Še posebej pomembno je izločiti razred linearnih modelov, ki so najprimernejši za analizo in izračun in so se zaradi tega razširili. Razlike med linearnimi in nelinearnimi modeli so pomembne ne le z matematičnega, ampak tudi s teoretskega in ekonomskega vidika, saj so številne odvisnosti v gospodarstvu v osnovi nelinearne: učinkovitost rabe virov s povečanjem proizvodnje, sprememba povpraševanja in potrošnje prebivalstva s povečanjem proizvodnje, sprememba povpraševanja in potrošnje prebivalstva s povečanjem dohodka itd. Teorija "linearne ekonomije" se bistveno razlikuje od teorije "nelinearne ekonomije". Sklepi o možnosti združevanja centraliziranega načrtovanja in ekonomske neodvisnosti gospodarskih podsistemov so v veliki meri odvisni od tega, ali naj bi bili sklopi proizvodnih zmogljivosti podsistemov (industrij, podjetij) konveksni ali nekonveksni.

Glede na razmerje eksogenih in endogenih spremenljivk, vključenih v model, jih lahko razdelimo na odprte in zaprte. Ni popolnoma odprtih modelov; model mora vsebovati vsaj eno endogeno spremenljivko. Popolnoma zaprti ekonomski in matematični modeli, tj. razen eksogenih spremenljivk so izjemno redke; njihova konstrukcija zahteva popolno abstrakcijo iz »okolja«, tj. resno grobost resničnih gospodarskih sistemov, ki imajo vedno zunanje povezave. Velika večina ekonomskih in matematičnih modelov zaseda vmesni položaj in se razlikuje po stopnji odprtosti (zaprtosti).

Za modele nacionalne gospodarske ravni je pomembno, da jih razdelimo na združene in podrobne.

Glede na to, ali nacionalni ekonomski modeli vključujejo prostorske dejavnike in pogoje ali ne, ločimo prostorske in točkovne modele.

Tako splošna klasifikacija ekonomskih in matematičnih modelov vključuje več kot deset glavnih značilnosti. Z razvojem ekonomskih in matematičnih raziskav se problem klasifikacije uporabljenih modelov zaplete. Skupaj s pojavom novih tipov modelov (zlasti mešanih tipov) in novimi znaki njihove razvrstitve poteka proces integracije modelov različnih tipov v kompleksnejše konstrukcije modelov.

3 . Stopnje gospodarstvao-matematično modeliranje

Glavne faze procesa modeliranja so bile že obravnavane zgoraj. V različnih vejah znanja, tudi v gospodarstvu, pridobivajo svoje posebnosti. Analizirajmo zaporedje in vsebino faz enega cikla ekonomskega in matematičnega modeliranja.

1. Izjava o gospodarskem problemu in njegova kvalitativna analiza. Glavna stvar tukaj je jasno oblikovanje bistva problema, postavljenih predpostavk in vprašanj, na katera je treba odgovoriti. Ta stopnja vključuje izbor najpomembnejših lastnosti in lastnosti modeliranega predmeta ter abstrakcijo iz sekundarnih; preučevanje strukture predmeta in glavnih odvisnosti, ki povezujejo njegove elemente; oblikovanje hipotez (vsaj predhodno), ki pojasnjujejo vedenje in razvoj predmeta.

2. Gradnja matematičnega modela. To je faza formalizacije ekonomskega problema, ki ga izraža v obliki posebnih matematičnih odvisnosti in razmerij (funkcije, enačbe, neenakosti itd.). Običajno se najprej določi osnovna konstrukcija (vrsta) matematičnega modela, nato pa podrobnosti te konstrukcije (poseben seznam spremenljivk in parametrov, oblika povezav). Tako je konstrukcija modela razdeljena na več stopenj.

Napačno je domnevati, da več dejstev, ki jih model upošteva, bolje »deluje« in daje boljše rezultate. Enako lahko rečemo o značilnostih kompleksnosti modela, kot so oblike uporabljenih matematičnih odvisnosti (linearne in nelinearne), upoštevanje dejavnikov naključja in negotovosti itd. Prevelika zapletenost in okornost modela otežujeta raziskovalni proces. Upoštevati je treba ne le resnične možnosti informacijske in matematične podpore, temveč tudi primerjati stroške modeliranja s pridobljenim učinkom (s povečanjem kompleksnosti modela lahko povečanje stroškov preseže povečanje učinek).

Ena od pomembnih značilnosti matematičnih modelov je možnost njihove uporabe za reševanje problemov različne kakovosti. Zato si tudi ob novem gospodarskem izzivu ni treba prizadevati za "izum" modela; najprej je treba poskusiti uporabiti že znane modele za rešitev tega problema.

V procesu oblikovanja modela se primerjata dva sistema znanstvenega znanja - ekonomski in matematični. Naravno je, da si prizadevamo pridobiti model, ki spada v dobro preučen razred matematičnih problemov. To je pogosto mogoče narediti tako, da nekoliko poenostavimo začetne predpostavke modela, ne da bi pri tem izkrivili bistvene značilnosti modeliranega predmeta. Vendar pa je takšna situacija možna tudi, ko formalizacija ekonomskega problema privede do prej neznane matematične strukture. Potrebe ekonomske znanosti in prakse sredi dvajsetega stoletja. prispeval k razvoju matematičnega programiranja, teorije iger, funkcionalne analize, računalniške matematike. Verjetno bo v prihodnosti razvoj ekonomije postal pomembna spodbuda za nastanek novih vej matematike.

3. Matematična analiza modela. Namen tega koraka je razjasniti splošne lastnosti modela. Tu se uporabljajo zgolj matematične metode raziskovanja. Najpomembnejša točka je dokaz obstoja rešitev v formuliranem modelu (izrek obstoja). Če je mogoče dokazati, da matematični problem nima rešitve, potem ni potrebe po nadaljnjem delu na prvotni različici modela; popraviti je treba bodisi formulacijo ekonomskega problema bodisi metode njegove matematične formalizacije. V analitični študiji modela se pojasnijo vprašanja, na primer, ali je rešitev edinstvena, katere spremenljivke (neznane) je mogoče vključiti v rešitev, kakšni bodo odnosi med njimi, v kakšnih mejah in odvisno od česa začetni pogoji, ki se spreminjajo, kakšne so tendence njihove spremembe itd. Analitična študija modela v primerjavi z empirično (numerično) ima prednost, da pridobljeni zaključki ostanejo veljavni za različne specifične vrednosti zunanjih in notranjih parametrov modela.

Poznavanje splošnih lastnosti modela je tako pomembno, zato se raziskovalci pogosto za dokazovanje teh lastnosti namenoma odločijo za idealizacijo prvotnega modela. Pa vendar je modele kompleksnih gospodarskih objektov zelo težko analitično analizirati. V primerih, ko analitične metode ne odkrijejo splošnih lastnosti modela in poenostavitve modela privedejo do nesprejemljivih rezultatov, se obrnejo na numerične metode raziskovanja.

4. Priprava osnovnih informacij. Modeliranje postavlja informacijskemu sistemu stroge zahteve. Hkrati realne možnosti pridobivanja informacij omejujejo izbiro modelov, namenjenih praktični uporabi. Ta ne upošteva le temeljne možnosti priprave informacij (v določenem časovnem okviru), temveč tudi stroške priprave ustreznih podatkovnih nizov. Ti stroški ne smejo presegati učinka uporabe dodatnih informacij.

V procesu priprave informacij se široko uporabljajo metode teorije verjetnosti, teoretične in matematične statistike. Pri sistemskem ekonomskem in matematičnem modeliranju so začetne informacije, uporabljene v nekaterih modelih, rezultat delovanja drugih modelov.

5. Numerična rešitev. Ta stopnja vključuje razvoj algoritmov za numerično rešitev problema, sestavljanje računalniških programov in neposreden izračun. Težave te stopnje so predvsem posledica velike razsežnosti gospodarskih težav, potrebe po obdelavi znatnih količin informacij.

Običajno so izračuni na podlagi ekonomskega in matematičnega modela več variabilni. Zaradi velike hitrosti sodobnih računalnikov je mogoče izvesti številne "modelne" poskuse, ki preučujejo "vedenje" modela pri različnih spremembah v določenih pogojih. Raziskave, izvedene z numeričnimi metodami, lahko bistveno dopolnijo rezultate analitičnih raziskav, za mnoge modele pa so edine izvedljive. Razred ekonomskih problemov, ki jih je mogoče rešiti s numeričnimi metodami, je veliko širši od razreda problemov, ki so na voljo za analitično raziskovanje.

6. Analiza numeričnih rezultatov in njihova uporaba. Na tej zadnji stopnji cikla se postavlja vprašanje o pravilnosti in popolnosti rezultatov simulacije, o stopnji praktične uporabnosti slednjih.

Matematične metode preverjanja lahko razkrijejo napačne konstrukcije modelov in s tem zožijo razred potencialno pravilnih modelov. Neuradna analiza teoretičnih zaključkov in numeričnih rezultatov, pridobljenih s pomočjo modela, ki jih primerjamo z razpoložljivimi znanji in dejstvi realnosti, nam omogočajo tudi razkriti pomanjkljivosti oblikovanja ekonomskega problema, zgrajenega matematičnega modela, njegovih informacij in matematike. podpora.

Medsebojni odnosi faz. Bodimo pozorni na povratne informacije faz, ki nastanejo zaradi dejstva, da se v procesu raziskovanja odkrijejo pomanjkljivosti prejšnjih faz modeliranja.

Že v fazi oblikovanja modela se lahko izkaže, da je formulacija problema protislovna ali vodi do preveč zapletenega matematičnega modela. V skladu s tem se popravi prvotna formulacija problema. Poleg tega lahko matematična analiza modela (stopnja 3) pokaže, da majhna sprememba izjave problema ali njena formalizacija daje zanimiv analitični rezultat.

Najpogosteje se potreba po vrnitvi na prejšnje stopnje modeliranja pojavi pri pripravi začetnih informacij (4. stopnja). Morda boste ugotovili, da potrebne informacije manjkajo ali pa so stroški njihove priprave previsoki. Nato se morate vrniti k oblikovanju problema in njegovi formalizaciji ter jih spremeniti tako, da se prilagodite razpoložljivim informacijam.

Ker so ekonomski in matematični problemi po svoji strukturi lahko zapleteni, imajo veliko razsežnost, se pogosto zgodi, da znani algoritmi in računalniški programi ne omogočajo reševanja problema v prvotni obliki. Če v kratkem času ni mogoče razviti novih algoritmov in programov, se izvirna formulacija problema in model poenostavi: pogoji se odstranijo in združijo, število dejavnikov se zmanjša, nelinearna razmerja nadomestijo linearni, determinizem modela je okrepljen itd.

Pomanjkljivosti, ki jih v vmesnih fazah modeliranja ni mogoče odpraviti, se odpravijo v naslednjih ciklih. Toda rezultati vsakega cikla imajo tudi popolnoma neodvisen pomen. Če začnete raziskovati z izgradnjo preprostega modela, lahko hitro dobite koristne rezultate in nato nadaljujete z ustvarjanjem naprednejšega modela, ki ga dopolnjujejo novi pogoji, vključno z izpopolnjenimi matematičnimi odnosi.

Ko se ekonomsko in matematično modeliranje razvija in postaja vse bolj zapleteno, se njegove posamezne stopnje izolirajo v specializirana področja raziskovanja, razlike med teoretičnimi in analitičnimi in uporabnimi modeli se povečujejo, modeli pa se razlikujejo glede na stopnjo abstrakcije in idealizacije.

Teorija matematične analize ekonomskih modelov se je razvila v posebno vejo sodobne matematike - matematično ekonomijo. Modeli, preučeni v okviru matematične ekonomije, izgubijo neposredno povezavo z ekonomsko realnostjo; obravnavajo izjemno idealizirane gospodarske objekte in situacije. Pri gradnji takšnih modelov glavno načelo ni toliko približevanje resničnosti, temveč pridobivanje čim večjega števila analitičnih rezultatov z matematičnimi dokazi. Vrednost teh modelov za ekonomsko teorijo in prakso je, da služijo kot teoretična podlaga za modele uporabnega tipa.

Priprava in obdelava ekonomskih informacij ter razvoj matematične podpore ekonomskim težavam (ustvarjanje zbirk podatkov in informacijskih bank, programi za avtomatizirano gradnjo modelov in programske storitve za ekonomiste-uporabnike) postajajo precej samostojna raziskovalna področja. Na stopnji praktične uporabe modelov bi morali imeti vodilno vlogo strokovnjaki na ustreznem področju ekonomske analize, načrtovanja in upravljanja. Glavno področje dela ekonomistov-matematikov ostaja oblikovanje in formalizacija ekonomskih problemov ter sinteza procesa ekonomskega in matematičnega modeliranja.

ekonomsko matematično modeliranje

Seznam rabljene literature

1.Fedoseev, Ekonomske metode

2. IL Akulich, Matematično programiranje v primerih in problemih, Moskva, "Višja šola", 1986;

3. SA Abramov, Matematične konstrukcije in programiranje, Moskva, "Nauka", 1978;

4. J. Littlewood, Matematična mešanica, Moskva, "Nauka", 1978;

5. Novice Akademije znanosti. Teorija in nadzorni sistemi, 1999, št. 5, str. 127-134.

7. https://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Objavljeno na Allbest.ru

Podobni dokumenti

Odkritje in zgodovinski razvoj metod matematičnega modeliranja, njihova praktična uporaba v sodobni ekonomiji. Uvaja se uporaba ekonomskega in matematičnega modeliranja na vseh ravneh upravljanja kot informacijske tehnologije.

test, dodan 06.10.2009

Osnovni pojmi in vrste modelov, njihova razvrstitev in namen ustvarjanja. Značilnosti uporabljenih ekonomsko -matematičnih metod. Splošne značilnosti glavnih stopenj ekonomskega in matematičnega modeliranja. Uporaba stohastičnih modelov v ekonomiji.

povzetek dodan 16.05.2012

Koncept in vrste modelov. Faze oblikovanja matematičnega modela. Osnove matematičnega modeliranja odnosa ekonomskih spremenljivk. Določitev parametrov linearne enosmerne regresijske enačbe. Metode optimizacije matematike v ekonomiji.

povzetek, dodano 02.11.2011

Uporaba optimizacijskih metod za reševanje posebnih proizvodnih, ekonomskih in upravljavskih problemov z uporabo kvantitativnega ekonomskega in matematičnega modeliranja. Rešitev matematičnega modela preučenega predmeta s pomočjo Excela.

seminarska naloga, dodana 29.7.2013

Zgodovina razvoja ekonomskih in matematičnih metod. Matematična statistika je veja uporabne matematike, ki temelji na vzorcu proučevanih pojavov. Analiza stopenj ekonomskega in matematičnega modeliranja. Ustni informacijski opis modeliranja.

predavalni tečaj, dodan 01.12.2009

Uporaba matematičnih metod pri reševanju ekonomskih problemov. Koncept proizvodne funkcije, izokvante, zamenljivost virov. Opredelitev nizko elastičnih, srednje elastičnih in visoko elastičnih izdelkov. Načela optimalnega upravljanja zalog.

test, dodan 13.03.2010

Razvrstitev ekonomskih in matematičnih modelov. Uporaba zaporednega približnega algoritma pri oblikovanju gospodarskih problemov v agroindustrijskem kompleksu. Metode oblikovanja programa razvoja kmetijskega podjetja. Utemeljitev razvojnega programa.

seminarska naloga, dodana 01.05.2011

Delitev modeliranja na dva glavna razreda - materialni in idealni. V vseh gospodarskih sistemih obstajata dve glavni stopnji gospodarskih procesov. Idealni matematični modeli v ekonomiji, uporaba optimizacijskih in simulacijskih metod.

povzetek, dodano 06.11.2010

Osnovni pojmi matematičnih modelov in njihova uporaba v ekonomiji. Splošne značilnosti elementov gospodarstva kot predmeta modeliranja. Trg in njegove vrste. Dinamični model Leontiefa in Keynesa. Solow model z diskretnim in neprekinjenim časom.

seminarska naloga, dodana 30.04.2012

Določitev stopnje razvoja ekonomsko -matematičnega modeliranja in utemeljitev metode za pridobitev rezultata modeliranja. Teorija iger in odločanje v negotovosti. Analiza poslovne strategije v negotovem okolju.

Pri gradnji ekonomskih modelov se ugotovijo pomembni dejavniki in zavržejo podrobnosti, ki so za reševanje problema nepomembne.

Ekonomski modeli lahko vključujejo modele:

gospodarska rast
izbira potrošnika
ravnovesje na finančnem in blagovnem trgu in mnogi drugi.

Model Je logični ali matematični opis komponent in funkcij, ki odražajo bistvene lastnosti modeliranega predmeta ali procesa.

Model se uporablja kot pogojna slika, zasnovana za poenostavitev študije predmeta ali procesa.

Narava modelov je lahko drugačna. Modeli so razdeljeni na: materialne, znakovne, besedne in tabelarne opise itd.

Ekonomsko -matematični model

Pri upravljanju gospodarskih procesov so najpomembnejši predvsem ekonomski in matematični modeli, pogosto združene v modelne sisteme.

Ekonomsko -matematični model(EMM) je matematični opis gospodarskega predmeta ali procesa z namenom njihovega raziskovanja in upravljanja. To je matematični zapis rešenega ekonomskega problema.

Osnovne vrste modelov

Modeli ekstrapolacije
Faktorski ekonometrični modeli
Modeli optimizacije
Modeli ravnotežja, medsektorski model ravnotežja (MOB)
Strokovne ocene
Teorija iger
Omrežni modeli
Modeli sistemov čakalnih vrst

Ekonomsko -matematični modeli in metode, ki se uporabljajo v ekonomski analizi

R a = CP / VA + OA,

V splošni obliki lahko mešani model predstavimo z naslednjo formulo:

Torej, najprej morate zgraditi ekonomski in matematični model, ki opisuje vpliv posameznih dejavnikov na posplošljivo ekonomsko uspešnost organizacije. Razširjeno v analizi prejetih gospodarskih dejavnosti več variabilnih multiplikativnih modelov, saj vam omogočajo, da preučite vpliv pomembnega števila dejavnikov na posplošujoče kazalnike in tako dosežete večjo globino in natančnost analize.

Po tem morate izbrati način za rešitev tega modela. Tradicionalni načini: metoda verižnih zamenjav, metode absolutnih in relativnih razlik, metoda ravnotežja, metoda indeksa, pa tudi metode korelacije-regresije, grozd, analiza variance itd. Poleg teh metod in metod se uporabljajo posebne matematične metode in metode v ekonomski analizi.

Integralna metoda ekonomske analize

Ena od takih metod (metod) je integralna. Uporablja se pri ugotavljanju vpliva posameznih dejavnikov z uporabo multiplikativnih, večkratnih in mešanih (več aditivnih) modelov.

V pogojih uporabe integralne metode je mogoče dobiti bolj utemeljene rezultate izračunavanja vpliva posameznih dejavnikov kot pri uporabi metode verižnih zamenjav in njenih variant. Metoda verižnih zamenjav in njene variante ter indeksna metoda imajo pomembne pomanjkljivosti: 1) rezultati izračunavanja vpliva faktorjev so odvisni od sprejetega zaporedja zamenjave osnovnih vrednosti posameznih faktorjev z dejanskimi; 2) vsoti vpliva zadnjega faktorja se doda dodatno povečanje posploševalnega kazalnika, ki ga povzroči interakcija faktorjev v obliki nerazgradljivega ostanka. Pri uporabi integralne metode se ta dobiček enakomerno razdeli med vse dejavnike.

Integralna metoda vzpostavlja splošen pristop k reševanju modelov različnih vrst in ne glede na število elementov, ki so vključeni v dani model, pa tudi ne glede na obliko komunikacije med temi elementi.

Integralna metoda faktorske ekonomske analize temelji na seštevanju prirastkov funkcije, opredeljene kot delni izpeljanka, pomnoženih s prirastkom argumenta v neskončno majhnih intervalih.

Pri uporabi integralne metode mora biti izpolnjenih več pogojev. Najprej mora biti izpolnjen pogoj stalne diferenciabilnosti funkcije, kjer se kot argument vzame ekonomski kazalnik. Drugič, funkcija med začetno in končno točko osnovnega obdobja se mora spremeniti vzdolž ravne črte R e... Nazadnje, tretjič, mora obstajati konstantnost razmerja med stopnjami sprememb vrednosti faktorjev

d y / d x = const

Pri uporabi integralne metode se izračun določenega integrala po danem integrandu in danem intervalu integracije izvede v skladu z razpoložljivim standardnim programom z uporabo sodobne računalniške tehnologije.

Če izvedemo rešitev multiplikativnega modela, lahko za izračun vpliva posameznih dejavnikov na posploševalni ekonomski kazalnik uporabimo naslednje formule:

ΔZ (x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ y

Z (y) =x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Pri reševanju več modelov za izračun vpliva faktorjev bomo uporabili naslednje formule:

Z = x / y;

Δ Z (x)= Δ x/Δ y Lny1 / y0

Δ Z (y) =Δ Z- Δ Z (x)

Obstajata dve glavni vrsti težav, ki se rešujejo z uporabo integralne metode: statična in dinamična. Pri prvi vrsti ni podatkov o spremembi analiziranih dejavnikov v tem obdobju. Primeri takšnih nalog so analiza izvajanja poslovnih načrtov ali analiza sprememb gospodarskih kazalnikov v primerjavi s prejšnjim obdobjem. Dinamična vrsta nalog poteka ob prisotnosti informacij o spremembi analiziranih dejavnikov v določenem obdobju. Ta vrsta problema vključuje izračune v zvezi s preučevanjem časovnih vrst ekonomskih kazalnikov.

To so najpomembnejše značilnosti integralne metode faktorske ekonomske analize.

Logaritemska metoda

Poleg te metode se pri analizi uporablja tudi metoda (metoda) logaritma. Uporablja se pri faktorski analizi pri reševanju multiplikativnih modelov. Bistvo obravnavane metode je v tem, da ob njeni uporabi obstaja logaritmično sorazmerna porazdelitev velikosti skupnega delovanja faktorjev med slednjima, to je, da se ta vrednost porazdeli med dejavnike v sorazmerju z delež vpliva vsakega posameznega dejavnika na vsoto povzetka kazalnika. Pri integralni metodi se omenjena vrednost v enaki meri porazdeli med dejavnike. Zato je z metodo logaritma izračuni vpliva faktorjev bolj upravičeni v primerjavi z integralno metodo.

V procesu logaritmizacije se ne uporabljajo absolutne vrednosti rasti ekonomskih kazalnikov, kot je to pri integralni metodi, ampak relativne, torej indekse spremembe teh kazalnikov. Splošni ekonomski kazalnik je na primer določen kot produkt treh dejavnikov - dejavnikov f = x y z.

Ugotovimo vpliv vsakega od teh dejavnikov na splošni gospodarski kazalnik. Torej je vpliv prvega faktorja mogoče določiti po naslednji formuli:

Δf x = Δf log (x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Kakšen je bil vpliv naslednjega dejavnika? Če želimo ugotoviti njen vpliv, uporabimo naslednjo formulo:

Δf y = Δf log (y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Za izračun vpliva tretjega faktorja uporabimo formulo:

Δf z = Δf log (z 1 / z 0) / log (f 1 / f 0)

Tako je skupni znesek spremembe posploševalnega kazalnika razdeljen med posamezne faktorje v skladu z deleži razmerij logaritmov posameznih faktorskih indeksov do logaritma posploševalnega kazalnika.

Pri uporabi obravnavane metode je mogoče uporabiti katero koli vrsto logaritma - tako naravno kot decimalno.

Metoda diferencialnega računa

Pri izvajanju faktorske analize se uporablja tudi metoda diferenčnega računa. Slednji predvideva, da je skupna sprememba funkcije, to je posploševalnega kazalnika, razdeljena na ločene izraze, katerih vrednost je vsaka izračunana kot produkt določenega delnega izvedenega finančnega instrumenta s povečanjem spremenljivke, s katero ta izvedeni finančni instrument je določeno. Ugotovimo vpliv posameznih dejavnikov na posploševalni kazalnik in za primer uporabimo funkcijo dveh spremenljivk.

Funkcija je nastavljena Z = f (x, y)... Če je ta funkcija različna, je njeno spremembo mogoče izraziti z naslednjo formulo:

Razložimo posamezne elemente te formule:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- obseg spremembe funkcije;

Δx = (x 1 - x 0)- obseg spremembe enega dejavnika;

Δ y = (y 1 - y 0)- obseg spremembe drugega dejavnika;

- neskončno majhna količina višjega reda kot

V tem primeru je vpliv posameznih dejavnikov x in y spremeniti funkcijo Z(povzetek kazalnika) se izračuna na naslednji način:

ΔZ x = δZ / δx Δx; ΔZ y = δZ / δy Δy.

Vsota vpliva obeh dejavnikov je glavni, linearni glede na prirastek tega faktorja, del prirasta diferencialne funkcije, torej posploševalnega kazalca.

Metoda lastniškega kapitala

V pogojih reševanja aditivnih modelov in modelov z več dodatki se metoda lastniške udeležbe uporablja tudi za izračun vpliva posameznih dejavnikov na spremembo posploševalnega kazalnika. Njegovo bistvo je v tem, da se najprej določi delež vsakega faktorja v skupnem znesku njihovih sprememb. Nato se ta delež pomnoži s skupno vrednostjo spremembe v zbirnem kazalniku.

Recimo, da ugotovimo vpliv treh dejavnikov - a,b in z na kazalniku povzetek y... Potem je za faktor in določitev njegovega deleža in njegovega pomnoženja s skupno vrednostjo spremembe posploševalnega kazalnika mogoče izvesti po naslednji formuli:

Δy a = Δa / Δa + Δb + Δc * Δy

Za faktor v bo obravnavana formula imela naslednjo obliko:

Δy b = Δb / Δa + Δb + Δc * Δy

Končno imamo za faktor c:

Δy c = Δc / Δa + Δb + Δc * Δy

To je bistvo kapitalske metode, ki se uporablja za namene faktorske analize.

Metoda linearnega programiranja

Glej dalje:

Teorija čakalnih vrst

Glej dalje:

Teorija iger

Uporablja se tudi teorija iger. Tako kot teorija čakalnih vrst je tudi teorija iger ena od vej uporabne matematike. Teorija iger preučuje optimalne rešitve, ki so možne v situacijah narave igre. To vključuje situacije, ki so povezane z izbiro optimalnih odločitev upravljanja, z izbiro najprimernejših možnosti za odnose z drugimi organizacijami itd.

Za reševanje tovrstnih problemov v teoriji iger se uporabljajo algebrske metode, ki temeljijo na sistemu linearnih enačb in neenakosti, iterativnih metodah ter metodah za zmanjšanje danega problema na določen sistem diferencialnih enačb.

Ena od ekonomsko-matematičnih metod, ki se uporabljajo pri analizi gospodarskih dejavnosti organizacij, je tako imenovana analiza občutljivosti. Ta metoda se pogosto uporablja v procesu analize naložbenih projektov, pa tudi za napovedovanje višine dobička, ki je na voljo dani organizaciji.

Za optimalno načrtovanje in napovedovanje dejavnosti organizacije je potrebno vnaprej predvideti tiste spremembe, ki se lahko pojavijo v prihodnosti z analiziranimi ekonomskimi kazalniki.

Na primer, vnaprej je treba predvideti spremembo vrednosti tistih dejavnikov, ki vplivajo na višino dobička: raven nakupnih cen za kupljena materialna sredstva, raven prodajnih cen za izdelke določene organizacije, spremembe povpraševanja kupcev po teh izdelkih.

Analiza občutljivosti je sestavljena iz določanja prihodnje vrednosti splošnega ekonomskega kazalnika, pod pogojem, da se spremeni vrednost enega ali več dejavnikov, ki vplivajo na ta kazalnik.

Tako na primer ugotovijo, za kakšen znesek se bo v prihodnosti spremenil dobiček, če se spremeni količina prodanih izdelkov na enoto. S tem analiziramo občutljivost čistega dobička na spremembe enega od dejavnikov, ki nanj vplivajo, to je v tem primeru faktor prodaje. Preostali dejavniki, ki vplivajo na višino dobička, so hkrati nespremenjeni. Višino dobička je mogoče določiti tudi s hkratno spremembo prihodnjega vpliva več dejavnikov. Tako analiza občutljivosti omogoča ugotavljanje moči odziva splošnega ekonomskega kazalnika na spremembe posameznih dejavnikov, ki vplivajo na ta kazalnik.

Matrična metoda

Poleg zgoraj navedenih ekonomsko -matematičnih metod se pri analizi gospodarske dejavnosti uporabljajo tudi. Te metode temeljijo na linearni in vektorsko-matrični algebri.

Način načrtovanja omrežja

Glej dalje:

Analiza ekstrapolacije

Poleg obravnavanih metod se uporablja tudi ekstrapolacijska analiza. Vključuje obravnavo sprememb stanja analiziranega sistema in ekstrapolacijo, torej razširitev obstoječih značilnosti tega sistema na prihodnja obdobja. V procesu izvajanja te vrste analize lahko ločimo naslednje glavne stopnje: primarna obdelava in preoblikovanje začetne serije razpoložljivih podatkov; izbira vrste empiričnih funkcij; določitev glavnih parametrov teh funkcij; ekstrapolacija; ugotavljanje stopnje zanesljivosti analize.

Ekonomska analiza uporablja tudi metodo glavnih komponent. Uporabljajo se za namen primerjalne analize posameznih sestavnih delov, torej parametrov analize dejavnosti organizacije. Glavne komponente predstavljajo najpomembnejše značilnosti linearnih kombinacij sestavnih delov, torej parametre opravljene analize, ki imajo najpomembnejše vrednosti variance, in sicer največja absolutna odstopanja od srednjih vrednosti.

Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki pri svojem študiju in delu uporabljajo bazo znanja, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru

Vsebina
Uvod
1. Matematični modeli

1.1 Razvrstitev ekonomskih in matematičnih modelov

2. Optimizacijsko modeliranje

2.1 Linearno programiranje

2.1.1 Linearno programiranje kot orodje za matematično modeliranje gospodarstva
2.1.2 Primeri modelov linearnega programiranja
2.2.3 Optimalna dodelitev virov

Zaključek

Uvod

Za sodobno matematiko je značilen intenziven prodor v druge znanosti, v mnogih pogledih se ta proces pojavi zaradi delitve matematike na številna neodvisna področja. Za mnoge veje znanja matematika ni postala le orodje za kvantitativni izračun, ampak tudi metoda natančnega raziskovanja in sredstvo za izredno jasno oblikovanje pojmov in problemov. Brez sodobne matematike z razvitim logičnim in računalniškim aparatom napredek na različnih področjih človekove dejavnosti ne bi bil mogoč. ekonomsko matematično linearno modeliranje

Ekonomija kot veda o objektivnih razlogih za delovanje in razvoj družbe uporablja različne kvantitativne značilnosti in je zato vključila veliko število matematičnih metod.

Pomembnost te teme je v tem, da sodobno gospodarstvo uporablja metode optimizacije, ki so osnova matematičnega programiranja, teorije iger, načrtovanja omrežij, teorije čakalnih vrst in drugih uporabnih znanosti.

Proučevanje ekonomskih aplikacij matematičnih disciplin, ki so osnova sedanje ekonomske matematike, vam omogoča, da pridobite nekaj spretnosti pri reševanju ekonomskih problemov in razširite znanje na tem področju.

Namen tega dela je preučiti nekatere optimizacijske metode, ki se uporabljajo pri reševanju ekonomskih problemov.

1. Matematični modeli

Matematični modeli v ekonomiji. Razširjena uporaba matematičnih modelov je pomembna smer za izboljšanje ekonomske analize. Določitev podatkov ali njihovo predstavitev v obliki matematičnega modela pomaga pri izbiri najmanj zamudne rešitve in poveča učinkovitost analize.

Vsi ekonomski problemi, rešeni z linearnim programiranjem, se razlikujejo po alternativnih rešitvah in določenih mejnih pogojih. Rešiti tak problem pomeni, da izberemo najboljšo, optimalno izmed vseh priznanih možnih (alternativnih) možnosti. Pomen in vrednost uporabe metode linearnega programiranja v ekonomiji je v tem, da je optimalna možnost izbrana med dovolj pomembnim številom alternativnih možnosti.

Najpomembnejše točke pri oblikovanju in reševanju ekonomskih problemov v obliki matematičnega modela so:

· Ustreznost ekonomskega in matematičnega modela resničnosti;

· Analiza vzorcev, ki ustrezajo temu procesu;

· Določanje metod, s katerimi lahko rešite težavo;

· Analiza dobljenih rezultatov ali povzetek.

Ekonomsko analizo razumemo predvsem kot faktorsko analizo.

Naj bo y = f (x i) neka funkcija, ki označuje spremembo kazalnika ali procesa; x 1, x 2,…, x n - faktorji, od katerih je odvisna funkcija y = f (x i). Podana je funkcionalna deterministična povezava kazalnika y z nizom dejavnikov. Naj se kazalnik y v analiziranem obdobju spremeni. Določiti je treba, kateri del numeričnega prirasta funkcije y = f (x 1, x 2,…, x n) je posledica prirastka vsakega faktorja.

V ekonomski analizi je mogoče ločiti - analizo vpliva produktivnosti dela in števila ljudi, ki delajo na količini proizvedenih proizvodov; analiza vpliva vrednosti dobička osnovnih sredstev in normaliziranega obratnega kapitala na raven dobičkonosnosti; analiza vpliva izposojenih sredstev na okretnost in neodvisnost podjetja itd.

V ekonomski analizi poleg nalog, ki se nanašajo na razčlenitev na sestavne dele, obstaja skupina nalog, kjer je treba funkcionalno povezati številne ekonomske značilnosti, tj. zgraditi funkcijo, ki vsebuje glavno kakovost vseh upoštevanih ekonomskih kazalnikov.

V tem primeru se postavlja obratni problem - tako imenovani problem inverzne faktorske analize.

Naj obstaja niz kazalnikov x 1, x 2,…, x n, ki označujejo neki gospodarski proces F. Vsak od kazalnikov označuje ta proces. Potrebno je zgraditi funkcijo f (x i) sprememb v procesu F, ki vsebuje glavne značilnosti vseh kazalnikov x 1, x 2, ..., x n

Glavna točka ekonomske analize je opredelitev merila, po katerem se bodo primerjale različne rešitve.

Matematični modeli v upravljanju. Odločanje ima pomembno vlogo na vseh področjih človekove dejavnosti. Za oblikovanje problema odločanja morata biti izpolnjena dva pogoja:

· Razpoložljivost izbire;

· Izbira možnosti po določenem načelu.

Za izbiro rešitve obstajata dve znani načeli: voljna in merilna.

Voljna izbira, ki se najpogosteje uporablja, se v odsotnosti formaliziranih modelov uporablja kot edina možna.

Izbira merila je v tem, da sprejmemo določeno merilo in primerjamo možne možnosti po tem merilu, možnost, za katero sprejeto merilo sprejme najboljšo odločitev, imenujemo optimalna, problem sprejetja najboljše odločitve pa optimizacijski problem.

Kriterij optimizacije se imenuje ciljna funkcija.

Vsak problem, katerega rešitev se zmanjša na iskanje maksimuma ali minimuma ciljne funkcije, se imenuje skrajni problem.

Naloge upravljanja so povezane z iskanjem pogojnega ekstrema ciljne funkcije pod znanimi omejitvami, ki jih nalagajo njene spremenljivke.

Ciljna funkcija pri reševanju različnih optimizacijskih problemov je količina ali stroški izdelkov, proizvodni stroški, višina dobička itd. Omejitve se običajno nanašajo na človeške materialne, finančne vire.

Naloge upravljanja optimizacije, ki so po vsebini različne in se izvajajo s standardnimi programskimi izdelki, ustrezajo enemu ali drugemu razredu ekonomskih in matematičnih modelov.

Razmislite o razvrstitvi nekaterih glavnih optimizacijskih problemov, ki jih izvaja vodstvo v proizvodnji.

Razvrstitev problemov optimizacije po nadzorni funkciji:

Nadzorna funkcija	Naloge optimizacije	Razred ekonomskih in matematičnih modelov
Tehnična in organizacijska priprava proizvodnje	Modeliranje sestave izdelkov; Optimizacija sestave razredov, naboja, mešanic; Optimizacija rezalnega materiala, valjanih izdelkov; Optimizacija dodeljevanja virov v omrežnih modelih delovnih paketov; Optimizacija postavitev podjetij, proizvodnih obratov in opreme; Optimizacija poti proizvodnje izdelka; Optimizacija tehnologij in tehnoloških načinov.	Teorija grafov Diskretno programiranje Linearno programiranje Načrtovanje in upravljanje omrežja Simulacijsko modeliranje Dinamično programiranje Nelinearno programiranje
Tehnično in ekonomsko načrtovanje	Oblikovanje konsolidiranega načrta in napovedovanje kazalnikov razvoja podjetij; Optimizacija portfelja naročil in proizvodnega programa; Optimizacija distribucije proizvodnega programa za načrtovalna obdobja.	Modeli matričnega ravnovesja "Vhod-izhod" Korelacija- regresijska analiza Ekstrapolacija trendov Linearno programiranje
Operativno upravljanje glavne proizvodnje	Optimizacija standardov urnika; Koledarska opravila; Optimizacija standardnih načrtov; Optimizacija kratkoročnih proizvodnih načrtov.	Nelinearno programiranje Simulacijsko modeliranje Linearno programiranje Celoštevilčno programiranje

Tabela 1.

Kombinacija različnih elementov modela vodi do različnih razredov optimizacijskih problemov:

Tabela 2.

1.1 Razvrstitev ekonomskih in matematičnih modelov

Obstaja veliko različnih vrst, vrst ekonomskih in matematičnih modelov, ki so potrebni za uporabo pri upravljanju gospodarskih objektov in procesov. Ekonomsko -matematične modele delimo na: makroekonomske in mikroekonomske, odvisno od ravni simuliranega objekta upravljanja, dinamične, ki označujejo spremembe v upravljalnem objektu skozi čas, in statične, ki opisujejo razmerje med različnimi parametri, kazalnike objekta pri tisti čas. Diskretni modeli prikazujejo stanje nadzornega objekta v ločenih, fiksnih časovnih točkah. Ekonomski in matematični modeli, ki se uporabljajo za simulacijo nadzorovanih gospodarskih objektov in procesov z uporabo informacijske in računalniške tehnologije, se imenujejo modeli posnemanja. Glede na vrsto matematičnega aparata, ki se uporablja v modelih, obstajajo ekonomski in statistični, linearni in nelinearni programirni modeli, matrični modeli, mrežni modeli.

Faktorski modeli. Skupina ekonomsko -matematičnih faktorskih modelov vključuje modele, ki po eni strani vključujejo ekonomske dejavnike, od katerih je odvisno stanje nadzorovanega gospodarskega objekta, po drugi strani pa parametre stanja predmeta, ki so odvisni od teh dejavnikov. Če so dejavniki znani, vam model omogoča določitev želenih parametrov. Faktorske modele najpogosteje ponujajo matematično preproste linearne ali statične funkcije, ki označujejo razmerje med dejavniki in parametri gospodarskega objekta, odvisnega od njih.

Modeli ravnotežja. Statistični in dinamični modeli ravnotežja se pogosto uporabljajo v ekonomskem in matematičnem modeliranju. Oblikovanje teh modelov temelji na metodi ravnotežja - metodi medsebojne primerjave materialnih, delovnih in finančnih virov ter potreb po njih. Opisuje gospodarski sistem kot celoto, njegov model ravnotežja razumemo kot sistem enačb, od katerih vsaka izraža potrebo po ravnotežju med količino proizvodov, ki jih proizvedejo posamezni gospodarski objekti, in celotnim povpraševanjem po teh izdelkih. S tem pristopom gospodarski sistem sestavljajo gospodarski subjekti, od katerih vsak proizvaja določen izdelek. Če namesto pojma „produkt“ uvedemo pojem „vir“, potem je treba bilančni model razumeti kot sistem enačb, ki izpolnjuje zahteve med določenim virom in njegovo uporabo.

Najpomembnejše vrste modelov ravnotežja so:

· Materialna, delovna in finančna ravnovesja za gospodarstvo kot celoto in posamezne sektorje;

· Medindustrijska stanja;

· Matrična stanja podjetij in podjetij.

Modeli optimizacije. Velik razred ekonomskih in matematičnih modelov tvorijo optimizacijski modeli, ki vam omogočajo, da iz vseh rešitev izberete najboljšo optimalno možnost. V matematični vsebini se optimalnost razume kot doseganje ekstrema merila optimalnosti, imenovanega tudi ciljna funkcija. Modeli optimizacije se najpogosteje uporabljajo pri nalogah iskanja najboljšega načina uporabe gospodarskih virov, kar vam omogoča doseganje največjega ciljnega učinka. Matematično programiranje je nastalo na podlagi reševanja problema optimalnega rezanja listov vezanega lesa, kar zagotavlja najbolj popolno uporabo materiala. Ko je postavil tak problem, je slavni ruski matematik in ekonomist, akademik L.V. Kantorovič je bil priznan kot vreden Nobelove nagrade za ekonomijo.

2. Optimizacijsko modeliranje

2.1 Linearno programiranje

2.1.1 Linearno programiranje kot orodje za matematično modeliranje gospodarstva

Študija lastnosti splošnega sistema linearnih neenakosti poteka že od 19. stoletja, prvi optimizacijski problem z linearno ciljno funkcijo in linearnimi omejitvami pa je bil oblikovan v tridesetih letih 20. stoletja. Eden prvih tujih znanstvenikov, ki je postavil temelje linearnega programiranja, je bil John von Neumann, znani matematik in fizik, ki je dokazal glavni izrek o matričnih igrah. Med ruskimi znanstveniki je velik prispevek k teoriji linearne optimizacije prispeval dobitnik Nobelove nagrade L.V. Kantorovich, N.N. Moiseev, E.G. Holstein, D.B. Yudin in mnogi drugi.

Linearno programiranje tradicionalno velja za eno od vej operacijskega raziskovanja, ki preučuje metode za iskanje pogojnega ekstrema funkcij številnih spremenljivk.

V klasični matematični analizi se raziskuje splošna formulacija problema določanja pogojnega ekstrema, vendar so se zaradi razvoja industrijske proizvodnje, prometa, agroindustrijskega kompleksa in bančnega sektorja tradicionalni rezultati matematične analize obrnili izkazalo, da ni dovolj. Potrebe prakse in razvoj računalniške tehnologije so privedle do potrebe po določitvi optimalnih rešitev pri analizi kompleksnih gospodarskih sistemov. Glavno orodje za reševanje tovrstnih problemov je matematično modeliranje, tj. formaliziran opis obravnavanega procesa in njegove študije z uporabo matematičnega aparata.

Umetnost matematičnega modeliranja je upoštevati čim širši spekter dejavnikov, ki vplivajo na vedenje predmeta, pri tem pa uporabiti čim bolj preprosta razmerja. V zvezi s tem je proces modeliranja pogosto večstopenjski. Najprej se zgradi razmeroma preprost model, nato se izvede njegova študija, ki omogoča razumevanje, katere od integracijskih lastnosti predmeta ta formalna shema ne zajema, nato pa zaradi zapletenosti modela njegova zagotovljena je večja ustreznost realnosti. Poleg tega je v mnogih primerih prvi približek resničnosti model, v katerem so vsa razmerja med spremenljivkami, ki označujejo stanje predmeta, linearna. Praksa kaže, da je veliko število ekonomskih procesov dovolj v celoti opisanih z linearnimi modeli, zato ima linearno programiranje kot aparat, ki omogoča iskanje pogojnega ekstrema na množici, podani z linearnimi enačbami in neenakostmi, pomembno vlogo pri analizi teh procesov.

2.1.2 Primeri modelov linearnega programiranja

V nadaljevanju bomo obravnavali več situacij, katerih proučevanje je možno z orodji za linearno programiranje. Ker je glavni kazalnik v teh situacijah ekonomsko -stroškovni, so ustrezni modeli ekonomski in matematični.

Problem rezanja materialov. Material enega vzorca je prejet v obdelavo v količini d enot. Iz nje je treba izdelati različne sestavne dele v količinah, sorazmernih s števili a 1, ..., a k. Vsako enoto materiala je mogoče razrezati na n različnih načinov, pri tem pa uporabiti i-to metodo (i = 1,. .., n) daje b ij, enote j-tega produkta (j = 1, ..., k).

Potrebno je najti načrt rezanja, ki zagotavlja največje število sklopov.

Ekonomski in matematični model tega problema lahko formuliramo na naslednji način. Označimo x i - število enot materiala, razrezanih po i -ti metodi, in x - število izdelanih sklopov izdelkov.

Glede na to, da je skupna količina materiala enaka vsoti njegovih enot, razrezanih na različne načine, dobimo:

Pogoj popolnosti je izražen z enačbami:

Očitno je, da

x i 0 (i = 1, ..., n) (3)

Cilj je določiti takšno rešitev X = (x 1, ..., x n), ki izpolnjuje omejitve (1) - (3), pri kateri funkcija F = x prevzame svojo največjo vrednost. Naj ponazorimo obravnavani problem z naslednjim primerom: za izdelavo tramov dolžine 1,5 m, 3 m in 5 m v razmerju 2: 1: 3 se za rezanje razreže 200 hlodov dolžine 6 m Določite načrt rezanja, ki zagotavlja največje število sklopov. Za oblikovanje ustreznega optimizacijskega problema linearnega programiranja opredelimo vse možne načine žaganja hlodov z navedbo ustreznega števila žarkov, pridobljenih v tem primeru (tabela 1).

Tabela 1

Označimo s x i - število hlodov, razžaganih po i -ti metodi (i = 1,2, 3, 4); x je število nizov palic.

Upoštevajoč, da morajo biti vsi hlodi razžagani, število nosilcev vsake velikosti pa mora izpolnjevati pogoj popolnosti, bo optimizacijski ekonomski in matematični model pod omejitvami dobil naslednjo obliko x> max:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 200

x i 0 (i = 1,2,3,4)

Problem izbire optimalnega proizvodnega programa podjetja. Naj bo podjetje sposobno proizvesti n različnih vrst izdelkov. Za proizvodnjo teh vrst izdelkov podjetje uporablja M vrst materialnih virov in N vrst opreme. Za povečanje bruto dobička podjetja je treba v danem časovnem intervalu določiti obseg proizvodnje podjetja (tj. Njegov proizvodni program).

kjer je a i prodajna cena proizvodov tipa i;

b i - variabilni stroški za proizvodnjo ene enote proizvodnje tipa i;

Zp - pogojno fiksni stroški, za katere se predpostavlja, da so neodvisni od vektorja x = (x 1, ..., x n).

Hkrati je treba upoštevati omejitve glede količine uporabljenega materiala in surovin ter časa uporabe opreme v intervalu.

Označimo z Lj (j = l, ..., M) količino zalog materialnih virov oblike j, s fk (k = 1, ..., N) pa čas, v katerem je oprema oblika k. Znana je poraba materialnih virov tipa j za proizvodnjo ene enote izdelka tipa i, ki jo označimo z l ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., M). Znan je tudi t ik - čas nalaganja enega kosa opreme tipa k za izdelavo ene enote proizvodnje tipa i (i = 1, ..., n; k = 1, ..., N) . Z m k označimo število kosov opreme oblike k (k = l, ..., N).

Z uvedenimi oznakami je mogoče omejiti količino porabljenega materiala in surovin na naslednji način:

Omejitve proizvodne zmogljivosti določajo naslednje neenakosti

Poleg tega spremenljivke

x i? 0 i = 1, ..., n (7)

Tako je problem izbire proizvodnega programa, ki maksimizira dobiček, sestavljen iz izbire takega načrta x = (x 1 ..., x n), ki bi zadostil omejitvam (5) - (7) in bi povečal funkcijo (4).

V nekaterih primerih mora podjetje drugim gospodarskim subjektom dobavljati vnaprej določene količine proizvodnje Vt, nato pa se v obravnavani model namesto omejitve (1.7) lahko vključi omejitev obrazca:

x t> Vt i = 1, ..., n.

Težave s prehrano. Razmislite o nalogi priprave minimalnih stroškov na dan, ki bi vsebovala določena hranila v zahtevanih količinah. Predvidevali bomo, da obstaja znan seznam izdelkov n imen (kruh, sladkor, maslo, mleko, meso itd.), Ki jih bomo označili s črkami F 1, ..., F n. Poleg tega se upoštevajo značilnosti živil (hranil), kot so beljakovine, maščobe, vitamini, minerali in drugo. Označimo te komponente s črkami N 1, ..., N m. Recimo, da je za vsak izdelek F i znana (i = 1, ..., n) kvantitativna vsebnost zgoraj navedenih sestavin v eni enoti proizvoda. V tem primeru lahko ustvarite tabelo, ki vsebuje značilnosti izdelkov:

F 1, F 2,… F j… F n

N 1 a 11 a 12… a 1j… a 1N

N 2 a 21 a 22… a 2j… a 2N

N i a i1 a i2… a ij… a iN

N m a m1 a m2… a mj… a mN

Elementi te tabele tvorijo matriko z m vrsticami in n stolpci. Označimo jo z A in ji rečemo prehranska matrika. Recimo, da smo za določeno obdobje (na primer mesec) naredili obroke x = (x 1, x 2, ..., x n). Z drugimi besedami, vsako osebo načrtujemo za mesec x, enote (kilograme) izdelka F 1, x 2 enoti izdelka F 2 itd. Koliko vitaminov, maščob, beljakovin in drugih hranilnih snovi bo oseba v tem obdobju prejela, ni težko izračunati. Na primer, komponenta N 1 je v tej prehrani prisotna v določeni količini

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n

ker glede na pogoj v x 1 enotah proizvoda F 1 po hranilni matrici vsebuje 11 x 1 enot komponente N 1; tej količini se doda del 12 x 2 snovi N 1 iz x 2 enoti proizvoda F 2 itd. Podobno lahko določite količino vseh drugih snovi N i v pripravljeni prehrani (x 1, ..., x n).

Predpostavimo, da obstajajo določene fiziološke zahteve glede potrebne količine hranil v N i (i / = 1, ..., N) v načrtovanem obdobju. Naj te zahteve poda vektor b = (b 1 ..., b n), katerega i-ta komponenta b i označuje minimalno zahtevano vsebnost komponente N i v prehrani. To pomeni, da morajo koeficienti x i vektorja x izpolnjevati naslednji sistem omejitev:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n? b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2n x n? b 2 (8)

a m1 x 1 + a m2 x 2 +… + a mn x n? b m

Poleg tega je iz smiselnega pomena problema očitno, da so vse spremenljivke х 1, ..., х n negativne in se zato neenakosti dodajo omejitvam (8)

x 1? 0; x 2? 0; ... x n? 0; (devet)

Ker upoštevamo, da v večini primerov neskončno veliko obrokov ustreza omejitvam (8) in (9), izberemo tistega z najnižjimi stroški.

Naj bodo cene izdelkov F 1, ..., F n enake 1, ..., c n

Zato lahko stroške celotne prehrane x = (x 1 ..., x n) zapišemo kot

c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n> min (10)

Končna formulacija prehranjevalnega problema je, da med vsemi vektorji x = (x 1, ..., x n), ki izpolnjujejo omejitve (8) in (9), izberite enega, za katerega ciljna funkcija (10) ima najmanjšo vrednost.

Težave s transportom. Obstaja m točk S 1, ..., S m za proizvodnjo homogenega proizvoda (premog, cement, olje itd.), Medtem ko je obseg proizvodnje v točki S i enak a i enotam. Proizvedeni izdelek se porabi v točkah Q 1 ... Q n in povpraševanje po njem v točki Q j je k j enot (j = 1, ..., n). Za izpolnitev potreb po izdelku bj je treba sestaviti načrt prevoza od točk S i (i = 1, ..., m) do točk Q j (j = 1, ..., n) hkrati pa zmanjšajte stroške prevoza.

Naj bodo stroški prevoza ene enote proizvoda od točke S i do točke Q i enaki c ij. Nadalje bomo domnevali, da so transportni stroški enaki c ij x ij pri transportu x ij enot izdelka iz S i v Q j.

Načrt prevoza imenujmo niz številk x ij c i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, ki izpolnjuje omejitve:

x ij? 0, i = 1,2, ..., m; j = 1,…, n (11)

S prevoznim načrtom (x ij) bodo stroški prevoza znašali

Končna tvorba transportnega problema je naslednja: med vsemi nizi števil (х ij), ki izpolnjujejo omejitve (11), poiščite niz, ki minimizira (12).

2.1.3 Optimalna dodelitev virov

Razred problemov, obravnavanih v tem poglavju, ima veliko praktičnih uporab.

Na splošno lahko te naloge opišemo na naslednji način. Obstaja določena količina virov, ki jih lahko razumemo kot denarna sredstva, materialne vire (na primer surovine, polizdelki, delovna sredstva, različne vrste opreme itd.). Ta sredstva je treba razdeliti med različne objekte njihove uporabe v ločenih intervalih obdobja načrtovanja ali v različnih časovnih presledkih za različne objekte, da se iz izbrane metode porazdelitve doseže največja skupna učinkovitost. Kazalnik učinkovitosti je lahko na primer dobiček, tržna proizvodnja, donosnost sredstev (naloge maksimiziranja) ali skupni stroški, prvotni stroški, čas izvedbe za določeno količino dela itd. (Naloge minimiziranja).

Na splošno velika večina problemov matematičnega programiranja ustreza splošni formulaciji problema optimalne razporeditve virov. Seveda je treba pri obravnavi modelov in računskih shem za reševanje takih problemov po metodi DP nujno konkretizirati splošno obliko problema dodeljevanja virov.

V nadaljevanju bomo domnevali, da so v problemu izpolnjeni pogoji, potrebni za izdelavo modela DP. Na splošno opišimo tipičen problem dodeljevanja virov.

Problem 1. Obstaja začetni znesek sredstev, ki ga je treba v n letih porazdeliti med s podjetji. Sredstva (k = 1, 2,…, n; i = 1,…, s), dodeljena v ktem letu i -temu podjetju, ustvarjajo dohodek v višini in se do konca leta vrnejo v količini. Pri kasnejši razdelitvi dohodka lahko sodelujejo (delno ali v celoti) ali pa ne.

Določiti je treba tak način dodeljevanja sredstev (znesek sredstev, dodeljenih vsakemu podjetju v vsakem letu načrtovanja), tako da je skupni dohodek od podjetij za n let največji.

Posledično se celotni dohodek, ki ga prejmejo od podjetij, upošteva kot pokazatelj učinkovitosti postopka dodeljevanja sredstev za n let:

Število virov na začetku k. Leta bo označeno z vrednostjo (parametrom stanja). Upravljanje na k-ti stopnji je sestavljeno iz izbire spremenljivk, ki označujejo vire, dodeljene v k-tem letu za i-to podjetje.

Če predpostavimo, da dohodek ne sodeluje pri nadaljnji razdelitvi, ima enačba stanja procesa obliko

Če kateri koli del dohodka sodeluje pri nadaljnji razdelitvi v katerem koli letu, se ustrezna vrednost doda desni strani enakosti (4.2).

Določiti je treba ns nenegativnih spremenljivk, ki izpolnjujejo pogoje (4.2) in funkcijo maksimiziranja (4.1).

Računski postopek DP se začne z uvedbo funkcije, ki označuje dohodek, prejet v n - k + 1 letih, od četrtega leta do konca obravnavanega obdobja, z optimalno porazdelitvijo sredstev med s podjetji, če bi bila sredstva razdeljeno v k. Funkcije za k = 1, 2, ... n-1 izpolnjujejo funkcionalne enačbe (2.2), ki jih lahko zapišemo v obliki:

Za k = n v skladu z (2.2) dobimo

Nato je treba zaporedno rešiti enačbe (4.4) in (4.3) za vse možne (k = n - 1, n - 2, 1). Vsaka od teh enačb je optimizacijski problem za funkcijo, ki je odvisna od s spremenljivk. Tako se problem z ns spremenljivkami zmanjša na zaporedje n problemov, od katerih vsak vsebuje s spremenljivk. V tej splošni nastavitvi je problem še vedno težak (zaradi svoje večdimenzionalnosti), zato ga v tem primeru ni mogoče poenostaviti, če ga obravnavamo kot problem ns-stopenj. Pravzaprav poskusimo to narediti. Številčimo korake po številu podjetij, najprej v prvem letu, nato v drugem itd.:

za opredelitev stanja sredstev bomo uporabili en parameter.

V k. Letu bo stanje "do začetka katerega koli koraka s (k-1) _ + i (i = 1,2,…, s) določeno s prejšnjim stanjem s preprosto enotajo. Vendar pa po leto, to je do začetka naslednjega leta, bo treba denarju dodati sredstva, zato bo stanje na začetku (ks + 1) -tega koraka odvisno ne le od prejšnjega ks- stanje, pa tudi na vseh s stanjih in kontrolah v zadnjem letu. Posledično dobimo proces z naknadnim učinkom. Če želimo odpraviti posledice, moramo uvesti več parametrov stanj, problem na vsakem koraku ostaja zapleten zaradi večdimenzionalnost.

Naloga 2. Dejavnost dveh podjetij (s = 2) je načrtovana za n let. Začetna sredstva so. Sredstva x, vložena v podjetje I, prinašajo dohodek f 1 (x) do konca leta in se vračajo v podobnem znesku, sredstva x, vložena v podjetje II, prinašajo dohodek f 2 (x) in donos v višini. Konec leta se vsa preostala sredstva ponovno razdelijo med podjetja I in II, novih sredstev ne prejemajo in dohodek ne vlaga v proizvodnjo.

Poiskati je treba optimalen način razdelitve razpoložljivih sredstev.

Postopek dodeljevanja sredstev bomo obravnavali kot n-korak, pri katerem številka koraka ustreza številki leta. Upravljani sistem - dve podjetji z vloženimi sredstvi. Za sistem je značilen en državni parameter - višina sredstev, ki bi jih bilo treba na začetku k -tega leta prerazporediti. Na vsakem koraku sta dve kontrolni spremenljivki: - znesek sredstev, dodeljenih podjetju I in II. Ker se sredstva letno v celoti prerazporedijo). Za vsak korak problem postane enodimenzionalen. Takrat označimo z

Kazalnik učinkovitosti k-te stopnje je. To je dohodek, prejet od dveh podjetij v k-tem letu.

Kazalnik učinkovitosti naloge - dohodek, prejet od dveh podjetij v n letih - je

Enačba stanja izraža stanje sredstev po k-ti stopnji in ima obliko

Naj bo pogojni optimalni dohodek, prejet od razdelitve sredstev med dvema podjetjema za n - k + 1 leto, začenši od ktetega leta do konca obravnavanega obdobja. Zapišimo relacijske ponovitve za te funkcije:

kjer - je določeno iz enačbe stanja (4.6).

Z diskretnim vlaganjem sredstev se lahko pojavi vprašanje o izbiri koraka Dx pri spreminjanju kontrolnih spremenljivk. Ta korak je mogoče določiti ali določiti na podlagi zahtevane natančnosti izračunov in točnosti izvirnih podatkov. V splošnem je ta naloga težka, zahteva interpolacijo v skladu s tabelami v prejšnjih korakih izračuna. Včasih vam predhodna analiza enačbe stanja omogoča, da izberete ustrezen korak Dx in nastavite mejne vrednosti, za katere morate tabelirati pri vsakem koraku.

Razmislite o dvodimenzionalnem problemu, podobnem prejšnjem, v katerem je zgrajen diskretni model DP procesa dodeljevanja virov.

Naloga 3. Pripravite optimalen načrt letne porazdelitve sredstev med dvema podjetjema v obdobju triletnega načrtovanja pod naslednjimi pogoji:

1) začetni znesek je 400;

2) vložena sredstva v višini x prinašajo podjetju I dohodek f 1 (x) in donos v višini 60% x, v podjetju II pa f2 (x) oziroma 20%;

3) vsa denarna sredstva, prejeta iz vrnjenih sredstev, se letno razdelijo:

4) funkcije f 1 (x) in f2 (x) so podane v tabeli. 1:

Model dinamičnega programiranja te naloge je podoben modelu, sestavljenemu v nalogi 1.

Proces upravljanja je v treh korakih. Parameter - sredstva, ki bodo razdeljena v ktem letu (k = l, 2, 3). Kontrolna spremenljivka so sredstva, vložena v podjetje I v k. Sredstva, vložena v podjetje II v k. Letu, so zato proces upravljanja na k. Enačba stanja je zapisana kot

In funkcionalne enačbe v obliki

Poskusimo določiti največje možne vrednosti, za katere je potrebno tabelirati na k -ti stopnji (k = l, 2, 3). Pri = 400 iz enačbe (4.8) določimo največjo možno vrednost, imamo = 0,6 * 400 = 2400 (vsa sredstva so vložena v podjetje I). Podobno dobimo mejno vrednost 0,6 * 240 = 144. Naj interval menjave sovpada s tabelarno, tj. Dx = 50. Sestavimo tabelo skupnega dobička na tem koraku:

To bo olajšalo nadaljnje izračune. Ker celice na diagonali tabele ustrezajo isti vrednosti, ki je navedena v 1. vrstici (v 1. stolpcu) tabele. 2. V 2. vrstico tabele so zapisane vrednosti f 1 (x), v 2. stolpcu pa vrednosti f 2 (y), vzete iz tabele. 1. Vrednosti v preostalih celicah tabele dobimo z dodajanjem številk f 1 (x) in f 2 (y) v 2. vrstico in v 2. stolpec ter ustrezajo stolpcu in vrstici na presečišču v kateri se nahaja ta celica. Na primer za = 150 dobimo vrsto števil: 20 - za x = 0, y = 150; 18 - za x = 50, y = 100; 18 - za x - 100, y = 50; 15 - za x = 150, y = 0.

Izvedimo pogojno optimizacijo po običajni shemi. 3. korak. Osnovna enačba (4.9)

Kot je navedeno zgoraj ,. Poglejmo si številke na diagonalah, ki ustrezajo = 0; 50; 100; 150 in izberite največjo na vsaki diagonali. Točno tako. V prvi vrstici najdemo ustrezen pogojno optimalen nadzor. Podatke o optimizaciji bomo postavili na 3. korak v glavni tabeli (tabela 4). Uvedel je stolpec Dx, ki se dalje uporablja za interpolacijo.

Optimizacija 2. koraka je izvedena v tabeli. 5 po enačbi oblike (4.10):

V tem primeru je mogoče doseči največji dohodek, enak Zmax = 99, l. Neposreden izračun dohodka po tabeli. 2 za ugotovljeno optimalno kontrolo daje 97,2. Razlika v rezultatih za 1,9 (približno 2%) je razložena z napako linearne interpolacije.

Obravnavali smo več možnosti za problem optimalne razporeditve virov. Obstajajo še druge različice te naloge, katerih značilnosti upošteva ustrezen dinamični model.

Zaključek

Predmet obravnava vrste matematičnih modelov, ki se uporabljajo v ekonomiji in upravljanju, ter njihovo razvrstitev.

Pri tečaju je posebna pozornost namenjena optimizacijskemu modeliranju.

Preučuje se načelo konstruiranja modelov linearnega programiranja, podani so tudi modeli naslednjih nalog:

· Naloga rezanja materialov;

· Naloga izbire optimalnega proizvodnega programa podjetja;

· Težave s prehrano;

· Transportni problem.

Prispevek predstavlja splošne značilnosti problemov diskretnega programiranja, opisuje načelo optimalnosti in Bellmanovo enačbo, daje splošen opis procesa modeliranja.

Za izdelavo modelov so bile izbrane tri naloge:

· Problem optimalne razporeditve virov;

· Problem optimalnega upravljanja zalog;

· Problem zamenjave.

Za vsako od nalog pa so bili zgrajeni različni modeli dinamičnega programiranja. Za posamezne naloge so podani numerični izračuni v skladu z izdelanimi modeli.

Bibliografija:

1. Vavilov V.A., Zmeev O.A., Zmeeva E.E. E-priročnik Operations Research

2. Kalikhman I.L., Voitenko M.A. "Dinamično programiranje v primerih in problemih", 1979

3. Kosorukov O.A., Miščenko A.V. Operacijske raziskave, 2003

4. Materiali z interneta.

Objavljeno na Allbest.ru

Podobni dokumenti

Študija ekonomske uporabe matematičnih disciplin za reševanje ekonomskih problemov: uporaba matematičnih modelov v ekonomiji in upravljanju. Primeri modelov linearnega in dinamičnega programiranja kot orodja za modeliranje gospodarstva.

seminarska naloga, dodana 21.12.2010

povzetek dodan 16.05.2012

Grafična rešitev problemov linearnega programiranja. Reševanje problemov linearnega programiranja s preprosto metodo. Možnosti praktične uporabe matematičnega programiranja ter ekonomsko -matematičnih metod pri reševanju ekonomskih problemov.

seminarska naloga, dodana 10.02.2014

Modeliranje ekonomskih sistemov: osnovni pojmi in definicije. Matematični modeli in metode za njihov izračun. Nekaj podatkov iz matematike. Primeri problemov linearnega programiranja. Metode reševanja problemov linearnega programiranja.

predavanje dodano 15.06.2004

Teoretski temelji ekonomsko -matematičnih problemov zmesi. Načela izgradnje in struktura integriranega sistema ekonomskih in matematičnih modelov. Organizacijsko -ekonomske značilnosti ter tehnično -ekonomski kazalniki dela SID "Rodina".

seminarska naloga, dodana 01.04.2011

Teoretski temelji ekonomskih in matematičnih metod. Faze odločanja. Razvrstitev problemov optimizacije. Problemi linearnega, nelinearnega, konveksnega, kvadratnega, celoštevilskega, parametričnega, dinamičnega in stohastičnega programiranja.

seminarska naloga, dodana 05.07.2013

povzetek, dodano 02.11.2011

Tipični modeli upravljanja: primeri ekonomskih in matematičnih modelov ter njihova praktična uporaba. Proces integracije različnih tipov modelov v kompleksnejše modele modelov. Določitev optimalnega načrta proizvodnje za vsako vrsto izdelka.

test, dodan 14.1.2015

Osnove sestavljanja, reševanja in analiziranja ekonomskih in matematičnih problemov. Stanje, rešitev, analiza ekonomsko -matematičnih problemov za modeliranje strukture krmnih rastlin za dani obseg živinoreje. Smernice.

priročnik, dodan 01.12.2009

Osnovni koncepti modeliranja. Splošni koncepti in opredelitev modela. Izjava o optimizacijskih težavah. Metode linearnega programiranja. Splošna in tipična naloga pri linearnem programiranju. Enostavna metoda za reševanje problemov linearnega programiranja.

1. Modeliranje kot metoda znanstvenega spoznanja.

Izraz "model" se pogosto uporablja na različnih področjih človekove dejavnosti in ima številne pomenske pomene. Upoštevajmo le tiste "modele", ki so orodja za pridobivanje znanja.

Model je tako materialni ali miselno zamišljen predmet, ki v procesu raziskovanja nadomesti prvotni predmet, tako da njegova neposredna študija daje novo znanje o prvotnem predmetu.

Proces modeliranja vključuje tri elemente: 1) subjekt (raziskovalec), 2) predmet raziskovanja, 3) model, ki posreduje odnos med spoznavajočim subjektom in spoznanim objektom.

Četrta faza je praktično preverjanje znanja, pridobljenega s pomočjo modelov, in njihova uporaba za izgradnjo posplošujoče teorije predmeta, njegove transformacije ali nadzora.

2. Značilnosti uporabe metode matematičnega modeliranja v ekonomiji.

Večino predmetov, ki jih proučuje ekonomija, je mogoče označiti s kibernetskim konceptom kompleksnega sistema.

3. Značilnosti ekonomskih opazovanj in meritev.

Dolgo časa je glavna ovira za praktično uporabo matematičnega modeliranja v ekonomiji polnjenje razvitih modelov s specifičnimi in kakovostnimi informacijami. Natančnost in popolnost primarnih informacij, resnične možnosti njihovega zbiranja in obdelave v veliki meri določajo izbiro vrst uporabljenih modelov. Po drugi strani pa raziskave ekonomskega modeliranja postavljajo nove zahteve za informacijski sistem.

Odvisno od simuliranih predmetov in namena modelov imajo začetne informacije, uporabljene v njih, bistveno drugačno naravo in izvor. Lahko ga razdelimo v dve kategoriji: o preteklem razvoju in trenutnem stanju objektov (ekonomska opazovanja in njihova obdelava) ter o prihodnjem razvoju objektov, vključno s podatki o pričakovanih spremembah njihovih notranjih parametrov in zunanjih pogojev (napovedi). Druga kategorija informacij je rezultat neodvisnih raziskav, ki jih je mogoče izvesti tudi z modeliranjem.

Metode ekonomskega opazovanja in uporabo rezultatov teh opazovanj razvija ekonomska statistika. Zato velja omeniti le posebne probleme ekonomskih opazovanj, povezanih z modeliranjem gospodarskih procesov.

V ekonomiji je veliko procesov ogromno; značilni so vzorci, ki jih ne najdemo le na podlagi enega ali nekaj opazovanj. Zato bi moralo ekonomsko modeliranje temeljiti na množičnih opazovanjih.

Drug problem povzroča dinamika gospodarskih procesov, variabilnost njihovih parametrov in strukturnih razmerij. Posledično je treba nenehno spremljati gospodarske procese, imeti je treba stalen tok novih podatkov. Ker opazovanje gospodarskih procesov in obdelava empiričnih podatkov običajno traja veliko časa, je treba pri gradnji matematičnih modelov gospodarstva popraviti začetne informacije ob upoštevanju njihovega zamika.

Spoznavanje količinskih razmerij gospodarskih procesov in pojavov temelji na ekonomskih razsežnostih. Natančnost meritev v veliki meri določa tudi točnost končnih rezultatov kvantitativne analize z modeliranjem. Zato je nujen pogoj za učinkovito uporabo matematičnega modeliranja izboljšanje ekonomskih kazalnikov. Uporaba matematičnega modeliranja je zaostrila problem meritev in kvantitativnih primerjav različnih vidikov in pojavov družbeno-ekonomskega razvoja, zanesljivosti in popolnosti pridobljenih podatkov ter njihove zaščite pred namernimi in tehničnimi izkrivljanji.

V procesu modeliranja se pojavi interakcija "primarnih" in "sekundarnih" ekonomskih kazalnikov. Vsak model nacionalnega gospodarstva temelji na določenem sistemu ekonomskih ukrepov (proizvodi, viri, elementi itd.). Hkrati je eden od pomembnih rezultatov nacionalnega gospodarskega modeliranja prejem novih (sekundarnih) ekonomskih kazalnikov - ekonomsko upravičenih cen proizvodov različnih panog, ocen učinkovitosti različnih kakovostnih naravnih virov, kazalnikov družbene koristi izdelkov. Na te števce pa lahko vplivajo premalo utemeljeni primarni števci, zaradi česar je treba razviti posebno metodologijo za prilagajanje primarnih števcev za poslovne modele.

Z vidika "interesov" modeliranja gospodarstva so trenutno najbolj nujni problemi izboljšanja ekonomskih kazalnikov: ocenjevanje rezultatov intelektualne dejavnosti (zlasti na področju znanstvenega in tehnološkega razvoja, informatične industrije), konstruiranje posploševalnih kazalnike družbeno-ekonomskega razvoja, ki merijo učinke povratnih informacij (vplivajo na ekonomske in socialne mehanizme na učinkovitost proizvodnje).

4. Naključnost in negotovost v gospodarskem razvoju.

Za metodologijo načrtovanja gospodarstva je koncept negotovosti gospodarskega razvoja zelo pomemben. V študijah gospodarskega napovedovanja in načrtovanja ločimo dve vrsti negotovosti: "resnično" zaradi lastnosti gospodarskih procesov in "informacijsko", povezano z nepopolnostjo in netočnostjo razpoložljivih informacij o teh procesih. Resnične negotovosti ne smemo zamenjevati z objektivnim obstojem različnih možnosti gospodarskega razvoja in možnostjo zavestne izbire učinkovitih možnosti med njimi. Govorimo o temeljni nemožnosti natančne izbire edine (optimalne) možnosti.

Negotovost v razvoju gospodarstva povzročata dva glavna razloga. Prvič, potek načrtovanih in nadzorovanih procesov ter zunanji vplivi na te procese zaradi delovanja naključnih dejavnikov in omejenega človeškega spoznanja v vsakem trenutku ne morejo biti natančno predvidljivi. To še posebej velja za napovedovanje znanstvenega in tehnološkega napredka, potreb družbe in gospodarskega vedenja. Drugič, javnofinančno načrtovanje in upravljanje ni samo vseobsegajoče, ampak tudi ni vsemogočno, prisotnost številnih neodvisnih gospodarskih subjektov s posebnimi interesi pa nam ne omogoča natančnega napovedovanja rezultatov njihovih interakcij. Nepopolni in netočni podatki o objektivnih procesih in gospodarskem vedenju krepijo resnično negotovost.

Na prvih stopnjah raziskovanja modeliranja gospodarstva so bili uporabljeni predvsem modeli determinističnega tipa. V teh modelih naj bi bili vsi parametri natančno znani. Vendar so deterministični modeli mehansko napačno razumljeni in identificirani z modeli, ki nimajo vseh "stopenj izbire" (možnosti izbire) in imajo eno samo izvedljivo rešitev. Klasični predstavnik strogo determinističnih modelov je optimizacijski model nacionalnega gospodarstva, s katerim se med številnimi sprejemljivimi možnostmi določi najboljša možnost za gospodarski razvoj.

Zaradi kopičenja izkušenj pri uporabi strogo determinističnih modelov so nastale resnične priložnosti za uspešno uporabo naprednejše metodologije za modeliranje gospodarskih procesov ob upoštevanju stohastike in negotovosti. Tu sta dve glavni smeri raziskovanja. Najprej se izpopolnjuje tehnika uporabe togo determinističnih modelov: izvajanje multivarijantnih izračunov in eksperimentov z različico zasnove modela in njegovih začetnih podatkov; preučevanje stabilnosti in zanesljivosti pridobljenih rešitev, prepoznavanje območja negotovosti; vključitev rezerv v model, uporaba tehnik, ki povečujejo prilagodljivost ekonomskih odločitev verjetnim in nepredvidenim situacijam. Drugič, širijo se modeli, ki neposredno odražajo stohastiko in negotovost ekonomskih procesov ter uporabljajo ustrezen matematični aparat: teorijo verjetnosti in matematično statistiko, teorijo iger in statistične odločitve, teorijo čakalnih vrst, stohastično programiranje in teorijo naključnih procesov.

5. Preverjanje ustreznosti modelov.

Kompleksnost gospodarskih procesov in pojavov ter druge značilnosti gospodarskih sistemov, ki so bile omenjene zgoraj, otežujejo ne le konstruiranje matematičnih modelov, ampak tudi preverjanje njihove ustreznosti, resničnost dobljenih rezultatov.

V naravoslovju je zadosten pogoj za resničnost rezultatov modeliranja in vseh drugih oblik spoznanja naključje rezultatov raziskav z opaženimi dejstvi. Kategorija "praksa" sovpada s kategorijo "resničnost" tukaj. V ekonomiji in drugih družboslovnih vedah je tako razumljeno načelo "praksa - merilo resnice" bolj uporabno za preproste opisne modele, ki se uporabljajo za pasivno opisovanje in razlago resničnosti (analiza preteklega razvoja, kratkoročno napovedovanje neobvladljivih gospodarskih procesov, itd.).

Glavna naloga ekonomije pa je konstruktivna: razvoj znanstvenih metod za načrtovanje in upravljanje gospodarstva. Zato so običajna vrsta matematičnih modelov gospodarstva modeli nadzorovanih in reguliranih gospodarskih procesov, ki se uporabljajo za preoblikovanje gospodarske realnosti. Takšni modeli se imenujejo normativni. Če so normativni modeli usmerjeni le v potrditev resničnosti, potem ne bodo mogli služiti kot orodje za reševanje kakovostno novih družbeno-ekonomskih problemov.

Posebnost preverjanja normativnih modelov gospodarstva je v tem, da praviloma "tekmujejo" z drugimi načini načrtovanja in upravljanja, ki so že našli praktično uporabo. Hkrati pa še zdaleč ni vedno mogoče izvesti čistega poskusa za preverjanje modela z odpravo vpliva drugih krmilnih dejanj na modeliran predmet.

Položaj se še bolj zaplete, ko se postavi vprašanje preverjanja modelov dolgoročnega napovedovanja in načrtovanja (opisnega in normativnega). Navsezadnje ni mogoče čakati 10-15 let ali več na pojav dogodkov, da bi preverili pravilnost predpostavk modela.

Kljub ugotovljenim zapletenim okoliščinam ostaja skladnost modela z dejstvi in trendi realnega gospodarskega življenja najpomembnejše merilo, ki določa smer izboljšanja modelov. Celovita analiza odkritih razlik med realnostjo in modelom, primerjava rezultatov modela z rezultati, pridobljenimi z drugimi metodami, pomagajo razviti načine popravljanja modelov.

Logična analiza, vključno s samim matematičnim modeliranjem, igra pomembno vlogo pri preverjanju modelov. Tako formalizirane metode preverjanja modela kot dokaz obstoja rešitve v modelu, preverjanje resničnosti statističnih hipotez o razmerjih med parametri in spremenljivkami modela, primerjava dimenzij količin itd., Omogočajo zožitev razred potencialno "pravilnih" modelov.

Notranjo skladnost predpostavk modela preverjamo tudi tako, da med seboj primerjamo posledice, pridobljene z njegovo pomočjo, pa tudi s posledicami »konkurenčnih« modelov.

Ocenjevanje trenutnega stanja problema ustreznosti matematičnih modelov za gospodarstvo je treba priznati, da je oblikovanje konstruktivne kompleksne metodologije za preverjanje modelov ob upoštevanju objektivnih značilnosti simuliranih predmetov in posebnosti njihovega spoznanja , je še vedno eden najnujnejših problemov ekonomskih in matematičnih raziskav.

6. Razvrstitev ekonomskih in matematičnih modelov.

Matematične modele gospodarskih procesov in pojavov lahko na kratko imenujemo ekonomsko -matematični modeli. Za razvrstitev teh modelov se uporabljajo različni razlogi.

Podrobneje se ustavimo pri značilnostih takšnih razredov ekonomskih in matematičnih modelov, ki so povezani z največjimi značilnostmi metodologije in tehnik modeliranja.

Za modele nacionalne gospodarske ravni je pomembno, da jih razdelimo na združene in podrobne.

Glede na to, ali nacionalni ekonomski modeli vključujejo prostorske dejavnike in pogoje ali ne, ločimo prostorske in točkovne modele.

7. Faze ekonomskega in matematičnega modeliranja.

6. Analiza numeričnih rezultatov in njihova uporaba. Na tej zadnji stopnji cikla se postavlja vprašanje o pravilnosti in popolnosti rezultatov simulacije, o stopnji praktične uporabnosti slednjih.

Medsebojni odnosi faz. Slika 1 prikazuje povezave med stopnjami enega cikla ekonomskega in matematičnega modeliranja.

Bodimo pozorni na povratne informacije faz, ki nastanejo zaradi dejstva, da se v procesu raziskovanja odkrijejo pomanjkljivosti prejšnjih faz modeliranja.

8. Vloga uporabnih ekonomsko -matematičnih raziskav.

Obstajajo vsaj štirje vidiki uporabe matematičnih metod pri reševanju praktičnih problemov.

1. Izboljšanje sistema ekonomskih informacij. Matematične metode vam omogočajo racionalizacijo sistema ekonomskih informacij, ugotavljanje vrzeli v razpoložljivih informacijah in razvoj zahtev za pripravo novih informacij ali njihov popravek. Razvoj in uporaba ekonomskih in matematičnih modelov nakazujeta načine za izboljšanje ekonomskih informacij, osredotočenih na reševanje določenega sistema težav pri načrtovanju in upravljanju. Napredek pri informacijski podpori za načrtovanje in upravljanje temelji na hitro razvijajočih se tehničnih in programskih sredstvih informatike.

2. Okrepitev in izboljšanje natančnosti ekonomskih izračunov. Formalizacija ekonomskih težav in uporaba računalnikov močno pospešuje standardne, masne izračune, povečuje natančnost in zmanjšuje intenzivnost dela ter omogoča večstranske ekonomske utemeljitve za kompleksne ukrepe, ki so nedostopni pod prevlado "ročne" tehnologije.

3. Poglabljanje kvantitativne analize ekonomskih problemov. Z uporabo metode modeliranja se možnosti posebne kvantitativne analize močno povečajo; preučevanje številnih dejavnikov, ki vplivajo na gospodarske procese, kvantitativna ocena posledic sprememb pogojev za razvoj gospodarskih objektov itd.

4. Rešitev temeljno novih gospodarskih problemov. S pomočjo matematičnega modeliranja je mogoče rešiti takšne gospodarske probleme, ki jih je praktično nemogoče rešiti z drugimi sredstvi, na primer: iskanje optimalne različice državnega gospodarskega načrta, imitacija nacionalnih gospodarskih ukrepov, avtomatizacija nadzora nad delovanjem zapletenih gospodarskih objektov.

Obseg praktične uporabe metode modeliranja je omejen z možnostmi in učinkovitostjo formalizacije ekonomskih problemov in situacij, pa tudi z informacijsko, matematično in tehnično podporo uporabljenih modelov. Želja po uporabi matematičnega modela za vsako ceno morda ne bo dala dobrih rezultatov zaradi pomanjkanja vsaj nekaterih potrebnih pogojev.

V skladu s sodobnimi znanstvenimi koncepti bi morali sistemi za razvoj in sprejemanje ekonomskih odločitev združevati formalne in neformalne metode, ki se medsebojno krepijo in dopolnjujejo. Formalne metode so predvsem sredstvo znanstveno utemeljene priprave materiala za človeška dejanja v procesih upravljanja. To omogoča produktivno uporabo izkušenj in intuicije osebe, njene sposobnosti reševanja slabo formaliziranih težav.